УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМСАДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И

Transcript

1 УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМСАДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Зорана Томић ГРАНИЧНЕ ВРЕДНОСТИ ФУНКЦИЈА Мастер рад Нови Сад, 2012.

2 Предговор Увод... 4 Појам функције ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА... 9 Дефиниција и особине... 9 Кошијеви низови ГРАНИЧНЕ ВРЕДНОСТИ ФУНКЦИЈЕ Дефиниција и особине Кошијев принцип Асимптоте Неке важније граничне вредности функције НЕПРЕКИДНОСТ ФУНКЦИЈЕ Дефиниција непрекидности Операције са непрекидним функцијама Врсте прекида функције Својства функција непрекидних на одсечку Униформна непрекидност ПРИПРЕМЕ ЧАСОВА ЗА ОБРАДУ НОВОГ ГРАДИВА ПРВИ ЧАС: ГРАНИЧНЕ ВРЕДНОСТИ ФУНКЦИЈЕ (обрада) ДРУГИ ЧАС: ЛЕВА И ДЕСНА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ ФУНКЦИЈЕ (обрада) ТРЕЋИ ЧАС: ОСНОВНЕ ТЕОРЕМЕ О ГРАНИЧНИМ ВРЕДНОСТИМА ФУНКЦИЈЕ (обрада) ЧЕТВРТИ ЧАС: ЧЕТИРИ ВАЖНА ЛИМЕСА. БЕСКОНАЧНА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ(обрада) Четири важна лимеса Бесконачна гранична вредност

3 ПЕТИ И ШЕСТИ ЧАС: ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ ФУНКЦИЈЕ (понављање и утврђивање) СЕДМИ ЧАС: НЕПРЕКИДНОСТ ФУНКЦИЈЕ. АСИМПТОТЕ ФУНКЦИЈА. (обрада) Непрекидност функције Асимптоте функције ТЕСТОВИ Први тест Други тест (писмени задатак) ЛИТЕРАТУРА КРАТКА БИОГРАФИЈА

4 ПРЕДГОВОР Предмет изучавања овог рада су граничне вредности функције. Сам почетак рада посвећен је основним појмовима функције, одговара на питања: Шта је функција, пресликавање функције, домен и кодомен, парност и непарност као и монотоност функције. Рад је подељен на два дела. Први део говори о граничним вредностима низова и функција уопште. Садржи три главе. Прва глава, Гранична вредност низа,на почетку даје дефиницију и неке особине низова, затим говори о граничној вредности низа која нам је неопходна као увод у следећој глави, Граничне вредности функције, коју почињемо са дефиницијом граничне вредности, јер смо на почетку рекли шта је функција и њене особине. Дефинишемо леву и десну граничну вредност, а потом говоримо о асимптотама функције јер њих добијамо преко граничних вредности. Такође, преко граничне вредности функције, одређујемо непрекидност, па је трећа глава у првом делу рада управо, непрекидност функције. Други део је и главни део рада, а он говори о граничним вредностима функције у настави. Садржи четири главе. Даље, сам изложила своје припреме за час за детаљну обраду лекција које су им предвиђене наставним планом и програмом, као и примере неких тестова и писмених задатака. Како се граничне вредности функције раде у четвртом разреду средње школе, у прилогу су дати планови и програми по типовима школе, односно по недељном фонду часова. Затим је дат план и програм за економску школу смер економски техничар, којима сам ове године и предавала у средњој школи ''22. Октобар'' у Жабљу. Огромну захвалност дугујем свом ментору, професору др Драгославу Херцегу на одабиру теме као и на корисним саветима и сугетијама током рада. Захваљујем се свом супругу Ивану, сестри Стефани и мами Снежани на несебичној подршци током студирања и у животу. Рад посвећујем покојном оцу Зорану који је заслужан за сваки мој постигнут успех. 3

5 1. УВОД Појам функције Функција је један од основних појмова математике. Дефиниција функције као променљиве величине је несавршена јер се при томе користи нестроги појам променљиве величине и зато се обично користи савременији приступ овом проблему преко теорије скупова. Скуп се у математици узима за основни појам. Декартов производ скупова је скуп уређених парова. Уређен пар елемената чине било која два елемента код којих се зна који од њих је први, а који други. Затим, релација је непразан подскуп Декартовог производа скупова, и коначно, функција је једна врста релације. Дефиниција 1. Уређена тројка (X, Y, f) одређује функцију чији је скуп дефинисаности или домен X често се означава D(f), а скуп у којем функција узима вредност или кодомен Y, често се означава са K(f), док је f правило придруживање по којем сваком елементу из X одговара тачно један елемент из Y. Слика 1. Пресликавање или функција Дефиниција 2. Функција f: X Y зове се сирјекција или на пресликавање ако је K(f) = Y,. Једноставније речено, функција је сирјекција ако и само ако су сви елементи скупа Y нечије слике. Дефиниција 3. Функција f: X Y зове се инјекција или 1-1 пресликавање, ако важи ( 1, 2 X)(f( 1 ) = f( 2 )) ( 1 = 2 ) 4

6 Слика 2. Пресликавање ''1-1'' Дефиниција 4. Функција која је сирјекција и инјекција зове се бијекција или обострано једнозначно пресликавање. Ако је X P и Y P, онда имамо функцију која је дефинисана у неком подскупу скупа реалних бројева и узима вредност у скупу реалних бројева. Таква функција назива се функција једне реалне променљиве. Слика 3. Пресликавање бијекција Дефиниција 5. За функцију f: X P дефинисану на симетричном скупу X P ( X)( X X) кажемо да је: Парна ако ( X) f( ) = f(), 5

7 Слика 4. Парна функција Непарна ако ( X) f( ) = f(). График парне функције је симетричан у односу на y-осу, а график непарне функциије је симетричан у односу на координатни почетак. Слика 5. Непарна функција Дефиниција 6. Функција f: X R реалне променљиве назива се: РАСТУЋА на X ако ( 1, 2 X) 1 < 2 f( 1 ) f( 2 ), СТРОГО РАСТУЋА на X ако ( 1, 2 X) 1 < 2 f( 1 ) < f( 2 ), 6

8 Слика 6. Строго растућа функција ОПАДАЈУЋА на X ако ( 1, 2 X) 1 < 2 f( 1 ) f( 2 ), СТРОГО ОПАДАЈУЋА на X ако ( 1, 2 X) 1 < 2 f( 1 ) > f( 2 ). Слика 7. Строго опадајућа функција 7

9 За функцију која задовољава било који од услова а) или с) кажемо да је монотона, а за функцију која задовољава услове b) или d) да је строго монотона. Пример 1. Посматрајмо функцију f() = 2 на R. Слика 8. Функција f() = 2 Она је монотоно опадајућа на (, 0], a строго растућа на [0,+ ). Дакле, она није монотона на R. 8

10 2. ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА Дефиниција и особине Дефиниција 7. Низ је функција a: N R. Уобичајно је да се пише a n = a(n), n N и a = {a n } n N. Број a n се зове општи члан низа a. Даље ћемо са n означавати неки природан број. Пример 2. a n = a 1 + (n 1)d, n N, a 1, d R је аритметички низ. b n = b 1 q n 1, n N, b 1, q R је геометријски низ. c n = c, n N је стационарни низ. Дефиниција 8. Низ {a n } n N је ограничен ако постоји позитиван реалан број M такав да за свако n N важи a n M. Пример 3. Низ са општим чланом a n = 2n n 2 +3 је ограничен јер је 0 < a n < 2n n 2 = 2n n 2. Пример 4. Низ {( 1) n n α } n N није ограничен ни са горње ни са доње стране. Дефиниција 9. Реалан број L је гранична вредност низа {a n } n N ако за свако ε > 0 постоји n 0 N са особином да за свако n > n 0 важи a n L < ε.односно, ( ε > 0)( n 0 N)( n N)( n > n 0 a n L < ε). Ако је L гранична вредност (граница) низа {a n } n N тада још кажемо да {a n } n N конвергира ка броју L и записујемо: lim n a n = L. Теорема 1. Гранична вредност низа је јединствена. Доказ 1. Претпоставимо супротно тврђењу, да низ {a n } n N има две граничне вредности a и b. За ε = a b > 0, ε-околина тачака a и b су дисјунктне, па је немогуће 2 да и у једној и у другој буду сви сем коначно много чланова низа {a n } n N. Низ дивергира ако не конвергира. Издвајамо две класе дивергентних низова. 9

