ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. Μετρικές σχέσεις στα τρίγωνα. Μετρικές σχέσεις στα ορθογώνια τρίγωνα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. Μετρικές σχέσεις στα τρίγωνα. Μετρικές σχέσεις στα ορθογώνια τρίγωνα"

Transcript

1 ΚΕΦΛΙΟ 9ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Μετρικές σχέσεις στα τρίγωνα Μετρικές σχέσεις στα ορθογώνια τρίγωνα 1. Τι καλούμαι ορθή προβολή ενός σημείου πάνω σε μία ευθεία και ποια είναι η προβολή ενός ευθυγράμμου τμήματος πάνω σε μία ευθεία ; ς θεωρήσουμε μία ευθεία ε και ένα σημείο που δεν ανήκει σε αυτή. Το ίχνος ' της καθέτου που φέρουμε από το προς την ε το λέμε ορθή προβολή ή απλώς προβολή του στην ευθεία ε. ν το σημείο είναι σημείο της ευθείας, π.χ. το, τότε ως προβολή του ' πάνω στην ε θεωρούμε το ίδιο το. Τέλος ορθή προβολή του τμήματος πάνω στην ευθεία ε λέμε το τμήμα '' που έχει ως άκρα τις ορθές προβολές ', ' των άκρων,, αντίστοιχα, του τμήματος πάνω στην ε.. Να αποδείξετε ότι : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην υποτείνουσα. (θεώρημα προβολών Θ.Π.) πόδειξη Έστω λοιπόν ένα ορθογώνιο τρίγωνο και η προβολή της κορυφής στην υποτείνουσα. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι = και =. ια την πρώτη σχέση αρκεί να αποδείξουμε ότι δηλαδή ότι AB =, δηλαδή ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια, το οποίο ισχύει αφού A = = 1 και η είναι κοινή. Όμοια αποδεικνύεται και η σχέση =. 3. Να αποδείξετε ότι : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, ο λόγος των τετραγώνων των κάθετων πλευρών του είναι ίσος με το λόγο των προβολών τους πάνω στην υποτείνουσα. (πόρισμα Π) πόδειξη ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 1

2 πό το θεώρημα προβολών προκύπτει ότι : = και = ιαιρώντας κατά μέλη προκύπτει το = άρα = Άρα το ζητούμενο πόρισμα.. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το Πυθαγόρειο Θεώρημα (Π.Θ.) Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών του είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας. πόδειξη Θέλουμε δηλαδή να αποδείξουμε ότι AB + = ή β + γ = α Σύμφωνα με το θεώρημα προβολών έχουμε: AB = και =. Με πρόσθεση των ισοτήτων κατά μέλη προκύπτει ότι : + = + =(+) = =. 5. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος (.Π.Θ.). ν σε τρίγωνο ισχύει + =, τότε A = 1L. πόδειξη Πάνω στις πλευρές Ox, Oy ορθής γωνίας xôy θεωρούμε αντίστοιχα τμήματα Ο= και ΟΕ=. Επειδή το τρίγωνο ΟΕ είναι ορθογώνιο σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα και την υπόθεση, έχουμε : Ε = Ο + ΟΕ = + =. Άρα Ε =. Επομένως τα τρίγωνα και ΟΕ είναι ίσα, γιατί έχουν και τις τρεις πλευρές ίσες, οπότε θα είναι A = Ô = 1, που είναι το ζητούμενο. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ

3 6. Να αποδείξετε ότι : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους του που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα είναι ίσο με το γινόμενο των προβολών των κάθετων πλευρών του στην υποτείνουσα.(θεώρημα ύψους Θ.Υ.) πόδειξη Έστω το ύψος του ορθογώνιου τριγώνου, που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα. Θα αποδείξουμε ότι Τα τρίγωνα και είναι όμοια, αφού είναι ορθογώνια και A 1 = ως συμπληρωματικές της. Επομένως, οι πλευρές τους είναι ανάλογες, δηλαδή : = οπότε =. 7. Να αποδείξετε ότι : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας επί το ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα είναι ίσο με το γινόμενο κάθετων πλευρών του.(εφαρμογή θεωρία Ε.Θ.) πόδειξη Έστω λοιπόν ένα ορθογώνιο τρίγωνο και η προβολή της κορυφής στην υποτείνουσα. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι = ή καλύτερα α υ α =β γ ηλαδή ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια, το οποίο ισχύει αφού A = = 1 και η γωνία είναι κοινή άρα = = άρα = άρα = ή καλύτερα α υ α =β γ. 8. ν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, τότε α= β πόδειξη Πράγματι, με εφαρμογή του Πυθαγόρειου θεωρήματος στο παίρνουμε α = β + γ = β ή α= β ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 3

4 9. ν είναι το ύψος ορθογώνιου τριγώνου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα, τότε ισχύει + = πόδειξη Επειδή α υ α= β γ έχουμε ότι + = = = ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ

5 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Μετρικές σχέσεις στα τρίγωνα Ερωτήσεις κατανόησης 1. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ 90 ) έχει = 6 και = 8. Ποιο είναι το μήκος της διαμέσου Μ ; = + = = 100 =10 και Μ = = 5. ν ο λόγος των καθέτων πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι, τότε ο λόγος των προβολών τους στην υποτείνουσα είναι α. β. γ. 16 δ. 1 Κυκλώστε το γράμμα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας νωρίζουμε ότι β α γ 3. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές ίσες με 9cm και 1cm.. Η πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου που έχει περίμετρο ίση με την περίμετρο του ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με α. 10 β 1 γ.13 δ.1 Κυκλώστε το γράμμα της σωστής απάντησης και δ ικαιολογήστε την απάντηση σας Πυθαγόρειο : α = β + γ = 81+1 = 5 α = 15 Περίμετρος του ορθογωνίου τριγώνου : Π = = 36 Πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου : x = 36 3 = 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 5

6 . Στο παρακάτω σχήμα υπολογίστε τα x και ψ. x ψ 3 Επειδή η γωνία ˆ είναι εγγεγραμμένη σε Ημικύκλιο, θα είναι ορθή. = + 3 = = 5 = 5 Ε Ε =. = 5 = 5 άρα = 5 5 = 1 5 x = = 8 5 x 1 5 ψ = = 1 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 6

7 σκήσεις Εμπέδωσης 1. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = 1 ) φέρουμε το ύψος. ν είναι = 3 και =, να υπολογιστούν τα μήκη των τμημάτων,, και. = 3 = = 5 = 5. 3 = 5. = 9 5. = = 1 5. = 1 5 = 5. = ν σε ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = 1 ) είναι ˆB = ˆ τότε ο λόγος είναι ίσος με: α. 1 β. 1 γ. 3 δ. ε. 3. Κυκλώστε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση και γ αιτιολογήστε την απάντησή σας. Πυθαγόρειο: (1), () β = 3. ˆB + ˆ = 90 ο 3 β = ˆ + ˆ = 90 ο 3 ˆ = 90 ο ˆ = 30 ο γ = 3 3. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = 1 ) φέρουμε το ύψος. ν είναι 5 = 5 και B =, να διατάξετε κατά αύξουσα σειρά μήκους τα 13 τμήματα,, και. () (1) ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 7

8 =. = =. = = = = = = = = 1 = 1 = = = (1), (), (3), () < < < = () = 1 13 (3) (1) () ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 8

9 ποδεικτικές σκήσεις 1. Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο, που έχει πλευρές α = γ =, β = κλ και, όπου κ, λ θετικοί ακέραιοι με κ > λ, είναι ορθογώνιο. Παρατηρούμε ότι άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.. ν Ε, Ζ είναι αντίστοιχα οι προβολές δύο χορδών και ενός κύκλου σε μία διάμετρό του, να αποδείξετε ότι Ζ. = Ε. Ε O Ζ Φέρουμε τις,. ˆ = 1 (βαίνει σε ημικύκλιο) τρ. ορθογώνιο με ύψος Ε =. Ε Ζ. = Ζ.. Ε (1). Ομοίως στο τρ. θα έχουμε Ε. = Ε..Ζ () πό τις (1), () Ζ. = Ε.. 3. ν είναι μέσο της κάθετης πλευράς ενός ορθογωνίου τριγώνου ( Â = 1 ) και Ε η προβολή του στη, τότε να αποδείξετε ότι E + Ε = τμήματα, Ε, Ε.. Στη συνέχεια διατάξτε κατά αύξουσα σειρά μήκους τα Φέρουμε τη (για να έχουμε κι άλλα ορθογώνια τρίγωνα) Τρ.Ε: E = Τρ.: = Προσθέτουμε κατά μέλη, και επειδή =, έχουμε E + =. (1) Τρ.Ε: = ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 9

10 (1) E + =. πό την ισότητα που αποδείξαμε προκύπτει ότι Ε < Ε. πό το ορθογώνιο τρίγωνο Ε προκύπτει ότι Ε <. Άρα Ε < Ε <.. ύο ορθογώνια τρίγωνα και ( Â = Â = 1 ) έχουν και E. Να αποδείξετε ότι: i) α = α ii) β = β. Τι συμπεραίνετε για τα και. ' ' ' Ομοίως, από τα τρίγωνα Ε, ΆΈ θα έχουμε E' ' Τρ.: Τρ.Ά : Άρα = = (1). = (). Προσθέτουμε κατά μέλη τις (1), (): 5 5 = = 5 5 (3) (1) (3) 3 = 3 = = Άρα τρ. = τρ.. 5. Σε ισοσκελές τρίγωνο ( = ) φέρουμε το ύψος του Ε. Να αποδείξετε ότι 3. Τρ.Ε: Τρ.Ε: = + = + = Ε Άρα + + ( + ) = = ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 10

