ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

Transcript

1 ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι β α f t dt G β G α ΜΟΝΑΔΕΣ Β. Να δώσετε τον ορισμό του ολικού ελαχίστου μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το Α. Γ. Να χαρακτηρίσετε με την ένδειξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω α. Αν προτάσεις: lim f() = -, τότε η ευθεία = λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f. β. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [,], τότε το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα f(),f() γ. Για δύο συναρτήσεις f, g συνεχείς στο διάστημα [α,β] ισχύει πάντα β β α f() - g() d = f()d g()d α α β δ. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο με συνεχή παράγωγο και για κάθε, με ισχύει αύξουσα. ε. Για οποιονδήποτε z * ισχύει -z = -z ΘΕΜΑ ο f d, τότε η f είναι γνησίως ΜΟΝΑΔΕΣ Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z για τον οποίο ισχύει z z i α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z ΜΟΝΑΔΕΣ 7 β. Να βρείτε το σημείο του γεωμετρικού τόπου με τη μέγιστη απόσταση από το κοινό σημείο του άξονα yy και του γεωμετρικού τόπου. ΜΟΝΑΔΕΣ 7

2 Β. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z για τον οποίο ισχύει z - i z 4 α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z β. Να βρείτε το μιγαδικό αριθμό με το ελάχιστο μέτρο. ΜΟΝΑΔΕΣ 6 ΘΕΜΑ 3 ο Οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο R και για κάθε π R ισχύουν: f 3 4 e f g και g t dt g 4ημ 5ημ συν d Αν g για κάθε R και f, τότε: α. Να βρείτε τον τύπο της g ΜΟΝΑΔΕΣ 6 β. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. ΜΟΝΑΔΕΣ 6 γ. Να αποδείξετε ότι f για κάθε ΜΟΝΑΔΕΣ 6 δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ 4,5 τέτοιο ώστε να είναι: 3 4 f d f ξ f ΜΟΝΑΔΕΣ 7 Θέμα 4 ο Η συνάρτηση f είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη στο διάστημα,, με f για κάθε και ισχύει: f 3 t f t dt, α. Να βρείτε τον τύπο της f και κατόπιν να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και την κυρτότητα. ΜΟΝΑΔΕΣ 8 β. Να αποδείξετε ότι e d e ΜΟΝΑΔΕΣ 8 γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g με τύπο: t έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα υπάρχουν ξ,ξ g e dt e, R, τέτοια ώστε να ισχύει:, και κατόπιν να αποδείξετε ότι ξg ξ ξ g ξ e ΜΟΝΑΔΕΣ 9

3 ΘΕΜΑ ο ο δείγμα Α. Έστω μία συνάρτηση f, παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα α,β, με εξαίρεση ίσως ένα σημείο, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f στο α, και f στο,β, τότε το f είναι τοπικό μέγιστο της f. Β. Να δώσετε τον ορισμό της ισότητας δύο συναρτήσεων f και g ΜΟΝΑΔΕΣ Γ. Να χαρακτηρίσετε με την ένδειξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω α. Αν προτάσεις: lim f() = +, τότε η ευθεία με εξίσωση = λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f. β. Αν ισχύει 3 f f για κάθε τότε η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο γ. Ισχύει η ισοδυναμία lim f() lim f() δ. Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του δεν έχουν ασύμπτωτες. ε. Για οποιονδήποτε z * ισχύει -z + -z ΜΟΝΑΔΕΣ ΘΕΜΑ ο Α. Έστω ο μιγαδικός αριθμός z C για τον οποίο ισχύει 3 i z iz 7 z α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z ΜΟΝΑΔΕΣ 7 β. Να υπολογίσετε τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή του μέτρου z ΜΟΝΑΔΕΣ 8 z Β. Aν για τους μιγαδικούς αριθμούς z,z ισχύει iz z iz I τότε να αποδείξετε ότι z z ΜΟΝΑΔΕΣ 3

