Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
|
|
- Λυκάων Δουρέντης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval compact);. funcţia :[ ] este mărginită pe[ ]. Vom renunţa pe rând la cele două condiţii şi vom defini integralele iemann în sens generalizat sau integrale improprii. Se impun astfel două generalizări: prima când funcţia este definită pe interval nemărginit şi, cea de-a doua, când funcţia este nemărginităpe[ ]. Sensul geometric al noului concept de integrală este determinat de calculul ariilor unor mulţimi din plan mărginite de graficul unei funcţii, asimptote orizontale, asimptote verticale, drepte paralele cu şi axa. Acest nou concept de integrală sevanumiintegrală improprie sau integrală generalizată. 4.. Integrale cu ite de integrare infinite Fie :[ ) ofuncţie dată, integrabilă iemann pe orice interval compact [ ] cu. Definiţia 4. Numim integrala improprie de la la din funcţia ita () dacă această ită există. În cazul existenţei itei notăm (finită saunu). Z () = () (4.) Definiţia 4. Integrala improprie () se numeşte integrală improprie convergentă dacă ita (4.) există şi este finită. În acest caz notăm () () 47
2 48 CAPITOLUL 4. INTEGALE IMPOPII Definiţia 4.3 Integrala improprie () se numeşte integrală improprie divergentă dacă ita (4.) nu există sauesteinfinită. În acest caz notăm () () Analog se defineşte: Definiţia 4.4 Fie :( ] o funcţie dată, integrabilă iemann pe orice interval compact [ ] cu.numimintegrala improprie de la la din funcţia ita () dacă această ită există. În cazul existenţei itei notăm Z () = Z () () se numeşte integrală improprieconver- (finită sau nu). Definiţia 4.5 Integrala improprie gentă dacă ita Z () = Z () (4.) există şi este finită. În acest caz notăm () () Definiţia 4.6 Integrala improprie () se numeşte integrală improprie divergentă dacă ita(4.)nuexistă sau este infinită. În acest caz notăm () () Definiţia 4.7 Fie : ofuncţie dată, integrabilă iemann pe orice interval compact [ ] cu.numimintegrala improprie de la la din funcţia ita (finită sau nu). () dacă această ită există. () = În cazul existenţei itei notăm Z ()
3 Definiţia 4.8 Integrala improprie () se numeşte integrală improprieconvergentă dacă ita () = există şi este finită. În acest caz notăm 49 Z () (4.3) () () Definiţia 4.9 Integrala improprie () se numeşte integrală impropriedivergentă dacă ita (4.3) nu există sau este infinită. În acest caz notăm () () Vom considera cazul integralelor improprii de la la () celelalte tipuri analizânduse similar. Aceste integrale se numesc integrale improprii de speţa întâi. Modul de calcul: dacă putem determina o primitivă afuncţiei fie o primitivă a lui pe intervalul [ + ) Scriem Z () = () () ezultă că integrala este convergentă dacă şi numai dacă există şi este finită () Valoare integralei va fi () = () () Exerciţiul 4. Integrala este convergentă. ezolvare. Fie () = Oprimitivăaacesteiaeste () = Atunci ()+() () = = deci Graficul funcţiei () = este Z Z = + = =
4 5 CAPITOLUL 4. INTEGALE IMPOPII y x Pe orice interval [] funcţia este integrabilă, dar când aria cuprinsă între graficul funcţiei, axa, =şi este mărginită. Exerciţiul 4. Integrala este divergentă. ezolvare. Fie () =. O primitivă a acesteia este () = Atunci () () () = = deci Graficul funcţiei () = este Z = = Z = y x Pe orice interval [] funcţia este integrabilă, dar când aria cuprinsă între graficul funcţiei, axa, =şi devine nemărginită. Exerciţiul 4.3 Integrala este convergentă. + ezolvare. Graficul funcţiei () = + este
5 5 y Deci x Z Pe orice interval []funcţia este integrabilă, iar = + (arctg ) = 4 + = 4 Exerciţiul 4.4 Integrala Z + sin este divergentă, deoarece Z sin = cos şi nu există cos. + Exerciţiul 4.5 Fie ( ) şi Atunci integrala şi numai dacă este convergentă dacă ezolvare. Fie 6= Atunci Z = = µ = finit Dacă = atunci Z = (ln ln ) = Dacă atunci Z µ = =.