11 Σύνθετα Θέματα i) Ζ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ( Â =1 ) και το ύψος του. ν Ε, Ζ είναι οι προβολές του πάνω στις, αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: i) 3 3 = ii) Στο τρ.: Στο τρ.: Στο τρ.: 3 =. Ε. Ζ = = =. Ε =. Ζ 3 3 = (1) =.. Ε ii) Στο τρ.: =. AΕ = AB. Ζ Στο τρ.: =. Ζ =. Ε Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη: = AB. Ζ.. Ε 3. = Ε. Ζ ρκεί να αποδείξουμε ότι. =, ή ότι =, το οποίο ισχύει από την ομοιότητα των τριγώνων,. i). ίνονται δύο κύκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) που εφάπτονται εξωτερικά στο. ν είναι κοινό εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα τους και (Ο, σ) ο κύκλος που εφάπτεται στους (Κ, R), (Λ, ρ) και στη, να αποδείξετε ότι: i) B = R ii) R (1) Μ Ο Φέρουμε τις ΚΛ, Κ, Λ και ΛΜ Κ. Τότε ΛΜ ορθογώνιο Κ Λ ΚΜ = Κ Μ = R Λ = R ρ ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 11

12 ii) Πυθαγόρειο στο τρ.μκλ R R = R R R R = R R = R = R R Εφαρμόζουμε το i) για τους κύκλους (Κ, R), (Ο, σ) με κοινή εξωτερική εφαπτομένη και για τους κύκλους (Λ, ρ), (Ο, σ) με κοινή εξωτερική εφαπτομένη. Τότε = R και =. + = R + = R R + = R ιαιρούμε τα δύο μέλη με R, τότε R R 3. Θεωρούμε τραπέζιο με ˆ ˆ = 1. ν Μ, Ν τα μέσα των διαγωνίων, αντίστοιχα και Κ το σημείο τομής της Μ με τη, να αποδείξετε ότι: i) το Κ είναι ορθογώνιο ii) 1 =. i) Τρ.Μ = τρ.μκ διότι Μ = Μ Mˆ Mˆ (κατά κορυφή) και 1 ˆ ˆ (εντός εναλλάξ) Ν Άρα Μ = Μ, δηλαδή οι διαγώνιοι του Μ Κ διχοτομούνται, άρα είναι παρ/μμο και 1 επειδή έχει γωνία ορθή, είναι ορθογώνιο. Κ ii) Πυθαγόρειο στο τρ.κ: = (1) πό το i) έχουμε Κ =. Στο τρίγωνο Κ, το ΜΝ ενώνει μέσα Κ = ΜΝ. (1) = =. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 1

13 Ισχύει. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ = 90 ο ) να αποδείξετε ότι.. Επειδή, όμως,. Οπότε, αρκεί να αποδείξουμε ότι., ή αρκεί να αποδείξουμε ότι,. ή.. =, αρκεί να αποδείξουμε ότι., ή ότι. 0, ή ότι 0, που ισχύει. 5. Θεωρούμε κύκλο (Ο, R), διάμετρό του και μία χορδή του που τέμνει την στο Ε και σχηματίζει με αυτή γωνία 5 ο. Να αποδείξετε ότι + Ο Μ = R. Ε Φέρουμε ΟΜ και την ακτίνα Ο. Τότε, το Μ είναι μέσο της και το τρίγωνο ΟΜΕ ορθογώνιο και ισοσκελές. + = = = EM M + + ΕΜ. Μ + + Μ. ΕΜ + + = ( + ) (1) Πυθαγόρειο στο τρίγωνο ΜΟ + = = R. (1) + = R. 6. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ = 1 ) και το ύψος του. ν x, y και ω είναι αντίστοιχα τα μήκη οποιωνδήποτε ομόλογων γραμμικών στοιχείων των τριγώνων (π.χ. διαμέσων, υψών, ακτίνων εγγεγραμμένων κύκλων κτλ.),,, τότε x + y =. γ β α ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 13

14 Τρ. όμοιο του τρ. x x = (1) Τρ. όμοιο του τρ. y y = () (1) + () x + y = + x y = x y =1 x + y = ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 1

15 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ εωμετρικές κατασκευές 1. ν α, β είναι γνωστά τμήματα, να κατασκευάσετε το τμήμα k, που ορίζεται από την ισότητα:. (i) Η δοσμένη ισότητα γράφεται ισοδύναμα k = α +β, οπότε το ζητούμενο τμήμα k είναι υποτείνουσα ορθογώνιου τριγώνου με κάθετες πλευρές α, β. Επομένως, αν πάνω στις κάθετες πλευρές Ox, Oy μίας ορθής γωνίας xôy πάρουμε αντίστοιχα τα σημεία,, ώστε Ο=α και Ο=β, τότε = OA + OB = α + β και επομένως το τμήμα είναι το ζητούμενο τμήμα k. Είναι φανερό ότι το τμήμα k κατασκευάζεται για οποιαδήποτε τμήματα α, β. (ii) Η δοσμένη ισότητα γράφεται ισοδύναμα k = α -β η οποία σημαίνει ότι το ζητούμενο τμήμα k είναι η μία κάθετη πλευρά ορθογώνιου τριγώνου με υποτείνουσα α και άλλη κάθετη πλευρά το β. Η κατασκευή είναι όμοια της (i).. ν α, β είναι γνωστά τμήματα, να κατασκευάσετε το τμήμα x, που ορίζεται από την ισότητα χ= το τμήμα x είναι η μέση ανάλογος των α, β. Η δοσμένη ισότητα γράφεται ισοδύναμα x = αβ η οποία σημαίνει ότι το x είναι το ύψος του ορθογώνιου τριγώνου, που χωρίζει την υποτείνουσα σε δύο τμήματα ίσα με α και β αντίστοιχα. Παίρνουμε επομένως σε μία ευθεία διαδοχικά τα τμήματα =α και =β.ράφουμε ημικύκλιο διαμέτρου και στο υψώνουμε κάθετο στην, που τέμνει το ημικύκλιο στο. Σχηματίζουμε το τρίγωνο το οποίο είναι ορθογώνιο (=1 ). Επομένως έχουμε = = αβ και κατά συνέπεια το τμήμα είναι το ζητούμενο. Είναι φανερό ότι το τμήμα x κατασκευάζεται για οποιαδήποτε τμήματα α, β. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 15

16 3. ν α είναι γνωστό τμήμα, να κατασκευασθεί τμήμα ίσο με με ν φυσικό μεγαλύτερο ή ίσο του δύο. ν τότε x = α = α + α, η οποία σημαίνει ότι το x μπορεί να κατασκευασθεί ως υποτείνουσα ορθογώνιου και ισοσκελούς τριγώνου με κάθετες πλευρές ίσες με α. Έτσι το Ο είναι το ζητούμενο τμήμα. ν που σημαίνει ότι το y είναι υποτείνουσα ορθογώνιου τριγώνου με κάθετες πλευρές α και x. ν λοιπόν φέρουμε κάθετο στην Ο στο και πάνω σε αυτή πάρουμε σημείο, ώστε =α, τότε, δηλαδή y = Ο. Συνεχίζοντας με αυτόν τον τρόπο κατασκευάζουμε διαδοχικά τα τμήματα. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 16

17 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ενίκευση του Πυθαγόρειου θεωρήματος 1. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε την γενίκευση του Πυθαγορείου θεωρήματος για οξείες γωνίες. Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δυο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο κατά το διπλάσιο γινόμενο της μίας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή. ν δηλαδή σε ένα τρίγωνο είναι π.χ. A<90 ο τότε α = β + γ - β πόδειξη πό τα ορθογώνια τρίγωνα, έχουμε, με εφαρμογές του Πυθαγόρειου θεωρήματος αντίστοιχα : α = + και = γ -. Επειδή είναι A<90 ο αν < 1 το είναι μεταξύ των,, οπότε = β-. αν > 1 το είναι μεταξύ των,, οπότε = -β. πό τις δύο τελευταίες ισότητες προκύπτει ότι =(β-) = β + -β. Με αντικατάσταση αυτής της σχέσης και της = γ - στην α = + προκύπτει ότι α = γ - + β + -β = β + γ -β, δηλαδή η ζητούμενη ισότητα. αν τέλος =1, το συμπίπτει με το και το ορθογώνιο τρίγωνο δίνει α = γ - β που γράφεται α = β + γ -β, αφού = β.. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε την γενίκευση του Πυθαγορείου θεωρήματος για αμβλείες γωνίες. Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από αμβλεία γωνία είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, αυξημένο κατά το διπλάσιο γινόμενο της μίας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 17

18 ν δηλαδή σε ένα τρίγωνο είναι π.χ. A > 1 και η προβολή της πλευράς γ πάνω στη β, τότε ισχύει α = β + γ + β. πόδειξη πό τα ορθογώνια τρίγωνα και, παίρνουμε αντίστοιχα: α = + και = γ -. Επειδή A > 1, το βρίσκεται στην προέκταση της προς το και επομένως = β+ οπότε = (β + ) = β + + β. Με αντικατάσταση των σχέσεων = γ - και = (β + ) = β + + β στη σχέση α = +, προκύπτει η ζητούμενη ισότητα α = γ - + β + + β = β + γ + β. 3. (Πόρισμα) Σε κάθε τρίγωνο ισχύουν οι ισοδυναμίες: (i) α < β + γ, αν και μόνο αν A<1, (ii) α = β + γ, αν και μόνο αν A=1, (iii) α > β + γ, αν και μόνο αν A>1. πόδειξη πό το Πυθαγόρειο θεώρημα και τις γενικεύσεις του Πυθαγορείου θεωρήματος προκύπτει άμεσα ότι σε κάθε τρίγωνο έχουμε : (i) α < β + γ, αν και μόνο αν A<1, (ii) α = β + γ, αν και μόνο αν A=1, (iii) α > β + γ, αν και μόνο αν A>1. ποδεικνύεται όμως, με απαγωγή σε άτοπο ότι ισχύει και το αντίστροφο των (i), (ii), (iii). Πράγματι, αν π.χ. ισχύει α < β + γ δεν μπορεί να ισχύει A=1 ή A>1, γιατί τότε από τις (ii) και (iii) θα είχαμε α = β + γ ή α > β + γ αντίστοιχα, που είναι άτοπο, αφού α < β + γ. Άρα A<1. Όμοια αποδεικνύονται και οι άλλες περιπτώσεις.. Που χρησιμοποιείται το προηγούμενο πόρισμα ; Σύμφωνα με το πόρισμα αυτό και επειδή σε κάθε τρίγωνο η μεγαλύτερη πλευρά βρίσκεται απέναντι στη μεγαλύτερη γωνία, συγκρίνοντας το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς ενός τριγώνου με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων πλευρών του, διαπιστώνουμε αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο, ορθογώνιο ή αμβλυγώνιο. 5. ν σε ένα τρίγωνο είναι α=8, β=10 και γ=7, αποδείξτε ότι το τρίγωνο θα είναι οξυγώνιο. πόδειξη ν σε ένα τρίγωνο είναι α=8, β=10 και γ=7, θα έχουμε β =100, α + γ = =113 δηλαδή β < α + γ, οπότε <90 ο είναι η μεγαλύτερη γωνία του τριγώνου, το τρίγωνο θα είναι οξυγώνιο. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 18

