Ознаке: f и. Парцијални изводи, парцијалних извода су парцијални изводи другог реда функције z = f (x, y): 2. извод другог реда по x 2 2

Transcript

1 Довољан услов за M M Дефинисати парцијалне изводе I реда и II реда функције I реда: Ако постоје коначне граничне вредности количника парцијалних прираштаја функције у тачки са одговарајућим прираштајима независне променљиве кад оне теже нули тада се те граничне вредности називају парцијалним изводима функције у тачки Ознаке: lm cost lm cost II реда: За функцију њени парцијални изводи и су такође функције параметра и Парцијални изводи парцијалних извода су парцијални изводи другог реда функције : извод другог реда по ; мешовити парцијални изводи II реда извод другог реда по Формулисати теорему о довољном услову за M M Ако су мешовити парцијални изводи II реда и функције непрекидне функције у свакој тачки области D онда је у свакој унутрашњој тачки те области B Aa Matematka /

2 Доказати теорему о довољном услову за M M Нека је произвољна тачка у унутрашњости области D Онда је и цео правоугаоник 3 где је 3 у области D за довољно мале и Посматрајмо израз A Нека је ϕ где су и параметри Тада је А ϕ -ϕ Према Лагранжевој теореми о средњој вредности по : А ϕ θ <θ < При томе је ϕ Применом Лагранжеве теореме о средњој вредности по добија се: ϕ η < η < тј A θ η < θ < < η < ψ Слично: и су параметри Тада је А ψ -ψ Ако се два пута примени Лагранжева теорема о средњој вредности прво по па по добија се A θ η < θ < < η < Због непрекидности функција и добија се кад да је B Aa Matematka /

3 Довољан услов за M M Дефинисати унутрашњу тачку скупа и отворен скуп Формулисати теорему о довољном услову за једнакост мешовитих парцијалних извода функције Ако су мешовити парцијални изводи II реда и функције непрекидне функције у свакој тачки области D онда је у свакој унутрашњој тачки те области Доказати теорему о довољном услову за једнакост мешовитих парцијалних извода Нека је произвољна тачка у унутрашњости области D Онда је и цео правоугаоник 3 где је 3 у области D за довољно мале и Посматрајмо израз A ϕ Нека је где су и параметри Тада је А ϕ -ϕ Према Лагранжевој теореми о средњој вредности по : А ϕ θ <θ < При томе је ϕ Применом Лагранжеве теореме о средњој вредности по добија се: ϕ η < η < тј A θ η < θ < < η < B Aa Matematka /

4 Слично: ψ и су параметри Тада је А ψ -ψ Ако се два пута примени Лагранжева теорема о средњој вредности прво по па по добија се A θ η < θ < < η < Због непрекидности функција и добија се кад да је 3 Дефиниција диференцијабилности функције више променљивих Довољан услов диференцијабилности Дефинисати парцијални и тотални прираштај функције Тотални прираштај функције у тачки је где је са координатама и Ако се мења једна од променљивих а друга је фиксирана добијамо парцијалне прираштаје по и Дефинисати диференцијабилност функције Ако тотални прираштај функције у тачки M може да се напише у облику α β B Aa Matematka / где α β кад тада је функција диференцијабилна у тачки M

5 Доказати да ако функција има непрекидне парцијалне изводе и она диференцијабилна онда је B Aa Matematka /

6 B Aa Matematka / 4 Диференцијабилност и непрекидност Дефинисати граничну вредност функције преко низа тачака Ако за произвољан низ тачака M из области дефинисаности који конвергира ка тачки M низ одговарајућих вредности M увек конвергира истом броју A тада се тај број назива граничном вредношћу функције у тачки M lm lm M A M M Дефинисати непрекидност и диференцијабилност функције - За функцију дефинисану у тачки M M и некој њеној околини кажемо да је непрекидна у M ако је lm M M lm M M тј ако за свако ε > постоји δ δε> тако да је δ < ε < δ < ε < - Ако тотални прираштај функције у тачки M може да се напише у облику β α где α β кад тада је функција диференцијабилна у тачки M

