4ο ΓΕΛ Κοζάνης. Στεφάνου Μ. Φυσικός

Transcript

1 4ο ΓΕΛ Κοζάνης 1

2 ΜΑΘΕ.ΚΑΙ ΜΗΝ ΞΕΧΝΆΣ!!! 1. Όταν το φορτίο του πυκνωτή μειώνεται,ο πυκνωτής εκφορτίζεται, η ένταση του ρεύματος αυξάνεται κατά απόλυτη τιμή, η ενέργεια του πυκνωτή ελαττώνεται και αυξάνεται η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου.. Όταν ο πυκνωτής φορτίζεται το φορτίο του αυξάνεται, η ένταση του ρεύματος μειώνεται, η ενέργεια του πυκνωτή αυξάνεται και μειώνεται η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου 3. Η εξίσωση του φορτίου q=qσυνωt εκφράζει το φορτίο ενός οπλισμού του πυκνωτή, που μπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό. Το φορτίο του πυκνωτή είναι πάντα θετικό και αναφέρεται στο θετικό οπλισμό του. 4. Οι μέγιστες τιμές (μόνο) του φορτίου και της έντασης του ρεύματος συνδέονται με την σχέση I= ω. Q. 5. Αν κάποια χρονική στιγμή t 1 γνωρίζω ποια είναι η ένταση του ρεύματος ή το φορτίο, μπορώ να υπολογίσω και την αντίστοιχη τιμή του φορτίου ή της έντασης την ίδια χρονική στιγμή, εφαρμόζοντας την Α.Δ.Ε της ηλεκτρικής ταλάντωσης. 6. Αν για t=0 q=+q και κάποια χρονική στιγμή βρίσκω ότι q<0, τότε σημαίνει ότι η πολικότητα του πυκνωτή άλλαξε. 7. Η πολικότητα του πυκνωτή καθώς και η τάση του είναι αντίθετη με αυτή του πηνίου σε κάθε χρονική στιγμή. Έτσι όταν ζητείται η πολικότητα του πηνίου βρίσκω την πολικότητα του πυκνωτή για την ίδια χρονική στιγμή. 8. Όπου και όπως χρησιμοποιώ την Α.Δ.Ε στις μηχανικές ταλαντώσεις, έτσι χρησιμοποιώ και την Α.Δ.Ε στην ηλεκτρική ταλάντωση. Π.χ Για δύο διαφορετικές χρονικές στιγμές γράφω : 1 q 1 1 q 1 Et = E 1 t ή + L i = + L i C C Όταν ζητείται το φορτίο ή η ένταση του ρεύματος και γνωρίζω τη σχέση μεταξύ των ενεργειών π.χ U E =3U B, τότε (συνήθως) με την βοήθεια της Α.Δ.Ε της ηλεκτρικής ταλάντωσης βρίσκω το φορτίο ή την ένταση. 10. Όταν ζητούνται οι χρονικές στιγμές, όπου ισχύει κάποια σχέση μεταξύ των ενεργειών π.χ U E =U B, τότε (συνήθως) με την βοήθεια της Α.Δ.Ε της ηλεκτρικής ταλάντωσης βρίσκω το φορτίο ή την ένταση και μετά από τις αντίστοιχες χρονικές εξισώσεις ή το με περιστρεφόμενο διάνυσμα υπολογίζω τις χρονικές στιγμές.

3 11. Για να αυξήσω την απόσταση μεταξύ των οπλισμών του φορτισμένου πυκνωτή πρέπει να δαπανήσω ενέργεια ώστε να υπερνικήσω τη μεταξύ τους ελκτική δύναμη. Η ενέργεια αυτή προστίθεται στην ολική ενέργεια ταλάντωσης του κυκλώματος. Άρα Earc + W = E 1. Ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών μεγιστοποιήσεων ή ελαχιστοποιήσεων του φορτίου ή της έντασης ή των ενεργειών είναι Τ/. 13. Στη φθίνουσα ταλάντωση η δύναμη που αντιτίθεται στην κίνηση του σώματος είναι της μορφής: F = -bu. Η σταθερά αναλογίας b είναι μια θετική ποσότητα που λέγεται σταθερά απόσβεσης. (kg/s, S.I) και εξαρτάται: α) από τις ιδιότητες του μέσου καθώς και β) από το σχήμα και το μέγεθος του σώματος που κινείται. 14. Η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα στη φθίνουσα ταλάντωση είναι : S F = - D. x + F, όπου F = -b, άρα S F = -D. x - b ant αντ u u 15. Το πλάτος της φθίνουσας ταλάντωσης μειώνεται εκθετικά με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση: t A = A. e -L (1), με t=n.t, N=0,1,,3..., όπου Α ο το αρχικό πλάτος και Τ η περίοδος της o ταλάντωσης 16. Το πλάτος της φθίνουσας ταλάντωσης μειώνεται εκθετικά με το χρόνο. Όσο μεγαλύτερη είναι η σταθερά απόσβεσης b τόσο πιο γρήγορα ελαττώνεται το πλάτος και έτσι πιο γρήγορα αποσβένει το σύστημα 17. Σε όλη τη διάρκεια μιας φθίνουσας ταλάντωσης η περίοδος (Τ), όπως και η γωνιακή συχνότητα (ω), παραμένουν σταθερές. Η τιμή τους εξαρτάται από τη σταθερά απόσβεσης b. Η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης παρουσιάζει μια μικρή αύξηση, όταν η σταθερά απόσβεσης b αυξάνεται. 18. Αποδεικνύεται ότι ο λόγος δύο διαδοχικών τιμών του πλάτους μιας φθίνουσας ταλάντωσης είναι σταθερός. Δηλαδή: A A A A A A A A o 1 N = = =... = = staq = 1 3 N + 1 e LT tel 19. Αν η σταθερά απόσβεσης b είναι πολύ μεγάλη, η κίνηση γίνεται απεριοδική. (Π.χ στα συστήματα ανάρτησης των αυτοκινήτων η σταθερά απόσβεσης b είναι πολύ μεγάλη για να αποσβένει γρήγορα η ταλάντωση (αμορτισέρ) 0. Σε ένα κύκλωμα L-C με φθίνουσα ηλεκτρική ταλάντωση εμφανίζονται συνήθως απώλειες ενέργειας, οι οποίες οφείλονται στη θερμική ενέργεια που αποδίδεται στο περιβάλλον από τις ωμικές αντιστάσεις του κυκλώματος, καθώς και στην ενέργεια που εκπέμπεται με τη μορφή ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας. 3

4 1. Ρυθμός απώλειας ενέργειας ΔW F =F αντ Δt.υ=bυ. Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση πάντα η συχνότητα του διεγέρτη είναι ίση με την συχνότητα της ταλάντωσης. f dieg = f talant 3. Η συνισταμένη δύναμη στην εξαναγκασμένη ταλάντωση υπολογίζεται από τον τύπο : uuur r r ur ur r S F = m. a, F + F + F = ma ή -D.x-b.υ+F. sunw. t = m. a Ή ep ant dieg o d mα=-d.x-b.υ+fδιεγ 4. Το πλάτος μιας εξαναγκασμένης ταλάντωσης εξαρτάται Α) από τη σταθερά απόσβεσης b ( όταν η σταθερά απόσβεσης αυξάνει το πλάτος ελαττώνεται. Β) από τη συχνότητα του διεγέρτη (όσο πλησιάζει την ιδιοσυχνότητα τόσο μεγαλώνει το πλάτος) Γ) από τη μέγιστη τιμή της εξωτερικής δύναμης F o Δ) είναι ανεξάρτητο του χρόνου, παραμένει σταθερό. 5. Η κατάσταση κατά την οποία η συχνότητα του διεγέρτη έχει τέτοια τιμή ώστε να προκαλείται ταλάντωση με μέγιστο πλάτος λέγεται συντονισμός. 6. Το φαινόμενο του συντονισμού επιτυγχάνεται σε μια τιμή της συχνότητας του διεγέρτη η οποία είναι μικρότερη της ιδιοσυχνότητας του συστήματος. Στην περίπτωση που η σταθερά απόσβεσης είναι πολύ μικρή, μπορούμε να θεωρούμε ότι το φαινόμενο του συντονισμού επιτυγχάνεται όταν f dieg = f o 7. Στην κατάσταση συντονισμού, το πλάτος είναι μέγιστο και η μεταφορά ενέργειας από τη διεγείρουσα δύναμη στον ταλαντωτή γίνεται με βέλτιστο τρόπο. 8. Στη σύνθετη ταλάντωση αν δίνονται οι εξισώσεις των π.χ ταχυτήτων των συνιστωσών ταλαντώσεων και να ζητείται η εξίσωση της απομάκρυνσης ή της επιτάχυνσης π.χ της σύνθετης ταλάντωσης, τότε θα πρέπει πρώτα να βρω τις εξισώσεις των απομακρύνσεων χ 1 και χ και μετά την εξίσωση της σύνθετης ταλάντωσης. 9. Αν ζητείται για ποια χρονική στιγμή ισχύει η σχέση χ 1 =- χ, τότε γράφω: χ 1 =- χ, άρα χ 1 + χ =0 οπότε χ ολ =0 και από την τελευταία σχέση βρίσκω τη χρονική στιγμή. 30. Η αρχή της επαλληλίας ισχύει για διανυσματικά μεγέθη, αλλά όχι για μονόμετρα. Επειδή τα διανύσματα είναι συγγραμμικά, ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις για τις αλγεβρικές τιμές τους σε μια χρονική στιγμή: χ=χ 1 +χ, υ=υ 1 +υ, α=α 1 +α, F=F 1 +F. Αντιθέτως για τις ενέργειες ισχύει : Ε Ε 1 +Ε ή Κ Κ 1 +Κ, U U 1 +U. ΠΡΟΣΟΧΗ! 1 1 E = DA = D(A1 + A + A 1.A.συνφ) ή Ε=Ε1 + E + DA 1.A.συνφ Ισχύει : ο Άρα γενικά ισχύει : Ε ΉΕ + E. Αν φ=90 τότε μόνο: Ε=Ε + E Η μεταβολή του πλάτους της σύνθετης ταλάντωσης ή η αυξομείωση του πλάτους της σύνθετης ταλάντωσης, ονομάζεται διακρότημα. 4

