ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ. και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ»

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ. και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ»"

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ σε ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ» Εφαρμογές του Θεωρήματος Κατηγορίας Baire σε Μετρικούς Χώρους ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΗΤΡΩΟΥ: Ευστράτιος Θήριος ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: Βασίλης Παπανικολάου ΑΘΗΝΑ, 15/9/2016

2 Στην μητέρα μου, στην γυναίκα μου και στην κόρη μου.

3 Περιεχόμενα Πρόλογος...2 Βιογραφικό Σημείωμα του Baire...3 Εισαγωγικά στοιχεία για μετρικούς χώρους...4 Θεώρημα κατηγορίας του Baire ο Εφαρμογές του Θεωρήματος Κατηγορίας Baire σε χώρους Banach ο Εφαρμογές του Θεωρήματος Κατηγορίας Baire γενικότερα σε μετρικούς χώρους...23 Βιβλιογραφία

4 Πρόλογος Στην παρούσα εργασία αρχικά γίνεται μία εκτεταμένη μελέτη σχετικά με το θεώρημα κατηγορίας του Baire και ισοδύναμες μορφές του. Στην συνέχεια γίνεται αναλυτική αναφορά σε γνωστές εφαρμογές του. Τέλος αποδεικνύονται λιγότερο γνωστές εφαρμογές του θεωρήματος κατηγορίας του Baire. 2

5 Βιογραφικό Σημείωμα του Baire Στο École Normale Supérieure o Baire παρακολούθησε διαλέξεις από Jules Taneri και Goursat και, επιπλέον, παρακολούθησε διαλέξεις από Hermite, Émile Picard και Poincaré στη Σορβόννη. Ενώ ήταν φοιτητής βοήθησε στην συγγραφή των διαλέξεων του Poincaré, για τη διάδοση της θερμότητας. Απέκτησε την πρώτη θέση του ως καθηγητής στο λύκειο Bar-le-Duc Στο Lycée Bar-le-Duc Baire εργάστηκε πάνω στη θεωρία των συναρτήσεων και στην έννοια του ορίου. Σε αυτό το διάστημα ανακάλυψε τις προϋποθέσεις υπό τις οποίες μια συνάρτηση είναι το όριο μίας ακολουθίας συνεχών συναρτήσεων. Αμέσως μετά από αυτό ο Baire ταξινόμησε τις συναρτήσεις σε κατηγορία 1, κατηγορία 2 και κατηγορία 3. Οι συναρτήσεις κατηγορίας 1 είναι αυτές που είναι το όριο μίας ακολουθίας συνεχών συναρτήσεων και οι συναρτήσεις κατηγορίας 2 είναι εκείνες που είναι το όριο μίας ακολουθίας συναρτήσεων κατηγορίας 1. Τέλος η κλάση 3 αποτελείται από συναρτήσεις οι οποίες είναι το όριο μιας ακολουθίας συναρτήσεων κατηγορίας 2. Ο Baire, έλαβε μια υποτροφία για να του επιτρέψει να συνεχίσει τις σπουδές του στην Ιταλία και εκεί γνωρίστηκε με τον Volterra. Καθώς εργαζόταν στο λύκειο, ο Baire έγραψε παράλληλα τη διδακτορική διατριβή του πάνω στις ασυνεχείς συναρτήσεις. Εξετάστηκε επιτυχώς στις 24 Μαρτίου 1899 από τους Darboux, Appell και Émile Picard. Το 1901 ο Baire διορίστηκε στο Πανεπιστήμιο του Μονπελιέ ως "Maitre des συνέδρια". Το 1904 τιμήθηκε με το Ίδρυμα Peccot με υποτροφία και εντάχθηκε στην Σχολή Επιστημών στο Ντιζόν. Το 1907 προήχθη σε καθηγητή της Ανάλυσης στο Ντιζόν. Ο Baire είχε αναπτύξει αλληλογραφία με τον Émile Borel. Στις επιστολές ο Baire γράφει με μεγάλη λεπτομέρεια σχετικά με την έρευνα και τις ιδέες του, πάνω στην ταξινόμηση των συναρτήσεων Baire, στα σύνολα πρώτης και δεύτερης κατηγορία, και στην ημισυνέχεια. Ο Baire έγραψε μια σειρά σημαντικών βιβλίων ανάλυσης συμπεριλαμβανομένων των Théorie des nombres irrationels, des limites et de la continuité (1905) και Leçons sur les théories générales de l'analyse, 2 Vols. (1907-8). Ο Baire έκανε ένα αποφασιστικό βήμα για την απομάκρυνση από την διαισθητική ιδέα των συναρτήσεων και της συνέχειας και είδε ξεκάθαρα ότι η θεωρία συνόλων ήταν θεμελιώδους σημασίας για την αυστηρή πραγματική ανάλυση. 3

6 Εισαγωγικά στοιχεία για μετρικούς χώρους Ορισμός-Έστω (Χ, ) μετρικός χώρος και Χ. Η σχετική μετρική στον ως προς την μετρική ρ είναι ο περιορισμός της συνάρτησης ρ στο. Πρόταση-Έστω (Χ, ) μετρικός χώρος, Χ και σ η σχετική μετρική στο. Για κάθε και > 0 ισχύει (, ) = (, ). Απόδειξη-Είναι άμεσο από τον ορισμό της ανοικτής σφαίρας (, ) = Χ (, ) < στον μετρικό χώρο (Χ, ) και τον ορισμό της ανοικτής σφαίρας (, ) = (, ) < στον μετρικό χώρο (, ). Πρόταση- Έστω (Χ, ) μετρικός χώρος, Χ, σ η σχετική μετρική στο και. Το είναι ανοικτό υποσύνολο του (, ) αν και μόνο αν υπάρχει ανοικτό υποσύνολο του Χ έτσι ώστε =. Απόδειξη-Εφόσον το είναι ανοικτό υποσύνολο του (, ) για κάθε υπάρχει > 0 έτσι ώστε (, ). Άρα έχουμε ότι = (, ). Συνεπώς από την προηγούμενη πρόταση, έχουμε ότι = (, ) = (, ). Θέτοντας = (, ) έχουμε το ζητούμενο. Αντίστροφα έστω. Εφόσον ισχύει ότι και το είναι ανοικτό υποσύνολο του Χ, υπάρχει > 0 έτσι ώστε (, ). Συνεπώς από την προηγούμενη πρόταση, έχουμε ότι (, ) = (, ) =. Δηλαδή Το είναι ανοικτό υποσύνολο στο μετρικό χώρο (, ). Πρόταση-Έστω (Χ, ) μετρικός χώρος, Χ, σ η σχετική μετρική στο και. Το είναι κλειστό υποσύνολο του (, ) αν και μόνο αν υπάρχει κλειστό υποσύνολο του Χ έτσι ώστε =. Απόδειξη-Εφόσον το είναι κλειστό υποσύνολο του (, ), συνεπάγεται ότι \ είναι ανοικτό υποσύνολο του (, ). Συνεπώς από την προηγούμενη πρόταση υπάρχει ανοικτό σύνολο στο (Χ, ) έτσι ώστε το \ =. Θέτουμε = Χ\. Το είναι κλειστό στο (Χ, ) και ισχύει = \\ = \ = \ = Χ\ = που είναι και το ζητούμενο. Αντίστροφα έστω ότι ισχύει =. Τότε έχουμε ότι \ = \ = \ = Χ\. Εφόσον το Χ\ είναι ανοικτό υποσύνολο στο μετρικό χώρο (Χ, ), από την προηγούμενη πρόταση συνεπάγεται ότι και το \ είναι ανοικτό στο μετρικό χώρο (, ). 4

7 Συνεπώς το υποσύνολο είναι κλειστό στον μετρικό χώρο (, ), που είναι και το ζητούμενο. Ορισμός-Έστω Ε ένα μη κενό υποσύνολο του μετρικού χώρου (, ). Η διάμετρος του Ε ορίζεται ως () = (, ),. Ορισμός-Έστω (Χ, ) μετρικός χώρος και X. Το είναι φραγμένο αν και μόνο αν () <. Πρόταση-Έστω (Χ, ) μετρικός χώρος και () = ( ). Απόδειξη-Εφόσον το εξορισμού έχουμε ότι () ( ). Αντίστροφα έστω, και > 0. Από τον ορισμό της κλειστότητας υπάρχουν, έτσι ώστε (, ) < και (, ) <. Συνεπώς ισχύουν τα ακόλουθα, (, ) (, ) + (, ) + (, ) < + (). Δεδομένου ότι το > 0 είναι τυχαίο συνεπάγεται ότι (, ) (). Επίσης επειδή και τα, είναι τυχαία, συνεπάγεται ότι η ( ) = (, ), (). Συνεπώς η () = ( ). Ορισμός-Έστω (Χ, ) μετρικός χώρος και X. 1. Το είναι σύνολο αν υπάρχει ακολουθία N ανοικτών υποσυνόλων του Χ, ώστε = N. 2. Το είναι σύνολο αν υπάρχει ακολουθία N κλειστών υποσυνόλων του Χ, ώστε = N. Από τον ορισμό προκύπτει άμεσα ότι το συμπλήρωμα ενός συνόλου είναι σύνολο και αντίστροφα. Πρόταση-Αν (Χ, ) μετρικός χώρος, X και X, τότε αν και μόνο αν (, ) = 0. Απόδειξη-Έστω ότι το (, ) = > 0. Αυτό συνεπάγεται ότι (, ) για κάθε. Συνεπώς ισχύει ότι, =. Άτοπο διότι το. Αντίστροφα έστω > 0, τότε από τον ορισμό του infimum υπάρχει έτσι ώστε (, ) <. Δηλαδή για κάθε > 0 ισχύει ότι (, ). Συνεπώς το. 5

8 Πρόταση-(i) Κάθε κλειστό υποσύνολο ενός μετρικού χώρου (Χ, ) είναι σύνολο. (ii) Κάθε ανοικτό υποσύνολο ενός μετρικού χώρου (Χ, ) είναι σύνολο. Απόδειξη-(i) Έστω (Χ, ) μετρικός χώρος και κλειστό υποσύνολο του Χ. Θέτουμε = X (, ) <. Εφόσον η συνάρτηση () = (, ) είναι ομοιόμορφα συνεχής συνεπάγεται ότι το σύνολο είναι ανοικτό. Από την προηγούμενη πρόταση προκύπτει ότι =. Δηλαδή το είναι σύνολο. N (ii) Έστω (Χ, ) μετρικός χώρος και ανοικτό υποσύνολο του Χ. Συνεπώς το Χ\ είναι κλειστό στο (Χ, ). Δηλαδή υπάρχει ακολουθία ανοικτών υποσυνόλων N του (Χ, ) έτσι ώστε Χ\ = N. Από το θέωρημα De Morgan προκύπτει ότι = N Χ\, όπου το Χ\ είναι κλειστό στο (Χ, ) για κάθε N. Δηλαδή το είναι σύνολο. Πρόταση (Χαρακτηρισμός Cantor πλήρων μετρικών χώρων)-έστω (Χ, ) μετρικός χώρος τα επόμενα είναι ισοδύναμα, 1) Ο (Χ, ) είναι πλήρης μετρικός χώρος. 2) Αν ( ) N είναι φθίνουσα ακολουθία κλειστών μη κενών υποσυνόλων του Χ με ( ) 0 τότε υπάρχει έτσι ώστε =. N Απόδειξη-Θεωρούμε ότι ο (Χ, ) είναι πλήρης μετρικός χώρος και ότι η ( ) N είναι μία φθίνουσα ακολουθία κλειστών μη κενών υποσυνόλων του Χ με ( ) 0. Για κάθε N επιλέγεται τυχαίο. Ισχυρισμός, η ακολουθία ( ) N είναι βασική. Πράγματι έστω ε > 0, τότε υπάρχει () N έτσι ώστε για κάθε () ισχύει ότι ( ) <. Εφόσον η ( ) N είναι φθίνουσα για κάθε > () τα, (). Δηλαδή για κάθε > () το (, ) <. Επειδή ο (Χ, ) είναι πλήρης, υπάρχει X έτσι ώστε. Εξορισμού της κατασκευής της ακολουθίας προκύπτει ότι για κάθε N το ( ). Αλλά για κάθε N το είναι κλειστό και η ακολουθία ( ) συγκλίνει στο ως υπακολουθία της ( ) N. Συνεπώς το για κάθε N. Δηλαδή N. Έστω N με τότε συνεπάγεται ότι το 0 < (, ) =. Αλλά για ε > 0 υπάρχει () N έτσι ώστε για κάθε (), ισχύει ότι ( ) <. Συνεπώς για κάθε () η ( ) < (, ). Δηλαδή για κάθε () είτε είτε. Άτοπο. Συνεπώς =. N Αντίστροφα, έστω ( ) N βασική ακολουθία, τότε για κάθε N θέτουμε =. Συνεπώς η ( ) N είναι φθίνουσα ακολουθία κλειστών μη κενών υποσυνόλων του Χ. Ισχυρισμός, Αν η ( ) 0 συνεπάγεται ότι ( ) 0. Πράγματι έστω, για κάποιο N, τότε υπάρχουν ( ) N,( ) N ακολουθίες έτσι ώστε και. 6

