ιερεύνηση προβληµάτων ευστάθειας κατασκευών σε αξονική φόρτιση Instability problems Investigation of P critical joint under axial loads

Transcript

1 ιερεύνηση προβληµάτων ευστάθειας κατασκευών σε αξονική φόρτιση Istability problems Ivestigatio of ritial joit uder axial loads Βέλβετ ΚΑΡΑΤΖΑ-A, Ελισσάβετ ΚΑΡΑΤΖΑ-B Λέξεις κλειδιά: Euler, κρίσιµο κιµβικό φορτίο, θεωρία ΙΙ βαθµού, αστοχία κόµβου ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Ο όρος λυγισµός που χρησιµοποιείται συχνά για θλιβόµενα στοιχεία οπλισµένου σκυροδέµατος, θεωρείται σήµερα ως αδόκιµος όρος και γι αυτό δεν χρησιµοποιείται πλέον στο DIN Η προέλευση του όρου λυγισµός προέκυε από την Ελαστική Θεωρία για ιδανικές, λεπτόκορµες, θλιβόµενες ράβδους. Για κατασκευές οπλισµένου σκυροδέµατος πιστεύεται ότι γενικώς δεν παρατηρούνται προβλήµατα λυγισµού ή ευστάθειας, αλλά προβλήµατα απώλειας αντοχής υλικού. Έτσι, στην εργασία αυτή, µε την βοήθεια των φυσικών ελατηριακών σταθερών των κόµβων,,, µιας κατασκευής, γίνεται η ανάλυση της. Γίνεται διερεύνηση των συνθηκών ισορροπίας των κατασκευών και ορίζεται µια νέα έννοια αυτής του κρίσιµο φορτίο κόµβου. Ως, κρίσιµο φορτίο κόµβου ορίζεται το µέγεθος της κατακόρυφης δύναµης που ο λόγος των γωνιών εκτροπής από την κατακόρυφο,,..., οδηγούν την κατασκευή στην απώλεια της ευστάθειας της και συνεπώς, στην αστοχία της. Η αθέλητη και απότοµη αύξηση του λόγου των γωνιών εκτροπής από την κατακόρυφο οφείλεται στην απώλεια αντοχής του υλικού στις περιοχές των κόµβων. Από την ανάλυση του προβλήµατος προκύπτει, ότι η συµπεριφορά των κόµβων περιγράφεται προσεγγιστικά από ένα οµογενές σύστηµα πρωτοβάθµιων εξισώσεων ή εξισώσεων για ορόφους κατασκευής. Οι λύσεις του συστήµατος αυτού είναι οι µορφές ιδιοµορφίας µορφές λυγισµού της κατασκευής. Συνεπώς, το κρίσιµο φορτίο κόµβου και η αντίστοιχη ιδιοµορφία του θεωρείται το ιδιοµορφικό πρόβληµα της ευστάθειας των κατασκευών. Η εφαρµογή του τύπου του Euler στην περιοχή του οπλισµένου σκυροδέµατος δεν αποδίδει πάντοτε τα αναµενόµενα. Η πράξη στις σεισµογενείς περιοχές επιβεβαιώνει ότι κατασκευές µε τοιχώµατα χάνουν την ευστάθεια τους βλέπε φωτογραφίες στην εργασία που διερευνά τις οριζόντιες φορτίσεις, αλλά σπανίως παρατηρούνται φαινόµενα ολοκληρωτικών καταρρεύσεων που είναι αποτέλεσµα του λυγισµού. ABSTRACT: ritial joit is a riterio tat desigers sould employ to ek teir strutures for joit failure. Te problem is ow to alulate ritial joit. Te aim of tis ivestigatio is to determie a metod of alulatig ritial joit orretly ad quikly. Te proposed metod deals wit tis strutural stability problem by examiig te defletio modes we a struture is subjeted to axial 6ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, -3/0/ 009, Πάφος, Κύπρος

