10. GAIA Ingurune jarraituak

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "10. GAIA Ingurune jarraituak"

Transcript

1 10. GAIA Ingurune jarraituak 10.1 IRUDIA Gainazal-tentsioaren ondorio ikusgarria. 417

2 Ingurune jarraituak Ingurune jarraituen oinarrizko kontzeptuak aztertuko dira gai honetan: elastikotasuna hasteko, eta geroago fluidoen mekanika. Izenak berak dioenez, solidoak, likidoak eta gasak jarraitutzat kontsideratuko dira gai honetan, euren molekula-egitura alde batera utzita. Horrela «elementu infinitesimalak» (edo «partikulak») oso txikiak izango dira ikuspuntu makroskopikotik, baina oso handiak euren osagai mikroskopikoen alde. Hurbilketa emankor horri ezker, magnitudeak eremuak izango dira eta kalkulu diferentzialaren tresnak erabil daitezke. Ingurune jarraituen problema orokorra ez dagokio maila honetako liburu bati, eta funtsezko propietateak eta problema erraztuak ikusiko dira soilik Elastikotasuna Denok ezagutzen ditugu gorputz elastikoak: gomazkoak dira eredua, baina solido guztiak dira elastikoak, muga batzuen barruan behintzat. Gorputz elastikoek kanpo-indarrak pairatzen dituztenean deformatu egiten dira, eta indarrak desagertzean hasierako itxura berreskuratzen dute irudian erakusten da portaera eskematikoki. Kanpo-indarrak txikiak direnean, gorputzak pairatutako indarra eta deformazioa elkarren proportzionalak dira. Hooke-ren lege hau indarren eta deformazioen balioak handitzean betetzen da, baina bakarrik proportzionaltasun-muga deituriko punturaino heldu arte. Handik aurrera deformazio eta indarra ez dira proportzionalak baina gorputzaren portaera oraindik elastikoa da: deformazioa iragankorra da eta indarra desagertzean ezabatzen da. Elastikotasun-mugatik harantz portaera plastiko bihurtzen da eta deformazioa iraunkorra da: kanpo indarra desagertu arren deformazioa ez da guztiz desagertzen. Azkenean, haustura-mugara heltzean, gorputzak ez dio eusten indarrari eta apurtu egiten da IRUDIA Gorputz elastikoen portaera eskematikoa. Hemen Hooke-ren legearen proportzionaltasuna betetzen den kasuetara mugatuko gara eta, gainera, deformazioak txikiak direla suposatuko dugu. Azken hipotesi hau ez da guztiz beharrezkoa Hooke-ren legea erabiltzeko (batzuetan deformazio handiekin ere betetzen baita), baina kalkuluak egiten lagunduko digu, hurbilketak egiteko aukera emanez.

3 10.2 Solido elastiko isotropoak Solido elastiko isotropoak Kontsidera dezagun 10.3 irudiko barra elastikoa, hasieran bere luzera propioa (l) duena eta kontrako kanpo-indarrak pairatzean deformatzen dena. Berriro orekan dagoenean bere luzera l + l izango da IRUDIA Barra elastikoa deformatzen da F indarrak pairatzean. Hooke-ren legearen arabera, F l dugu, baina indarraren eta deformazioaren arteko erlazioan beste magnitude batzuk sartzen dira modu errazean, buru-esperimentu pare bat eginez ikusiko dugun bezala irudian goiko eskuinaldean erakusten diren bi erdiak kontsideratzen baditugu, eurak ere orekan daudela eta Newton-en hirugarren legea erabiltzen badira, argi dago irudiko indarrak ditugula. Barra osoaren luzera eta deformazioa erdien luzeren eta deformazioen baturak direnez, F indar bakoitzeko l deformazioa barraren l luzeraren proportzionala da: F l/l. Bide bertsutik, beheko eskuinaldeko erdiak kontsideratuz, argi dago indarra zeharkako A azaleraren proportzionala dela: F A l/l. Emaitza honetan agertzen den proportzionaltasun-konstantea, hau da, elastikotasun-modulua, Young-en modulua deitzen da eta Y letraz adierazten dugu (askotan E deitzen da). Honela idazten da, bada, Hooke-ren legea kasu honetan: F A = Y l l. (10.1) Zeharkako sekzioaren azalera unitateko indarrari esfortzua (edo tentsioa) deritzo. Kasu honetan, zeharkako sekzioaren perpendikularra denez, esfortzu normala dela esaten da eta, irudiko kasuan trakzio-esfortzua da, baina kontrako noranzkoa balu, konpresio-esfortzua izango litzateke. Bestalde, luzera unitateko l/l deformazioa deformazio unitarioa deitzen da eta gehienetan hau interesatzen zaigu, laburtzeagatik «deformazioa» («unitario» adjektiboa ahaztuta) esaten badugu ere. Hooke-ren legeak, beraz, esfortzuaren eta deformazio unitarioaren arteko proportzionaltasuna adierazten du. Deformazio unitarioa dimentsio gabekoa da eta esfortzuaren eta Young-en moduluaren unitatea presioarena da; SI sisteman pascala: 1 Pa = 1 N m 2. Young-en modulua materialaren (eta honen prestaketaren) ezaugarria da (ikus A.9 taula). Material askotan Young-en modulua berbera da trakzioan eta konpresioan, baina ez beti: hezurrak dira kontradibide ezagunena. Barrak paira dezakeen esfortzurik handiena apurtu gabe erresistentzia deitzen da eta oso ezaguna da hormigoiaren konpresioarekiko erresistentzia trakzioarekiko erresistentzia baino askoz handiagoa dela (ikus A.9 taula). Luzetarako deformazioa kontsideratu dugu goian, baino badakigu luzatzeaz (edo laburtzeaz) gain estutze (edo zabaltze) bat gertatuko dela: l luzera aldatzen da, baina baita zeharkako dimentsioak (h altuera eta z zabalera) eta azken hauen deformazio unitarioa harenaren proportzionalak

4 Ingurune jarraituak (eta kontrakoak) dira: h h = z l = σ z l. (10.2) Hemengo proportzionaltasun-konstantea, materialaren ezaugarria dena, Poisson-en koefizientea deritzo, eta horrela agertuko da Hooke-ren legean: F A = Y l l = Y σ h h = Y σ z z. (10.3) Geroago ikusiko dugunez Poisson-en koefizientea 1/2 baino txikiagoa da beti eta ez da ezagutzen σ 0 duen materialik, beraz, beti dugu 0 < σ < 1 2. (10.4) Hooke-ren legearen linealtasuna dela eta, solido elastiko isotropoen oreka elastikoa aztertzeko nahikoa da Young-en modulua eta Poisson-en koefizientea, gainezarmenaren printzipioarekin batera, erabiltzea. Hurrengo ataletan ikusiko dugu nola erabil daitezkeen kontzeptu hauek zenbait adibide erraz interesgarri aztertzeko Bolumenaren deformazioa Eman dezagun barra elastiko bat p presio hidrostatiko uniformea pairatzen duela, hau da, alde guztietan p balioko esfortzu normala aplikatzen zaiola IRUDIA Barra elastikoa presio hidrostatiko uniformearen menpean. Norabide bakoitzeko deformazioak hiru jatorri izango ditu: (10.1)-ren ondorioz norabide berean aplikaturiko esfortzua eta, (10.2) legearen arabera, zeharkako norabideetan aplikaturikoak. Beraz, l l = h h = z z = 1 Y p + σ Y p + σ 2σ p = 1 p. (10.5) Y Y 10.1 ARIKETA Froga ezazu deformazioak txikiak direnean barraren bolumenaren deformazio unitarioa dela. V V = l l + h h + z z. (10.6) Bolumenaren deformazio txikiaren kasuan, honela idazten da Hooke-ren legea (10.5) eta (10.6) ekuazioaren ondorioz: p = B V V. (10.7)

5 10.2 Solido elastiko isotropoak 421 Hemengo elastikotasun-modulua, bolumen-modulua (edo konprimigarritasun-modulua) deitzen da, eta Young-en moduluaren eta Poisson-en koefizientearen bidez honela idazten da: B = Y 3(1 2σ). (10.8) Taula askotan (ikus A.9 eta A.10 taulak) Young-en modulua eta Poisson-en koefizientea eman beharrean, Y eta B ematen dira, baina horiekin erraz berreskuratzen da σ: σ = 1 2 Y 6B. (10.9) Bolumen-modulua positiboa da, bestela presioa aplikatzean solidoa zabaltzen hasiko litzateke eta presioak lan negatiboa egingo luke: energia ateratzeko bide ederra izango litzateke, baina bakarrik gerta daiteke aldez aurretik barra oreka ezegonkorrean badago eta presioa aplikatzean barran metaturiko energia elastikoa askatzen bada. Baina B > 0 bada, (10.9)-ren ondorioz, lehen aipatu dugun σ < 1/2 propietatea lortzen da Zeharkako deformazio nulua Norabide batean esfortzuak aplikatzean, norabide perpendikularretan ere gertatzen dira deformazioak. Nolako baldintzak bete behar dira deformazioak norabide bakar batean gertatzeko? Praktikan nahiko erraz lortzen da hori: altzairuzko hodi bat gomaz betetzen bada, azken honen muturretan presioa aplikatzean goma laburtuko da, baina (ia) ez da zabalduko, altzairuzko hormaren zurruntasun handiari esker IRUDIA Zeharkako deformazio nulua. Kontsidera dezagun 10.5 irudiko paralelepipedoa. Norabide bakoitzean gertatzen diren deformazioak erraz kalkulatzen dira (10.3) eta gainezarmenaren printzipioa kontuan hartuz: l l = 1 Y τ σ Y τ h σ Y τ z, (10.10) h h = 1 Y τ h σ Y τ z σ τ, Y (10.11) z z = 1 Y τ z σ Y τ h σ τ. Y (10.12) Azken bi ekuazioetan h = z = 0 egiten badugu eta emaitza lehenengoan ordezkatzen bada, hauxe lortzen da: τ h = τ z = σ τ, 1 σ (10.13) τ = Y l l, (10.14) Y 1 σ Y. (10.15) (1 + σ)(1 2σ)