19 6. Να διατυπώσετε το νόμο συνημιτόνων. Νόμος συνημιτόνων : Σε κάθε τρίγωνο ισχύουν οι σχέσεις : α = β + γ - βγ συν β = α + γ αγ συν γ = α + β αβ συν. 7. ν μεταξύ των πλευρών α, β, γ ενός τριγώνου ισχύει (i) να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο, (ii) να υπολογίσετε τη γωνία. (i) πό τη δοσμένη ισότητα προκύπτει ότι η γ είναι η μεγαλύτερη πλευρά και επιπλέον ότι γ > α + β, οπότε η γωνία είναι αμβλεία. (ii) Επειδή η γωνία είναι αμβλεία, σύμφωνα με το θεώρημα αμβλείας γωνίας έχουμε: γ = α + β + α (1). πό την υπόθεση όμως έχουμε πό τις (1) και () προκύπτει ότι στο τρίγωνο έχουμε ότι εξ = 30 και επομένως = 150. Εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα που σημαίνει 8. Το ύψος υ α ενός τριγώνου δίνεται από τον τύπο όπου τ = 1 (α + β + γ) η ημιπερίμετρος του τριγώνου. νάλογες εκφράσεις ισχύουν και για τα άλλα ύψη υ β και υ γ. Aπόδειξη Εστω ένα τρίγωνο και το ύψος του υα. πό το ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε υ = γ - (1). Πρέπει επομένως να υπολογίσουμε την προβολή της γ πάνω στην α. ν 1, από το τρίγωνο έχουμε β = α + γ -α ή ν 1, από το τρίγωνο έχουμε ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 19

20 με αντικατάσταση της οποίας στην (1) παίρνουμε: Επειδή α+β+γ =τ, θα είναι α+γ-β=τ-β-β=(τ-β), α+β-γ=(τ-γ) και β+γ-α=(τ-α), οπότε η () γίνεται: από την οποία προκύπτει το ζητούμενο. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 0

21 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ενίκευση του Πυθαγόρειου θεωρήματος Ε Ερωτήσεις κατανόησης 1.Στο παρακάτω σχήμα να συμπληρώσετε τα κενά i) = + +. ii) = + +.Ε.Να βρεθεί το είδος των γωνιών του τριγώνου όταν i) β = 3α + γ ii) γ = α β iii) α β = γ i) β = 3α + γ > α + γ ˆ >90 ο, οπότε το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο ii) γ = α β α = β + γ ˆ = 90 ο, οπότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο iii) α β = γ α = β +γ > β + γ ˆ > 90 ο, οπότε το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο 3. ν β η πλευρά αμβλυγωνίου τριγώνου, τότε.. > α +.. (Να συμπληρώσετε τα κενά ) ν β η μεγαλύτερη πλευρά αμβλυγωνίου τριγώνου, τότε β > α + γ.. ν στο παρακάτω σχήμα είναι = και ˆ =10 ο, να δικαιολογήσετε γιατί α = 3β γ 10 ο α β πό τον νόμο των συνημιτόνων έχουμε α = β + γ βγσυν ˆ α = β + β β συν10 ο α = β + β β 1 ( ) = 3β ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 1

22 σκήσεις Εμπέδωσης 1.Να εξετάσετε αν υπάρχει τρίγωνο με α = 6μ, β = 5μ, γ = μ, όπου μ θετική παράμετρος. Να εξετασθεί το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του. ια να υπάρχει τρίγωνο με πλευρές α, β, γ πρέπει και αρκεί Άρα ˆ οξεία. μ < 6μ < 9μ, που ισχύει. Άρα υπάρχει τέτοιο τρίγωνο. Η γωνία ˆ βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά α, άρα είναι η μεγαλύτερη γωνία του τριγώνου. Και επειδή αυτή είναι οξεία, θα είναι και οι άλλες. Άρα το τρίγωνο είναι οξυγώνιο.. Υπάρχει τρίγωνο με μήκη πλευρών α = 6, β = 5, γ = ; ν ναι, να υπολογισθούν τα ύψη του τριγώνου. ια να υπάρχει τρίγωνο με πλευρές α, β, γ πρέπει και αρκεί < 6 < 9, που ισχύει. Άρα υπάρχει τέτοιο τρίγωνο. = = Ομοίως 3 7 και = = ίνεται τρίγωνο με, 1 3,. Να υπολογισθεί η γωνία ˆ.. ˆ ˆ ˆ 6 3 = 1 3 ˆ ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ

23 ˆ = 1 3 = = ˆ = 3 ˆ ˆ ˆ = 30 ο.. ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο με =, = 5 και ˆ = 30 ο, όπου το ύψος του. Να υπολογισθεί η πλευρά του. Στο τρίγωνο θα έχουμε ˆ = 60 ο. ˆ = = 1 0 = 1 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 3

24 ποδεικτικές σκήσεις 1.Οι πλευρές ενός τριγώνου έχουν μήκη = 9, = 7 και = 1. Να υπολογισθεί το μήκος της προβολής της πάνω στην. η προβολή της πάνω στην Άρα Άρα > ˆ αμβλεία.. 1 = = 1 = 1 18 = 7 9.Να αποδείξετε ότι σε κάθε τραπέζιο με βάσεις, ισχύει ότι = + +. Έστω ˆ, ˆ οξείες. Φέρουμε Κ και Λ κάθετες στη. Κ Λ Προσθέτουμε κατά μέλη: = Τρ.: Τρ.: + = + = + +. Κ. Λ. Κ. Λ = = ΛΚ ορθογώνιο ΚΛ = (1) = ( Κ Λ) +. ΚΛ (1) ν, είναι ύψη ενός οξυγωνίου τριγώνου, να αποδείξετε ότι = β + γ. γ α β = = + β + γ Προσθέτουμε κατά μέλη + = + + ( β + γ ) ( β + γ ) = β + γ = ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ

25 .ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ 1 ). Προεκτείνουμε την πλευρά κατά =. Να αποδείξετε ότι =.. Τρ.: = = = = ( + ) = ( + ) =. 5.Σε ισοσκελές τρίγωνο ( = ) φέρουμε παράλληλη της, που τέμνει τις και στα και Ε αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι = +. Ε. Ε Φέρουμε Κ, ΕΛ κάθετες στη. Στο τρίγωνο Ε έχουμε = +. Λ = + ( Λ) (1) K Λ τρ.κ = τρ.ελ Κ = Λ. Άρα Λ = Λ Κ = ΚΛ = Ε (1) = +. Ε. 6.ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ 1 ) με πλευρές α, β, γ. Υπάρχει τρίγωνο με πλευρές 5,, 3 ; Ορθογώνιο τρίγωνο = + Πρέπει να ισχύει 5 < < 3 5 < 16 + βγ ( + 5 ) < 16 + βγ < 16 + βγ βγ < που είναι αδύνατο. Άρα δεν υπάρχει τέτοιο τρίγωνο. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 5

26 Σύνθετα Θέματα 1.ίνεται ισοσκελές τρίγωνο με = και ˆ = 30 ο. Να αποδείξετε ότι 3. = + ββσυν 0 30 = + = = 3 ( 3 ) 3 3.ίνεται κύκλος διαμέτρου και μία χορδή του. ν Μ είναι τυχαίο σημείο της, να αποδείξετε ότι Κ Μ Λ + = +. Φέρουμε τις,, και έστω Κ, Λ οι προβολές των, στην. Τότε ισοσκελές τραπέζιο, ΚΛ ορθογώνιο και Κ = Λ Τρ.Μ: Τρ.Μ: = + Μ. Κ = + Μ. Λ Προσθέτουμε: + = + + Μ. Κ Μ. Λ. ρκεί να αποδείξουμε ότι Μ. Κ Μ. Λ = 0, ή Μ. Κ Μ. Λ = 0. Όμως, από το ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε = Κ., οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι Κ. Μ. Κ Μ. Κ = 0, ή Μ Μ= 0, που ισχύει. 3.ίνεται τρίγωνο με οξυγώνιο. πό την υπόθεση (1) + () + 3 = > = Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι 3 3 > και > και > και 3 (1) και 3 3 > ( ) > 3 > 3 () ˆ οξεία. Επειδή όμως και, δηλαδή η α είναι η μεγαλύτερη πλευρά, η ˆ θα είναι η μεγαλύτερη γωνία. Άρα το τρίγωνο οξυγώνιο. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 6

27 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Θεωρήματα διαμέσων 1. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το 1ο θεώρημα διαμέσων. 1ο θεώρημα διαμέσων : Το άθροισμα των τετραγώνων δυο πλευρών ενός τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της διαμέσου που περιέχεται μεταξύ των πλευρών αυτών, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου της τρίτης πλευράς. πόδειξη Έστω τρίγωνο, η διάμεσος AM = μα και το ύψος. ν >, τότε το ίχνος του υα βρίσκεται μεταξύ των, Μ (σχ.1) και Μ>1, ενώ Μ (i) = Μ + Μ + Μ Μ (ii) = Μ +Μ -Μ Μ Προσθέτοντας κατά μέλη αυτές τις σχέσεις και λαμβάνοντας υπόψη ότι Μ = Μ έχουμε: νάλογα έχουμε και τους ακόλουθους τύπους:. Να γράψετε τους τύπους υπολογισμού των διαμέσων ως συνάρτηση των πλευρών του τριγώνου. 3. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το 1ο θεώρημα διαμέσων. ο θεώρημα διαμέσων : Η διαφορά των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται με το διπλάσιο γινόμενο της τρίτης πλευράς επί την προβολή της αντίστοιχης διαμέσου πάνω στην πλευρά αυτή. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 7