6 5 CAPITOLUL 4. INTEGALE IMPOPII Criterii de convergenţă pentru integrale improprii de speţa întâi din funcţii cu semn constant Presupunem căfuncţia păstrează semn constant pe [ ) Presupunem că () [ ) Observaţia 4. Dacă () [ ) atunci funcţia () = crescătoare [ ) Într-adevăr, dacă atunci () = () () + () = () () este monoton Deci pentru integrale improprii din funcţii pozitive convergenţa este echivalentăcumărginirea lor. Teorema 4. Criteriul de comparaţie. Fie () () [ ) a) Dacă () () atunci integrala () () b) Dacă () () atunci integrala () () Demonstraţie. a) Folsind inegalitatea () () [ ) şi faptul din că () () împreună cuobservaţia 4. rezultă că pentru orice avem () () b) Din inegalitatea () () şi folosind faptul că () () () este nemărginită în raportcu rezută că () este nemărginităîn raport cu deci () () Exerciţiul 4.6 Să sestudiezenaturaintegralei ezolvare. Observăm că [ ) Dar este convergentă (exerciţiul 4.), rezultă, conform criteriului comparaţiei că () Exerciţiul 4.7 Să se studieze convergenţa integralei + 4
7 ezolvare. Fie () = ezultă că + pentru orice [ ) 4 4 Z Dar = = ezultă căintegrala + 4 Observăm că pentru orice [ ) µ = 3 Z este convergentă şi în plus +4 4 = Exerciţiul 4.8 Să se studieze convergenţa integralei ezolvare. Deoarece Dar Z = = ³ = deci integrala este diver- gentă. La fel este şi [ ) Teorema 4. Criteriul în Fie funcţia :[ ) şi () oricare ar fi [ ) Fie () = cu (4.4) Dacă pentru valoarea lui este atunci () este convergentă. Dacă valoarea lui este 6= integrala () este divergentă. Demonstraţie. Dacă condiţia (4.4) este îndeplinită rezultăcă pentru : () ceea ce implică () + ezultă că pentru [ ) avem () + şi pentru rezultă că
8 54 CAPITOLUL 4. INTEGALE IMPOPII () ( + ) () este convergentă. Dacă şi 6= rezultă că () deci () ( ) () este divergentă. Nedeterminări:. şi =. şi = Exerciţiul 4.9 Să sestudiezenaturaintegralei este convergentă şi conform criteiului comparaţiei este divergentă şi conform criteiului comparaţiei 5 + ezolvare. Se poate aplica criteriul în () = 5 + = pentru = 5 deci integrala este convergentă. Exerciţiul 4. Să sestudiezenaturaintegralei ( +) ezolvare. Observăm că () =( +) [ ) Se poate aplica criteriul în () = ( +) = (+) = Deoarece ita este zero, observăm că, pentru (conform criteriului în punctul a)), integrala este convergentă. Nu poate fi luat deoarece ita este zero. arctg Exerciţiul 4. Să sestudiezenaturaintegralei ezolvare. Observăm că () = arctg arctg [ ) = (funcţia nu este nemărginităîn = ). Se poate aplica criteriul în () = arctg = arctg = pentru = deci integrala este divergentă. Definiţia 4. Integrala improprie () se numeşte absolut convergentă dacă () este convergentă. În acest caz notăm () ()
9 Teorema 4.3 Dacă () este absolut convergentă, atunci ea este convergentă. ( ) Afirmaţia rezultă din observaţia că () () trecând la ităşi folosind criteriul de comparaţie. Exerciţiul 4. Să sestudiezenaturaintegralei cos ezolvare. Funcţia () = cos are semn variabil pe [ ) Vom demonstra că integrala este absolut convergentă, deci convergentă. Pentru aceasta observăm că areloc majorarea () cos = cos [ ) Dar () conform criteriului comparaţiei pentru funcţii pozitive, rezultă că cos este convergentă, deci cos () Studiem convergenţa integralei improprii a produsului a două funcţii, 55 ()() în anumite condiţii particulare pentru şi ezultatele cele mai seminificative sunt date de criteriile lui Dirichlet şi Abel. Teorema 4.4 Criteriul lui Dirichlet. Dacă a) () este mărginităîn raport cu [ ) b) () =şi este monotonă pe[ ) atunci ()() este convergentă. Exerciţiul 4.3 Să se studieze convergenţa integralei integrala lui Dirichlet). sin ( sin se numeşte sin ezolvare. Integrala nu este improprie în deoarece Aplicăm criteriul lui Dirichlet. Fie () =sin () = Z () = Z sin = cos deci mărginită pentru orice = Este improprie în () = =() = este monoton descrescătoare pe ( ) Condiţiile criteriului lui Dirichlet sunt satisfăcute, deci integrala este convergentă.