6 Ingurune jarraituak 10.2 ARIKETA Egiaztatu (10.13) (10.15) emaitzak eta frogatu desberdintza hau: Y > Y. (10.16) Hortaz, zeharkako deformazioa nulua denean, Hooke-ren legean erabili behar den luzetarako modulua, Young-enaren ordez, (10.15) ekuazioko Y da eta, ondorioz, baldintza horietan deformazio jakin bat lortzeko, esfortzu handiagoa behar da. Emaitzaren interesa ikusteko, kontsidera dezagun luzetarako uhinen (soinuaren) hedapena gorputz handietan, hau da, uhin-luzera baino askoz dimentsio handiagoak dituztenetan: hori gertatzen da, adibidez, uhin sismikoak Lurraren barruan hedatzen direnean. Barra batean hedatzen badira, fase-abiadura v = Y ρ (10.17) da, 9.6 atalean frogatu genuen bezala. Baina gorputz handi batean uhina joaten den eremuaren mugan ez da deformaziorik egongo eta, beraz, Y erabili beharko da: soinuaren abiadura Y v = ρ > Y ρ (10.18) izango da Kontrako esfortzuak Kontsidera dezagun 10.6 irudiko paralelepipedoa, bi norabide elkarzutetan kontrako esfortzuak pairatzen dituena. Erraz kalkulatzen dira geroago erabiliko ditugun deformazioak: l l = 1 Y τ + σ Y τ = 1 + σ Y τ = h h. (10.19) 10.6 IRUDIA Kontrako esfortzuak Ebakidura-esfortzuak Esfortzua gainazalaren paraleloa denean, ebakidura-esfortzua deitzen da. Kubo homogeneo bateko lau aldetan ebakidura-esfortzu berdinak aplikatu dira 10.7 irudian adierazten diren norabideetan. Lau indar horiek beharrezkoak dira kuboa orekan egoteko, indar eta momentu osoak nuluak izateko, alegia.

7 10.2 Solido elastiko isotropoak IRUDIA Ebakidura-esfortzuak kubo batean. Deformazioa neurtzeko dimentsio gabeko magnitude egokia, irudiko θ angelua da. Horrela, deformazioak txikiak direnean hauexek dira P puntutik neurtutako Q-ren koordenatuak eta diagonal berria: Ondorioz, hauxe dugu: x = l sin θ = lθ + O ( θ 3) δ + O ( θ 3), (10.20) y = l cosθ = l + O ( θ 2), (10.21) d + d = (l x) 2 + y 2 = d lθ + O ( θ 2). (10.22) 2 θ = δ 2 d l = = 2 d l d. (10.23) Hooke-ren legea aplikatzeko, irudiko eskuinaldean agertzen den problema aztertuko dugu. Argi dago lerro etenaz marraztutako kuboaren esfortzu- eta deformazio-egoerak hasierako problemarenak direla (kontsideratu ABC prisma triangeluarraren oreka); baina problema berri hau atalekoa da: d d = 1 + σ Y 2F 2A, (10.24) zeren, kuboaren aldeen azalera A bada, problema honetako gorputzaren aldeena 2A baita. (10.23) eta (10.24) emaitzen ondorioz, F/A ebakidura-esfortzuaren eta θ deformazioaren arteko erlazioa F = Gθ (10.25) A da eta ebakidura-modulua (edo, zurruntasun-modulua) honako hau: G = Y 2(1 + σ). (10.26) (10.4)-ren ondorioz, Y 3 < G < Y 2. (10.27)

8 Ingurune jarraituak Zeharkako uhinak barra batean 9.6 atalean barra batean barrena hedatzen diren luzetarako uhinak aztertu ditugu. Han esfortzuak normalak dira. Orain zeharkako uhinak kontsideratzen baditugu, esfortzuak tangenteak izango dira IRUDIA Zeharkako uhinak barra batean. Azter dezagun pausagunean x eta x + dx puntuen artean dagoen elementu infinitesimalaren higidura. Bi oinarrietan aplikaturiko ebakidura-indarrek kontrako noranzkoak dituzte, kasu batean gainazalaren eskuinean dagoen zatiak ezkerrekoaren gainean egindakoa baita, bestean ezkerreko zatiak eskuinekoaren gainekoa izanik. Deformazio-eremua pausagunetik neurturiko u(t, x) distantzia bertikala izango da, irudian erakusten den bezala. Deformazioak txikiak badira, dugu eta Hooke-ren (10.25) legea θ tanθ = u x (10.28) F(t, x) = AGθ = AG u x. (10.29) Elementu infinitesimalak pairatutako indar osoa, beraz, df = F(t, x + dx) F(t, x) = F x dx = u AG 2 dx (10.30) x2 da eta Newton-en bigarren legea df = dm 2 u t = u 2 ρa 2 dx. (10.31) t2 Desplazamendu-eremuaren eboluzio-ekuazioa, ondorioz, (9.5) uhin-ekuazioa da, 2 u x 1 2 u = 0, 2 v 2 t2 (10.32) eta fase-abiadura G Y Y v = ρ < ρ < ρ, (10.33) hots, zeharkako uhinak luzetarakoak baino astiroago hedatzen dira. Abiaduren diferentzia hau lurrikaren gunearen distantzia neurtzeko erabil daiteke: sismografoetara lehenago iristen dira luzetarako p uhinak zeharkako s uhinak baino.

9 10.2 Solido elastiko isotropoak Bihurdura-uhinak barra batean Barra elastikoa zilindrikoa bada, muturretan kontrako indar-momentuak aplikatzean bihurdura bat sortuko da, 10.9 irudian erakusten den moduan IRUDIA Bihurdura barra batean. Barraren oreka berria aztertzeko, kontsidera dezagun r eta r + dr erradioen arteko eraztun zilindrikoa. Barra osoaren bihurdura-angelua ϕ bada, eta eraztunarena θ, zera dugu: Lθ = rϕ = θ = r ϕ. (10.34) L Eraztunaren elementu laukizuzen baten azterketa atalekoa da: df dl dr = Gθ = Grϕ L = df = Gϕ r dr dl. (10.35) L dl-rekiko integrala eginez, eraztunak pairatutako indar-momentua lortzen da: dn = 2πr Hortaz, barrak jasandako indar-momentu osoa hauxe dugu: 0 N = R 0 r df = 2πGϕ L r3 dr. (10.36) dn = πgr4 2L ϕ. (10.37) Azpimarratu behar da bihurdura jakin bat lortzeko aplikatu behar den indar-momentua barraren erradioaren laugarren berreturarekin handitzen dela IRUDIA Barraren elementu infinitesimala. Orekan egon beharrean, barran perturbazio bat sortu ondoren uhin bat hedatzen bada, barraren dx luzerako elementu infinitesimal baten dϕ bihurdura-angelu diferentziala aztertu beharko da: irudiko kasuan, ϕ/l zatidura globalaren ordez, ϕ(t, x + dx) ϕ(t, x) dx ϕ x (10.38)

10 Ingurune jarraituak erabili beharko da: N(t, x) = 1 ϕ πgr4 2 x. (10.39) Elementu infinitesimalaren higidura norabide nagusi batean gertatzen denez, higidura-ekuazioa dn = di 2 ϕ/ t 2 izango da, elementuaren di = 1 2 dm R2 inertzia-momentua eta 2 ϕ/ t 2 azelerazio angeluarra erabiliz: Hortaz, dn = N(t, x + dx) N(t, x) = N x dx = 1 ϕ2 πgr4 2 x dx 2 = 1 ( ρ πr 2 dx ) R 2 ϕ2 2 t. (10.40) 2 2 ϕ x 1 2 ϕ = 0, (10.41) 2 v 2 t2 uhin-ekuazioa dugu eta bihurdura-uhinen fase-abiadura zeharkako uhinena da: v = 10.3 Deformazio-tentsorea G Y Y ρ < ρ < ρ, (10.42) Deformazio orokorrak eta dinamika aztertzeko, gorputz elastikoaren deformazioa puntu batetik bestera alda daitekeela hartu behar da kontuan: elementu infinitesimalen deformazioa deskribatu behar dugu IRUDIA dr elementu infinitesimalaren deformazio orokorra. Kontsidera dezagun deformaziorik gabe r posizioan dagoen P 1 puntuan kokaturiko dr elementu infinitesimal bat, r + dr posizioko P 2 puntu hurbilaren posizio erlatiboa ematen duena. Bi puntuen arteko distantziaren karratua 3 dl 2 = dr 2 = dx 2 i i=1 izango da, baldin eta, notazioa laburtzeko, 2.2 atalean egin genuenaren antzera, x 1 = x, x 2 = y eta x 3 = z idazten badugu.