2 loads. ritial joit is idepedet of te lateral fores imposed o a struture. Keepig tis i mid ad assumig tat a struture beaves as a two member model, for simplifiatio reasos, oe employs te omogeeous system of equatios wit equatios to estimate te value of ritial joit. Evetually, by trial ad error te losest miimum ritial joit is fially derived. Fially, a disussio o te basi formula used to alulate ritial joit is arried out. Πολιτικός Μηχανικός, Τεχνικό Γραφείο Καρατζά, Π. Φάληρο, ifo@karatzas.gr Πολιτικός Μηχανικός, Τεχνικό Γραφείο Καρατζά, Π. Φάληρο, ifo@karatzas.gr ΕΙΣΑΓΩΓΗ Από την εργασία Φέρουσα ικανότητα κόµβων κατασκευής κρίσιµο φορτίο κόµβου από φόρτιση οριζοντίων δυνάµεων Προβλήµατα θεωρίας ΙΙ βαθµού υπολογίστηκε το παρακάτω σύστηµα εξισώσεων: os si α os si β... os si 3 γ os... si... δ Από το σύστηµα των εξισώσεων α ως δ γίνεται διαχωρισµός των γνωστών από τους αγνώστους µε τις προϋποθέσεις si, os που ισχύουν για πολύ µικρές γωνίες και για Η0, δεδοµένου ότι οι οριζόντιες δυνάµεις δεν επηρεάζουν το κρίσιµο φορτίο κόµβου όπως αποδεικνύεται από την εργασία Φέρουσα ικανότητα κόµβων κατασκευής κρίσιµο φορτίο κόµβου, από φόρτιση οριζοντίων δυνάµεων Προβλήµατα θεωρίας ΙΙ βαθµού. Συνεπώς, πρόκυπτουν τελικά οι ακόλουθες εξισώσεις: 0 α 6ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, -3/0/ 009, Πάφος, Κύπρος

3 0 β 3 0 γ 3 0 δ Το παραπάνω οµογενές σύστηµα εκτός από την προφανή λύση i0 έχει και άλλες λύσεις. Η εύρεση των λύσεων προκύπτουν όταν θέσουµε τον πίνακα του παρανοµαστή του παραπάνω οµογενούς συστήµατος ίσο µε µηδέν. Ο πίνακας του παρανοµαστή αυτού του οµογενoύς συστήµατος, [D], αναγράφεται κατωτέρω: [ D ] Ο παραπάνω πίνακας είναι ένα τυπικό διαγώνιο µικρού εύρους µητρώο, γνωστής µορφής στην περιοχή των ιδιοµορφικών προβληµάτων. Η ελαχίστη τιµή του πίνακα [D] µπορεί να υπολογιστεί µε πολλούς και διαφορετικούς τρόπους που βασίζονται όµως σε προσεγγιστικές µεθόδους. Εποµένως, η σύγκλιση της τελικής τιµής του πίνακα [D] είναι δύσκολη και το τελικό αποτέλεσµα είναι ασαφές. Γι αυτό είναι δύσκολο να αποφασίσει κανείς ποιά είναι η πραγµατική ελαχίστη λύση που δίνει και την πραγµατική ιδιόµορφη εικόνα λυγισµού. Για να αποφύγει κανείς αυτή την δυσκολία και να βρει µια αρχική προσεγγιστική τιµή βοηθούν οι παρακάτω αναλύσεις. 3 - ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ κρίσιµου φορτίου κόµβου Αν προσθέσει κανείς τις εξισώσεις α έως δ προκύπτει η παρακάτω εξίσωση: Αν... και..., συνθήκες που ισχύουν στα περισσότερα ηλά κτίρια, τότε η εξίσωση 4 µετατρέπεται σε: 6ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, -3/0/ 009, Πάφος, Κύπρος 3

