ΣΥΝΙΣΤΑΜΕΝΗ ΥΝΑΜΕΩΝ. Απόστολος Κ. Ζαφειρόπουλος, Ph.D. Εαρινό Εξάµηνο

Transcript

1 ΣΥΝΙΣΤΑΜΕΝΗ ΥΝΑΜΕΩΝ Όπως είναι γνωστό απο την θεωρία η συνισταµένη δύναµη πολλών δυνάµεων F1, F2, F3,..., F n, οι οποίες ενεργούν σε ένα υλικό σηµείο (έστω Ο), έχουν συνισταµένη, η οποία πολλές φορές στην Μηχανική συµβολίζεται µε το γράµµα R. Μία γενική περίπτωση τέτοιας κατάστασης φαίνεται στο Σχ. 1. Σχ. 1: Το κινητικό αποτέλεσµα (επιτάχυνση, a ) στο υλικό σηµείο Ο είναι το ίδιο αν ενεργούν µόνο οι δυνάµεις ή µόνο η συνισταµένη δύναµη R. Σε προβλήµατα αυτού του είδους ζητείται να ευρεθεί η R (κατά µέτρο και διεύθυνση) ή µία ή περισσότερες συνιστώσες δυνάµεις ή οι διευθύνσεις αυτών (συνήθως υπό την µορφή γωνίας). Το θεωρητικό πλαίσιο της φυσικής κατάστασης που περιγράφει το Σχ. 1 είναι ο 2ος νόµος του Νεύτωνα, ο οποίος λέει ουσιαστικά ότι αν σε ένα υλικό σηµείο ενεργεί µία συνισταµένη δύναµη ( R ), η οποία πολλές φορές συµβολίζεται και µε Σ F, τότε το υλικό σηµείο κινείται µε επιτάχυνση ( a ), κατά την φορά της συνισταµένης δύναµης. Μαθηµατικά αυτό διατυπώνεται ως εξής: 1

2 ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Τα παραδείγµατα που εξετάζουµε στις παρούσες σηµειώσεις περιορίζονται σε προβλήµατα δυο διαστάσεων και όχι τριών για απλότητα. Έτσι, οι δυνάµεις που ενεργούν σε ένα υλικό σηµείο είναι συνεπίπεδες και συντρέχουσες (δηλαδη οι φορείς των δυνάµεων περνούν απο το ίδιο σηµείο). Παράδειγµα 1ο Έστω ότι σε ένα υλικό σηµείο Ο (Σχ. 2) ενεργούν δύο δυνάµεις F1 και F2 µε µέτρα F F= kp και F2 F2= 2 kp. Ζητείται να ευρεθεί η συνισταµένη τους δύναµη R Σχ. 2: Οι δύο δυνάµεις F1 και F2 σχηµατίζουν γωνίες 2 και αντιστοίχως. 6 µε την οριζόντιο γραµµή Λύση 1η µέθοδος: Εύρεση της R µε την µέθοδο του παραλληλογράµµου Στην µέθοδο αυτή εφαρµόζουµε αυτά που µάθαµε απο την θεωρία µε τίτλο: ύο βασικοί νόµοι της Τριγωνοµετρίας. Έτσι έχουµε το εξής σχήµα: Σχ. 3: Η εύρεση της συνισταµένης δύναµης R µε την µέθοδο του παραλληλογράµµου 2

3 Το µέτρο της R είναι: R= F + F + 2F F cos ϕ= (3 kp) + (2 kp) + 2(3 kp)(2 kp) cos 4 = 4, 71 kp Η διεύθυνση της R σε σχέση µε την συνιστώσα δύναµη F1 είναι: R F R F F ϕ ω ϕ ω = = ω = sin sinϕ sin(18 ) sin sin sin R 2 kp = = 4,71 kp 1 sin sin ' 23'' Η διεύθυνση της R σε σχέση µε την συνιστώσα δύναµη F1, µπορεί εναλλακτικά να υπολογισθεί και απο την εφαπτοµένη της γωνίας ω (tan ω) ως εξής (Σχ. 4): Σχ. 4: Εναλλακτικό διανυσµατικό διάγραµµα του παραλληλογράµµου του Σχ. 3 tanω F sinϕ tan F sinϕ = ω = F1 + F2 cosϕ F1 + F2 cosϕ 1 (2 kp)sin 4 = tan 15 5'11'' = 3 kp + (2 kp)cos 4 ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Η µικρή διαφορά στην τιµή της εφαπτοµένης µαταξύ των δύο µεθόδων, ωφείλεται στην προσεγγιστική τιµή της συνισταµένης δύναµης R στην πρώτη µέθοδο! 3