10 56 CAPITOLUL 4. INTEGALE IMPOPII Teorema 4.5 Criteriul lui Abel. Dacă a) () este convergentă b) este monotonă şi mărginită pe[ ) atunci ()() este convergentă. Exerciţiul 4.4 Să se studieze convergenţa integralei ezolvare. = deci este convergentă. () = este monoton descrescătoare şi mărginită, [ ) Putem aplica criteriul lui Abel şi integrala este convergentă. 4.. Integrale improprii definite de funcţii nemărginite pe intervalul de integrare Putem da sens noţiunii de integralădefinităchiardacăfuncţia are ite infinite în puncte din intervalul [ ] Studiem cazul Deoarece putem scrie Z () = Z () Z Z () () cu () = putem considera că are ităinfinităînpunctul = adicădreapta = este asimptotă verticală lagraficul funcţiei Definiţia 4. Fie :[ ) ofuncţie cu () =± integrabilă pe[ ] pentru orice Numim integrală improprie de la la valoarea % ită există. În caz de existenţă se notează Z () = % Z () (finită saunu). Z () dacă această Definiţia 4. Fie :[ ) ofuncţie cu () =± integrabilă pe[ ] pentru orice Dacă % Z () există şi este finită, vom spune că integralaimproprie
11 57 Z () este convergentă şi vom nota Z () (C) Definiţia 4.3 Fie :[ ) ofuncţie cu () =± integrabilă pe[ ] pentru % orice Dacă % Z Z () este divergentă şi vom nota () este infinită sau nu există, vom spune că integrala improprie Z () (D) Analog dacă () = atunci vom nota % Z Z () = () % Aceste integrale se numesc integrale improprii de speţa a doua. Modul de calcul: dacăputemdeterminaoprimitivăafuncţiei atunci fie o primitivă alui pe intervalul [ ) Scriem convergentă dacă şi numai dacă există şi este finită Z () = % () () Z () = () () ezultă că integrala este () Valoare integralei va fi Exerciţiul 4.5 Să se studieze convergenţa integralei ezolvare. Graficul funcţiei () = y 6 4 ( ) Z ( ) - 3 x Funcţia () = este nemărginităîn = ( ) O primitivă a acesteia este () = Studiem convergenţa integralei.
12 58 CAPITOLUL 4. INTEGALE IMPOPII Calculăm µ Z ( ) = = + = deci integrala este divergentă. Exerciţiul 4.6 Să se studieze convergenţa integralei Z y ezolvare. Funcţia de sub integrală, () = x este nemărginită în = Studiem convergenţa integralei. O primitivă aacesteiaeste () =. Calculăm Z = = + = deci integrala este convergentă. Exerciţiul 4.7 Integrala Z ( ) este convergentă pentru şi divergentă pentru ezolvare. Fie () = ( ) Dacă funcţia este nemărginităîn punctul = Studiem convergenţa integralei. O primitivăaacesteiaeste () = ( ) + ( ) + Dar ( ) + = = ( ) + + ( ) + dacă 6= ½ pentru pentru Z ( ) =
13 Z Deci ( ) este convergentă pentru şi divergentă pentruîn acest ultim caz punctul se numeşte punct singular. Pentru = Z =ln( ) =ln( ) ln( ) şi ln( ) = deci integrala este divergentă. 59 Exerciţiul 4.8 Să se studieze convergenţa integralei 3 y ezolvare. Considerăm funcţia () = definită pe( ) 3 Graficul funcţiei este x Observăm că intervalul de integrare este nemărginit iar funcţia este nemărginită în = Scriem integrala sub forma: Z 3 = Z este o integralăimpropriedespeţa a doua, iar 3 = + µ + + = Această integralăestediver- de speţa întâi. Z = 3 gentă. Z = 3 este o integralăimproprie 3 = + Z µ = 3 + = Această integrală
14 6 CAPITOLUL 4. INTEGALE IMPOPII este convergentă. Integrala este divergentă. 3 Exerciţiul 4.9 Să se studieze convergenţa integralei Z p Z & ezolvare. Z p = Z p + Z p = Z + = % + & = ³ + Z == % Z + Integrala este convergentă. Adesea este important de ştiut dacă o integrală improprie este convergentă, chiar dacă nu putem calcula valoarea sa exactă. De exemplu, înainte de a aproxima numeric o astfel de integrală trebuie stabilit dacă ea este sau nu convergentă. Criterii de convergenţă pentru integrale improprii de speţa a doua din funcţii cu semn constant pe intervalul considerat Teorema 4.6 Criteriul de comparaţie. Fie funcţiile :[ ) integrabile pe [ ] pentru orice şi () () oricare ar fi [ ) a) Dacă Z () () atunci integrala Z () () b) Dacă Z Z () () atunci integrala () () Teorema 4.7 Criteriul în pentru integrala improprie în Fie funcţia :[ ) şi () oricare ar fi [ ) cu % () = Dacă % ( ) () = (4.5) atunci a) Dacă atunci b) Dacă şi 6= integrala Z Z () este convergentă. () este divergentă.