4 και αν θέσει κανείς: 5 total / 6 όπου είναι ο αριθµός των υπάρχοντων ορόφων, τότε η εξίσωση 5 γίνεται: κρί σιµοφορτίοκόµβου 7 total 3 Η εξίσωση 7 είναι η γενική εξίσωση για να υπολογίσει κανείς το κρίσιµο φορτίο κόµβου. Τώρα, αν θέσει κανείς: λ από την εξίσωση 7 προκύπτει η παρακάτω σχέση: κρίσιµοφορτίοκόµβου λ 9 Μετατρέποντας την εξίσωση 9, προκύπτει η παρακάτω µητρωϊκή µορφή της εξίσωσης: total κρ ίσιµοφορτίοκόµβου λ ] 0 0 [ Η εξίσωση 0 είναι γνωστή σχέση από την στατική των µητρώων. Ο συντελεστής λ στην µητρωϊκή µορφή του παριστά την ιδιοτιµή της ιδιοµορφίας του µικρότερου σχήµατος λυγισµού του συστήµατος. Εκ των ανωτέρω, διαπιστώνει κανείς ότι η εξίσωση 9 είναι ίδια µε την εξίσωση 0 που έχει προκύει από την εργασία που ερευνά την φέρουσα ικανότητα κόµβων κατασκευής κρίσιµο φορτίο κόµβου από την φόρτιση οριζοντίων δυνάµεων. Στην συνέχεια, θέτοντας k λ, η εξίσωση 0 µετατρέπεται σε: k ίσιµοφορτίοκόµβου total total κρ Από την εξίσωση προκύπτει ότι η όλη κατασκευή συµπεριφέρεται σαν µία ιδεατή ράβδο, φορτιζόµενη στο ανώτατο σηµείο της όπως δείχνει το σχήµα, µε A E, EI,, και µε νέα ελατηριακή σταθερά k. total 6ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, -3/0/ 009, Πάφος, Κύπρος 4

5 Ρ 3 k Σχήµα : Μορφή λυγισµού για µοντέλο τριών ράβδων έναντι µοντέλου µιας ράβδου Αν θελήσει κανείς να εκφράσει την ελατηριακή σταθερά,, ως συνάρτηση των E και Ι της ανωδοµής, µπορεί να το κάνει µε την χρήση της αναλογίας του Mor. Αν φορτίσει κανείς έναν πρόβολο µε µια ροπή ένα στην θέση που τον ενδιαφέρει να εξετάσει και θέσει ως φόρτιση το διάγραµµα ροπών που προκύπτει στον υποκατάστατο φορέα κατά Mor, τότε η προκύπτουσα διατέµνουσα Q του υποκατάστατου φορέα είναι η γωνία εκτροπής του προβόλου στο σηµείο αυτό. Εποµένως: και άρα: Q / EI / EI / 3 ή επίσης: και αν υποθέσουµε: EI / total 4 µ 5 Από τις εξισώσεις 4 και 5 προκύπτει: E I µ 6 total όπου µε την εξίσωση 6 εκφράσθηκε η ελατηριακή σταθερά θεµελιώσεως ως συνάρτηση των µ, E, I, ολικό της κατασκευής. Ακολουθεί το κρίσιµο φορτίο κόµβου σε συνάρτηση των E, I, µ,, λ : µ E I λ κρίσιµοφορτίοκόµβου 7 total 6ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, -3/0/ 009, Πάφος, Κύπρος 5