9 Έστω > 0, τότε υπάρχει () N έτσι ώστε για κάθε () η ( ) <. Τότε υπάρχουν (), (), () N έτσι ώστε (, ) < για κάθε (), (, ) < για κάθε () και (, ) < για κάθε, () (). Από τα προαναφερόμενα είναι άμεσο ότι για κάθε, (), (), () ισχύει ότι (, ) (, ) + (, ) + (, ) < + + =. Συνεπώς <. Άρα ισχύει ότι ( ) 0. Από την υπόθεση έχουμε ότι υπάρχει Χ έτσι ώστε η Ισχυρισμός, η. Πράγματι εφόσον N N =., τότε για κάθε N. Άρα για κάθε N υπάρχει έτσι ώστε το, <. Εφόσον η και η ( ) N είναι βασική, έχουμε ότι. 7

10 Θεώρημα κατηγορίας του Baire Θεώρημα κατηγορίας του Baire-Έστω (Χ, ) είναι πλήρης μετρικός χώρος και ( ) N αριθμήσιμη οικογένεια ανοικτών και πυκνών υποσυνόλων του Χ. Τότε η N είναι πυκνό υποσύνολο του Χ. Απόδειξη-Αρκεί να δείξουμε ότι αν Χ και > 0 τότε η (, ) N. Εφόσον το υποσύνολο είναι πυκνό στον χώρο (Χ, ), τότε η (, ). Συνεπώς υπάρχει (, ). Επίσης το είναι ανοικτό, άρα υπάρχει 0 < < έτσι ώστε, (, ) (, ). Θέτουμε =. Τότε ισχύει ότι (, ) (, ). Με τον ίδιο κατασκευαστικό τρόπο, για κάθε 1 < ισχύει ότι (, ) (, ) με 0 < < και =. Από υπόθεση το υποσύνολο είναι ανοικτό και πυκνό στον χώρο (Χ, ). Συνεπώς υπάρχει (, ) και 0 < < έτσι ώστε (, ) (, ) (, ) όπου =. Άρα ισχύουν τα ακόλουθα, () 1. (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) 2. (, ) για κάθε N. 3. Εφόσον για κάθε N ισχύει ότι (, ), συνεπάγεται ότι (, ),. Δηλαδή (, ) 0. Δεδομένου ότι ο (Χ, ) είναι πλήρης μετρικός χώρος από τον Χαρακτηρισμό Cantor πλήρων μετρικών χώρων, υπάρχει X έτσι ώστε η (, ) =. Επειδή (, ) N (, ) συνεπάγεται ότι (, ). Επίσης από τα προαναφερόμενα ισχύει ότι ( N, ) N. Συνεπώς N. Δηλαδή η N (, ). N Ορισμός-Ένα υποσύνολο Ε ενός μετρικού (, ) καλείται αραιό όταν το =. Ορισμός-Ένα υποσύνολο Ε ενός μετρικού (, ) καλείται πουθενά πυκνό όταν η κλειστότητα του δεν περιέχει ανοικτά σύνολα. Δηλαδή =. 8

11 1 η Ισοδύναμη μορφή του θεωρήματος κατηγορίας του Baire- Ένας πλήρης μετρικός χώρος (Χ, ) δεν μπορεί να είναι η ένωση ενός αριθμήσιμου το πλήθος πουθενά πυκνών ( ) N υποσυνόλων του. Απόδειξη- 1 ος τρόπος-έστω (Χ, ) πλήρης μετρικός χώρος και Χ = N με πουθενά πυκνό για κάθε N. Ισχυρισμός, αν το είναι πουθενά πυκνό τότε Χ. Πράγματι, δεδομένου ότι το Χ είναι ανοικτό, αν = Χ τότε το = X. Άτοπο διότι το =. Από τον ισχυρισμό υπάρχει Χ\. Κατά συνέπεια υπάρχει 1 > > 0 έτσι ώστε (, ) =. Εφόσον το είναι πουθενά πυκνό τότε υπάρχει (, )\ και > > 0 έτσι ώστε (, ) (, )\ και άρα (, ) =. Επαγωγικά αν (, )\, τότε υπάρχει (, )\ και άρα (, ) =. Ισχυρισμός, η ακολουθία N είναι Cauchy. > > 0 έτσι ώστε (, ) Πράγματι, από τα προαναφερόμενα ισχύει ότι (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ), συνεπώς για κάθε, N με, ισχύει ότι, (, ). Άρα έχουμε ότι (, ) (, ) + (, ) < + = =. Εφόσον για συνεπάγεται ότι,, τότε ισχύει ότι 0 (, ) = 0. Δηλαδή lim (, ) = lim (, ) = 0. Άρα η ακολουθία N είναι Cauchy. Δεδομένου ότι ο (Χ, ρ) είναι πλήρης μετρικός χώρος, συνεπάγεται ότι υπάρχει Χ έτσι ώστε (, ) = 0. Από τα προαναφερόμενα αν N τότε (, ). Συνεπώς το (, ). Δηλαδή για κάθε N το (, ). Αλλά (, ) = και (, ) (, ). Δηλαδή. Εφόσον το είναι τυχαίο τότε το για κάθε N. Δηλαδή Χ. Άτοπο. 2 ος τρόπος- Έστω (Χ, ) πλήρης μετρικός χώρος και υποθέτουμε ότι Χ = N με πουθενά πυκνό για κάθε N. Θέτουμε = Χ\ για κάθε N. Προφανώς το είναι ανοικτό και πυκνό υποσύνολο του (Χ, ) για κάθε N. Από το θεώρημα κατηγορίας του Baire έχουμε ότι η N είναι πυκνό υποσύνολο στον (Χ, ρ). Συνεπώς ισχύουν τα ακόλουθα, Χ = N = Χ\ N = Χ\ N Χ\ N =. 9

12 Άτοπο. Πρόταση- Έστω (Χ, ) είναι μετρικός χώρος και Ε υποσύνολο. Τότε = αν και μόνο αν Χ\ = Χ. Απόδειξη- υποθέτουμε ότι το = και Χ\ Χ τότε υπάρχουν X και > 0 έτσι ώστε (, ) Χ\ =. Συνεπώς (, ). Δηλαδή. Άτοπο εφόσον =. Αντίστροφα έστω ότι Χ\ = Χ και. Τότε υπάρχει > 0 έτσι ώστε (, ). Συνεπώς (, ) (Χ\) =. Δηλαδή Χ\ = X. Άτοπο. Πρόταση-Ένα υποσύνολο Ε του μετρικού (Χ, ) είναι πουθενά πυκνό αν και μόνο αν για κάθε Ο ανοικτό υποσύνολο του Χ, το σύνολο δεν είναι πυκνό στον (, ) όπου = R είναι ο περιορισμός της μετρικής ρ στο υποσύνολο Ο του Χ. Απόδειξη-Έστω Ο ανοικτό υποσύνολο του Χ με το σύνολο =. Από υπόθεση έχουμε ότι Χ\ = Χ. Συνεπώς (Χ\). Έστω (Χ\). Εφόσον τα, Χ\ είναι ανοικτά τότε το (Χ\) είναι επίσης ανοικτό στον Χ. Άρα υπάρχει > 0 έτσι ώστε (, ) (Χ\). Από τα προαναφερόμενα προκύπτουν τα ακόλουθα, Άτοπο διότι το Ε =. (, ) = 1 ος τρόπος-αντίστροφα έστω ότι το δεν είναι πουθενά πυκνό. Τότε το εσωτερικό της κλειστότητας του, δεν είναι κενό. Συνεπώς το. Αν όχι τότε \. Τότε υπάρχει \ και > 0 έτσι ώστε (, ) \. Δηλαδή (, ) =. Εφόσον συνεπάγεται ότι (, ). Άτοπο. Θέτουμε =. Άρα ισχύει ότι =. Συνεπώς = =. Άτοπο διότι για κάθε μη κενό ανοικτό υποσύνολο του Χ, το σύνολο δεν είναι πυκνό στον (, ). 2 ος τρόπος-αντίστροφα θεωρούμε ότι για κάθε Ο ανοικτό υποσύνολο του Χ, το σύνολο δεν είναι πυκνό στον (, ). Έστω ότι το υποσύνολο Ε δεν είναι πουθενά πυκνό. Συνεπώς το Χ\ δεν είναι πυκνό στον (Χ, ). Άρα υπάρχει και > 0 έτσι ώστε (, ). Από υπόθεση ισχύει ότι (, ) (, ). Έστω (, )\(, ), τότε υπάρχει δ>0 έτσι ώστε (, ) (, )\(, ). 10

13 Επειδή το (, ) συνεπάγεται ότι υπάρχει > 0 έτσι ώστε (, ) (, ). Εφόσον, προκύπτει ότι, (, ) (, ) (, ) = (, ) (, ) (, ) =, διαφορετικά (, ) (, ). Είναι άμεσο ότι (, ) (, ). Δηλαδή (, ) (, ) =. Θέτουμε =,, τότε (, ) (, ) και (, ) (, ) =. Αλλά ισχύει ότι, ((, ) ) (, ) (\) = (, ). Άρα (, ) (, ) (\). Εφόσον (, ) (, ) και (, ) ισχύει ότι (, ) = και (, ) = (, ) (\). Δεδομένου ότι το καταλήγουμε σε άτοπο διότι ισχύει ταυτόχρονα ότι (, ) = και (, ). 2 η Ισοδύναμη μορφή Θεωρήματος Κατηγορίας Baire-Έστω (Χ, ) είναι πλήρης μετρικός χώρος και ( ) N μία αριθμήσιμη οικογένεια κλειστών υποσυνόλων του Χ με = για κάθε N. Τότε N =. Απόδειξη- Έστω N. Τότε υπάρχει N και > 0 έτσι ώστε (, ) N. Συνεπώς (, ) Χ\ N =. Δηλαδή (, ) N(Χ\ ) =. Εφόσον είναι κλειστό, τότε Χ\ είναι ανοικτό για κάθε N. Επίσης εφόσον = τότε Χ\ = Χ. Από το Θεώρημα Κατηγορίας του Baire προκύπτει ότι N Χ\ = Χ. Συνεπώς (, ) N Χ\. Άτοπο. Άρα N =. Πρόταση-Έστω (Χ, ) πλήρης μετρικός χώρος και ( ) N μία αριθμήσιμη οικογένεια κλειστών υποσυνόλων του Χ. Εάν τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα με. N Απόδειξη-Έστω ότι για κάθε N ισχύει ότι =. Συνεπώς για κάθε N, θα έχουμε ότι Χ\ = Χ και Χ\ ανοικτό. Εφόσον ο (Χ, ) είναι πλήρης μετρικός χώρος από το Θεώρημα κατηγορίας του Baire ισχύει ότι N Χ\ = Χ. 11

14 Ωστόσο, δεδομένου ότι το N, συνεπάγεται ότι X\ N = N Χ\ Χ. Άτοπο. Συνεπώς υπάρχει τουλάχιστον ένα με. Θεώρημα-Έστω (Χ, ) πλήρης μετρικός χώρος και έστω Χ = N όπου ρ-κλειστό υποσύνολο του Χ για κάθε N. Τότε υπάρχει N έτσι ώστε. Απόδειξη-Έστω ότι για κάθε N ισχύει ότι =. Συνεπώς Χ\ = Χ και Χ\ είναι ρ-ανοικτό για κάθε N. Εφόσον ο (Χ, ) είναι πλήρης μετρικός χώρος, από το Θεώρημα κατηγορίας του Baire ισχύει ότι N Χ\ = Χ. Συνεπώς η N Χ\. Εφόσον το Χ = N, από τις σχέσεις De Morgan έχουμε ότι = X\X = X\ N = N Χ\. Άτοπο. Άρα υπάρχει N έτσι ώστε. Ορισμός-Έστω (Χ, ), (Ζ, ) μετρικοί χώροι και L = (X, ) (Ζ, ) οικογένεια συναρτήσεων. Η L καλείται ισοσυνεχής στο αν για κάθε > 0 υπάρχει > 0 ώστε για κάθε (, ) και για κάθε L να ισχύει () (( ), ). Πρόταση-Έστω (Χ, ) πλήρης μετρικός χώρος και ( ) N μία αριθμήσιμη οικογένεια κλειστών υποσυνόλων του Χ. Τότε N =. Απόδειξη-Έστω Ε κλειστό υποσύνολο του Χ και έστω, τότε υπάρχουν και > 0 έτσι ώστε (, ) = X\. Συνεπώς (, ) X\ και (, ) =. Τότε (, ) Χ\ =. Δηλαδή Χ\. Άτοπο. Συνεπώς έχουμε ότι =. Άρα για κάθε N ισχύει ότι = και προφανώς το είναι κλειστό. Από την ισοδύναμη μορφή του θεωρήματος Baire προκύπτει ότι N =. Θεώρημα-Έστω (Χ, ) πλήρης μετρικός χώρος και L = (X, ) (R, ) μία οικογένεια συνεχών συναρτήσεων έτσι ώστε για κάθε X υπάρχει > 0 με () < για κάθε L. Τότε υπάρχει ανοικτό υποσύνολο του Χ και > 0, έτσι ώστε για κάθε για κάθε L να ισχύει ότι (). Απόδειξη-Θέτουμε = X (), L. Συνεπώς = είναι κλειστό. Έστω X. L (, ) Τότε από υπόθεση υπάρχει N έτσι ώστε () για κάθε L. Συνεπώς. Άρα X = N. Συνεπώς υπάρχει N έτσι ώστε. Συνεπώς υπάρχει > 0 έτσι ώστε (, ). Τότε για κάθε (, ) και για κάθε L έχουμε ότι (). 12