4 2η µέθοδος: Εύρεση της R µε την µέθοδο της ανάλυσης σε συνιστώσες σε άξονες ΧΥ Στην µέθοδο αυτή αναλύουµε κάθε δύναµη σε συνιστώσες Χ και Υ, σύµφωνα µε αυτά που είπαµε στην θεωρία, και κατόπιν, αφού εύρουµε την συνισταµένη σε κάθε άξονα υπολογίζουµε την R κατά µέτρο και διεύθυνση. Η διαδικασία αυτή φαίνεται στα τα παρακάτω σχήµατα. 1x= 1 cos 2 = (3 ) cos 2 = 2,82 2x= 2 cos 6 = (2 ) cos 6 = 1 F F kp kp F F kp kp 1y= 1 sin 2 = (3 )sin 2 = 1,3 F F kp kp F F kp kp 2 y= 2 sin 6 = (2 )sin 6 = 3 Σχ.5(α): Ανάλυση των δυνάµεων F1 και F2 σε συνιστώσες κατά µήκος των αξόνων XY Μετά την ανάλυση των δυνάµεων σε συνιστώσες δυνάµεις, κατά µήκος των αξόνων XY, ξεχνάµε τις δυνάµεις F1 και F2 και θεωρούµε µόνον τις συνιστώσες δυνάµεις, όπως δείχνει και το κατωτέρω Σχ. 5(β): Προσθέτουµε διανυσµατικά τις συνιστώσες σε κάθε άξονα για να εύρουµε την αντίστοιχη συνισταµένη δύναµη ( F x και F y ). Επειδή οι συνιστώσες σε κάθε άξονα είναι συγγραµµικές, η διανυσµατική πρόσθεσή τους µετατρέπεται σε απλή αλγεβρική (βλέπε το άρθρο: ύο βασικοί νόµοι της Τριγωνοµετρίας ), οπότε έχουµε: Σχ. 5(β): Συνιστώσες των δυνάµεων στους άξονες XY Το νέο διάγραµµα είναι το Σχ. 5(γ): Fx= F1 x+ F2 x= 2,82 kp+ 1 kp= 3,82 kp, και Fy= F1 y+ F2 y= 1,3 kp+ 3 kp= (1, 3+ 3) kp 4

5 Σχ. 5(γ): Οι συνισταµένες δυνάµεις σε κάθε άξονα Καταλήγοντας στο ανωτέρω Σχ. 5(γ), τώρα είναι εύκολο να προσθέσουµε τα κάθετα µεταξύ τους διανύσµατα F x και F y, µε την µέθοδο του παραλληλογράµµου. Όµως, επειδή το παραλληλόγραµµο είναι ορθογώνιο η συνισταµένη δύναµη R, υπολογίζεται απο το Πυθαγόρειο θεώρηµα (βλέπε το άρθρο: ύο βασικοί νόµοι της Τριγωνοµετρίας ) ως εξής: Μέτρο: ( ) 2 ( ) 2 x y R= F + F 2 2 = (3,82 kp) + [(1,3+ 3) kp] = 4,71 kp Σχ. 5(δ): Η συνισταµένη R, στην µέθοδο αυτή σχηµατίζει πάντοτε υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου επειδή είναι διαγώνιος ορθογωνίου παραλληλογράµµου. ιεύθυνση: ω ( 1,3 + 3) F F kp ω F x F x 3,82 kp y 1 y 1 tan = = tan = tan = 35 52' 8'' 5