11 10.3 Deformazio-tentsorea 427 Deformazio-eremua u(r) denean, lehen puntuko materiala P1 puntuan egongo da, r + u(r) posizioan, eta bigarren puntukoa r+dr+u(r+dr) posizioko P2 puntuan. Posizio erlatibo berria, beraz, dr = [r + dr + u(r + dr)] [r + u(r)] = dr + u(r + dr) u(r), (10.43) dx i 3 u i = dx i + u i (r + dr) u i (r) = dx i + dx j x j (10.44) izango da, esan bezala deformazioak txikiak direla suposatzen baitugu. (Notazioa apur bat arintzeko, atal honetan ez dugu idazten denboraren menpekotasuna.) Puntuen arteko distantzia dl 2 = dr 2 = dx 2 i = dx 2 i + 2 u i 3 3 u dx i dx j + i dx j (10.45) i=1 i=1 i,j=1 x j i=1 j=1 x j adierazpenak emandakoa izango da; baina hemen azken gaia deformazioarekiko koadratikoa da eta, beraz, arbuiagarria, eta bigarren gaian agertzen diren u i / x j deribatuarekin 3 3 matrize karratu bat era daiteke eta, matrize karratu guztiak bezala, era bakarrean deskonposatzen da matrize simetriko baten eta antisimetriko baten batura moduan: u i x j = 1 2 ( ui x j + u j x i ) j=1 ( ui x j u j x i ). (10.46) Argi dago osagai antisimetrikoak dx i dx j faktore simetrikoarekin biderkatzean lortzen den batura nulua dela. Definizioz, deformazio-tentsorearen osagaiak u ij 1 ( ui + u ) j (10.47) 2 x j x i dira eta, hortaz, 3 3i,j=1 ) dl 2 = dl u ij dx i dx j = dl (1 2 u ij dx i dx j + 2, (10.48) i,j=1 dl 2 ( 3i,j=1 ) dl u ij dx i dx j = dl 1 + (10.49) dl 2 dugu, Newton-en binomioaren ondorioz. Hauxe frogatu dugu, bada: r puntuan eta dr norabidean hurrengo adierazpenaren bidez deformazio-tentsoreak emandakoa da deformazio unitarioa: dl dl dl = 1 dl 2 3 i,j=1 u ij dx i dx j. (10.50) Hau da, kontsideratzen dugun puntuan, ˆn dr dr = dr dl (10.51) bektore unitarioaren norabidean, deformazio unitarioa hauxe da: dl dl dl 3 = u ij n i n j. (10.52) i,j=1

12 Ingurune jarraituak Argi dago deformazio-tentsorea, deformazio unitarioaren orokorpena dena, simetrikoa (eta beraz, gehienez, 6 osagai desberdin ditu) eta dimentsio gabekoa dela. (10.50) ezkerreko gaia eskalarra da eta triedro cartesiar guztietan balio bera izango du eta, ondorioz, gauza bera gertatu behar da eskuinean agertzen den konbinazioarekin, elementu bakoitzarekin hala gertatzen ez bada ere. Izan ere, dr bektorea triedroaren menpekoa izan ez arren, dx i aldagaiak aldatu egingo dira triedroa aldatzean; era berean u ij osagaiak triedroaren menpekoak izango dira, baina deformazio-tentsorea bera triedroaren independentea da. Gogoratu antzeko gauza bat esan genuela inertzia-tentsoreari buruz atalean. Azpimarratu behar da oso diferentzia garrantzitsu bat dagoela inertzia- eta deformazio-tentsoreen artean, biak 2 heineko tentsore simetrikoak izan arren: lehenengoa solidoaren propietate globala da, balio bakarra duena; bestea, berriz, propietate lokala da, puntu bakoitzean balio bat duena. Deformazio-tentsorea eremu tentsoriala da Luzetarako deformazioak Adibidez, dr = dx i bada, hauxe dugu: dy = dz = 0, (10.53) dl = dx, (10.54) dx dx = u 11 u xx. (10.55) dx (Azken emaitzan ez da balio absoluturik erabili behar (10.44)-ren ondorio zuzena delako.) Ageri denez, dr desplazamendua ardatz baten norabidean aukeratzen bada, deformazio-tentsorearen diagonaleko elementuak, ardatz cartesiarren norabideetan neurtutako luzetarako deformazio unitarioak dira. Adibidez, 10.3 irudiko konfigurazioan orekaren kasuan, OX, OY eta OZ ardatzak l, z eta h luzerako ertzen paraleloak badira, hurrengoak dira deformazio-tentsorearen osagaiak puntu guztietan, (10.2) emaitzaren ondorioz: (u ij ) = l/l z/z h/h Ebakidura-deformazioak = l l σ σ. (10.56) Diagonaletik kanpoko elementuen esangura aztertzeko eta, bidenabar, (10.47) definizioan u i / x j deribatuen konbinazio simetrikoa aukeratzeko arrazoia hobeto ulertzeko, kontsidera dezagun irudian adierazten diren elementu infinitesimal baten bi deformazioak. Ezkerreko kasuan, ebakidura-deformazioa dugu eta erraz kalkula dezakegu bi zatitan banandu dugun θ angelua. Horizontalarekiko α-ren kalkulua hauxe da: Modu berean, δ = u y (x + dx, y, z) u y (x, y, z) = u y dx, (10.57) x α = δ dx = u y x. (10.58) β = u x y (10.59)

13 10.3 Deformazio-tentsorea IRUDIA Ebakidura-deformazioa eta biraketa. da eta ebakidura-deformazioaren erdia hauxe: θ 2 = α + β 2 = 1 2 ( ux y + u y x ) = u xy = u yx. (10.60) Deformazio-tentsorearen osagaiak, aukeratutako triedroan hauexek dira, beraz: (u ij ) = θ (10.61) Hauxe da, bada, diagonaletik kanpoko elementuen esanahia: u ij eta u ji elementuak, (x i, x j ) planoan dugun ebakidura-deformazioaren erdiaren berdinak dira (i j dugunean) irudiko eskuineko kasuan elementu infinitesimala (transladatu eta) biratu da, deformatu gabe, eta OZ ardatzaren inguruko biraketa-angelua hauxe dugu: ϕ = u y x = u x y = 1 ( uy 2 x u ) x. (10.62) y Hots, deformaziorik gabeko biraketak adierazteko α ij = α ji = 1 2 ( uj u ) i x i x j (10.63) tentsore antisimetrikoa erabili behar da. Gehienez 3 osagai desberdinak izango ditu: biraketa infinitesimal bat adierazteko bektore baten bidez behar direnak: Hortaz, deformazio-eremua irrotazionala bada, α = 1 2 u = α yz i + α zx j + α xy k. (10.64) u = 0, (10.65) (ikus B.2.6 atala) elementu infinitesimalak ez dira biratzen (puntuak biratzen badira ere): α ij = 0.

14 Ingurune jarraituak Gainera, (10.45) kalkuluan egindako (10.46) deskonposizioa u j x i = u ij + α ij (10.66) moduan idazten da eta han deformazioa kalkulatzean ez da agertzen α ij, deformazio gabeko biraketa hutsa adierazten du eta Bolumenaren deformazioa Bolumenaren aldaketa infinitesimala kalkulatzeko, kontsidera ditzagun, deformazioa nulua denean, hiru ardatz cartesiarretako norabideetan eta r puntuan definituriko hurrengo hiru bektore: u(r) deformazio-eremuarekin, r + u(r) puntuan egongo dira: v 1 = dxi, (10.67) v 2 = dy j, (10.68) v 3 = dz k. (10.69) v1 = [r + dxi + u(x + dx, y, z)] [r + u(x, y, z)] = dxi + u(x + dx, y, z) u(x, y, z) = dxi + u dx, (10.70) ( x v1 = i + u ) dx, (10.71) x ( v2 = j + u ) dy, (10.72) y ( v3 = k + u ) dz. (10.73) z IRUDIA Bolumenaren aldaketa infinitesimala. Deformazioa gertatu aurretik hiru bektoreek definituriko paralelepipedo infinitesimalaren bolumena dv = v 1 (v 2 v 3 ) = dxdy dz (10.74)