7 B Aa Matematka / Доказати да ако је функција диференцијабилна у некој тачки она је и непрекидна у тој тачки 5 Диференцијабилност и непрекидност Дефинисати граничну вредност функције преко ε-околине тачке За функцију која је дефинисана у некој околини тачке M изузев можда у M кажемо да има граничну вредност А кад тачка M конвергира тачки M и пишемо A M M lm lm A M M lm lm ако за сваки произвољно мали позитиван број ε постоји довољно мали позитиван број δ δε тако да δ < ε < < A δ < ε < < A тј ако M припада δ - околини тачке M без M онда M припада ε - околини тачке А

8 B Aa Matematka / Дефинисати непрекидност и диференцијабилност функције За функцију дефинисану у тачки M M и некој њеној околини кажемо да је непрекидна у M ако је lm M M lm M M тј ако за свако ε > постоји δ δε> тако да је δ < ε < δ < ε < Ако тотални прираштај функције у тачки M може да се напише у облику β α где α β кад тада је функција диференцијабилна у тачки M Доказати да ако је функција диференцијабилна у некој тачки она је и непрекидна у тој тачки

9 6 Тотални диференцијал функције више променљивих Дефинисати диференцијабилност функције Ако тотални прираштај функције у тачки M може да се напише у облику α β где α β кад тада је функција диференцијабилна у тачки M - Свака функција која у има непрекидне парцијалне изводе је диференцијабилна у тој тачки - Ако је функција диференцијабилна у она је и непрекидна у Формулисати и доказати теорему о довољним условима за диференцијабилност функције B Aa Matematka /

10 Дефинисати тотални диференцијал функције За функцију која је диференцијабилна у тачки главни део тоталног прираштаја се зове тотални диференцијал - Ознака: d d d где пишемо d d - Код диференцијабилне функције d α β α β кад - Код функције променљивих ако су сви парцијални изводи непрекидни у некој околини тачке израз d d d d представља главни део прираштаја функције и зове се тотални диференцијал дате функције 7 Тотални диференцијал функције више променљивих Диференцијали вишег реда Дефинисати тотални диференцијал функције За функцију која је диференцијабилна у тачки главни део тоталног прираштаја се зове тотални диференцијал - Ознака: d d d где пишемо d d - Код диференцијабилне функције d α β α β кад Код функције променљивих ако су сви парцијални изводи непрекидни у некој околини тачке израз d d d d представља главни део прираштаја функције и зове се тотални диференцијал дате функције B Aa Matematka /

11 B Aa Matematka / Извести формулу за диференцијал II реда функције Диференцијалом другог реда функције назива се диференцијал тоталног диференцијала дате функције тј d dd који се израчунава уз претпоставку да су d и d константни Ако су d и d константни dd dd па је d d d d d d d d d d d d d d d d d dd dd d Када су мешовити парцијални изводи непрекидни тј једнаки онда је d dd d d Извести формулу за диференцијал III реда функције

12 8 Парцијални изводи сложене функције Дефинисати парцијалне изводе I реда функције Ако постоје коначне граничне вредности количника парцијалних прираштаја функције у тачки са одговарајућим прираштајима независне променљиве кад оне теже нули тада се те граничне вредности називају парцијалним изводима функције у тачки Ознаке: lm cost lm cost Дефинисати диференцијабилност функције Ако тотални прираштај функције у тачки M може да се напише у облику α β где α β кад тада је функција диференцијабилна у тачки M Ако су v v v диференцијабилне функције извести формулу за Написати формулу за Ако је дата функција v где су и v функције независно променљивих и тј v v тада је сложена функција аргумената и [ v ] Израчунаћемо и под претпоставком да v v v имају непрекидне парцијалне изводе диференцијабилне су Ако се аргумент фиксира а има прираштај онда су прираштаји функција и v по променљивој : и v Прираштај функције v по променљивој због диференцијабилности дељењем са добија се v v α β v B Aa Matematka /