28 πόδειξη Έστω τρίγωνο, η διάμεσος AM = μα και το ύψος. ν >, τότε το ίχνος του υα βρίσκεται μεταξύ των, Μ και Μ>1, ενώ Μ (i) = Μ + Μ + Μ Μ (ii) = Μ +Μ -Μ Μ φαιρώντας κατά μέλη τις παραπάνω σχέσεις βρίσκουμε ότι : ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 8

29 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ασικοί γεωμετρικοί τόποι 1. Έστω, δύο σταθερά σημεία και k ένα δοσμένο τμήμα. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων, των οποίων το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων από τα, ισούται με k. Έστω Μ ένα σημείο του γεωμετρικού τόπου. Σύμφωνα με το πρόβλημα θα είναι : AM + BM = k (1). ν Ο είναι το μέσο του, τότε από το 1ο θεώρημα των διαμέσων θα έχουμε πό την ισότητα αυτή βλέπουμε ότι το τμήμα ΜΟ έχει σταθερό μήκος. Έτσι το Μ απέχει από το σταθερό σημείο Ο σταθερή απόσταση ίση με άρα βρίσκεται στον κύκλο ντίστροφα. Θα αποδείξουμε ότι κάθε σημείο Μ του κύκλου είναι και το σημείο του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου, δηλαδή ότι ισχύει Μ + MB = k. Πράγματι, από το 1ο θεώρημα διαμέσων έχουμε Επομένως ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ο κύκλος που έχει κέντρο Ο το μέσο του τμήματος και ακτίνα ίση με ιερεύνηση. παραίτητη προϋπόθεση για να υπάρχει γεωμετρικός τόπος είναι Όταν έχουμε ισότητα ο γεωμετρικός τόπος αποτελείται μόνο από το σημείο Ο.. Έστω, δυο σταθερά σημεία και k ένα σταθερό τμήμα. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων, για τα οποία η διαφορά των τετραγώνων των αποστάσεών τους από τα, ισούται με k. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 9

30 Έστω Μ ένα σημείο του γεωμετρικού τόπου. Σύμφωνα με το πρόβλημα (για Μ > Μ) είναι Μ - Μ = k (1). Έστω Ο το μέσο του και ε η ευθεία ΜΗ όπου Η προβολή του Μ πάνω στην. πό το ο θεώρημα των διαμέσων έχουμε ότι Μ - Μ = ΟΗ <=> k = OH <=> OH = k / Η ισότητα αυτή δείχνει ότι το τμήμα ΟΗ είναι σταθερό. Παρατηρούμε ότι η προβολή του Μ πάνω στο είναι σταθερή, άρα το Μ βρίσκεται στην ευθεία ε στο σημείο Η, όπου k / και βρίσκεται μεταξύ των σημείων Ο,. ντίστροφα. Έστω σημείο Η μεταξύ των Ο, τέτοιο, ώστε k / πό το Η φέρουμε την κάθετη ευθεία ε στην και έστω Μ τυχαίο σημείο της ε. Θα αποδείξουμε ότι το Μ είναι σημείο του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου. Πράγματι από το ο.θεώρημα διαμέσων έχουμε Επομένως ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ε. ιερεύνηση. ν k = 0 είναι MA - MB = 0 ή Μ = Μ, οπότε το Μ ισαπέχει από τα σημεία,. Τότε ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η μεσοκάθετος του τμήματος. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 30

31 A ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Θεωρήματα διαμέσων Ερωτήσεις κατανόησης 1.Στο παρακάτω σχήμα η Μ είναι διάμεσος και ύψος. Ποια από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστή. ιτιολογήστε την απάντηση σας. i) + = Μ + Μ ii) + = Μ + iii) + = Μ iν) = Μ + Μ B Μ Σωστή σχέση είναι η (i) διότι : + = Μ + = Μ ( ) + = Μ + = Μ + Μ. Στο παρακάτω σχήμα να συμπληρώστε τα κενά. Να εξηγήσετε γιατί Μ + Μ = Μ + Μ Μ i) Μ + Μ =. ii) Μ + Μ =.. Ο Εξήγηση i) Μ + Μ = ΜΟ + ii) Μ + Μ = ΜΟ + φού =, τα δεύτερα μέλη των (i) και (ii) είναι ίσα, άρα και τα πρώτα. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 31

32 3.Σε τρίγωνο είναι β + γ = 5α Τότε α. μ α = β. μ α = 3 γ. μ α = 3 δ. μ α = 3 Κυκλώστε την σωστή απάντηση και δικαιολογήστε την απάντηση σας = = ( ) 10 9 = οπότε μ α = 3 ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 3

33 σκήσεις Εμπέδωσης 1. Σε τρίγωνο έχουμε β = 7, γ = 6 και = 7. Να υπολογισθούν i) η πλευρά α ii) η προβολή της διαμέσου στη. i) = + + = + + = 7 = = = = 11 Άρα α = 11 ii) Έστω x η προβολή της διαμέσου = α x στη. 7 6 =.11. x 9 36 = x 13 = x x = 13.Να αποδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ισχύει ρκεί να αποδείξουμε ότι ή ότι ή ότι ή ότι + βγ > + βγ > + βγ > + βγ > + βγ > ή ότι ή ότι β + γ > α που ισχύει από την τριγωνική ανισότητα. 3. ίνεται κύκλος (Ο, R), μια διάμετρός του και έστω, τα μέσα των Ο και Ο αντίστοιχα. ν + = 5, όπου Μ τυχαίο σημείο του κύκλου, να υπολογισθεί η ακτίνα του κύκλου. M Στο τρ.μ : + = + O 5 = 10 = R + R + R R ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 33

34 10 = 5 R R = R =.ίνεται τρίγωνο και έστω Θ το βαρύκεντρό του. Να αποδείξετε ότι: i) + + = 3 ( + + ) ii) + + = 1 3 ( + + ) i) + + ii) Θ = = + = 1 ( = 1 ( ) = 3 ( + = 9 = = 9 ( + = 9 και κυκλικά + 3 ( + + ) ) = 1 3 ( + ) ). + ) ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 3

35 ποδεικτικές σκήσεις 1.ίνεται τρίγωνο με ˆ = 60 ο, β = 5, γ = 3. Να υπολογισθεί η διάμεσός του. = + - βγ συν ˆ = συν60 ο = = 3 15 = 19 = = = = = 9 Άρα = 7. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( = ) και τυχαίο σημείο της.. Να αποδείξετε ότι = Έστω Μ το μέσο της και Κ. K M ο θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο : - =. ΜΚ. ρκεί να δειχθεί ότι. ΜΚ = ΜΚ. =. ΜΚ. = ΜΚ. = Μ. που ισχύει από θεώρημα Θαλή, αφού Κ Μ 3. i) ν ορθογώνιο και Μ τυχαίο σημείο, να αποδείξετε ότι MA + M = M + M ii) ν τετράγωνο και σημείο Μ στο εσωτερικό του, ώστε Μ = 1, Μ = και Μ = 3, να βρεθεί η πλευρά του τετραγώνου. i) Μ Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ Φέρουμε τις διαγώνιες,, οι οποίες διχοτομούνται στο Ο. 35

36 τρ.μ: τρ.μ: Τα δεύτερα μέλη είναι ίσα, άρα και τα πρώτα. MA + M + M = M = M + M + ii) 1 Μ i) MA + M = = + M = M = M M + M 3 Έτσι είναι Μ = Μ, άρα το Μ είναι σημείο της μεσοκαθέτου του τμήματος, δηλαδή σημείο της διαγωνίου. Έστω α η πλευρά του τετραγώνου. Τότε = α = α α = 1 3. ν Μ, Ν είναι τα μέσα των διαγωνίων, ενός τετραπλεύρου, να αποδείξετε ότι = + +. (Θεώρημα Euler) N M τρ.ν διάμεσο ΝΜ : (1) Τρ. με διάμεσο Ν: + = + Τρ. με διάμεσο Ν: + = + Προσθέτουμε κατά μέλη = ( + ) + = + = ( + ) + = + + (1) 5.Στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου θεωρούμε τα σημεία και Ε τέτοια, ώστε = Ε = Ε. Να αποδείξετε ότι + = 5 9. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 36

37 Μ μέσο του Ε άρα και της = α M Ε Τρ.Ε με διάμεσο Μ: + = + αλλά Μ = και Ε = 3 Άρα + = = 9 = = = = ν σε τρίγωνο ισχύει Είναι + = + Η υπόθεση + = + = γίνεται + + +, να υπολογισθεί η γωνία ˆ. = = 0 0 =0 ˆ = 90 ο ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 37

38 Σύνθετα Θέματα 1.ύο αδέλφια κληρονόμησαν αγροτεμάχιο σχήματος τραπεζίου και αποφάσισαν να το μοιράσουν ανοίγοντας δρόμο που θα ενώνει τα μέσα των παράλληλων πλευρών του. ν οι βάσεις είναι 8km και 6km, ενώ οι μη παράλληλες πλευρές 5km και 6km, πόσο θα στοιχίσει η διάνοιξη του δρόμου, αν ένα χιλιόμετρο δρόμου κοστίζει δρχ. 3 Κ 3 το αγροτεμάχιο - τραπέζιο Κ, Λ τα μέσα των βάσεων 5 6 Φέρουμε ΚΕ και ΚΖ. Τότε δύο παραλληλόγραμμα, άρα Ε Λ Ζ ΚΛ διάμεσος του τριγώνου ΚΕΖ ΚΕ = = 5, ΚΖ = = 6 και ΛΕ = ΛΖ = Λ Ζ = Κ = 3 = 1 =.5.6 = 50 7 = = 118 = Άρα ΚΛ = km... ίνεται τρίγωνο, με > και Μ, Ν τα μέσα των πλευρών και αντίστοιχα. ν Ο το μέσο του ΜΝ, να αποδείξετε ότι - = Φέρουμε το Ο. ΟΜ διάμεσος του τριγώνου Ο Ο + = + (1) Μ Ν ΟΝ διάμεσος του τριγώνου Ο + = + () (1) () = ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 38

