COMENTARIU LA FAPTELE APOSTOLILOR

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "COMENTARIU LA FAPTELE APOSTOLILOR"

Transcript

1 3 SFÂNTUL IOAN GUR DE AUR COMENTARIU LA FAPTELE APOSTOLILOR vol. I Traducere din limba greac\ veche, introducere [i note Ierom. LAVRENTIE CARP Carte tip\rit\ cu binecuvântarea ~naltpreasfin]itului TEOFAN Mitropolitul Moldovei [i Bucovinei DOXOLOGIA Ia[i, 2016

2 5 CUPRINS Abrevieri... 7 Introducere... 9 OMILII Omilia I Omilia II Omilia III Omilia IV Omilia V Omilia VI Omilia VII Omilia VIII Omilia IX Omilia X Omilia XI Omilia XII Omilia XIII Omilia XIV

3 6 Omilia XV Omilia XVI Omilia XVII Omilia XVIII Omilia XIX Omilia XX Omilia XXI Omilia XXII Omilia XXIII Omilia XXIV Omilia XXV Omilia XXVI Omilia XXVII Bibliografie generală Indice de referințe scripturistice

4 7 ABREVIERI EIBMBOR ΕΠΕ PG PSB Editura Institutului Biblic şi de Misiune al Bisericii Ortodoxe Române ΕΛΛΗΝΕΣ ΠΑΤΕΡΕΣ ΤΗΣ ΕΚΚΛΗΣΙΑΣ Patrologia greacă Părinţi şi Scriitori Bisericeşti

5 8

6 Introducere 9 Introducere Preocuparea Sfântului Ioan Gură de Aur ( ) de a tâlcui Sfânta Scriptură s-a concretizat printr-o multitudine de omilii rostite pornind de la pasaje biblice, dar mai ales prin efortul susținut de a comenta aproape tot Noul Testament și mare parte din Vechiul Testament. Încă de pe când era preot în Antiohia și-a început această vastă activitate, pe care a continuat-o și în Constantinopol, de pe scaunul patriarhal. Autoritatea interpretărilor sale vine atât din faptul că a trăit într-o vreme când Biserica abia ieșea din catacombe (sec. IV-V) și atmosfera propovăduirii Evangheliei era încă proaspătă, dar mai ales din înrudirea duhovnicească cu Apostolii și din inspirația pe care o primea de la Duhul Sfânt pentru a surprinde sensul corect al scrierilor sfinte. De aceea cuvântările sale au rămas peste veacuri drept un reper pentru orice creștin în înțelegerea corectă a mesajului biblic. A intrat în istorie faptul că ucenicul Proclu a fost martor al felului cum primea îndrumarea minunată din partea Apostolului Pavel, care-i șoptea la ureche în chip nevăzut explicarea corectă a învățăturilor sale. Chiar urechea care primea acele călăuziri a rămas neatinsă de timp și poate fi văzută la Mănăstirea Vatopedi, unde se păstrează craniul marelui Părinte. Acestea ne dau încredințare că a avut parte de insuflare de sus și în ce privește celelalte cuvinte ale sale, cum sunt cele de față. Cele 55 de Omilii la Faptele Apostolilor au fost rostite în capitala Imperiului, la trei ani după înscăunarea sa, fapt menționat chiar în cuprinsul lor (44, 4). Deși a rostit și în Antiohia, în jurul anului 388, patru omilii la începutul acestei cărți,