13 B Aa Matematka / v v v β α Како су функције и v v непрекидне ако онда и v а такође α β Како је lm lm v v lm заменом у претходном изразу се добија v v Слично ако се аргумент фиксира а има прираштај онда се добија v v 9 Парцијални изводи сложене функције Дефинисати парцијалне изводе I реда функције Ако постоје коначне граничне вредности количника парцијалних прираштаја функције у тачки са одговарајућим прираштајима независне променљиве кад оне теже нули тада се те граничне вредности називају парцијалним изводима функције у тачки Ознаке: cost lm cost lm Ако су v v v диференцијабилне функције извести формулу за Написати формулу за Ако је дата функција v где су и v функције независно променљивих и тј v v тада је сложена функција аргумената и [ ] v

14 B Aa Matematka / Израчунаћемо и под претпоставком да v v v имају непрекидне парцијалне изводе диференцијабилне су Ако се аргумент фиксира а има прираштај онда су прираштаји функција и v по променљивој : и v Прираштај функције v по променљивој због диференцијабилности v v v β α дељењем са добија се v v v β α Како су функције и v v непрекидне ако онда и v а такође α β Како је lm lm v v lm заменом у претходном изразу се добија v v Слично ако се аргумент фиксира а има прираштај онда се добија v v Написати формулу за сложену функцију променљивих ϕ t t t m Теорема о егзистенцији и диференцијабилности имплицитне функције Дефинисати функцију две променљивих и околину тачке R - Величина се назива функцијом променљивих величина и на скупу D ако сваком уређеном пару D по неком закону коресподенције одговара нека одређена вредност променљиве :

15 D R R { : R R} E R R R D E R - Кружна околина: Скуп свих тачака М таквих да је dm M < δ тј да важи { : < δ } Тај скуп је унутрашњост круга са центром у тачки M и полупречником δ - Квадратна околина: Скуп тачака М за које важи { : < δ < δ} Тачка M се налази у пресеку дијагонала квадрата а страница квадрата има дужину δ Дефинисати имплицитно задату функцију једне променљиве и формулисати теорему о егзистенцији и диференцијабилности имплицитне функције Претпоставимо да су вредности две променљиве и повезане једначином Ако за сваку вредност постоји одговарајућа вредност тако да задовољавају једначину онда она дефинише једнозначну или вишезначну функцију ϕ која идентички задовољава ϕ Функција ϕ задата једначином која није решена по је имплицитна Теорема Ако је дата једначина и ако функција има следећа својства: су дефинисане и непрекидне у правоугаонику R { : a a b b} За cost је монотоно растућа или опадајућа функција по тада ће једначином у неком правоугаонику R : δ { δ δ δ } бити дефинисана једнозначна имплицитна функција која је непрекидна и непрекидно диференцијабилна у интервалу δ δ и при томе је ϕ B Aa Matematka /

16 Доказати теорему о егзистенцији и диференцијабилности имплицитне функције део о егзистенције имплицитне функције Доказ: Претпоставимо да је > Због непрекидности постоји околина тачке например квадрат са страницом δ чије се дијагонале секу у у којој у свим тачкама важи > - За функција кад варира од δ до δ < за δ < < > за < < δ - δ < Због непрекидности функције је непрекидна по променљивој за фиксирано δ па у довољно малој околини δ δ тачке δ важи δ < за свако δ δ B Aa Matematka /

17 - δ > слично као и малопре за фиксирано δ постоји довољно мала околина δ δ тако да δ > за свако δ δ За δ m{δ δ } важи δ < δ > за свако δ δ - Ако за произвољно * δ δ мењамо од δ до δ тада је * непрекидна функција променљиве која на крајевима одсечка MN M * δ N * δ има вредности различитог знака По Коши Болцановој теореми постоји * δ δ такво да је * * Како је * по то је * јединствено * δ δ : * * - Како је * произвољно изабрано δ δ δ δ : тј на правоугаонику R { : δ δ δ δ } једначина дефинише као имплицитну функцију од ϕ и при том због важи ϕ B Aa Matematka /