39 3. Σε ημικύκλιο διαμέτρου = α θεωρούμε τυχαίο σημείο Μ. Χωρίζουμε τη διάμετρο σε τρία ίσα τμήματα = =. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα M + MB + M + είναι σταθερό. Πυθαγόρειο στο τρ.μ: M M + MB = (1) (1) + () Έστω Ο το κέντρο του ημικυκλίου. 1 ο Θ. διαμέσων στο τρ.μ: O M + = + M + = 3 + = + 9 = 0 + = () 9 9 M + MB + M + = = σταθερό ίνεται ρόμβος πλευράς α, Ο το κέντρο του και κύκλος (Ο, λα), λ > 0. ν για τυχαίο σημείο Μ του κύκλου ισχύει M + MB + M + = 18, να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ. O M 1 ο Θ. διαμέσων στο τρ.μ: M + = + = Ομοίως 1 ο = + 1 = = + (1) Θ. διαμέσων στο τρ.μ: MB + = + () (1) + () M + MB + M + = + ( + ) (3) Πυθαγόρειο στο τρ.ο: + = =. (3) M + MB + M + = 18 = 18 = ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 39

40 = 16 = άρα 5.ίνεται ρόμβος πλευράς α, με διαγώνιο = α. Έστω τυχαίο σημείο Ρ. Να αποδείξετε ότι = ( ) + ( ). Ρ ρκεί να δειχθεί ότι = + ( + ) Ο 1 ο Θ. διαμέσων στο τρ.ρ: + = + = + 1 = + (1) Ομοίως 1 ο Θ. διαμέσων στο τρ.ρ: (1) () + + = ( + ) = + () 3 = 3 = 3 = = =. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 0

41 ΚΕΦΛΙΟ 9ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Μετρικές σχέσεις σε κύκλο Τέμνουσες κύκλου 1. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το θεώρημα δύο τεμνόμενων χορδών ενός κύκλου. Θεώρημα (τεμνόμενων χορδών - ΘΤΧ): ν δυο χορδές, ή οι προεκτάσεις τους τέμνονται σε ένα σημείο Ρ, τότε ισχύει : Ρ Ρ = Ρ Ρ. πόδειξη Τα τρίγωνα Ρ και Ρ είναι όμοια, αφού ΡA = Ρ και Ρ = Ρ (Στο 1ο σχήμα έχουμε ότι ΡA = Ρ γιατί το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και η ΡA είναι εξωτερική του γωνία. Στο ο σχήμα ΡA = Ρ ως εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο). Επομένως, ισχύει ότι ΣΧΟΛΙΟ Παρατηρούμε λοιπόν ότι τα γινόμενα των τμημάτων που ορίζουν οι τέμνουσες ενός κύκλου Ρ 1 Ρ, Ρ 1 Ρ, Ρ 1 Ρ,... παραμένουν σταθερά. Το γεγονός αυτό μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι τα γινόμενα αυτά εξαρτώνται μόνο από τις θέσεις του σημείου Ρ και του κύκλου (O,R).. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το θεώρημα τέμνουσας και εφαπτομένης σε έναν κύκλο. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 1

42 Θεώρημα (Τέμνουσας και εφαπτομένης - ΘΤΕ): ν από ένα εξωτερικό σημείο Ρ κύκλου (O,R) φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα ΡΕ και μία ευθεία που τέμνει τον κύκλο στα σημεία,, τότε ισχύει ότι : ΡΕ = Ρ Ρ. πόδειξη Φέρουμε την ευθεία ΡΟ η οποία τέμνει τον κύκλο στα σημεία και. Θέτουμε ΟΡ = δ, οπότε από το θεώρημα τεμνόμενων χορδών έχουμε ότι: πό το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΡΟΕ προκύπτει ότι 3. Να δοθεί ο ορισμός της δύναμης ενός σημείου Ρ ως προς κύκλο (Ο,R). Η διαφορά δ -R λέγεται δύναμη του σημείου Ρ ως προς τον κύκλο (O,R) και συμβολίζεται Σημείωση : ν μια ευθεία διέρχεται από ένα εξωτερικό σημείο Ρ κύκλου (Ο,R) και τέμνει τον κύκλο σε σημεία, τότε Ρ Ρ = δ - R. Όμοια αποδεικνύεται ότι Ρ Ρ = R - δ, αν το Ρ είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου.. Πως σχετίζεται η δύναμη σημείου Ρ κύκλο (Ο,R) με την θέση του σημείου Ρ ως προς τον κύκλο ; ς εξετάσουμε τι ς προς συμβαίνει όταν το Ρ είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου ή όταν ανήκει σε αυτόν. Τότε η δύναμη του σημείου P ως προς τον κύκλο (O,R) είναι αρνητική ή ίση με το μηδέν αντίστοιχα. Επεκτείνοντας, λοιπόν, τον ορισμό της δύναμης σημείου ως προς κύκλο καταλαβαίνουμε ότι ουσιαστικά εκφράζει τη σχετική θέση του σημείου Ρ ως προς τον κύκλο (O,R), καθώς εξαρτάται μόνο από το δ, δηλαδή την απόσταση του Ρ από το κέντρο του κύκλου. Επομένως, έχουμε ότι: ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ

43 το Ρ είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου (O,R) αν και μόνο αν το Ρ είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου (O,R) αν και μόνο αν το Ρ είναι σημείο του κύκλου (O,R) αν και μόνο αν 5. ν δύο τμήματα και ή οι προεκτάσεις τους τέμνονται σε ένα σημείο Ρ έτσι ώστε Ρ Ρ = Ρ Ρ, τότε το τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία,,, είναι εγγράψιμο. πόδειξη ς θεωρήσουμε το σημείο τομής Ρ των τμημάτων AB, ή των προεκτάσεών τους. Η δοσμένη σχέση Ρ Ρ = Ρ Ρ γράφεται ΡΡ = ΡΡ και αφού Ρ = Ρ, τα τρίγωνα Ρ και Ρ θα είναι όμοια. Επομένως Ρ = Ρ, οπότε το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο ΠΡΤΗΡΗΣΗ : Η εφαρμογή εκφράζει το αντίστροφο του θεωρήματος τεμνόμενων χορδών. 6. ς θεωρήσουμε ευθεία ε και τρία σημεία της Ρ,,, με το μεταξύ των Ρ και. Έστω σημείο Ε εκτός της ευθείας ε τέτοιο, ώστε ΡΕ = Ρ Ρ. Τότε το τμήμα ΡΕ είναι εφαπτόμενο στον κύκλο, που ορίζουν τα σημεία,, Ε. πόδειξη Έστω (O,R) ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία,, Ε. Τότε ΡΕ = Ρ Ρ = ΟΡ - R = OΡ - ΟΕ ή ΡΕ + ΟΕ = ΟΡ οπότε το τρίγωνο ΟΕΡ είναι ορθογώνιο και η ΡΕ εφάπτεται στον κύκλο (O,R). ΠΡΤΗΡΗΣΗ : Η εφαρμογή αυτή εκφράζει το αντίστροφο του θεωρήματος τέμνουσας και εφαπτομένης ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 3

44 7. ιαίρεση τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο (Χρυσή Τομή) :Να διαιρεθεί ένα τμήμα, σε δύο άνισα τμήματα, ώστε το μεγαλύτερο από αυτά να είναι μέσο ανάλογο του μικρότερου και του αρχικού ευθύγραμμου τμήματος. πόδειξη Έστω = α και = x το μεγαλύτερο από τα τμήματα στα οποία χωρίζεται το από το (σχ.1). Τότε = α - x και θα πρέπει να ισχύει η σχέση: = ή x = α(α-x) (1). Η σχέση (1) γράφεται x + αx - α = 0 ή x (x + α) = α (). Έτσι, για να κατασκευάσουμε το x γράφουμε κύκλο (Ο, που εφάπτεται στο ευθύγραμμο τμήμα στο σημείο και φέρουμε την Ο, η οποία τέμνει τον κύκλο στα σημεία, Ε. Τότε ισχύει ότι = Ε = ( + Ε) = ( + ) ή α = ( + α) οπότε το έχει το ζητούμενο μήκος και το είναι η τομή του κύκλου (, ) και του τμήματος. ΣΧΟΛΙΟ Το πρόβλημα της διαίρεσης ενός ευθύγραμμου τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο είναι γνωστό σήμερα και ως πρόβλημα της Χρυσής Τομής. Με το πρόβλημα αυτό επιλύεται γεωμετρικά η εξίσωση x = α(α - x) ή x + αx - α = 0. Η θετική ρίζα της εξίσωσης x + αx - α = 0 είναι από όπου προκύπτει ότι που είναι η αναλογία της «χρυσής τομής». παραπάνω λόγος συμβολίζεται διεθνώς με το γράμμα φ, δηλαδή Ο συμβολισμός προέρχεται από το όνομα του γλύπτη της κλασικής αρχαιότητας Φειδία ο οποίος κατασκεύασε τον Παρθενώνα. Οι αρχαίοι Έλληνες φιλόσοφοι διαπίστωσαν ότι όπου εμφανίζεται ο λόγος φ (αρχιτεκτονική, γλυπτική κτλ.), δημιουργεί την αίσθηση της αρμονίας. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ

45 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Μετρικές σχέσεις σε κύκλο Ερωτήσεις κατανόησης 1. Στα παρακάτω σχήματα να υπολογιστούν οι τιμές των x και ψ. Ν (α) x O Ρ 3 Θ x 6 Ε Κ Τ 1 Σ O ψ Μ Λ (β) Ζ O (γ) Στο σχήμα (α) Στο σχήμα (β) Στο σχήμα (γ) Ρ. Ρ = Ρ. Ρ ΣΚ. ΣΛ = ΣΜ. ΣΝ ΤΘ = ΤΕ.ΤΖ ( + ) = 3( 3+x). = ψ = (+x) + 8 = 9 + 3x 8 = ψ 9 = + x x = 1 5 = x. Ποια είναι η δύναμη σημείου Ρ ως προς τον κύκλο (Ο, R) όταν Ρ Ο =ΟΡ R = R (,R) 3.ν στο παρακάτω σχήμα είναι κύκλου M (,R) = 3, να υπολογίσετε την ακτίνα του Ο Μ = ΟΜ R 3 = M (,R) R R 3R = 1 R = ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 5

