Couplage fort de deux oscillateurs

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1 Couplage fort de deux oscillateurs Corrigé

2 Première partie Circuits électriques couplés Equations différentielles couplées. R i + C R i + C i + L di + M di = e(t i + L di + M di =. En dérivant par rapport au temps on obtient les équations demandées. 3. Les trois matrices, réelles et symétriques, sont diagonalisables. caractérisent respectivement le terme inductif, le terme dissipatif et le terme capacitif. (a Les trois matrices, réelles et symétriques, sont diagonalisables, mais pas forcément sur la même base. Le découplage rigoureux des équations n est possible que si la matrice représentant les termes dissipatifs peut se diagonaliser sur la même base que les deux autres matrices. (b Non, ce n est pas possible quand R R 4. On suppose dans cette question que R = R. (a En additionnant ou soustrayant les deux relations différentielles couplées, on obtient : (L + M d (i + i + R d(i + i + C (i + i = de (L M d (i i + R d(i i Il s agit donc de i (t i (t et de i (t + i (t. (b Ces combinaisons évoluent de manière indépendante. + C (i i = de Analyse du régime harmonique forcé. Comportement au voisinage de la résonance 5. ( ω L + jωr + C Ĩ ω MĨ = jωẽ ω MĨ + ( ω L + jωr + C Ĩ = Soit encore en divisant les deux équations par L : ( ω jωr /L /(LC ω M/L ( Ĩ (Ẽ ω M/L on obtient le résultat annoncé en identifiant :. γ = R L γ = R L ω jωr /L /(LC = LC et Ω = M L = M L Ĩ = jω L LC >

3 6. ω ω = (ω + (ω ω Ω / Ω jω L j L D où, en divisant par, le résultat demandé.. Fonction de transfert Ĩ = jω L Ẽ ( jγ ( jγ Ω Sachant que Ũ = R Ĩ, la fonction de transfert s écrit : H( = jω γ ( jγ ( jγ Ω H( = Ω γ [4 Ω γ γ ] + 4 (γ + γ = Ω γ f(, Ω 9. (a Le module de la fonction de transfert en = s écrit : H( = = Ω γ Ω + γ γ (b H( =, Ω croît initialement comme Ω puis décroît en /Ω. d H( =, Ω dω = γ Ω + γ γ [Ω + γ γ ] (c La dérivée s annule pour Ω c = γ γ. γ. H( =, Ω = Ω c = d H( d = df(, Ω = 6 (4 Ω γ γ + 8 (γ + γ = d Les extréma de vérifient donc la relation : γ [4 Ω + γ + γ ] = Pour Ω < Ω c3 = (γ + γ/, il n y a qu un seul maximum en =. Pour Ω > Ω c3 = (γ + γ/, il y a un minimum en = et deux maxima en ± = ± Ω Ω c3 = ± Ω γ + γ L écart entre les pics est donc plus petit que la séparation entre les pulsations ω + et ω.. En fontion des pulsations réduites : H( H( =, Ω = Ω c = Ω Ω c [4( ( Ω ( Ω c ] + 8( [( Ω c + ( Ω c3 ] 3

4 ,,8 Ω c / =, Ω c3 / =,4 H(, Ω /H(, Ω c,6,4, Ω / croissant,,6,3,8,,4,,5, -, -,5,,5, /. (a La fonction de transfert en + et s écrit : (b H( = ± = Ω γ 4( γ +γ [Ω ( γ γ ] Pour Ω >> Ω c3 = (γ + γ /, la hauteur des pics devient constante et égale à H( = ± γ γ + γ f( ± + η, Ω = [4( ± + η Ω γ γ ] + 6( γ + γ ( ± + η = [ η + 4η Ω γ γ ] + 4( γ + γ ( η + 4η = [ ( γ + γ η + 4η ] + 4( γ + γ [ η + 4η ] = f( +, Ω + η + 6[4 + + ( γ + γ ]η = 4[( γ + γ + 4η ][Ω ( γ γ ] La fonction de transfert chute à -3dB lorsque f( ± + η, Ω = f( +, Ω, donc η ± = ± (γ + γ La largeur des pics à - 3dB est donc : η ± = γ + γ.3 Filtres à résonateurs couplés 3. Pour Ω = Ω c3, on a : H( = Ω γ = [4 ( γ +γ ] + 6 ( γ +γ Donc au voisinage de =, tant que << γ +γ : H( = Ω γ ( γ +γ ( γ +γ 4 Ω γ ( γ +γ 4 Ω γ 4 ( γ +γ [ ( γ +γ ] 4 A cette valeur du couplage les trois premières dérivées en zéro sont nulles ; la bande est la plus plate possible. 4