18 Теорема о егзистенцији и диференцијабилности имплицитне функције Дефинисати функцију више променљивих и околину тачке R Ако свакој уређеној -торки G по неком закону коресподенције одговара реалан број кажемо да је функција променљивих R G E R У случају да су М и М R тачке -димензионалног простора тада се δ околином тачке М назива скуп тачака М за које је dm M центром у тачки M и полупречником δ < δ сфера са Дефинисати имплицитно задату функцију једне променљиве и формулисати теорему о егзистенцији и диференцијабилности имплицитне функције Претпоставимо да су вредности две променљиве и повезане једначином Ако за сваку вредност постоји одговарајућа вредност тако да задовољавају једначину онда она дефинише једнозначну или вишезначну функцију ϕ која идентички задовољава ϕ Функција ϕ задата једначином која није решена по је имплицитна Теорема Ако је дата једначина и ако функција има следећа својства: су дефинисане и непрекидне у правоугаонику R : a a b b { } За cost је монотоно растућа или опадајућа функција по тада ће једначином у неком правоугаонику { : δ δ δ δ } R бити дефинисана једнозначна имплицитна функција која је непрекидна и непрекидно диференцијабилна у интервалу δ δ и при томе је ϕ B Aa Matematka /

19 Доказати теорему о егзистенцији и диференцијабилности имплицитне функције део о диференцијабилности имплицитне функције Диференцијабилност имплицитне функције Кад онда због непрекидности функција и следи да θ η Зато је lm тј извод је дефинисан ϕ Како су и непрекидне функције непрекидне су и сложене функције и и при томе је у интервалу δ δ па је извод имплицитне функције ϕ непрекидан Имплицитно задата функција Дефинисати функцију две и три променљиве график функције две променљиве ниво линије Величина се назива функцијом променљивих величина и на скупу D ако сваком уређеном пару D по неком закону коресподенције одговара нека одређена вредност променљиве : D R R { : R R} E R R R D E R Ако сваком уређеном пару 3 G по неком закону коресподенције одговара реалан број 3 кажемо да је функција променљивих 3 R 3 G 3 E R Графиком функције двеју независно променљивих и у Декартовом правоуглом координатном систему назива се скуп тачака са апсцисама и ординатама и апликатима одговарајућим вредностима функције што у одређеним случајевима представља неку површ у простору променљивих и ; тада сама формула којом је задата функција представља једначину те површи Ниво линијом функције назива се скуп тачака у равни O за које функција има исту вредност тј важи Скуп ниво линија за више различитих константних вредности чини мрежу ниво линија функције B Aa Matematka /

20 Дефинисати имплицитно задату функцију две променљиве Ако је функција задата имплицитно са извести формуле за и 3 Тангентна раван и нормала површи Дефинисати тангентну раван и нормалу површи функције Дефиниција Нека је S глатка површ а L и L криве дуж којих равни и секу S Раван која садржи тангенте T и T тих кривих у њиховој заједничкој тачки M зове се тангентна раван површи S у тачки M B Aa Matematka /

21 B Aa Matematka / На основу једначина за T и T добија се једначина тангентне равни B A је пројекција тачке M на раван O Дефиниција Права N која је у датој додирној тачки M глатке површи S и њене тангентне равни нормална на ову раван зове се нормала површи S у датој тачки M Ако је функција задата имплицитно са извести формуле за и Написати једначине тангентне равани и нормале површи за имплицитно задату функцију Jедначина тангентне равни површи S у M је а једначина нормале површи S у M је

22 4 Тангентна раван и нормала површи Дефинисати парцијалне изводе I реда и дати њихову геометријску интерпретацију Дефиниција Ако постоје коначне граничне вредности количника парцијалних прираштаја функције у тачки са одговарајућим прираштајима независне променљиве кад оне теже нули тада се те граничне вредности називају парцијалним изводима функције у тачки Ознаке: lm cost lm cost Дефинисати тангентну раван и нормалу површи функције Дефиниција Нека је S глатка површ а L и L криве дуж којих равни и секу S Раван која садржи тангенте T и T тих кривих у њиховој заједничкој тачки M зове се тангентна раван површи S у тачки M B Aa Matematka /