15 10.4 Esfortzu-tentsorea 431 da eta deformazioarekin dv = v1 (v 2 v 3 ) = [ = 1 + u x x u x y u x z u y x 1 + u y y u y z] 1 + u x x + u y y + u z z + O ( u 2) u z x u z y 1 + u z z dx dy dz (10.75) dv. (10.76) Hots, (10.6) emaitzaren orokorpena dugu: bolumenaren deformazio unitarioa deformazio-eremuaren dibergentziaren (ikus B.2.4 atala) eta deformazio-tentsorearen aztarnaren berdina da, dv dv dv Hortaz, deformazio-eremua solenoidala bada, = u x x + u y y + u z 3 z = u = u ii. (10.77) i=1 u = 0, (10.78) elementu infinitesimalen bolumena ez da aldatzen. Kasu orokorrean, Helmholtz-en teoremaren arabera, u deformazio-eremua eremu irrotazional baten eta solenoidal baten batura moduan idazten da (ikus B.2.8 atala): u = u i + u s, (10.79) u i = 0, (10.80) u s = 0. (10.81) Biraketarik gabeko deformazio baten eta bolumen aldaketarik gabeko beste baten konposizioa da deformazio infinitesimal orokorra, beraz. Adibide moduan, (10.56) kasuan V V dugu eta (10.61) kasuan V = 0. = l l 10.4 Esfortzu-tentsorea + z z + h h = (1 2σ) l l (10.82) Solido elastiko bateko elementu infinitesimal bakoitzak albokoaren gainean, bien arteko gainazalean, eragindako ukipen-indarrak dira indar elastikoak. Kontsidera dezagun irudiko gainazal-elementu infinitesimala. OZ ardatzaren perpendikularra da eta bere azalera ds = dxdy. Elementuaren adierazpen bektoriala ds = dxdy k da. Elementuaren gainean (hau da, ds-ren noranzko positiboak definituriko aldean) dagoen materialak, behean dagoenari, gainazaleren bitartez, eragindako indar elastikoa df dela suposatuko dugu. Esfortzu normala τ zz df z ds = df z dxdy (10.83)

16 Ingurune jarraituak IRUDIA Gainazal infinitesimal bat. izango da baina ebakidura-esfortzuak bi osagai ditu, OX eta OY ardatzen norabideetan: τ xz df x ds = df x dxdy, (10.84) τ yz df y ds = df y dxdy. (10.85) Oro har, j ardatzaren perpendikularra den elementu infinitesimalean, noranzko positiboan dagoen materialak bestearen gainean eragiten duen esfortzuaren i osagaia τ ij izango da. τ ij esfortzuen bilduma esfortzu-tentsorea da. Tentsio-tentsorea ere deitzen da; izan ere, kasu berezi honetatik dator «tentsore» hitza. Argi dago, oro har, deformazio-tentsorea bezala, esfortzu-tentsorea ere eremu tentsoriala dela: puntu bakoitzean tentsore bat dugu. Esfortzu-tentsorearen dimentsioak esfortzuarenak dira eta, deformazio-tentsorea bezala, simetrikoa da: gehienez 6 osagai desberdin ditu. ( atalean frogatuko dugunez, momentu angeluarraren eboluzio-ekuazioaren ondorioa da propietate hau.) IRUDIA Esfortzuak elementu infinitesimal batzuetan. Definizioa erabiliz, erraz kalkulatzen da ardatz cartesiar baten perpendikularra den gainazal infinitesimalean aplikatutako indar elastikoa; baina gauza bera egin daiteke edozein norabidetako gainazal infinitesimalean irudiko elementuaren kasuan, dimentsioak zerora doazen limitean masa eta, beraz, indar osoa nulua dira. Adibidez, higidura-ekuazioaren x osagaia hauxe da: df x τ xy dxdz τ xz dxdy τ xxdy dz 1 2 τ xxdy dz = ρ 2 u x dv, (10.86) t2 non elementuaren bolumen infinitesimala dv 1 dxdy dz (10.87) 2

17 10.4 Esfortzu-tentsorea 433 den. Argi dago limite horretan esfortzu guztiak puntu berean aplikatzen direla eta, ondorioz, azken bi gaiek elkar deuseztatzen dutela. Gainazal infinitesimalaren azalera eta dagokion bektore unitario normala honako hauek ditugu: ds = dx dy 2 + dz 2, (10.88) dz ˆn = sin θ j + cosθ k = dy2 + dz j + dy k. (10.89) 2 dy2 + dz2 Beraz, ds = ds ˆn elementuaren alde positiboan aplikaturiko esfortzuaren x osagaia hauxe dela ikusten dugu: df x ds = τ xyn y + τ xz n z + ρ 2 u x dv dv 0 τ t 2 xy n y + τ xz n z. (10.90) ds Oro har, ds = ds ˆn elementuaren kasuan esfortzua da eta indarra df i 3 ds = τ ij n j (10.91) j=1 3 3 df i = τ ij n j ds = τ ij ds j. (10.92) j=1 j=1 Bi gaiak bektoreen osagaiak dira; eskuinekoa tentsore baten eta bektore baten biderkadura eskalarra. Osagaiak desberdinak izango dira triedro desberdinetan, baina bektoreak eta tentsoreak intrintsekoak dira, triedroaren independenteak: df ds = τ ˆn df = τ ds. (10.93) IRUDIA Orekan dagoen kubo bat. Adibide moduan, kontsidera dezagun orekan dagoen irudiko kuboa. Aukeratu diren ardatzetan, honela idazten da esfortzu-tentsorea: (τ ij ) = τ (10.94)

18 Ingurune jarraituak Bestalde, (10.3) emaitzen ondorioz, hauexek ditugu luzetarako deformazio unitarioak: u xx = u zz = σ τ Y, (10.95) u yy = τ Y. (10.96) (10.25) adierazpena erabiliz, zuzenean kalkulatzen dira ebakidura-deformazioak: Ondorioz, hauxe dugu deformazio-tentsorea: u xy = u yx = u yz = u zy = 0, (10.97) u xz = u zx = θ 2 = τ 2G = (1 + σ) τ Y. (10.98) (u ij ) = τ Y σ σ σ 0 σ Bolumenaren deformazio unitarioa, beraz, honako hau da:. (10.99) V V 3 = u kk = (1 2σ) τ Y. (10.100) k= IRUDIA Bi gainazal kuboaren barruan. Kalkula dezagun orain irudiko S 1 gainazalean aplikatutako esfortzua. Dagokion bektore unitarioa ˆn = i + j 2 (10.101) denez, (10.93) emaitzaren arabera, hauxe dugu: df ds = τ ˆn = τ = τ = τ j + k. (10.102) 2 Esfortzu normala eta tangentea (hau da, ebakidura-esfortzua) zuzenean kalkulatzen dira orain: ( ) df ds ( ) df ds ( = ˆn df ) ˆn = τ i + j ds 2 2, (10.103) = df ( ) df ds i + j + 2k = τ ds 2. (10.104) 2

19 10.5 Elastikotasun-tentsorea ARIKETA Kalkulatu esfortzuaren bi osagaiak irudiko S 2 gainazalean ARIKETA Kontsideratu orekan dauden 10.3 eta 10.7 irudietako solidoak. Eman dezagun irudi bakoitzean erakutsitako planoa OXY dela, OX ardatza horizontala eta OY ardatza bertikala. Froga ezazu dagozkien esfortzu-tentsoreak hauexek direla, hurrenez hurren: Presioa (τ ij ) = F A (τ ij ) = F l Esfortzu-tentsorerik errazena identitatearen proportzionala dena da:, (10.105). (10.106) τ ij = p δ ij. (10.107) Presioa deskribatzen du honek, edozein gainazal infinitesimalaren perpendikularra eta barruranzkoa baita: 3 df i = p δ ij ds j = p ds i df = p ds. (10.108) j= Elastikotasun-tentsorea Kasu orokorrean Hooke-ren legea esfortzu- eta deformazio-tentsoreen arteko erlazio lineala adierazten du 3 τ ij = C ijkl u kl (10.109) k,l=1 moduan. Elastikotasun-tentsorearen osagaiak C ijkl elastikotasun-moduluak dira eta gorputza homogeneoa bada, konstanteak dira. Esfortzu- eta deformazio-tentsoreak simetrikoak direnez, bakoitzak gehienez 6 osagai desberdin ditu; elastikotasun-tentsoreak, ondorioz, gehienez 36 osagai desberdin izango ditu, baina askotan askoz ere gutxiago dira. Kristal kubiko baten kasuan 21 dira, gehienez. Bestalde, (1.89)-ren orokorpen moduan, energia elastikoaren dentsitatea honako hau da: U = ijkl=1 C ijkl u ij u kl. (10.110) Bestelako indarrik ez badago, U dv energia elastiko osoaren minimoetan gertatuko da oreka Gorputz homogeneo isotropoa Kasu berezi honetan, elastikotasun-tentsoreak bi osagai independente besterik ez ditu, simetrien ondorioz, eta esfortzu- eta deformazio-tentsoreen arteko erlazioa beti idatz daiteke era honetan: [ 3 ] τ ij = 2µ u ij + λ u kk δ ij. (10.111) k=1