6 όπου αριθµός των ορόφων, E µέτρο ελαστικότητας σκυροδέµατος και I σύνολο ροπών αδρανείας. Η εξίσωση 7 έχει την αυτή δοµή όπως οι γενικές εξισώσεις του Euler, αλλά παρόλου αυτά αναφέρονται και περιγράφουν διαφορετικά πράγµατα. Οι τύποι του Euler περιγράφουν τον λυγισµό της ίδιας της ράβδου λεπτόκορµες διατοµές, ενώ ο τύπος υπολογισµού του κρίσιµου φορτίου κόµβου περιγράφει την συµπεριφορά της συνδεσµολογίας εδράσεις των ράβδων βλέπε σχήµα. α β EI EI κρίσιµο φορτίο κατά Euler κρίσιµο φορτίο κόµβου Σχήµα : Παραµορφώσεις κατά α Euler s κρίσιµο φορτίο και β κρίσιµο φορτίο κόµβου Με την εξίσωση 7 µπορεί κανείς να υπολογίσει το κρίσιµο φορτίο κόµβου ως συνάρτηση των E, Ι,, total ad λ. Όµως, ο υπολογισµός της µεταβλητής λ έχει τις προαναφερόµενες δυσκολίες υπολογισµού του µητρώου [D]. Για να βρει κανείς µία αρχική προσεγγιστική τιµή του λ για το µητρώο [D] εργάζεται ως ακολούθως. Χρησιµοποιώντας κανείς το µοντέλο των δύο ράβδων, µπορεί να υπολογίσει εύκολα τις γωνίες εκτροπής από την επίλυση µίας απλής δευτεροβάθµιου εξισώσεως. ηλαδή εξισώνει κανείς τα κλάσµατα του λ, µόνο µε το που είναι οι γωνίες εκτροπής του µοντέλου των δύο ράβδων, βλέπε σχήµα 3. Έτσι, αφού υπολογιστεί το λ, µπορεί να βρεθεί και η αρχική προσεγγιστική τιµή εκκινήσεως του κρίσιµου φορτίου κόµβου. 3 3 Σχήµα 3: Σχηµατική µορφή παραµόρφωσης για ένα τετραόροφο κτίριο ως µοντέλο δύο ράβδων 6ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, -3/0/ 009, Πάφος, Κύπρος 6

7 Αν αντικαταστήσει κανείς τα ανωτέρω στον αρχικό τύπο 8, το λ µετατρέπεται ως εξής: 3... λ 8 και αντίστοιχα η αρχική εξίσωση 7 µετατρέπεται ως: κρ ίσιµοφορτίοκόµβου 9 και αν αντικαταστήσει κανείς στην εξίσωση 9 την τιµή του από την εξίσωση 6, τότε προκύπτει η εξίσωση 0: E I κρ ίσιµοφορτίολυγισµού 0 total Με τις εξισώσεις 9 ή 0 µπορεί να υπολογίσει κανείς προσεγγιστικά το κρίσιµο φορτίο κόµβου. Αντικαθιστώντας την τιµή του κρίσιµου φορτίου κόµβου στο πίνακα µητρώου [D] καθώς και όλες τις σχέσεις των /, / 3, κ.λ.π. µπορεί κανείς µε ένα πρόγραµµα όπως π.χ. το Exel να βρει δια προσεγγίσεων πότε ο πίνακας µητρώου [D] ισούται µε µηδέν. ΥΠΑΡΧΕΙ ΠΑΝΤΟΤΕ ΕΝΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟ κρίσιµο φορτίο κόµβου < Euler Κατά τους κανονισµούς DIN 045 και EC στο κεφάλαιο περί µεταθετότητας, ισχύει ο παρακάτω τύπος του Euler µέχρι τετραώροφα κτίρια: και για περισσότερους ορόφους: Euler Euler,47 E I total 7,9 E I αν για το µικρότερο επιτρεπόµενο κατά Euler φορτίο ισχύει η απόδειξη που ακολουθεί θα ισχύει πολύ περισσότερο και για το µεγαλύτερο φορτίο κατά Euler. Από τις εξισώσεις 7,, και προκύπτει η παρακάτω ανισότητα: total 6ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, -3/0/ 009, Πάφος, Κύπρος 7