23 B Aa Matematka / На основу једначина за T и T добија се једначина тангентне равни B A је пројекција тачке M на раван O Дефиниција Права N која је у датој додирној тачки M глатке површи S и њене тангентне равни нормална на ову раван зове се нормала површи S у датој тачки M Ако је функција задата имплицитно са извести формуле за и и написати једначину тангентне равни Jедначина тангентне равни површи S у M је

24 5 Извод функције у смеру датог вектора Дефинисати извод функције у смеру датог вектора Ако постоји гранична вредност средње брзине кад s тада се та гранична вредност s зове извод скаларне функције извод скаларног поља M у тачки M у смеру вектора s и означава s lm s s Написати формулу за израчунавање извода функције у смеру вектора за диференцијабилну функцију Ако је функција диференцијабилна у свакој тачки M Ω тада постоји извод у смеру произвољног вектора s и cosα cos β cosγ s где су cosα cosβ cosγ координате вектора s ort s Извести формулу за израчунавање извода функције у смеру вектора за диференцијабилну функцију Ако је функција непрекидна и има непрекидне парцијалне изводе области Ω тада је њен тотални прираштај у ε ε ε 3 где је ε o ε o ε o кад s После дељења израза са s s s 3 s ε ε s s s s s s ε 3 s cosα cos β cosγ ε cosα ε cos β ε 3 cosγ не зависи од s кад s То значи да постоји cosα cos β cosγ s B Aa Matematka /

25 6 Градијент функције Веза градијента и извода у смеру датог вектора Дефинисати градијент функције и извод функције у смеру датог вектора Ако постоји гранична вредност средње брзине кад s тада се та гранична вредност s зове извод скаларне функције извод скаларног поља M у тачки M у смеру вектора s и означава s lm s s Градијент функције у тачки M Ω је вектор чије су координате вредности парцијалних извода у датој тачки M: grad k где је набла тзв Хамилтонов оператор Извести везу градијента и извода у смеру вектора s cosα cos β cosγ cosα cos β cosγ Геометријско тумачење градијента У M се конструише и сфера са пречником Вектор s из M продире сферу у N Ако је ϕ MN онда је MN cosϕ па је MN s B Aa Matematka /

26 B Aa Matematka / s ma се добија за ϕ тако да је смер grad смер у којем функција најбрже расте s m grad како је тада ϕ π одговарајући вектор антиградијент је 7 Градијент функције Особине градијента Дефинисати градијент функције Градијент функције у тачки M Ω је вектор чије су координате вредности парцијалних извода у датој тачки M: k grad где је набла тзв Хамилтонов оператор Навести особине градијента k k k C C C cost k C C C C C k C 3 k k k

27 B Aa Matematka / 4 k k k Веза градијента и извода у смеру датог вектора за диференцијабилну функцију

28 8 Тејлорова формула функције две променљиве Формулисати теорему о средњој вредности Ако је у некој околини тачке функција непрекидна и има непрекидне парцијалне изводе и тада је θ θ θ за неко < θ < θ Доказати теорему о средњој вредности Према Лагранжевој теореми за функцију једне променљиве Φ t Из тога следи Φ Φ Φ θ за неко < θ < θ θ θ θ што је требало доказати Написати Тејлоров полином -тог степена функције која има непрекидне парцијалне изводе до -ог реда d d d R!!! B Aa Matematka /

29 9 Тејлорова формула функције две променљиве Написати Тејлоров полином -тог степена функције која има непрекидне парцијалне изводе до -ог реда d d d R!!! Написати остатак Тејлоровог полинома -тог степена у Лагранжевом облику Извести Тејлоров полином -тог степена функције Доказ Развијањем функције Φ t у Маклоренов полином добија се Φ t Φ Φ t Φ t Φ t R!!! са грешком записаном у Лагранжевом облику L < θ < R Φ θt t! За t : Φ Φ Φ Φ Φ R!!! L R Φ θ! Према дефиницији функције Φ t L L Φ Φ Φ d Φ d Φ d [] [ ] B Aa Matematka /