20 Ingurune jarraituak Honek esan nahi du elastikotasun-tentsorearen osagaiak edota C ijkl = λδ ij δ kl + µ (δ ik δ jl + δ il δ jk ) (10.112) λ = C xxyy = C yyzz = C zzxx = C yyxx =, (10.113) µ = C xyxy = C xzxz = C yxyx =, (10.114) 2µ + λ = C xxxx = C yyyy = C zzzz. (10.115) direla. Erabili ditugun µ eta λ parametroak Lamé-ren konstante elastikoak dira. Kontsidera dezagun orekan dagoen 10.3 irudiko barraren elementu bat. Hooke-ren (10.3) legea, (10.56) deformazio-tentsorea, (10.105) esfortzu-tentsorea eta (10.111) adierazpena erabiliz, hauxe dugu: Y l l = τ = τ 11 = 2µ 11 + λ (u 11 + u 22 + u 33 ) = [2µ + λ(1 2σ)] l l, (10.116) 0 = τ 22 = 2µ 22 + λ (u 11 + u 22 + u 33 ) = [ 2σµ + λ(1 2σ)] l l. (10.117) Hemendik zuzenean lortzen da lehenago ikusi ditugun elastikotasun-moduluen konbinazio moduan idatz daitezkeela Lamé-ren konstanteak: µ = λ = Y 2(1 + σ), (10.118) Y σ 1 + σ 1 2σ. (10.119) Ageri denez, (10.26) ebakidura-modulua µ = G da eta (10.15) luzetarako modulua 2µ+λ = Y irudiko kuboaren kasuan, (10.99) eta (10.100) erabiliz, (10.94) berreskuratzen da: 3 τ xx = 2µu xx + λ kk = k=1u τ [ σy Y 1 + σ + Y ] σ 1 + σ 1 2σ (1 2σ) = 0, (10.120) 3 τ yy = 2µu yy + λ kk = k=1u τ [ Y Y 1 + σ + Y ] σ 1 + σ 1 2σ (1 2σ) = τ, (10.121) τ xy = 2µu xy = 0, (10.122) τ xz = 2µu xz = Y τ (1 + σ) = τ. (10.123) 1 + σ Y 10.5 ARIKETA Kontsideratu orekan dagoen irudiko elementua. Erabili (10.61) deformazio-tentsorea, (10.106) esfortzu-tentsorea eta (10.25) legea, µ = G berriro egiaztatzeko Gorputz elastikoaren higidura-ekuazioak Gorputz elastikoetan eragiten duten kanpo-indar batzuk bolumenaren proportzionalak dira, hau da indar-dentsitate baten bidez adierazten dira: F V = f V dv. (10.124) V

21 10.6 Gorputz elastikoaren higidura-ekuazioak IRUDIA Gorputz elastiko baten barruko bolumen bat. Bolumen-indarrak deitzen dira horrelakoak eta ezagunena pisua da eta dagokion indar-dentsitatea honako hau da: f V = ρg = F V = mg. (10.125) Beste kanpo-indar batzuk gainazal-indarrak izan daitezke, gorputzaren azalean bakarrik eragiten badute. Horrelakoak izan dira 10.3 irudikoak, adibidez. Hemen, gauzak errazteko, kanpoko gainazal-indarrak nuluak direla suposatuko dugu. Hori gerta daiteke horrelakoek deformazio-eremu bat sortu ondoren kendu direlako edo kanpo-indar bakarra bolumenekoa izan delako Indar elastikoen dentsitatea Barne-indarrak, indar elastikoak hain zuzen, elementu infinitesimalen arteko gainazaletan aplikatzen dira, baina bolumenekotzat ere kontsidera ditzakegu. Izan ere, indar elastikoen dentsitatea erraz defini daiteke. S gainazal itxi batean egindako indar elastiko osoa, (10.93)-ren ondorioz, F e = df = τ ds (10.126) S da. Gogora gaitezen orain Gauss-en teoremaren arabera (ikus B.2.4 atala), eremu bektorial batek gainazal itxi batean zehar duen kanporanzko fluxua, gainazalak inguratutako bolumenean kalkulaturiko eremuaren dibergentziaren integralaren berdina dela: S E ds = V E dv S 3 3 E j ds j = S j=1 V j=1 E j x j dv. (10.127) Modu berean, hurrengo orokorpena froga daiteke (azken batez, i indizearen balio bakoitzeko Gauss-en teorema da): 3 3 τ ij τ ds = τ dv τ ij ds j = dv. (10.128) S V S V x j Baina horrek esan nahi du F e = dela eta, beraz, indar-elastikoaren dentsitatea V j=1 j=1 τ dv (10.129) 3 τ ij f e = τ f ei =. (10.130) j=1 x j 10.6 ARIKETA Froga ezazu presioari dagokion (10.107) esfortzu-tentsoreak definituriko indar- -dentsitatea hauxe dela: τ = p. (10.131)

22 Ingurune jarraituak Eboluzio-ekuazioak dv elementu infinitesimal baten masa eta azelerazioa dm = ρ dv eta r = 2 u/ t 2 dira, hurrenez hurren, eta Newton-en bigarren legea dm r = f e dv + f V dv, hau da, solido elastikoak pairatzen dituen indarrak bolumeneko kanpo-indarrak eta elastikoak badira, higidura-ekuazioa honako hau da: ρ 2 u t = τ + f 2 V. (10.132) Elementuaren momentu angeluarraren eboluzio-ekuazioa Newton-en bigarren lege honen ondorio zuzena da: d dt dl = dmr r = r ( τ + f V ) dv. (10.133) Beraz, momentu angeluarraren deribatua indar-momentuaren berdina denez, indar elastikoen momentuen dentsitateak dn e dv = r τ = r f e (10.134) izan behar du Indar elastikoen momentuen dentsitatea Baina, bestalde, zuzenean kalkula dezakegu irudiko V bolumenean aplikaturiko indar elastikoen momentua: N e = r df = r τ ds. (10.135) Kalkula dezagun honen z osagaia Gauss-en teorema erabiliz: N e3 = = = S S 3 3 (x 1 τ 2j x 2 τ 1j ) ds j = (x 1 τ 2j x 2 τ 1j ) dv S j=1 V j=1 x j 3 τ 2j 3 τ 1j x 1 x 2 + τ 21 τ 12 dv V j=1 x j j=1 x j (x 1 f e2 x 2 f e1 + τ 21 τ 12 ) dv. (10.136) V Emaitza hau V guztietarako betetzen denez, indar elastikoen momentuaren z osagaia dn e3 dv = x 1f e2 x 2 f e1 + (τ 21 τ 12 ) (10.137) da; baina (10.134) adierazpenaren 3. osagaian ez da agertzen asken gaia: τ 21 = τ 12 bete behar da, hortaz. Argi dago propietate bera betetzen dutela beste osagaiek: τ ij = τ ji dugu eta esfortzu- -tentsorea simetrikoa da Solido homogeneo isotropoa Solidoa homogeneoa eta isotropoa bada, (10.47) eta (10.111) adierazpenetatik ( τ) i = 3 τ ij 3 = µ j=1 x j j=1 2 u i x 2 j + (µ + λ) 3 j=1 2 u j x i x j, (10.138) τ = µ 2 u + (µ + λ) ( u) (10.139)

23 10.6 Gorputz elastikoaren higidura-ekuazioak 439 lortzen da eta (10.132) higidura-ekuazioa hurrengora laburtzen da: ρ 2 u t 2 = µ 2 u + (µ + λ) ( u) + f V. (10.140) Uhin elastikoak mugagabeko ingurune homogeneo isotropoetan Kanpo-indarrak nuluak badira, hau da, gorputza deformazio-egoera batean jarri ondoren desagertzen badira, gorputz homogeneo isotropoaren eboluzioa esfortzu elastikoen menpean gertatuko da, hurrengo ekuazioaren arabera: ρ 2 u t 2 = µ 2 u + (µ + λ) ( u). (10.141) Azken gaia ez balego, uhin-ekuazioa dela esango genuke. Uhin-ekuazio desberdin bat dela ikusteko, saia dezagun u(t, x) egiturako soluzioa. u y = u z = 0, (10.142) u = u x x, (10.143) ( u) = 2 u x i, (10.144) x2 2 u = 2 u x x 2 i + 2 u y x 2 j + 2 u z x 2 k (10.145) betetzen denez, (10.141) ekuazioaren osagaiak honako hauek dira: ρ 2 u x t 2 ρ 2 u y t 2 ρ 2 u z t 2 = (2µ + λ) 2 u x x 2, (10.146) = µ 2 u y x 2, (10.147) = µ 2 u z x 2. (10.148) Soluzioa, beraz, x norabidean hedatzen den uhina da. u x osagaia luzetarako uhina da eta bere fase-abiadura (10.18): 2µ + λ Y v = = ρ ρ. (10.149) u y eta u z osagaiak, berriz, zeharkako uhinak dira eta (10.33) fase-abiadura txikiagoz hedatzen dira: µ G v = ρ = ρ. (10.150) Frogatu dugu, beraz, (10.141) uhin-ekuazioa dela, eta orain ikusiko dugu modu orokorragoan nola deskonposatzen den bi uhin-ekuazio arruntetan. Hasteko, 2 u t = 2 v2 2 u + ( v 2 ) v2 ( u) (10.151)