46 Κ σκήσεις Εμπέδωσης 1. ίνεται κύκλος (Κ, 6) και σημείο, ώστε Κ = 1. ν από το σημείο φέρουμε τέμνουσα που τέμνει τον κύκλο κατά χορδή = 6, να υπολογίσετε το. Έστω = x, τότε = x + 6 AB. = R x (x + 6) = 1 6 x 6x x 6x (1) = = = 676 (1) x = = = 6 6 = 0 3 = άρα x = 10. ν σε τρίγωνο ο κύκλος, που διέρχεται από το και τα μέσα Μ, Ν των και αντίστοιχα, εφάπτεται της στο, να αποδείξετε ότι =.. Φέρουμε το τμήμα ΜΝ. Μ Λ Ν Τότε ΜΝ και τέμνει το στο μέσο του Λ. Άρα ΜΛ = και ΛΝ= Λ, ΜΛΝ τέμνουσες του κύκλου Λ. Λ = ΛΜ. ΛΝ 1. 1 = 1. 1 =.. 3. Θεωρούμε κύκλο (Ο, R) και τις χορδές του, που τέμνονται στο Ρ. ν ισχύει ότι =, να αποδείξετε ότι οι χορδές, είναι ίσες. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 6

47 Ρ Ρ, Ρ τέμνουσες Ρ. Ρ = Ρ. Ρ πό υπόθεση έχουμε = Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη: Ρ = Ρ ιαιρούμε κατά μέλη: Ρ = Ρ. Να αποδείξετε ότι, η προέκταση της κοινής χορδής δύο τεμνόμενων κύκλων διχοτομεί κάθε κοινό εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα τους. Η κοινή χορδή τέμνει το κοινό εξωτερικό Μ εφαπτόμενο τμήμα σε σημείο Μ. Είναι M = Μ. Μ και M = Μ. Μ Άρα M = M Μ = Μ ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 7

48 ποδεικτικές σκήσεις 1. Τετράγωνο πλευράς α είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, R). ν Ε είναι το μέσο της και η Ε προεκτεινόμενη τέμνει τον κύκλο στο Ζ, να αποδείξετε ότι: 5 i) BE =, ii) BE = 5EZ i) Ζ Ε Ο Πυθαγόρειο στο τρ.ε: = + = + 5 BE = = = 5 (1) + ii) EB. EZ = EA. E 5 ΕΖ = 5 ΕΖ = πό τις (1), () ΕΖ = 5 BE = 5EZ. = 5 10 = ().πό σημείο εκτός κύκλου (Ο, R) φέρουμε τέμνουσα και εφαπτόμενο τμήμα. ν η διχοτόμος της γωνίας ˆ τέμνει τις, στα Ε και Ζ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι Ε. Ζ = Ε. Ζ. Θ. διχοτόμων στο τρ.: = Θ. διχοτόμων στο τρ.: = Ζ Ε ημιουργούμε το γινόμενο Ε. Ζ πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη =.. =. (1) επειδή όμως τέμνουσα και εφαπτομένη, θα έχουμε. (1) = 1 Ε. Ζ = Ε. Ζ.. =.. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 8

49 3. ν η διάμεσος Μ τριγώνου τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο Ε, να αποδείξετε ότι: i) AM. ME = ii) + = AM. AE. i) ΜΕ, Μ τέμνουσες MA. ME = MB. M ε Η Μ Κ Μ Ε ii) 1 ο Θ. διαμέσων: Μ O Ο Ν + = + = + (i) + Μ. ΜΕ MA. ME = MA. ME = = Μ (Μ + ΜΕ) = Μ. Ε.. ίνεται κύκλος (Ο, R) και ευθεία ε που δεν τέμνει τον κύκλο. πό σημείο Μ της ε φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα Μ, Μ και Ο ε. ν η τέμνει την Ο στο Ν, να αποδείξετε ότι ΟΝ. Ο = R. Φέρουμε την ΟΜ, η οποία είναι μεσοκάθετος της. Kˆ =1 ˆ ΚΝΜ εγγράψιμο ΟΝ. Ο = ΟΚ. ΟΜ (1) Τρ.ΟΜ ορθογώνιο με ύψος Κ R = = ΟΚ. ΟΜ () (1), () ΟΝ. Ο = R. 5. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( Â =1 ) εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, R) και το ύψος του. ν μεταβλητή ευθεία ε που διέρχεται από το τέμνει το ύψος στο Μ και τον κύκλο στο Η, να αποδείξετε ότι Μ. Η =. Φέρουμε την Η. ˆ =1 αφού βαίνει σε ημικύκλιο, αλλά και ˆ =1, οπότε ΗΜ εγγράψιμο Μ. Η =. (1) Τρ. ορθογώνιο με ύψος =. () (1), () Μ. Η =. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 9

50 Σύνθετα Θέματα 1. ν η διχοτόμος τριγώνου τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο Ε και είναι =., να αποδείξετε ότι =. Ε, τέμνουσες του κύκλου. Ε =., αλλά 1 =. άρα =. Ε = Ε 1 τρ.ε όμοιο του τρ.ε ( ˆ 1 ˆ ˆ 1 και ˆ κοινή) Ε = = Ε. Ε ρκεί να δειχθεί ότι = Ε. Ε, ή ότι Ε = Ε που ισχύει..ίνεται τρίγωνο με Μ =. ν η διάμεσος Μ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο, να αποδείξετε ότι Μ = 1 ο Θ.διαμέσων: = + =., αλλά άρα = + = = 3 3 Μ = (1) Μ, Μ τέμνουσες του κύκλου Μ. Μ = Μ. Μ 3 Μ = 3 Μ = (1) 3 Μ = = 3 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 50

51 3 3. Σε τρίγωνο είναι =. ν Μ το βαρύκεντρο του τριγώνου, να αποδείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου Μ εφάπτεται της στο. Μ = 3 3 = 3 = = 3 (1) ρκεί να αποδείξουμε ότι»» = Μ. = 1 3»» 1 = 3»» 3 = Έχουμε = = ( ) - (1). - = 3.. ίνεται τρίγωνο, η διχοτόμος του, η διάμεσός του Μ και ο περιγεγραμμένος κύκλος (Κ) του τριγώνου Μ. ν Ε, Ζ είναι τα σημεία τομής των και με τον κύκλο (Κ) αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι Ε = Ζ. Μ, Ε τέμνουσες του κύκλου Ε. =. Μ Μ, Ζ τέμνουσες του κύκλου Ζ. = Μ. Ε M Ζ BE ιαιρούμε κατά μέλη: Z = λλά από Θ. διχοτόμων είναι =. BE Άρα = 1 Ε = Ζ Z ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 51

52 Κ ενικές 9 ου κεφαλαίου 1.Έστω, δύο ευθύγραμμα τμήματα. Ικανή και αναγκαία συνθήκη, ώστε είναι να ισχύει =. Ευθύ: Έχουμε υπόθεση. Θα αποδείξουμε ότι = Έστω Κ το σημείο τομής των ευθειών,. Πυθαγόρειο στο τρ.κ : = + Πυθαγόρειο στο τρ.κ : = + φαιρούμε κατά μέλη: Ομοίως = = Άρα = ντίστροφο: Έχουμε υπόθεση θ Μ =. Θα αποδείξουμε ότι. Έστω >, τότε > πό την υπόθεση σημεία, θα ανήκουν στο ίδιο ημιεπίπεδο. > 0. > 0 > >. Άρα τα, βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς τη μεσοκάθετο Μθ του τμήματος. Φέρουμε, κάθετες στη, οπότε και τα ο Θ. διαμέσων στο τρ.: =. Μ ο Θ. διαμέσων στο τρ.: Άρα. Μ =. Μ άρα ευθεία κάθετη στη. =. Μ Μ = Μ τα, συμπίπτουν,.ίνεται τρίγωνο. ν είναι η διχοτόμος της γωνίας Â, να αποδείξετε ότι. = A +.. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 5

53 1 ράφουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου. Η προέκταση της διχοτόμου τέμνει τον κύκλο στο Ε. Ε Ε, τέμνουσες του κύκλου.ε =. (Ε ) =..Ε A =.. Ε = A +.. ρκεί να αποδείξουμε ότι. Ε =., ή ότι, ή ότι τρ. όμοιο του τρ.ε, που ισχύει, αφού ˆ 1 = ˆ και ˆ ˆ. (σε ίδιο τόξο) 3. ν Μ είναι το μέσο της πλευράς οξυγωνίου τριγώνου και ύψος του, να αποδείξετε ότι A = +.. Θ. επέκτασης του Πυθαγορείου: γ Άρα α M β +. = = + = + A. = A. = A. + = + = = =.Θεώρημα Stewart i) Έστω σημείο της πλευράς τριγώνου. Να αποδείξετε ότι. Κ +. 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ = ( +. ). ii) Να διατυπώσετε το θεώρημα Stewart, όταν το είναι ισοσκελές ( = ). i) α) Όταν η δεν είναι Έστω ˆ 1 αμβλεία και ˆ οξεία. 53

54 Φέρουμε Κ Τρ.: = + +. Κ Πολλαπλασιάζουμε τα δύο μέλη με. = Κ (1) Τρ.: = + +. Κ Πολλαπλασιάζουμε τα δύο μέλη με. = Κ () (1) + (). +. = ( + ) +. ( + ). +. = = ( +. ) β) Όταν κολουθούμε ίδια πορεία, αλλά με Πυθαγόρεια θεωρήματα. ii) Στην ισότητα που αποδείξαμε στο i), όπου θέτουμε. Η Τότε γ Ν β Θ = +. Μ α Ε 5. ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο με. Να αποδείξετε ότι: i) + = 5 ii) αν ύψος και Η το ορθόκεντρο του τριγώνου, τότε Η. =. i) Έστω Θ το κέντρο βάρους τρ.θ ορθογώνιο : = + = = = 5. ii) Φέρουμε το ύψος Ε και τις Ε, Η. Τα σημεία, Ε βλέπουν το τμήμα Η με ορθή γωνία ΕΗ εγγράψιμο Η. =. Ε (1) ˆ οξεία = +. Ε = 5. Ε. Ε =. Ε = = 9 ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 5