11 Дефиниција 10. Низ {a n } n N дивергира у + у ознаци lim n a n = +, ако за свако M > 0 постоји n 0 N такав да за свако n > n 0 важи a n > M. Дефиниција 11. Низ {a n } n N дивергира у у ознаци lim n a n =, ако за свако M > 0 постоји n 0 N такав да за свако n > n 0 важи a n < M. Пример 5. Низ a n = 1 n, n N је конвергентан и lim n a n = 0. Нека је дато ε > 0, на основу последице Архимедовог принципа, постоји n 0 N такво да је 0 < 1 n 0 < ε. Онда за све n n 0 важи да је што је и требало показати. a n = 1 n 1 n 0 < ε, Уколико желимо да за познато ε израчунамо n 0, решавамо једначину 1 < ε, добијамо n да је једно решење n 0 = ε Низ {q n } n N, q > 1, дивергира ка +. Из q = 1 + h, за неко h > 0, следи да је q n = 1 + nh за све n 2. За произвољно M R, можемо одредити n 0 N тако да је 1 + n 0 h > M. Сада за све n n 0 важи да је q n > M, Што значи да је lim n q n = +, q > 1. Теорема 2. Сваки конвергентан низ је ограничен. Доказ 2. Нека је lim n a n = a. Како је низ конвергентан, следи да је a R. За свако ε > 0, па и за ε = 1 постоји n 0 N такво да је за све n > n 0, a n a < 1. Нека је l = ma 1, a 1 a, a 2 a,, a n0 1 a. Тада је за све n N a n a l, тј. a l a n a + l, за све n N, што је и требало показати. Теорема 3. Ako je lim n a n = a, тада je lim n a n = a. Доказ 3. Нека је ε > 0 дато. Из lim n a n = a следи да постоји n 0 N такво да је за све n n 0 важи a n a a n a < ε, што значи да је lim n a n = a. Теорема 4. Нека су {a n } n N, {b n } n N и {c n } n N три бројна низа са особинама: lim n a n = lim n c n = a. a n b n c n, за све n N Тада и низ {b n } n N конвергира, односно lim n b n = a. 10

12 a Доказ 4. Нека је a R и нека је ε > 0 дато. Постоје n 0 и n c 0 N. Такви да за све a c n n 0 је a ε < a n < a + ε и за n n 0 је a ε < c n < a + ε. Тада за све n n b 0 = ma{n a 0, n c 0 } важи односно, lim n b n = a. a ε < a n b n c n < a + ε, Теорема 5. Нека су {a n } n N и {b n } n N конвергентни низови и нека је lim n a n = a и lim n b n = b. Тада је lim n (a n + b n ) = lim n a n + lim n b n = a + b Збир два конвергентна низа је конвергентан низ и при томе је гранична вредност збира једнака збиру граничних вредности. lim n (a n b n ) = lim n a n lim n b n = a b Производ два конвергентна низа је конвергентан низ и при томе је гранична вредност производа једнака производу граничних вредности. lim n a n b n = lim n a n lim n b n = a b Количник два конвергентна низа је конвергентан низ ако низ у имениоцу не тежи нули и при томе је гранична вредност количника једнака количнику граничних вредности. Кошијеви низови Дефиниција 12. Низ {a n } n N је Кошијев ако ( ε > 0)( n 0 N)( m, n N)(m, n n 0 a m a n < ε), односно, ( ε > 0)( n 0 N)( n, p N) n n 0 a n+p a n < ε. Теорема 6. Сваки конвергентан низ је Кошијев. Доказ. Нека је ε > 0 дато. Ако је lim n a n = a R можемо одредити n 0 N такав да је за све прородно бројеве n n 0, a n a < ε 2. Сада за све m, n n 0 важи a m a n = a m a + a a n a m a + a a n < ε 2 + ε 2 = ε Што је и требало показати. 11

13 Теорема 7. Теорема 8. Теорема 9. Сваки Кошијев низ је ограничен. Сваки Кошијев низ има највише једну тачку нагомилавања. Бројни низ је конвергентан ако и само ако је Кошијев. 12

14 3. ГРАНИЧНЕ ВРЕДНОСТИ ФУНКЦИЈЕ Дефиниција и особине Појам граничне вредноѕти уведен је у циљу испитивања понашања функције у околини неке тачке без обзира да ли је функција у тој тачки дефинисана или не. Дефиниција 13. Нека је f: X R функција реалне променлјиве и aεr тачка нагомилавања скупа X. Кажемо да је bεr гранична вредност (лимес) функције f у тачки a и пишемо lim a f() = b ако за сваку околину V(b) тачке b постоји околина U(a) тачке a таква да ( εx) εu(a), a f()εv(b). Користећи ознаку U(a) lim a = U(a) {a} можемо записати f() = b V(b) U(a) f U(a) V(b) Слика 8. Гранична вредност функције у тачки Дефиниција 14. Нека је a, bεr. Кажемо да је lim a f() = b ако ( ε > 0)( δ > 0)( εx)(0 < a < δ f() b < ε). Дефиниција 15. Нека је aεr. Кажемо да је lim a f() = + ако ( M > 0)( δ > 0)( εx)(0 < a < δ f() > M). 13

15 Слика 9. Плус бесконачно. Гранична вредност функције у тачки слева Дефиниција 16. Нека је aεr. Кажемо да је lim a f() = ако ( M > 0)( K > 0)( εx)( > K f() < M). Слика 9. Минус бесконачно. Гранична вредност функције у тачки слева Пример 6. Показати по дефиницији 2.2. да је lim 2 (2 5) = 1 14

16 Пример 7. Потребно је показати да за произвољно ε > 0 постоји δ > 0, тако да из неједнакости 0 < 2 < δ следи f() ( 1) < ε, где је f() = 2 5. Тако добијамо 2 5 ( 1) = 2 2 < ε. Тада је неједнакост f() ( 1) < ε испуњена ако важи 0 < 2 < ε 2, па можемо узети δ ε 2. Значи, за дато ε постоји δ тако да из 0 < 2 < δ = ε 2 следи f() ( 1) < ε. Дефиниција 17. Нека је f: X R и нека је a тачка нагомилавања скупа X = {εx < a }. Вредност lim f() = lim f() a 0,εX a,εx Назива се лева гранична вредност функције f у тачки a и ако постоји означава се са f(a 0). Слика 10. Лева гранична вредност функције Аналогно, десна гранична вредност функције f у тачки a се дефинише као гранична вредност функције f у тачки a на скупу X + = {εx > a }, односно Уколико постоји, означава се са f(a + 0). lim f() = lim f() a +0,εX a,εx + 15

17 Слика 11. Десна гранична вредност функције Пример 8. Функција f() = sgn, εr, има и леву и десну граничну вредност у нули и при томе је: lim f() = 0 0,εR lim 0,εR f() = 1 lim f() = lim f() = ,εR 0,εR + Слика 12. Функција f() = sgn 16