15 Θεώρημα-Έστω (Χ, ) πλήρης μετρικός χώρος, συνάρτηση (X, ) (R, ) και (X, ) (R, ) N μία ακολουθία συνεχών συναρτήσεων για την οποία ισχύει ότι () () για κάθε Χ. Τότε υπάρχει πυκνό υποσύνολο D του Χ στο οποίο η N είναι ισοσυνεχής και η f είναι συνεχής. Απόδειξη-Έστω, N. Ορίζουμε (, ) = X () (),. Είναι άμεσο ότι η απεικόνιση () είναι συνεχής και ότι (, ) =,,. Συνεπώς το υποσύνολο (, ) είναι κλειστό. Τέλος είναι προφανές ότι, N (, ) = Χ. Εφόσον το (, ), N είναι ακολουθία κλειστών υποσυνόλων του πλήρη μετρικού χώρου (Χ, ), τότε, N (, ) =. Θέτουμε = X\, N (, ). Εφόσον, N (, ) =, έχουμε = Χ. Ισχυρισμός-Έστω και (, ). Τότε το είναι εσωτερικό σημείο του (, ). Πράγματι εφόσον τότε, N (, ). Συνεπώς (, ) για κάθε, N. Αυτό συνεπάγεται ότι (, ) Χ\(, ) για κάθε, N. Για, N είτε Χ\(, ) είτε Χ\Χ\(, ). Τότε είτε υπάρχει > 0 έτσι ώστε (, ) Χ\(, )είτε υπάρχει > 0 έτσι ώστε (, ) Χ\Χ\(, ). Εφόσον το (, ), έχουμε ότι (, ) Χ\Χ\(, ) (, ). Άρα το είναι εσωτερικό σημείο του (, ). Θα δείξουμε ότι η N είναι ισοσυνεχής στο D. Έστω. Αν > 0 τότε υπάρχει N έτσι ώστε >. Εφόσον η N είναι κατά σημείο συγκλίνουσα, η ( ) N είναι Cauchy. Συνεπώς υπάρχει () N έτσι ώστε ( ) ( ) για κάθε, (). Δηλαδή το, (). Από τον ισχυρισμό υπάρχει > 0 έτσι ώστε (, ), (). Συνεπώς για κάθε (, ) έχουμε ότι () () για κάθε, (). Εφόσον η () (X, ) (R, ) είναι συνεχής στο υπάρχει 0 < < έτσι ώστε () ( ) () () < για κάθε (, ). Συνεπώς για κάθε (, ) και για κάθε () ισχύουν τα ακόλουθα, () ( ) () () () + () () () ( ) + () ( ) ( ) < < <. Χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι για την πεπερασμένη οικογένεια () ισχύει () ( ) < για κάθε (, ). Εφόσον το είναι τυχαίο, η οικογένεια N είναι ισοσυνεχής στο D. 13

16 Συνεπώς έχουμε ότι () ( ) < για κάθε () και για κάθε (, ). Άρα από υπόθεση έχουμε ότι, () ( ) = () ( ) = () ( ) για κάθε (, ). Δηλαδή η είναι συνεχής στο. Εφόσον το είναι τυχαίο η είναι συνεχής στο (Χ, ). 14

17 1 ο Εφαρμογές του Θεωρήματος Κατηγορίας Baire σε χώρους Banach Θεώρημα (Αρχή Ομοιόμορφου Φράγματος)-Έστω (Χ, ) χώρος Banach, (Ζ, ) χώρος με νόρμα και ( ) μία οικογένεια φραγμένων γραμμικών τελεστών από τον Χ στον Ζ. Θεωρούμε ότι η οικογένεια ( ) είναι κατά σημείο φραγμένη. Δηλαδή για κάθε X ισχύει ότι () <. Τότε η οικογένεια ( ) είναι ομοιόμορφα φραγμένη. Δηλαδή το (,) <. Απόδειξη- Για κάθε N θέτουμε = X (),. Εφόσον ο είναι φραγμένος γραμμικός τελεστής για κάθε και = ( 0, ) συνεπάγεται ότι το είναι κλειστό ως τομή κλειστών συνόλων. Το Χ = N. Πράγματι έστω Χ. Από υπόθεση έχουμε ότι () <. Συνεπώς υπάρχει N έτσι ώστε (). Δηλαδή το. Η σχέση Χ N είναι προφανής. Εφόσον ο (Χ, ) είναι πλήρης από το Θεώρημα Κατηγορίας του Baire υπάρχει N έτσι ώστε. Συνεπώς υπάρχει X και > 0 έτσι ώστε,. Άρα για κάθε (, ) το (). Έστω και X με 1 τότε ισχύουν τα ακόλουθα, () = 1 () = 1 ( + ) 1 ( ( + ) + ( ) ) Εφόσον + =, τότε +,. Άρα () 1 ( ( + ) + ( ) ) 1 ( + ) = 2 Εφόσον το X με 1 είναι τυχαίο, συνεπάγεται ότι, (,) = () 1 2 Επίσης εφόσον το είναι τυχαίο προκύπτει ότι, (,) 2 Συνεπώς η οικογένεια ( ) είναι ομοιόμορφα φραγμένη. Πρόταση-Έστω (Χ, ) και (Ζ, ) χώροι με νόρμα. Τότε η γραμμική απεικόνιση (Χ, ) (Ζ, ) είναι φραγμένος γραμμικός τελεστής αν και μόνο αν το ( 0,1). 15

18 Απόδειξη- έστω ότι ο (Χ, ) (Ζ, ) είναι φραγμένος γραμμικός τελεστής. Τότε για κάθε X ισχύει ότι (). Συνεπώς για κάθε (0, 1) ισχύει ότι () <. Η ισότητα των συνόλων = Χ < 1 = X < = προκύπτει άμεσα. Πράγματι είναι προφανές ότι. Έστω τότε < 1 και =. Δηλαδή. Άρα. Άρα =. Συνεπώς, εφόσον το είναι ανοικτό και ( 0,1), συνεπάγεται ότι ( 0,1). Αντίστροφα έστω (Χ, ) (Ζ, ) γραμμική με ( 0,1). Δηλαδή υπάρχουν Χ και > 0 έτσι ώστε (, ) ( 0,1). Aν < τότε ισχύουν τα ακόλουθα, () ( + ) + ( ) 2, δεδομένου ότι +, ( 0,1). Έστω > > 0. Συνεπώς για κάθε Χ ισχύει ότι = <. Εφόσον ισχύει ότι 2, συνεπάγεται ότι η () για κάθε Χ. Δηλαδή ο (Χ, ) (Ζ, ) είναι φραγμένος γραμμικός τελεστής. Πρόταση-Έστω (Χ, ) και (Ζ, ) χώροι με νόρμα και έστω (ΧxZ, x ) (C, ) μία φραγμένη διγραμμική απεικόνιση. Τότε αν 0 και 0 συνεπάγεται ότι (, ) 0. Απόδειξη-Έστω N, τότε για κάθε θέτουμε () = (, ). Από υπόθεση ο είναι φραγμένος γραμμικός τελεστής. Επίσης από υπόθεση και ο τελεστής (, ) είναι φραγμένος γραμμικός για κάθε. Συνεπώς ισχύει ότι (, ) (, ). Εφόσον η ακολουθία 0, συνεπάγεται ότι 0. Δηλαδή υπάρχει > 0 έτσι ώστε για κάθε N. Συνεπώς () = (, ) (, ) = για κάθε N. Άρα () N. Εφόσον ο χώρος (Ζ, ) είναι Banach, από την Αρχή Ομοιόμορφου Φράγματος έχουμε ότι το N <. Για κάθε N ισχύει ότι ( ) = (, ). Εφόσον 0 έχουμε ότι και το (, ) 0. 16

19 Θεώρημα (Banach-Steinhaus)-Έστω (Χ, ) χώρος Banach, (Ζ, ) χώρος με νόρμα και ( ) N μία οικογένεια φραγμένων γραμμικών τελεστών από τον Χ στον Ζ έτσι ώστε για κάθε X να υπάρχει το (). Θέτοντας () = (), προκύπτει ότι ο είναι φραγμένος γραμμικός τελεστής. Απόδειξη-O είναι γραμμικός. Πράγματι ισχύει ότι ( + ) = ( ) + ( ) = ( ) + ( ). Λόγω της σύγκλισης της ακολουθίας () N, προκύπτει άμεσα ότι για κάθε X υπάρχει > 0 έτσι ώστε () N. Εφόσον η οικογένεια ( ) N είναι κατά σημείο φραγμένη, τότε από την Αρχή Ομοιόμορφου Φράγματος είναι και Ομοιόμορφα Φραγμένη, δηλαδή υπάρχει > 0 έτσι ώστε N. Συνεπώς αν Χ με 1, τότε () για κάθε N. Εφόσον ισχύει ότι () () () (), τότε () = () για κάθε Χ. Συνεπώς για Χ με 1 έπεται ότι () = (). Δηλαδή η = () 1. Ισοδύναμα ο είναι γραμμικός τελεστής. Λήμμα-Έστω (Χ, ) χώρος Banach και (Ζ, ) χώρος με νόρμα. Έστω επίσης (Χ, ) (Ζ, ) φραγμένος γραμμικός τελεστής. (a) Αν για > > 0 ισχύει ότι (0, ) (0,1) + (0, ) τότε συνεπάγεται ότι (0, ) 0,. (b) Ειδικότερα αν (0, ) (0,1) τότε (0, ) (0,1). Απόδειξη-(α) Λόγω της γραμμικότητας του τελεστή και του χώρου Χ, για κάθε > 0 ισχύει ότι (0, ) 0, + 0,. Έστω (0, ). Τότε (0,1) + (0, ). Συνεπώς υπάρχει (0,1) και (0, ) έτσι ώστε ( ) =. Άρα ( ) = < και < 1 =. Έστω ότι έχουν κατασκευαστεί ώστε < και ( ) <. Συνεπώς ( ) 0,. Θέτουμε στην αρχική μας σχέση =. Άρα 0, 0, + 0,. Δηλαδή υπάρχει 0, έτσι ώστε ( ) ( ) < 17

20 . Συνεπώς προκύπτει επαγωγικά ότι υπάρχει ακολουθία ( ) N έτσι ώστε για κάθε N να ισχύει ( ) < και <. Εφόσον το < = <, υπάρχει X έτσι ώστε 0. Δηλαδή =. Συνεπώς έχουμε ότι, = = = = <. Εφόσον ο (Χ, ) (Ζ, ) είναι φραγμένος γραμμικός τελεστής ισχύουν τα ακόλουθα, () = Δηλαδή = (). Συνεπώς 0, = ( ). Δηλαδή = 0 (b) Έστω ότι ισχύει (0, ) (0,1), τότε προκύπτει από τον ορισμό της κλειστότητας ενός συνόλου ότι για κάθε > 0 έχουμε (0, ) (0,1) + (0, ). Πράγματι έστω > 0 και (0,1), τότε, (0,1). Δηλαδή υπάρχει (), (0,1). Συνεπώς ((), ) και () (0,1). Άρα () + (0, ) (0,1) + (0, ). Εφόσον το είναι τυχαίο τότε (0,1) (0,1) + (0, ). Από το (a) προκύπτει ότι για κάθε > > 0 το (0, ) 0,. Συνεπώς για κάθε > 1 ισχύει (0, ) (0, ). Έστω (0, ), τότε < < για κάποιο 0 <. Τότε (0, ) = (0, ) 0, = (0,1). Εφόσον το είναι τυχαίο, τότε (0, ) (0,1). Θεώρημα (Ανοικτής Απεικόνισης)-Έστω (Χ, ) και (Ζ, ) χώροι Banach και (Χ, ) (Ζ, ) φραγμένος γραμμικός τελεστής που είναι επί. Τότε ο είναι ανοικτή απεικόνιση. Δηλαδή για κάθε ανοικτό υποσύνολο του Χ το () είναι ανοικτό υποσύνολο του Ζ. Απόδειξη 18