7 10 Sfântul Ioan Gur\ de Aur cele traduse acum sunt diferite și se ocupă de comentarea întregului text al cărții Sfântului Apostol Luca, independent de primele. Acestea au fost rostite începând cu Paștile anului 401 (unii spun că ar fi vorba de anul 400), al treilea an de la înscăunarea sa în 26 februarie 388. Alte repere cronologice decurg din menționarea unui cutremur în Constantinopol în omilia 7, 2 și 41, 2, cutremur despre care Sinesie ( ) spune că ar fi avut loc în anul 400. Există și alte referințe interne din care reiese că cel ce rostea aceste omilii era episcop, spunând despre sine că este episcop și că ocupă scaun de întâi-stătător (Omilia 8, 3 și 9, 6). Se pare că au fost rostite pe parcursul unui an, câte o omilie pe săptămână. Din descrierile istoricilor bisericești (Teodoret, Socrate, Sozomen), se știe că această perioadă a fost dominată de instabilitatea socială adusă de răzvrătirea generalului got Gainas. De aici, majoritatea editorilor acestei opere au speculat pe ideea că tulburarea acelor vremuri a afectat și calitatea predicilor Sfântului Ioan. Punctul lor de pornire îl constituie precaritatea exprimării și lacunele din text care-l fac greu de văzut ca o predică, mai mult un rezumat de predică. Trebuie precizat că noi am tradus o altă versiune, care a circulat în paralel în manuscrise și care este mai șlefuită și mai cursivă, care aduce mai mult a omilie rostită public. Prima ediție a fost realizată de Erasmus, care a tradus textul în latină în anul El observă o metodă care nu se regăsește în alte omilii ale Sfântului Ioan, fie rostite în Antiohia, fie în Constantinopol, aceea de a relua versetele tocmai comentate într-o nouă prezentare prin formula: Să vedem din nou cele spuse. De aceea își exprimă dubiile asupra paternității acestei opere, deși nu duce ideea până la capăt să conteste autenticitatea ei. Aceleași observații le face și Savillius (1612), dar fără a tăgădui că autorul ar fi Sfântul Ioan. Acestea sunt doar speculații pentru că avem dovezi

8 Introducere 11 ale unor autori bisericești din vechime legate de această operă. Astfel, primul de la care avem mărturii despre operă este Cassiodor ( ), care a contribuit la traducerea în latină a celor 55 de omilii, dar care nu se mai păstrează, ci doar câte erau în total ca număr. El a alcătuit și un compendiu cu scolii la cartea Faptele Apostolilor, dar în care nu folosește omiliile acestea. Apoi avem o mărturie solidă în canonul 16 al Sinodului Quinisext (691), care conține un pasaj extins referitor la slujirea diaconilor. De asemenea, Sfântul Ioan Damaschinul (sec. VIII) citează din a doua omilie (fiind vorba, de fapt, de prima) în cartea sa De fide orthodoxa. În Biblioteca sa, Patriarhul Fotie ( ) menționează această operă, doar că afirmă în mod eronat că ar fi fost vorba de 50 de omilii în loc de 55. Comentariile lui Icumenie (990) și Teofilact al Bulgariei (1077) preiau masiv dintr-o lucrare mai veche, găsită pe un manuscris de secol X, numită Catena, care conținea o mare parte din aceste omilii. Ultima mărturie din vechime o constituie o colecție numită Florilegium sau Eclogae, nu mai târzie de sec. XI, care face referire la opera noastră doar o singură dată (Omilia 19). Textul folosit de noi este cel editat bilingv (greacă veche neogreacă) la Tesalonic în colecția ΕΠΕ, în volumele 58, 66 și 71, în anii Conține versiunea editată de Montfaucon în 1737, care se regăsește și în colecția lui J.-P. Migne (PG 60). În limba engleză există o traducere după o altă variantă, mai lapidară, care corespunde textului din Florilegium-ul menționat mai sus și ar avea mai mare susținere. Nu există indicii clare de unde au apărut aceste două tipuri de text, care au și fuzionat la unii editori, ci doar speculații. Neavând la îndemână decât varianta mai extinsă, am folosit-o pe aceasta fără a putea compara și decide dacă ar fi mai plauzibilă cealaltă. De asemenea, varianta de text englezească

9 Omilia I 15 Omilia I Cuvântul cel dintâi l-am făcut, o, Teofile, despre toate cele ce a început Iisus a face și a învăța până în ziua când, poruncind prin Duhul Sfânt apostolilor pe care i-a ales, S-a înălțat. (1, 1-2) 1. Multora nici măcar nu le este cunoscut faptul că există această carte, nici cel ce a scris-o și a alcătuit-o. De aceea am judecat să-mi dau silința mai ales pentru ea, ca să-i învăț pe cei necunoscători și ca să nu fie uitată și ascunsă o asemenea comoară. Căci poate să ne folosească nu mai puțin decât înseși Evangheliile; de atâta filosofie, de corectitudinea dogmelor și de minuni este plină în chip arătat și mai ales de cele lucrate de Duhul. Să nu trecem de acum încolo peste ea, ci să o cercetăm cu migală! Căci zicerile de dinainte, pe care le-a spus Hristos în Evanghelii, pe acestea e cu putință a le vedea cum izbucnesc aici în faptă și adevărul care strălucește chiar din fapte și prefacerea cea multă spre mai bine a ucenicilor cea lucrată în ei de Duhul. Căci cele pe care le-au auzit că le-a spus Hristos, că tot cel ce crede în Mine, semnele pe care le fac Eu, și acela le va face, și mai mari decât acestea va face (In 14, 12) și că le-a spus dinainte ucenicilor: Veți fi duși la conducători și la împărați (Mt. 10, 18) și că îi vor biciui pe ei în sinagogile lor (Mt. 10, 17) și că vor pătimi lucruri de nevindecat și că le vor depăși pe toate și că Evanghelia se va propovădui în toată lumea (Mt. 26, 13), pe toate acestea e cu putință a le vedea cu toată amănunțimea venind la lumină în cartea aceasta și altele mai multe decât acestea, pe care le-a grăit lor pe când erau împreună. Dar vei vedea aici și pe apostolii înșiși străbătând