5 4. Ω c = Ω c3 γ = γ. 5. Il faut choisir Ω = γ 6. H( = Ω γ γ = H( = γ 4 = 8γ 4 = ± γ 4 7. Donc la bande passante est = γ γ = Ω π π = khz. 3 Analyse en régime libre 3. Recherche des modes propres approchés 8. ω > est la pulsation et γ > caractérise l amortissement de l oscillation, dont l amplitude décroît en exp( γ t et l énergie en exp( γt. 9. Le système d équations sans second membre n admet de solutions non nulles que si le déterminant est nul : ( det jγ Ω Ω = 4 jγ j(γ + γ γ γ Ω = Discriminant réduit : 4Ω (γ γ. (a Couplage faible : Ω < Ω c = γ γ /.. = j (γ + γ 4 ± j ( γ γ Ω D où les valeurs de ω ± = R[ + ] et γ ± = I[ + ] ω ± = γ ± = γ + γ ± ( γ γ Ω Les deux modes propres approchés ont la même pulsation, et des coefficients d amortissement différents, qui varient de γ et γ à couplage nulle, jusqu à la valeur commune (γ + γ / lorsque le couplage Ω atteint la valeur critique Ω c. (b Couplage fort : Ω > Ω c = γ γ / = j (γ + γ ± Ω ( γ γ 4 ω ± = ± Ω ( γ γ γ ± = γ + γ = γ Les deux modes propres approchées ont des pulsations dont l écart augmente avec le couplage, et possèdent le même coefficient d amortissement, égal à la moyenne des coefficients d amortissement des deux circuits non couplés. ω ± = ± γ ± = γ ± Ω c Ω c ( Ω Ω c ( ( Ω Ω c 5

6 , Ω c / =, ω + /, ω/,99 ω - /,,5,,5,,5 3, Ω /Ω c γ si γ < γ γ + (γ + γ / γ + - γ - γ,,5,,5,,5 3, Ω /Ω c 3. Evolution temporelle en couplage fort 3. La solution générale est donc de la forme : i (t = A + exp( γ t cos(ω +t + ϕ + + A exp( γ t cos(ω t + ϕ 4. (a i (t = A + exp( γ t cos(ω +t + ϕ + + A exp( γ t cos(ω t + ϕ i (t = A + exp( γ t cos(ω +t + ϕ + et i (t = A + exp( γ t cos(ω +t + ϕ + (b Courants de même amplitude et en opposition de phase. i (t = A exp( γ t cos(ω t + ϕ et i (t = A exp( γ t cos(ω t + ϕ Courants de même amplitude et de même phase. 5. Avec les conditions initiales choisies : i (t = i exp( γ t[cos(ω +t + cos(ω t] = i exp( γ Ω t cos( Ω c t cos( t 6

7 i (t = i exp( γ t[ cos(ω +t + cos(ω t] = i exp( γ Ω t sin( Ω c t sin( t 6. Evolution des courants (on suppose Ω >> Ω c,,8,6 Ω / =, γ / =,,4, i (t, -, -,4 -,6 -,8 π / Ω -, t,,8,6 Ω / =, γ / =,,4, i (t, -, -,4 -,6 -,8 π / Ω -, t 7. Phénomène de battement. Chacun des courants est la somme de deux courants sinusoïdaux de pulsations différentes mais de même amortissement. (a L énergie est entièrement passée au circuit au bout d un temps égal à π/ω. (b Elle est entièrement revenue au circuit au bout de d un temps égal à π/ω. Seule la phase du courant a changé de π. 3.3 Préparation du système dans un état déterminé 8. (a impulsion π : durée π/ω (b impulsion π : durée π/(ω 7