21 1 ος τρόπος-δεδομένου ότι ο είναι επί και Χ = N (0, ) τότε Ζ = ( N (0, ) ) = N (0, ). Εφόσον Ζ (0, ) για κάθε N τότε Ζ = N (0, ). Εφόσον ο (Ζ, ) είναι πλήρης χώρος, από το Θεώρημα Κατηγορίας του Baire υπάρχει N ώστε (0, ). Είναι άμεσο ότι (0,1) = (0, ). Δηλαδή (0,1). Συνεπώς υπάρχει (0,1) και > 0 έτσι ώστε (, ) (0,1). Εφόσον το (0,1) είναι συμμετρικό και κυρτό τότε λόγω της γραμμικότητας του και το (0,1) είναι συμμετρικό και κυρτό. Θα δείξουμε ότι το (0,1) είναι συμμετρικό, η κυρτότητα είναι άμεση. Πράγματι έστω () (0,1). Τότε υπάρχει ( ) N (0,1) έτσι ώστε ( ) () 0. Λόγω συμμετρίας ( ) N (0,1). Συνεπώς () ( ) = ( ) () 0. Άρα το () (0,1). Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεται και η κυρτότητα. Συνεπώς λόγω συμμετρίας ισχύουν τα ακόλουθα, (, ) = (, ) (0,1). Έστω (0, ), τότε + (, ) και + (, ).. Λόγω της κυρτότητας του συνόλου (0,1) έχουμε ότι το = ( + ) + ( + ) (0,1). Εφόσον το είναι τυχαίο ισχύει ότι (0, ) (0,1). Συνεπώς για κάθε > 0 έχουμε ότι (0, ) (0,1) + (0, ). Πράγματι έστω > 0 και () (0,1), τότε (), (0,1). Δηλαδή υπάρχει () (), (0,1). Συνεπώς () ((), ) και () (0,1). Άρα () (0,1) + (0, ). Εφόσον το () είναι τυχαίο συνεπάγεται ότι (0,1) (0,1) + (0, ). Εφόσον ισχύει ότι (, ) (0,1) + (0, ), από το λήμμα προκύπτει ότι (0, ) (0,1). Έστω ένα μη κενό ανοικτό υποσύνολο του Χ και (). Τότε υπάρχει έτσι ώστε = (). Εφόσον το είναι ανοικτό υπάρχει > 0 έτσι ώστε (, ). Επομένως (, ) = + (0, ) () + (0,1) = (, ) (). Συνεπώς έχουμε ότι το σύνολο () είναι ανοικτό. 2 ος τρόπος-λόγω της γραμμικότητας της αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε ανοικτή σφαίρα (0, ) στο Χ, υπάρχει > 0 έτσι ώστε (0, ) (0, ), όπου (0, ) ανοικτή σφαίρα στο Ζ. 19

22 Εφόσον ο φραγμένος γραμμικός τελεστής (Χ, ) (Ζ, ) είναι επί, ισχύει ότι Ζ = N (0, ). Από το Θεώρημα του Baire προκύπτει ότι (0,1). Συνεπώς υπάρχει (, ) (0,1). Λόγω της συμμετρικότητας και της κυρτότητας του (0,1) ισχύει ότι (, ) (0,1) και (0, ) (0,1). Αρκεί να δείξουμε ότι (0,1) (0,2) και καταλήγουμε στο ζητούμενο. Πράγματι έστω (0,1) τότε υπάρχει ( ) (0, 1) έτσι ώστε ( ) (, 2) (0, 1). Δηλαδή το (( ), 2). Συνεπώς είναι άμεσο ότι το ( ) (0, 2) (0, 1 2). Τότε υπάρχει ( ) έτσι ώστε ( ) ( ( ), 4) (0, 1 2). Συνεπώς προκύπτει άμεσα ότι ( ) ( ) (0, 4) (0, 1 4). Επαγωγικά έχουμε ότι για κάθε N το ( ) (0, 1 2 ). (0, 2 ) (0, 1 2 ) όπου Από τα προαναφερόμενα προκύπτει ότι = <. Εφόσον ο (Χ, ) είναι χώρος Banach η σειρά συγκλίνει. Έστω =. Επειδή, τότε το 0, 1 2 (0, 2). Επίσης από τα προαναφερόμενα ισχύει ότι 0 ( ) = ( ) = ( ) 2 = 0. Δηλαδή = ( ). Εφόσον ο είναι φραγμένος γραμμικός τελεστής ισχύει ότι = ( ) = ( ) = (). Δηλαδή το (0, 2). Δεδομένου ότι το είναι τυχαίο τότε (0, 1) (0, 2). Συνεπώς δείξαμε ότι (0, ) (0, 2). Αν G είναι ανοικτό υποσύνολο του Χ και (), τότε υπάρχει έτσι ώστε = (). Εφόσον το G είναι ανοικτό τότε υπάρχει > 0 έτσι ώστε (, ). Τότε () (, ) = () + (0, 1) () + (0, 2) = ((), 2). Συνεπώς το () είναι ανοικτό υποσύνολο του Z. Στην συνέχεια παρουσιάζονται το Θεώρημα Αντιστροφής και το το οποίο είναι μία άμεση εφαρμογή του Θεωρήματος Ανοικτής απεικόνισης και κατ επέκταση του Θεωρήματος Κατηγορίας του Baire. Θεώρημα Αντιστροφής-Έστω (Χ, ) και (Ζ, ) χώροι Banach και (Χ, ) (Ζ, ) 1-1 και επί φραγμένος γραμμικός τελεστής. Τότε ο είναι ισομορφισμός. Απόδειξη-Από το Θεώρημα Ανοικτής Απεικόνισης, αν είναι ανοικτό υποσύνολο του Χ τότε το () είναι ανοικτό υποσύνολο του Ζ. 20

23 Εφόσον ο είναι 1-1 και επί ορίζεται ο αντίστροφός τελεστής του (Ζ, ) (Χ, ) και για κάθε ανοικτό υποσύνολο του Χ ισχύει ότι ( ) () = (). Επίσης είναι άμεσο ότι ισχύουν τα ακόλουθα, ( + ) = ( ) + ( ) = ( + ) = ( ) + ( ). Συνεπώς ο τελεστής (Ζ, ) (Χ, ) είναι φραγμένος γραμμικός τελεστής. Δηλαδή ο τελεστής (Χ, ) (Ζ, ) είναι ισομορφισμός. Θεώρημα Κλειστού Γραφήματος-Έστω (Χ, ) και (Ζ, ) χώροι Banach και (Χ, ) (Ζ, ) γραμμικός τελεστής. Το γράφημα () = (, ) XxZ () = του είναι κλειστό στον χώρο (XxZ, ) αν και μόνο αν ο είναι φραγμένος γραμμικός τελεστής. (Επιλέγετε η νόρμα του XxZ να είναι (, ) = +.) Απόδειξη-Είναι άμεσο ότι το () είναι υπόχωρος του XxZ. Εφόσον ο (XxZ, ) είναι χώρος Banach και το () κλειστό, τότε ο ((), ) είναι χώρος Banach. Έστω XxZ Χ η προβολή του XxZ στον X και XxZ Ζ η προβολή του XxZ στον Z. Από τον ορισμό της προκύπτει ότι (, ) για κάθε (, ) XxZ. Συνεπώς η είναι φραγμένος γραμμικός τελεστής. Για τον ίδιο λόγο η είναι φραγμένος γραμμικός τελεστής. Είναι προφανές ότι ο περιορισμός της στον () είναι 1-1 και επί του Χ. Εφόσον ο Χ είναι χώρος Banach από το Θεώρημα Αντιστροφής έπεται ότι η είναι ισομορφισμός στο (). Συνεπώς ο = () είναι φραγμένος γραμμικός τελεστής ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων. Αντίστροφα έστω (Χ, ) (Ζ, ) είναι φραγμένος γραμμικός τελεστής και, ( ) N μία Cauchy ακολουθία στοιχείων του (). Εφόσον ισχύει ότι, ( ) ( ) = + ( ) ( ), τότε οι ακολουθίες N και ( ) N είναι Cauchy στους χώρους Χ και Ζ αντίστοιχα. Επειδή οι χώροι (Χ, ) και (Ζ, ) είναι Banach υπάρχουν X και Z, έτσι ώστε και ( ). Εφόσον ο (Χ, ) (Ζ, ) είναι συνεχής συνάρτηση, τότε ( ) (). Από την μοναδικότητα της σύγκλισης του ορίου σε μετρικούς χώρους έπεται ότι = (). Δηλαδή το (, ) (). Συνεπώς το () είναι κλειστό στο XxZ. Πρόταση-Το σύνολο Q των ρητών αριθμών δεν είναι υποσύνολο του μετρικού χώρου (R, ) των πραγματικών αριθμών. 21

24 Απόδειξη-Πράγματι έτω ότι το Q είναι υποσύνολο του R. Συνεπώς το R \Q των αρρήτων είναι υποσύνολο του R. Δηλαδή υπάρχει ακολουθία N κλειστών υποσυνόλων του R, έτσι ώστε το R \Q = N. Συνεπώς ισχύει ότι το είναι πουθενά πυκνό στο R για κάθε N. Από τα προαναφερόμενα προκύπτει ότι το R = Q R \Q = N N. Επίσης για κάθε N το είναι πουθενά πυκνό στο R. Δηλαδή ο μετρικός χώρος (R, ) είναι πρώτης κατηγορίας. Εφόσον ο (R, ) είναι πλήρης, από προηγούμενη πρόταση έχουμε ότι είναι δεύτερης κατηγορίας. Άτοπο. 22

25 2 ο Εφαρμογές του Θεωρήματος Κατηγορίας Baire γενικότερα σε μετρικούς χώρους Ορισμός-Έστω (X, ρ) μετρικός χώρος και συνάρτηση (X, ρ) (R, ). Η συνάρτηση είναι άνω ημισυνεχής στο σημείο X αν για κάθε R με () < να υπάρχει () > 0 έτσι ώστε για κάθε X με (, ) < () να ισχύει ότι () <. Πρόταση- Έστω (X, ρ) μετρικός χώρος και συνάρτηση (X, ρ) (R, ). Η συνάρτηση είναι άνω ημισυνεχής στο X αν και μόνο αν για κάθε R η αντίστροφη εικόνα (, ) είναι ανοικτό υποσύνολο του X. Απόδειξη-Έστω (, ). Τότε () <. Εφόσον η είναι άνω ημισυνεχής στο, συνεπάγεται ότι για > 0 υπάρχει () > 0 έτσι ώστε για κάθε, () το () <. Δηλαδή ισχύει ότι, () (, ). Συνεπώς το (, ) είναι ανοικτό. Αντίστροφα έστω ότι το (, ) είναι ανοικτό υποσύνολο του R. Τότε αν (, ) υπάρχει () > 0 έτσι ώστε, () (, ). Συνεπώς για κάθε, () το () <. Δηλαδή η είναι άνω ημισυνεχής στο. Θεώρημα- Έστω (X, ρ) (Ζ, d) συνάρτηση. Το σύνολο των σημείων συνέχειας της είναι ένα σύνολο. Επίσης δεν υπάρχει πραγματική συνάρτηση (R, ) (R, ), της οποίας τα σημεία συνέχειας να είναι μόνο οι ρητοί αριθμοί. Απόδειξη- Έστω (, ) (, ) μία συνάρτηση μεταξύ δύο μετρικών χώρων και Χ. Θέτουμε ως ( ) = (, ) = (,) ( ), () όπου, (, ). Ισχυρισμός-Από τον ορισμό της συνέχειας προκύπτει ότι ( ) = 0 αν και μόνο αν το είναι σημείο συνέχειας της. Πράγματι έστω ότι ( ) = 0 και > 0, τότε από τον ορισμό του infimum υπάρχει () > 0 ώστε,() ( ), () <. Συνεπώς το,() ( ), () <. Δηλαδή για > 0 υπάρχει () > 0 έτσι ώστε για κάθε, () ισχύει ότι ( ), () <. Συνεπώς η είναι συνεχής στο. Το αντίστροφο είναι άμεσο από τον ορισμό της συνέχειας στο. Πράγματι αν είναι συνεχής στο συνεπάγεται ότι για κάθε > 0 υπάρχει () > 0 έτσι ώστε 23

26 , () (( ), ). Δηλαδή η, () για κάθε > 0. Συνεπώς ισχύει ότι, ( ) = (, ), () για κάθε > 0. Άρα το ( ) = 0. Από τον ορισμό του ( ) προκύπτει άμεσα ότι το είναι σημείο συνέχειας της αν και μόνο αν το X () < N. Ισχυρισμός-Παρατηρούμε ότι η είναι άνω ημισυνεχής. Πράγματι έστω R και Χ, με () <. Τότε (, ) <. Συνεπώς από τον ορισμό του infimum, υπάρχει () > 0 έτσι ώστε (), () <. Έστω, (), τότε υπάρχει () > 0, έτσι ώστε, (), (). Συνεπώς, (), (). Κατ επέκταση, >, (), () (, ) = (). Δηλαδή για κάθε, () ισχύει ότι > (). Συνεπώς, () (0, )). Εφόσον το είναι τυχαίο, προκύπτει ότι το (0, )) είναι ανοικτό. Δεδομένου ότι το είναι τυχαίο, από την προηγούμενη Πρόταση προκύπτει ότι η είναι άνω ημισυνεχής. Συνεπώς για κάθε N το 0, = X () < είναι ανοικτό. Άρα η 0, N είναι σύνολο. Δηλαδή το σύνολο των σημείων συνέχειας της είναι σύνολο. Θα δείξουμε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση (R, ) (R, ) της οποίας το σύνολο των σημείων συνέχειας της να περιέχει μόνο τους ρητούς αριθμούς. Πράγματι παρατηρούμε ότι οι ρητοί αριθμοί είναι σύνολο εφόσον Q = N. Αν υποθέσουμε ότι τα σημεία συνέχειας της είναι μόνο οι ρητοί τότε το Q είναι. Άρα το συμπλήρωμα τους R\Q, που είναι οι άρρητοι, είναι σύνολο. Αυτό έχει ως συνέπεια R\Q = N όπου είναι κλειστό για κάθε N. Συνεπώς, εφόσον R = Q R\Q = N N και ο χώρος (R, ) είναι πλήρης, τότε από το Θεώρημα Κατηγορίας του Baire προκύπτει ότι υπάρχει N έτσι ώστε. Δηλαδή υπάρχει και > 0, έτσι ώστε (, + ). Άτοπο διότι το 24