15 Demonstraţie. a) Dacă condiţia (4.5) este îndeplinită existăunumăr astfelîncât pentru orice [ ) săavem ( ) () + ( ) Dacă avem Z () Z + ( ) = + ( ) Z () () b) Dacă şi 6= atunci avem () ( ) deci Z Z () ( ) = Z ( ) = ()() Teorema 4.8 Criteriul în pentru integrala improprie în Fie funcţia :( ] şi () oricare ar fi ( ] cu () = Dacă atunci a) Dacă atunci + + ( ) () = (4.6) Z () este convergentă. 6 b) Dacă şi 6= integrala Z () este divergentă. Exerciţiul 4. Să se studieze convergenţa integralei 4 ezolvare. Funcţia () = este nemărginităînvecinătatea lui =Observăm 4 că () [ ) Aplicăm criteriul în ( ) = 4 = deci integrala este convergentă. ( ) ( ) Exerciţiul 4. Să se studieze convergenţa integralei ( + ) + = pentru ctg ezolvare. Funcţia () =ctg este nemărginită în vecinătatea lui = Observăm că () Aplicăm criteriul în cos + sin = pentru = rezultă că integrala este divergentă.
16 6 CAPITOLUL 4. INTEGALE IMPOPII Exerciţiul 4. Să se arate că funcţia Γ Γ() = este convergentă pentru şi divergentă pentru ezolvare. Putem scrie Γ() = Z + Considerăm integrala Z Pentru integrala care este o integralăimpropriedespeţaadouapentru Z este o integrală definită. În cazul aplicăm criteriul 4.7 şi obţinem este finită dacă + Pentru convergenţă trebuie ca Integrala integrală improprie de speţa întâi. Obdervăm că () = [ ) () = = Proprietăţi ale funcţiei Γ. Γ () =. Γ ( +)=Γ () 3. Γ ( +)=! N = pentru orice Exerciţiul 4.3 Să searatecăfuncţia ( ) = Z ( ) este convergentă pentru şi divergentă pentru ezolvare. Pentru > > funcţia de sub integrală :[] () = ( ) este mărginită şi continuă pe[], deci ( ) este o integrală iemann. Pentru şi > funcţia ( ) :(] () = este nemărginităîn = deoarece () = ( ) =+ Deci ( ) este,în acest caz, o integrală impropriedespeţa a doua. Aplicăm criteriul în
17 63 ( ( ) ) pentru = = integrala ( ) esteconvergentă. Pentru > şi funcţia de sub integrală :[) () = este nemărginităîn = deoarece ( ) () = =+ ( ) Deci ( ) este,în acest caz, o integrală improprie de speţa a doua. Aplicăm criteriul în ( ) pentru = ( ) = integrala ( ) esteconvergentă. Pentru şi funcţia de sub integrală :() () =,estenemărginită şi în =şi în = ( ) Definiţia 4.4 Integrala improprie () se numeşte absolut convergentă dacă este convergentă. Teorema 4.9 Dacă () este absolut convergentă, atunci ea este convergentă. Teorema 4. Criteriul lui Dirichlet. Dacă () este mărginităîn raport cu [ ) a) b) () =şi este monotonă pe[ ) % atunci ()() este convergentă. Teorema 4. Criteriul lui Abel. Dacă a) () este convergentă atunci b) este monotonă şi mărginită pe[ ) ()() este convergentă. Exerciţiul 4.4 Să se studieze convergenţa integralei Z ln + ezolvare. Aplicăm criteriul lui Abel. Considerăm () =ln Z ln = Z () () ln = Z ln ln = deoarece ln = =
18 64 CAPITOLUL 4. INTEGALE IMPOPII () = + monoton descrescătoare, rezultă că integrala improprie este convergentă.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραCURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.
Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier
Capitolul Serii Fourier 7-8. Dezvoltarea în serie Fourier a unei funcţii periodice de perioadă Pornind de la discuţia asupra coardei vibrante începută în anii 75 între Euler şi d Alembert, se ajunge la
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραSeminariile 1 2 Capitolul I. Integrale improprii
Cpitolul I: Integrle improprii Lect. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Mtemtică Clcul integrl şi Aplicţii, Semestrul I Lector dr. Lucin MATICIUC Seminriile Cpitolul I. Integrle improprii. Să se studieze ntur
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este
o ( ) o ( ) sin π ( sec ) = = ; R 2 + kπ k Z cos cos 2 cos ( cosec ) = = ; R 2 { kπ k Z} sin sin ( arcsec ) = ; (, ) (, ) 2 ( arcosec ) = ; (, ) (, ) 2 Funcţii dierenţiabile. Fie D R o mulţime deschisă
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραf(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2. Integrala stochastică
Capitolul 2 Integrala stochastică 5 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 51 2.1 Introducere În acest capitol vom prezenta construcţia integralei stochastice Itô H sdm s, unde M s este o martingală locală
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 7 8 Capitolul IX. Integrale curbilinii. Să se calculee Im ) d, unde este segmentul
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραIntegrale cu parametru
1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότερα8 Intervale de încredere
8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată
Διαβάστε περισσότερα1 Şiruri şi serii numerice Proprietăţi ale şirurilorconvergente... 10
Cuprins 1 Şiruri şi serii numerice 9 1.1 Şiruri numerice în R şi C.... 9 1.2 Proprietăţi ale şirurilorconvergente.... 10 1.3 Şiruri numerice în R 2 şi R 3.... 15 1.4 Serii numerice în R şi C.... 17 1.5
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 7 DERIVATE. DIFERENŢIALE
Capitolul 7 DERIVATE. DIFERENŢIALE Noţiunea de derivată, elementul fundamental al calculului diferenţial, are o deosebită importanţă în studiul matematic al mărimilor variabile. Problemele principale care
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότεραAnaliza matematică, clasa a XI-a probleme rezolvate Rolul derivatei întâi
Anliz mtemtică, cls XI- proleme rezolvte Rolul derivtei întâi Virgil-Mihil Zhri DefiniŃie: Punctele critice le unei funcńii derivile sunt rădăcinile (zerourile) derivtei întâi DefiniŃie: Fie f:i R, cu
Διαβάστε περισσότεραIntegrale generalizate (improprii)
Integrle generlizte (improprii) Fie f : [, ] R, definită prin =, α > 0. Pentru u, funţi α f este integrilă pe intervlul [, u] şi u ln α+ α+ u u = ( α)u α α, α = ln u, α =. Dă treem l limită pentru u oţinem
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραJ F (ρ, ϕ, θ) = cos ϕ ρ sin ϕ 0. Teoremă (a diferenţiabilităţii compuse) (legea lanţului) Fie F : D deschis
3) Coordonate sferice Fie funcţia vectorială F : R + [ π, π] [0, π) R 3, F (ρ, ϕ, θ) = (ρ sin ϕ cos θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos ϕ). Observăm că F exprimă legătura dintre coordonatele carteziene şi coordonatele
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότερα1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45
Analizǎ matematicǎ Chiş Codruţa 2 Cuprins 1 Serii numerice 5 1.1 Definiţii. Exemple....................... 5 1.2 Criterii de convergenţǎ pentru serii cu termeni pozitivi... 8 1.3 Criterii de convergenţǎ
Διαβάστε περισσότεραLucian Maticiuc SEMINAR Conf. dr. Lucian Maticiuc. Capitolul VI. Integrala triplă. Teoria:
Capitolul I: Integrala triplă Conf. dr. Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Analiza Matematică II, Semestrul II Conf. dr. Lucian MATICIUC Teoria: SEMINAR 3 Capitolul I. Integrala
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραANALIZĂ MATEMATICĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI. pentru studenţi
ANALIZĂ MATEMATICĂ, ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ pentru studenţi în învăţământul superior tehnic Ciprian Deliu 2014 If it sits down, I teach it; if it stands up, I will continue
Διαβάστε περισσότεραFuncţii Ciudate. Beniamin Bogoşel
Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότεραSiruri de numere reale
Siruri de numere reale efinitie. Un sir de elemente dintr-o multime M este o functie x : N M (sau x : N k M unde N k = {k, k +,...}). Un sir x : N M il vom nota cu (x n ) n N sau (x n ) n unde x n = x(n)
