2 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ Επτά Γέφυρες της Καινιξβέργης 1 απέδειξε ότι δεν μπορούμε να χαράξουμε διαδρομή στην πόλη, δια της οποίας θα διασχίζουμε ακριβ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΕΜ Χειμερινό εξάμηνο ΜΕΜ231-ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ 1, 1Η ΔΙΑΛΕΞΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ-ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ 1. Προλογος Η τοπολογία είναι η περιοχή εκείνη των μαθηματικών που ασχολείται με τις ιδιότητες των χώρων που παραμένουν αναλλοίωτες κάτω από συνεχείς παραμορφώσεις. Ως τέτοιες, μπορούν να θε ρηθούν τα τεντώματα, τα τσαλακώματα, οι συρρικνώσεις, οι κάμψεις (αλλά όχι τα σκισίματα, ή τα κολλήματα). Η μελέτη των συνεχών παραμορφώσεων γίνεται με τη βοήθεια συλλογών υποσυνόλων που καλούνται ανοικτά σύνολα αυτά ικανοποιούν ορισμένες ιδιότητες που τρέπουν τους υπό μελέτη χώρους σε αυτό που ονομάζεται τοπολογικοί χώροι. Οι σπουδαιότερες από τις ιδιότητες αυτές είναι η συνεκτικότητα και η συμπάγεια. Η τοπολογία αναπτύχθηκε ως περιοχή των μαθηματικών από τη γεωμετρία και τη θεωρία συνόλων, μέσω της ανάλυσης εννοιών όπως ο χώρος, η διάσταση και ο μετασχηματισμός. Μπορούμε με σχετική ασφάλεια να ισχυριστούμε ότι οι ιδέες αυτές ανάγονται στον Leibniz αυτός τον 17ο αι. οραματίστηκε την geometriae situs (γεωμετρία θέσης) και την analysis situs (ανάλυση θέσης). Τα πρώτα θεωρήματα της περιοχής θεωρούνται η λύση του Προβλήματος των Επτά Γεφυρών της Καινιξβέργης και ο Τύπος Πολυέδρου του Euler. Ο ίδιος ο όρος τοπολογία πρωτοχρησιμοποιήθηκε τον 19ο αι. από τον Listing, αν και η πλήρης χρήση του άρχισε αρκετές δεκαετίες αργότερα. Από τα μέσα του 20ου αι. η τοπολογία θεωρείται κύριος κλάδος των μαθηματικών. Η τοπολογία έχει διάφορες υποπεριοχές. Γενική τοπολογία: ορίζει όλες τις βασικές έννοιες και ασχολείται με τις ιδιότητες των τοπολογικών χώρων. Ολοι οι άλλοι κλάδοι της τοπολογίας χρησιμοποιούν αποτελέσματα από τη γενική τοπολογία. Αλγεβρική τοπολογία: μετρά βαθμούς συνεκτικότητας, χρησιμοποιώντας αλγεβρικές κατασκευές, όπως ομολογιακές και ομοτοπικές ομάδες. Διαφορική τοπολογία: ασχολείται με διαφορίσιμες συναρτήσεις σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες είναι στενά συνδεδεμένη με τη διαφορική γεωμετρία. Μαζί με την τελευταία συνιστούν τη θεωρία των διαφορισίμων πολλαπλοτήτων. Γεωμετρική τοπολογία: πρωταρχικά μελετά πολλαπλότητες και τη θέση τους εντός άλλων πολλαπλοτήτων. Μία ειδική, αλλά πολύ ενεργή υποπεριοχή είναι η λεγόμενη τοπολογία χαμηλών διαστάσεων (3 ή 4). Στην περιοχή αυτή κατατάσσεται η θεωρία κόμβων Ιστορία της τοπολογίας εν συντομία. αναφέραμε ήδη πως αν και ως καλά ορισμένη μαθηματική περιοχή η τοπολογία αναπτύχθηκε στον 20ό αι., κάποια απομονωμένα αποτελέσματα της εντοπίζονται αρκετούς αιώνες πριν. Το 1736, ο Leonhard Euler έγραψε ένα άρθρο για τις 1

2 2 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ Επτά Γέφυρες της Καινιξβέργης 1 απέδειξε ότι δεν μπορούμε να χαράξουμε διαδρομή στην πόλη, δια της οποίας θα διασχίζουμε ακριβώς μόνο μία φορά κάθε μία από τις επτά γέφυρες του παρακάτω σχήματος. Οι Επτά Γέφυρες της Καινιξβέργης Η πρώτη εφαρμογή της τοπολογίας θεωρείται ότι έγινε στην απόδειξη του προβλήματος αυτού. Σε μία δε επιστολή του ιδίου, με χρονολογία το 1750, αναφέρεται ο τύπος του Πολυέδρου: V E + F = 2, όπου V είναι ο αριθμός των κορυφών, E είναι ο αριθμός των ακμών και F είναι ο αριθμός των εδρών ένος τρισδιάστατου πολυέδρου. Απόσπασμα από το άρθρο του Euler με τον Τύπο του Πολυέδρου 1 Καινιξβέργη (Königsberg): πρωτεύουσα της Ανατολικής Πρωσσίας, γενέτειρα των Κάντ και Χίλμπερτ. Από το 1945 προσαρτήθηκε στη Σοβιετική Ενωση και σήμερα ανήκει στη Ρωσία, έχοντας μετονομαστεί σε Καλίνινγκραντ.