27 σύνολο είναι υποσύνολο των άρρητων, ενώ το (, + ) περιέχει και ρητούς αριθμούς. Πρόταση-Κάθε μη κενό ανοικτό υποσύνολο του χώρου (R, ) μπορεί να γραφτεί ως αριθμήσιμη ένωση ξένων ανά δύο ανοικτών διαστημάτων. Απόδειξη-Πράγματι έστω V ένα ανοικτό υποσύνολο στον (R, ) και V. θέτουμε Ι = (, ) (, ) V. Ισχυρισμός, (, ) = (, ) (, ) Ι, με = < (, V και = <,) V. Έστω (, ) με. Είναι άμεσο ότι είτε < < < είτε < x < z <. Συνεπώς υπάρχει > 0 έτσι ώστε είτε = + είτε =. Από τον ορισμό των και είναι άμεσο ότι υπάρχουν είτε < < < < < είτε < < x < z < <. Δηλαδή το (, ). Από τα προαναφερόμενα το (, ) Ι. Δηλαδή το (, ) (, ) Ι. Συνεπώς (, ) (, ) (, ) Ι. Αντίστροφα έστω (, ) (, ) Ι. Τότε υπάρχει (, ) Ι έτσι ώστε το (, ). Δηλαδή ισχύει είτε ότι < < < είτε ότι < < <. Συνεπώς (, ). Άρα (, ) (, ) Ι (, ). Ισχυρισμός, έστω, V, τότε είτε τα,,, ταυτίζονται είτε,, =. Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι < < <. Τότε τα,,. Δηλαδή το = <,) V < και το < = < (, V. Άτοπο διότι από τον ορισμό του infimum και του supremum υπάρχουν, V με < < και < <. Θεώρημα-Έστω (Χ, ) μετρικός χώρος. Ο Χ είναι συμπαγής αν και μόνο αν για κάθε οικογένεια ( ) κλειστών υποσυνόλων του Χ με την ιδιότητα της πεπερασμένης τομής ισχύει. Απόδειξη-Έστω ότι ο (Χ, ) είναι συμπαγής και ( ) μία οικογένεια κλειστών υποσυνόλων του Χ με την ιδιότητα της πεπερασμένης τομής. Θεωρούμε ότι =. Συνεπώς (X\ ) = X. Λόγω της συμπάγειας της (Χ, ) υπάρχει οικογένεια Χ\ έτσι ώστε X\ = X. Δηλαδή η =. Άτοπο εφόσον η οικογένεια ( ) έχει την ιδιότητα της πεπερασμένης τομής. Επομένως. Έστω ότι ισχύει αν οικογένεια ( ) κλειστών υποσυνόλων του Χ με την ιδιότητα της πεπερασμένης τομής τότε να ισχύει. Έστω ότι ο (Χ, ) δεν είναι συμπαγής, τότε 25

28 υπάρχει ανοικτό κάλυμμα του Χ χωρίς πεπερασμένο υποκάλυμμα. Δηλαδή για κάθε πεπερασμένο ισχύει ότι X\. Από υπόθεση έχουμε ότι (X\ ). Δηλαδή X. Άτοπο. Θεώρημα- Έστω (R, ) (R, ) μία συνεχής συνάρτηση με (R). Αν για κάθε R υπάρχει () N έτσι ώστε () () = 0, τότε η είναι πολυώνυμο. Απόδειξη- Έστω (R, ) (R, ) η συνεχής συνάρτηση της υπόθεσης. Θέτουμε ως = R () = 0. Εφόσον η (R) τότε το σύνολο είναι κλειστό για κάθε N. Είναι άμεσο ότι το R = N και δεδομένου ότι ο (R, ) είναι πλήρης, από το Θεώρημα Κατηγορίας του Baire υπάρχει N έτσι ώστε =. Από την προηγούμενη Πρόταση κάθε μη κενό ανοικτό υποσύνολο του χώρου (R, ) μπορεί να γραφτεί ως αριθμήσιμη ένωση ξένων ανά δύο ανοικτών διαστημάτων. Συνεπώς αν = N, εφόσον τα είναι ανοικτά διαστήματα συνεπάγεται ότι = για κάθε N. Δηλαδή ισχύει ότι. Επαγωγικά προκύπτει ότι για κάθε < ισχύει ότι. Συνεπώς η ακολουθία = N είναι αύξουσα. Τα ανοικτά διαστήματα \ δεν μπορούν να είναι διαδοχικά είτε μεταξύ τους είτε με αυτά της. Επίσης είναι αναγκαστικά ξένα με αυτά της. Πράγματι έστω ότι υπάρχουν δύο διαδοχικά ανοικτά διαστήματα (, ), (, ). Εφόσον η () είναι συνεχής και () () = 0 για κάθε (, ) (, ), τότε () ( ) = 0. Άτοπο διότι. Θεωρούμε ότι <. Αν (, ) και (, ) \, συνεπάγεται ότι το είναι σημείο ασυνέχειας της (), εφόσον () (, ) = 0 και () (, ) 0. Άτοπο εφόσον η () (R). Συνεπώς για κάθε i N ισχύει ότι είτε \ είτε. Ισχυρισμός1-R = N. Θέτουμε = N και έστω R\. Εφόσον το R\ είναι κλειστό, ο χώρος (R\, ) είναι πλήρης και το (R\) είναι κλειστό στον χώρο (R\, ) για κάθε N. Είναι άμεσο ότι ισχύει (R\) = R (R\) = ( N ) (R\) = N (R\). Από το Θεώρημα Κατηγορίας του Baire υπάρχει N έτσι ώστε (R\). Δηλαδή υπάρχει ανοικτό διάστημα (, ) στο χώρο (R, ), έτσι ώστε (, ) (R\) (R\). Το (, ) (R\) είναι ανοικτό διάστημα στο (R\, ). Θα δείξουμε ότι το (R\, ) δεν έχει μεμονωμένα σημεία. 26

29 Πράγματι αν είναι μεμονωμένο σημείο του (R\, ), τότε υπάρχει > 0 έτσι ώστε R\ (, + ) =. Εφόσον το είναι ανοικτό στον (R\, ) και ο χώρος (R, ) δεν έχει μεμονωμένα σημεία, υπάρχει ανοικτό διάστημα (, ) με <, έτσι ώστε (, ) (R\) =. Δηλαδή το (, ) (, ). Εφόσον η ακολουθία N είναι αύξουσα συνεπάγεται ότι θα υπάρχει N έτσι ώστε (, ) (, ). Πράγματι υποθέτουμε ότι δεν υπάρχει τέτοιο N. Δεδομένου ότι (, ) θα υπάρχει N έτσι ώστε (, ). Συνεπώς για κάθε ισχύει ότι (, ). Από τα προαναφερόμενα αν (, ) ανοικτό διάστημα, τότε υπάρχει > και (, ) έτσι ώστε (, ) = και. Άτοπο. Δεδομένου ότι η ( ) είναι συνεχής στο και ( ) (,) (,) = 0 συνεπάγεται ότι ( ) () = 0. Δηλαδή (, ). Aυτό συνεπάγεται ότι το. Άτοπο εφόσον το N. Στην συνέχεια θα δείξουμε ότι (, )\R\. Αν ισχύει η τελευταία σχέση καταλήγουμε σε άτοπο. Πράγματι σε αυτή την περίπτωση το (, ) = (, )\R\ (, ) (R\). Δηλαδή R\. Άτοπο. Εφόσον το (, )\(R\) = (, ) (R\) = (, ) είναι ανοικτό στο R μπορεί να εκφραστεί ως ένωση αριθμήσιμου το πλήθος ανοικτών διαστημάτων. Έστω I (, ) ένα τέτοιο ανοικτό διάστημα. Τότε υπάρχει N (παίρνουμε το ελάχιστο) ώστε I. To τελευταίo συμπέρασμα έχει αποδειχθεί προηγουμένως. Επιλέγουμε το I έτσι ώστε το που είναι ένα από τα δύο άκρα του δεν είναι άκρο του (, ). Συνεπώς (, ), I και ( ) () = 0. Εφόσον ο χώρος (, ) δεν περιέχει μεμονωμένα σημεία το είναι σημείο επαφής του. Συνεπώς υπάρχει ( ) N έτσι ώστε 0. Εφόσον το σύνολο (, ) είναι ανοικτό στον (, ) συνεπάγεται ότι υπάρχει N έτσι ώστε για κάθε το (, ). Επίσης εφόσον ισχύει ότι (, ), συνεπάγεται ότι για κάθε το ( ) ( ) = 0. Εφαρμόζοντας το Θεώρημα Rolle στα κλειστά διαστήματα,, προκύπτει η ακολουθία, με (, ) και ( ) ( ) = 0. Εφόσον 0,τότε και 0. Επειδή η ( ) είναι συνεχής στο R τότε για κάθε > 0 υπάρχει () > 0 και () N έτσι ώστε για κάθε () να ισχύει ότι < () και κατ επέκταση ( ) ( ) ( ) () <. Δηλαδή για κάθε > 0 έχουμε ότι ( ) () <. Συνεπώς ( ) () = 0. Επαγωγικά προκύπτει ότι ( ) () = 0 για κάθε N. Εφόσον η στο διάστημα I είναι πολυώνυμο βαθμού 1 τότε το. 27

30 Πράγματι δεν μπορεί να ισχύει <, διότι η 1 παράγωγος του πολυωνύμου είναι μία σταθερά διάφορη του μηδενός στο I και το σημείο είναι άκρο του I. Άρα αν 1 συνεπάγεται ότι η ( ) θα είναι ασυνεχής στο σημείο, διότι ( ) = 0 και ( ) () = 0 από τα προαναφερόμενα. Άτοπο. Άρα I. Εφόσον το I είναι τυχαίο τότε (, ). Από τα προαναφερόμενα συνεπάγεται ότι (, ) και κατ επέκταση (, ). Άτοπο διότι ισχύει ταυτόχρονα ότι (, ) = και (, ). Συνεπώς R = N και όπως ήδη δείξαμε υπάρχει N έτσι ώστε = R. Άρα η είναι πολυώνυμο βαθμού 1. Ισχυρισμός2-Αν R = N, τότε συνεπάγεται ότι υπάρχει N έτσι ώστε = R. Πράγματι έστω N. Τότε, N. Δεδομένου ότι το, είναι συμπαγές υποσύνολο του (R, ) υπάρχει πεπερασμένο N έτσι ώστε,. Επειδή η ακολουθία των N είναι αύξουσα θα υπάρχει έτσι ώστε για κάθε. Κατά συνέπεια,. Εφόσον = N είναι μία αριθμήσιμη ένωση ξένων και φραγμένων ανά δύο ανοικτών διαστημάτων τότε θα ισχύει ότι και το, N. Πάλι λόγω της συμπάγειας του, θα υπάρχει N πεπερασμένο έτσι ώστε,. Από τα προαναφερόμενα υπάρχει μοναδικό ανοικτό διάστημα με, το οποίο να περιέχει το,. Συνεπώς η συνάρτηση είναι πολυώνυμο βαθμού το πολύ 1 στο. Χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι το είναι ο ελάχιστος φυσικός αριθμός που ικανοποιεί την προαναφερόμενη πρόταση. Δηλαδή η συνάρτηση είναι πολυώνυμο βαθμού 1 στο. Αυτό συνεπάγεται ότι η συνάρτηση είναι πολυώνυμο βαθμού 1 στο,, της μορφής με 0. Έστω N με <, τότε με παρόμοιο τρόπο θα υπάρχει ανοικτό και φραγμένο διάστημα, με, προφανώς με. Επομένως χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι το είναι ο ελάχιστος φυσικός αριθμός που ικανοποιεί την προαναφερόμενη πρόταση. Δηλαδή η συνάρτηση είναι πολυώνυμο βαθμού 1 στο. Αυτό συνεπάγεται ότι η συνάρτηση είναι πολυώνυμο βαθμού 1 στο,, της μορφής με 0. Συνεπώς για κάθε, έχουμε ότι = Άρα για κάθε, ισχύει ότι ( ) + = 0. Εφόσον οι ρίζες είναι το πολύ 1, συνεπάγεται ότι = = = 0 και =,, =. Άτοπο. 28