6 ΣΗΜΕΙΩΣΗ Ι: Παρατηρούµε ότι το µέτρο της συνισταµένης δύναµης ( R ) είναι το ίδιο όπως και στην πρώτη µέθοδο, αλλά η διεύθυνση (γωνία) διαφέρει, επειδή στην δεύτερη µέθοδο το σηµείο αναφοράς της γωνίας είναι ο άξονας Χ, ενώ στην πρώτη είναι η δύναµη F1. ΣΗΜΕΙΩΣΗ ΙΙ: Από τα µαθηµατικά του Λυκείου, γνωρίζουµε ότι µια συνάρτηση της µορφής: y= tanω, έχει ως πεδίο ορισµού το διάστηµα τιµών: ( π, + π ), και ως πεδίο τιµών το σύνολο R. Εποµένως, η αντίστροφη συνάρτησή της: ω= tan y, θα έχει τα διαστήµατα τιµών αντίστροφα! ηλαδή, πεδίο ορισµού το σύνολο R, και πεδίο τιµών το διάστηµα ( π, + π ). Με τα δεδοµένα αυτά κατασκευάζονται τα κοµπιουτεράκια 2 2 (calculators) του εµπορίου που χρησιµοποιούµε στην καθηµερινή µας ζωή. Έτσι, όταν υπολογίζουµε την γωνία ω της συνισταµένης R, το αποτέλεσµα της γωνίας θα είναι στο διάστηµα ( π, + π ), δηλαδή ότι η συνισταµένη R βρίσκεται µόνο στο 1 ο (θετική ω ) ή 2 2 στο 4 ο τεταρτηµόριο (αρνητική ω ) (Σχ. 5(ε)), ανάλογα µε την περίπτωση. Αυτό δεν είναι πάντοτε σωστό γιατί η R µπορεί να βρίσκεται στο 2 ο (µε αρνητική ω) ή 3 ο τεταρτηµόριο (µε θετική ω) (Σχ. 5(στ)). Πρέπει εποµένως µετά τον υπολογισµό της γωνίας ω, να προσέχουµε στο διάγραµµα σε ποιό τεταρτηµόριο βρίσκεται η συνισταµένη! Αυτό το συµπεραίνουµε από τα πρόσηµα των παραστάσεων Fx και F y (βλέπε Σχ. 5(ε) και 5(στ)). Σχ. 5(ε): Το µήκος των διανυσµάτων είναι αυθαίρετο Σχ. 5(στ): Το µήκος των διανυσµάτων είναι αυθαίρετο Πρέπει να αναφέρουµε ότι, κατόπιν συµβάσεως, η γωνία ω αναφέρεται ως προς τον άξονα Χ (θετικό ή αρνητικό) και η φορά διαγραφής της, θεωρείται θετική όταν 6

7 διαγράφεται αντίθετα µε αυτήν της περιστροφής των δεικτών του ρολογιού, ενώ θεωρείται αρνητική όταν η φορά συµπίπτει µε αυτήν της περιστροφής των δεικτών. 3η µέθοδος: Εύρεση της R µε την µέθοδο της ανάλυσης σε συνιστώσες σε άξονες ΧΥ και µε την χρήση των µοναδιαίων διανυσµάτων î και ĵ. Αρχίζουµε την λύση όπως και στην 2η µέθοδο, δηλαδή µε την ανάλυση των δυνάµεων στούς άξονες XY, όπως φαίνεται στο Σχ. 6(α): Εδώ οι συνιστώσες δυνάµεις µπορούν να εκφρασθούν διανυσµατικά ως εξής: F1x= F ˆ 1, 2 x ˆ 2, 1y ˆ x i F = F x i F = F1 y j, F = F ˆj 2 y 2 y Σχ. 6(α): Ανάλυση των δυνάµεων σε άξονες XY πάνω στους οποίους έχουν ορισθεί τα µοναδιαία διανύσµατα î και ĵ. Τα διανύσµατα F1 και F2, µπορούν τώρα να γραφούν σε διανυσµατική µορφή ως εξής: και F = F + F = F iˆ+ F ˆj = (2,82 kp) iˆ+ (1, 3 kp) ˆj 1 1x 1y 1x 1y F = F + F = F iˆ+ F ˆj = (1 kp) iˆ+ ( 3 kp) ˆj 2 2x 2 y 2x 2 y Και η συνισταµένη R είναι το διανυσµατικό άθροισµα των F1 και F2. ηλαδή: R = F + F = F i ˆ + F ˆ j + F i ˆ + F ˆ j = F + F i ˆ + F + F ˆ j ( ) ( ) ( F ) ˆ ( ) ˆ x i Fy j 1 2 1x 1y 2x 2 y 1x 2x 1y 2 y = + ( 2,82 1 ) ˆ ( 1, 3 3 ) ( 3,82 kp) iˆ ( 1, 3 3) kp ˆj = kp + kp i + kp + kp ˆj = + + 7