10 16 Sfântul Ioan Gur\ de Aur ca niște păsări pământul și marea, și pe aceia ce erau fricoși și neînțelegători făcându-se deodată alții și cum trec cu vederea averile și slava, mânia și pofta, făcându-se pur și simplu mai înalți decât toate și având multă unire de cuget și nicăieri nici o pizmă, ca înainte, nici dorire după întâietăți, ci era îngrijită între ei toată virtutea și dragostea strălucea cu covârșire. Pentru aceasta le-a și poruncit multe, spunând: Întru aceasta vor cunoaște toți că sunteți ucenici ai Mei, de vă veți iubi unii pe alții (In 13, 35). Dar e cu putință a afla aici și dogme, care, de nu era cartea aceasta, nu s-ar fi făcut cunoscute nimănui așa de limpede, ci începătura mântuirii noastre s-ar fi ascuns și ar fi fost nearătată în privința viețuirii și a dogmelor. Cea mai mare parte din cele puse aici sunt faptele lui Pavel, care s-a ostenit mai mult decât toți. Și pricina este că fericitul Luca, cel ce a alcătuit cartea aceasta, era învățăcelul lui, a cărui virtute e cu putință a o vedea din multe părți, și de aiurea, dar mai ales din aceea că s-a ținut nedespărțit de învățătorul său și l-a urmat totdeauna. Când Dimas și Ermoghen l-au părăsit, unul plecând în Galatia, iar celălalt în Dalmația, ascultă ce zice despre aceasta: Luca singur este cu mine (II Tim. 4, 11). Dar zice despre el și când scrie corintenilor: A cărui laudă întru Evanghelie este în toate Bisericile (II Cor. 8, 18). Și, când spune: S-a arătat lui Chefa, apoi celor doisprezece (I Cor. 15, 5) și: După Evanghelia pe care ați primit-o (I Cor. 15, 1), zice despre a Acestuia. Încât n-ar păcătui cineva dacă ar atribui lucrarea aceasta Lui. Iar când zic Lui, spun despre Hristos. Iar de ar spune cineva: Și pentru ce n-a scris o dată toate, până la sfârșit, pe când era cu el? Aceluia am zice că și acestea sunt de ajuns pentru cei ce vor să ia aminte și că erau pururea zoriți și că sârguința lor nu era în a scrie cuvinte, căci au dat multe și prin predanie, nu în scris. Deci toate cele așezate în cartea aceasta sunt vrednice de mirare, dar mai ales pogorământul apostolilor, pe