55 Η (1) Η. = 6. Σε οξυγώνιο τρίγωνο φέρουμε τη διάμεσο Μ. ν η προβολή του Μ πάνω στην, να αποδείξετε ότι = Στο τρίγωνο Μ έχουμε Ε Μ Η O B = = = + = = = ίνεται κύκλος (Ο, R), μια ακτίνα Ο και χορδή παράλληλη προς την Ο. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα + είναι σταθερό. Φέρουμε τη διάμετρο Ο και τη χορδή. Το τραπέζιο είναι εγγεγραμμένο, άρα είναι ισοσκελές, δηλαδή = Ο ˆ = 1 αφού βαίνει σε ημικύκλιο. Πυθαγόρειο στο τρ.: + = + = R + = R σταθερό. 8. ίνεται κύκλος (Ο, R), μία διάμετρος και, τα μέσα των Ο, Ο αντίστοιχα. ν μία χορδή ΕΗ που διέρχεται από το είναι ΕΗ = να αποδείξετε ότι ˆ E =1. ρκεί να αποδείξουμε ότι 13 R, + = 1 ο Θ. διαμέσων στο τρίγωνο Ε: + = + + = R R + = 5R 5R = (1) E ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 55

56 Ομοίως στο τρίγωνο Η: H = 5R H () (1) + () + = 5 R ( + H ) (3) Ε + Η = R 13 E = R H + Ε. Η = H = 13R 13R Ε. Η () ΕΗ, τέμνουσες του κύκλου Ε. Η =. = R 13R 3R 13R 6R () + H = = = 7R (3) + = 5 R 7R = 13R = R 13 = E 3R = 3R ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 56

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή ΚΦΛΙΟ 5ο ΠΡΛΛΗΛOΡΜΜ - ΤΡΠΙ ισαγωγή. Τι καλείται τετράπλευρο ; Πόσες διαγώνιες έχει ένα κυρτό τετράπλευρο ; Τι καλείται παραλληλόγραμμο και τι τραπέζιο ; Το ευθύγραμμο σχήμα που έχει τέσσερις πλευρές λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ. Στοιχεία και είδη τριγώνων. Τι καλούμαι κύρια στοιχεία ενός τριγώνου και συμβολίζεται η περίμετρος ενός τριγώνου ;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ. Στοιχεία και είδη τριγώνων. Τι καλούμαι κύρια στοιχεία ενός τριγώνου και συμβολίζεται η περίμετρος ενός τριγώνου ; ΚΕΦΛΙΟ 3ο ΤΡΙΩΝ Στοιχεία και είδη τριγώνων Τι καλούμαι κύρια στοιχεία ενός τριγώνου και συμβολίζεται η περίμετρος ενός τριγώνου ; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 1 7.8 7.9 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 162 163 ρωτήσεις Κατανόησης 1. Να εξηγήσετε γιατί τα ίχνη, της εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας τριγώνου είναι συζυγή αρμονικά των και. πάντηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10ο ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10ο ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΩΜΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΛΙΟ 0ο ΕΜ ΕΠΙΜΕΛΕΙ ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 57 ΚΕΦΛΙΟ 0ο ΕΜ Πολυγωνικά χωρία - Πολυγωνικές επιφάνειες. Τι καλούμαι πολυγωνικό χωρίο και πως ονομάζεται αυτό ; Πότε δύο πολυγωνικά χωρία λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179 8. 8. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 ρωτήσεις Κατανόησης. i) ν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε είναι όµοια; ii) ν δύο τρίγωνα είναι όµοια προς τρίτο τότε είναι µεταξύ τους όµοια πάντηση i) Προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd..0 σκήσεις σχολικού βιβλίου (σελ. 3 4) ρωτήσεις Κατανόησης. ύο διαφορετικές ευθείες μπορεί να έχουν i) κανένα κοινό σημείο ii) Ένα

Διαβάστε περισσότερα

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης 6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) :

5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) : 5.6 5.9 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 0 ρωτήσεις Κατανόησης. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ (α ) ( β ) A x x, 5 ( γ) ψ x +, 5 x, 5 ε ε ε ε 4 δ δ ε ε B ε ε 4 (δ ) ψ ψ x 60 o 4 (ε) B 5

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 015-016 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΡΘΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Το τμήμα ΒΔ λέγεται προβολή του.. πάνω στην Το τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Α λ γ ε β ρ Λ υ κ ε ι ο υ Γ ε ω μ ε τ ρ ι α Α Λ υ κ ε ι ο υ

Α λ γ ε β ρ Λ υ κ ε ι ο υ Γ ε ω μ ε τ ρ ι α Α Λ υ κ ε ι ο υ Κ Κ α α ι ι τ τ ο ο Λ Λ υ υ σ σ α α ρ ρ ι ι............ λ λ λ λ ι ι ω ς ς!!!!!! λ γ ε β ρ Λ υ κ ε ι ο υ ε ω μ ε τ ρ ι α Λ υ κ ε ι ο υ π ι μ ε λ ε ι α Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς w w w. d r m a t h s

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης 0. 0.3 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 7 8 Ερωτήσεις κατανόησης. Να γράψετε τους τύπους υπολογισµού του εµβαδού Τετραγώνου Ορθογωνίου i Παραλληλογράµµου iν) Τριγώνου ν) Τραπεζίου πάντηση Ε = α Ε = α β

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Θεώρημα οξείας γωνίας Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου 2 ο Θέμα. Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (14/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου 2 ο Θέμα. Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (14/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου ο Θέμα Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 1 η (14/11/014) Θέματα ης Ομάδας GI_V_GEO 18975 Δίνεται τρίγωνο ABΓμε AB=9, AΓ=15. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια: ιώργος Ράπτης ΘΕΤ ΣΤΗΝ ΕΩΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕ 1 ο. Να αποδείξετε ότι το εμβαδό τραπεζίου με βάσεις 1, και ύψος υ δίνεται από τον τύπο: ( 1+ ) υ Ε= ονάδες 1 B. ν φν, λν και αν είναι: η γωνία, η πλευρά

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. β γ α β. α γ β δ. Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. β γ α β. α γ β δ. Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας 114. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ

Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας 114. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ 5.0 5. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 4 5 ρωτήσεις κατανόησης σελίδας 4. Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ 3 3 (α) x 0 ψ 4 (β) x ψ 7 (γ) x (δ) θ x+ 3x ω 0 ο πάντηση + 0 Στο σχήµα (α) το

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το μισό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0

Διαβάστε περισσότερα

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 )

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες µη κυρτή ευθεία ( ) πλήρης (4 ) κυρτή, οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) συµπληρωµατικές παραπληρωµατικές φ ω ω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Σε τρίγωνο με > και ορθόκεντρο Η να δείξετε ότι: Δίνεται τρίγωνο στο οποίο ισχύει: α β γ βγ Να δείξετε ότι: A 10 Δίνεται τρίγωνο με πλευρές α, β, γ και διάμεσο μα ν ισχύει η

Διαβάστε περισσότερα

Καλή Επιτυχία!!! ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

Καλή Επιτυχία!!! ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 011 ΘΕΜΑ 1 Ο Να αποδείξετε ότι, σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο µιας κάθετης πλευράς του ισούται µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της στην

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

i) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2 ii) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2Α 2 iii) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΒΓ Μ iν) ΑΒ 2 ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2 = 2ΑΜ 2 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2

i) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2 ii) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2Α 2 iii) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΒΓ Μ iν) ΑΒ 2 ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2 = 2ΑΜ 2 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2 1 9.5 9.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 198 199 Ερωτήσεις κτνόησης 1. Στο πρκάτω σχήµ η Μ είνι διάµεσος κι ύψος. Ποι πό τις πρκάτω σχέσεις είνι σωστή. ιτιολογήστε την πάντηση σς. A i) Μ Μ ii) Μ iii)

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Αντιστοιχίστε κάθε µέγεθος της στήλης Α µε την τιµή του στην στήλη Β

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Αντιστοιχίστε κάθε µέγεθος της στήλης Α µε την τιµή του στην στήλη Β 1 11.6 11.8 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 50 51 Ερωτήσεις Κατανόησης 1. ντιστοιχίστε κάθε µέγεθος της στήλης µε την τιµή του στην στήλη Στήλη Στήλη Εµβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας Εµβαδόν κυκλικού τοµέα

Διαβάστε περισσότερα

7.7 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 156

7.7 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 156 1 7.7 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 156 ρωτήσεις ατανόησης 1. Στα παρακάτω σχήματα να βρείτε τα x, ψ (α) ε 1 ε x 1 2 ε 2 ψ 6 ε 2 3 3 ε 4 ε 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 3 ε 2 ε 1 ε 2 4 x 1,5 ψ 3 4 ε 3 (β) (γ) ε 1

Διαβάστε περισσότερα

5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Σε κύκλο (Ο, R) προεκτείνουµε µία διάµετρο του εκατέρωθεν των και και στις προεκτάσεις παίρνουµε τµήµατα = = R. Έστω ΕΜ τέµνουσα του κύκλου τέτοια ώστε Μ = R 7 Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός)

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) Τρίγωνα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) www.peira.gr asepfreedom@yahoo.gr 1 3.1 Στοιχεία και είδη τριγώνων 2 Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει τρεις κορυφές Α, Β, Γ, τρεις πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ και τρεις γωνίες Β ΑΓ,

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΠΝΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΙΟ ΠΙΜΛΙ ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΘΜΤ ΘΩΡΙΣ ΚΦΛΙΟ ο Τ ΣΙΚ ΩΜΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ ΘΜ ο Τι καλείται μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος και τι ισχύει γι αυτό ; ΠΝΤΗΣΗ Μέσο ενός ευθύγραμμου

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ. Ποιες οι σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο ; Πως ορίζονται οι παράλληλες ευθείες και πως συμβολίζονται ;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ. Ποιες οι σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο ; Πως ορίζονται οι παράλληλες ευθείες και πως συμβολίζονται ; ΚΦΛΙΟ 4ο ΠΡΛΛΗΛΣ ΥΘΙΣ Ποιες οι σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο ; Πως ορίζονται οι παράλληλες ευθείες και πως συμβολίζονται ; Οι σχετικές θέσεις δυο ευθειών ε και ε, οι οποίες βρίσκονται στο ίδιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου σελίδας 140

Γενικές ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου σελίδας 140 ενικές ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου σελίδας 40. ίνεται τρίγωνο ορθογώνιο στο. πό τα άκρα, της υποτείνουσας φέρουµε κάθετες x και y στη και προς το ίδιο µέρος της. πό το µέσο Μ της φέρουµε κάθετη στην, που τέµνει

Διαβάστε περισσότερα

1. Οµόλογες πλευρές : Στα όµοια τρίγωνα οι οµόλογες πλευρές βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες και αντίστροφα.