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραOvidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,
vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se
Διαβάστε περισσότεραTeorema lui Peano de existenţă
Universitatea Alexandru Ioan Cuza Lucrare de licenţă Teorema lui Peano de existenţă locală Student: Cosmin Burtea Coordonator ştiinţific: Prof. Ioan I.Vrabie 2 Prefaţă Lucrarea de faţă tratează problema
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere
Capitolul 9 Geometrie analitică 9.1 Repere Vom considera spaţiile liniare (X, +,, R)în careelementelespaţiului X sunt vectorii de pe odreaptă, V 1, dintr-un plan, V sau din spaţiu, V 3 (adică X V 1 sau
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 6 INTEGRALA TRIPLĂ
Capitolul 6 INTEGRALA TRIPLĂ Pentru introducerea noţiunii de integrală triplă a unei funcţii definite pe un domeniu de integrare din R 3, vom revizui construcţia utilizată pentru definiţia integralei duble,
Διαβάστε περισσότεραNOŢIUNI INTRODUCTIVE
1 NOŢIUNI INTRODUCTIVE 1.1. Spaţiul vectorial R n Mulţimea R n reprezintă mulţimea tuturor n-uplelor (x 1,..., x n ) cu x 1,..., x n numere reale, adică R n = {(x 1,..., x n ) : x 1,..., x n R}. Un n-uplu
Διαβάστε περισσότεραCriterii de comutativitate a grupurilor
Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii
Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1
Διαβάστε περισσότεραCum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme
Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale
3 ELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR 31 Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale Prin interpolare se înţelege următoarea problemă: se dau n + 1 puncte P 0, P 1,, P n în plan sau în spaţiu
Διαβάστε περισσότεραCURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică
Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC CURS III, IV Capitolul
Διαβάστε περισσότερα3 FUNCTII CONTINUE Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale Spaţiul euclidian R p. Pentru p N *, p 2 fixat, se defineşte R
3 FUNCTII CONTINUE 3.. Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale. 3... Saţiul euclidian R Pentru N *, fixat, se defineşte R = R R R = {(x, x,, x : x, x,, x R} de ori De exemlu, R = {(x, y: x, yr} R 3
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 4 FUNCŢIONALE LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE
CAPITOLUL FUNCŢIONALE LINIAE BILINIAE ŞI PĂTATICE FUNCŢIONALE LINIAE BEIA TEOETIC Deiniţia Fie K X un spaţiu vecorial de dimensiune iniă O aplicaţie : X K se numeşe uncţională liniară dacă: ese adiivă
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότεραLecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu
Lecţii de Analiză Matematică Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu 2 Cuprins Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii 7. Şiruri numerice. Noţiuni şi rezultate generale......... 7.2 Şiruri fundamentale.
Διαβάστε περισσότεραTransformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică
Daniel BREAZ Nicolae SUCIU Păstorel GAŞPAR Nicoleta BREAZ Monica PÎRVAN Valeriu PREPELIŢĂ Gheorghe BARBU Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică Volumul 1 Funcţii complexe cu
Διαβάστε περισσότερα1Reziduuri şi aplicaţii
Reziduuri şi aplicaţii În acest curs vom prezenta noţiunea de reziduu, modul de calcul al reziduurilor, teorema reziduurilor şi câteva aplicaţii ale teoremei reziduurilor, în special la calculul unor tipuri
Διαβάστε περισσότερα1.7 Mişcarea Browniană
CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE TEORIA PROCESELOR STOCHASTICE 43 1.7 Mişcarea Browniană Mişcarea Browniană a fost pentru prima dată observată de către botanistul scoţian Robert Brown în 1828, când a observat
Διαβάστε περισσότερα7 Distribuţia normală
7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare
Διαβάστε περισσότερα3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
Διαβάστε περισσότεραFişier template preliminar
logo.png Contract POSDRU/86/1.2/S/62485 Fişier template preliminar Universitatea Tehnica din Iaşi (front-hyperlinks-colors * 29 iulie 212) UTC.png UTI.png Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi
Διαβάστε περισσότεραMatrice. Determinanti. Sisteme liniare
Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice
Διαβάστε περισσότερα