5 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ A. ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Περίοδος T = p L. C Συχνότητα 1 f = p L. C Κυκλική(γωνιακή) συχνότητα 1 w = L. C Φορτίο πυκνωτή q= Q συν(ωt+φ ο ) Ένταση ρεύματος i= - I ημ(ωt+φ ο ) Μέγιστο φορτίο Μέγιστη ένταση ρεύματος Τάση πυκνωτή Τάση από αυτεπαγωγή στο πηνίο I= ω.q V=V max συν(ωt+φ ο ), V max = Q C DI E = -L, V L =-V C, V L =V max συν(ωt+φ ο ) D t Ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή 1 q 1 U E =, U E = CV, U E =E συν (ωt+φ ο ) C max 1 Q U E = C Ενέργεια μαγνητικού πεδίου του πηνίου U B = L. i και U B = L. I hm wt, U B = LI Αρχή διατήρησης της ενέργειας στην ηλεκτρική ταλάντωση (Α.Δ.ΕΗ.Τ) Ε=U E +U B =σταθερή 1 Q 1 1 q = Li +, Ε=U B(max) =U E(max) C C max 1 Q 1 max U E = = LI = U B C max B. ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Δύναμη αντίστασης στη φθίνουσα F = -bu. Πλάτος ταλάντωσης A = A. e -L o t, με t=n.t, N=0,1,,3... A A A A A A A A o 1 N = = =... = = staq = 1 3 N + 1 e LT 5

6 Περίοδος στη φθίνουσα Ενέργεια στη φθίνουσα t T =, όπου Ν ο αριθμός των πλήρων ταλαντώσεων. N t Ακόμη ισχύει : Τ= N t = N E = D A D A e -Lt., E=. o., όπου t=n.t, N=0,1,, και Ε=Ε. e me Ε = D. A -Lt oο o Γ. ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Ιδιοσυχνότητα ταλαντωτή Εξισώσεις απομάκρυνσης και ταχύτητας Συνθήκη συντονισμού Ρυθμός απορρόφησης ενέργειας από τον ταλαντωτή f o 1 = p D m x = A. hmw. t, υ=ω Asunw. t f = dieg f o d DW F ant Pant = = Fant. u = b. u Dt δ d Δ. ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ Εξισώσεις συνιστωσών ταλαντώσεων c = A. hm( wt + f ) και c = A. hm( wt + f ) Εξίσωση σύνθετης ταλάντωσης P lάtov Α= Α + Α +.Α. A. sun( f -f) Α. hm( f -f1) fάsh : εφθ= A + A. sun ( f -f ) 1 1 c = A. hm( wt + f + q ) φ 1 <φ Εξίσωση μη περιοδικής σύνθετης ταλάντωσης w - w ω + ω Πλάτος σύνθετης (Διακρότημα) w1 -w A =. A sun ( ). t Περίοδος σύνθετης ταλάντωσης T = f1 + f Περίοδος συχνότητα διακροτήματος 1 T D, fδ = f1 - f1 f - f ol 1 1 y =. Asun ( ). t.ημ. t 1 1 6

7 ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 1. Σε κύκλωμα L - C που εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις η χωρητικότητα του πυκνωτή ισούται με C=4 μf και η αυτεπαγωγή του πηνίου είναι L=1 H. Η ένταση του ρεύματος μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με την σχέση : i=-0. ημωt (S.I) Α. Να υπολογίσετε την γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης Β. Να γράψετε την εξίσωση του φορτίου του πυκνωτή σε συνάρτηση με τον χρόνο και να τη σχεδιάσετε. Γ. Να υπολογίσετε μετά από πόσο χρόνο από τη στιγμή t=0 η ένταση του ρεύματος θα γίνει μέγιστη για πρώτη φορά Δ. Να υπολογίσετε τη χρονική στιγμή που το φορτίο του πυκνωτή θα γίνει για δεύτερη φορά ίσο με +Q/. Ε. Τη χρονική στιγμή t 1 = π/300 s να υπολογίσετε την ένταση του ρεύματος του κυκλώματος. (500 r/s, συν500t, π/1000s, π/300 s). Ένα ιδανικό κύκλωμα L-C εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις με περίοδο Τ = 4π 10-3 s. Το φορτίο του πυκνωτή μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση q = Q συνωt και τη χρονική στιγμή t 1 =(π /15) s ισούται με q 1 = C. H χωρητικότητα του πυκνωτή ισούται με C= μf. α) Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή του φορτίου του πυκνωτή και να γράψετε την εξίσωση της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα σε συνάρτηση με το χρόνο i = f(t)). β) Να υπολογίσετε την ένταση του ρεύματος τις χρονικές στιγμές που το φορτίο του πυκνωτή ισούται με q = C. γ) Να υπολογίσετε το φορτίο του πυκνωτή τη χρονική στιγμή που η ΗΕΔ από αυτεπαγωγή στα άκρα του πηνίου ισούται με + 50 V. (.10-4 C, -0,1ημ500t, A, C ) 3. Σε ιδανικό κύκλωμα ηλεκτρικών ταλαντώσεων τη χρονική στιγμή t = 0 ο πυκνωτής έχει μέγιστο φορτίο. Κάποια στιγμή t 1 ο πυκνωτής έχει φορτίο q 1 = 8 mc και το κύκλωμα διαρρέεται από ρεύμα έντασης i 1 = 1 Α, ενώ κάποια άλλη στιγμή t ο πυκνωτής έχει φορτίο q = 6 mc και το κύκλωμα διαρρέεται από ρεύμα έντασης i = 16 Α. Αν το πηνίο έχει αυτεπαγωγή L = 5 mh Α. Να υπολογίσετε: α) Την περίοδο Τ των ηλεκτρικών ταλαντώσεων. β) Τη μέγιστη τιμή Q του φορτίου του πυκνωτή. γ) Τη χωρητικότητα C του πυκνωτή. Β. Να γράψετε τις εξισώσεις U Ε = f(t) και U Β = f(t). (π ms, 10 mc, 10μF,5συν 000t ) ) 4. Ιδανικό κύκλωμα L-C εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Η χρονική διάρκεια μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών της ενέργειας του μαγνητικού πεδίου του πηνίου ισούται με Δt=π.10-3 s Τη χρονική στιγμή t 1 που το φορτίο του πυκνωτή ισούται με q 1 = C η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή ισούται με την ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου. Η χωρητικότητα του πυκνωτή είναι C= μf. Να υπολογίσετε : Α. Την συχνότητα των ηλεκτρικών ταλαντώσεων και το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή Β Την απόλυτη τιμή του ρυθμού μεταβολής της τάσης στα άκρα του πυκνωτή, τη στιγμή που η ένταση του ρεύματος ισούται με το μισό της μέγιστης τιμής. Γ. Την απόλυτη τιμή του ρυθμού μεταβολής της έντασης του ρεύματος τη χρονική στιγμή t 1. (50/π Hz,.10-4 C, V/s, 5 A/s ) 7