11 Omilia I 17 care l-a inspirat lor și Duhul, pregătindu-i pentru a se ocupa de cuvântul iconomiei. De aceea, când vorbeau aceste lucruri despre Hristos, au grăit puține despre dumnezeirea Lui și cele mai multe au vorbit despre omenitate, despre Pătimire, Înviere și Înălțare. Căci ceea ce se căuta mereu era credința că a înviat și S-a înălțat la ceruri. Deci, precum Însuși Hristos S-a sârguit a arăta mai mult decât toate că de la Tatăl a sosit, așa și acesta, că a înviat, că S-a înălțat, a plecat la El și S-a întors la El. Căci, dacă nu era mai întâi crezută aceasta cu mult mai mult decât ceea ce s-a adăugat a se face după Înviere și Înălțare, toată dogma li s-ar fi părut iudeilor a fi de necrezut. De aceea ușurel și câte puțin îi duce la cele mai înalte. Iar în Atena Pavel Îl numește și om simplu, nezicând nimic mai mult. Pe bună dreptate. Căci, dacă s-au apucat adeseori a-l bate cu pietre chiar pe Hristos când vorbea despre egalitatea cu Tatăl și-l numeau pentru aceasta hulitor, ar fi primit cu rezerve de la niște pescari cuvântul acesta. Și acestea când crucea își făcuse loc înainte. 2. Și ce trebuie să spun de iudei, când s-au agitat și s-au smintit chiar și ucenicii, când au auzit odinioară adeseori dogme mai înalte? Pentru aceasta și spune: Multe am a vă mai spune, însă nu puteți să le purtați acum 1 (In 16, 12). Iar dacă nu puteau aceia, care au fost atâta vreme împreună cu El și s-au împărtășit de atâtea lucruri negrăite și au văzut atâtea minuni, cum ar fi primit deodată cuvintele cele înalte ale dogmelor oameni care au fost trași atunci întâi de la altare, de la jertfe, de la pisici, de la crocodili (căci de acest fel erau cele de cinste ale elinilor) și de la alte 1 Este nevoie de inițiere treptată și fără grabă pentru a primi tainele lui Dumnezeu. Nu pentru că ar fi multe și greu de ținut minte, ci pentru că e nevoie ca sufletul să le asimileze bine și cu credință statornică și lucrătoare. De exemplu, taina învierii nu poate fi înțeleasă decât după ce sufletul înviază și se revigorează prin purtarea crucii, adică prin tămăduirea propriilor patimi și păcate.

12 18 Sfântul Ioan Gur\ de Aur rele? Dar cum nu s-ar fi îndepărtat, nu s-ar fi tras deoparte și iudeii mai mult decât toți, care învățau în fiecare zi și erau instruiți de Lege: Ascultă, Israele, Domnul Dumnezeul tău Domn Unul este și afară de El nu este Altul (Deut. 6, 4), după ce L-au văzut pironit pe lemnul Crucii, dar mai degrabă după ce L-au răstignit și L-au îngropat și nu L-au văzut înviat, dacă ar fi auzit că El Însuși este Dumnezeu și egal cu Tatăl? Pentru aceasta îi face să înainteze ușurel și câte puțin și se folosește de multă iconomie a pogorământului, dar se bucură de abundența harului Duhului și lucrează în numele Lui unele lucruri mai mari decât cele pe care le-a făcut El, ca din fiecare parte să-i înalțe pe cei ce stau pe pământ și să facă crezut cuvântul Învierii. De fapt, această carte este mai ales o dovedire a Învierii. Iar după ce este crezută ea, înaintează și celelalte pe cale. Deci aceasta este mai ales toată baza și ținta cărții, după cum ar zice cineva adunând-o în mod grosier. Dar să ascultăm de acum însăși introducerea! Cuvântul cel dintâi l-am făcut, o, Teofile, despre toate cele ce a început Iisus a face și a învăța. (1, 1) Pentru ce pomenește de Evanghelie? Ca să fie arătată aceeași strictețe. Căci, începând lucrarea aceea, zice: Părutu-mi-a și mie, urmărind de aproape pe toți de la început cu de-amănuntul, să ți le scriu pe rând (Lc. 1, 3). Și nu se mulțumește numai cu mărturia proprie, ci aduce totul și la apostoli, spunând: așa cum ni le-au predat cei ce de la început s-au făcut înșiși văzători și slujitori ai Cuvântului (Lc. 1, 2). Drept aceea, făcând acolo cuvântul vrednic de crezare, nu e nevoie de altă întărire aici, după ce a fost el crezut o dată, povă-țuind prin acela la strictețea adevărului. Căci cel ce s-a făcut vrednic de credință să scrie cele ce a auzit și le-a crezut, cu mult mai mult va fi cu dreptate să fie crezut când alcătuiește acestea, pe care nu le-a luat de la alții, ci pe care le-a