18 Теорема 10. Функција f: X R има граничну вредност у тачки a, која је тачка нагомилавања скупова X и X +, ако и само ако има и леву и десну границну вредност у тачки a и оне се поклапају. Теорема 11. Ако функција f има граничну вредност у тачки a, она је јединствено одређена. Теорема 12. Ако функција има коначну граничну вредност у тачки a, онда постоји околина UεV(a), таква да је функција f ограничена на U {a}. Доказ 5. Нека је lim a f() = bεr. За сваку околину тачке b, па и за околину (b 1, b + 1) постоји околина UεV(a) таква да је f(u {a}) (b 1, b + 1), тј. да је за све εu {a} што је и требало показати. b 1 < f() < b + 1, Теорема 13. Ако је lim a f() = b тада је lim a f() = b (обрнуто не важи). Теорема 14. Ако је lim a f() = b 0 онда постоји околина UεV(a) таква да је за све εu {a} f() 0 и има исти знак као и b. Доказ 6. Нека је b > 0 и bεr. За ε = b > 0 одредимо UεV(a) такво да је f() b<b. То значи да је за све εu b < f() b < b, односно 0 < f() < 2b. За "b < 0" бирамо ε = b > 0. Аналогно и за b = ±. Теорема 15. Ако за неку околину UεV(a) испуњен услов да је за све εu {a}, f() g() и функције f и g имају граничну вредност у тачки a, тада је lim f() lim g() a a Теорема 16. Нека су f, g, h: X R три функције и нека је за све из неке околине тачке a, са изузетком тачке a, aεr, f() g() h(), Ако је lim a f() = lim a h() = bεr, тада је и lim a g() = b. Пример 9. За 0 < < π важи неједнакост sin < < tg 2 одакле се добија да је cos sin < 1 < 1 sin 17 / sin

19 cos < sin < 1 Пошто је sin lim 0 = 1. lim 0 cos = 1 на основу претходне теореме следи да је Теорема 17. Нека је lim a f() = b, lim a g() = c и b, cε R. Тада је: lim a ( f() ± g()) = lim a f() ± lim a g() = b ± c; lim a ( f() g()) = lim a f() lim a g() = b c; f() lim a = lim a f() = b, c 0. g() lim a g() c Теорема 18. (гранична вредност сложене функције) Нека је B R и bεr тачка нагомилавања скупа B, нека је g: B R и нека је lim y b,yεb g(y) = c. Нека је A R, aεr, тачка нагомилавања скупа A, f: A B при чему за сваку V околину тачке b постоји U околина тачке a таква да је Тада је lim a,εa (g f)() = c. f ( U {a}) A V {b} Доказ 7. За произвољно WεV(c) постоји VεV(b) такво дa je g (V {b}) B W јер је lim y b g(y) = c. За ту V околину тачке b, постоји околина UεV(a) таква да је f ( U {a}) A V {b} пa je (g f) ( U {a}) A = g f ( U {a}) A g (V {b}) B W А то и значи да је lim a,εa g f() = c. Кошијев принцип Теорема 19. Функција једне реалне променљиве f: X R има коначну граничну вредност у тачки aεr (која је тачка нагомилавања скупа X) ако и амо ако важи: ( ε > 0) U V(a) (, X)(, U {a} f( ) f( ) < ε). Доказ 8. ( ) Нека је дато ε > 0. Ако је lim a f() = bε R. Одредимо околину U V(a) таква да је ѕа све U {a},, X f() b < ε. За произвољне две 2 тачке, (U {a}) A важи да је 18

20 f( ) f( ) f( ) b + b f( ) < ε 2 + ε 2 = ε. ( ) Нека је { n } n N X {a} и lim n n = a. За дато U V(a) која задовољава услов ε > 0 и околину ( ε > 0) U V(a) (, X)(, U {a} f( ) f( ) < ε). Одредимо n 0 N такво да је за све n n 0 n U {a} Сада за све m, n n 0 је f( m ) f( n ) < ε, што значи да је низ {f( n )} n N Кошијев, а самим тим и конвергентан. Нека је lim n f( n ) = bε R. Треба још проверити да и за било који други низ је {y n } n N са особинама {y n } n N X {a} и lim n y n = a је lim n f(y n ) = b. Правимо низ z n = n, n = 2k + 1 k = 0,1,2, y n, n = 2k k = 1,2, кад n, (односно низ 1, y 2, 3, y 4, 5, y 6 a) који тежи ка a, Сви чланови овог низа су различити од a па је {f(z n )} n N, на основу доказаног, конвергентан низ. Користећи сада тврђење о јединствености граничне вредности низа и чињеницу да сви поднизови конвергентног низа конвергирају ка његовој граници добија се да број b не зависи од избора низа { n } n N. Асимптоте Тачка M на графику f() се приближава некој правој када се бесконачно удаљава од координатног почетка. Такве праве називају се асимптоте. Оне могу бити Вертикалне, облика = a Хоризонталне, облика y = b Косе, облика y = k + n, k 0. Оне се једним имeном називају праволинијске асимптоте. Дефиниција 18. Функција f је ''велико о'' функције g, кад a, ако постоје околина U V(a) и M > 0 такви да је за све U {a} f() M g() Тада пишемо f() = O(g()), кад a и кажемо да је функција f ограничена у односу на функцију g у некој околини тачке a. 19

21 O(1) кад a је скуп свих функција ограничених у некој околини тачке a. Дефиниција 19. Функција f је ''мало о'' функције g, кад a, ако постоје околина U V(a) и бесконачно мала функција ε(), кад a, такви да за све U {a} f() = ε() g() Тада пишемо f() = o(g()), кад a. o(1), кад a је скуп свих бесконачно малих функција кад a. Дефиниција 20. Функција f се асимптотски понаша ка функцији g када a ако постоје околина U V(a) и функција α таква да је за све U {a} f() = α() g() и lim a α() = 1 Тада пишемо f g, када a и читамо '' f еквивалентно са g када a'' или '' f се асимптотски понаша као g када a''. Дефиниција 21. Нека је функција f дефинисана за све > M ( < M). Ако постоје бројеви k и l такви да је (*) f() (k + l) = o(1), + ( ) Права y = k + l назива се асимптота графика функвије y = f() кад + ( ). Бројеви k и l одређују се помоћу формуле k = lim + f() и l = lim + f() k ( ). Када је k = 0 график функције f има ХОРИЗОНТАЛНУ АСИМПТОТУ y = l кад + ( ) и при томе је l = lim f() ( кад ) + Када је k 0, права y = k + l назива се КОСА АСИМПТОТА графика функције f кад + ( ). Подсетићемо се области дефинисаности неких функција За рационалну функцију P(), важи Q() 0. Q() За функцију ln, важи > 0. За функцију, важи 0. 3 Функција је дефинисана на целом скупу R. Функција e је дефинисана на целом скупу R. За функцију arcsin важи 1 1. Функција arctg је дефинисана на целом скупу R. 20

22 Дефиниција 22. Нека је функција f дефинисана у некој околини тачке 0 сем у тачки 0. Ако је бар једна од граничних вредности lim f() и lim f() Једнака + или права = 0 назива се 0 ВЕРТИКАЛНА АСИМПТОТА графика функције f. Пример 10. Наћи асимтоте следећих функција: y = e 1 y = y = ln НАПОМЕНА: Лопиталово правило f() Ако се при израчунавања граничне вредности lim a јави неодређен облик 0 g() 0 или тада користимо Лопиталово правило (наравно f() и g() су диференцијалне у тачки = a и (g()) 0)). f() Тада је lim a = lim f () g() a, ако опет добијемо неодређени облик 0 или g () 0 онда је lim a f() g() = lim a Одређени изрази су: f () g () итд. k = (k 0) A = 0 (A је неки број) A 0 = (A је неки број) = + = Неодређени изрази су:

23 Решење. Слика 13. Функција f() = e 1 Вертикална асимптота Како је функција y = e 1 дефинисана за 0, = 0 је потенцијална вертикална асимптота. Како је lim 0+ε e1 = (0 + ε)e 1 0 = 0, што је неодређен израз, морамо применити Лопиталово правило, али пре тога морамо функцију написати у облику 0 0 или. 1 e 1 lim 0+ε e1 = lim 0+ε извод именилаца и бројилаца посебно а онда пуштамо да 0. 1 e 1 =, можемо применити Лопиталово правило, траћимо 1 e ( 1 2) 1 lim = lim = lim 0+ε 0+ε 2 0+ε,ε 0 e1 = e + =. 1 lim 0 ε e1 = (0 ε)e ε = 0 0 = 0. Хоризонтална асимптота: lim + e1 = e 1 = e 0 = 1 = 22