8 5. Σε ιδανικό κύκλωμα L-C η ΗΕΔ από αυτεπαγωγή που αναπτύσσεται στο πηνίο μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση: Ε=10 συνωt (Ε σε V ), ενώ η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα αποκτά μέγιστη τιμή που ισούται με I= 0,01 Α κάθε 5π.10-4 s. α) Να υπολογίσετε την ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα τη χρονική στιγμή t= (π/1).10-3 s. β) Να υπολογίσετε το συντελεστή αυτεπαγωγής του πηνίου. γ) Να γράψετε τις εξισώσεις της ενέργειας του μαγνητικού πεδίου του πηνίου και της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή σε συνάρτηση με το φορτίο του πυκνωτή. δ) Να υπολογίσετε την τάση στα άκρα του πυκνωτή τη χρονική στιγμή που ο ρυθμός μεταβολής της έντασης του ρεύματος το οποίο διαρρέει το κύκλωμα ισούται με -8 Α/s. ( A, 0.5 H, 10 6.q, q, +4V ) 6. Ιδανικό κύκλωμα L-C εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις με ενέργεια Ε= 0,4 J. Η χρονική εξίσωση του φορτίου του πυκνωτή δίνεται από τη σχέση q=.10-3 συν10 4 t (S.Ι.). α) Να υπολογίσετε τη χωρητικότητα του πυκνωτή. β) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της ενέργειας του μαγνητικού πεδίου του πηνίου. γ) Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής του φορτίου του πυκνωτή, καθώς και την απόλυτη τιμή του ρυθμού μεταβολής της έντασης του ρεύματος τις χρονικές στιγμές που η ενέργεια του πυκνωτή ισούται με το μισό της ενέργειας ταλάντωσης του κυκλώματος. δ) Να βρείτε την απόλυτη τιμή του ρυθμού με τον οποίο μεταβάλλεται η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή, καθώς και την απόλυτη τιμή του ρυθμού με τον οποίο μεταβάλλεται η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου τη χρονική στιγμή που η ένταση του ρεύματος ισούται με i = +10 Α. ( F, 0,4.ημ 10 4 t, ±10 Α, 10 5 Α/s, J/s ) 7. Κύκλωμα αποτελείται από πυκνωτή χωρητικότητας C και πηνίο συντελεστή αυτεπαγωγής L συνδεμένα ώστε να εκτελούν ηλεκτρική ταλάντωση. Τη χρονική στιγμή t= 0 είναι q =Q/ και ρεύμα i >0, όπου Q είναι το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή. Αν τη χρονική στιγμή t 1 =10-3 /6 s το φορτίο γίνεται για πρώτη φορά μέγιστο Q, να βρείτε: α) την αρχική φάση των χρονικών εξισώσεων β) την περίοδο της ταλάντωσης, γ) τη χωρητικότητα του πυκνωτή, εάν ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου είναι L = 0,1 mη, δ) τον λόγο U B : U E τη χρονική στιγμή t 1. Δίνεται : (π = 10) (5π/3, 10-3 s, 50 μf, 0 ) 8. Ένα κύκλωμα LC εκτελεί ηλεκτρική ταλάντωση και το φορτίο στους οπλισμούς του πυκνωτή μεταβάλλεται με τον χρόνο σύμφωνα με το διάγραμμα. Η χωρητικότητα του πυκνωτή είναι C=, /π F A) Να βρείτε τη γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης και τον συντελεστή αυτεπαγωγής L του πηνίου. B) Ποια σχέση δίνει τον ρυθμό μεταβολής της έντασης του ρεύματος σε συνάρτηση με τον χρόνο; Να κάνετε την αντίστοιχη γραφική παράσταση. Γ) Ποιες σχέσεις δίνουν την ενέργεια του πυκνωτή και του πηνίου συναρτήσει του φορτίου q και να κάνετε τις αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις. σε κοινό σύστημα αξόνων Δ) Να βρείτε τη χρονική στιγμή που αντιστοιχεί στο σημείο τομής των δύο προηγουμένων διαγραμμάτων. 8

9 9. Ένα κύκλωμα LC εκτελεί ηλεκτρική ταλάντωση και το φορτίο στους οπλισμούς του πυκνωτή τη χρονική στιγμή t=0 είναι μέγιστο. Η περίοδος της ηλεκτρικής ταλάντωσης είναι Τ=π.10-4 s. Στο διάγραμμα φαίνεται η μεταβολή της ηλεκτρικής ενέργειας του πυκνωτή συναρτήσει της έντασης του ρεύματος. α) Να βρείτε τη χωρητικότητα C του πυκνωτή, τον συντελεστή αυτεπαγωγής L του πηνίου και το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή. β) Να γράψετε τις εξισώσεις του φορτίου του πυκνωτή και της έντασης του ρεύματος σε συνάρτηση με τον χρόνο και να κάνετε τις αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις. γ) Όταν η ένταση του ρεύματος είναι i=+ 3 A να βρείτε τον απόλυτο ρυθμό μεταβολής της έντασης του ρεύματος. 10. Για το διπλανό κύκλωμα δίνονται: Ε=60 V, r=ω, R 1 =5 Ω, R =8 Ω, L=8 mh και C=0 μf. Το πηνίο και τα καλώδια σύνδεσης δεν έχουν ωμική αντίσταση. Αρχικά οι δύο διακόπτες είναι ανοικτοί. Κλείνουμε το διακόπτη (δ 1 ) και κάποια στιγμή το ρεύμα σταθεροποιείται στο κύκλωμα. Α) Να υπολογίσετε το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή. Β) Κάποια στιγμή, μετά τη σταθεροποίηση του ρεύματος, ανοίγουμε το διακόπτη (δ 1 ) και αμέσως μετά κλείνουμε το διακόπτη (δ ) 1) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της έντασης και να υπολογίσετε μετά από πόσο χρόνο από τη στιγμή που κλείσαμε το διακόπτη (δ ) η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα L-C γίνεται μέγιστη. ) Να υπολογίσετε την απόλυτη τιμή της τάσης του πυκνωτή τη χρονική στιγμή που η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου ισούται με U B = J ( C, π.10-4 s, 10 V) 11. Στο διπλανό κύκλωμα η πηγή έχει ηλεκτρεγερτική δύναμη Ε = 100 V και το ιδανικό πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L= 10 mη. Οι αγωγοί σύνδεσης έχουν αμελητέα ωμική αντίσταση. Α) Όταν ο μεταγωγός βρίσκεται στη θέση (1), ο πυκνωτής φορτίζεται και η μέγιστη τιμή της ηλεκτρικής ενέργειας που αποθηκεύεται σ αυτόν ισούται με U max = J. Να υπολογίσετε τη χωρητικότητα του πυκνωτή. Β) Κάποια χρονική στιγμή που θεωρούμε t = 0 μετακινούμε ακαριαία το μεταγωγό στη θέση (), χωρίς να δημιουργηθεί σπινθήρας, οπότε το κύκλωμα αρχίζει να εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Να υπολογίσετε: 1) τη γωνιακή συχνότητα των ηλεκτρικών ταλαντώσεων, ) την απόλυτη τιμή της τάσης στα άκρα του πυκνωτή τη χρονική στιγμή που η ένταση του ρεύματος ισούται με i 1 = A. 3) Το πηλίκο της ενέργειας του μαγνητικού πεδίου του πηνίου προς την ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή τη στιγμή που η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα ισούται με το μισό της μέγιστης τιμής της. (10-6 F, 10 4 r/s, 50 V, 1/3 ) 9

10 1. Στο κύκλωμα του σχήματος είναι Ε=40V, R=10Ω, L=1Η, C=1μF. Ο Δ 1 είναι κλειστός για αρκετή ώρα και ο Δ ανοιχτός. α) Πόση είναι η U Β στο μαγνητικό πεδίο του πηνίου. β) Ανοίγουμε τον Δ 1 και ταυτόχρονα κλείνουμε τον Δ τη χρονική στιγμή t=0. Να σχεδιάσετε τη φορά του ρεύματος αμέσως μετά το κλείσιμο του Δ και να υπολογίσετε το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή. γ) Να γράψετε τις εξισώσεις για την ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα και το φορτίο του πυκνωτή σε συνάρτηση με το χρόνο, αν για t=0 το ρεύμα είναι θετικό. δ) Βρείτε ποια χρονική στιγμή το φορτίο του πυκνωτή γίνεται μέγιστο για πρώτη φορά. ε) Βρείτε ποια. χρονική στιγμή η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή γίνεται ίση με την ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου για πρώτη φορά. (8J, C, -4ημ(1000t+ 3π/),π/000 s, π/4000s) 13. Για το κύκλωμα του διπλανού σχήματος δίνονται R 1 =4 Ω, R = 5 Ω, r = 1 Ω και C= 10 μf. Τα καλώδια δεν έχουν ωμική αντίσταση και το πηνίο καθώς και το αμπερόμετρο είναι ιδανικά. Αρχικά ο διακόπτης (δ) είναι ανοικτός και η ένδειξη του αμπερομέτρου είναι Α. Κλείνουμε το διακόπτη, περιμένουμε ώσπου να σταθεροποιηθούν τα ρεύματα στο κύκλωμα και στη συνέχεια, σε μια χρονική στιγμή που τη θεωρούμε ως t =0, ανοίγουμε ξανά το διακόπτη (δ). Το ιδανικό κύκλωμα LC που δημιουργείται εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις με ενέργεια Ε = 3, J. α) Να βρείτε ποιος από τους δύο οπλισμούς του πυκνωτή θα αποκτήσει πρώτος πλεόνασμα πρωτονίων. β) Να υπολογίσετε τη χρονική στιγμή κατά την οποία θα μηδενιστεί το ρεύμα που διαρρέει το κύκλωμα για δεύτερη φορά μετά τη χρονική στιγμή t =0. γ) Να γράψετε τις χρονικές εξισώσεις της έντασης του ρεύματος και του φορτίου του πυκνωτή στο κύκλωμα LC θεωρώντας ως θετική τη φορά του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο τη χρονική στιγμή t = Για το κύκλωμα του σχήματος δίνονται : Ε=1 V, r=1ω,r=ω, L=1 m H. Αρχικά ο διακόπτης είναι κλειστός. Α) Να δείξτε ότι ο πυκνωτής είναι αφόρτιστος Β) Να βρείτε την πολική τάση της πηγής και την ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου. Τη χρονική στιγμή t = 0 ανοίγουμε τον διακόπτη, οπότε ο πυκνωτής αρχίζει να φορτίζεται. α) Ποια πρέπει να είναι η χωρητικότητα C του πυκνωτή, έτσι ώστε η τάση στους οπλισμούς του να μην υπερβεί την τιμή των 0 V; β) Ποια είναι η περίοδος Τ των ηλεκτρικών ταλαντώσεων του κυκλώματος LC και ποια η αρχική φάση της έντασης του ρεύματος, αν για t=0, i= - I ; γ) Ποια χρονική στιγμή για πρώτη φορά η ενέργεια του πυκνωτή είναι τριπλάσια από την ενέργεια του πηνίου; (8V, J, F, 4π.10-4 s ) 10

