Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας"

Βεελζεβούλ Φίλιππος Τομαραίοι
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας ρωτήσεις Κατανόησης 1. Να εξηγήσετε γιατί τα ίχνη, της εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας τριγώνου είναι συζυγή αρμονικά των και. πάντηση ιότι 2. ν διχοτόμος τριγώνου και = 2, να δικαιολογήσετε γιατί β + γ =2α πάντηση ίναι = 2 2 2α = β + γ 3. Τι ονομάζεται απολλώνιος κύκλος ως προς δύο σημεία και ; Πόσοι τέτοιοι κύκλοι υπάρχουν ; Με ποιους τρόπους μπορεί να ορισθεί κάποιος από αυτούς ; πάντηση Ονομάζουμε πολλώνιο κύκλο ως προς δύο σημεία και τον γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου των οποίων ο λόγος των αποστάσεων από τα σημεία και είναι σταθερός και ίσος με 1 Υπάρχουν άπειροι πολλώνιοι κύκλοι αφού ο λόγος έχει άπειρες τιμές ια να ορισθεί κάποιος από τους κύκλους αυτούς όταν ξέρουμε τα σημεία και θα πρέπει : ή να δοθεί ο λόγος ή ένα από τα σημεία, τα οποία διαιρούν εσωτερικά και εξωτερικά το τμήμα σε λόγο ή ένα από τα σημεία του πολλώνιου κύκλου.

2 2 4. Στο διπλανό σχήμα η είναι διχοτόμος, το Ι έκκεντρο και το παράκεντρο του τριγώνου. Τα σημεία (, ) και (Ι, ) αποτελούν αρμονική τετράδα; Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας πάντηση φού Ι και διχοτόμοι των γωνιών ˆ και ˆ του τριγώνου τα (, ) είναι συζυγή αρμονικά των ( Ι, ). 1 2 Ι Ι α 5. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων οι αποστάσεις από δύο ορισμένα σημεία και έχουν λόγο λ = 1 είναι i) κύκλος διαμέτρου ii) η μεσοκάθετος του iii) το μέσο Μ του επιλέξτε την σωστή απάντηση και δικαιολογήστε την iν) τίποτα από τα παραπάνω πάντηση Σωστή απάντηση είναι η (ii), διότι αν Μ τυχαίο σημείο του τμήματος τότε Μ = Μ και επομένως 1 σκήσεις μπέδωσης 1. Η διάμεσος Μ και η διχοτόμος τριγώνου τέμνονται στο. Να αποδείξετε ότι = 2. Θ. εσωτερικής διχοτόμου στο τρ. Μ = = 2 (1) Μ = 2 Θ. εσωτερικής διχοτόμου στο τρ. = (1) = 2

3 3 2. ίνεται τρίγωνο με = 6, = 10, = 9. ν, η εσωτερική και εξωτερική διχοτόμος της γωνίας ˆ, να υπολογισθεί το. = = = = Άρα = 24 = = ίνεται τρίγωνο με ˆ 90 0 και η διάμεσός του Μ. ν η διχοτόμος της γωνίας ˆ τέμνει την στο και την προέκταση της στο, να αποδείξετε ότι. =.. ρκεί να αποδείξουμε ότι = Θ. εξωτερικής διχοτόμου στο τρ.μ = (1) Θ. εσωτερικής διχοτόμου στο τρ.μ Μ = (2) πειδή Μ = Μ, τα δεύτερα μέλη των (1) και (2) είναι ίσα, άρα και τα πρώτα. 4. ν Μ είναι το μέσο της πλευράς ενός τριγώνου και οι διχοτόμοι των γωνιών ˆ και ˆ τέμνουν τις πλευρές και στα και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι P. Θ. εσωτερικής διχοτόμου στο τρ.μ = (1) Θ. εσωτερικής διχοτόμου στο τρ.μ = (2) Μ πειδή Μ = Μ, τα δεύτερα μέλη των (1) και (2) είναι ίσα, άρα και τα πρώτα. Έτσι = και από το αντίστροφο του Θ. Θαλή συμπεραίνουμε P.