24 Ingurune jarraituak modu baliokidean idatziko dugu, (10.149) (10.150) abiadurez baliatuz. Orain Helmholtz-en teoremaren arabera, u deformazio-eremua (10.79) (10.81) moduan idazten badugu, 2 u i t + 2 u s 2 t 2 = v 2 2 u i + v 2 2 u s + ( v 2 v 2 ) ( ui ) (10.152) dugu eta, (10.81) eta eragile diferentzialak, deribatu partzialak bezala, elkarrekin trukatzen direla erabiliz, honen dibergentzia honela geratzen da: [ v 2 2 u i 2 u i t 2 ] = 0. (10.153) Bestalde, (10.80)-ren ondorioz [ v 2 2 u i 2 u i t 2 ] = 0 (10.154) dugu eta, errotazional eta dibergentzia nuluak dituen eremu bektoriala nulua dela (ikus B.2.8 atala) erabiliz, 2 u i 1 2 u i = 0. (10.155) v 2 t 2 Elementu infinitesimalen biraketarik gabeko uhin harmoniko guztiak ( u i = 0) hedatzen dira (10.149) fase-abiaduraz. Orain, (10.152)-ren errotazionala, [ ] v 2 2 u s 2 u s = 0, (10.156) t 2 eta (10.81)-ren ondorioa den [ v 2 2 u s 2 u s t 2 ] = 0 (10.157) erabiliz, 2 u s 1 2 u s = 0 (10.158) v 2 t 2 dugu: bolumena aldatu gabe ( u s = 0) hedatzen diren uhin elastikoen fase-abiadura (10.150) da Fluidoak eta abiadura-eremua Denok dakigu zer diren likido eta gas arruntak (hemen ez ditugu tarteko kasu interesgarriak kontsideratuko): berezko forma eduki beharrean ontziarena hartzen dute. Aurreko ataletan ikasitakoaz baliatuz, zera esan dezakegu: fluidoak ezin egon daitezke orekan ebakidura-esfortzuak pairatzen dituzten bitartean. Ebakidura-esfortzua txikia izan arren, deformazioa ez da nahitaez txikia: handitzen da esfortzua desagertu arte. Horixe erabiliko dugu testu honetan fluidoen definiziotzat. Orain arte, partikula sistemetan eta ingurune elastiko jarraituetan, partikulek edo elementu infinitesimalek euren ibilbidetan zehar dituzten magnitudeen balioak (posizioa, abiadura eta abar) izan dira sistema mekanikoen oinarrizko aztergaiak: aldagai lagrangearrak direla esaten da,

25 10.7 Fluidoak eta abiadura-eremua 441 mekanika analitikoa egiteko egokiak baitira. Baina fluidoen kasuan askotan egokiagoak dira aldagai eulertarrak: partikula bakoitzak une bakoitzean dituen posizioa eta abiadura kontsideratu beharrean, t aldiune bakoitzean r puntu bakoitzean une horretan bertan dagoen partikularen abiadura kontsideratuko dugu: v(t, r) definitzen da horrela une eta puntu guztietan. Nolabait esateko, orain arte partikula izan da azterketa-gunea, baina orain puntua izango da. Modu berean definituko dira beste eremu eskalarrak eta bektorialak, hala nola dentsitatea eta presioa. Dentsitatea, adibidez, une bakoitzean puntu bakoitzean dagoen elementu infinitesimalaren masaren eta bolumenaren arteko zatidura izango da: ρ(t,r) = dm/dv Korronte-lerroak Horrela, partikulen ibilbideen ordez, korronte-lerroak, hau da, une bakoitzean puntu orotan abiadura-eremuaren tangenteak diren kurbak, kontsideratu behar ditugu: δr v(t,r) δx v x = δy v y = δz v z, (δt = 0). (10.159) (Desplazamendu birtualen notazioa erabili dugu hemen: ikus atala.) Oro har, abiadura-eremua denboraren menpekoa denez, horrelakoak izango dira korronte-lerroak eta, ondorioz, ibilbideen desberdinak: ibilbide batean partikula batek une desberdinetan dituen abiadurak kontsideratzen dira eta korronte-lerro batean une bakarrean partikula desberdinek dituzten abiadurak IRUDIA Korronte-lerroak une batean eta bi une hurbiletan. Fluidoen kasuan, oro har, ezin suposa dezakegu deformazioak txikiak izango direla eta, hortaz, u(t, r) deformazio-eremuaren ordez, denbora-unitateko deformazioa neurtzen duen v(t, r) abiadura-eremua izango da funtsezko aldagai zinematikoa. Argi dago, bi kontzeptuen artean erlazio zuzena eta estua dagoela, eta (t, t + dt) tartean deformazioa u(t, r) = v(t, r) dt dela. Adibidez, (10.77)-ren ondorioz, fluidoarekin batera higitzen den elementu infinitesimalaren bolumenaren deribatu logaritmikoa, zabaltze-abiadura deitzen den abiadura-eremuaren dibergentziaren berdina da: d ln dv = v. (10.160) dt Ondorioz, fluidoarekin batera higitzen den elementu infinitesimalaren bolumena kontserbatuko da hurrengo baldintza betetzen denean: v = 0. (10.161)

26 Ingurune jarraituak Bortizitatea Helmholtz-en teoremaren arabera (ikus B.2.8 atala) eremu bektorial bat bere dibergentziak eta errotazionalak (mugalde-baldintza egokiekin batera) zehazten dute. Abiadura-eremuaren errotazionala bortizitatea deitzen da: Ω = v. (10.162) (10.64)-ren ondorioz, fluidoarekin batera higitzen den elementu infinitesimalaren abiadura angeluarra bortizitatearen erdia da IRUDIA Kurba itxia eta mugatzen duen gainazal orientatua. Bestalde, kurba itxi batean barrena kalkulatutako abiadura-eremuaren lerro-integrala zirkulazioa deitzen da eta, Stokes-en teoremari ezker, kurbak mugatutako edozein gainazaletan zeharreko bortizitatearen fluxuaren berdina izango da (abiadura-eremua erregularra bada eta zulorik ez badago S gainazalean): C v dr = Denborarekiko deribatuak S ( v) ds = S Ω ds. (10.163) Azelerazio-eremua une bakoitzean puntu bakoitzean dagoen partikularen azelerazioa izango da, noski; baina partikula baten azelerazioa bere abiaduraren deribatua bada, nola deribatu behar da abiadura-eremua azelerazioa aurkitzeko? t unean partikula r puntuan badago, bere abiadura v(t,r) izango da eta, dt tartean v(t,r) dt bidea egun duenez, t + dt unean bere abiadura v [t + dt,r + v(t,r) dt] = v + ( v t + v x v x + v y v y + v ) z v z dt (10.164) izango da. (Azken ekuazioaren eskuineko gaiaren elementu guztiak (t, r) balioetan kalkulatzen dira.) Azelerazioa beraz, v [t + dt,r + v(t,r) dt] v(t,r) dt = v t + v x v x + v y v y + v z v z (10.165) izango da eta, eremu eskalarrekin eta bektorialekin erabiltzen den f (v )f v x x + v f y y + v f z z (10.166)

27 10.7 Fluidoak eta abiadura-eremua 443 definizioaz baliatuz, honela idatziko dugu, berriro (t,r) argumentuak esplizituki jarri gabe: dv dt = v + (v )v. (10.167) t Jakina antzeko formula bat erabili beharko da beste eremu (eskalar edo bektorial) guztien deribatua kalkulatzeko. Adibidez, hauexek ditugu dentsitatearen eta presioaren deribatuak: dρ dt dp dt = ρ t = p t + (v )ρ, (10.168) + (v )p. (10.169) (Ohar zaitez nabla eragilearekin biderkatzen dena beti dela abiadura-eremua.) Batzuetan d/dt deribatu osoa substantzia-deribatua dela esaten da, substantziaren higidurak sortzen baitu. / t deribatu lokala da eta v konbekzio-deribatua Fluxua Kontsidera dezagun S gainazal finko bat. Denbora unitatean S zeharkatzen duen masa, fluxua deritzo. Has gaitezen ds elementu infinitesimal batean zeharreko fluxuarekin. Han fluidoaren abiadura v denez, dt tartean ds zeharkatuko duen masa irudiko paralelepipedo infinitesimalean dagoena da: ρ dv. Paralelepipedoaren oinarriaren azalera ds da eta altuera dh = v dt cos θ, v eta ds bektoreen arteko angelua θ bada. Paralelepipedoren bolumena dv = v cosθ ds dt = v ds dt (10.170) da eta fluxu infinitesimala dφ = ρ dv dt = ρv ds. (10.171) IRUDIA Gainazal bat eta bere elementu infinitesimal bat. Azken adierazpenean agertzen den j ρ v eremu bektoriala korronte-dentsitatea da: bere norabidea eta noranzkoa fluidoarenak (hau da, abiadura-eremuarenak) dira eta bere modulua denbora-unitatean azalera-unitateko sekzio normala zeharkatzen duen masa. Izan ere, elementu infinitesimala normala bada, ds ρv dugu eta azalera-unitateko fluxua dφ/ds = ρv. Fluxu osoa, (10.171)-ren ondorioz, hauxe dugu: Φ = S dφ = ρv ds. (10.172) S