11 15. Στο διπλανό κύκλωμα ο μεταγωγός βρίσκεται στη θέση (1) και το ιδανικό πηνίο διαρρέεται από ρεύμα σταθερής έντασης. Η ηλεκτρική πηγή έχει ΗΕΔ Ε = 10 V και εσωτερική αντίσταση r=4 Ω, ο αντιστάτης έχει αντίσταση R = 16 Ω και ο πυκνωτής έχει χωρητικότητα C = 0,5 μf. Τη χρονική στιγμή t=0 μετακινούμε ακαριαία το μεταγωγό στη θέση (), χωρίς να σχηματιστεί σπινθήρας (δηλαδή χωρίς απώλεια ενέργειας), οπότε το ιδανικό κύκλωμα αρχίζει να εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις συχνότητας f=500/π Ηz. α) Να εξηγήσετε ποιος από τους δύο οπλισμούς του πυκνωτή θα αποκτήσει πρώτος μετά τη χρονική στιγμή t = 0 αρνητικό φορτίο. β) Να γράψετε τις χρονικές εξισώσεις της έντασης του ρεύματος και του φορτίου του πυκνωτή, θεωρώντας ως θετική τη φορά του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο πριν τη μετακίνηση του μεταγωγού. γ) Να υπολογίσετε την απόλυτη τιμή του φορτίου του πυκνωτή τη χρονική στιγμή που η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου ισούται με την ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή. ( A, -0.5ημ(10 3 t+3π/), C, 1 V) 16. Στο κύκλωμα του σχήματος δίνονται L=1mΗ, C =10 μf R 1 = 8Ω, R =6Ω, R 3 = 3 Ω και Ε=60 V. Το πηνίο είναι ιδανικό και η εσωτερική αντίσταση της πηγής αμελητέα. Αρχικά ο διακόπτης δ 1 είναι κλειστός, ο διακόπτης δ, είναι ανοιχτός και τα ρεύματα του κυκλώματος έχουν σταθεροποιηθεί. α) Να υπολογίσετε την ένταση του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο και την ενέργεια μαγνητικού πεδίου που είναι αποθηκευμένη στο πηνίο. β) Τη χρονική στιγμή t = 0 κλείνουμε το διακόπτη δ και ταυτόχρονα ανοίγουμε το διακόπτη δ 1 χωρίς να σχηματιστεί σπινθήρας. Να εξηγήσετε γιατί φορτίζεται ο πυκνωτής και ποιος από τους οπλισμούς του Κ και Λ θα αποκτήσει πρώτος θετικό φορτίο. γ) Να υπολογίσετε τη χρονική στιγμή που το φορτίο του πυκνωτή γίνεται ίσο με το μισό της μέγιστης τιμής του για δεύτερη φορά και την τιμή της έντασης του ρεύματος τη στιγμή αυτή. δ) Να παραστήσετε σε κοινό σύστημα αξόνων τις ενέργειες του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή και του μαγνητικού πεδίου του πηνίου σε συνάρτηση με το χρόνο. (4 Α, J, Λ ) 17. Για το κύκλωμα του σχήματος, δίνονται Ε=6V, r=ω, R=10Ω, το ιδανικό πηνίο έχει αυτεπαγωγή L=3mΗ και ο πυκνωτής χωρητικότητα C=10μF. Ο διακόπτης δ 1 είναι κλειστός για μεγάλο χρονικό διάστημα και ο διακόπτης δ ανοικτός. α) Πόση ενέργεια έχει το μαγνητικό πεδίο του πηνίου και πόση το ηλεκτρικό πεδίο του πυκνωτή; β) Σε μια στιγμή την οποία θεωρούμε t=0, ανοίγουμε τον διακόπτη δ 1 και ταυτόχρονα κλείνουμε τον δ. Να βρείτε το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή κατά τη διάρκεια της ηλεκτρικής ταλάντωσης. γ) Να γράψετε την εξίσωση της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα σε συνάρτηση με το χρόνο ( 3/ J, 1/ J, 100 μc, 3/3.συν( 3/ t+5π/6) 11

12 18. Στο κύκλωμα του σχήματος αρχικά ο διακόπτης δ 1 είναι κλειστός, ενώ οι διακόπτες δ και δ 3 ανοικτοί. Η Η.Ε.Δ της πηγής είναι Ε= 100 V, r=0 και ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου L= 1 Η. Τη χρονική στιγμή t=0 και ενώ έχει ολοκληρωθεί η φόρτιση του πυκνωτή χωρητικότητας C 1 = 100 μf, ανοίγουμε τον δ 1 και ταυτόχρονα κλείνουμε τον δ. Ο διακόπτης δ 3 παραμένει ανοικτός. Α. Να γράψετε, σε συνάρτηση με το χρόνο, τις εξισώσεις που δίνουν την ένταση του ρεύματος και το φορτίο του πυκνωτή χωρητικότητας C 1. Β. Τη χρονική στιγμή t= 1,5π 10 - s ανοίγουμε το διακόπτη δ και ταυτόχρονα κλείνουμε τον δ Να σχεδιάσετε τη φορά του ηλεκτρικού ρεύματος τη χρονική στιγμή στο κύκλωμα του πυκνωτή χωρητικότητας C = 400 μf, ο οποίος αρχικά είναι αφόρτιστος.. Να υπολογίσετε τη μέγιστη τάση του πυκνωτή χωρητικότητας C. 3. Να γράψετε, σε συνάρτηση με το χρόνο, τις εξισώσεις που δίνουν την ένταση του ρεύματος και το φορτίο του πυκνωτή χωρητικότητας C. (-ημ100t, 10 - συν100t, 50V, συν50t,.10 -.ημ50t ) 19. Φορτίζουμε τον πυκνωτή C 1 = 10 μ F με φορτίο Q 1 = 1 mc και μεταφέρουμε ακαριαία, τη χρονική στιγμή t = 0, τον μεταγωγό (μ) στη θέση Α, οπότε το κύκλωμα LC 1 εκτελεί ηλεκτρική ταλάντωση. Αν o συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου είναι L = 0,4 Η να βρείτε: α. Τις εξισώσεις που δίνουν το φορτίο του πυκνωτή και την ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα, σε συνάρτηση με το χρόνο. β. Τη χρονική στιγμή που η τάση του πυκνωτή είναι V C = 50V για πρώτη φορά. γ. Το λόγο των ενεργειών U Ε / U Β στο ηλεκτρικό και στο μαγνητικό πεδίο την παραπάνω χρονική στιγμή. Β. Τη χρονική στιγμή t = π/1500 s, μεταφέρουμε τον μεταγωγό ακαριαία στη θέση Β. Αν C = 4C 1 να βρείτε: α. Το μέγιστο ρεύμα της νέας ηλεκτρικής ταλάντωσης και την περίοδο του κυκλώματος LC. β. Μετά από πόσο χρόνο από τη στιγμή t=0, ο πυκνωτής C θα αποκτήσει το μέγιστο φορτίο του Q για πρώτη φορά και να το υπολογίσετε. (10-3 συν500t, -0,5 ημ500t, π/1500 s, 1/3, 8π.10-3 s, π/375 s, C ) 1