31 Συνεπώς ισχύει ότι =. Δηλαδή το είναι ανεξάρτητο του. Άρα για κάθε N,. Εφόσον το R = N,, συνεπάγεται ότι = R. Πρόταση-Έστω (Χ, ) μετρικός χώρος. Τότε ισχύουν τα ακόλουθα, a. Το σύνορο ενός ανοικτού υποσυνόλου του Χ έχει κενό εσωτερικό. b. Το σύνορο ενός κλειστού υποσυνόλου του Χ έχει κενό εσωτερικό. Απόδειξη- a. Έστω ανοικτό υποσύνολο του X και υποθέτουμε ότι ( \). Συνεπώς υπάρχει > 0 και \ έτσι ώστε (, ) \. Εφόσον το είναι ανοικτό υποσύνολο του X τότε (, ) \. Άρα το (, ) =. Δηλαδή και κατ επέκταση \. Άτοπο. b. Έστω κλειστό υποσύνολο του X. Τότε το Χ\ είναι ανοικτό υποσύνολο του Χ. Ισχύει ότι = \ = \ = (X\). Από το a έχουμε ότι το (X\) =. Συνεπώς ισχύει ότι το () =. Πρόταση-Έστω (Χ, ) πλήρης μετρικός χώρος και ( ) N ακολουθία αραιών υποσυνόλων του Χ. Τότε το ( N ) =, δηλαδή το υποσύνολο N είναι αραιό στον (Χ, ). Συνεπώς κάθε μη κενό ανοικτό υποσύνολο του Χ είναι δεύτερης κατηγορίας. Απόδειξη- Έστω αραιό και κλειστό υποσύνολο του Χ για κάθε N. Συνεπώς το \ είναι ανοικτό και πυκνό υποσύνολο για κάθε N. Εφόσον ο (Χ, ) είναι πλήρης μετρικός χώρος, από το θεώρημα Κατηγορίας του Baire προκύπτει ότι και η N \ είναι πυκνό σύνολο στον Χ. Το ζητούμενο έπεται από την σχέση Χ = N(Χ\ ) = Χ\ N = Χ\( Δηλαδή το ( N ) =. Αν τα δεν είναι κλειστά, τότε επιλέγουμε την ακολουθία () N. N ). Εφόσον το είναι αραιό για κάθε N, τότε και το είναι αραιό για κάθε N. Πράγματι αν όχι τότε εφόσον το = (\ ) και το = συνεπάγεται ότι (\ ). Έστω (\ ) τότε και ταυτόχρονα υπάρχει > 0 έτσι ώστε (, ) \. Συνεπώς ισχύει ταυτόχρονα ότι (, ) και (, ) =. Άτοπο. Δηλαδή για κάθε N το υποσύνολο Χ\ είναι πυκνό στο Χ. Από το θεώρημα κατηγορίας του Baire η N (Χ\) είναι πυκνό υποσύνολο στο Χ. Συνεπώς καταλήγουμε στο ότι ( N ) =. 29

32 Εφόσον ισχύει ότι ( N ) ( N ), συνεπάγεται ότι ( N ) =. Αν ανοικτό υποσύνολο του Χ είναι πρώτης κατηγορίας τότε θα γράφεται ως αριθμήσιμη ένωση αραιών υποσυνόλων του Χ. Εφόσον το είναι ανοικτό, θα έχει μη κενό εσωτερικό σύνολο. Από τα προαναφερόμενα αυτό είναι άτοπο. Θεώρημα-Έστω (0,1, ) (R, ) συνάρτηση. Ορίζουμε αναδρομικά την τάξης παράγουσα της στο 0,1 όπως αποτυπώνεται ακολούθως, () = () με () = (). Τότε η είναι μηδενική στο 0,1 αν και μόνο αν για κάθε 0,1 υπάρχει () N έτσι ώστε () () = 0. Απόδειξη-Το ευθύ πρόβλημα είναι άμεσο. Αντίστροφα έστω ότι για κάθε 0,1 υπάρχει () N με () () = 0. Εφόσον η είναι διαφορίσιμη και άρα συνεχής, τότε το (0) είναι κλειστό για κάθε N. Από την υπόθεση προκύπτει άμεσα ότι (0) = 0,1. Λόγω της συνέχειας της, αρκεί να δείξουμε ότι η είναι μηδενική στο (0,1). Έστω ότι υπάρχει (0,1) ώστε () 0. Από υπόθεση υπάρχει () N έτσι ώστε () (0). Αν () (0) τότε υπάρχει > 0 έτσι ώστε, + (0). Με διαδοχικές παραγωγίσεις προκύπτει ότι το () = 0 για κάθε (), +. Άτοπο. Άρα το () (0). Δηλαδή (0) N N. Εφόσον έχουμε υποθέσει ότι () 0 και επειδή η είναι συνεχής, από τον ορισμό της συνέχειας, θα υπάρχει ανοικτό διάστημα (, + ) (0,1) έτσι ώστε η να είναι διάφορη του μηδενός. Από τα προαναφερόμενα το ανοικτό διάστημα θα περιέχεται στο (0) N. Από προηγούμενη πρόταση έχουμε ότι το (0) είναι αραιό υποσύνολο του 0,1 ως σύνορο του κλειστού συνόλου (0), για κάθε N. Από προηγούμενη πρόταση, εφόσον τα (0) N είναι αραιά υποσύνολα του 0,1, προκύπτει ότι (0) =. Άτοπο. N Θεώρημα-Για κάθε φυσικό αριθμό n, στον μετρικό χώρο (0,1, ) υπάρχει ένα πουθενά πυκνό κλειστό υποσύνολο του, το οποίο έχει μέτρο Lebesgue 1 1. Αυτό συνεπάγεται την ύπαρξη ενός υποσυνόλου του 0,1, το οποίο είναι Πρώτης Κατηγορίας και έχει Lebesgue μέτρο 1. Απόδειξη-(i) Το πρώτο μέρος του Θεωρήματος θα δειχθεί γενικότερα για 0 < < 1. Κατασκευάζουμε μία φθίνουσα ακολουθία κλειστών συνόλων παρόμοια με αυτή του συνόλου Cantor, μόνο που τώρα στο 1ο βήμα της κατασκευής δεν αφαιρούμε από το 30

33 Β = 0,1 το ανοικτό διάστημα,, αλλά το ανοικτό διάστημα, =, + μήκους /3 του οποίου το μέσο είναι το. Συνεπώς προκύπτουν τα κλειστά διαστήματα, = 0, και Θέτουμε Β =,,. Το μέτρο Lebesgue του Β είναι,, = +, 1. (Β ) = 0, + +, 1 = + = 1. Στο 2ο βήμα αφαιρούμε τα ανοικτά διαστήματα, =, +, = 1 + +, μήκους /3 των οποίων τα μέσα ταυτίζονται με αυτά των διαστημάτων,,,. Συνεπώς προκύπτουν τα ακόλουθα κλειστά διαστήματα,, = 0, 1, = 1 +, 1, = +, + 1 +, = , 1 με Β =,,,,. Το αντίστοιχο μέτρο Lebesgue του Β είναι, (Β ) =,,,, =, +, +, +, = 4 1 = Στο 3ο βήμα αφαιρούμε τα ανοικτά διαστήματα, =,, = + +, = , = , , , μήκους /3 των οποίων τα μέσα ταυτίζονται με αυτά των διαστημάτων,,,,,,,. 31

34 Συνεπώς προκύπτουν τα ακόλουθα κλειστά διαστήματα,, = 0,, = +, 1, = 1 +, + +, = + + +, 1, = +, , = , + 1 +, = , , = , 1 με Β =,,,,,,,,. Το αντίστοιχο μέτρο Lebesgue του Β είναι, (Β ) =,,,,,,,, =, +, +, +, +, +, +, +, = 8 1 = Επαναλαμβάνουμε την διαδικασία μέχρι το n-1-οστό βήμα. Από τα κλειστά διαστήματα, του σύνολο Β =, αφαιρούμε τα ανοικτά διαστήματα,, με 1 2, τα οποία έχουν μήκος /3 και το ίδιο μέσο με τα αντίστοιχα,. κλειστά διαστήματα. Για κάθε 1 2 από το διάστημα, προκύπτουν τα κλειστά διαστήματα, και,. Το, έχει το ίδιο αριστερό άκρο με το, και το, έχει το ίδιο δεξιο άκρο με το,. Συνεπώς προκύπτει το ακόλουθο σύνολο κλειστών και ξένων ανά δύο διαστημάτων,. Το μέτρο Lebesgue του,,για κάθε 1 2, είναι, = = Το σύνολο Β =,,, προκύπτει από το Β αν αφαιρέσουμε από το τελευταίο τα 2 το πλήθος ανοικτά και ξένα ανά δύο διαστήματα,, μήκους. Το μέτρο Lebesgue των, είναι 32

35 (0,1\Β ) =, = 2 3 = Τα αντίστοιχα κλειστά και ξένα ανά δύο διαστήματα, έχουν μέτρο Lebesgue Θέτουμε C = συνεπάγεται ότι, (Β ) =, = = N Β. Εφόσον η Β N είναι φθίνουσα και (0,1) = 1 < Β N = lim (Β ) = 1. Συνεπώς το μέτρο Lebesgue του συμπληρώματος του είναι, = 1 (1 ) = (0,1) Β = 0,1\ Β =, N =, N = N Το C είναι πουθενά πυκνό, δηλαδή το C =. N N Πράγματι έστω ότι υπάρχει ανοικτό διάστημα (, ) C, όπου >. Tότε από κατασκευή υπάρχει φθίνουσα ακολουθία,() N έτσι ώστε (, ) N,(). Συνεπώς 0 (, ) N,() = lim,() = lim + = 0. Άρα = (, ) = 0. Άτοπο. Από τα προαναφερόμενα προκύπτει ότι για κάθε 0 < < 1 υπάρχει ένα πουθενά πυκνό κλειστό σύνολο C υποσύνολο του 0,1, το οποίο έχει μέτρο Lebesgue 1. (ii) Από το (i) έχουμε ότι υπάρχει ακολουθία N πουθενά πυκνών και κλειστών υποσυνόλων του (0,1, ), με μέτρο Lebesgue ( ) = 1. Συνεπώς ισχύει ότι το = και άρα 0,1\ = 0,1 για κάθε N. Εφόσον (0,1\ ) =, συνεπάγεται ότι το (0,1\ ) = 1. Πράγματι άμεσα προκύπτει ότι (0,1\ ) + ( ) = ( 0,1\ ) = (0,1) = 1. Δηλαδή (0,1\ ) + 1 = 1 αν και μόνο αν (0,1\ ) = 1 για κάθε N. Ορίζουμε =. Το είναι κλειστό για κάθε N ως πεπερασμένη ένωση των κλειστών υποσυνόλων. Είναι άμεσο ότι N = N. 33

36 Πράγματι έστω N τότε υπάρχει N έτσι ώστε. Δηλαδή. Άρα N N. Αντίστροφα έστω N. Τότε υπάρχει N έτσι ώστε. Άρα. Δηλαδή N N. Αν δείξουμε ότι το είναι πουθενά πυκνό σύνολο για κάθε N, τότε το σύνολο θα είναι Πρώτης Κατηγορίας. N Από τα προαναφερόμενα για κάθε N το 0,1\ είναι ανοικτό και πυκνό στο (0,1, ). Συνεπώς από το θεώρημα Κατηγορίας του Baire το σύνολο 0,1\ = 0,1\ είναι ανοικτό και πυκνό υποσύνολο στο (0,1, ) για κάθε N. Δηλαδή ισχύει ότι =. Άρα το είναι πουθενά πυκνό σύνολο για κάθε N. Θα δείξουμε ότι το ( N ) = 1. Θέτουμε = 0,1\, = 0,1\ 0,1\,, = 0,1\,. Από το θεώρημα Κατηγορίας του Baire το σύνολο N 0,1\ είναι πυκνό στο (0,1, ). Συνεπώς η N0,1\. Εφόσον η ( ) N είναι φθίνουσα και ( ) = (0,1) = 1 <, συνεπάγεται ότι το ( N Συνεπώς 0 ( ) = ( ). Αλλά ( ) (0,1\ ) = 1 για κάθε N. N ) 1 = 0. Άρα ( N ) = 0. Είναι άμεσο ότι ισχύει 0,1 = N 0,1\ N = N N και N N =. Συνεπώς προκύπτει ότι το ( N ) + ( N ) = ( N N ) = (0,1) = 1. Εφόσον το ( N ) = 0, έχουμε ότι ( N ) = 1. Θεώρημα-Έστω (R, ) (R, ) συνεχής συνάρτηση, έτσι ώστε για κάθε R να ισχύει ότι () = 0. Τότε () = 0.. Απόδειξη-Έστω > 0, τότε για κάθε N θέτουμε = R () 2 Από την υπόθεση το είναι κλειστό για κάθε N. Πράγματι, εφόσον η είναι συνεχής, το 2, 2 είναι κλειστό και άρα και το 2, ε 2 είναι κλειστό για κάθε N. Συνεπώς το = R 2, 2 είναι κλειστό ως τομή κλειστών. Επίσης από την υπόθεση ισχύει ότι R = N. Πράγματι έστω R τότε για > 0 υπάρχει (, ) N έτσι ώστε για κάθε (, ) η () < ε 2. Δηλαδή (,). Άρα R N. Συνεπώς R = N. Εφόσον ο (R, ) είναι πλήρης, από το θεώρημα Κατηγορίας του Baire υπάρχει N έτσι ώστε. Δηλαδή υπάρχει (, ). Συνεπώς για κάθε (, ) και για κάθε ισχύει ότι η () ε 2. Δηλαδή (, ) R () ε 2. 34