4 ΘΕΜΑ 3 ο Α. Θεωρούμε τις συναρτήσεις f,g: τέτοιες, ώστε g() f() για κάθε. Να βρείτε: 3 + f() lim = 5 και α. την ασύμπτωτη της C f στο ΜΟΝΑΔΕΣ 6 β. την ασύμπτωτη της C g στο ΜΟΝΑΔΕΣ 6 γ. το όριο 3 g() 6 L lim ΜΟΝΑΔΕΣ 7 f() g() Β. Έστω η συνάρτηση f με τύπο f() α α, α,. Να βρείτε για ποια τιμή του α το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα και τις ευθείες = και = είναι ελάχιστο. ΜΟΝΑΔΕΣ 6 ΘΕΜΑ 4 ο Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R, με συνεχή δεύτερη παράγωγο και υπάρχουν α,β R με α β τέτοια ώστε να είναι f α f β. Επιπλέον ορίζουμε τη συνάρτηση g με τύπο: g f α β αβ, R α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον α,β στο οποίο η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης C g της g είναι παράλληλη στον άξονα β. Να υπολογίσετε το όριο lim α α α f t dt e f β α f α ΜΟΝΑΔΕΣ 6 α ημ α ΜΟΝΑΔΕΣ 6 γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ R τέτοιο ώστε να ισχύει f ξ f ξ ΜΟΝΑΔΕΣ 7 δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον α,β τέτοιο ώστε να ισχύει: α f d β α f f β ΜΟΝΑΔΕΣ 6 4

5 3 ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Αν οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο τότε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: f g f g ΜΟΝΑΔΕΣ Β. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Rolle και να δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος. Γ. Να χαρακτηρίσετε με την ένδειξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω α. Αν προτάσεις: lim f() =, τότε η ευθεία y = λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + β. Αν ισχύει f g για κάθε, τότε η συνάρτηση g f είναι γνησίως φθίνουσα στο γ. Η συνάρτηση f με τύπο f ln, έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη. δ. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς z,z ισχύει z z τότε σε κάθε περίπτωση ισχύει και z z ε. Για οποιονδήποτε z * ισχύει z z ΜΟΝΑΔΕΣ ΘΕΜΑ ο Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z για τον οποίο ισχύει z 3i z 9 α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z ΜΟΝΑΔΕΣ 6 β. Να βρείτε τον μιγαδικό αριθμό z με το μικρότερο μέτρο ΜΟΝΑΔΕΣ 7 Β. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z για τον οποίο ισχύει z 3 z α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z z z β. Αν ισχύει z z 3 τότε να αποδείξετε ότι z z 3 ΜΟΝΑΔΕΣ 7 5

6 ΘΕΜΑ 3 ο Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και για κάθε ισχύει: f e e α) Να βρείτε τον τύπο της f β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I e f d γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα, την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. δ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης C f της f ε) Αν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C f, τους άξονες και την ευθεία e, τότε να αποδείξετε ότι E e e ΘΕΜΑ 4 ο Α. Η συνάρτηση f είναι ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο με f 3e f 3. Αν ισχύουν lim 3 και f για κάθε τότε να αποδείξετε οτι: α) Ισχύουν f 6 και f 6 3 για κάθε β) Η f παρουσιάζει ελάχιστο σε σημείο, ΜΟΝΑΔΕΣ 6 γ) Η εξίσωση f t dt έχει μοναδική ρίζα το ΜΟΝΑΔΕΣ 7 δ) Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση C f της f, την εφαπτομένη της C f στο και τις ευθείες και είναι ίσο με f d ΜΟΝΑΔΕΣ 7 6

7 4 ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα α,β. Αν η f είναι συνεχής στο α,β και f α f β, τότε να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f α και f β υπάρχει ένας τουλάχιστον α,β τέτοιος ώστε f η ΜΟΝΑΔΕΣ Β. Να δώσετε τον ορισμό της οριζόντιας ασύμπτωτης της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f στο + Γ. Να χαρακτηρίσετε με την ένδειξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω α. Αν προτάσεις: lim f() =, τότε η ευθεία y= λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + β. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [,], τότε το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα f(),f() γ. Για δύο συναρτήσεις f, g συνεχείς στο διάστημα [α,β] ισχύει πάντα δ. Αν lim f, τότε β β β f() g()d = f()d g()d α α α lim f ε. Για οποιονδήποτε z * ισχύει z z ΜΟΝΑΔΕΣ ΘΕΜΑ ο Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z για τον οποίο ισχύει z 4 z α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας του z ΜΟΝΑΔΕΣ 6 β. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο της εικόνας του μιγαδικού αριθμού w για τον οποίο ισχύει z 8 w z 4 ΜΟΝΑΔΕΣ 7 Β. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, w για τους οποίους ισχύει w z 3 4i i 7