4 4 5. ν, και Ζ είναι οι διχοτόμοι των γωνιών ενός τριγώνου, να αποδείξετε ότι.. = 1 διχοτόμος = Ζ διχοτόμος = Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη έχουμε Ζ διχοτόμος =.. = 1. ν, και Ζ είναι οι εξωτερικές διχοτόμοι των γωνιών ενός τριγώνου, να αποδείξετε ότι.. = 1 Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη έχουμε εξ. διχοτόμος = εξ. διχοτόμος = Ζ εξ. διχοτόμος.. = 1. = 6. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( = ) εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,R). ν τυχαίο σημείο του τόξου» και η τέμνει την πλευρά στο, να αποδείξετε ότι. =. ρκεί να αποδείξουμε ότι =. 1 2 Ο =»» ˆ ˆ 1 2 εσ. διχοτόμος του τρ. =.

5 5 7. Σε ένα ημικύκλιο διαμέτρου φέρουμε τις εφαπτόμενες στα άκρα της διαμέτρου, καθώς και μία εφαπτομένη σε τυχαίο σημείο του, που τέμνει την ευθεία στο Ζ και τις άλλες δύο εφαπτόμενες στα και. Να αποδείξετε ότι τα σημεία, είναι συζυγή αρμονικά των, Ζ. Έστω Ο το κέντρο του κύκλου. Φέρουμε τις Ο, Ο, Ο Ο Ζ Ο διακεντρική ˆ = ˆ 1 2 Ο εσ. διχοτόμος του τρ. ΟΖ. (1) Ο διακεντρική ˆ = ˆ 3 4 Ο εξ. διχοτόμος του τρ. ΟΖ. (2) πό τις (1) και (2), συζυγή αρμονικά των, Ζ, άρα και, Ζ συζυγή αρμονικά των,. 8. ύο πλευρές ενός τριγώνου είναι 20m και 36m. Η διχοτόμος της γωνίας, η οποία περιέχεται μεταξύ των δύο αυτών πλευρών, διαιρεί την τρίτη πλευρά σε δύο μέρη, τα οποία διαφέρουν κατά 12m. Να υπολογισθεί η τρίτη πλευρά. Έστω = 20, = 36, διχοτόμος, = x και = y. x y Θ. εσ. διχοτόμου x 20 5 y x = 5y (1) πό υπόθεση έχουμε y x = 12 (2) Λύνουμε το σύστημα των (1), (2) και βρίσκουμε x = 15m, y = 27m.

6 6 ποδεικτικές σκήσεις 1. 0 ίνονται οι διαδοχικές γωνίες xoy ˆ yoz ˆ zot ˆ 45 και τα σημεία, των Οx, Ot αντίστοιχα, τέτοια ώστε Ο = Ο. ν, είναι τα σημεία τομής της με 2 τις Oy, Oz αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι =.. x y O z ρκεί να αποδείξουμε ότι = (α) Ο εσ. διχοτόμος του τρ. Ο = (1) Ο στην εσ. διχοτόμο Ο Ο εξ. διχοτόμος του τρ. Ο = (2) πό τις (1) και (2) = (3) Συγκρίνοντας την αποδειγμένη ισότητα (3) με την αποδεικτέα (α), αρκεί να αποδείξουμε ότι =. Συγκρίνουμε τα τρίγωνα Ο, Ο. Ο = Ο τρ. Ο ισοσκελές ˆ ˆ Ο = Ο ˆ ˆ 45 0 Άρα τρ.ο = τρ. Ο, άρα = t

7 7 2. πό το μέσο Μ της πλευράς ενός τριγώνου φέρουμε την παράλληλη στη διχοτόμο του, που τέμνει τις, στα, Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι = Ζ. Ζ PΜ = ΖΜ P = Οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι = αρκεί να αποδείξουμε ότι = Ζ =, και αφού Μ = Μ M, το οποίο ισχύει από το θεώρημα εσ. διχοτόμου, αλλάζοντας μέσους όρους.