8 µ EI λ,47ei κρ ίσιµο < euler 3 total total Απλοποιώντας: µ λ <,47 4 Τώρα, αν στην εξίσωση 4 αντικατασταθεί το λ µε την προσεγγιστική τιµή της εξισώσεως 8 και µετά από πράξεις, τότε προκύπτει η ανισότητα παρακάτω: µ,35 5 Η ανισότητα 5 ισχύει πάντοτε γιατί όταν το τότε µετατρέπεται σε: µ,35 6 και επειδή η χειρότερη περίπτωση ιδιοµορφών λυγισµού είναι πάντοτε όταν το βλέπε σχήµα 4 παρακάτω τότε η ανισότητα 6 ισχύει πάντοτε για µ ενώ για µ η ανισότητα 6 ισχύει υπό προϋποθέσεις. Παροµοίως, για ένα κτίριο µε περισσότερο από τέσσερις ορόφους η ανισότητα 6 ισχύει πάντοτε για µ ενώ για µ η ανισότητα 6 ισχύει πάλι υπό προϋποθέσεις. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 7 ΚΑΙ 9 Ας υποθέσει κανείς ένα µοντέλο τριών ράβδων που παραµορφώνεται όπως δείχνει το σχήµα 4. Από την εξίσωση 9 εξάγεται ότι το κρίσιµο φορτίο κόµβου πολλών ράβδων είναι ίσο µε το κρίσιµο φορτίο κόµβου µίας ράβδου µε ατένεια, EI, AE, total πολλαπλασιαζόµενο επί έναν αριθµό λ που µπορεί να είναι µικρότερος ή µεγαλύτερος της µονάδας. Αν όλοι οι όροφοι έχουν απόκλιση από την κατακόρυφη προς την αυτήν κατεύθυνση, τότε ο παρανοµαστής της εξισώσεως 9 θα γίνει µέγιστος µε συνέπεια να προκύπτει η µικρότερη τιµή του κρίσιµο φορτίο κόµβου πολλών ράβδων. 6ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, -3/0/ 009, Πάφος, Κύπρος 8

9 λ < λ > α χειρότερη περίπτωση β Οι γωνίες εκτροπής έχουν διαφορετικές κατευθύνσεις. Συνεπως, δεν είναι η χειρότερη περίπτωση. Σχήµα 4: α Μοντέλο τριών ράβδων µε λ < β Μοντέλο τριών ράβδων λ > Αν υποθέσει κανείς ότι... και και κατά βάση περίπτωση που συναντάται κυρίως σε κτίρια όπου το ισόγειο του είναι κατάστηµα και έχει µεγαλύτερο ύος από τους υπόλοιπους ορόφους, η εξίσωση 7 µετατρέπεται σε: κρίσιµοφορτίοκόµβουπολλώνράβδων κρίσιµοολικόφορτίογιαµ ίαράβδο Αυτό σηµαίνει ότι όταν ο παρανοµαστής της εξίσωσης 7 γίνεται ακόµα µεγαλύτερος, τότε το κρίσιµο φορτίο πολλών ράβδων γίνεται ακόµα µικρότερο. Εποµένως, όπως επιβεβαιώνει και η πράξη, σε σεισµογενείς περιοχές τα ηλά κτίρια µε άνισα ύη ορόφων είναι περισσότερο ευάλωτα και ειδικότερα τα κτίρια µε διαφορετικά ύη µεταξύ ισογείου και Α ορόφου. Από την εξίσωση 7 έπεται ότι όσο πιο µεγάλο είναι το συνολικό ύος της κατασκευής, δηλαδή όσο πιο πολλούς ορόφους έχει η κατασκευή, τόσο πιο µικρό είναι το κρίσιµο φορτίο πολλών ράβδων. Η απόδειξη είναι προφανής αν παρατηρήσει κανείς την εξίσωση 7. Προφανώς από την ίδια εξίσωση ισχύει γενικώς ότι το κρίσιµο πρώτου κόµβου < κρίσιµο δεύτερου κόµβου < κρίσιµο για αριθµό κόµβων κάτω από τις αυτές υπόλοιπες προϋποθέσεις. Η εφαρµογή της προτάσεως του Mor στο µοντέλο υπολογισµού µε ράβδους αποδεικνύει ότι ισχύει πάντοτε Η λογική συνέπεια αυτής της αρχής είναι ότι τα επικίνδυνα σηµεία µιας κατασκευής κατά φθίνουσα σειρά είναι,, 3,... όπου είναι το σηµείο εδράσεως της κατασκευής. Η πράξη επιβεβαιώνει αυτή την αρχή. 6ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, -3/0/ 009, Πάφος, Κύπρος 9