8 α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας του z αν γνωρίζετε ότι ο μιγαδικός αριθμός w είναι πραγματικός. β. Να βρείτε το μιγαδικό αριθμό z με το ελάχιστο μέτρο. ΜΟΝΑΔΕΣ 7 ΘΕΜΑ 3 ο Έστω η συνεχής συνάρτηση f ορισμένη στο για την οποία ισχύει f f 4 3 για κάθε. Να αποδείξετε ότι: α. f και f 4 3 4f 3, ΜΟΝΑΔΕΣ 6 β. Το σύνολο τιμών της f είναι το ΜΟΝΑΔΕΣ 6 γ. 4f(3) f 9 3 ΜΟΝΑΔΕΣ 6 δ. 5 f d f d ΜΟΝΑΔΕΣ 7 3 ΘΕΜΑ 4 ο Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα,, με f f και για κάθε ισχύει f f α. Να βρείτε τον τύπο της f και το σύνολο τιμών της. ΜΟΝΑΔΕΣ 8 β.να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση C f της f, τον άξονα και τις ευθείες και α. Κατόπιν να βρείτε το όριο α Εα lim ΜΟΝΑΔΕΣ 8 α γ. Ορίζουμε τη συνάρτηση g με τύπο g f e,. Να μελετήσετε την g ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα, την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. ΜΟΝΑΔΕΣ 9 8

9 5 ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β, τότε να αποδείξετε ότι: β α f t dt G β G α Β. Να δώσετε τον ορισμό του μέτρου ενός μιγαδικού αριθμού z. ΜΟΝΑΔΕΣ Γ. Να χαρακτηρίσετε με την ένδειξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, δύο διαδοχικές ρίζες της είναι το και 3 και ισχύει f ()- f()+=, τότε είναι f() > για κάθε (,3) β) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει για κάθε, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο γ) Για οποιοδήποτε μιγαδικό αριθμό z ισχύει z + > f () +7f ()+ < δ). Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και για κάθε, με ισχύει f f 7 d, τότε η f αντιστρέφεται. ε). Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα στο με συνεχή παράγωγο. Αν κάθε ισχύει f t dt, τότε είναι ΜΟΝΑΔΕΣ ΘΕΜΑ ο Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z, w για τους οποίους ισχύει: z +i w= z - i α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z για τους οποίους ισχύει: w = 3 ΜΟΝΑΔΕΣ β) Αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού z=α +βi, α,β R είναι σημείο του προηγούμενου γεωμετρικού τόπου τότε να αποδείξετε ότι η εξίσωση: 3 α +(β+5) - 5 = 9

10 έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα (,) ΜΟΝΑΔΕΣ 3 ΘΕΜΑ 3 ο Α. Έστω η συνάρτηση f με τύπο f α) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι d f ΜΟΝΑΔΕΣ 5 β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης C f της f ΜΟΝΑΔΕΣ 5 γ) Nα υπολογίσετε το όριο lim f t dt ΜΟΝΑΔΕΣ 5 Β. Να αποδείξετε ότι ισχύει e -> + για κάθε >. ΜΟΝΑΔΕΣ ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f ln α,, α α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της. 6 β) Να αποδείξετε ότι η f έχει δύο ακριβώς ρίζες ξ,ξ 6 ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ γ) Αν υποθέσουμε ότι ξ < ξ, τότε να αποδείξετε ότι υπάρχουν ρ,ρ, με ξ ξ ρ < ρ τέτοια ώστε: f ρ f ρ lnα ΜΟΝΑΔΕΣ 6 δ) Αν το εμβαδόν Ε του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f ξ ξ και τον άξονα είναι ίσο με, τότε να αποδείξετε ότι ξ ξ 3 α ΜΟΝΑΔΕΣ 7