24 lim e1 = e 1 = e 0 = 1 =. Дакле немамо хоризонталну асимптоту па ћемо тражити косу асимптоту. Коса асимптота је права y = k + l треба одредити k и l. k = lim ± f() и l = lim ± (f() k ) f() k = lim ± = lim e 1 ± = lim ± e1 = e 1 = e 0 = 1 l = lim (f() k ) = lim ± ± (e1 ) = lim ± (e1 1) Како је lim ± (e 1 1) = 0 неодређен израз, као и код вертикалне асимптоте, применићемо Лопиталово правило. lim ± (e 1 1) = lim ± 1 e 1 1 = lim ± 1 e( 1 2) =lim 1 ± e=e 1 1 = e 0 = 1 2 Добили смо и косу асимптоту фукнције f() = e 1, права y = + 1. Слика 14. Асимптоте функције f() = e 1 23

25 y = Слика 15. Функција f() = +1 1 Вертикална асимптота Домен функције y = +1 1 тражити у тачки = 1. lim ± +1 lim = 2 1+ε кад ε ε позитивне стране кад функција y = +1 тежи у lim = 2 1 ε кад ε ε је R {1}, према томе, вертикалну асимптоту ћемо = +, значи да се приближава јединици са 1 негативне стране кад функција y = +1 1 Хоризонтална асимптота = lim ± 1 =, значи да се приближава јединици са тежи у. = lim 1 ± = 1 + lim 1 ± 2 1 = 1 Добили смо да је хоризонтална асимптота y = 1, дакле косу асимптоту немамо. 24

26 Слика 16. Асимптоте функције f() = +1 1 y = ln Слика 17. Функција f() = ln

27 Вертикална асимптота Пре свега, морамо одредити домен функције y = ln > 0, правимо таблицу: Дакле, функција y = ln 2 је дефинисана за (, 1) (2, + ). +1 Како функција на интервалу ( 1,2) није дефинисана, вертикалну асимптоту ћемо тражити и = 1 са леве стране и = 2 са десне стране. Односно, 2 lim ln = ln lim 2+ε,ε 0 +1 функције ln) 2 lim ln 1 ε,ε 0 +1 = ln lim 2 2+ε,ε ε,ε ε 2 = ln = ln0 = (због непрекидности 2 2+ε+1 1 ε 2 = ln = ln =. 1 ε+1 Хоризонтална асимптота 2 lim ln = ln( lim ± + 1 ± 2 ) = ln (lim + 1 ± Хоризонтална асимптота функције ln 2 +1 Косу асимптоту немамо ) = ln1 = је y = 0. 26

28 Слика 18. Асимптоте функције f() = ln 2 +1 Неке важније граничне вредности функције sin lim 0 = 1 lim ( ) = e ln(1 + ) lim = 1 0 lim 0 a 1 1 cos lim 0 2 = 1 2 lim 0 (1+) α 1 = lna, a R + = α, α R lim α + a = 0, a > 1, α R ln lim + α = 0, α > 0 27

29 lim 0 Задатак 1. Решити следеће граничне вредности: 2 sin2sin 1 sin 2 lim ( ) lim a a a a, a > 0 lim 0 Решење. Користићемо lim 0 sin 2 sin2sin 1 sin 2 = lim 0 1 cos = lim 2 0 sin2sin 2 2 = lim 0 1 cos 2 sin sin2 2 = 1 и lim 0 2sin 2sincos sin2sin 2 = = 1 2 Користимо lim + (1 + 1 ) = e lim = lim (+1) = lim ( + 1) = e + lim (+1) = e lim + (+1) +1 = e lim Користимо lim 0 (1+) α 1 lim a a a a a a 1 = a a ln( a e ). = aa lim a a a 1 a 1 cos 2 = 1 2 = lim cos sin2sin = lim = e + lim = e 1 = 1 e a = α, α R и lim 1 0 = lna, a R + lim a (1+ a a )a 1 a a a 1 = a a lna a a 28

30 4. НЕПРЕКИДНОСТ ФУНКЦИЈЕ Дефиниција непрекидности Дефиниција 23. Фукнција f() је непрекидна у тачки 0 ако је lim 0 f() = f( 0 ) Слика 19. Непрекидност функције у тачки Другим речима: ( ε > 0)( δ(ε) > 0)( 0 < δ f() f( 0 ) < ε) Ова дефиниција подразумева: Функција је дефинисана у тачки 0, тј. постоји f( 0 ) Постоји лева и десна гранична вредност функције у тачки 0 и једнаке су lim 0 f() = f( 0 ). Пример 11. 2, < 1 0, = 1 f() = 1, > 1 29

31 y y = f () 1 Слика 20. Лева и десна гранична вредност функције 2, < 1 0, = 1 f() = 1, > 1 lim 1 0 f() = lim2 = 2 lim f() = lim = Дакле, задата функција није непрекидна у тачки 0 = 1. Дефиниција 24. Функција f() је непрекидна здесна у тачки 0 ако је lim f() = f( 0 ) 0,> 0 Непрекидна слева у тачки 0 ако је lim f() = f( 0 ). 0,< 0 Дефиниција 25. Функција f() је непрекидна на интервалу (a, b) ако је непрекидна у свакој тачки тог интервала. Дефиниција 26. Функција f() је непрекидна на интервалу [a, b] ако је непрекидна на интервалу (a, b) и ако је у тачки = a непрекидна здесна, а у тачки = b слева. Нека је функција f() дефинисана у некој околини тачке 0 и нека је произвољна тачка те околине. Дефиниција 27. Величина Δ = 0 називамо прираштај аргумената у тачки 0, а величину Δy = f() f( 0 ) називамо прираштај функције у тачки 0. Теорема 20. Функција f() је непрекидна у тачки 0 ако и само ако важи: Δ 0 Δy

32 Пример 12. Функција f() = 2 је непрекидна у свакој тачки R. Решење. Δ 0. Δy = f( + Δ) f() = ( + Δ) 2 2 = 2Δ + (Δ) 2 0 кад Пример 13. Функција f() = sin је непрекидна у свакој тачки R. Решење. Δy = f( + Δ) f() = sin( + Δ) sin = 2cos( + Δ Δ )sin Δy 2 1 sin Δ 2 < 2 Δ = Δ 0 кад Δ 0. Користили смо неједнакост sin <, Слика 21. Функција f() = sin НАПОМЕНА: Све елементарне функције су непрекидне: Полиноми: P n () = a 0 n + a 1 n a n 1 + a n Рационалне функције: R() = P n() (количник два полинома) Q m () Тригонометријске функције: f() = sin, f() = tg, f() = ctg. 31

33 f() = cos Слика 22. Функција f() = cos Експоненцијалне функције: f() = a, (a > 0, a 1) Слика 23. Функцијаf() = e Логаритамске функције: f() = log a, (a > 0, a 1) Слика 24. Функцијаf() = ln 32

34 Операције са непрекидним функцијама Теорема 21. Ако су f() и g() непрекидне функције у тачки 0 онда су у тачки 0 непрекидне и функције: f() g() ако је g( 0) 0 f() ± g() f()g() Доказ 9. Како су f() и g() непрекидне функције у тачки 0, важи lim f() = 0 f( 0 ) и lim g() = g( 0 ). Даље је 0 lim f() + g() = lim f() + lim g() = f( 0 ) + g( 0 ) Одакле следи да је функција f() + g() непрекидна у тачки 0. Аналогно се доказује и за остале функције. Теорема 22. Ако је функција g() непрекидна у тачки 0, а функција f() непрекидна у тачки u 0 = g( 0 ), онда је сложена функција f g() непрекидна у тачки 0. Пример 14. Функција f() = sin(ln) је непрекидна за свако (0, + ). Врсте прекида функције Дефиниција 28. Тачка = 0 је тачка прекида функције f() ако је функција дефинисана у околини тачке 0 осим у тачки 0 или је дефинисана у тачки 0, али у тој тачки није непрекидна. Пример 15. Пример 16. За функцију f() = 1, = 0 је тачка прекида 1, > 0 f() = sgn() = 0, = 0 ; тачка = 0 је тачка прекида. 1, < 0 Дефиниција 29. Тачка прекида је тачка прекида прве врсте ако у тој тачки постоје коначне лева и десна гранична вредност. Пример 17. f() = sin ; lim 0 +f() = 1, lim f() =