8 Deuxième partie Couplage fort lumière-matière en cavité Caractéristiques de la cavité sans oscillateurs. Accord de phase et finesse (a Φ(ω = ω c n BL A s = t A C r A e A C = r A C + t A e (b (c A C = r exp[jφ(ω]a C A s = t exp[jφ(ω/]a C 3. (d A C = r r exp[jφ(ω]a C + t A e A C = A s = t t exp[jφ(ω/] r r exp[jφ(ω] A e TC sans (ω = A s = A e 3. (a Φ( = pπ avec p entier (b (c T [ R] + 4R sin (Φ(ω/ ISL = ω m+ ω m = π c Ln B T Cmax = T ( R ε(ω = Φ(ω Φ(ω m = (ω ω m Ln B c t r r exp[jφ(ω] A e = (ω ω m π ISL ε(ω = π << sin (Φ(ω/ = sin (ε(ω/ (ε(ω/ ISL d où le résultat. 35. (a TC sans (± γ C = T Cmax 8

9 (b (c γ C = R π R ISL = R F = π R c R n B L R. Durée de vie du mode de cavité 36. τ = Ln B /c 37. On obtient un mode (quasi-stationnaire dans la cavité, dont l amplitude va décroître lentement dans le temps. 38. A C(t = r A C (t τ 39. A C (t = r A C(t A C (t = r r A C (t τ = RA C (t τ 4. A C (t A C (t τ = [ R]A C (t τ [ R]A C (t da C A C(t A C (t τ τ = [ R] A C (t τ 4. D où γ = R. τ 4. l amplitude dans la cavité décroît en exp( γ t et l énergie en exp( γt γ = R τ = ( Rc Ln B γ C car R 43. A s = t A C varie en exp( γ C t. D où I s(t = I exp( γ C t et la durée caractéristique du signal est δt = /γ C Oscillateurs de Lorentz. Electron élastiquement lié m d v + mγ A v + mω r = ee (t χ = Ne mɛ ω + jωγ A ω ω p = ω + jωγ A ω 46. Dans un domaine spectral étroit autour de la pulsation, χ = ω p + jγ A 9

10 . Absorption et dispersion 47. Sachant que la partie réelle de ñ est positive, ñ = ɛ / r = ɛ / χ(ω rb ( + / = ɛ / rb ɛ rb n = R[ñ] α = ω c I[ñ] c I[ñ] ñ = n B n B ω p + jγ A = n B n B = n B n B 4 + γa D où les relations demandées en posant : α est proportionnel à N. ω p α = α = ( + χ(ω ɛ rb = ɛ rb + χ(ω ɛ rb au voisinage de la résonance + j n B ω p n B cγ A Ne mɛ n B cγ A 5. La largeur à mi-hauteur du pic d absorption est γ A. ω p ω p jγ A 4 + γ A γ A 4 + γ A 3 Caractéristiques de la cavité avec oscillateurs 3. Effet de la dispersion 5. Φ(ω = ω c Ln(ω 53. (a La cavité vide étant accordée pour la pulsation, elle le reste en présence des oscillateurs car n( = n B Φ( = c L[n(] = pπ (b La relation d accord de phase est donc avec p entier Φ(ω = ω c Ln(ω = pπ = c L[n(ω ] donc n(ω = n B ω (c Il y a trois solutions si le terme résonnant est suffisamment fort. 54. Le désaccord de phase ε(ω s écrit : 55. avec ε(ω = Φ(ω Φ( = (ω Ln B c + ω c L[n(ω n B] ε(ω = π α L γ A = π β [ ] ISL 4 + γa ISL 4 + γa F α Lγ A γ C β = π

11 n B / ω solution n B n(ω ω n B / ω 3 solutions n(ω n B ω β = πc Ln B ωp Lγ A n B cγ A π = ω p n B ε(ω = = ou 4 + γ A = β Pour β < β c = γ A : une seule solution en =. Pour β > β c = γ A : trois solutions en = et en = ± β γ A. 58. β varie comme N. Il faut choisir une concentration élevée. 59. Le pic d absorption à = supprime la résonance centrale. 3. Effets de la dispersion et de l absorption 6. Il suffit de pondérer les amplitudes d un facteur exp( α(ωl/ pour un aller. 6. immédiat. 6. On obtient successivement : R + α(ωl = π ISL [γ C + β γ A ] 4 + γa T C ( = ( ISL T π [γ C + β γ A ] 4 +γ + 4 [ β ] A 4 +γ A