11 6 ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. ΜΟΝΑΔΕΣ Β. Να δώσετε τον ορισμό του μέτρου ενός μιγαδικού αριθμού z. Γ. Να χαρακτηρίσετε με την ένδειξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο με f() για κάθε και f() >, τότε είναι f() > για κάθε β) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο, τότε η συνάρτηση fof είναι γνησίως φθίνουσα στο γ) Για δύο οποιουσδήποτε μιγαδικούς αριθμούς z και w ισχύει πάντα z + w > δ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [,] και f() > f() τότε το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα f(),f() ε) Αν z, z είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί, τότε η εξίσωση z z ρ,ρ παριστάνει στο μιγαδικό επίπεδο ευθεία. ΘΕΜΑ ο ΜΟΝΑΔΕΣ Α. Η συνάρτηση f είναι ορισμένη και συνεχής στο διάστημα [α,β] με α < και ισχύει f (α)+ f (β) = f(α)- f(β)-. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση τουλάχιστον ρίζα στο (α,β). f() = έχει μία Β. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z = + yi,,y R για τους οποίους ισχύει: ΜΟΝΑΔΕΣ z - lm(z)+ += α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z. ΜΟΝΑΔΕΣ 4

12 β) Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς z με z = 8 ΜΟΝΑΔΕΣ 4 γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό ρ με ρ > υπάρχουν πάντα δύο μιγαδικοί αριθμοί z με z=ρ ΘΕΜΑ 3 ο Α. Έστω η συνάρτηση f συνεχής στο για την οποία ισχύει: f t dt - + π +ημ για κάθε Αν π f d =, τότε να αποδείξετε ότι η εξίσωση f = π έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα,π ΜΟΝΑΔΕΣ Β. Η συνάρτηση f είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη στο με f () > και f() > για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g με τύπο κυρτή στο. β) Να βρείτε τις τιμές του R για τις οποίες ισχύει g() = f(t)dt - lnf(t)dt, α είναι e e α α f f() f = f() ΜΟΝΑΔΕΣ 6 ΜΟΝΑΔΕΣ 7 ΘΕΜΑ 4 ο Έστω η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R, με συνεχή παράγωγο και f για κάθε τύπο: R, για την οποία ισχύει f() lim. Ορίζουμε τη συνάρτηση g με g() tf( t)dt, α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο ΜΟΝΑΔΕΣ 7 β) Να μελετήσετε την g ως προς την κυρτότητα. ΜΟΝΑΔΕΣ 8 γ) Αν το εμβαδόν Ε του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση C g της g, την εφαπτομένη της με 5 g g, τότε να αποδείξετε ότι C g στο και τις ευθείες και είναι ίσο g d 5 ΜΟΝΑΔΕΣ

13 ΘΕΜΑ ο 7 ο δείγμα Α. Έστω η συνάρτηση f με f() = ημ,. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f () = συν,. ΜΟΝΑΔΕΣ Β. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Rolle και να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία. Γ. Να χαρακτηρίσετε με την ένδειξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R, τότε για, ισοδυναμία f f < f f < R ισχύει η β) Ισχύει z Re(z) για κάθε z C γ) Αν για, R με ισχύει f ()d, τότε η γραφική παράσταση της f έχει εφαπτομένη παράλληλη στον άξονα δ) Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο R και ισχύει f () ημ - > για κάθε R, τότε η f αντιστρέφεται ε) Ισχύει - = ln για κάθε R ΘΕΜΑ ο ΜΟΝΑΔΕΣ Α. Έστω ο μιγαδικός αριθμός z με z = και z + = α, να αποδείξετε ότι: α) α ΜΟΝΑΔΕΣ 4 β) α - Re(z) = ΜΟΝΑΔΕΣ 4 γ) z - z + = α - 3 ΜΟΝΑΔΕΣ 4 Β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z για τους οποίους ισχύει z - 4 = + z. Κατόπιν αν z, z είναι σημεία του παραπάνω γεωμετρικού τόπου τότε να αποδείξετε ότι z- z 4. ΜΟΝΑΔΕΣ 3 3