13 0. * Στο κύκλωμα του σχήματος, ο πυκνωτής C 1 έχει χωρητικότητα C 1 =16 μf και είναι φορτισμένος από πηγή με ΗΕΔ Ε=50 V, και πολικότητα όπως στο σχήμα. Το πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L=10 mh, ενώ ο πυκνωτής C, με χωρητικότητα C =4 μf με φορτίο q = C. 1) Τη χρονική στιγμή t=0 ο διακόπτης μεταφέρεται στη θέση (1) και το κύκλωμα L-C 1 αρχίζει να εκτελεί αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση. α) Να γράψετε την εξίσωση του φορτίου του πυκνωτή σε συνάρτηση με τον χρόνο για το κύκλωμα. L-C 1 β) Να βρείτε τη χρονική στιγμή t 1 =3π.10-4 s, την ένταση του ρεύματος στο κύκλωμα L-C 1 καθώς και την ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου. ) Τη χρονική στιγμή t 1 ο διακόπτης μεταφέρεται ακαριαία στη θέση () χωρίς να ξεσπάσει σπινθήρας και ταυτόχρονα μηδενίζουμε το χρονόμετρο. Το κύκλωμα L-C αρχίζει να εκτελεί αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση. Θεωρώντας πάλι ως t=0 τη χρονική στιγμή που αλλάζει θέση ο διακόπτης και το φορτίο στον πυκνωτή C θετικό: α) να γράψετε τις εξισώσεις που δίνουν σε σχέση με το χρόνο το φορτίο του πυκνωτή C καθώς και την ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή C β) να βρείτε σε πόσο χρονικό διάστημα θα φορτιστεί πλήρως ο πυκνωτής C καθώς και το ρυθμό μεταβολής του φορτίου του πυκνωτής C τη χρονική στιγμή t=0. ( συν500t, 10 - J, συν(5000t+π/4),.10 - συν (5000t+π/4), 3π/.10-3 s) 1. Στο ιδανικό κύκλωμα του σχήματος έχουμε αρχικά τον πυκνωτή χωρητικότητας C=0μF φορτισμένο με φορτίο Q, με πολικότητα που φαίνεται στο σχήμα και τους διακόπτες Δ 1 και Δ, ανοικτούς. Τη χρονική στιγμή t=0 ο διακόπτης Δ 1 κλείνει οπότε στο κύκλωμα L 1 C έχουμε αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση. Ο συντελεστής αυτεπαγωγής L 1 του πηνίου του κυκλώματος L 1 C είναι L 1 =mh. Η μέγιστη τιμή της έντασης του ρεύματος στο κύκλωμα L 1 C είναι I 1 =.10 - A. Τη χρονική στιγμή t 1 =T 1, όπου T 1 η περίοδος της ταλάντωσης του κυκλώματος L 1 C, ο διακόπτης Δ 1 ανοίγει και ταυτόχρονα κλείνει ο Δ, οπότε στο κύκλωμα L C έχουμε αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση με περίοδο T =T 1. Να βρείτε: α) την περίοδο T 1 της ταλάντωσης του κυκλώματος L 1 C. β) το μέγιστο φορτίο Q 1 που θα αποκτήσει ο πυκνωτής χωρητικότητας C 1 κατά τη διάρκεια της ηλεκτρικής ταλάντωσης του κυκλώματος L 1 C. γ) το συντελεστή αυτεπαγωγής L του πηνίου του κυκλώματος L C. δ) τη συνάρτηση του φορτίου q του οπλισμού Κ του πυκνωτή σε σχέση με το χρόνο και να σχεδιάσετε την αντίστοιχη γραφική παράσταση από t=0 μέχρι t =3T 1. (4π.10-4 s, C, H ) 13

14 ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 1. Σε μια φθίνουσα ταλάντωση με αρχικό πλάτος A ο γίνεται το μισό μετά από χρόνο t=16sec αφού έχει εκτελέσει 4 πλήρεις ταλαντώσεις. Αν το πλάτος ελαττώνεται σύμφωνα με τη σχέση Α Κ =Α ο. e -Λt. Να βρεθούν α) η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης β) το πλάτος της ταλάντωσης μετά από 16 πλήρεις ταλαντώσεις (t 1 ), γ) μετά από πόσο χρόνο t το πλάτος θα μειωθεί κατά 31/3 του αρχικού ; δ) Αν Ε ο είναι η αρχική ενέργεια της ταλάντωσης, να βρείτε πόση ενέργεια χάθηκε στη χρονική διάρκεια από t 1 σε t. ε) η ενέργεια που χάθηκε κατά την διάρκεια της τρίτης περιόδου, συναρτήσει της Ε ο (4 s, A o /16, 80 s ). Σώμα μάζας m =1 kg είναι προσδεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς Κ=100 Ν/m, του οποίου το άλλο είναι στερεωμένο ακλόνητα. Εκτρέπουμε κατακόρυφα το σώμα κατά 0,8m από τη θέση ισορροπίας του και τη χρονική στιγμή t= 0 το αφήνουμε ελεύθερο. Το σώμα δέχεται δύναμη απόσβεσης με αποτέλεσμα το πλάτος της ταλάντωσης του να μειώνεται σύμφωνα με τη σχέση Α = Α o.e -Λt.Μετά από μια πλήρη ταλάντωση το σύστημα έχει χάσει τα 3/4 της μηχανικής του ενέργειας. α. Να υπολογίσετε το πλάτος μετά το τέλος της πρώτης και μετά το τέλος της δεύτερης ταλάντωσης. β. Κάποια χρονική στιγμή t 1 το σώμα έχει απομάκρυνση χ 1 = 0,1 m και ταχύτητα μέτρου υ = 3 m/s. Να υπολογίσετε τη μηχανική ενέργεια που έχει χάσει το σύστημα από τη χρονική στιγμή t= 0 έως τη χρονική στιγμή t 1. γ. Το σώμα τη χρονική στιγμή t 1 εκτελεί την πρώτη, τη δεύτερη ή την τρίτη ταλάντωσή του; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.. (0,4 m, 0, m, 7 J, η ) 3. Ένα σώμα εκτελεί αμείωτη και ελεύθερη ταλάντωση με εξίσωση χ= 0,16.ημωt (S.Ι) και σταθερά επαναφοράς K = 100 Ν/m. Κάποια χρονική στιγμή και ενώ το σώμα έχει απομάκρυνση χ = +0,16 m, αρχίζει να δρα σ αυτό δύναμη τριβής στην διεύθυνση της κίνησής του με αλγεβρική τιμή, η οποία δίνεται από τη σχέση F = -b.υ όπου υ η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας και b, η σταθερά απόσβεσης. Το σώμα, αφού εκτελέσει μια πλήρη ταλάντωση, ξαναφθάνει σε θετική ακραία θέση με απομάκρυνση χ = +0,08 m σε χρονικό διάστημα Δt =.ln s από τη στιγμή που άρχισε να ασκείται η δύναμη τριβής. α. Να υπολογίσετε την απομάκρυνση του σώματος μετά από τέσσερις πλήρεις ταλαντώσεις από τη στιγμή που άρχισε να ασκείται η δύναμη τριβής. β. Να γράψετε τη σχέση που συνδέει το πλάτος της ταλάντωσης με το χρόνο. γ. Να υπολογίσετε τη μηχανική ενέργεια που χάνει το σώμα σε χρονικό διάστημα Δt = 4.ln s από τη στιγμή που άρχισε να ασκείται η δύναμη τριβής. (0.01 m, 0,16.e -0.5.t, 1.J ) 4. Το πλάτος μιας φθίνουσας ταλάντωσης μειώνεται σύμφωνα με τη σχέση Α Κ =Α ο. e -Λt όπου Α ο =0, 4m. Ο χρόνος υποδιπλασιασμού του πλάτους της ταλάντωσης είναι T 1/ =5 s, α. Να προσδιορίσετε την τιμή της σταθεράς Λ. β. Να υπολογίσετε το κλάσμα της αρχικής ενέργειας της ταλάντωσης που χάνεται από τη χρονική στιγμή t=0 έως τη χρονική στιγμή t 1 = Τ 1/ γ. Αν κατά τη διάρκεια μιας περιόδου της ταλάντωσης το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται κατά 10%, να υπολογίσετε την περίοδο της ταλάντωσης. δ. Αν τη χρονική στιγμή t 1 = Τ 1/ η αντιτιθέμενη στην κίνηση του ταλαντωμένου σώματος δύναμη παύει να ασκείται, θεωρώντας τη χρονική στιγμή t 1, ως αρχή των χρόνων t=0, να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος από τη θέση ισορροπίας του, σε συνάρτηση με το χρόνο. Δίνεται: ln = 0,7 και ln10/9= 0,105 (0.14 s -1, 15/16, 0.75 s, 0.1ημ(8π/3 t+π/)] 14