35 Слика 25. Функцијаf() = sin Пример 18. f() = sgn() lim 0 +f() = lim 0 f() f(0) = 0 Слика 26. Функција f() = sgn() Дефиниција 30. Тачка прекида је тачка прекида друге врсте ако није тачка прекида прве врсте. 34

36 Пример 19..f() = 1 2, 0 = 0; lim 0 f() = Слика 26. Функција f() = 1 2 Пример 20. f() = sin 1 0 = 0; limf() не постоји 0 Слика 27. Функција f() = sin 1 35

37 Својства функција непрекидних на одсечку Теорема 23. Ако је функција f() непрекидна на одсечку [a, b], онда је она ограничена на том одсечку. Теорема 24. (Вајерштрасова) Ако је функција f() непрекидна на одсечку [a, b], онда она на том одсечку достиже своју најмању и највећу вредност. Односно, ( 0 )( 0 [a, b]) f( 0 ) f() [a, b] ( 0 )( 0 [a, b]) f( 0 ) f() [a, b] Доказ 10. Нека је L = sup{f(); [a, b]} (најмање горње ограничење функције на [a, b]). Доказаћемо да постоји тачка 0 [a, b] таква да је f( 0 ) = L. Претпоставимо супротно: f() = L, [a, b]. Тада је функција φ() = 1 L f() Позитивна и непрекидна на одсечку [a, b] па је према претходној теореми (Теорема 23.) ограничена на одсечку [a, b]: 1 L f() < M, [a, b] M > 0 f() < L 1, [a, b] M Што је супротно претпоставци да је L најмање горње ограничење функције f() на одесчку [a, b]. Слично се доказује и за најмању вредност. Теорема 25.. (Прва Коши-Болцанова) Ако је функција f() непрекидна на одсечку [a, b] и на крајевима одсечка има вредности различитог знака, онда постоји тачка c, a < c < b, таква да је f(c) = 0. Доказ 11. Нека је a 0 = a, b 0 = b и 0 = a 0+b 0. 2 Нека је f(a) < 0, f(b) > 0. Ако је f( 0 ) = 0 тада је 0 = c. Ако је f( 0 ) < 0 ставимо a 1 = 0, b 1 = b 0, а ако је f( 0 ) > 0 ставимо a 1 = a 0, b 1 = 0. Бирамо средину одсечка [a 1, b 1 ]: 1 = a 1+b 1 2 и поступак понављамо. 36

38 Тако добијамо низ уметнутих одсечака: [a 0, b 0 ] [a 1, b 1 ] [a n, b n ] чија је дужина b n a n = b a 2n 0, n. Према Канторовом принципу постоји јединствена тачка c [a n, b n ], n = 1,2, таква да је c = lim n a n = lim n b n. С друге стране је f(a n ) < 0, f(b n ) > 0, (n ). Због непрекидности функције f() важи: lim f(a n) = f lima n = f(c) 0 n n lim n f(b n ) = f lim n b n = f(c) 0. Одакле следи да је f(c) = 0. Теорема 26.. (Друга Коши-Болцанова) Нека је функција f() непрекидна на одсечку [a, b] и нека је f(a) = A, f(b) = B, A < B. Ако је C било који број који задовољава услов A < C < B, онда постоји c (a, b) такво да је f(c) = C. Доказ. Правимо помоћну функцију g() = f() C. Тада је g() непрекидна на одсечку [a, b] и важи: g(a) = f(a) C = A C < 0 g(b) = f(b) C = B C > 0 према првој Коши-Болцановој теореми, постоји c (a, b) такво да је g(c) = 0, тј. f(c) C = 0, односно f(c) = C. Униформна непрекидност Дефиниција 31. Функција f() је униформно непрекидна на интревалу (a, b) ако ( ε > 0)( δ(ε) > 0)( 1 2 < δ f( 1 ) f( 2 ) < ε); 1, 2 (a, b). Пример 21. [a, b]. Функција f() = 2 је униформно непрекидна на сваком одсечку 37

39 Решење. ( f( 1 ) f( 2 ) ) = = ( ) 1 2<2M1 2 Где је M = ma{ a, b }, према томе ако за ε > 0 узмемо δ = δ(ε) = ε имамо 2M ε када је 1 2 < δ онда важи f( 1 ) f( 2 ) < 2M = ε. 2M n = Међутим, функција f() није униформно непрекидна на скупу R. Нека је n = n + 1, n = n. Тада је f( n ) f( n ) = n + 1 n = 1, а при томе n n = n , (n ). n+1+ n Теорема 27. Ако је функција f() непрекидна на одсечку [a, b], онда је она и униформно непрекидна на том одсечку. 38

40 5. ПРИПРЕМЕ ЧАСОВА ЗА ОБРАДУ НОВОГ ГРАДИВА ПРВИ ЧАС: ГРАНИЧНЕ ВРЕДНОСТИ ФУНКЦИЈЕ (обрада) Уводни део часа Поновићемо основне појмове код функција Главни део часа Посматрамо функцију f() = 2. Домен ове функције је R, односно дефинисана је за (, + ) онда је дефинисана и за = 3. Како не можемо да проверимо вредност дате функције за бесконачно много, а ни за коначно много, вредности броја, па ћемо видети шта се дешава за шест вредности променљиве које су блиске броју 3. Када променљива узима низ вредности 1, 2, 3,, n, које се приближавају броју 3, онда функције f() добија низ вредности f( 1 ), f( 2 ), f( 3 ),, f( n ), које се приблизавају ка броју 9 Правимо таблицу за израчунавање вредности функције за 6 вредности аргумента, блиских броју 3: 2,9 3,1 2,99 3,01 2,999 3, ,41 9,61 8,9401 9,0601 8, , Можемо уочити да се вредност функције f() = 2 приближава броју 9 са леве или десне стране у зависности од вредности променљиве. Каже се да је број 9 гранична вредност (лимес) функције f() = 2 када тежи броју 3 или функција f() = 2 конвергира броју 9 кад тежи броју 3: lim 2 = 9 3 За функцију f() = 2 је f(3) = 9. Дакле, та функција не само да има граничну вредност у тачки = 3 већ је она једнака вредности функције у тој тачки. Међутим, посматрајмо сада функцију f() = ( 2). 39

41 За разлику од претходне функције, ова функција није дефинисана у = 2, односно дефинисана је за R {2}. Да видимо онда шта се код оваквих функција дешава у околини оног броја за који та функција није дефинисана, у овом случају правимо таблицу за пет вредности променљиве које су блиске броју 2 : 1,9 2,1 1,99 2,01 1, ( 2) 4,95 5,05 4,995 5,005 4,9995 Показаћемо да је f() 5 ε за произвољно ε > 0 када је 0 < 2 δ где је δ > 0 и зависи од ε. f() 5 ε ( 2) 5 ε ε 2( 2) ( 2)2 ε 0 < 2 2ε 2( 2) Следи: 0 < 2 2ε ε 2( 2) То значи да из 0 < 2 δ за δ = 2ε следи неједнакост што је и требало показати. Функција f() = конвергира броју 5 кад тежи броју 2: 2( 2) lim ( 2) = 5 2( 2) 5 ε Вредност ове функције у тачки = 2, за разлику од претходне, није једнака њеној граничној вредности када тежи 2, јер она није дефинисана у тачки = 2. На основу ова два примера, можемо конструисати дефиницију граничне вредности функције f() кад тежи некој тачки a, али морамо претпоставити да је функција дефинисана у некој околини тачке a, осим можда у самој тачки a ( ε > 0)( δ > 0)( εx)(0 < a < δ f() b < ε) lim f() = b a b је гранична вредност функције f() у тачки a. 40