8 Άρα η απάντηση στο πρόβληµα είναι απλά η διανυσµατική έκφραση: R = ( 3,82 kp) iˆ + ( 1, 3 + 3) kp ˆj µέσα στην οποία περιέχονται το µέτρο ( R ), και η διεύθυνση της συνισταµένης (γωνία ω).µαζί. Μπορούµε να τα δούµε αυτά αν κάνουµε τις πράξεις που αναφέρθηκαν στην σελίδα 5. Σχ. 6(β): Η συνισταµένη δύναµη R σε ορθογώνιους άξονες XY σε συνδιασµό µε τα µοναδιαία διανύσµατα î και ĵ. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: 1. Η 3η µέθοδος λύσεως είναι η πιό σύντοµη και η πιό κοµψή απο τις άλλες δύο µεθόδους. 2. Όταν προσθέτουµε δυνάµεις περισσοτέρων των δύο, τότε είναι προτιµότερο να χρησιµοποιούµε την 2η ή την 3η µέθοδο, επειδή µε την πρώτη είναι εύκολο να κάνουµε λάθος τις γωνίες! 8

9 4η µέθοδος: Λύση µε γραφική µέθοδο Στην µέθοδο αυτή κάνουµε σχέδιο! ηλαδή, χρησιµοποιούµε κανόνα (δηλ. χάρακα), τρίγωνα, µοιρογνωµόνιο, διαβήτη, µιλλιµιτρέ χαρτί ή άλλο κατάλληλο χαρτί σχεδίασης και γραφείο σχεδίασης. Σχ. 7: Η γραφική λύση του παραδείγµατος. Εκτός από την συνισταµένη OC µετρήθηκαν και οι γωνίες της OC µε την ΟΑ και µε την γραµµή αναφοράς. Ακολουθεί ένα άλλο σχεδιαστικό παράδειγµα πρόσθεσης τριών δυνάµεων. Η πρώτη µε την µέθοδο του παραλληλογράµµου, και η δεύτερη µε την µέθοδο την διαδοχικής πρόσθεσης των δυνάµεων (µέθοδος του δυναµοπολυγώνου). 9

10 παραλληλογράµµου. Μέθοδος Μέθοδος του δυναµοπολυγώνου του ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Εδώ οι δυνάµεις συµβολίζονται µε το γράµµα Ρ αντί του γράµµατος F. Αυτό συµβαίνει συχνά στην Μηχανική! 1

11 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ Όταν η συνισταµένη των δυνάµεων ( R ή F ), που ενεργούν σέ ένα υλικό σηµείο µάζας m, είναι µηδέν, τότε λέµε ότι: το υλικό σηµείο ισορροπεί ή οι δυνάµεις οι οποίες ασκούνται στο υλικό σηµείο ισορροπούν. Μια τέτοια φυσική κατάσταση απεικονίζεται στο κατωτέρω Σχ. 7. Σχ. 7: Όταν η συνισταµένη δύναµη ( R ) είναι µηδέν, τότε, το κινητικό αποτέλεσµα στο υλικό σηµείο (Ο) είναι ως να µην ενεργεί καµία δύναµη πάνω του. Σε προβλήµατα αυτού του είδους συνήθως ζητείται να ευρεθεί µία ή περισσότερες εκ των ισορροπούντων δυνάµεων ή µία ή περισσότερες γωνίες τις οποίες σχηµατίζουν οι δυνάµεις µεταξύ τους ή µε τους άξονες XY. Αυτή η φυσική κατάσταση (κατάσταση ισορροπίας) είναι µια µερική περίπτωση του 2ου νόµου του Νεύτωνα, όταν η επιτάχυνση είναι µηδέν ( a ). Έτσι, οι αρχικές εξισώσεις (βλέπε σελ. 1) έχουν το 2ο µέλος τους µηδέν. ηλαδή: 11