3 ΜΕΜ231-ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ 1, 1Η ΔΙΑΛΕΞΗ 3 Μετά τον Euler, τοπολογικά αποτελέσματα συνεισέφεραν οι Cauchy, Schläffli, Listing, Riemann, Betti. Τα αποτελέσματα αυτά διαμορφώθηκαν, σχηματοποιήθηκαν και επεκτάθηκαν ευρέως από τον Poincaré. Ο τελευταίος, δημοσίευσε το 1895 το άρθρο στο οποίο εισήχθησαν οι έννοιες της ομοτοπίας και της ομολογίας. Η έννοια του μετρικού χώρου εισήχθη από τον Fréchet, ο οποίος ενοποίησε τις εργασίες πάνω στους χώρους συναρτήσεων των Cantor, Volterra, Arzelà, Hadamard, Ascoli, και άλλων. Το 1914 ο Hausdorff θεμελίωσε τον όρο τοπολογικός χώρος και έδωσε τον ορισμό αυτού που σήμερα ονομάζουμε χώρος Hausdorff. Τονίζουμε ότι η σύγχρονη τοπολογία εξαρτάται από τις ιδέες της θεωρίας συνόλων που αναπτύχθηκε από το Cantor η θεμελίωση βασικών εννοιών της θεωρίας συνόλων προέκυψε ως παράγωγο της μελέτης του πάνω στις σειρές Fourier. 2. Εισαγωγη Η τοπολογία ορίζεται αυστηρά ως η μελέτη των ποιοτικών ιδιοτήτων ορισμένων αντικειμένων (των τοπολογικών χώρων), που παραμένουν αναλλοίωτες από ορισμένου είδους μετασχηματισμούς (τις συνεχείς απεικονίασεις και ειδικότερα τους ομοιομορφισμούς). Ο όρος τοπολογία χρησιμοποιείται επίσης για να αναφέρεται σε μία δομή που δίνεται σε ένα σύνολο X, μία δομή η οποία ουσιαστικά χαρακτηρίζει το X ως τοπολογικό χώρο ιδιότητες όπως σύγκλιση, συνεκτικότητα και συνέχεια, εξαρτώνται από αυτήν τη δομή. Οι τοπολογικοί χώροι εμφανίζονται φυσιολογικά σχεδόν σε κάθε κλάδο των μαθηματικών υπό αυτήν την έννοια, η τοπολογία αποτελεί τη μεγαλύτερη ενοποιητική ιδέα της μαθηματικής επιστήμης. Το βαθύτερο κίνητρο πίσω από την τοπολογία βρίσκεται στο ότι κάποια γεωμετρικά προβλήματα δεν ασχολούνται με το ακριβές σχήμα των υπό μελέτη αντικειμένων, αλλά με τον τρόπο με τον οποίο τα αντικείμενα αυτά τίθενται μαζί. Για παράδειγμα, ο κύκλος και το τετράγωνο μοιράζονται δύο κοινές ιδιότητες: είναι διδιάστατα αντικείμενα και χωρίζουν το επίπεδο στο οποίο κείνται σε τρία μέρη. Στο Πρόβλημα των Επτά Γεφυρών της Καινιξβέργης, η λύση του προβλήματος δεν εξαρτάται ούτε από την Καινιξβέργη, ούτε από το μήκος των γεφυρών αλλά ούτε και από την απόστασή τους. Αυτό από το οποίο τελικά εξαρτάται η λύση είναι η συνεκτικότητα μεταξύ των γεφυρών: ποιές γέφυρες δηλαδή συνδέουν ποιά νησιά και με ποιές όχθες. Από την άλλη, έχουμε στην αλγεβρική τοπολογία το θεώρημα της μαλλιαρής μπάλλας: δεν μπορούμε να χτενίσουμε μία μαλλιαρή σφαίρα-δείτε το σχήμα: Το Θεώρημα της μαλλιαρής μπάλλας Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει συνεχές και μη μηδενικό διανυσματικό πεδίο στη σφαίρα! Τώρα, αν στη θέση της σφαίας ήταν ένα οποιοδήποτε αντικείμενο που μπορεί με κατάλληλες