30 Φ θ [ ] θ θ θ θ θ < θ < d θ Дефиниција локалног екстремума функције више променљивих Неопходни услови Дефинисати појам локалног екстремума за функцију променљивих Дефиниција Функција има у тачки локални максимум ако у свим тачкама из неке околине тачке има мање вредности него у тачки тј ако за сваку тачку S δ важи < где је S δ { : < δ} а локални минимум ако у свим тачкама околине има веће вредности него у тј ако за сваку тачку S δ важи > Локални максимуми и минимуми су локални екстремуми Напомена: У претходној дефиницији су уведени тзв строги максимум и минимум У случају да важи односно тачка је тачка нестрогог максимума односно минимума Формулисати и доказати теорему о неопходним условима за екстремум функције променљивих Теорема Ако функција има екстремум у тачки и ако су јој парцијални изводи непрекидни у тој тачки онда су сви парцијални изводи функције у тачки једнаки нули тј Доказ Фиксирајмо све променљиве осим једне произвољне Тада је у околини тачке функција једне променљиве са екстремумом за Према теореми о неопходном услову функције једне променљиве њен извод у тој тачки је једнак Како је извод функције за једнак парцијалном изводу функције по променљивој у тачки и како је избор променљиве произвољан тврђење важи B Aa Matematka /

31 Последица Ако функција има непрекидне парцијалне изводе у целој области дефинисаности сви кандидати за екстремум се налазе међу решењима система Решења система се називају стационарне тачке Напомена : Услов није довољан! На пример изводи функције су и па је једина стационарна тачка Међутим у тој тачки функција нема екстремум јер важи > > < < Напомена : Услов није потребан ако функције нема парцијалне изводе На пример функција има строги минимум у тачки Њени изводи су једнаки за За се добија > lm lm < и слично > тј парцијални изводи нису дефинисани < Дефинисати појмове критичне и стационарне тачке Ако функција има непрекидне парцијалне изводе у целој области дефинисаности сви кандидати за екстремум се налазе међу решењима система Решења система се називају стационарне тачке Тачке у којима су сви парцијални изводи функције једнаки нули или у којима бар један од парцијалних извода не постоји су критичне тачке те функције B Aa Matematka /

32 Неопходни и довољан услов за локални екстремум функције више променљивих Формулисати теорему о неопходним условима за екстремум функције променљивих Теорема Ако функција има екстремум у тачки и ако су јој парцијални изводи непрекидни у тој тачки онда су сви парцијални изводи функције у тачки једнаки нули тј Формулисати теорему о довољним условима за екстремум функције две променљиве R : Теорема Претпоставимо да у некој околини области D којој припада тачка функција има непрекидне парцијалне изводе закључно са изводима трећег реда и претпоставимо да је стационарна тачка тј Ако означимо A B онда: C > Ако је A C B и A < функција у има максимум Ако је A C B > и A > функција у има минимум 3 Ако је A C B < функција у нема екстремум 4 Ако је A C B тада је за одређивање карактера стационарне тачке потребно испитивање извода вишег реда Доказати теорему о довољним условима за екстремум функције две променљиве Доказ Из Тејлоровог полинома другог реда у околини Пеанов обл остатка:! αρ где α кад ρ Ако је ϕ O онда је ρ cosϕ ρ sϕ па је B Aa Matematka /

33 A! B C αρ ρ Acos ϕ Bcosϕ sϕ C s B B s ϕ s A A ϕ ϕ α A / A A cosϕ Bsϕ AC B s ϕ ρ α A > A C B A < : именилац разломка је мањи од а бројилац је већи јер је збир две величине које су а не могу бити истовремено ако је s ϕ онда је cosϕ π ± Бројилац је непрекидна функција од ϕ на сегменту [ ] па достиже минимум m > бројилац је већи или једнак од m > Како је A < разломак је мањи или једнак од од m /A< Зато се може написати ρ m / A α < где α кад ρ а m не зависи од ρ Добија се да је за довољно мало ρ < тј < из чега следи да је тачка строгог максимума A C B > A > : слично се добија да је ρ m / A α > тј > па је тачка строгог минимума 3 A C B < : ако претпоставимо да је A > онда за ϕ се добија ρ A α > ако је B C < па је за π ϕ ρ C α < ако је B и ако је ϕ ϕ A tgϕ онда је B ϕ AC B s ρ A α < Δ мења знак у зависности од φ што значи да нема екстремум у тачки - слично се добија и за A < - ако је A онда мора бити B а ρ [sϕb cosϕ C sϕ α ] Када је φ довољно мало и мења знак и s ϕ такође мења знак док израз у малој B Aa Matematka /