37 1) Υποθέτουμε ότι 0 < <. Οι άλλες περιπτώσεις προκύπτουν με παρόμοιους τρόπους. Είναι άμεσο ότι για >, + 1), (M + + 1) για κάθε N. Πράγματι αν Μ τότε >, με Μ N, ισχύει ότι (M + ), (M + ) (M + αν και μόνο αν ( ) > αν και μόνο αν > (1 + ) >. Δηλαδή (, ) ( + 1), ( + 1). Από τα προαναφερόμενα ισχύει ότι (Μ, ) = (, ). 1 ος τρόπος. Έστω (Μ, ) και θέτουμε = Μ 1 < ( + 1). Τότε είτε = είτε <. Όπως έχει ήδη αποδειχθεί ισχύει ότι (1 + ) > > (1 + ). Συνεπώς το (1 + ), (1 + ). Δηλαδή το (, ). Αντίστροφα έστω (, ), τότε υπάρχει M έτσι ώστε (, ). Δηλαδή ισχύει ότι > > > > Μ. Δηλαδή το (Μ, ). 2 ος τρόπος. Έστω ότι δεν ισχύει η ισότητα, τότε για κάθε M υπάρχει > με (, )\ (, ). Δηλαδή, η ακολουθία συγκλίνει στο, εφόσον η ακολουθία συγκλίνει στο. Έστω M, τότε από τα προαναφερόμενα υπάρχει >. Εφόσον το <, συνεπάγεται ότι υπάρχει, έτσι ώστε < <. Από τα προαναφερόμενα έχουμε ότι Μ και για κάθε ισχύει ότι (, ) (, ). Δηλαδή (, ) = (, ). Άτοπο. Συνοψίζοντας ισχύει ότι, (Μ, ) = (, ) (, ) R () ε 2. Δηλαδή για > 0 υπάρχει Μ > 0 έτσι ώστε για κάθε > Μ η () <. 2) Για την περίπτωση που < 0 <, είναι άμεσο ότι για κάθε N ισχύει ότι (, ) ( + 1), ( + 1). Συνεπώς προκύπτει άμεσα ότι R = (, ) R () ε 2. Δηλαδή αν > 0 για κάθε R η () <. 3)Τέλος για την περίπτωση που < < 0, είναι άμεσο ότι για >, Μ N, ισχύει ότι (M + ), (M + ) (M + + 1), (M + + 1) για κάθε N. Πράγματι αν Μ τότε, με αν και μόνο αν ( ) < αν και μόνο αν (1 + ) < < (1 + ) <. Δηλαδή (, ) ( + 1), ( + 1). Από τα προαναφερόμενα ισχύει ότι (, Μ) = (, ). Έστω (, Μ) και θέτουμε = Μ 1 > ( + 1). Τότε είτε = είτε >. Όπως έχει ήδη αποδειχθεί ισχύει ότι (1 + ) < < (1 + ). Συνεπώς το (1 + ), (1 + ). Δηλαδή το (, ). 35

38 Αντίστροφα έστω (, ), τότε υπάρχει M έτσι ώστε (, ). Δηλαδή ισχύει ότι < < < < Μ. Συνεπώς το (, Μ). Συνοψίζοντας ισχύει ότι, (, Μ) = (, ) (, ) = R () ε 2. Δηλαδή για > 0 υπάρχει Μ < 0 έτσι ώστε για κάθε < Μ η () <. Συνεπώς για την περίπτωση που θέλουμε να δείξουμε ότι το () = 0 εφαρμόζουμε το θεώρημα του Baire στον χώρο (0,+ ), ) με = 0,+ ) () 2 για κάθε N. Για την περίπτωση που θέλουμε να δείξουμε ότι το () = 0 εφαρμόζουμε το θεώρημα του Baire στον χώρο (,0, με = (,0 () 2 για κάθε N. Θεώρημα-Δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση R R ώστε (Q) R\Q και (R\Q) Q. Απόδειξη-Προς απαγωγή σε άτοπο θεωρούμε ότι υπάρχει συνεχής συνάρτηση R R που να πληρή τις υποθέσεις της εκφώνησης. Εφόσον η απεικόνιση R R είναι συνάρτηση το υποσύνολο (Q) είναι αριθμήσιμο και δεδομένου ότι το (R\Q) Q και το υποσύνολο (R\Q) είναι αριθμήσιμο. Τέλος επειδή Q (R\Q) = συνεπάγεται ότι (Q) (R\Q) =. Είναι άμεσο ότι (R) = (Q) (R\Q) και επίσης είναι προφανές ότι το (R) = R. Από τα προαναφερόμενα προκύπτει ότι το (R) είναι αριθμήσιμο και κατεπέκταση ισχύουν τα ακόλουθα R = (R) = (R) (). Εφόσον ο (R, ) είναι πλήρης και το είναι κλειστό για κάθε (R), τότε από το θεώρημα κατηγορίας του Baire υπάρχει έτσι ώστε ( ). Αυτό συνεπάγεται ότι υπάρχει ανοικτό διάστημα (, ) ( ) με <. Συνεπώς ισχύει ότι (, ) ( ). Αλλά υπάρχει (, ) Q και (, ) R\Q. Δηλαδή (), (). Όμως () () διότι () (Q), () (R\Q) και (Q) (R\ Q) =. Άτοπο. Θεώρημα- Έστω (Χ, ) πλήρης μετρικός χώρος και (Χ, ) (Q, ) συνεχής συνάρτηση. Τότε υπάρχει μη κενό ανοικτό υποσύνολο Α Χ, ώστε ο περιορισμός της στο Α να είναι σταθερή συνάρτηση. Απόδειξη-Θέτουμε Q = N. Συνεπώς ισχύει ότι X = x X () Q = (Q) = ( ). N 36

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1),

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1), Κεφάλαιο 6 Συμπάγεια 6.1 Ορισμός της συμπάγειας Οπως θα φανεί στην αμέσως επόμενη παράγραφο, υπάρχουν διάφοροι τρόποι με τους οποίους μπορεί κανείς να εισάγει την έννοια του συμπαγούς μετρικού χώρου. Ο

Διαβάστε περισσότερα

B = F i. (X \ F i ) = i I

B = F i. (X \ F i ) = i I Κεφάλαιο 3 Τοπολογία μετρικών χώρων Ομάδα Α 3.1. Εστω (X, ρ) μετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το G \ F είναι

Διαβάστε περισσότερα

4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine.

4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine. 8 Έστω (, ) 4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα 4. θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldste. χώρος με νόρμα. Υπενθυμίζουμε ότι η ασθενής τοπολογία T του έχει ως βάση ( ανοικτών ) περιοχών του όλα τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

j=1 x n (i) x s (i) < ε.

j=1 x n (i) x s (i) < ε. Κεφάλαιο 5 Πληρότητα 5.1 Πλήρεις μετρικοί χώροι Ορισμός 5.1.1 (πλήρης μετρικός χώρος). Ενας μετρικός χώρος (X, ρ) λέγεται πλήρης (complete) αν κάθε ρ βασική ακολουθία (x n ) στον X είναι ρ συγκλίνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

1 Χώροι πηλίκα { } x = y x y Y. Με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που ορίζονται με τον

1 Χώροι πηλίκα { } x = y x y Y. Με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που ορίζονται με τον Χώροι πηλίκα Έστω διανυσματικός χώρος και Y διανυσματικός υπόχωρος του. Για κάθε θεωρούμε το σύμπλοκο σχετικά με τον Y, = + y y Y = + Y ορ { : } δηλαδή το είναι η παράλληλη μεταφορά του Y κατά το διάνυσμα.

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους.

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. 7 3.5 Το θεώρημα Hah-Baach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. Εξετάζουμε καταρχήν τη σχέση μεταξύ ενός μιγαδικού διανυσματικού χώρου E και του υποκείμενου πραγματικού χώρου E R. Έστω E μιγαδικός διανυσματικός

Διαβάστε περισσότερα

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό 81 3.2 Το θεώρημα Tychooff. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με το θεώρημα Tychooff, δηλαδή ότι ένα αυθαίρετο καρτεσιανό γινόμενο συμπαγών χώρων είναι, με την τοπολογία γινόμενο, συμπαγής χώρος. Το θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2...

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Β.ΒΛΑΧΟΥ, Α. ΣΟΥΡΜΕΛΙΔΗΣ Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Φθινόπωρο 2013 1 Θα θέλαμε να αναφέρουμε ότι για την συγγραφή αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήσαμε ιδιαίτερα α)το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n Οι ασκήσεις αυτές έχουν σκοπό να βοηθήσουν τους φοιτητές στην μελέτη τους για το μάθημα «Ανάλυση ΙΙ» του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αιγαίου. Συνιστούμε στους φοιτητές να επεξεργαστούν αυτές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ). Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων 4.1 Συνεχείς συναρτήσεις Εστω (X, ρ) και (Y, σ) δύο μετρικοί χώροι. Στην 2.2 δώσαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f : X Y σε κάποιο σημείο x 0 X:

Διαβάστε περισσότερα

n = r J n,r J n,s = J

n = r J n,r J n,s = J Ανάλυση Fourer και Ολοκλήρωμα Lebesgue (2011 12) 4ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω E [a, b] με µ (E) = 0. Δείξτε ότι το [a, b] \ E είναι πυκνό υποσύνολο του [a, b]. Υπόδειξη. Θεωρήστε ένα μη κενό

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν.

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν. 93 4 Διαχωριστικά αξιώματα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε τα λεγόμενα διαχωριστικά αξιώματα και εξετάζουμε τις βασικές ιδιότητές τους. Ένα από αυτά το έχουμε ήδη εισαγάγει δηλαδή το αξίωμα Husdorff ( ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Όταν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης γράφουμε συνήθως ο τοπολογικός χώρος X και χρησιμοποιούμε την σύντμηση τ.χ. (= τοπολογικός χώρος).

Όταν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης γράφουμε συνήθως ο τοπολογικός χώρος X και χρησιμοποιούμε την σύντμηση τ.χ. (= τοπολογικός χώρος). 4 Τοπολογικοί χώροι. Στοιχειώδεις έννοιες της τοπολογίας Στην παράγραφο αυτή εισάγουμε τις βασικές έννοιες της τοπολογίας, δηλαδή αυτές του ανοικτού και κλειστού συνόλου, της κλειστότητας και του εσωτερικού

Διαβάστε περισσότερα

π B = B και άρα η π είναι ανοικτή απεικόνιση.

π B = B και άρα η π είναι ανοικτή απεικόνιση. 3 Παράρτημα 2 Παρατηρήσεις, ασκήσεις και Διορθώσεις Παράγραφος ) Σελίδα, : Παρατηρούμε τα ακόλουθα για το χώρο πηλίκο / Y : Y = / Y και (α) { } (β) = Y / Y { } Επίσης από τον τύπο () έπεται ιδιαίτερα ότι

Διαβάστε περισσότερα

f x 0 για κάθε x και f 1

f x 0 για κάθε x και f 1 06 4.2 Το Λήμμα του Uysoh το Λήμμα της εμφύτευσης και το θεώρημα μετρικοποίησης του Uysoh. Ο κύριος στόχος αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεμελιώδους αποτελέσματος γνωστού ως το Λήμμα του Uysoh.

Διαβάστε περισσότερα

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Θεώρημα 1 Έστω ¹ X συμπαγής χώρος Hausdorff και έστω C R (X η πραγματική άλγεβρα όλων των συνεχών συναρτήσεων f : X R. Έστω ότι ένα υποσύνολο A C R (X (1 το A είναι υπάλγεβρα

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

S n = ( 1, 0] 1 + b 1 a1 + b 1 I 1 I 2 I 3...,

S n = ( 1, 0] 1 + b 1 a1 + b 1 I 1 I 2 I 3..., ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΕΜ Χειμερινό εξάμηνο 017-18 ΜΕΜ31-ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ 1, 3Η ΔΙΑΛΕΞΗ ΣΥΝΤΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑΣ ΤΟΥ R ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ 1. Ανοικτα και κλειστα συνολα του R Το σύνολο R των πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (

Διαβάστε περισσότερα

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1 Θέμα 1 (α) Υποθέτουμε (προς απαγωγή σε άτοπο) ότι το σύνολο A έχει μέγιστο στοιχείο, έστω a = max A Τότε, εϕόσον a A, έχουμε a R Q και a M Ομως ο αριθμός μητρώου M είναι ρητός αριθμός, άρα (εϕόσον ο a

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους

5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους 121 5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους Στο κεφάλαιο αυτό πρόκειται να μελετήσουμε την έννοια της σύγκλισης σε γενικούς τοπολογικούς χώρους, πέραν των μετρικών χώρων. Όπως έχουμε ήδη διαπιστώσει ( πρβλ.

