Στατιστική ΙΙ-Διαστήματα Εμπιστοσύνης Ι (εκδ. 1.1)

Transcript

1 Στατιστική ΙΙ- Ι (εκδ. 1.1) Γεώργιος Κ. Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης 17 Ιουλίου 2013

2 Περιγραφή 1 Δ.Ε.γιατονμέσο µ Δ.Ε. για την αναλογία

3 Τί είναι τα ; Τα (Δ.Ε.) εκφράζουν το διάστημα τιμών για ένα στατιστικό μέτρο ή μια παράμετρο ενός τυχαίου γεγονότος στον πληθυσμό μεπιθανότητα 1 α. 1 Στατιστικόμέτρο:παρ. µ(μέσος), σ 2 (διακύμανση), p(αναλογία). 2 ΤοΔ.Ε.ορίζεταιμεπιθανότητα 1 α. 3 Το α εκφράζει το επίπεδο σημαντικότητας(ή το σφάλμα εκτίμησης). Γιατίοχιμεπιθανότηταίσημε 1; 1 Ηπιθανότητα 1 αεκφράζειτηναβεβαιότηταγιατοστατιστικ ομέτρο στον πληθυσμό παρ. µ πληθυσμιακό μέσο. 2 Πλήρης βεβαιότητα μόνο για τα στατιστικά μέτρα στο δείγμα(δεδομένου του δείγματος), παρ. x δειγματικός μέσος για δείγμα n. 3 Αυξάνοντας το α, μειώνουμε την πιθανότητα. Ετσι θα περιορίζεται το εύρος του Δ.Ε. αυξάνοντας την ακρίβεια της εκτίμησης μας.

4 Τί είναι τα ; Τα (Δ.Ε.) εκφράζουν το διάστημα τιμών για ένα στατιστικό μέτρο ή μια παράμετρο ενός τυχαίου γεγονότος στον πληθυσμό μεπιθανότητα 1 α. 1 Στατιστικόμέτρο:παρ. µ(μέσος), σ 2 (διακύμανση), p(αναλογία). 2 ΤοΔ.Ε.ορίζεταιμεπιθανότητα 1 α. 3 Το α εκφράζει το επίπεδο σημαντικότητας(ή το σφάλμα εκτίμησης). Γιατίοχιμεπιθανότηταίσημε 1; 1 Ηπιθανότητα 1 αεκφράζειτηναβεβαιότηταγιατοστατιστικ ομέτρο στον πληθυσμό παρ. µ πληθυσμιακό μέσο. 2 Πλήρης βεβαιότητα μόνο για τα στατιστικά μέτρα στο δείγμα(δεδομένου του δείγματος), παρ. x δειγματικός μέσος για δείγμα n. 3 Αυξάνοντας το α, μειώνουμε την πιθανότητα. Ετσι θα περιορίζεται το εύρος του Δ.Ε. αυξάνοντας την ακρίβεια της εκτίμησης μας.

5 Τί είναι τα ; Τα (Δ.Ε.) εκφράζουν το διάστημα τιμών για ένα στατιστικό μέτρο ή μια παράμετρο ενός τυχαίου γεγονότος στον πληθυσμό μεπιθανότητα 1 α. 1 Στατιστικόμέτρο:παρ. µ(μέσος), σ 2 (διακύμανση), p(αναλογία). 2 ΤοΔ.Ε.ορίζεταιμεπιθανότητα 1 α. 3 Το α εκφράζει το επίπεδο σημαντικότητας(ή το σφάλμα εκτίμησης). Γιατίοχιμεπιθανότηταίσημε 1; 1 Ηπιθανότητα 1 αεκφράζειτηναβεβαιότηταγιατοστατιστικ ομέτρο στον πληθυσμό παρ. µ πληθυσμιακό μέσο. 2 Πλήρης βεβαιότητα μόνο για τα στατιστικά μέτρα στο δείγμα(δεδομένου του δείγματος), παρ. x δειγματικός μέσος για δείγμα n. 3 Αυξάνοντας το α, μειώνουμε την πιθανότητα. Ετσι θα περιορίζεται το εύρος του Δ.Ε. αυξάνοντας την ακρίβεια της εκτίμησης μας.