13 Omilia I 19 văzut și le-a auzit. Căci, dacă am arătat cele ale lui Hristos, zice, cu mult mai mult cele ale apostolilor. Ce este, deci? Lucrarea este numai istorisire și cuvântul e lipsit de Duhul 2? Nicidecum. Dar cum? Cele pe care le-au predat lui cei ce s-au făcut înșiși văzători și slujitori ai Cuvântului erau ale Duhului. Și pentru ce nu a zis: precum ni le-au predat nouă cei ce s-au învrednicit de Duhul Sfânt, ci cei ce de la început s-au făcut văzători? Pentru că mai ales este vrednic de credință faptul de a învăța chiar de la văzători; iar aceea ar părea trufie și înfumurare pentru cei neînțelegători. De aceea și Ioan a spus așa: Eu am văzut și am dat mărturie că Acesta este Fiul lui Dumnezeu (In 1, 34). Dar și Hristos vorbește așa lui Nicodim, care era mai grosier: Ceea ce știm grăim și despre ceea ce am văzut dăm mărturie și mărturia noastră nimeni nu o primește (In 3, 11). Și iarăși, arătând că se poate ca mulți să dea mărturie și din vedere, a spus ucenicilor: Și voi dați mărturie despre Mine, că de la început sunteți cu Mine (In 15, 27). Și înșiși apostolii de multe ori spun așa: Martori suntem noi și Duhul Sfânt, pe Care L-a dat Dumnezeu celor ce se supun Lui (Fapte 5, 32). Dar și după acestea, făcând credibilă Învierea, Petru a spus: Care am mâncat și am băut împreună cu El (Fapte 10, 41). Căci este primită degrabă mărturia oamenilor care au fost împreună, câtă vreme este inferioară 3 față de înțelegerea cea despre Duhul. Pentru aceasta și Ioan a spus în scrierea Evangheliei că el a văzut, când vorbește despre sânge și apă (In 19, 34), punând pentru ei vederea în locul prea marii 2 Oare alcătuirea acestei scrieri despre faptele apostolilor este o simplă relatare istorică? Activitatea apostolilor este un mesaj viu și grăitor din partea lui Dumnezeu, de aceea nu se poate vorbi de simple întâmplări și acțiuni, ci de un mesaj transpus în faptă, practic, verificat și verificabil. 3 Dovada cea mai simplă și accesibilă este mai credibilă, deși lucrarea Duhului are mai multă putere.

14 20 Sfântul Ioan Gur\ de Aur mărturii, cu toate că sunt mai sigure cele de la Duhul decât vederea, însă nu pentru cei necredincioși. Deoarece faptul că bărbatul acesta s-a împărtășit de Duhul este arătat din multe părți: din semnele făcute acum, din faptul că cei ce s-au întâmplat atunci s-au împărtășit de Duhul, din mărturia lui Pavel (căci zice: A cărui laudă este întru Evanghelie (II Cor. 8, 18)), din sorțul hirotoniei. Căci, după ce a zis aceasta, adaugă: Ci e și hirotonit de Biserici tovarăș împreună cu noi la darul acesta slujit de noi (II Cor. 8, 19). 3. Și vezi lipsa lui de înfumurare. Căci nu spune: Prima Evanghelie pe care am bine vestit-o, ci cuvântul dintâi l-am făcut, socotind că este mai mare decât sine numirea Evangheliei. Cu toate că Apostolul îl împodobește de aici, spunând: a cărui laudă este întru Evanghelie (II Cor. 8, 18). Însă el pune o măsură și zice: Cuvântul cel dintâi l-am făcut, o, Teofile, despre toate cele ce a început Iisus a face și a învăța; nu simplu despre toate, ci de la început până la sfârșit. Căci zice: Până în ziua în care S-a înălțat. Și chiar Ioan arată că nu era cu putință a le scrie pe toate. Vrând să arate aceasta, după ce zice: Care, de s-ar scrie câte una, socotesc că nici însăși lumea nu ar încăpea, adaugă: Cărțile ce s-ar fi scris (In 21, 25). Deci cum spune acesta despre toate? Nu a zis: toate, ci despre toate, ca și cum ar zice cineva că în mare și în general. Sau spune despre toate cele ce s-au păstrat și s-au transmis. Apoi arată și care toate. Cele ce a început Iisus a face și a învăța, însemnând minunile și învățăturile. Dar nu numai aceasta, ci și că a învățat făcând. Dar privește și iubirea de oameni și cunoașterea lui apostolică, dacă și pentru un lucru a lucrat cu atâta migală, ca și cum ar scrie toată Evanghelia. Căci zice: Ca să ai în privința celor ce ai aflat, temeinicia cuvintelor (Lc. 1, 4). Căci L-a auzit și pe Hristos spunând: Nu este voia Tatălui Meu ca să piară unul din aceștia mici (Mt. 18, 14). Și pentru ce nu a făcut o carte, trimițând-o lui Teofil singur, ci a împărțit-o în două subiecte?