1. Οµόλογες πλευρές : Στα όµοια τρίγωνα οι οµόλογες πλευρές βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες και αντίστροφα. 1 1.5. ΟΜΟΙ ΤΡΙΩΝ ΘΩΡΙ 1. Όµοια τρίγωνα : ια τα όµοια τρίγωνα ισχύουν όλα όσα αναφέραµε στα όµοια πολύγωνα. 2. ποκλειστικά για τα τρίγωνα : ύο τρίγωνα είναι όµοια όταν έχουν δύο γωνίες ίσες ΣΧΟΛΙ 1. Οµόλογες

Διαβάστε περισσότερα

3.5 3.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48. Ερωτήσεις κατανόησης

3.5 3.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48. Ερωτήσεις κατανόησης .5.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48 ρωτήσεις κατανόησης. Έστω ευθεία ε και σηµείο εκτός αυτής. ν ε και ε (, σηµεία της ε) τότε i) Σ Λ ii) Σ Λ iii) = Σ Λ ιτιολογήστε την απάντηση σας i) ιότι από ένα

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο. ΘΕΜΑ 2 Ο : Δίνεται ΑΒΓ ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) τρίγωνο.αν ΒΔ και ΓΕ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο. ΘΕΜΑ 2 Ο : Δίνεται ΑΒΓ ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) τρίγωνο.αν ΒΔ και ΓΕ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και ΔΙΩΝΙΣΜ 1 Ο ΘΕΜ 1 Ο : ) Να αποδείξετε ότι : Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα τα των δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίση με το μισό της.(13 μονάδες) ) Να χαρακτηρίσετε

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική θεωρία. Οι σημαντικότερες αποδείξεις. Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου. Ασκήσεις. Διαγωνίσματα

Συνοπτική θεωρία. Οι σημαντικότερες αποδείξεις. Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου. Ασκήσεις. Διαγωνίσματα Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Συνοπτική θεωρία Οι σημαντικότερες αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΚΕΦΑΙΑΟ 9 ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

1. Γενικά για τα τετράπλευρα

1. Γενικά για τα τετράπλευρα 1. ενικά για τα τετράπλευρα Ένα τετράπλευρο θα λέγεται κυρτό αν η προέκταση οποιασδήποτε πλευράς του αφήνει το σχήμα από το ίδιο μέρος (στο ίδιο ημιεπίπεδο, όπως λέμε καλύτερα). κορυφές γωνία εξωτερική

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση 1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Διαβάστε περισσότερα

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης η εκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω τρίγωνο µε + Ένα πρόχειρο σχήµα είναι το διπλανό

Διαβάστε περισσότερα

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και Μ το µέσο του. Η Μ τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i ΟΜ = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα Μ και Μ έχουν Μ =

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΠΤΙΣ ΣΣΙΣ > 90. 1. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο µε = και 0 πό την κορυφή φέρνουµε τις ηµιευθείες x κάθετη στην πλευρά και y κάθετη στην πλευρά που τέµνουν την στα σηµεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε α)

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος

Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος 3. 3.9 ΘΕΩΡΙ. Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος 2. Είδη τριγώνων Ως προς τις πλευρές : Σκαληνό, ισοσκελές, ισόπλευρο. Ως προς τις γωνίες

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Γενικές ασκήσεις 5 ου Κεφαλαίου (1) (2) (1)

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Γενικές ασκήσεις 5 ου Κεφαλαίου (1) (2) (1) σκήσεις σχ. ιβλίου σελίδας 6 7 ενικές ασκήσεις 5 ου Κεφαλαίου. ίνεται τρίγωνο (β γ) µε Â = 60 ο, τα ύψη του, και τα µέσα Μ, Ν των, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι Μ = Ν. Τρ. ορθογώνιο µε Â = 60 ο M N ˆB

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1)Δύο ισόπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

(1) (2) A ΑE Α = AΒ (ΑΒΕ) (Α Ε)

(1) (2) A ΑE Α = AΒ (ΑΒΕ) (Α Ε) 9. Τα τρίγωνα και έχουν κοινή γωνία, άρα: () () A E AB A E A (1) Όµοια τα τρίγωνα και, άρα: () () A E AB A A () E Όµως από το θεώρηµα του Θαλή: A A () ( // ) () () πό (1), (), () έχουµε. () () Άρα () ()

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

Γ ε ω μ ε τ ρ ι α. A Λ υ κ ε ι ο υ. Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς

Γ ε ω μ ε τ ρ ι α. A Λ υ κ ε ι ο υ. Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς ε ω μ ε τ ρ ι α A Λ υ κ ε ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς ε ω μ ε τ ρ ι α A Λ υ κ ε ι ο υ ασικα εωμετρικα Σχηματα Τριγωνα Παραλληλες Ευθειες Παραλληλογραμμα - Τραπεζια Εγγεγραμμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Α Σ.

Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Α Σ. Μ Ν Σ Υ Κ Σ Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Σ. 1. Να γράψετε τους τύπους του εμβαδού των : (α) τετραγώνου (β) ορθογωνίου παραλληλογράμμου (γ) παραλληλογράμμου (δ) τριγώνου (ε) ορθογωνίου τριγώνου (στ) τραπεζίου.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ 1 ο Θεώρημα διαμέσου ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ Σε κάθε τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της περιεχόμενης διαμέσου, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου.

Ορισµοί. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου. 6.5 6.6 ΘΩΡΙ. Ορισµοί Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγράψιµο σε κύκλο, όταν µπορεί να γραφεί κύκλος που να διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΚΥΚΛΟΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Αν α είναι η απόσταση ευθείας ε από το κέντρο του κύκλου (Ο, ρ) τότε: αν α > ρ η ε λέγεται εξωτερική του κύκλου αν α = ρ η ε λέγεται τέμνουσα του

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A

1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A 1 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A Οξυγώνιο τρίγωνο, όλες οι γωνίες οξείες B A µβλυγώνιο τρίγωνο,

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 5. 5.5 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 0 04 ρωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι Ορθογώνια, ρόµβοι, i τετράγωνα, ποια όχι και γιατί; (α) 5 (β) 5 (γ) (δ) (ε) (ζ) φ 5 φ 5 φ φ (η)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΙΑ ΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ 2 και 3

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΙΑ ΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ 2 και 3 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ Ι Τ ΚΦΛΙ και 3 1. Τι λέμε κυρτή γωνία, μη κυρτή γωνία, διχοτόμο γωνίας, κάθετες ευθείες. προβολή ή ίχνος σημείου σε ευθεία;. Πότε δύο σημεία λέγονται συμμετρικά ως προς ευθεία; 3. Τι λέμε

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Σε κάθε τρίγωνο να αποδείξετε ότι το τετράγωνο µιας πλευράς που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, ισούται µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών ελαττωµένο

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές ασκήσεις 7 ου Κεφαλαίου σελίδας 164

Γενικές ασκήσεις 7 ου Κεφαλαίου σελίδας 164 1 ενικές ασκήσεις 7 ου Κεφαλαίου σελίδας 164 1. ίνονται δύο κύκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) που εφάπτονται εξωτερικά στο. φέρουμε το κοινό εφαπτόμενο τμήμα τους και την κάθετη στη. Να αποδείξετε ότι = R R. Φέρουμε

Διαβάστε περισσότερα

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και το µέσο του. Η τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i Ο = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν = και = άρα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί;

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί; 5. 5.2 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 99 00 ρωτήσεις ατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί; 3 Π 5 4 Π 2 5 5 Ο 3 4 Ο 4 Π 3 Ν 3 3 Μ 3,5 3,5 Λ Ρ φ Π 4 φ ω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 48 Α. Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α και πώς συμβολίζεται αυτή; Β. Ποιος αριθμός ονομάζεται άρρητος;. Πώς ορίζονται οι πραγματικοί αριθμοί; Α. Τι λέγεται ημίτονο μιας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της.

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου Θέµα 1 Α. Να υπολογίσετε την πλευρά λ και το απόστηµα α τετραγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο (Ο, R) συναρτήσει της ακτίνας R (10 Μονάδες) Β. Να χαρακτηρίσετε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝ ΚΕΦΛΙΟ 7ο : ΝΛΟΙΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΣ ΜΕ ΠΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΟΙ ΣΚΗΣΕΙΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΙΛΙΟΥ ΣΚΗΣΕΙΣ Ι ΛΥΣΗ ΣΕΛΙΔΕΣ 3-58 ΚΕΦΛΙΟ 8ο : ΟΜΟΙΟΤΗΤ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΣ ΜΕ ΠΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΟΙ ΣΚΗΣΕΙΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 90 Α. Πότε μια αλγεβρική παράσταση λέγεται μονώνυμο και από ποια μέρη αποτελείται; Β. Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια;. Τι λέγεται πολυώνυμο; Θέμα ο Α. Να διατυπώσετε την πρόταση που είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού

Διαβάστε περισσότερα