Διαβάστε περισσότερα

f 1 (A) = {f 1 (A i ), A i A}

f 1 (A) = {f 1 (A i ), A i A} ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΕΜ Χειμερινό εξάμηνο 2017-18 ΜΕΜ231-ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ, 11Η ΔΙΑΛΕΞΗ ΣΥΜΠΑΓΕΙΑ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ Μετά τη συνεκτικότητα, όπου είδαμε κάπως αναλυτικά την ιδιότητα εκείνη που επιτρέπει σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

= lim. (P QP ) n x, x. E(Ex) = lim. (P QP ) m P x = Ex, EP x = lim

= lim. (P QP ) n x, x. E(Ex) = lim. (P QP ) m P x = Ex, EP x = lim Άσκηση: Η προβολή στην τομή δύο υποχώρων Αν P, Q είναι δύο ορθές προβολές σε έναν χώρο Hilbert H και R = P Q είναι η προβολή στην τομή im P im Q, δείξτε ότι, για κάθε x H, Rx = lim (P QP ) x = lim (P Q)

Διαβάστε περισσότερα

f(x) f(c) x 1 c x 2 c

f(x) f(c) x 1 c x 2 c Μαθηματικός Λογισμός Ι Φθινόπωρο 2014 Σημειώσεις 1-12-14 Μ. Ζαζάνης 1 Πραγματικές Συναρτήσεις και Ορια Εστω S R ένα υποσύνολο του R και f : S R μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το S και τιμές στους πραγματικούς

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Απειροσ τικός Λογισμός ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών

Απειροσ τικός Λογισμός ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών - Περιεχόμενα Υπακολουθίες και βασικές ακολουθίες. Υπακολουθίες. Θεώρημα Bolzno Weierstrss.αʹ Απόδειξη με χρήση της

Διαβάστε περισσότερα

********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής*********

********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* ********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* 5 Για την δύο φορές παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση ισχύει: e για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της δεν παρουσιάζει σημείο καμπής. Υποθέτουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΤΡΙΑΚΟΣΤΟ ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Ας θυμηθούμε από την περασμένη φορά ότι ένα σύνολο M σε έναν μετρικό χώρο (X, d είναι συμπαγές όταν: αν έχουμε οποιαδήποτε ανοικτά σύνολα που καλύπτουν

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αναλυτική χωρητικότητα Συνεχής αναλυτική χωρητικότητα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αναλυτική χωρητικότητα Συνεχής αναλυτική χωρητικότητα Μιχάλης Παπαδημητράκης Αναλυτική χωρητικότητα Συνεχής αναλυτική χωρητικότητα 1 Παράγωγος στο. Ας θυμηθούμε ότι μια μιγαδική συνάρτηση f ορισμένη σε ένα υποσύνολο του μιγαδικού επιπέδου λέμε ότι είναι

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης Ενότητα 2: Το Θεώρημα Καραθεοδωρή και τα μέτρα Borel Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

G n. n=1. n=1. n=1 G n) = m (E). n=1 G n = k=1

G n. n=1. n=1. n=1 G n) = m (E). n=1 G n = k=1 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Επαναληπτικές Εξετάσεις στη Θεωρία Μέτρου και Ολοκλήρωση Θέμα. Εστω R Lebesgue μετρήσιμο σύνολο. (αʹ) Να αποδειχθεί ότι για κάθε ε

Διαβάστε περισσότερα

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle. Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Πραγματική Ανάλυση. Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue στο R. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Πραγματική Ανάλυση. Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue στο R. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης Μιχάλης Παπαδημητράκης Πραγματική Ανάλυση Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue στο R Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα Το μέτρο Lebesgue.. Μήκη διαστημάτων..................................2

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 17-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Την προηγούμενη φορά αναφέραμε (και αποδείξαμε στην περίπτωση n = 2) το θεώρημα που λέει ότι, αν n N, n 2, τότε για κάθε y 0 υπάρχει μοναδική μηαρνητική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y. 2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω ( X, ) και (, ) X Y {( x, ) : x X και Y} Y χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος: Συμπάγεια, Θεωρήματα Σταθερού Σημείου, και Εφαρμογές στην Οικονομική Θεωρία

Τίτλος: Συμπάγεια, Θεωρήματα Σταθερού Σημείου, και Εφαρμογές στην Οικονομική Θεωρία ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Δ.Π.Μ.Σ. «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ σε ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ» ΚΤΙΡΙΟ Α, ος ΟΡΟΦΟΣ, ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥΠΟΛΗ ΖΩΓΡΑΦΟΥ,

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Απειροστικού Λογισμού ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Περιεχόμενα Υπακολουθίες και ακολουθίες Cuchy Σειρές πραγματικών αριθμών 3 3 Ομοιόμορφη συνέχεια 3 4 Ολοκλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1 ο

Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1 ο Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Οι απαντήσεις βρίσκονται μετά τις εκφωνήσεις Εξετάστε αν είναι αληθείς ή ψευδείς οι παρακάτω προτάσεις και αιτιολογήστε.

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t)

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t) Κεφάλαιο 7 Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων 7.1 Ακολουθίες συναρτήσεων: κατά σημείο σύγκλιση Ορισμός 7.1.1. Εστω X σύνολο, (Y, ρ) μετρικός χώρος και f n, f : X Y (n = 1, 2,...). Λέμε ότι η ακολουθία συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

lim y < inf B + ε = x = +. f(x) =

lim y < inf B + ε = x = +. f(x) = ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηματική Ανάλυση Ι ΟΜΑΔΑ: Α 8 Μαρτίου, 0 Θέμα. (αʹ) Εστω A, B μη κενά σύνολα πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε x y, για

Διαβάστε περισσότερα

x είναι f 1 f 0 f κ λ

x είναι f 1 f 0 f κ λ 3 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ [Κεφάλαια, Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου] ΘΕΜΑ Α.Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελίδα 4.. Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελίδα 88, 89. 3. α) ΣΩΣΤΟ, διότι αν η f παραγωγίσιμη στο χ

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αρμονική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αρμονική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης Μιχάλης Παπαδημητράκης Αρμονική Ανάλυση Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα 1 Το ολοκλήρωμα Lebesgue. 1 1.1 Σύνολα μηδενικού μέτρου..................................... 1 1.2 Η συλλογή C

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Σύγκλιση και Συνέχεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ

Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ 8 5 Το θεώρημα Kre-Mlm Βασικές ιδιότητες συμπαγών και κυρτών συνόλων. Ορισμός 5. Έστω X διανυσματικός χώρος και Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ λέγεται ακραίο ( extreme ) σημείο του Κ, αν δεν είναι γνήσιος

Διαβάστε περισσότερα

Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη

Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Φεβρουαρίου Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Μαρτίου Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό είναι να

Διαβάστε περισσότερα

Όριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης

Όριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Όριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης Αγνοώ το πώς με βλέπει ο κόσμος αλλά στον εαυτό μου, φαίνομαι σαν να μην ήμουν τίποτα άλλο από ένα αγοράκι που παίζει στην ακρογιαλιά και κατά καιρούς

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 5-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Τώρα θα μιλήσουμε για την έννοια της περιοχής, η οποία έχει κεντρικό ρόλο στη μελέτη της έννοιας του ορίου (ακολουθίας και συνάρτησης). Αν > 0, ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ, 6-12-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Τώρα θα δούμε την απόδειξη του Θεωρήματος που διατυπώσαμε στο τέλος του προηγούμενου μαθήματος. Απόδειξη. [α] Θεωρούμε συνάρτηση f : A R και

Διαβάστε περισσότερα

35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης

35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης 4 5 35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης Περίληψη: Στο ένθετο αυτό περιλαμβάνονται 35 βασικές προτάσεις, μικρά λήμματα χρήσιμα για τις εξετάσεις. Μας βοηθούν να «ξεκλειδώνουμε»

Διαβάστε περισσότερα

Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων

Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων Πρ. Η f : [0, ] R είναι συνεχής στο [0, ]. Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα Bolzao- Weierstraß δείξτε ότι η f είναι φραγμένη στο [0, ]. Μην επικαλεστείτε κάποιο άλλο θεώρημα.

Διαβάστε περισσότερα

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν 3 4.3 Τελείως κανονικοί χώροι ( ). 3 2 Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysoh, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν κανονικός χώρος, x και κλειστό ώστε x. Υπάρχει τότε συνεχής συνάρτηση f :, ώστε

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατική Ανάλυση ( ) Ασκήσεις - Κεφάλαιο 3

Πραγµατική Ανάλυση ( ) Ασκήσεις - Κεφάλαιο 3 Πραγµατική Ανάλυση (2015-16) Ασκήσεις - Κεφάλαιο 3 Οµάδα Α 1. Εστω (X, ρ) µετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y. 2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω (, ) και (, ) {( x, ) : x και } χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται χώρος με

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

m + s + q r + n + q p + s + n, P Q R P Q P R Q R F G

m + s + q r + n + q p + s + n, P Q R P Q P R Q R F G Λύσεις Θεμάτων Θεμελίων των Μαθηματικών 1. Εστω A, B, C τυχόντα σύνολα. Να δειχθεί ότι A (B C) (A B) (A C). Απόδειξη. Εστω x τυχαίο στοιχείο του A (B C). Εξ ορισμού, το x ανήκει σε ακριβώς ένα από τα A,

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 262 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.

ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 262 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο. ΙΟΥΝΙΟΥ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 6 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνθήκες αριθµησιµότητας Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ).

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ). Κεφάλαιο 4 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα 411 Ερώτηση θεωρίας 1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Πότε μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (, ) αβ; Απάντηση Μια συνάρτηση f θα λέμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. ιατεταγµένοι χώροι. 1.1 Κώνοι και διάταξη

Κεφάλαιο 1. ιατεταγµένοι χώροι. 1.1 Κώνοι και διάταξη Κεφάλαιο 1 ιατεταγµένοι χώροι 1.1 Κώνοι και διάταξη Εστω E γραµµικός χώρος. Ενα κυρτό, µη κενό υποσύνολο P του E είναι κώνος αν λ P για κάθε λ R +. Αν επιπλέον ισχύει P ( P) = {0} το P είναι οξύς κώνος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Αν μια συνάρτηση f είναι : συνεχής στο κλειστό [α,β] παραγωγίσιμη στο ανοιχτό (α,β) f(α)=f(β) f 0 τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ : σημαίνει ότι υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

sin(5x 2 ) sin(4x) e 5t 2 1 (ii) lim x 0 10x 3 (iii) lim (iv) lim. 10t sin(ax) = 1. = 1 1 a lim = sin(5x2 ) = 2. f (x) = sin x. = e5t 1 = 1 0 = 0.

sin(5x 2 ) sin(4x) e 5t 2 1 (ii) lim x 0 10x 3 (iii) lim (iv) lim. 10t sin(ax) = 1. = 1 1 a lim = sin(5x2 ) = 2. f (x) = sin x. = e5t 1 = 1 0 = 0. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Ι, Φυλλάδιο 3 Λύσεις Ασκήσεων. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια. sia) i) ποιες συνθήκες πρέπει να ισχύουν για τα a, β ώστε να έχει νόημα το όριο;) 0 siβ) si5 ) si4) cos cos

Διαβάστε περισσότερα

x, x (, x ], επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, x0]

x, x (, x ], επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, x0] Απαντήσεις στο ο Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέμα ο Α Έστω ότι f( ), για κάθε (, ) (, ) Επειδή η f είναι συνεχής στο θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα (, ] και [,

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης Σημειώσεις Λογικής I Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Καθηγητής: Λ. Κυρούσης 2 Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37. Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 2 Προτασιακή Λογική 7 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις...................

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματική Ανάλυση Πέτρος Βαλέττας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών

Πραγματική Ανάλυση Πέτρος Βαλέττας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Πραγματική Ανάλυση Πέτρος Βαλέττας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών 2010-11 Περιεχόμενα I Μετρικοί χώροι 1 1 Μετρικοί χώροι 3 1.1 Ορισμός και παραδείγματα........................... 3 1.2 Χώροι με

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Y είναι τοπολογία. Αυτή περιέχει το και

Y είναι τοπολογία. Αυτή περιέχει το και 8.3 Σχετική τοπολογία και υπόχωροι. Ορισμός.37. Έστω X, τ.χ. Αν U : U X, τότε η οικογένεια είναι μια τοπολογία στο σύνολο, η οποία ονομάζεται η σχετική ( ή επαγόμενη ) τοπολογία του. Ο χώρος, ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:

1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων: Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:, g, h Απάντηση: Η με έχει παράγωγο 4 Μπορούμε όμως να εργαστούμε ως εξής: Είναι άρα 4 Η g με g έχει παράγωγο : g Η συνάρτηση h με h έχει

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις στην Συναρτησιακή Ανάλυση Κανονική εξεταστική 2009 (μπορεί να περιέχουν λάθη)

Λύσεις στην Συναρτησιακή Ανάλυση Κανονική εξεταστική 2009 (μπορεί να περιέχουν λάθη) Λύσεις στην Συναρτησιακή Ανάλυση Κανονική εξεταστική 009 (μπορεί να περιέχουν λάθη) (L) Θέμα 1 α) i Ένα σύνολο A X λέγεται γραμμικά ανεξάρτητο αν κάθε πεπερασμένο υποσύνολό του είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις. και. για κάποιο k n. ( ) BdΚ και επί πλέον το BdΚ είναι ακραίο. [Υπόδειξη Πρβλ. την άσκηση 11 της παραγράφου 3.1 για το (α)].

Ασκήσεις. και. για κάποιο k n. ( ) BdΚ και επί πλέον το BdΚ είναι ακραίο. [Υπόδειξη Πρβλ. την άσκηση 11 της παραγράφου 3.1 για το (α)]. 3 Ασκήσεις ) Έστω διανυσματικός χώρος, C κυρτό και C. (α) Αποδείξτε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (ι) e( C) = +,(ιι), = = και (ιιι) Το σύνολο C \{ } είναι κυρτό. (β) Επίσης αποδείξτε ότι αν e( C) και

Διαβάστε περισσότερα