15 5. Σώμα μάζας m είναι δεμένο στο ένα άκρο ελατηρίου σταθεράς k = 400 Ν/m τ' άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Το σώμα εκτελεί φθίνουσες ταλαντώσεις και η εξίσωση απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση με το χρόνο είναι της μορφής χ = 0,4 e -(ln)t συν0πt (S.I.).Να υπολογίσετε: α) το πλάτος της φθίνουσας ταλάντωσης τη χρονική στιγμή που έχουν ολοκληρωθεί 30 πλήρεις ταλαντώσεις, β) την απώλεια ενέργειας κατά τη διάρκεια των 30 αυτών ταλαντώσεων, γ) τη χρονική στιγμή, από την t = 0, όπου το πλάτος της φθίνουσας ταλάντωσης έχει μειωθεί στο μισό, δ) τον αριθμό των πλήρων ταλαντώσεων από τη χρονική στιγμή t= 0 μέχρι τη στιγμή που η ενέργεια της ταλάντωσης του σώματος έχει υποδιπλασιαστεί. (0,05m, 31,5J, 1s, 5) 6. Το πλάτος της φθίνουσας ταλάντωσης ενός συστήματος μειώνεται σύμφωνα με τη σχέση Α = Α ο e -Λ t. Στο χρονικό διάστημα από τη χρονική στιγμή t =0 έως τη χρονική στιγμή t 1 = 0 s το σύστημα εκτελεί Ν =10 πλήρεις ταλαντώσεις και το αρχικό πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται κατά 50 %. Να υπολογίσετε: α. την περίοδο Τ της φθίνουσας ταλάντωσης του συστήματος και την τιμή της σταθεράς Λ. β. το επί τοις εκατό ποσοστό μείωσης της ενέργειας της ταλάντωσης από τη χρονική στιγμή t= 0 έως τη χρονική στιγμή t 1 γ. το πλάτος της ταλάντωσης σε συνάρτηση με το αρχικό πλάτος Α o της φθίνουσας ταλάντωσης, τη χρονική στιγμή t που το σύστημα έχει εκτελέσει Ν =30 πλήρεις ταλαντώσεις. Δίνεται: ln = 0,7 ( s, s -1, 75%, A o /8 ) 7. Σώμα μάζας m =1 kg εκτελεί φθίνουσα αρμονική ταλάντωση και η αλγεβρική τιμή της συνισταμένης δύναμης που δέχεται κατά τη διάρκεια της ταλάντωσής του υπολογίζεται από την εξίσωση ΣF= -100 x -1υ (S.I) όπου χ η αλγεβρική τιμή της απομάκρυνσης του σώματος από τη θέση ισορροπίας του και υ η αλγεβρική τιμή της ταχύτητάς του. Το σώμα ξεκίνησε να εκτελεί τη φθίνουσα ταλάντωσή του τη χρονική στιγμή t=0 από ακραία θετική θέση, που απέχει από τη θέση ισορροπίας απόσταση Α ο = 0,4 m. α) Να υπολογίσετε τη σταθερά απόσβεσης b της φθίνουσας ταλάντωσης. β) Τη χρονική στιγμή t 1 που το σώμα διέρχεται από τη θέση χ 1 η αλγεβρική τιμή της επιτάχυνσης ισούται με α 1 = +6 m/s και η αλγεβρική τιμή της ταχύτητάς του ισούται με υ 1 = + m/s. Να υπολογίσετε την απομάκρυνση χ 1 από τη θέση ισορροπίας του. γ) Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης F αντ που δέχεται το σώμα από τη χρονική στιγμή t=0 μέχρι τη χρονική στιγμή t 1. (1 kg/s, -0.3 m, -1.5 J) 8. Σώμα μάζας m = kg κρέμεται στο ελεύθερο άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς Κ = 00 Ν/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Α. Ανυψώνουμε το σώμα κατακόρυφα, ώστε το ελατήριο να αποκτήσει το φυσικό του μήκος, και τη χρονική στιγμή t= 0 του δίνουμε αρχική ταχύτητα μέτρου υ= 3 m/s με φορά προς τη θέση ισορροπίας του. Να υπολογίσετε: α. την περίοδο Τ της ταλάντωσης του συστήματος. β. το πλάτος Α της ταλάντωσης του συστήματος. γ. το λόγο της μέγιστης δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσης του συστήματος προς τη μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου. Β. Εισάγουμε το σύστημα σε δοχείο με αέρα όπου, με κατάλληλη διέγερση, εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση ίδιας περιόδου Τ. Το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται σύμφωνα με τη σχέση Α Κ =Α ο. e -Λt. Αν οι μέγιστες απομακρύνσεις Α 8 και Α 9 του σώματος προς την ίδια κατεύθυνση κατά τις χρονικές στιγμές 8Τ και 9Τ p A8 100 αντίστοιχα έχουν λόγο = e να υπολογίσετε την τιμή της σταθεράς Λ. Δίνεται η επιτάχυνση της A9 βαρύτητας: g=10m/s (π/5 s, 0. m, 4/9, 0.05 s -1 ) 15

16 ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 1. Ένα σώμα μάζας kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο ενός οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=648ν/m. Σε μια στιγμή δέχεται περιοδική οριζόντια δύναμη F, με αποτέλεσμα να αρχίσει να ταλαντώνεται. Μόλις αποκατασταθεί σταθερή κατάσταση, λαμβάνοντας κάποια στιγμή σαν t=0, βρίσκουμε ότι το σώμα εκτελεί ταλάντωση με εξίσωση απομάκρυνσης x=0,4 ημ0t (μονάδες στο S.Ι.) γύρω από την αρχική θέση ισορροπίας του. Στη διάρκεια της ταλάντωσης το σώμα δέχεται δύναμη απόσβεσης της μορφής F απ = - 4υ (S.Ι.), όπου υ η ταχύτητα του σώματος. i) Να βρεθούν η ιδιοσυχνότητα και η συχνότητα ταλάντωσης του σώματος. ii) Για την χρονική στιγμή t 1 =π/4 s ζητούνται: α) Η κινητική και η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης. β) Οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας. γ) Ο ρυθμός με τον οποίο αφαιρείται ενέργεια από το σώμα, μέσω του έργου της δύναμης απόσβεσης. δ) Ο ρυθμός με τον οποίο προσφέρεται ενέργεια στο σώμα μέσω της εξωτερικής δύναμης F. 1. Σώμα μάζας m = kg εκτελεί εξαναγκασμένη αρμονική ταλάντωση. Στο σώμα δρουν κάθε χρονική στιγμή τρεις δυνάμεις οι αλγεβρικές τιμές των οποίων δίνονται από τις σχέσεις F 1 = x F =- 4υ και F 3 = 30συν14t (S.I.), όπου χ η αλγεβρική τιμή της απομάκρυνσης και υ η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας. α) Να υπολογίσετε την ιδιοσυχνότητα ταλάντωσης του σώματος. β) Να υπολογίσετε τη χρονική διάρκεια κίνησης του σώματος μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών της δύναμης F γ) Μεταβάλλουμε τη συχνότητα της δύναμης F 3 ώστε να γίνει ίση με την ιδιοσυχνότητα της ταλάντωσης του συστήματος, οπότε το σώμα ταλαντώνεται με εξίσωση απομάκρυνσης χ = 0,5ημω o t (S.I.). Να αποδείξετε ότι κάθε χρονική στιγμή ο ρυθμός με τον οποίο η δύναμη F 3 προσφέρει ενέργεια στο σώμα ισούται με το ρυθμό με τον οποίο αφαιρείται ενέργεια από το σώμα μέσω της δύναμης F. δ) Να σχεδιάσετε την καμπύλη συντονισμού (διάγραμμα πλάτους συχνότητας διεγέρτη) για το σύστημα. Να τοποθετήσετε στο διάγραμμα όλες τις χαρακτηριστικές τιμές που έχουν δοθεί άμεσα ή έμμεσα (7,5/π Hz, π/14 s ). Ένα σώμα μάζας m = 1 kg βρίσκεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο και είναι δεμένο στο άκρο οριζοντίου ελατηρίου σταθεράς Κ = 500 Ν/m, του οποίου το άλλο άκρο είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Το σώμα με τη δράση κατάλληλης περιοδικής δύναμης F δ αρχίζει να εκτελεί εξαναγκασμένη αρμονική ταλάντωση με εξίσωση απομάκρυνσης χ = 0, ημ40t (S.I). Κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης του σώματος ασκείται σε αυτό δύναμη απόσβεσης από τον αέρα της μορφής F = -b υ με b= Κg/s. α. Να υπολογίσετε την ιδιοσυχνότητα του συστήματος και την συχνότητα της περιοδικής δύναμης. β. Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή του μέτρου της δύναμης απόσβεσης καθώς και το χρονικό διάστημά που απαιτείται ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς μηδενισμούς της. γ. Να υπολογίσετε το μέτρο της περιοδικής δύναμης στη θετική ακραία θέση του. δ. Αν αυξηθεί η συχνότητα της περιοδικής δύναμης κατά /π Hz, το πλάτος της ταλάντωσης,θα αυξηθεί, θα μειωθεί ή θα παραμείνει αμετάβλητο ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (5/π Ηz, 0/π Hz, 16 N, π/40 s, 180 N, αύξηση) 16

17 3. Ένα σώμα μάζας m = 1 kg είναι δεμένο στο ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο στην οροφή. Ένας διεγέρτης εξαναγκάζει το σύστημα μάζα - ελατήριο να εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση πολύ μικρής απόσβεσης με συχνότητα f 1 τέτοια, ώστε το σώμα να διέρχεται 4 φορές από τη θέση ισορροπίας του σε κάθε δευτερόλεπτο. Αν ο διεγέρτης εξαναγκάζει το σύστημα να ταλαντώνεται με συχνότητα f τέτοια, ώστε το σώμα σε κάθε 8 sec να διέρχεται 48 φορές από τη θέση ισορροπίας του, τότε παρατηρείται μεγιστοποίηση του πλάτους της ταλάντωσης και η μέγιστη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης ισούται με U max() = 45J. α) Να υπολογίσετε τη σταθερά K του ελατηρίου. β) Να βρείτε το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος με συχνότητα f 1 αν δίνεται ότι η μέγιστη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης με τη συχνότητα αυτή διαφέρει της μέγιστης δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσης με συχνότητα f κατά 16, J. γ) Να εξετάσετε αν η Κ max(1) είναι μεγαλύτερη, μικρότερη ή ίση με τη U max(1) της ταλάντωσης όταν η συχνότητα του διεγέρτη ισούται με f 1. δ) Να σχεδιάσετε ποιοτικά τη γραφική παράσταση του πλάτους Α της ταλάντωσης σε συνάρτηση με τη συχνότητα f του διεγέρτη. Στο σχήμα αυτό να φαίνονται οι τιμές των συχνοτήτων f 1 και f καθώς και το πλάτος που αντιστοιχεί σε καθεμία από αυτές. Δίνεται για τις πράξεις π = 10. (360 N /m, 0.4 m, Κ max(1) < U max(1), 0,5 m ) 4. *Ένα σώμα μάζας m = 1 kg βρίσκεται σε λείο, οριζόντιο επίπεδο και είναι δεμένο στο άκρο οριζοντίου ελατηρίου σταθεράς Κ = 64 Ν/m, του οποίου το άλλο άκρο είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Το σώμα με τη δράση κατάλληλης περιοδικής δύναμης F δ αρχίζει να εκτελεί εξαναγκασμένη αρμονική ταλάντωση με εξίσωση απομάκρυνσης χ = 0,1 ημ10 t (S.I). Κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης του σώματος ασκείται σε αυτό δύναμη απόσβεσης από τον αέρα της μορφής F = -b υ με b= Κg/s. α. Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας καθώς και το ρυθμό με τον οποίο το σύστημα χάνει μηχανική ενέργεια εξαιτίας της δύναμης απόσβεσης τη χρονική στιγμή t= π/30 s. β. Να γράψετε τις σχέσεις που συνδέουν την κινητική Κ την δυναμική U και την ολική ενέργεια Ε της ταλάντωσης με το χρόνο. γ. Να σχεδιάσετε σε κοινό σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των παραπάνω ενεργειών συναρτήσει της απομάκρυνσης χ. δ. Κάποια στιγμή κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης και ενώ το σώμα βρίσκεται σε ακραία θέση, η εξωτερική περιοδική δύναμη καταργείται με συνέπεια το σώμα να σταματήσει μετά από κάποιο χρονικό διάστημα. Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης απόσβεσης σε αυτό το χρονικό διάστημα. (-,5 3 J/s, 0,5 J/s, 0,3 ημ 10 t, 0,5 συν 10 t, 0,3 ημ 10 t+0,5 συν 10 t, -0,3 J) 17