6 Τί είναι τα ; Τα (Δ.Ε.) εκφράζουν το διάστημα τιμών για ένα στατιστικό μέτρο ή μια παράμετρο ενός τυχαίου γεγονότος στον πληθυσμό μεπιθανότητα 1 α. 1 Στατιστικόμέτρο:παρ. µ(μέσος), σ 2 (διακύμανση), p(αναλογία). 2 ΤοΔ.Ε.ορίζεταιμεπιθανότητα 1 α. 3 Το α εκφράζει το επίπεδο σημαντικότητας(ή το σφάλμα εκτίμησης). Γιατίοχιμεπιθανότηταίσημε 1; 1 Ηπιθανότητα 1 αεκφράζειτηναβεβαιότηταγιατοστατιστικ ομέτρο στον πληθυσμό παρ. µ πληθυσμιακό μέσο. 2 Πλήρης βεβαιότητα μόνο για τα στατιστικά μέτρα στο δείγμα(δεδομένου του δείγματος), παρ. x δειγματικός μέσος για δείγμα n. 3 Αυξάνοντας το α, μειώνουμε την πιθανότητα. Ετσι θα περιορίζεται το εύρος του Δ.Ε. αυξάνοντας την ακρίβεια της εκτίμησης μας.

7 Δ.Ε. μέσω παραδειγμάτων: 1 Παράδειγμα Α: Ενα χρεόγραφο έχει μια μέση απόδοση για ένα χρονικό διάστημα. Ενας επενδυτής προκειμένου να επενδύσει σε αυτό θέλει να γνωρίζει με μια πιθανότητα το ελάχιστο αλλά και μέγιστο της δεδομένης απόδοσης με στόχο να αποφύγει ενδεχόμενο μεγάλο ρίσκο μιας τέτοιας επένδυσης. 2 Παράδειγμα Β: Το ποσοστό των παραγόμενων ελαττωματικών προιόντων είναι γνωστό σε μια βιομηχανική επιχείρηση. Ποιό θα ήταν το ανώτερο και κατώτερο όριο των ελαττωματικών προιόντων που είναι δυνατόν να παραχθούν στο μέλλον. 3 Παράδειγμα Γ: Μια επιχείρηση διαθέτει προιόντα σε δύο(2) αγορές. Κάθε αγορά έχει διαφορετική κατανάλωση προιόντος. Ποιά θα μπορούσαν να είναι τα όρια την διαφοράς στην κατανάλωση των δύο αυτών αγορών πέραν των οποίων μια διαφορά στην κατανάλωση θα μπορούσε να χαρακτηριστεί περαν των επιτρεπτών ορίων από τον διευθυντή πωλήσεων;

8 Δ.Ε. μέσω παραδειγμάτων: 1 Παράδειγμα Α: Ενα χρεόγραφο έχει μια μέση απόδοση για ένα χρονικό διάστημα. Ενας επενδυτής προκειμένου να επενδύσει σε αυτό θέλει να γνωρίζει με μια πιθανότητα το ελάχιστο αλλά και μέγιστο της δεδομένης απόδοσης με στόχο να αποφύγει ενδεχόμενο μεγάλο ρίσκο μιας τέτοιας επένδυσης. 2 Παράδειγμα Β: Το ποσοστό των παραγόμενων ελαττωματικών προιόντων είναι γνωστό σε μια βιομηχανική επιχείρηση. Ποιό θα ήταν το ανώτερο και κατώτερο όριο των ελαττωματικών προιόντων που είναι δυνατόν να παραχθούν στο μέλλον. 3 Παράδειγμα Γ: Μια επιχείρηση διαθέτει προιόντα σε δύο(2) αγορές. Κάθε αγορά έχει διαφορετική κατανάλωση προιόντος. Ποιά θα μπορούσαν να είναι τα όρια την διαφοράς στην κατανάλωση των δύο αυτών αγορών πέραν των οποίων μια διαφορά στην κατανάλωση θα μπορούσε να χαρακτηριστεί περαν των επιτρεπτών ορίων από τον διευθυντή πωλήσεων;