42 Закључујемо да тачка у којој се тражи гранична вредност функције, може а и не мора бити у домену те функције, односно када тражимо граничну вредност неке функције у тачки a, не тражимо њену вредност у тој тачки,односно не тражимо f(a), чак и када постоји f(a), не мора бити да је lim a f() = f(a). Сада ћемо дати пример функције која има две гране, да видимо шта се дешава са граничном вредношћу такве функције: Пример 22. Нека је 2 1, 1 f() = 0, = 1 Тада је f( 1) = 0 и lim 1 f() = lim 1 (2 1) = 3, уочимо да постоји f( 1) и lim 1 f() али да те вредности нису једнаке. Домаћи: Аналитички показати тачност релације lim 1 (2 1) = 3. ДРУГИ ЧАС: ЛЕВА И ДЕСНА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ ФУНКЦИЈЕ (обрада) Уводни део часа Проверити домаћи са прошлог часа и поновити дефиницију граничне вредности lim (2 1) = 3 1 Требало је наћи δ = δ(ε) > 0 такво да важи ( 1) δ 2 1 ( 3) ε f() ( 3) ε 2 1 ( 3) ε ε ε + 1 ε 2 Следи: ( 1) ε ( 3) ε Односно из ( 1) δ за δ = ε следи неједнакост 2 1 ( 3) ε што 2 је и требало показати. 41

43 Главни део часа На овом часу ћемо видети шта се дешава са функцијама из чијег домена не искључујемо само тачку већ интервал, а онда ћемо увести и појам леве и десне граничне вредности. Посматрајмо функцију f() =, знамо да је она дефинисна за 0, односно за [0, + ). Знамо да се о lim a f() говори ако је функција f() дефинисана у некој околини тачке a, односно за неко < a и неко > a, осим можда у самој тачки a. Како функција f() = није дефинисана за < 0 испитујемо понашање функције кад 0 и узима вредности десно од нуле. Правимо таблицу: 0,25 0,16 0,09 0,04 0,01 0,0001 0, ,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,01 0,001 Показаћемо да је 0 = ε за ε > 0 када је > 0 и 0 δ Дакле, ε 0 ε 2 0 ε Што значи да δ = ε 2 обезбеђује тачност импликације: 0 < 0 δ 0 ε Каже се да је 0 десна гранична вредност фукнције f() = у тачки 0. Пише се: lim 0,>0 = 0 или lim +0 = 0. Дефиниција 32. Број b 2 је десна гранична функције f() у тачки = a ако: ( ε > 0)( δ > 0)( εx)(0 < a < δ f() b 2 ε) lim a,>a f() = b 2 или lim a+0 f() = b 2 Дефиниција 33. Број b 1 је лева гранична функције f() у тачки = a ако: ( ε > 0)( δ > 0)( εx)( δ < a < 0 f() b 1 ε) lim a,<a f() = b 2 или lim a 0 f() = b 2 Теорема 28. Ако постоји lim a 0 f() и lim a+0 f() и ако су они једнаки, онда постоји и lim a f() и при томе је lim a 0 f() = lim a f() = lim a+0 f(). 42

44 Одмах дајемо и пример за ову теорему: Задатак 2. Испитати да ли постоји lim 2 f() ако је: 1, < 2 f() = 2 1, 2 Слика 28. Функција 1, < 2 f() = 2 1, 2 Решење. lim 2 0 f() = lim 2 0 (1 ) = lim 2 (1 ) = 3 lim f() = lim (2 1) = lim 2 (2 1) = 3 Како лева и десна гранична вредност постоји у = 2 и оне су једнаке, на основу претходне теореме важи lim 2 f() = 3. Домаћи. Задатак 3. Испитати да ли постоји lim 0 +. Овим задатком дајемо пример функције која има леву и десну граничну вредност али оне нису једнаке. 43

45 ТРЕЋИ ЧАС: ОСНОВНЕ ТЕОРЕМЕ О ГРАНИЧНИМ ВРЕДНОСТИМА ФУНКЦИЈЕ (обрада) Уводни део часа Проверити домаћи са прошлог часа. + f() = Слика 29. Функција + f() = + ( ) = 0 = 0, < 0 f() = + = 2 = 2, > 0 Функција f() није дефинисана у тачки = 0, али је дефинисана у свакој околини те тачке. Зато тражимо lim 0 f() и lim +0 f() lim f() = lim 0 = lim +0 f() = lim +0 2 = 2, како леви и десни лимеси постоје, али они нису једнаки, значи да не постоји lim 0 f(). 44

46 Главни део часа Уводимо теореме које ћемо користити приликом одређивања граничнне вредности збира, разлике, производа и количника функције. Теорема 29. Ако постоје lim a f() и lim a g(), онда постоји и lim a [f() ± g и при томе важи: lim [f() ± g()] = lim f() ± lim g() a a a Теорема 30. Ако постоје lim a f() и lim a g(), онда постоји и lim a [f() g и при томе важи: lim [f() g()] = lim f() lim g() a a a важи: Ако постоји lim a f(), онда за свако k R постоји и lim a [kf()] и lim [kf()] = k lim f() a a Теорема 31. Ако постоје lim a f() и lim a g(), и при томе је lim a g() 0 онда постоји и lim a f() и важи: g() lim f() lim f() a g() = a lim g() a Теорема 32. (теорема о укљештеној функцији): Нека у некој околини тачке a, осим можда у самој тачки a, важи: g() f() h() тада из lim a g() = lim a h() = b следи lim a f() = b. Сада ћемо урадити неколико примера за чије решење су нам потребле претходно дате теореме. Задатак 4. Решење. Наћи lim 1 ( ) Приметимо да у овом задатку имамо функцију која је саставлљена из збира и производа других функција па је за решавање потребно употребити теореме 29 и 30: lim 1 ( ) = lim 1 (92 ) + lim (6) + lim 8 = 9 lim lim

47 = 9 lim lim + 6( 1) + 8 = 9( 1)( 1) = = Задатак 5. Наћи lim Решење. Како ова функција није дефинисана за =2 прво ћемо написати бројилац и именилац у облику чиниоца, користимо разлику кубова и разлику квадрата, а после скраћивања употребићемо теореме 29,30, lim 2 = 2 4 = lim 2 (2 )( ) ( 2)( + 2) lim ( ) ( ) lim ( + 2) = = 3 (2 + 2) 2 = lim 2 ( ) ( + 2) Овај задатак је важан јер није довољно само применити горе поменуте теореме. Пре свега ученици морају одредити домен функције, а затим препознати разлику кубова и квадрата. Неко од ученика ће испред табле решавати следеће задатке. Приликом решавања користимо претходно дате теореме. Задатак 6. Наћи lim Ако бисмо одмах применили теореме добили бисмо неодређен израз '' 0 0 ''. Према томе и у овом задатку треба искористити претходно знање, потребно је рационалисати бројилац и именилац, односно помножити бројилац са 5++2, а 5++2 именилац са Након извршеног поступка рационалисања и применом теореме о 2++1 граничној вредности количника и збира функције, за решење добијамо 1 2 Наћи lim 2 ( ) 46