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Προσωπική Αλληλογραφία Επιστολή

Προσωπική Αλληλογραφία Επιστολή - Διεύθυνση Andreea Popescu Str. Reşiţa, nr. 4, bloc M6, sc. A, ap. 12. Turnu Măgurele Jud. Teleorman 06102. România. Ελληνική γραφή διεύθυνσης: Όνομα Παραλήπτη Όνομα και νούμερο οδού Ταχυδρομικός κώδικας,

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Εμπορική αλληλογραφία Ηλεκτρονική Αλληλογραφία

Εμπορική αλληλογραφία Ηλεκτρονική Αλληλογραφία - Εισαγωγή Stimate Domnule Preşedinte, Stimate Domnule Preşedinte, Εξαιρετικά επίσημη επιστολή, ο παραλήπτης έχει ένα ειδικό τίτλο ο οποίος πρέπει να χρησιμοποιηθεί αντί του ονόματος του Stimate Domnule,

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

Ακαδημαϊκός Λόγος Κύριο Μέρος

Ακαδημαϊκός Λόγος Κύριο Μέρος - Επίδειξη Συμφωνίας În linii mari sunt de acord cu...deoarece... Επίδειξη γενικής συμφωνίας με άποψη άλλου Cineva este de acord cu...deoarece... Επίδειξη γενικής συμφωνίας με άποψη άλλου D'une façon générale,

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 % 1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul

Διαβάστε περισσότερα

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB 1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

页面

页面 订单 - 配售 Εξετάζουμε την αγορά...luăm în considerare posibi 正式, 试探性 Είμαστε στην ευχάριστη Suntem θέση να încântați δώσουμε την să plasăm παραγγελία μας στην εταιρεία comandă σας pentru... για... Θα θέλαμε

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a V-a

Subiecte Clasa a V-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea

Διαβάστε περισσότερα

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b. Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,

Διαβάστε περισσότερα

Ταξίδι Γενικά. Γενικά - Τα απαραίτητα. Γενικά - Συνομιλία. Παράκληση για βοήθεια. Ερώτηση σε πρόσωπο αν μιλά αγγλικά

Ταξίδι Γενικά. Γενικά - Τα απαραίτητα. Γενικά - Συνομιλία. Παράκληση για βοήθεια. Ερώτηση σε πρόσωπο αν μιλά αγγλικά - Τα απαραίτητα Mă puteți ajuta, vă rog? Παράκληση για βοήθεια Vorbiți în engleză? Ερώτηση σε πρόσωπο αν μιλά αγγλικά Vorbiți _(limba)_? Ερώτηση σε πρόσωπο αν μιλά ορισμένη γλώσσα Nu vorbesc _(limba)_.

Διαβάστε περισσότερα

Valori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili

Valori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili Anexa 2.6.2-1 SO2, NOx şi de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili de bioxid de sulf combustibil solid (mg/nm 3 ), conţinut de O 2 de 6% în gazele de ardere, pentru

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ. 2. Τακτικά αριθμητικά

ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ. 2. Τακτικά αριθμητικά ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ Σύμφωνα με τη Γραμματική της Ρουμανικής Γλώσσας, τα αριθμητικά διακρίνονται σε: 1. Απόλυτα αριθμητικά α. Απλά: unu, doi, trei... (ένα, δύο, τρία) κ.λπ. β. Σύνθετα: doisprezece, treizeci...

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE TEST 2.4.1 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Rezolvare: 1. Alcadienele sunt hidrocarburi

Διαβάστε περισσότερα

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15 MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()

Διαβάστε περισσότερα

Foarte formal, destinatarul ocupă o funcţie care trebuie folosită în locul numelui

Foarte formal, destinatarul ocupă o funcţie care trebuie folosită în locul numelui - Introducere Αξιότιμε κύριε Πρόεδρε, Αξιότιμε κύριε Πρόεδρε, Foarte formal, destinatarul ocupă o funcţie care trebuie folosită în locul numelui Αγαπητέ κύριε, Αγαπητέ κύριε, Formal, destinatar de sex

Διαβάστε περισσότερα

se întâmplă în nou-întemeiata Biserică din capitala Ahaiei, despre care Sf. Pavel scrie în primele 6 capitole ale acestei Epistole.