18 ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ 1. Ένα σώμα μάζας m = 0, kg εκτελεί ταυτόχρονα δύο αρμονικές ταλαντώσεις (1) και (), της ίδιας συχνότητας, που γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας Ο. Η εξίσωση της ταλάντωσης (1) του σώματος είναι: x 1 =0. ημ0 t (S.I) Η συνολική ενέργεια της ταλάντωσης () είναι Ε = 6,4 J. Τη χρονική στιγμή t = 0 οι δύο ταλαντώσεις χαρακτηρίζονται από την ίδια απομάκρυνση και ταχύτητες που έχουν αντίθετες κατευθύνσεις. α. Να γράψετε την εξίσωση της ταλάντωσης () του σώματος. β. Να γράψετε την εξίσωση της συνισταμένης ταλάντωσης του σώματος. γ. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος τη χρονική στιγμή που οι απομακρύνσεις των ταλαντώσεων (1) και () είναι αντίθετες. δ. Τι ποσοστό επί τοις εκατό της ενέργειας της συνισταμένης ταλάντωσης αντιστοιχεί στην κινητική ενέργεια, όταν η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας Ο είναι χ=0,1 m; (0.4 ημ(0t+π), 0, ημ(0t+π), 4 m/s, 75% ). Σώμα μάζας m= 0,4 kg εκτελεί συνισταμένη αρμονική ταλάντωση πλάτους Α και συχνότητας f = 5/π Ηz, που προκύπτει από τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων της μορφής χ 1 =Α 1 ημωt, χ =Α ημ(ωt+φ) οι οποίες εξελίσσονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Η ενέργεια της συνισταμένης ταλάντωσης ισούται με την ενέργεια της ταλάντωσης που θα είχε το σώμα αν εκτελούσε καθεμία από τις ταλαντώσεις χ 1, χ ξεχωριστά. Η μέγιστη τιμή της δύναμης που ασκείται στο σώμα κατά τη διάρκεια της συνισταμένης ταλάντωσης ισούται με F max = 0 Ν. α) Να υπολογίσετε την ενέργεια της συνισταμένης ταλάντωσης. β) Να γράψετε τις εξισώσεις απομάκρυνσης των συνιστωσών ταλαντώσεων σε συνάρτηση με το χρόνο. γ) Να γράψετε την εξίσωση της συνισταμένης δύναμης που δέχεται το σώμα σε συνάρτηση με το χρόνο. δ) Να βρείτε ποια πρέπει να είναι η διαφορά φάσης μεταξύ των συνιστωσών ταλαντώσεων, ώστε η ενέργεια της συνισταμένης ταλάντωσης να ισούται με το άθροισμα των ενεργειών των συνιστωσών ταλαντώσεων. (5 J, 0.5 ημ10t, 0.5 ημ(10t+π/3), -0 ημ(10t+π/3),π/ ) 3. Σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αρμονικές ταλαντώσεις (1) και () με εξισώσεις, αντίστοιχα: χ 1 =0, 3 ημ(10πt+φ) και χ =0,ημ10πt που γίνονται στην ίδια κατεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Η ταλάντωση (1) προηγείται χρονικά της ταλάντωσης () κατά Δt = s. α. Να υπολογίσετε τη διαφορά φάσης φ των δύο ταλαντώσεων β. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης της συνισταμένης ταλάντωσης που εκτελεί το σώμα. γ. Να υπολογίσετε το λόγο της κινητικής ενέργειας προς τη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης, όταν το σώμα βρίσκεται στον θετικό ημιάξονα και διέρχεται από τη θέση που αντιστοιχεί στο πλάτος της ταλάντωσης (). δ. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος, όταν βρίσκεται στον θετικό ημιάξονα και διέρχεται από τη θέση που αντιστοιχεί στο πλάτος της ταλάντωσης (1).Δίνεται: π =10. (π/, 0,4 ημ(10πt+π/3), 3, π m/s ) 4. Τα ελατήρια του σχήματος είναι όμοια και έχουν σταθερά k = 18 N/m ενώ για τις μάζες ισχύει m 1 = m = kg. Εκτρέπουμε τη μάζα m κατά Α = 3 m από τη θέση ισορροπίας της προς τα δεξιά (θετική φορά). Τη χρονική στιγμή t = 0 αφήνουμε τη μάζα m ελεύθερη, ενώ ταυτόχρονα προσδίδουμε στη μάζα m 1 ταχύτητα μέτρου υ max = 4 m/s προς τα αριστερά. Αν το σώμα Γ έχει μάζα m = 50 g, να βρείτε: α) Την εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος Γ σε συνάρτηση με το χρόνο. β) Ποια χρονική στιγμή το σώμα Γ θα έχει μηδενική ταχύτητα για πρώτη φορά γ) Τις ταχύτητες των μαζών m 1, m την παραπάνω χρονική στιγμή (χ 1 =3ημ(8t+π), χ = 3ημ(8t+π/), χ= 3ημ(8t+5π/6), π/1 s ) 18

19 5. Ένα σώμα μάζας m=kg μετέχει ταυτόχρονα σε δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Η εξίσωση της ταχύτητας του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο για κάθε μία από τις επιμέρους ταλαντώσεις είναι: u 1 =8πσυν(ωt + π) (S.I.) και u =u,max συνωt (S.I.) Η εξίσωση της σύνθετης ταλάντωσης που προκύπτει δίνεται από τη σχέση x=4ημ100πt (x σε cm, t σε s) α) Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης για κάθε μία από τις συνιστώσες ταλαντώσεις. β) Να δείξετε ότι Ε 1 +Ε Ε γ) Ποια θα έπρεπε να ήταν η μέγιστη επιτάχυνση του σώματος εξαιτίας της δεύτερης ταλάντωσης ώστε το σώμα να παρέμενε συνεχώς στη θέση ισορροπίας (x=0); (0,08 ημ(100πt+π), 0,1 ημ100πt, m/s ) 6. Μικρό σώμα μάζας m = 0,1 kg εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις με ίσα πλάτη και ίσες συχνότητες, οι οποίες εξελίσσονται στην ίδια κατεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας.. Οι χρονικές εξισώσεις των συνιστωσών ταλαντώσεων είναι: χ 1 = Α 1 ημ(ωt +π/6) και χ = Α ημ(ωt +π/ ). Η δυναμική ενέργεια της συνισταμένης ταλάντωσης μηδενίζεται με συχνότητα 0 φορές το δευτερόλεπτο, ενώ ο μέγιστος ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος κατά τη διάρκεια της συνισταμένης ταλάντωσης ισούται με 10 Ν. α) Να υπολογίσετε τη σταθερά επαναφοράς της ταλάντωσης που εκτελεί το σώμα. β) Να υπολογίσετε τα πλάτη των συνιστωσών ταλαντώσεων. γ) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος από τη θέση ισορροπίας του.( π = 10). (400 N/m, 0,1 3 m, 0,3 ημ(0πt+π/3) 7. Στο διπλανό σχήμα απεικονίζονται οι γραφικές παραστάσεις της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο χ 1 = f (t) και χ = f (t) για δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που έχουν ίδια διεύθυνση και ίδια θέση ισορροπίας. Σώμα μάζας m = 0,1 kg εκτελεί ταυτόχρονα τις δύο αυτές ταλαντώσεις. α) Να γράψετε τις εξισώσεις χ 1 = f (t) και χ = f (t). β) Να υπολογίσετε την απομάκρυνση του σώματος τη χρονική στιγμή t 1 = 0,05 s. γ) Να υπολογίσετε τη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης και την κινητική ενέργεια του σώματος τη χρονική στιγμή t = 0,5 s. Θεωρήστε για τις πράξεις: π = 10. (χ 1 =ημ5πt, χ =ημ(5πt+π/), m, 50 J ) 8. Σώμα μάζας m=1, kg εκτελεί σύνθετη αρμονική ταλάντωση χωρίς τριβές. Οι εξισώσεις των p συνιστωσών ταλαντώσεων είναι : x1 = 3 hm( wt) και χ = 3 hm( wt + ),( S. I). 3 α Υπολογίστε το πλάτος Α και την αρχική φάση θ της σύνθετης ταλάντωσης του σώματος β. Γράψτε την εξίσωση απομάκρυνσης του σώματος σε σχέση με το χρόνο, αν γνωρίζετε ότι το σώμα περνάει για πρώτη φορά από τη θέση ισορροπίας του τη χρονική στιγμή t=,5 sec. γ. Υπολογίστε την κινητική ενέργεια του σώματος τη χρονική στιγμή t 1 =5,5 sec. δ. Θεωρήστε ότι κάποια χρονική στιγμή t (t >5.5 sec) που το σώμα βρίσκεται στο πλάτος του (χ=+α), αρχίζει να δρα πάνω του δύναμη απόσβεσης της μορφής F=-b.υ, οπότε μετά από χρόνο 1 sec το πλάτος του υποδιπλασιάζεται. Μετά από πόσο χρόνο από τη χρονική στιγμή t το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος θα έχει γίνει Α/16. Δίνεται π =10. (3 m, π/6, 3ημ(π/3t+π/6), 6 J, 48 s) 19