12 ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Η µέθοδος αυτή, δηλαδή η ισορροπία του υλικού σηµείου, εφαρµόζεται και στην περίπτωση που οι (συνεπίπεδες) δυνάµεις οι οποίες ενεργούν επί ενός στερεού σώµατος, είναι συντρέχουσες και το σηµείο αυτό είναι το κέντρο µάζας (ή κέντρο βάρους) του στερεού σώµατος (βλέπε παράδειγµα 3ο). Παράδειγµα 2ο Μία αλυσίδα µήκους 1, 25 m κλειστή στα δύο της άκρα, στηρίζει µια ξύλινη δοκό µε τετράγωνη διατοµή, διαστάσεων 25 mm 25 mm, όπως φαίνεται στο κατωτέρω Σχ. 8. Γνωρίζοντας ότι το βάρος της δοκού είναι 1716,75 N, να υπολογίσετε τις τάσεις στους δύο βραχίονες της αλυσίδας για κάθε περίπτωση του Σχ. 8. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Το βάρος της αλυσίδας σε σύγκριση µε το βάρος της δοκού, θεωρείται αµελητέο, και γι αυτό και δεν λαµβάνεται υπ όψιν στούς υπολογισµούς! Σχ. 8: Η δοκός κρέµεται από το άγκιστρο µέσω της ίδιας αλυσίδας και στις δύο περιπτώσεις. Λύση Το βάρος της δοκού ενεργεί στο άγκιστρο µέσω των δύο βραχιόνων της αλυσίδας, και το άγκιστρο µε την σειρά του ενεργεί ίση και αντίθετη δύναµη προς το βάρος. Εποµένως το πρόβληµα αυτό είναι ένα πρόβληµα ισορροπίας υλικού σηµείου! Tο σηµείο αυτό είναι εκεί όπου στηρίζεται η αλυσίδα στο άγκιστρο. 12

13 Θα λύσουµε την περίπτωση (b), που κατά την γνώµη του συγγραφέα, είναι προκλητικότερη (ή δυσκολότερη) απο την περίπτωση (a). Την λύση της περίπτωσης (a) την αφήνουµε ως άσκηση στον/στην αναγνώστη/στρια. (Απάντηση: T1= T2= T= 991 N ). 1η µέθοδος: Ισορροπία των δυνάµεων µε την µέθοδο της ανάλυσης συνιστωσών σε άξονες ΧΥ Εκ του σχήµατος 8, είµαστε σε θέση να σχεδιάσουµε το κατωτέρω γεωµετρικό σχήµα (Σχ. 9), στο οποίο αναπαριστούµε τα κυριότερα µέρη του συστήµατος. Εκ των δεδοµένων παρατηρούµε ότι η δοκός έχει τετραγωνική διατοµή, πλευράς d= 25 mm, εποµένως, η αλυσίδα περιβάλλει δύο πλευρές της δοκού µε µήκος 2d= 5 mm. Επειδή το µήκος όλης της αλυσίδας είναι: 1, 25 m= 125 mm, το µήκος της που δεν είναι σε επαφή µε το ξύλο, είναι: 125 mm 5 mm = 75 mm. ηλαδή είναι: 2l = 75 mm l = 375 mm. Σχ. 9: Το γεωµετρικό σχήµα του Σχ.8. Η αλυσίδα περιβάλλει την δοκό µόνο σε δύο πλευρές µήκους d.η κάθε µία. Σηµειώστε ότι υπάρχουν δύο σώµατα που ισορροπούν: η δοκός και η αλυσίδα. 13