se întâmplă în nou-întemeiata Biserică din capitala Ahaiei, despre care Sf. Pavel scrie în primele 6 capitole ale acestei Epistole. EPISTOLA ÎNTÂIA CORINTHENI A SFÂNTULUI APOSTOL PAVEL (Epistola a fost scrisă pe la anul 57 d. Hr. din oraşul Efes, la 5-6 ani după ce Sf. Pavel părăsise oraşul Corinth, unde a predicat Evanghelia un an

Διαβάστε περισσότερα

5.1. Noţiuni introductive

5.1. Noţiuni introductive ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE TEST 2.5.2 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Radicalul C 6 H 5 - se numeşte fenil. ( fenil/

Διαβάστε περισσότερα

I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare.

I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Capitolul 3 COMPUŞI ORGANICI MONOFUNCŢIONALI 3.2.ACIZI CARBOXILICI TEST 3.2.3. I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Reacţia dintre

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

Πού μπορώ να βρω τη φόρμα για ; Unde pot găsi un formular pentru? Για να ρωτήσετε που μπορείτε να βρείτε μια φόρμα

Πού μπορώ να βρω τη φόρμα για ; Unde pot găsi un formular pentru? Για να ρωτήσετε που μπορείτε να βρείτε μια φόρμα - Γενικά Πού μπορώ να βρω τη φόρμα για ; Unde pot găsi un formular pentru? Για να ρωτήσετε που μπορείτε να βρείτε μια φόρμα Πότε εκδόθηκε το [έγγραφο] σας; Για να ρωτήσετε πότε έχει εκδοθεί ένα έγγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp

Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine

Διαβάστε περισσότερα

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema

Διαβάστε περισσότερα

Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011

Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011 Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)

Διαβάστε περισσότερα

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A. Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 21.2 - Sistemul de criptare ElGamal Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Scurt istoric

Διαβάστε περισσότερα

Προσωπική Αλληλογραφία Ευχές

Προσωπική Αλληλογραφία Ευχές - Γάμος Casă de piatră şi felicitări! Vă urez amândurora toată fericirea din lume! Συγχαρητήρια για ένα νιόπαντρο ζευγάρι Felicitări şi cele mai calde urări de bine pentru amândoi cu ocazia nunţii! Casă

Διαβάστε περισσότερα

Personal Scrisori. Scrisori - Adresa. Κυρ. Ιωάννου Οδ. Δωριέων 34 Τ.Κ 8068, Λάρνακα

Personal Scrisori. Scrisori - Adresa. Κυρ. Ιωάννου Οδ. Δωριέων 34 Τ.Κ 8068, Λάρνακα - Adresa Κυρ. Ιωάννου Οδ. Δωριέων 34 Τ.Κ 8068, Λάρνακα Κυρ. Ιωάννου Οδ. Δωριέων 34 Τ.Κ 8068, Λάρνακα Formatul românesc de adresă: Strada, numărul străzii, eventual blocul, scara şi numărul apartamentului

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE TEST 2.5.3 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Sulfonarea benzenului este o reacţie ireversibilă.

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

V O. = v I v stabilizator

V O. = v I v stabilizator Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,

Διαβάστε περισσότερα

MULTIMEA NUMERELOR REALE

MULTIMEA NUMERELOR REALE www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

-lucrare de licenńă-

-lucrare de licenńă- ...(Denumirea actuală a Ministerului EducaŃiei)... UNIVERSITATEA TEHNICĂ DIN CLUJ-NAPOCA CENTRUL UNIVERSITAR NORD DIN BAIA MARE FACULTATEA DE LITERE DEPARTAMENTUL DE ŞTIINłE SOCIO-UMANE, TEOLOGIE, ARTE

Διαβάστε περισσότερα

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1 Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se

Διαβάστε περισσότερα

ÎnălŃarea Domnului. HRISTOS S-A ÎNĂLłAT!