8 8 3. ίνεται τρίγωνο, η διχοτόμος του και το έκκεντρό του Ι. i) Nα υπολογισθεί ο λόγος, ως συνάρτηση των πλευρών α, β, γ του τριγώνου. ii) ν β + γ = 2α και Κ το βαρύκεντρο του τριγώνου, τότε α) ΙΚ P β) Ζ =, όπου Ζ, τα σημεία τομής των, 3 αντίστοιχα με την ευθεία ΙΚ. i) Ι διχοτόμος του τρ. = γ β αλλά =, άρα Ζ ii) α) Η (1) Ι α Κ M Κ βαρύκεντρο πό τις (2), (3) = = (1) = 2 2 (2) = 2 (3) = ΙΚPΜ (αντίστροφο του Θ.Θαλή) ii) β) ΖP τα τρίγωνα Ζ, έχουν πλευρές ανάλογες 2 Ζ = 2 = 3 3 3

9 9 4. ν οι διχοτόμοι των γωνιών ˆ και ˆ ενός τριγώνου, τέμνουν τη διάμεσό του Μ στα και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι + > 2. Άρα Μ + = + = 2 διχοτόμος του τρ. Μ διχοτόμος του τρ. Μ + 2 = = = = 2 = 2 > 2 = 2 (είναι α < β + γ) 5. Οι μη παράλληλες πλευρές τραπεζίου (P) τέμνονται στο Ο. ν η διχοτόμος της γωνίας ˆ τέμνει τις, στα και Ζ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι i) Ζ. = Ζ. ii) EA. B =. Ο i) ρκεί να αποδείξουμε ότι = Ζ OZ διχοτόμος του τρ.ο = Θ.Θαλή = Άρα έχουμε το ζητούμενο. ii) ρκεί να αποδείξουμε ότι = OE διχοτόμος του τρ.οab = Θ. Θαλή = Άρα έχουμε το ζητούμενο.

10 10 Σύνθετα Θέματα 1. ίνεται τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, R). ν η κάθετη διάμετρος ΚΛ στη τέμνει τις, στα, Ζ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα, Ζ είναι συζυγή αρμονικά των Κ, Λ. ρκεί να εντοπίσουμε ένα τρίγωνο με εσωτερική και εξωτερική διχοτόμο Λ Φέρουμε τις Κ, Λ. ΟΚ Κ μέσο του» Κ εξωτερική διχοτόμος του τρ.ζ (1) Ο Ζ ˆ βαίνει σε ημικύκλιο άρα είναι ορθή Λ Κ Λ εσωτερική διχοτόμος του τρ.ζ (2) Κ πό τις (1) και (2) τα Λ, Κ είναι συζυγή αρμονικά των, Ζ.

11 11 2. ν οι διχοτόμοι δύο απέναντι γωνιών τετραπλεύρου τέμνονται πάνω στη διαγώνιο που ενώνει τις δύο άλλες κορυφές του, τότε είναι. =.. Να εξετασθεί αν ισχύει η αντίστροφη πρόταση. Έστω ότι οι διχοτόμοι των γωνιών Â και ˆ τέμνονται σε σημείο Κ της διαγωνίου Θ. διχοτόμων στο τρ. = K Θ. διχοτόμων στο τρ. = Άρα =. =.. ντίστροφο: ν. =. τότε οι διχοτόμοι δύο απέναντι γωνιών τετραπλεύρου τέμνονται πάνω στη διαγώνιο που ενώνει τις δύο άλλες κορυφές του. Η υπόθεση. =. = (1) Έστω Κ, Λ οι διχοτόμοι των γωνιών Â και ˆ K Λ Θ. διχοτόμων στο τρ. = (2) Θ. διχοτόμων στο τρ. = (3) Λόγω της (1) τα δεύτερα μέλη των (2), (3) είναι ίσα, άρα και τα πρώτα. Οπότε =, δηλαδή τα Κ, Λ χωρίζουν το τμήμα σε ίσους λόγους, άρα συμπίπτουν.