14 Το σύστηµα (δοκός και αλυσίδα) ισορροπεί (ηρεµεί), πράγµα που σηµαίνει ότι οι εφαρµοζόµενες δυνάµεις απο την αλυσίδα στο άγκιστρο (σηµείο Α) ισορροπούν! ηλαδή έχουµε ισορροπία υλικού σηµείου στο Α! Οι δυνάµεις που εφαρµόζονται στο σηµείο αυτό είναι (όπως φαίνεται και απο το Σχ. 9) οι εξής: οι τάσεις στα δύο σκέλη της αλυσίδας T 1 και T 2 και η αντίδραση του αγκίστρου N στο βάρος της δοκού ( w ). Αν τώρα κατασκευάσουµε το διάγραµµα του ελευθέρου σώµατος για το άγκιστρο (σηµείο Α), και τοποθετήσουµε ορθογώνιους άξονες XY, θα έχουµε το Σχ.1. Σχ. 1: Το διάγραµµα ελευθέρου σώµατος για το άγκιστρο (σηµείο Α) και οι δυνάµεις που εφαρµόζονται σ αυτό. Επίσης, αν κατασκευάσουµε το διάγραµµα του ελευθέρου σώµατος σε άξονες XY, για την δοκό (σηµείο D), θα έχουµε το κάτωτέρω Σχ.11: ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Στο Σχ. 11, µας δίνεται η δυνατότητα να θεωρήσουµε την δοκό ως υλικό σηµείο (πράγµα που σηµαίνει ότι φανταζόµαστε ότι όλη η µάζα της συρρικνώνεται σε ένα σηµείο), επειδή και µόνον επειδή οι εφαρµοζόµενες δυνάµεις ( w και N ) πάνω της 14

15 είναι συντρέχουσες (δηλαδή οι φορείς τους διέρχονται απο το ίδιο σηµείο! Εδώ συγκεκριµένα το σηµείο αυτό είναι το D). Σχ. 11: Το διάγραµµα του ελευθέρου σώµατος για την δοκό (σηµείο D). Εδώ εφαρµόζονται µόνον δύο δυνάµεις: το βάρος ( w ) και η κάθετη δύναµη ( N ), η οποία προέρχεται απο την αλυσίδα. Για να υπολογίσουµε τα µέτρα των τάσεων T 1 και T 2 θα πρέπει να αναλύσουµε τις δυνάµεις στους άξονες XY. Για να γίνει όµως αυτό, απαιτείται να γνωρίζουµε την γωνία β, την οποία υπολογίζουµε απο το Σχ. 9, αν εφαρµόσουµε τον νόµο των συνηµιτόνων στο τρίγωνο ABC. Έτσι έχουµε: = + β = ( BC) l l 2( l)( l) cos 2 2l 2l cos 2 β Αλλά απο το ορθογώνιο τρίγωνο BEC, έχουµε: ( BC) = ( BE) + ( EC) = d + d = 2d οπότε ή d = β = β β = l d 2l 2l cos 2 d l l cos 2 cos

16 β d 1 mm = cos 1 = cos 1 = 28,126 2 l mm ή 28 7' 32'' Τώρα µπορούµε να υπολογίσουµε τις συνιστώσες στους άξονες XY, στο Σχ. 1, ως εξής: T = T cos(9 β ) = T sinβ 1x 1 1 T = T cosβ 1y 1 T = T cos(9 β) = T sinβ T 2x 2 2 = T cosβ 2 y 2 Οι συνθήκες ισορροπίας του υλικού σηµείου Α (σηµείο Ο στούς άξονες XY) είναι: F = T T = T sinβ = T sinβ T = T x 2x 1x F = N T T = N = T cosβ + T cosβ y 1y 2 y 1 2 Επίσης, οι συνθήκες ισορροπίας του υλικού σηµείου D (σηµείο Ο στούς άξονες XY) είναι: οπότε έχουµε: F x = = F = N w = N = w y N = T cosβ + T cosβ w = T cosβ + T cosβ Αν τώρα θεωρήσουµε ότι: T1 = T2 = T, τότε έχουµε: w w = T1 cosβ + T2 cosβ w = 2T cosβ T = 2cosβ = 1716, 75 N 2cos (28,126 ) = 973,31 N Τελικά, οι τάσεις των δύο βραχιόνων είναι: T1= T2= 973,31 N. 16