34 загради који је тада приближно једнак B не мења За ρ важи α па α не утиче на знак израза Δ Следи да је у том случају знак израза Δ исти као и знак s ϕ тј φ Како Δ мења знак у зависности од угла није тачка екстремума 4 A C B : Acosϕ B sϕ Ако је ρ α ϕ ϕ A A cosϕ Bsϕ A па знак Δ зависи од α A B па је ρ C s ϕ α За ϕ знак Δ зависи од α Напомена: Ако за функцију формирамо матрицу других парцијалних извода у тачки онда су њени главни минори D A и D A C B проверу знака за D и D под условом да је D а услови теореме се своде на Квадратна форма матрица других извода Хесеова матрица Дефинисати појамове квадратне форме позитивно и негативно дефинисане форме Дефиниција Сума облика Q a назива се квадратна форма Векторски запис: Q a a a a T [ ] A Дефиниција За квадратну форму се каже да је позитивно дефинисана ако важи Q > кад год је а негативно дефинисана ако је Q < кад год је B Aa Matematka /

35 Дефинисати матрицу других извода Хесеову матрицу Формулисати и доказати теорему о довољним условима за екстремум функције променљивих преко другог диференцијала као квадратне форме Нека у некој околини тачке функција има непрекидне парцијалне изводе до реда и нека је стационарна тачка Нека је и a нека је Q d a Ако је квадратна форма Q позитивно дефинисана функција у тачки има строги минимум Ако је квадратна форма Q негативно дефинисана функција у тачки има строги максимум 3 Ако квадратна форма Q мења знак функција у тачки нама екстремум Доказ θ при томе a α α кад непр изводи у θ Одатле се добија a α ahh αh h ρ B Aa Matematka /

36 где је h ρ ρ При том важи h h Како је Q h h непрекидна функције на затвореном ограниченом скупу B M h h : h h { } она на B достиже свој минимум m и максимум Ако је Q позитивно дефинисана квадратна форма биће Q h h m > јер B Како α за Δρ довољно мало Δρ ρ m α > тј у је минимум Ако је Q негативно дефинисана квадратна форма биће h h M < Q јер B За Δρ довољно мало Δρ биће ρ M α < тј у је максимум 3 Ако Q мења знак мења га и Δ 3 Квадратна форма Дефинисати појамове квадратне форме позитивно и негативно дефинисане форме Дефиниција Сума облика Q a назива се квадратна форма Векторски запис: Q a a a a T [ ] A Дефиниција За квадратну форму се каже да је позитивно дефинисана ако важи Q > кад год је а негативно дефинисана ако је Q < кад год је Формулисати Силвестеров критеријум Теорема Силвестерова Нека је Q дата квадратна форма и Q одговарајућа симетрична матрица Q је позитивно дефинисана форма акко D > D > Q је негативно дефинисана форма акко D < - D > D D су главни минори матрице Q B Aa Matematka /

37 Доказати Силвестеров критеријум за θ при томе a α α кад непр изводи у θ Одатле се добија a α ρ ahh αhh где је ρ h h ρ При том важи h Како је Q h h непрекидна функције на затвореном ограниченом скупу { h h : h h } B максимум M она на B достиже свој минимум m и 4 Ако је Q позитивно дефинисана квадратна форма биће Q h h m > јер B Како α за Δρ довољно мало Δρ ρ m α > тј у је минимум 5 Ако је Q негативно дефинисана квадратна форма биће h h M < Q јер B За Δρ довољно мало Δρ биће ρ M α < тј у је максимум 6 Ако Q мења знак мења га и Δ Последица Ако је A матрица која одговара форми Q A ; када је A симетрична Q A и D D су њени главни минори онда важи: D > D > је строги минимум D < - D > је строги максимум B Aa Matematka /