10 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Για λόγους σύγκρισης των υπολογισµών µεταθετότητας κατά τον DIN 045 και του EC και του κρίσιµου φορτίου κόµβου θα χρησιµοποιηθεί το παράδειγµα της βιβλιογραφίας 4. εδοµένα παραδείγµατος βιβλιογραφίας 4: ύο τοιχώµατα µε L8,50m και d0,30m το καθένα Αριθµός ορόφων: 9 Ολικό ύος κτιρίου: 3 97µ Νεκρό φορτίο4,065 kn Κινητό φορτίο,0 kn F Ed 55,665 kn E m 3,900 MN/m I 8,50 3 0,30/30,70 m 4 Αντικαθιστώντας τα δεδοµένα του παραδείγµατος στον τύπο περί µεταθετότητας σύµφωνα µε τον DIN 045 και τον EC, προκύπτει: 3,90030,70 a 4,9 >,67 or 55,665 7 <,03 0, 60 4, 9 67, 0 < 8 Εποµένως, το κτίριο είναι ασφαλές σύµφωνα µε το DIN 045- και τον EC. Με τα ίδια δεδοµένα του κτιρίου του παραδείγµατος και για διαφόρους λόγους / υπολογίζεται µια αρχική προσεγγιστική τιµή για το κρίσιµο φορτίο κόµβου βάση της εξίσωσης 9 αυτής της εργασίας. Για τον λόγο των ελατηριακών σταθερών τυπική περίπτωση κτιρίου: / 0,0669, κρ ίσιµοφορτίοκόµβου 9 αντίστοιχα προκύπτει για 0, 0 π.χ. κτίριο µε πιλωτή, και για / 0 π.χ. µαλακό έδαφος : κρίσιµα φορτία κόµβου / κόµβου 0,06 0,0058 και κρίσιµα φορτία Αντικαθιστώντας τις πρώτες προσεγγιστικές τιµές που υπολογίστηκαν ανωτέρω του κρίσιµου φορτίου κόµβου στον πίνακα µητρώου [D], υπολογίζει κανείς τις βελτιωµένως τιµές για το κρίσιµο φορτίο κόµβου. Συνεπώς, προκύπτει κρ ί σιµο 0,05 /, κρ ί σιµο 0,0005 /, και κρ ί σιµο 0,05 / αντίστοιχα. Στην συνέχεια χρησιµοποιώντας την εξίσωση 7, υπολογίζονται οι τελικές τιµές για το κρίσιµο φοτίο κόµβου όπως φαίνεται παρακάτω: 6ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, -3/0/ 009, Πάφος, Κύπρος 0

11 µ E I µ λ 8 0, ,70 κρ ίσιµοφορτίοκόµβου total > 55,665MN Αντίστοιχα προκύπτει για 0, 0 και για 0 / : / κρίσιµο φορτίο κόµβου 544> 55,665ΜΝ και κρίσιµο φορτίο κόµβου 7>55,665ΜΝ Έτσι, οι συντελεστές ασφαλείας για τα αντίστοιχα κρίσιµο φορτίο κόµβου είναι: 63 9 >,75 55,665 παλιός συντελεστής ασφαλείας ασφαλής κατασκευή ,77 >,75 55,665 παλιός συντελεστής ασφαλείας ασφαλής κατασκευή 3 7 4,89 >,75 55,665 παλιός συντελεστής ασφαλείας ασφαλής κατασκευή 33 Αν όµως οι διαστάσεις των τοιχωµάτων αλλάξουν και γίνουν: µήκος 4,5µ και πλάτος0,30µ τότε: 0,30 I 3 4 4,5 3,57m 34 Επαναλαµβάνοντας την προηγούµενη διαδικασία υπολογισµού µε τα νέα δεδοµένα προκύπτουν αντίστοιχα: 39003,57 a,67,67 εντός κανονισµού 35 55,665 7 Αν επαναλάβει κανείς την παραπάνω διαδικασία και υπολογίσει το κρίσιµο φορτίο κόµβου όταν τότε: / µ E I µ λ κρ ίσιµοφορτίοκόµβου total > 55,665MN Αντίστοιχα προκύπτει για 0, 0 και για 0 / : / κρίσιµο φορτίο κόµβου 63,30> 55,665ΜΝ και κρίσιµο φορτίο κόµβου 3,60> 55,665ΜΝ Εποµένως, ο συντελεστής ασφαλείας για τα αντίστοιχα κρίσιµο φορτίου κόµβου είναι: 90 / 55,665 3,40 >,75 ασφαλής κατασκευή 37 63,30 / 55,665,4 <,75 µη ασφαλής κατασκευή 37 6ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, -3/0/ 009, Πάφος, Κύπρος