48 Директним убацивањем вредност = 2 добијамо ''дељење нулом'', значи да је потребно извршити неку трансформацију. Сабраћемо та два разломка и добијамо применом теореме о количнику функције добијамо решење , Задатак 7. Наћи lim Идеја приликом решавања оваквих задатака, где имамо полином и у бројиоцу и у имениоцу је да ''извучемо'' у бројиоцу и у имениоцу, скратимо и добијамо , потом примењујемо претходно дате теореме и добијсмо за решење 3 2. Домаћи. За домаћи рад дајем задатак за који је приликом решавања потребно користити све теореме, односно теореме за одређивања граничнне вредности збира, разлике, производа и количника функције. Задатак је аналоган задатку 7. Који смо урадили на часу. Задатак Наћи lim ЧЕТВРТИ ЧАС: ЧЕТИРИ ВАЖНА ЛИМЕСА. БЕСКОНАЧНА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ(обрада) Четири важна лимеса 1. lim 0 sin = 1 Задатак 9. lim 0 = lim sin 0 1 sin = 1 tg lim 0 = lim(sin 0 1 cos ) = = 1 sin2 lim = lim sin = 1 2 = 2 2. lim 0 (1 + ) 1 = e Ова гранична вредност је битна за економисте, јер при датој номиналној стопи се са повећањем броја капитаисања повећава и ефективна каматна стопа. Но, повећање 47

49 ефективне каматне стопе није неограничено, односно ефективна каматна стопа има граничну вредност ако број капиталисања тежи бесконачности. Тада говоримо о континуираном капиталисању, јер претпостављамо да се капиталисање врши у временским интервалима који тежи ка нули, односно континуирано. стопа Ако је p дата годишња каматна стопа и m број капиталисања, онда је ефективна А укамаћена вредност након n година Па је код континуираног капиталисања Јер је p e = 1 + p m m 1 V = G(1 + p e ) n V = G lim 1 + p mn m m = G lim m 1 + p m m lim 1 + p m m p = e m p pn = Ge np log 3. lim a (1+) 0 ln(1+) 4. lim 0 = 1 = log a e = 1 lna Уводимо смену a 1 = t кад 0 онда и t 0 a 1 lim 0 = lim t 0 За a = e lim 0 e 1 t log a (1 + t) = lim t 0 = 1 1 log a (1 + t) 1 = 1 t log a e = lna Решавамо задатке у којима треба препознати неки од предходно дата лимеса. Задатак 10. Наћи следеће граничне вредности: e e lim 0 sin e sin2 1 lim 0 ln(1 ) lim 0 1 cos 2 48

50 Решење. Слика 29. Функција e e lim 0 sin e sin2 1 lim 0 ln(1 ) = lim( esin2 1 sin2 0 sin2 2 ln(1 ) 2 ) = ( 2) = 2 Домаћи: 1. и 3. задатак. e За први задатак користимо lim 1 sin 0 = 1 и lim 0 теореме о граничној вредности збира и количника функције. Пишемо e 1 (e 1) e lim 1 e lim = 0 + lim sin sin lim 0 За трећи задатак користимо формулу полуугла sin = 2 1 cos 2 односно 1 cos lim 0 2 = lim = 1, а затим користимо = sin = 1 2 lim sin = 2 и lim 0 sin = 1, Како 2 0 када 0 онда је и lim 0 sin = 1 односно решење је

51 Бесконачна гранична вредност У случају када не постоји коначна гранична вредност lim 0 f(), можемо говорити о бесконачном лимесу. Релација lim 0 f() = + ( ) значи да су функције f() веће (мање) од било ког позитивног (негативног) броја M када је довољно блиско тачки 0. Пример 23. lim 2 1 ( 2) 2 = lim log 2 = +0 lim π tg = Исто тако када + ( ) функција може имати коначну или бесконачну граничну вредност. Пример 24. lim : 2 = lim = lim ( ): = 2 Ако имамо рационалну функцију, у којој су и бројилац и именилац полиноми, тада делимо бројилац и именилац највећим степеном од који се јавља у функцији. Такође, користимо чињеницу да је k ± = 0, k R. НАПОМЕНА: Нека је P m () = a m m + a m 1 m a 1 + a 0 lim P m () Q n () = a n n + a n 1 n a 1 + a 0, m>n = a m, m=n Q n () a n 0, m<n : lim = lim = lim : = 2 50

52 Домаћи. Задатак 11. Наћи lim Задатак 12. Наћи lim Приликом решавања домаћег задатка треба искористити претходно дату напомену. ПЕТИ И ШЕСТИ ЧАС: ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ ФУНКЦИЈЕ (понављање и утврђивање) Овај час је предвиђен за вежбање претходног градива и тако се припреме за контролни и писмени задатак. Задатке радимо пред таблом, тако да долази у обзир и оцењивање уколико неко покаже добро разумевање градива. Задаци: Решити следеће граничне вредности: Задатак 13. lim Задатак 14. lim Задатак 15. lim Задатак 16. Задатак 17. Задатак 18. Задатак 19. Задатак 20. Задатак 21. Задатак 22. lim lim lim lim lim 0 sin tg lim 0 sin2 sin lim

53 Задатак 23. Задатак 24. Задатак 25. Задатак 26. Задатак 27. lim + e 1 e lim 0 cos sin lim sin 1 cos 1 lim 0 sin 1 cos lim 0 1 cos sin Задатак 28. lim 0 1 sin ctg СЕДМИ ЧАС: НЕПРЕКИДНОСТ ФУНКЦИЈЕ. АСИМПТОТЕ ФУНКЦИЈА. (обрада) Непрекидност функције Дефиниција 34. Функција f() је непрекидна у тачки 0 ако у тој тачки важи lim 0 f() = f( 0 ) Дефиниција 35. Функција f() је непрекидна на неком скупу A ако је непрекидна у свакој тачки скупа A. Теорема 33. Ако је функција f() непрекидна на [a, b] и важи f(a) > 0, (f(a) < 0) и f(b) < 0, (f(b) > 0) онда постоји тачка c (a, b) таква да је f(c) = 0. Асимптоте функције Асимптота је права којој се функција приближава, може а и не мора да је додирује. Фунција може да пресече асимптоту бесоначан број пута, али се њено максимално одступање од асимптоте смањује. 52

54 Слика 30. Пример када крива може да пресече своју асимптоту, чак и бесконачан број пута. Оне могу бити: Вертикалне, права облика = a Хоризонталне, права облика y = b Косе, права облика y = k + n, k 0. Дефиниција 36. (Вертикална асимптота) Нека је D домен функције f: D R. Права = 0 је вертикална асимптота графика функције f() ако је бар једна од граничних вредности lim 0 + f() и lim 0 f() једнака + или. Дефиниција 37. (Хоризонтална асимптота) Нека је D домен функције f: D R. Права y = k + n, k 0 је коса асимптота када + ( ) графика функције f() ако важи lim + (f() (k + n)) = 0 (lim (f() (k + n)) = 0) Бројеви k и n се добијају из следећих формула: f() k = lim k = lim + f() 53

55 n = lim (f() k) (n = lim (f() k)) + Задатак 29. Наћи асимптоте f() = 2 1 Решење. Слика 31. Функција f() = 2 1 Вертикална асимптота: Прво одређујемо домен функције f(): D = R {0} Како 0 не припада домену, тражимо вертикалну асимптоту у нули: lim 2 1 = 1 =, значи да се приближава нули са позитивне стране кад 0+ε кад ε 0 0+ε функција y = 2 1 тежи у. lim 2 1 = 1 = +, значи да се приближава нули са негативне стране кад 0 ε кад ε 0 0 ε функција y = 2 1 тежи у +. Вертикална асимптота је = 0. 54

56 Хоризонтална асимптота Функција f() = 2 1 је количник полинома, пошто тражимо бесконачну граничну вредност делимо бројилац и именилац са највећим степеном од у овом случају то је 2. Па је: lim = lim ± ± 2 Функција f() = 2 1 Коса асимптота 1 1 = lim 2 ± 1 = 1 0 = нема хоризонталну асимптоту, тражимо косу асимптоту. Коса асимптота је права y = k + l треба одредити k и l. k = lim ± f() и l = lim ± (f() k ) f() k = lim ± = lim ± = lim ± 2 = lim 1 1 ± 2 = 1 1 l = lim (f() k ) = lim ± ± (2 ) = lim Дакле, коса асимптота је y =. 1 2 ± (2 ) = lim ± ( 1 ) = 0 55