14 ΘΕΜΑ 3 ο Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός ημ z =+ - α +βi, με R, α >, β R. Αν ισχύει z + z - τότε να αποδείξετε ότι α = e ΜΟΝΑΔΕΣ Β. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f() = α +β, α, β R της οποίας η γραφική παράσταση έχει ασύμπτωτη στο + την ευθεία y = α) Να υπολογίσετε τα α, β. β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I = f() - d γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g με τύπο - g() = f(t)dt + f(t)dt - +, R είναι σταθερή και να βρείτε την τιμή της. ΘΕΜΑ 4 ο Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα,, με f f e και για κάθε, ισχύει 4 f e e α) Να βρείτε τον τύπο της f β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f έχει μια ακριβώς ρίζα. γ) Να υπολογίσετε το όριο f lim ημ δ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης C f της f ε) Αν f g,, τότε να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση C g της g τον άξονα και τις ευθείες e και 4

15 8 ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σημείο του του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το διάστημα Δ. ΜΟΝΑΔΕΣ Β. Να δώσετε τον ορισμό του τοπικού μεγίστου μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α. Γ. Να χαρακτηρίσετε με την ένδειξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α) Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς z,z ισχύει z = z, τότε οπωσδήποτε είναι και z = z β) Αν z,z είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί τότε πάντα ισχύει: Re z z = Re z Re z γ) Αν για κάθε, R με ισχύει f ()d, τότε η f είναι - δ) Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο R και ισχύει f () + > για κάθε R, τότε η f αντιστρέφεται ε) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [,] με f()f() > για κάθε (,), τότε η f οπωσδήποτε δεν έχει ρίζα στο (,) ΜΟΝΑΔΕΣ ΘΕΜΑ ο Δίνονται οι συναρτήσεις f και g ορισμένες και παραγωγίσιμες στο διάστημα [,] με g() για κάθε [,]. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς z = f() - if() και w = g() - ig() ισχύει z - w = z + w, τότε να αποδείξετε ότι: α) Ο μιγαδικός αριθμός zw είναι φανταστικός ΜΟΝΑΔΕΣ 8 f() f() β) Ισχύει = g() g() ΜΟΝΑΔΕΣ 8 f()g () γ) Η εξίσωση f () = g() έχει μία τουλάχιστον λύση στο (,) ΜΟΝΑΔΕΣ 9 5

16 ΘΕΜΑ 3 ο Α. Έστω η συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη στο διάστημα [,] με f() = και f() = 3. Να αποδείξετε ότι: α) Υπάρχει ένα τουλάχιστον (,) τέτοιο ώστε να είναι f = ΜΟΝΑΔΕΣ 3 β) Υπάρχει ένα τουλάχιστον [,] τέτοιο ώστε να είναι: 3 4f = f() + f + f() γ) Υπάρχει ένα τουλάχιστον 3 (,) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της C f στο σημείο A 3,f 3 να είναι παράλληλη στην ευθεία y = + Β. Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα,, με f f και για κάθε ισχύει f f α) Να βρείτε τον τύπο της f και το σύνολο τιμών της. ΜΟΝΑΔΕΣ 6 β) Ορίζουμε τη συνάρτηση g με τύπο g f e,. Να μελετήσετε την g ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα, την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. ΜΟΝΑΔΕΣ 6 ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται η συνάρτηση f, ορισμένη και παραγωγίσιμη στο R για την οποία για κάθε 3 R ισχύει: f ()+ 4f() = 4 α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το πρόσημό της. β) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. γ) Αν g() = + f(), R, τότε να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των μιγαδικών αριθμών z για τους οποίους ισχύει: g(4) + z - + z - f(4) - i = ΜΟΝΑΔΕΣ 7 δ) Να λύσετε την ανίσωση: f < 6 + ΜΟΝΑΔΕΣ 8 6