28 Ingurune jarraituak Gainazala denbora-unitatean zeharkatzen duen materiaren bolumena emaria deitzen da eta, ageri denez, honela kalkulatzen da: Q = v ds. (10.173) S Uraren kasuan, askotan m 3 s 1 erabili beharrean, l s 1 -etan neurtzen da eta, uraren dentsitatea konstantetzat har badezakegu, argi dago fluxua eta emaria proportzionalak direla Jarraitutasunaren ekuazioa Kontsidera ditzagun orain S gainazal geldi itxi bat eta inguratzen duen V bolumena (ikus irudia). Gauss-en (B.28) teoremari ezker, S gainazal itxian zeharreko emaria (abiadura-eremua erregularra bada eta ez badago zulorik) abiadura-eremuaren dibergentziaz baliatuz kalkula daiteke: Q = v ds = v dv, (10.174) S non V bolumena S gainazalak inguratutakoa den. Arrazoi beragatik, hauxe dugu kanporanzko fluxua: Φ = ρv ds = (ρv) dv, (10.175) S V V IRUDIA Gainazal itxia eta inguratzen duen bolumena. Bestalde, masaren kontserbazioaren printzipioa dela eta, barruan dagoen masaren aldaketa, sartzen den masaren berdina izango da, hau da, barruko masaren denborarekiko deribatua barruranzko fluxuaren berdina eta kanporanzko fluxuaren kontrakoa izango da: ṁ = Φ d dt (10.175) emaitzaren ondorioz, masaren kontserbazioa V V ρ dv = ρv ds. (10.176) S [ ] ρ t + (ρv) dv = 0 (10.177) moduan idazten da edo, hau V guztietarako bete behar denez, (10.160), (10.168) eta (B.31)-ren ondorioz, lau era baliokide hauetan: ρ t ρ t + (ρv) = 0, (10.178) + (v )ρ + ρ v = 0, (10.179)

29 10.8 Hidrostatika dρ + v = 0., (10.180) ρ dt d dt ln ρ + d dt ln dv = d ln(ρ dv ) = 0. (10.181) dt Azken adierazpena, bolumen tinko batean dagoen masaren aldaketa sartzen denaren berdina izateaz gain, masaren kontserbazioa hurrengo modu baliokidean uler daiteke: fluidoarekin batera higitzen den dv elementu infinitesimal baten ρ dv masa konstantea da jarioan barrena: d(ρ dv )/dt = 0. Hauxe izango litzateke masaren kontserbazioa «partikulen» ikuspuntutik eta (10.176) adierazpena Euler-en deskribapenean egindakoa. Jarioa egonkorra dela esango dugu eremu fisikoak ez badira denboraren esplizituki menpekoak: v/ t = 0, ρ/ t = 0, eta abar. Kasu honetan, korronte-lerroak egonkorrak eta elementu infinitesimalen ibilbideen berdinak izango dira eta jarraitutasunaren ekuazioa hurrengora laburtzen da: (ρv) = 0. (10.182) Fluido konprimiezinak Fluidoak aztertzeko euren egoera-ekuazioa ezagutu behar da, ρ dentsitatea presioarekin (eta tenperaturarekin, adibidez) nola aldatzen den jakiteko. Zerbait esan genuen horretaz atalean, soinuaren abiadura gas idealetan aztertzean. Hala ere, uhinak alde batera utzita, kasu interesgarri askotan ρ konstantetzat har dezakegu. Horrela gertatzen da gehienetan urarekin, baina baita airearekin Mach-en zenbakia, airearen eta soinuaren abiaduren zatidura dena, 1 baino askoz txikiagoa denean ere. Dentsitatea puntu eta une guztietan berdina delako hurbilketa hori egiten denean, fluidoa konprimiezina dela esaten da 1 eta, orduan, jarraitutasunaren ekuazioa bolumenaren kontserbazioa adierazten duen (10.161) baldintzara laburtzen da: ρ t = ρ = 0 v = 0 dv = Ktea. (10.183) Kasu horretan jarioa solenoidala da, v = A moduan idatz daiteke, eta gainazal itxi batean zeharreko emari osoa nulua da, (10.174)-ren ondorioz: v ds = 0, (10.184) hau da, ez dago ez iturririk ezta hustubiderik ere Hidrostatika S Fluidoen definizioaren ondorioz, estatikan ez dago ebakidura-esfortzurik eta esfortzu elastikoak normalak izango dira, presioaren ondorio zuzena: df e = p ds. (10.185) 1 Badago definizio orokorrago bat: batzuetan jarioa konprimiezina dela esaten da korronte-lerro bakoitzean dentsitatea konstantea bada, dρ/dt = ρ/ t + v ρ = 0, nahiz eta korronte-lerro batetik bestera aldatu. Nahikoa da hipotesi hau jarraitutasunaren (10.180) ekuazioa, elementu infinitesimalaren bolumenaren kontserbazioa adierazten duen (10.161) ekuaziora laburtzeko. Guk, jario konprimiezina izateaz gainera, korronte-lerro guztietan dentsitatea berdina dela suposatzen dugu fluidoa konprimiezina dela esatean: ρ = 0 eta, beraz, ρ/ t = 0 dugu eta ρ ez da denboraren edo posizioaren menpekoa.

30 Ingurune jarraituak (10.131) emaitzan frogatu genuenez, presioari dagokion indar-dentsitatea p da. Horrez gain, fluidoak pairatzen duen kanpo-indar bakarra pisua bada, dagokion indar-dentsitatea ρg da. Hortaz, oreka-baldintza p + ρg = p ρ (gh) = 0 (10.186) moduan idazten da, zero maila batetik eta gorantz neurtutako altuera h bada. Gainera, fluidoa konprimiezina dela suposatzen badugu ( probleman aztertuko dugu zer gertatzen da hipotesi hau egiten ez bada), (p + ρgh) = 0 (10.187) beteko da eta, ondorioz, p + ρgh = ktea. (10.188) Hauxe dugu hidrostatikaren oinarrizko legea, orekan dauden fluido konprimiezin guztietan betetzen dena (eta ez bakarrik uraren kasuan) Manometroa Aplikazio moduan ikus ditzagun manometro eta barometroaren oinarriak irudiko ezkerraldean dugu hodi zabaleko barometroaren eskema, ontzian dagoen gas edo likidoaren presioa neurtzeko erabil daitekeena. Aipaturiko presioa barometroaren likidoaren 1 muturrean dagoena da: p. Likido hori orekan dagoenez, 2 puntuan (10.188) magnitudearen balioa berdina izango da, baina han presioa atmosferikoa da: p = p 0 + ρgh. (10.189) Hortaz, ontziko gas edo likidoaren presio manometrikoa, hau da, presio atmosferikoa zero mailatzat aukeratuz neurtzen dena, h altueraren proportzionala da: p p 0 = ρgh. (10.190) IRUDIA Manometroa eta barometroa Barometroa Lehenengo barometroen eskema irudiko eskuinaldean erakusten da. Merkurioz beteriko probeta bat merkurioan sartzen da. Ontziaren gainazalean presioa atmosferikoa da: p 1 = p 0. Bestalde, probetaren barruan, merkurioaren gainean hutsa egin da eta presioa, nulua da. Honela idazten da, bada, (10.188) 1 eta 2 puntuetan: p 0 = ρgh. (10.191)

31 10.9 Fluido idealak 447 Hauxe da presioaren unitatetzat merkurio-milimetroa aspaldian aukeratzeko arrazoia: manometroaren likidoa, askotan bezala, merkurioa bada, h = 1 mm bada presioa manometrikoa 1 mm Hg da. Torricelli-ren omenez, torr ere deitzen da unitate hori: 1 torr = 1 mm Hg = Pa. Beste batzuetan presio atmosferikoa neurtzeko, halako batez besteko balioa den atmosfera (estandarra) erabiltzen da: 1 atm = 760 torr = Pa. Bestalde, bar izeneko unitatea (edo bere azpimultiplo den milibarra) ere erabiltzen da: 1 bar = 10 5 Pa Arkimedes-en printzipioa Kontsidera dezagun fluido batean orekan dagoen gorputz bat. Presioaren ondorioz, gorputzaren S azalean fluidoak eragiten duen indarra hauxe dugu: F e = p ds. (10.192) Orain, buruan, gorputza likidoarekin ordezkatzen badugu, argi dago presioa ez dela aldatu gainazalean eta kanpoan; baina orain (10.131) indar-dentsitatea eta (10.186) erabiliz, S gainazalak inguratutako V bolumenean kalkula dezakegu (10.192) integrala fluidoaren dentsitatearen bidez: [ F e = p ds = p dv = ρg dv = S V V S V ρ dv ] g. (10.193) Ordezkatzen duen uraren pisuaren kontrako bultzada hidrostatikoa pairatzen du gorputz urperatu batek. Enuntziatu klasiko honetan uraren kasua aipatzen bada ere, argi dago fluido guztietara hedatzen dela mutatis mutandi IRUDIA Arkimedes-en printzipioa ARIKETA Aplika daiteke Arkimedes-en printzipioa fluidoa konprimigarria bada edo gorputz osoa ez badago ur-azalaren azpian? 10.9 Fluido idealak Definizioz, fluido ideal baten elementu batek albokoaren gainean, bien arteko mugan, eragiten duen indarra, aipaturiko mugaren perpendikularra izango da, hau da, presioaren ondorio hutsa: df e = p ds. (10.194) Badakigu presioari dagokion esfortzu-tentsorea (10.107) dela eta, (10.131) emaitzan frogatu genuenez, indar-dentsitatea p.