57 Слика 32. Асимптоте функције f() = 2 1 Домаћи. Задатак 30. Наћи асимптоте f() = Задатак за домаћи се ради аналогно задатку који смо радили на часу, сматрам да ће, уколико су ученици схватили задатак са часа, моћи самостално да га ураде. Слика 33. График функције f() =

58 6. ТЕСТОВИ Један од инструмената за праћење степена и квалитета учениковог знања је свакако и тест знања, наставни тест. Реч тест потиче од латинског глагола тестор (посведочити, доказати). Та реч је код нас дошла преко енглеског језика. Тестови знања могу да се деле према разним критеријумима: а) по ширини употребе и степену проверености; стандардизовани (баждарени) и нестандардизовани (неформални) тест. б) према времену одређеном за одговоре тест брзине и тест нивоа. в) према намени у наставном процесу. ревизиони тест и дијагностички тест. Врсте задатака у тесту 1. Задатке везане форме (задаци редоследа, задаци двочланог избора, задаци вишеструког избора, задаци упоређивања и сређивања); 2. Задатке слободне форме. 57

59 Први тест Овај тест је дијагностички са задацима везане форме. Садржај дијагностичког теста, за разлику од ревизионог, ужи је, ограничен на мање подручје. Обично је посвећен једној настанвој целини (нпр. сабирању и одузимању разлимака и сл). Намена овог теста је да даје јасну, подробну слику о томе да ли је, и у којој мери ученик усвојио сваки поједини аспект неког образовног добра. Помоћу њега натавник добија праву представу (дијагнозу) о потешкоћама сваког ученика при савладавању одређеног наставног градива. Анализом добијених података наставник долази до сазнања о празнинама у знању сваког ученика и одмах доноси закључке о мерама које треба предузеети да се оне елиминишу. 1. Заокружити тачно решење lim 1 (5 + 3) = а) -2 б) -4 в) 10 г) 1 2 lim 2 ( ) = а) -1 б) 0 в) 1 4 г) + lim ( ) = а) 2 б) 3 в) г) Повезати задатак са формулом коју користимо приликом решавања: 1) lim 0 sin4 2) lim а) lim = e б) lim 0 (1 + ) 1 = e 3) lim 0 (1 + 2) 5 в) lim 0 sin = 1 4) lim 0 e 1 sin 5) lim 0 log(1+10) г) lim 0 log a (1+) д) lim 0 sin = 1 lna = 1 и lim 0 e 1 = 1 3. Написати решење без поступног решавања: 5 a) lim = b) lim 3 +3 = в) lim =

60 Други тест (писмени задатак) Нестандардизовани тест са задацима слободне форме. Нестандардизовани тест се обично проверава на малом броју ученика, махом на ученицима из средине за коју се припрема. Њега конструише сам наставник или група наставника. Служи за интерну уппотребу у школи. 1. Одредити следеће граничне вредности: а) lim б) lim в) lim Одредити следеће граничне вредности: а) lim ( 2 10) б) lim в) lim Одредити следеће граничне вредности: а) lim 0 1 cos 2 б) lim в) lim 0 e 2 cos 2 4. Одредити асимптоте: а) f() = б) f() = в) f() = 1 cos 59

61 7. ЛИТЕРАТУРА [1] Herceg, D., Herceg, Đ., Elementi matematičke analize i Mathematica, Symbol, Novi Sad, [2] [3] /M2_RO_Lim.pdf [4] [5] Богетић, Б., Збирка задатака из математике за ученике средњих школа, Грифон Београд, [6] Богославов, В. Т., Збирка решених задатака из математике за 4. разред средње школе, завод за удзбенике и наставна средства, Београд, [7] Бујас, З., основе психофизиологије рада, Загреб, [8] Вучичевић, Р., Ђорђевић, М., Лазић, М., Математика са збирком задатака за 4. разред средње школе, завод за удзбенике, Београд,2003. [9] Гајић Љ., Предавања из анализе I, ПМФ, Нови Сад, 2004 [10] Гајић Љ., Херцег Д., Крејић Н.,Елементи пословне математике, ПМФ, Нови Сад, [11] Милошевић, Д. М., Тестови и њихова примена у настави математике у старијим разредима основне школе, Математика 13, 4 (1984), [12] Обрадовић, М., Георгијевић, Д., Математика за 4. Разред средње школе, Завод за удзбенике и наставна средства, Београд, [13] Пешић, Д., Непрекидност функције у настави математике, Нови Сад, ауторски репринт, [14] Поткоњак, Н. М., Вредновање рада основних школа, Београд, [15] Сиђи Ј., ''Настава функције у средњој школи'', Мастер рад, ПМФ Нови Сад, [16] Такачи, Ђ., Такачи, А., Збирка задатака из анализе И (први део), ПМФ, Нови Сад, [17] Татар, Ј., Гранична вредност функције - обрада у гимназијској настави, Нови Сад, ауторски репринт, [18] Татар, Ј., Низови обрада у настави математике, Нови Сад, ауторски репринт,

62 8. КРАТКА БИОГРАФИЈА Рођена сам 14. децембра године у Сомбору. Основну школу ''Бора Станковић'' сам завршила у Каравукову као носилац Вукове дипломе а потом сам уписала гимназију ''Јован Јовановић Змај'' у Новом саду, природноматематички смер и матурирала одличним успехом године године сам уписала, паралелно са гимназијом, и средњу музичку школу ''Исидор Бајић'' у Новом Саду, теоријски одсек и завршила године. Природно-математички факултет, одсек математика, смер професор математике, уписала сам године и завршила Јуна године са просечном оценом 9,22. Исте године сам уписала мастер студије на природно-математичком факултету Универзитета у Новом Саду, одсек за математику, смер настава математике. Положила сам све испите предвиђене наставним планом и програмом мастер студија и тако стекла право за одбрану мастер рада. Од 17. јануара године радим у средњој школи ''22. Октобар'' у Жабљу. Нови Сад, Зорана Томић 61

63 1. ПЛАНОВИ РАДА ПО ТИПОВИМА ШКОЛА 1.1. ГОДИШЊИ ОРИЈЕНТАЦИОНИ ПЛАН ЗА ОБРАЗОВНИ ПРОФИЛ МАШИНСКИ ТЕХНИЧАР ЗА КОМПЈУТЕРСКО КОНСТРУИСАЊЕ ЗА ШКОЛСКУ 2010/11. ГОДИНУ ПОДРУЧЈЕ РАДА: ОБРАЗОВНИ ПРОФИЛ: РАЗРЕД: ОДЕЉЕЊЕ: ПРЕДМЕТ: МАШИНСТВО И ОБРАДА МЕТАЛА МАШИНСКИ ТЕХНИЧАР ЗА КОМПЈУТЕРСКО КОНСТРУИСАЊЕ ЧЕТВРТИ TРИ МАТЕМАТИКА ТЕОРИЈСКА ВЕЖБЕ ГОДИШЊИ ФОНД ЧАСОВА: НАСТАВА НАСТАВА ПРАКСА РБ ТЕМА ЦИЉЕВИ БРОЈ ЧАСОВА 1 ПРАКТИЧНА БЛОК ПРОФЕСИОНАЛНА 1. Функције Oбнављање и проширивање знања о функцијама Извод функције Стицање основних знања о изводима функција и примени извода Интеграли Стицање основних знања о интегралима и примена одређеног 28 интеграла 4. Диференцијалне једначине Стицање основних знања о диференцијалним једначинама Комбинаторика Обнављање и проширивање знања из комбинаторике Вероватноћа и статистика Стицање основних знања из вероватноће и статистике Четири писмена задатка и исправке Писмена провера знања 12 укупно 160 УКУПНО