ÎnălŃarea Domnului. HRISTOS S-A ÎNĂLłAT! ÎnălŃarea Domnului HRISTOS S-A ÎNĂLłAT! Dacă-Mi slujeşte cineva, să-mi urmeze, şi unde sunt Eu, acolo va fi şi slujitorul Meu. Dacă-Mi slujeşte cineva, Tatăl Meu îl va cinsti ( ) Iar Eu, când Mă voi înălńa

Διαβάστε περισσότερα

Câmp de probabilitate II

Câmp de probabilitate II 1 Sistem complet de evenimente 2 Schema lui Poisson Schema lui Bernoulli (a bilei revenite) Schema hipergeometrică (a bilei neîntoarsă) 3 4 Sistem complet de evenimente Definiţia 1.1 O familie de evenimente

Διαβάστε περισσότερα

Algebra si Geometrie Seminar 9

Algebra si Geometrie Seminar 9 Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

Asociaţia Română pentru Cultură şi Ortodoxie I.S.B.N

Asociaţia Română pentru Cultură şi Ortodoxie I.S.B.N COLECŢIA COLECŢIA Grafica: VALERIU PANTILIMON I.T.: DAN ICHIMESCU Corector: MIRCEA GHERBOVEŢ Redactor: RAFAEL UDRIŞTE Director: MUGUR VASILIU Titlul original: TITO COLLIANDER: GREKISK-ORTODOX TRO OCH LIVSSYN,

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

Învăţături şi scrisori despre viaţa creştină

Învăţături şi scrisori despre viaţa creştină SFÂNTUL TEOFAN ZĂVORÂTUL Învăţături şi scrisori despre viaţa creştină Traducere de: Elena Dulgheru şi Richard Sârbu Tipărită cu binecuvântarea Prea Sfinţitului Părinte Galaction, Episcopul Alexandriei

Διαβάστε περισσότερα

Μπορώ να κάνω ανάληψη στην [χώρα] χωρίς να πληρώσω προμήθεια; Informează dacă există comisioane bancare la retragere numerar într-o anumită țară

Μπορώ να κάνω ανάληψη στην [χώρα] χωρίς να πληρώσω προμήθεια; Informează dacă există comisioane bancare la retragere numerar într-o anumită țară - General Μπορώ να κάνω ανάληψη στην [χώρα] χωρίς να πληρώσω προμήθεια; Μπορώ να κάνω ανάληψη στην [χώρα] χωρίς να πληρώσω προμήθεια; Informează dacă există comisioane bancare la retragere numerar într-o

Διαβάστε περισσότερα

II. 5. Probleme. 20 c 100 c = 10,52 % Câte grame sodă caustică se găsesc în 300 g soluţie de concentraţie 10%? Rezolvare m g.

II. 5. Probleme. 20 c 100 c = 10,52 % Câte grame sodă caustică se găsesc în 300 g soluţie de concentraţie 10%? Rezolvare m g. II. 5. Problee. Care ete concentraţia procentuală a unei oluţii obţinute prin izolvarea a: a) 0 g zahăr în 70 g apă; b) 0 g oă cautică în 70 g apă; c) 50 g are e bucătărie în 50 g apă; ) 5 g aci citric

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΡΑΜΜΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ

ΙΑΓΡΑΜΜΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΙΑΓΡΑΜΜΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ Πρόλογος... ιάγραμμα περιεχομένων... Πίνακας περιεχομένων... Συντομογραφίες... Βιβλιογραφία... ΙΧ ΧΙ XV LI LV ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1. Έννοια και σημασία του κληρονομικού δικαίου... 1 2. Ιστορική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΝΟΜΙΚΩΝ, ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΝΟΜΙΚΗΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΝΟΜΙΚΩΝ, ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΝΟΜΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΝΟΜΙΚΩΝ, ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΝΟΜΙΚΗΣ Μεταπτυχιακές σπουδές στον τομέα Αστικού, Αστικού Δικονομικού και Εργατικού Δικαίου ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului

Διαβάστε περισσότερα

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective: TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

DESPRE VIAŢA ÎN HRISTOS

DESPRE VIAŢA ÎN HRISTOS DESPRE VIAŢA ÎN HRISTOS CARTEA I VIAŢA IN HRISTOS SE DOBÂNDEŞTE PRIN SFINTELE TAINE Viaţa în Hristos începe şi se dezvoltă cât timp trăim pe pământ, însă desăvârşirea ei se atinge abia când vom fi ajuns

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie

Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie FITRE DE MIROUNDE Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie P R Puterea disponibila de la sursa Puterea livrata sarcinii P inc P Γ ( ) Γ I lo P R ( ) ( ) M ( ) ( ) M N P R M N ( ) ( ) Tipuri

Διαβάστε περισσότερα