17 2η µέθοδος: Ισορροπία των δυνάµεων µε την µέθοδο της ανάλυσης συνιστωσών σε άξονες ΧΥ και χρήση των µοναδιαίων διανυσµάτων î και ĵ Χρησιµοποιώντας τα µοναδιαία διανύσµατα î και ĵ σε άξονες XY, το Σχ. 1 γίνεται το Σχ. 12, και το Σχ. 11 γίνεται το Σχ. 13. όπως φαίνεται κατωτέρω:. Σχ. 12: Η ανάλυση των δυνάµεων, οι οποίες ενεργούν στο σηµείο Α της αλυσίδας, µε την χρήση των µοναδιαίων διανυσµάτων î και ĵ. 17

18 Σχ 13: Οι δυνάµεις οι οποίες ενεργούν στο σηµείο D της δοκού αναλύονται µε την χρήση των µοναδιαίων διανυσµάτων î και ĵ. Εκ του Σχ. 12, εφ όσον το σύστηµα ισορροπεί, έχουµε: F = T + T + N = ( T iˆ T ˆj ) + ( T iˆ T ˆj ) + ( iˆ + N ˆj ) = 1 2 1x 1y 2x 2 y ( T + T + ) iˆ + ( T T + N) ˆj = iˆ + ˆj 1x 2x 1y 2 y Από την άλγεβρα των διανυσµάτων, για να είναι δυο διανύσµατα ίσα πρέπει και αρκεί να είναι ίσες και οι αντίστοιχες συνιστώσες τους. Άρα, απο την τελευταία διανυσµατική εξίσωση, συµπεραίνουµε ότι: T + T + = 1x 2x T T + N = 1y 2 y ή T sinβ + T sinβ = 1 2 T cosβ T cosβ + N = 1 2 ή ( T + T )sinβ = T = T ( T T )cosβ + N = 1 2 το οποίο είναι ένα σύστηµα δύο εξισώσεων µε τέσσερις αγνώστους ( T 1, T 2, N, και η γωνία β). Θεωρώντας επίσης, το Σχ. 13 όπου και εδώ έχουµε ισορροπία δυνάµεων, µπορούµε να γράψουµε: F = N + w = ( iˆ + N ˆj ) + ( iˆ w ˆj ) = ( + ) iˆ + ( N w) ˆj = iˆ + ˆj και απο την ισότητα των διανυσµάτων παίρνουµε: 18

19 = N w = ή = N= w Αν αυτό το αποτέλεσµα το αντικαταστήσουµε στο προηγούµενο σύστηµα εξισώσεων, και παράλληλα θεωρήσουµε ότι T1= T2= T, τότε καταλήγουµε στην εξίσωση: απο την οποία προκύπτει: T 2T cosβ + w = w 1716, 75 N = = = 973,31 N 2cosβ 2cos (28,126 ) ηλαδή, T1= T2= 973,31 N. Το αποτέλεσµα αυτό είναι σε απόλυτη συµφωνία µε το αποτέλεσµα της 1ης µεθόδου λύσεως! 3η µέθοδος: Λύση µε την µέθοδο του τριγώνου. Ήτοι, εφαρµογή γεωµετρικών µεθόδων ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΗΛΩΣΗ: Η µέθοδος αυτή εφαρµόζεται ΜΟΝΟΝ όταν οι ισορροπούσες δυνάµεις είναι ΤΟ ΠΟΛΥ ΤΡΕΙΣ στο πλήθος. Στην µέθοδο αυτή θεωρούµε το διάγραµµα του ελευθέρου σώµατος για κάθε σώµα που ισορροπεί. Έτσι για την δοκό (σηµείο D, Σχ. 9), έχουµε: Σχ. 14: Στην δοκό εφαρµόζονται δύο ίσες και αντίθετες δυνάµεις 19