38 4 Довољан услов за локални екстремум функције више променљивих Диференцијал II реда као квадратна форма Формулисати теорему о довољним условима за екстремум функције две променљиве B Aa Matematka /

39 Доказати теорему о довољним условима за екстремум функције две променљиве B Aa Matematka /

40 5 Условни екстремум функције више променљивих Неопходни услови Дефинисати појам условног екстремума за функцију променљивих са m услова Уколико тражимо екстремуме функције при условима облика g g m може се формирати одговарајућа Лагранжова функција L m g mgm Формулисати и доказати теорему о неопходним условима за условни екстремум функције две променљиве B Aa Matematka /

41 Формулисати теорему о неопходним условима за условни екстремум функције променљивих са m услова Нека је екстремум функције при условима g g m Ако претпоставимо да функције g g m имају парцијалне изводе првог реда у околини тачке и да је g онда rag m m постоје вредности тако да важи m m B Aa Matematka /

42 B Aa Matematka / m m g g L m m g g L g L m m g L

43 6 Условни екстремум функције више променљивих Геометријско тумачење условног екстремума функције Дефинисати појам условног екстремума за функцију променљивих са m услова Уколико тражимо екстремуме функције при условима облика g g m може се формирати одговарајућа Лагранжова функција L m g mgm Формулисати и доказати теорему о неопходним условима за условни екстремум функције променљиве B Aa Matematka /

44 B Aa Matematka /

45 Геометријско тумачење условног екстремума функције B Aa Matematka /

46 B Aa Matematka / 7 Условни екстремум функције више променљивих Неопходни и довољни услови Дефинисати појам условног екстремума за функцију променљивих са m услова Уколико тражимо екстремуме функције при условима облика g g m може се формирати одговарајућа Лагранжова функција m m m g g L Формулисати теорему о неопходним условима за условни екстремум Нека је екстремум функције при условима g g m Ако претпоставимо да функције g g m имају парцијалне изводе првог реда у околини тачке и да је m g m rag онда постоје вредности m m тако да важи m m g g L m m g g L g L m m g L

47 Формулисати и доказати теорему о довољним условима за условни екстремум Теорема Нека функције g g m имају парцијалне изводе до другог реда и нека је m d > онда је условни минимум строги; L L d < онда је условни максимум строги стационарна тачка Лагранжеве функције Ако је Доказ: Нека функција са условима g g m има у тачки условни екстремум и испуњава услове претходне теореме Нека је тачка таква да су у њој испуњени услови g g m Онда је g g где је L прираштај Лагранжове функције само по променљивим Применом Тејлорове формуле под претпоставком да функције имају друге парц изводе L d L 8 Условни екстремум функције више променљивих Довољни услови Дефинисати појам условног екстремума функције променљивих са m услова Уколико тражимо екстремуме функције при условима облика g g m може се формирати одговарајућа Лагранжова функција L m g mgm L Дефинисати Јакобијеву матрицу која одговара условима Дефинисати Јакобијан Дефиниција Нека је дат скуп функција m које у некој тачки имају све парцијалне изводе првог реда Тада се матрица састављена од парцијалних извода тих функција у тачки B Aa Matematka /

48 m m m назива Јакобијевом матрицом датог скупа функција у тачки Ако је m детерминанта Јакобијеве матрице се назива јакобијаном и означава са или D D Дефинисати тангентни простор Формулисати теорему о довољним условима за условни екстремум Нека је S глатка површ а L и L криве дуж којих равни и секу S Раван која садржи тангенте T и T тих кривих у њиховој заједничкој тачки M зове се тангентна раван површи S у тачки M На основу једначина за T и T добија се једначина тангентне равни A B је пројекција тачке M на раван O Теорема Нека функције g g m имају парцијалне изводе до другог реда и нека је m стационарна тачка Лагранжеве функције Ако је L L d > онда је условни минимум строги; d < онда је условни максимум строги B Aa Matematka /