9 Δ.Ε. μέσω παραδειγμάτων: 1 Παράδειγμα Α: Ενα χρεόγραφο έχει μια μέση απόδοση για ένα χρονικό διάστημα. Ενας επενδυτής προκειμένου να επενδύσει σε αυτό θέλει να γνωρίζει με μια πιθανότητα το ελάχιστο αλλά και μέγιστο της δεδομένης απόδοσης με στόχο να αποφύγει ενδεχόμενο μεγάλο ρίσκο μιας τέτοιας επένδυσης. 2 Παράδειγμα Β: Το ποσοστό των παραγόμενων ελαττωματικών προιόντων είναι γνωστό σε μια βιομηχανική επιχείρηση. Ποιό θα ήταν το ανώτερο και κατώτερο όριο των ελαττωματικών προιόντων που είναι δυνατόν να παραχθούν στο μέλλον. 3 Παράδειγμα Γ: Μια επιχείρηση διαθέτει προιόντα σε δύο(2) αγορές. Κάθε αγορά έχει διαφορετική κατανάλωση προιόντος. Ποιά θα μπορούσαν να είναι τα όρια την διαφοράς στην κατανάλωση των δύο αυτών αγορών πέραν των οποίων μια διαφορά στην κατανάλωση θα μπορούσε να χαρακτηριστεί περαν των επιτρεπτών ορίων από τον διευθυντή πωλήσεων;

10 Δ.Ε. μέσω παραδειγμάτων: 1 Παράδειγμα Α: Ενα χρεόγραφο έχει μια μέση απόδοση για ένα χρονικό διάστημα. Ενας επενδυτής προκειμένου να επενδύσει σε αυτό θέλει να γνωρίζει με μια πιθανότητα το ελάχιστο αλλά και μέγιστο της δεδομένης απόδοσης με στόχο να αποφύγει ενδεχόμενο μεγάλο ρίσκο μιας τέτοιας επένδυσης. 2 Παράδειγμα Β: Το ποσοστό των παραγόμενων ελαττωματικών προιόντων είναι γνωστό σε μια βιομηχανική επιχείρηση. Ποιό θα ήταν το ανώτερο και κατώτερο όριο των ελαττωματικών προιόντων που είναι δυνατόν να παραχθούν στο μέλλον. 3 Παράδειγμα Γ: Μια επιχείρηση διαθέτει προιόντα σε δύο(2) αγορές. Κάθε αγορά έχει διαφορετική κατανάλωση προιόντος. Ποιά θα μπορούσαν να είναι τα όρια την διαφοράς στην κατανάλωση των δύο αυτών αγορών πέραν των οποίων μια διαφορά στην κατανάλωση θα μπορούσε να χαρακτηριστεί περαν των επιτρεπτών ορίων από τον διευθυντή πωλήσεων;

11 διότι Z 1 α/2 = Z α/2. βεαμερ-τυ-λογ Δ.Ε.γιατονμέσο µ Δ.Ε. για τον πληθυσμιακό μέσο µ Εστωγιατ.μς X 1,...,X nπροερχόμενεςαπόπληθυσμόμεμέσητιμή µκαι διακύμανση σ 2 τότεγια n 30θαισχύει: x µ σ/ N(0, 1). n Ετσι, δεδομένου ποσοστού σφάλματος α θα ισχύει: P(Z α/2 x µ σ/ n Z 1 α/2), όπου P(Z Z α/2 ) = Φ(Z α/2 ) = α/2,και P(Z Z 1 α/2 ) = 1 α/2. Ετσι, P(Z α/2 x µ σ/ n Z 1 α/2) = 1 α P( x + Z α/2 σ/ n µ x + Z 1 α/2 σ/ n) = 1 α P( x Z 1 α/2 σ/ n µ x Z α/2 σ/ n) = 1 α P( x Z 1 α/2 σ/ n µ x + Z 1 α/2 σ/ n) = 1 α,

12 Δ.Ε.γιατονμέσο µ Δ.Ε. για τον πληθυσμιακό μέσο µ(συν.) 1 σ-γνωστή 1 n 30ήΚανονικάκαταναμημένα X, x ± Z 1 α/2 σ n 2 n < 30καιμη-Κανονικάκαταναμημένα X, x ± t 1 α/2,n 1 σ n 2 σ-άγνωστη και n < 30: χρησιμοποίησε τη δειγματική τυπική απόκλιση S = i=1 n (X i X) 2 n 1 x ± t 1 α/2,n 1 S n όπου t 1 α/2,n 1 t-studentκατανομήμε n 1βαθμούςελευθερίας.