12 12 3. ίνεται τόξο» κύκλου (Ο,R). Να ορίσετε σημείο Μ του τόξου», τέτοιο ώστε, όπου μ, ν δοσμένα τμήματα. νάλυση Μ Έστω Μ το ζητούμενο σημείο. Τότε (1) 1 2 Θεωρούμε το μέσο του μη κυρτογωνίου Ο τόξου». Φέρουμε την, η οποία τέμνει τη χορδή σε σημείο.» =» ˆ ˆ 1 2 Μ διχοτόμος του τρ.μ = (1) Το σημείο, λοιπόν, είναι κατασκευάσιμο, αφού χωρίζει το γνωστό ευθ. τμήμα εσωτερικά σε γνωστό λόγο. Σύνθεση ράφουμε τον κύκλο (Ο,R), το δοσμένο τόξο του», το μέσο του μη κυρτογωνίου τόξου» και τη χορδή. Κατασκευάζουμε σημείο, τέτοιο ώστε =. Φέρουμε την ευθεία, η οποία τέμνει το τόξο» σε σημείο Μ. Υποστηρίζουμε ότι το Μ είναι το ζητούμενο σημείο. πόδειξη» =» ˆ ˆ Μ διχοτόμος του τρ.μ 1 2 = αλλά από τη σύνθεση έχουμε = Άρα.

13 13 4. ίνεται παραλληλόγραμμο και τα σημεία, Ζ των πλευρών του, αντίστοιχα, ώστε = Ζ. ν Η είναι το σημείο τομής των και Ζ, να αποδείξετε ότι η Η είναι διχοτόμος της γωνίας ˆ. Η Ζ Θ Προεκτείνουμε τη Ζ μέχρι να τμήσει τη σε σημείο Θ. πό το αντίστροφο του Θ.εξ. διχοτόμου στο τρ.θ, αρκεί να αποδείξουμε ότι = ΘP τα τρίγωνα ΘΗ, Η έχουν πλευρές ανάλογες = (1) ΖP τα τρίγωνα ΘΖ, Θ έχουν πλευρές ανάλογες = = (2) πό τις (1), (2) =

14 14 5. Να κατασκευάσετε τρίγωνο με βάση = α, ύψος Η = υ και =, όπου μ, ν δοσμένα τμήματα. νάλυση Έστω το ζητούμενο τρίγωνο. A ε Σύνθεση B Η K υ B Η A υ ε = γνωστό πολλώνιο Κύκλο. το θα ανήκει σε Ύψος Η = υ το θα ανήκει σε ευθεία ε P σε απόσταση υ από αυτή. ράφουμε τμήμα = α. Κατασκευάζουμε τα σημεία, που διαιρούν το εξωτερικά και εσωτερικά σε λόγο. ράφουμε τον πολλώνιο Κύκλο με διάμετρο και ευθεία ε P σε απόσταση Κ = υ από αυτή, που τέμνει τον κύκλο σε σημείο. πόδειξη Το τρίγωνο, όπως κατασκευάστηκε, είναι το ζητούμενο διότι έχει: = α ύψος Η = Κ = υ και = αφού το ανήκει στον κύκλο διαμέτρου ιερύνηση ια να έχει λύση το πρόβλημα, πρέπει και αρκεί η ευθεία ε να έχει κοινό σημείο με τον κύκλο υ 2

Σχετικά έγγραφα

7.7 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 156

7.7 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 156 1 7.7 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 156 ρωτήσεις ατανόησης 1. Στα παρακάτω σχήματα να βρείτε τα x, ψ (α) ε 1 ε x 1 2 ε 2 ψ 6 ε 2 3 3 ε 4 ε 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 3 ε 2 ε 1 ε 2 4 x 1,5 ψ 3 4 ε 3 (β) (γ) ε 1