12 3,60 / 55,665 0,57 <, 75 µη ασφαλής κατασκευή 38 Από την ανάλυση διαπιστώθηκε ότι ένα κτίριο µε τοιχώµατα διαστάσεων π.χ. 4,5µ 0,30µ είναι ασφαλές µόνο όταν η σχέση των ελατηριακών σταθερών ισούται µε την µονάδα. Αν η σχέση / ίσουται µε µια τίµη διάφορη της µονάδας, τότε το κρίσιµο φορτίο στον κόµβο, κρίσιµο φορτίο κόµβου, µειώνεται σηµαντικά µε αποτέλεσµα η κατασκευή να µην µπορεί να θεωρηθεί πλέον ασφαλές παρόλου που κατά τους κανονισµούς DIN 045- και EC θεωρείται ασφαλές. Επιπλέον, για το παράδειγµα αυτό υπολογίζονται οι σχέσεις των γωνιών εκτροπής πρώτου και δευτέρου βαθµού θεωρίας σύµφωνα µε την εργασία που διερευνά το κρίσιµο φορτίο κόµβου υπό οριζόντιες φορτίσεις. Σύµφωνα πάλι µε το DIN 045- και τον EC: α 39 II I όπου α, είναι ο προσαυξητικός συντελεστής: α 40 κρίσιµοφορτίοκόµβου Εποµένως, υπολογίζοντας το α όταν το κρίσιµο φορτίο κόµβου 90 MN για : αυτό σηµαίνει ότι:,4 55, α 4 II I,4.0 αποδεκτό 4 > Όταν κρίσιµο φορτίο κόµβου 63,30 MN και 0. 0, τότε α 8,9 εποµένως: / II I,9.0 ακόµα αποδεκτό 43 8 > Όταν κρίσιµο φορτίο κόµβου 3,60 MN και 0, τότε α<0 και άρα, µη αποδεκτό. / ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Η εργασία αυτή δεν επιβεβαιώνει ότι οι κατασκευές είναι πάντοτε ασφαλείς στην περίπτωση που εφαρµόζονται τα προβλεπόµενα κριτήρια µεταθετότητας από τους κανονισµούς DIN 045- και EC, δηλαδή ο υπολογισµός των κατασκευών να γίνεται µε θεωρία Ι βαθµού αντί µε θεωρία ΙΙ βαθµού. Υπάρχει πάντοτε τουλάχιστον ένα κρίσιµο φορτίο κόµβου ritial joit µικρότερο από το Euler για περιπτώσεις που ο λόγος /. Αυτός είναι ένας από τους πιθανούς 6ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, -3/0/ 009, Πάφος, Κύπρος