20 Επειδή η δοκός ισορροπεί οι δύο δυνάµεις οι οποίες εφαρµόζονται πάνω της ( N και w ) είναι ίσες και αντίθετες! Έτσι έχουµε: N= w= 1716, 75 N Για το άγκιστρο (σηµείο Α, Σχ. 9), έχουµε το κατωτέρω Σχ. 15: Σχ. 15: Οι τρείς δυνάµεις οι οποίες εφαρµόζονται στο άγκιστρο ισορροπούν και το κλειστό δυναµοπολύγωνο είναι τρίγωνο. Για να κατασκευάσουµε το κλειστό δυναµοπολύγωνο, το οποίο είναι πάντοτε τρίγωνο, σχεδιάζουµε κατ αρχήν απο ένα τυχαίο σηµείο (Ο) τις δυνάµεις οι οποίες ενεργούν στο σηµείο Α (Σχ 9) και κατόπιν απο άλλο τυχαίο σηµείο (Ο) σχεδιάζουµε το τρίγωνο των δυνάµεων (βλέπε δεξιό σχήµα στο Σχ. 15). Οι δυνάµεις T 1 και T 2 έχουν ίσα µέτρα ( T 1 = T 2 = T ) επειδή το Σχ. 9 είναι συµµετρικό µε άξονα συµµετρίας τον AD, οπότε οι δυνάµεις αυτές ισοκατανέµονται! Αυτό έχει ως αποτέλεσµα το ανωτέρω τρίγωνο να είναι ισοσκελές. Η γωνία 2β είναι µια εξωτερική γωνία του τριγώνου, συνεπώς ισχύει: 2β = α + α 2β = 2α α = β = 28,126 Η γωνία β εννοείται ότι υπολογίζεται µε την εφαρµογή του νόµου του συνηµιτόνου στο τρίγωνο ABC (Σχ. 9) και η οποία περιγράφεται στις σελίδες 12 και 13. 2

21 Εφαρµόζοντας, τέλος, τον νόµο των ηµιτόνων στο τρίγωνο έχουµε: T = T = N 1 2 sinα sinα sin (18 2 β) Αλλά, αν T1 = T2 = T, sin (18 2 ) sin 2 β = β, και N= w, τότε έχουµε: sinα sin (28,126 ) (1716,75 ) 973,32 T w = T = w = N = N sinα sin 2β sin 2β sin 2(28,126 ) Άρα, T1= T2= 973,32 N, το οποίο είναι σε πολύ καλή συµφωνία µε το αποτέλεσµα των δυο προηγουµένων µεθόδων. Η πολύ µικρή διαφορά του,1 N µε τα προηγούµενα αποτελέσµατα ωφείλεται στην προσεγγιστική τιµή της γωνίας β. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Όπως παρατηρούµε, η παρούσα µέθοδος είναι κατά πολύ συντοµότερη των δυο προηγουµένων, γι αυτό χρησιµοποιείται συχνά από έµπειρους Τεχνολόγους. 21

22 4η µέθοδος: Λύση µε γραφική µέθοδο Εδώ κάνουµε σχέδιο! ηλαδή, ενεργούµε όπως και στην 4η µέθοδο της εύρεσης της συνισταµένης, αλλά δεν υπάρχει συνισταµένη! Σχ. 16: Η γραφική λύση του παραδείγµατος. Προσέξτε τις µεγάλες αποκλήσεις στις τιµές των µηκών ΟΑ και ΟΒ, οι οποίες ωφείλονται στην περιορισµένη ακρίβεια των χρησιµοποιηµένων οργάνων ιδιαίτερα όταν οι τιµές των αριθµών έχουν δεκαδικό µέρος, και στην κακή σχεδίαση του σχεδιαστή!! 22

23 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1.- ΦΥΣΙΚΗ γιά Επιστήµονες & Μηχανικούς,, του Randall D. Knight (2η Ελληνική έκδοση, 28),Τόµος ΙΑ Μηχανική-Θερµοδυναµική, Μακεδονικές εκδόσεις ΙΩΝ. 2.-Vector Mechanics for Engineers, Statics and Dynamics by F. B. Beer and E. R. Johnston, 4 th Edition, McGraw-Hill Book Company, New York. 3.-Σηµειώσεις ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Ι, της ρ. Χρυσούλας Παπαϊωάννου, Λάρισα