12 En remplaçant 4 par u γa et en développant, on obtient l expression : T avec C ( = T max C u (β + γa γ C + β (β + γa + γ Aγ C /u D où la relation proposée. (a dt C d = dt C du du d = 8 dt C du = (Ω + γa /u = ou = Donc ± = ±Ω/ ou =. (b Lorsque β est grand devant γ A et γ C, on a Ω = β (β + γa + γ Aγ C γa β + γ A γ C γ C (c T C ( ± = T Cmax Ω + γa (β + γa γ C + Ω + γa Sachant que Ω + γa β + γ A γ C + γa, la hauteur des pics s écrit simplement : γ C γ C T C ( ± T Cmax (γ A + γ C (d On a u(ω/ + η = (Ω + γa + 4Ωη + 4η Un développement à l ordre en η donne (Ω + γa /u = (Ω + γa 4Ωη 4η + 6Ω η /(Ω + γa. D où T C (Ω/ + η T Cmax = γ C (Ω + γ A (β + γ A γ C + 6Ω η /(Ω + γ A γc = (γ A + γ C + 6Ω η /(Ω + γa Les pics ont une forme lorentzienne. (e Donc T C ( chute d un facteur deux quand (γ A +γ C = 6Ω η /(Ω +γa. Sachant que Ω /(Ω + γa, on obtient. η = ±(γ A + γ C /4 et la largeur du pic vaut η soit γ AC = γ A + γ C La largeur du pic de transmission est donc égale à la demi-somme des largeurs du pic d absorption et du pic de transmission de la cavité hors résonance. 63. (a On mesure sur la figure la figure 4.a la largeur à mi-hauteur du mode de la cavité vide γ C /(π = 3 MHz. (b Pour la cavité traversée par le jet, on mesure sur la figure 4.b : distance entre les Ω pics de transmission de la cavité : = 4 MHz ; largeur des pics : γ AC = 5 MHz π π hauteur des pics de transmission : T C ( ± =, 37. Les valeurs calculées sont : β π = π F α Lγ A γ C π = 38 MHz et γ AC = (γ A + γ C / = ( + 3/ = 5 MHz. Ω π = β + γ A γ C = 4 MHz π T C ( ± T Cmax γc (γ A + γ C = 3 =, 36 ( + 3

13 3.3 Evolution temporelle de l intensité en sortie de cavité 64. t << π Ω 65. E s (t = π + t C (ωe e (ωexp( jωtdω = T F [t C (ωe e (ω] = T F [t C (ω] T F [E e (ω] L impulsion étant très brève, T F [E e (ω] E δ(t et E s (t se réduit à T F [t C (ω]. Sachant que t C (ω est de la forme t C (ω = [δ( + Ω + δ( Ω ] [pic de largeur γ AC centré à ω = ] sa transformée de Fourier s écrit : T F [t C (ω] = [exp( j( + Ω t + exp( j( Ω t] [enveloppe de largeur = exp[ j t] cos( Ω t [pic temporel de largeur γ AC centré à t = ] = E s (t 66. L enveloppe est de la forme : A s (t = cos( Ω Les variations de E s (t sont analogues à celles de i (t : t [pic temporel de largeur γ AC centré à t = ] γ AC ],,8,6,4, E s (t, -, -,4 -,6 -,8 A s (t -, t 67. L intensité I s (t mesurée en sortie est de la forme : I s (t = I [cos ( Ω t] [terme d amortissement de durée ] γ AC C est une impulsion de durée caractéristique δt = /γ AC, et qui présente des oscillations de période T osc = π/ω. 68. La période d oscillation est T osc =,9 ps et la durée de vie est δt = 4, 5/ ln( =,5 ps. D où Ω π = =, γ AC Hz et T osc π = π τ =, Hz 69. τ = Ln B /c < t < πω = T osc soit, en prenant n B = 3, 3 s < t < s 3

14 Troisième partie Couplage entre états quantiques Couplage entre deux états discrets 7. ω ± = ± Ω ψ + >= [ e, > + g, >] et ψ >= [ e, > g, >] ψ( >= e, >= [ ψ + > + ψ >] 73. ψ(t >= [e jω +t ψ + > +e jω t ψ >] = e jt [e j Ω t ψ + > +e +j Ω t ψ >] ψ(t >= e jωt [cos( Ω t e, > j sin(ω t g, >] < e, ψ(t >= e jt cos( Ω t P C (t = < e, ψ(t > = cos ( Ω t = + cos(ω t 74. (a Le système ce retrouve dans l état g, > (à un facteur de phase près si Ω t = π. (b Si Ω t = π/, ψ(t >= e jt [ e, > j g, >] et ψ(t > n évoluera plus aux instants postérieurs, alors que l atome s éloigne de la cavité. On a un état intriqué atome -photon, avec des corrélations non locales entre l atome et la cavité. Si on mesure l atome dans sont état excité, alors la cavité est vide. Inversement si on mesure l atome dans sont état fondamental, alors il y a un photon dans la cavité. 75. Les fréquences de transmission de la cavité correspondent approximativement aux fréquences des états stationnaires du système atome - mode électromagnétique de cavité. 76. Couplage d un état discret à un continuum large j d Ψ(t > 77. En projetant sur i > et k >, on obtient : = (H + H Ψ(t > j dc i(t = k e j(ω i ω k t c k (t v j dc k(t = e j(ω k ω i t c i (tv 4