13 λόγους που στις σεισµογενείς περιοχές παρατηρούνται πολλές καταστροφές στους κόµβους των κατασκευών, αλλά όχι ολικές καταρρεύσεις κτιρίων. Οι περισσότερες από αυτές τις καταστροφές έχουν κατά βάση την µορφή του µοντέλου των δύο ράβδων, διότι µετά τα θεµέλια τα ελάχιστα κρίσιµα φορτία κόµβου παρουσιάζονται στους πρώτους κόµβους. Το µέγεθος του κρίσιµο φορτίο κόµβου εξαρτάται πάρα πολύ από την σχέση των /. Όσο µικρότερο είναι το για σταθερό, τόσο µικραίνει το κρίσιµο φορτίο κόµβου. Αυτό εξηγεί εν µέρη γιατί κατασκευές µε ελεύθερο ισόγειο µαλακό όροφο σε σεισµογενείς περιοχές είναι πιο ευάλωτες στο σεισµό. Αντίστοιχα, κατασκευές µε ενισχύσεις στις στηρίξεις των υποστυλωµάτων συµπεριφέρονται καλύτερα σε σεισµογενείς περιοχές για δύο λόγους. Ο πρώτος λόγος είναι ότι η σταθερά των ενισχυµένων κόµβων αυξάνεται και ο λόγος / τείνει στη µονάδα µε συνέπεια το κρίσιµο φορτίο κόµβου να γίνεται µεγαλύτερο. εύτερον, η διανοµή των διατεµνουσών δυνάµεων στην περιοχή των κόµβων γίνεται συνήθως ευνοϊκότερη δεδοµένου, ότι και οι διατέµνουσες δυνάµεις επηρεάζουν κατά πολύ την συµπεριφορά των κατασκευών κατά την διάρκεια των σεισµών. Μέτρα που αλλάζουν ξαφνικά και απρογραµµάτιστα την σχέση / µιας κατασκευής πρέπει να αποφεύγονται. Οι νέοι αντισεισµικοί κανονισµοί προδιαγράφουν διατάξεις για να υπολογίζονται και να κατασκευάζονται πιο πλάστιµες κατασκευές. Για τον λόγο αυτό προβλέπουν γενικώς την δηµιουργία πλαστικών αρθρώσεων στα ζυγώµατα των πλαισίων παρά στα υποστυλώµατα τους. Όµως, ο σχηµατισµός πλαστικών αρθρώσεων στα ζυγώµατα των πλαισίων µε την υποδιαστασιολόγηση τους, εν σχέσει µε τις στηρίξεις τους, θα πρέπει να αποφεύγεται διότι η σχέση / αλλάζει και ναι µεν η κατασκευή θα γίνει πιο πλάστιµη αλλά ταυτόχρονα και λιγότερο ασφαλής. Γι αυτό είναι προτιµότερο να ενισχύονται τα ζυγώµατα στις άκρες τους ώστε να παραµένει ο λόγος / µεγάλος, παρά να σχηµατισθούν πλαστικές αρθρώσεις σε αυτά και να µεταφέρονται ροπές από το µέσον των ζυγωµάτων στις άκρες τους για την επίτευξη πλαστιµότητας της κατασκευής. Επίσης, τα ανοίγµατα των φορέων επηρεάζουν πάρα πολύ τον λόγο /. Συνεπώς, σε σεισµογενείς περιοχές, αν είναι δυνατόν, πρέπει να προβλέπονται µικρά ανοίγµατα φορέων. Σε περίπτωση που αυτό δεν είναι εφικτό, τότε πρέπει να λαµβάνει κανείς πρόσθετα µέτρα. Στις σεισµογενείς περιοχές θα πρέπει οι κανονισµοί να γίνουν αυστηρότεροι και να συµπληρωθούν µε νέα κριτήρια, όπως αυτό του κρίσιµου φορτίου κόµβου στο πνεύµα αυτής της εργασίας, ώστε να δοµεί κανείς µε ακόµα µεγαλύτερη ασφάλεια. ιαφορετικά καλό θα ήταν σε αµφισβητούµενες περιπτώσεις να εργάζεται κανείς µε την θεωρία ΙΙ βαθµού. 6ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, -3/0/ 009, Πάφος, Κύπρος 3

14 ΑΝΑΦΟΡΕΣ Καρατζά Β., Καρατζά Ε. «Φέρουσα ικανότητα κόµβων κατασκευής κρίσιµο φορτίο κόµβου από φόρτιση οριζοντίων δυνάµεων Προβλήµατα θεωρίας ΙΙ βαθµού» Αθήνα, Ελλάδα. Karatzas V., Karatzas E. «Ivestigatio of te seismi beaviour of strutures based o a multi elastially oeted member model» Naples, Italy. rofessor Dr.-Ig. Quast, Ulri «Beto-ud Stalbetobau, ISSN eft»: pp , «Corete Strutures Euro-Desig adbook 995/96». Erst & So ed. 006, «ΕΑΚ 000 Ελληνικός Αντισεισµικός Κανονισµός 000» Te Greek Atiseismi Regulatios 000. Ates Sideor A.E ed. eydel G., Krigs W., erma. «Stalbeto im obau a EC». Berli: Erst ud So ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, -3/0/ 009, Πάφος, Κύπρος 4