13 Δ.Ε.γιατονμέσο µ Δ.Ε. για τον πληθυσμιακό μέσο µ(συν.) 1 σ-γνωστή 1 n 30ήΚανονικάκαταναμημένα X, x ± Z 1 α/2 σ n 2 n < 30καιμη-Κανονικάκαταναμημένα X, x ± t 1 α/2,n 1 σ n 2 σ-άγνωστη και n < 30: χρησιμοποίησε τη δειγματική τυπική απόκλιση S = i=1 n (X i X) 2 n 1 x ± t 1 α/2,n 1 S n όπου t 1 α/2,n 1 t-studentκατανομήμε n 1βαθμούςελευθερίας.

14 Δ.Ε.γιατονμέσο µ Δ.Ε. για τον πληθυσμιακό μέσο µ(συν.) 1 σ-γνωστή 1 n 30ήΚανονικάκαταναμημένα X, x ± Z 1 α/2 σ n 2 n < 30καιμη-Κανονικάκαταναμημένα X, x ± t 1 α/2,n 1 σ n 2 σ-άγνωστη και n < 30: χρησιμοποίησε τη δειγματική τυπική απόκλιση S = i=1 n (X i X) 2 n 1 x ± t 1 α/2,n 1 S n όπου t 1 α/2,n 1 t-studentκατανομήμε n 1βαθμούςελευθερίας.

15 Δ.Ε.γιατονμέσο µ Παράδειγμα: Δ.Ε. για τον πληθυσμιακό μέσο µ Εστω δείγμα με τιμές: {12, 1 12, 3 11, 8 11, 9 12, 8 12, 4} αυτές προέρχονται από Κανονικό πληθυσμό με τυπική απόκλιση ίση με 12. Να προσδιορίσετε το 95% διάστημα εμπιστοσύνη για τον πληθυσμιακό μέσο. Λύση Προσδιορίζουμε τον δειγματικό μέσο, x = 12, 1+12, 3+11, 8+11, 9+12, 8+12, 4 6 = Επίσης, δεδομένης της επιθυμίας για ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνη, υποθέτουμε ποσοστό σφάλματος ίσο με 5%. Ακόμα, έχουμε τυπική απόκλιση ίσημε σ = 12.Ενώμέσωτουπίκαναπουακολουθείηκριτικήτιμή Z = 1, 96. Ετσι, 12, 21 1, µ 12, 21+1, µ βεαμερ-τυ-λογ

16 Δ.Ε.γιατονμέσο µ

17 Δ.Ε. για την αναλογία για την αναλογία Εστωτ.μ. Xδυαδικούαποτελέσματος X {0, 1},τότεγιαδείγματο X 1,...,X nενδιαφερόμαστεναπροσδιορίσουμετηναναλογία n i=1 X i. n Υποθέτονταςότιτοδείγμα X 1,...,X nαπόκοινούκατανέμεταισύμφωναμετη Διωνυμική κατανομή, τότε για n 30 και χρησιμοποιώντας τη συνθήκη Cramer-Rao θα ισχύει ότι: ˆp p ˆp(1 ˆp) n N(0, 1), όπου n i=1 ˆp = X i. n Ετσι, δεδομένου ποσοστού σφάλματος α, το Δ.Ε. για την αναλογία στον πληθυσμο θα είναι της μορφής: ˆp(1 ˆp) ˆp(1 ˆp) P(ˆp Z 1 α/2 p ˆp + Z 1 α/2 ) = 1 α. n n βεαμερ-τυ-λογ