15 78. j dc i(t = (a Compte tenu des conditions initiales : e j(ω i ω k t c k (t v ρ d(ω k c k (t = c i (t e j(ω k ω i t v j (b dc i (t dc i (t = = v ρ = v ρ d(ω k v ρ j ej(ω i ω k t c i (t + c i (t e j(ω k ω i t v j d(ω k e j(ω i ω k (t t c i (t πδ(t t = π v ρ Le facteur / vient du fait que le Dirac est pris à un bord du domaine d intégration. D où dc i(t = Γ c i(t avec Γ = π v ρ 8. En intégrant : c i (t = exp( Γ t. D où P (t = c i(t = exp( Γt 83. la durée de vie du système préparé dans l état i est /Γ Proba par unité de temps : p = dp i(t = Γ exp( Γt Γ On retrouve bien la règle d or de Fermi adaptée à ce cas particulier de densité d état constante : p = π v ρ c k (t = e j(ω k ω i +jγ/t v j c i (t d où le résultat. dp = c k (t ρ d(ω = v (ω k ω i + ( Γ ρ d(ω La loi de probabilité est lorentzienne, de largeur à mi-hauteur Γ. La désintégration de l état discret vers le continuum donne un profil de raie d émission de forme lorentzienne. 3 Transition couplage faible - couplage fort dc i (t dc i (t = ρ d(ω v j + [(ω f ω i /(γ/] ej(ω i ω k t = v ρ c i (t = v ρ + c i (t e j(ω k ω i t v j dω + [(ω f ω i /(γ/] ej(ω i ω k (t t c i (t π γ e γ(t t / 5

16 89. D où d c i (t = v ρ π γ d [e γt/ c i (t e γt / ] = γ dc i (t v ρ π γ c i(t 9. j dc i(t ( = car tous les c k ( sont nuls. 9. Cas du couplage faible : Γ < γ/4. (a d c i (t + γ dc i (t + Γγ 4 c i(t = + e j(ω i ω k c k ( v ρ d(ω k = c i (t = e γt/4 γ /4 γγt γ/ [cosh + γ /4 γγ sinh γ /4 γγt ] (b Γ << γ/4 et t >> /γ, on retrouve la loi : 9. Cas du couplage fort : Γ > γ/ (a c i (t e Γt/ γγ c i (t = e γt/4 γ /4t γ/ γγ [cos + γγ γ /4 sin γ /4t ] (b Pour Γ >> γ/4 : c i (t e γt/4 [cos γγt ] (c (d (e γγt P (t = c i (t = e γt/ [cos ] = e γt/ + cos( γγt La pulsation est : Ω = γγ et le coefficient d amortissement vaut γ/ Ω = v π ρ (γ = v N D où N = (π/ρ (γ. En utilisant la relation (3 du formulaire : + ρ d(ω + [(ω f ω i /(γ/] = (π/ρ (γ = N N est le nombre total d états du continuum. Pour N=, on retrouve bien la pulsation Ω = v (a En couplage faible, la très grand durée de vie /γ A de l état excité atomique dans l espace libre, chute à la valeur Γ pour l atome en cavité. L effet de la cavité est de réduire le temps de vie radiatif. 6

17 (b Le coefficient d amortissement de l état excité de l atome isolé est pratiquement nul : γ A. Le coefficient d amortissement du mode de cavité est γ, que nous noterons γ C par analogie avec la deuxième partie. L énergie passe alternativement de la matière à la lumière (à la pulsation Ω, et présente un coefficient d amortissement γ C /, plus faible car l énergie ne passe que la moitié du temps sous forme de photon. D où le rétrécissement des pics de transmission. On retrouve bien, pour ce système composite atome-cavité, le coefficient d amortissement calculé dans la Deuxième partie : γ AC = (γ A + γ C / γ C /. 7