20 9. Μικρό σώμα μάζας m= 4 kg εκτελεί ταυτόχρονα τρεις ταλαντώσεις που εξελίσσονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και έχουν εξισώσεις χ 1 =0,4ημ10t, χ =0,1ημ(10t+π), και χ 3 =Α 3 ημ(10t+π/3), (S.I). Η μέγιστη δύναμη επαναφοράς που δέχεται το μικρό σώμα κατά τη διάρκεια της συνισταμένης ταλάντωσης που εκτελεί ισούται με 10 Ν. α) Να υπολογίσετε το πλάτος Α της συνισταμένης ταλάντωσης. β) Να βρείτε το πλάτος της συνιστώσας ταλάντωσης χ 3. γ) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της κινητικής ενέργειας του σώματος. δ) Να υπολογίσετε το μέτρο της επιτάχυνσης του σώματος τις χρονικές στιγμές που η δυναμική ενέργεια της συνισταμένης ταλάντωσης που εκτελεί το σώμα ισούται με J. (0,3 m, 18.συν (10t+π/3), 10 m/s ) 10. Σώμα Σ 1 μάζας m 1 =1 kg εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που έχουν την ίδια διεύθυνση και γίνονται γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Οι εξισώσεις των δύο ταλαντώσεων p είναι: x1 = 0,1 hm0 t και χ = 0,1 3 hm(0 t + ) (S.I) Α. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης της συνισταμένης ταλάντωσης που εκτελεί το σώμα. Β. Όταν το σώμα Σ 1 βρίσκεται στη θέση c 1 = 0,1 3 m κινούμενο προς τη θετική κατεύθυνση, συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με αρχικά ακίνητο σώμα Σ μάζας m = m 1. Να υπολογίσετε: α. το μέτρο της ταχύτητας του σώματος Σ 1 όταν βρίσκεται στη θέση χ 1. β. το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος Σ 1 μετά την κρούση. γ. το λόγο Ε 1 / Ε όπου Ε 1 και Ε οι τιμές της συνολικής ενέργειας της ταλάντωσης του σώματος Σ 1 πριν και μετά την κρούση. (0,ημ(0t+π/3), m/s, m, 4/3 ). Σώμα Σ 1 μάζας m 1 =1kg εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που έχουν την ίδια οριζόντια διεύθυνση και γίνονται γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Οι εξισώσεις των δύο ταλαντώσεων σε συνάρτηση με το χρόνο είναι: α) Να γράψετε την εξίσωση της συνισταμένης ταλάντωσης που εκτελεί το σώμα Σ 1. β) Τη χρονική στιγμή t 1 = π/5 s το σώμα Σ 1 συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά με σώμα Σ μάζας m =0,5kg που κινείται προς την αντίθετη κατεύθυνση από το σώμα Σ 1 με ταχύτητα μέτρου υ =1m/s. Το συσσωμάτωμα που προκύπτει εκτελεί α.α.τ. της ίδιας διεύθυνσης γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. i) Να προσδιορίσετε την ταχύτητα του σώματος Σ 1 ελάχιστα πριν την κρούση. ii) Να βρείτε την κοινή ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. iii) Nα βρείτε την ενέργεια ταλάντωσης μετά την κρούση. (0. ημ(0t+π/3), m, m/s, 1m/s ) 11. Η ταλάντωση που εκτελεί ένα σώμα μάζας m= 0,4 kg έχει συχνότητα f=10 Hz και προκύπτει από τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων x 1 =f(t) και x =f(t), που εξελίσσονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Οι δύο ταλαντώσεις έχουν το ίδιο πλάτος, μηδενική αρχική φάση και παραπλήσιες συχνότητες f 1,f, με f 1 >f.τη χρονική στιγμή t 1 = 1/8 s η διαφορά φάσης των δύο παραπάνω ταλαντώσεων είναι Δφ = π/ rad. Το μέγιστο πλάτος της συνισταμένης ταλάντωσης ισούται με Α = 0,5m α) Να υπολογίσετε την περίοδο των διακροτημάτων. β) Να γράψετε την εξίσωση των συνιστωσών ταλαντώσεων x 1 =f(t) και x =f(t). γ) Να υπολογίσετε τη συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα τη χρονική στιγμή t 1. (π = 10) (0,5 s, 0.5ημπt, 0.5ημ18πt, -400 N ) 0

21 1. Διαθέτουμε δύο ηχητικές πηγές που παράγουν απλούς αρμονικούς ήχους με συχνότητες f 1 και f. Οι δυο πηγές παράγουν ήχους ίδιας έντασης, πράγμα που σημαίνει ότι, όταν ο κάθε ήχος πέσει στο τύμπανο του αυτιού μας, το εξαναγκάζει να ταλαντωθεί με το ίδιο πλάτος. Έστω ότι η ταλάντωση του τυμπάνου εξαιτίας του πρώτου ήχου έχει απομάκρυνση: x 1 =0,00 ημ(0.000πt+π) (S.Ι.). ενώ εξαιτίας του δεύτερου ήχου: x =0,00 ημ(0.004πt) (S.Ι.). i) Να βρεθούν οι συχνότητες των δύο ήχων. ii) Να βρεθεί η διαφορά φάσης Δφ 1 = φ -φ 1 μεταξύ των δύο απομακρύνσεων σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση. iii) Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης του τυμπάνου του αυτιού μας σε συνάρτηση με το χρόνο. iv) Ποια η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβανόμαστε; v) Πόσα μέγιστα της έντασης του ήχου αντιλαμβανόμαστε σε κάθε δευτερόλεπτο; ( Hz, Hz, 4πt-π, 0,004συν(πt-π/).ημ(0.00πt+π/), Ηz, ) 13. Ένα σώμα μετέχει σε δύο αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης, που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο, με το ίδιο πλάτος Α= 5 cm και διαφορετικές συχνότητες f 1 και f (f 1 > f ) που διαφέρουν πολύ λίγο μεταξύ τους. Η συχνότητα της συνισταμένης κίνησης του σώματος είναι f= 100 Ηz. Το χρονικό διάστημα ανάμεσα σε ένα μηδενισμό και στην αμέσως επόμενη μεγιστοποίηση του πλάτους της συνισταμένης κίνησης του σώματος είναι Δt = 0,15 s.. α. Να υπολογίσετε τις τιμές των συχνοτήτων f 1 και f β. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης της συνισταμένης κίνησης του σώματος, σε συνάρτηση με το χρόνο. γ. Να υπολογίσετε τον αριθμό των ταλαντώσεων που πραγματοποιεί το σώμα σε χρονικό διάστημα Δt =1 s δ. Να υπολογίσετε τον αριθμό των μεγιστοποιήσεων του πλάτους της συνισταμένης κίνησης του σώματος στο χρονικό διάστημα Δt. (10 Ηz, 98 Ηz, 10συν(4πt)ημ00πt, 100 ταλ.,4 ) 14. Ένα σημειακό αντικείμενο εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που εξελίσσονται στην ίδια διεύθυνση, έχουν ίσα πλάτη, μηδενικές αρχικές φάσεις και χρονικές εξισώσεις απομάκρυνσης : χ 1 = Α 1 ημ98πt, και χ = f(t). Η συνισταμένη ταλάντωση που εκτελεί το σημειακό αντικείμενο έχει συχνότητα f= 50 Ηz και κατά τη διάρκεια αυτής το αντικείμενο φτάνει σε μέγιστη απόσταση 0,4 m από τη θέση ισορροπίας του. α) Να υπολογίσετε τα πλάτη των δύο συνιστωσών ταλαντώσεων. β) Να βρείτε την περίοδο των διακροτημάτων. γ) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης του αντικειμένου από τη θέση ισορροπίας του. δ) Να υπολογίσετε τον αριθμό των ταλαντώσεων που εκτελεί το αντικείμενο στη χρονική διάρκεια μίας περιόδου του διακροτήματος. (0. m, 0.5 s, 0,4 συνπt.ημ100πt, 5 ) Βιβλιογραφία : ylikonet.gr, Παναγιωτακόπουλος, Τσούνης, Δημόπουλος, Σαββάλας κ.α. 1