4 4 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ συνεχείς παραμορφώσεις να πάρει το σχήμα της μπάλλας, τότε το θεώρημα ισχύει και για το αντικείμενο αυτό φανταστείτε ας πούμε έναν κύβο. Ομως, μπορούμε να χτενίσουμε εναν μαλλιαρό τρύπιο λουκουμά (τόρο): Το Θεώρημα της μαλλιαρής σφαίρας δεν ισχύει στον τόρο Αυτό τελικά συμβαίνει διότι ο τόρος δεν μπορεί να πάρει το σχήμα της μπάλλας, παρά μόνο αν με κάποιο κόλλημα εξαφανίσουμε την τρύπα του. Αυτό όμως αλλάζει την τοπολογία του. Η κύρια έννοια στην τοπολογία που καθορίζει τις επιτρεπτές συνεχείς παραμορφώσεις είναι αυτή του ομοιομορφισμού. Το συμπέρασμα του Προβλήματος των Επτά Γεφυρών ισχύει και για κάθε διάταξη γεφυρών ομοιομορφική με αυτήν των γεφυρών της Καινιξβέργης, και το συμπέρασμα του θεωρήματος της μαλλιαρής σφαίρας ισχύεις και σε κάθε αντικείμενο ομοιομορφικό με την σφαίρα. Διαισθητικά, δύο αντικείμενα είναι ομοιομορφικά αν το ένα προκύπτει από το άλλο χωρίς να κοπεί ή να κολληθεί: λόγου χάρη, μία κούπα του καφέ (με χερούλι) και ένας τρύπιος λουκουμάς είναι το ίδιο αντικείμενο για την τοπολογία! Ο ομοιομορφισμός είναι μια τοπολογική ισοδυναμία μια άλλη τέτοια ισοδυναμία είναι η ομοτοπία δύο αντικείμενα είναι ομοτοπικά ισοδύναμα αν προκύπτουν από συρρίκνωση μεγαλύτερου αντικειμένου. Σαν παράδειγμα, ας δούμε τις ομοιομορφικές και τις ομοτοπικές κλάσεις των κεφαλαίων γραμμάτων του ελληνικού αλφαβήτου (sans-seriff), όπως αυτα φαίνονται στο σχήμα: Οι ομοιομορφικές κλάσεις είναι (με τα γράμματα όπως τα βλέπετε στο σχήμα): { Γάμμα, Ζήτα, Ιώτα, Λάμδα, Μί, Νί, Πί, Σίγμα, Ωμέγα } { Εψιλον, Ταύ, Υψιλον } { Χί, Ψί } { Ητα, Κάππα } { Ξί } { Δέλτα, Ομικρον } { Ρό } { Άλφα } { Βήτα } { Φί } { Θήτα }. Οι ομοτοπικές κλάσεις από την άλλη είναι:

5 ΜΕΜ231-ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ 1, 1Η ΔΙΑΛΕΞΗ 5 { Γάμμα, Εψιλον, Ζήτα, Ητα, Ιώτα, Κάππα, Λάμδα, Μί, Νί, Ξί, Πί, Σίγμα, Ταύ, Υψιλον, Χί, Ψί, Ωμέγα } { Άλφα, Δέλτα, Ομικρον, Ρό } { Βήτα, Φί } { Θήτα }. Παρατηρήστε ότι οι ομοιομορφικές κλάσεις εξαρτώνται τόσο από τον αριθμό των οπών, όσο και από τον αριθμό των ουρών. Λόγου χάρη, η κλάση { Εψιλον, Ταύ, Υψιλον } παριστάνει την ομοιομορφική κλάση των γραμμάτων με καμμία οπή και τρεις ουρές ενωμένες σε σημείο. Από την άλλη, οι ομοτοπικές κλάσεις καθορίζονται μόνο από τον αριθμό των οπών λόγου χάρη, η ομοτοπική κλάση { Άλφα, Δέλτα, Ομικρον, Ρό } είναι η κλάση των γραμμάτων με μία οπή. Παρατηρήστε σε αυτό το σημείο τη μοναθιά του Θήτα: η ουρά που επιπλέει εντός του κύκλου του, το κάνει να ξεχωρίζει, τόσο ομοιομορφικά όσο και ομοτοπικά Εφαρμογές της τοπολογίας. Φυσική: χρησιμοποιείται ευρέως στην κβαντική θεωρία πεδίου, στην κοσμολογία, και αλλού. Επιστήμη Υπολογιστών: Η αλγεβρικη τοπολογία βρίσκει εδώ ευρεία εφαμογή. Βιολογια: η θεωρία κόμβων χρησιμοποιείται για τη μελέτη των αλληλεπιδράσεων των διαφόρων ενζύμων που κόβουν, στρέφουν και επανασυνδέουν το DNA. Στην εξελικτική βιολογία χρησιμοποείται στην αναπαράσταση της σχέσης μεταξύ φαινότυπου και γονότυπου. Ρομποτική.