32 Ingurune jarraituak Barne-indar horrez gain, kanpo-indarrak badaude, f V dentsitatearen bidez adierazten direnak, honela idazten da Newton-en bigarren legea fluidoarekin batera higitzen den dv elementu infinitesimalaren kasuan: (ρ dv ) dv dt = p dv + f V dv. (10.195) Hortaz, fluido idealaren higidura-ekuazioa hurrengo modu baliokideetara idazten da: ρ [ v t ρ dv dt] + (v )v = p + f V, (10.196) = p + f V. (10.197) Euler-en ekuazioa deritzo honi. Askotan kanpo-indarra pisua izango da eta f V indar-dentsitatea (10.125) adierazpenekoa. Ohar zaitez eboluzio-ekuazio hau, ingurune jarraituetan gertatzen den bezala, deribatu partzialetako ekuazioa dela. Zoritxarrez, (v )v gaia dela eta, ekuazioa ez da lineala: den-dena izango da zailagoa eta ez da beteko gainezarmenaren printzipioa. Bestalde aitortu behar da fluido idealen hurbilketa ez dela oso ona: fluido guztietan agertzen dira (10.107) esfortzu-tentsoreak ez dituen ebakidura-esfortzuak. Horrexegatik, John von Neumann-ek esaten zuen hurbilketa honetan «ur lehorra» aztertzen zela. Hala ere, gutxienez ikuspuntu kualitatibotik, lehen azterketa bat egiteko baliagarria izan daiteke Bortizitatearen eboluzioa Bortizitatearen (10.162) definizioa eta (B.47) erabiliz, dugu eta Euler-en ekuazioa honela idazten da: (v )v = Ω v v2 (10.198) v t + Ω v v2 = 1 ρ p + 1 ρ f V. (10.199) Eman dezagun fluidoa konprimiezina dela: (B.20)-ren ondorioz ( 1 ρ p) = 1 p = 0 ρ dugu. Gainera, ( 1 f ) ρ V = 0 betetzen dela (adibidez, fv = ρg delako) suposatuko dugu. Hipotesi horiekin, honela geratzen dira (10.199) ekuazioaren errotazionala eta bolumenaren kontserbazioa adierazten duen (10.161): Ω t + (Ω v) = 0, (10.200) v = 0. (10.201) Ekuazio hauetan ρ dentsitatea, p presioa eta kanpo-indarra desagertu dira: bakarrik geratzen da abiadura-eremua. Nahikoak dira bi ekuazio hauek, mugalde-baldintza egokiekin, abiadura-eremua printzipioz kalkulatzeko. Adibidez, bortizitatea beti eta leku guztietan zero bada, Ω (t,r) = 0, (10.200) ekuazioa betetzen da eta mugalde-baldintzekin batera ebatzi behar diren ekuazioak hurrengoak ditugu: v = 0, (10.202) v = 0. (10.203)

33 10.9 Fluido idealak 449 Baina v-ren ordez eremu elektrikoa (magnetikoa) idazten badugu, ekuazio hauek elektrostatikarenak (magnetostatikarenak) dira, kargetatik (korrontetatik) at egoera egonkorrean betetzen direnak. Ondorioz, elektrostatikan bezala, 2 φ = 0 Laplace-ren ekuazioa 2 betetzen duen φ potentzial batetik lor daiteke abiadura-eremua kasu honetan: v = φ IRUDIA Zilindro luze bat jario konprimiezin irrotazionalean. Kontsidera dezagun, adibidez, fluidoan zilindro infinitu bat sartzen dugula. Eman dezagun zilindroaren ardatza OZ ardatz cartesiarra dela. Distantzia infinitura abiadura-eremua homogeneoa eta uniformea bada, OX norabidean, irudiko ezkerraldean dagoenaren antzeko bat espero dugu. Baina horrelako soluzioa elektrostatikaren bi soluzio ezagunak (eremu elektriko uniformea eta dipolo batena) batuz lortzen da. Izan ere, probleman frogatuko dugunez, v 1 = φ, eremuak (10.202) (10.203) ekuazioak eta φ = α cosϕ ( r + a2 r ) (10.204) v r r=a = 0 (10.205) mugalde-baldintza betetzen ditu OZ ardatzaren inguruko (r, ϕ, z) koordenatu zilindrikoetan 3. Fluidoa hasieran geldi badago eta zilindroa bere ardatzaren inguruan biratzen, orain arte arbuiatu dugun likatasunaren ondorioz, egoera egonkorrean fluidoa zilindroaren inguruan biratuko da, irudiko erdialdean erakusten den moduan. Baina horrelako soluzioa oso ezaguna da magnetostatikan, korronte zuzen infinitu batek sorturikoa baita: v 2 = β k. (10.206) 2πr Badakigu, Ampère-ren legearen ondorioz, eremu magnetikoaren zirkulazioa, integrazio-lerroak inguratzen duen intentsitate osoaren berdina dela; hortaz, nahiz eta (10.202) ekuazioa zilindrotik kanpo bete, zilindroaren inguruko zirkulazioa hauxe da: v 2 dr = β. (10.207) (10.202) (10.203) ekuazioak linealak direnez, soluzioen batura soluzioa da: jario uniforme batean sartutako zilindro birakor baten kasuan soluzioa, irudiko eskuineko v 1 + v 2 izan daiteke. Gainera, probleman frogatuko dugu oraingo jario ez-uniformeak zilindroaren luzera-unitatean F = αβρj (10.208) L indarra eragiten duela. Magnus efektua deritzo honi eta bestelako geometriekin ere gertatzen da, noski. 2 Izan ere, Euler-ek eta Lagrange-k erabili zuten ekuazio hau fluidoen higidura aztertzeko, Laplace-k eremu grabitatorioaren kasuan idatzi baino lehenago. 3 Gai honetan koordenatu zilindriko erradiala r izango da, ρ dentsitatea adierazteko erabiliko baitugu.

34 Ingurune jarraituak Bernoulli-ren teorema Kontsidera dezagun hurrengo baldintzak betetzen dituen fluido baten higidura: Ideala da: ρ dv/dt = p + f V. Konprimiezina: ρ = ktea., v = 0. Grabitatearen eraginpean higitzen da: f V = ρ (gh). Jarioa egonkorra da: v/ t = p/ t = 0. Energiaren eboluzio-ekuazioa aurkitzeko, Euler-en (10.196) ekuazioa abiadurarekin biderkatzen badugu, ρv dv = (v )p ρ(v )(gh) (10.209) dt lortzen da eta, (10.167) eta (10.169) erabiltzen baditugu, ( d 1 dt 2 ρv2 + ρgh + p) = 0. (10.210) Beraz, korronte-lerro batean barrena (gogoratu jario egonkorra denez korronte-lerroak partikulen ibilbideak direla) honako magnitude hau konstantea da: 1 2 ρv2 + ρgh + p = ktea. (10.211) Lehen gaia energia zinetikoaren dentsitatea da, bigarrena energia potentzial grabitatorioarena eta hirugarrena energia potentzial elastikoarena (indar elastikoaren dentsitatea p baita). Energiaren mekanikoaren kontserbazioa adierazten du Bernoulli-ren teorema honek eta, higidura-konstante guztiekin gertatzen den bezala, (10.211) magnitudearen balioa konstantea da korronte-lerro bakoitzean barrena, baina alda daiteke lerro batetik bestera. Hala ere, jarioa irrotazionala bada, Ω = v = 0 dugu eta, (10.199) adierazpenaren ondorioz, ( ) 1 2 ρv2 + ρgh + p = 0. (10.212) Hortaz, kasu honetan (10.211)-ren balioa berdina da une eta puntu guztietan. Bernoulli-ren teoreman azken gaia presioa denez, batzuetan p + ρgh presio estatikoa dela esaten da (horixe baita hidrostatikako (10.188) magnitudea) eta p + ρgh ρv2 higidura-konstantea presio dinamikoa IRUDIA Ontzi baten hustea. Torricelli-ren teorema Aplikazio moduan, azter dezagun irudiko hustea zulo baten bidez. Zuloa oso txikia bada (S 2 S 1 ), gainazalaren abiadura oso txikia izango da (v 1 v v 2 ) eta 1 eta 2 puntuetan

35 10.9 Fluido idealak 451 presioa atmosferikoaren berdina denez, honela idazten da presio dinamikoa bi puntu horietan, altuera 2 puntutik neurtuz: p 0 + ρgh = p ρv2. (10.213) Ondorioz, fluidoaren abiadura zuloan gainazaletik hara jausi den partikula batena da: v = 2gh. (10.214) Emaitza ez da hain harrigarria; azken batez, kasu bietan energia zinetikoa energia potentzial grabitatoriotik atera da. Bi problemetan badago bigarren soluzio bat, v = 2gh alegia: partikula gorantz jaurtitzean altuera berdinera edo ura presio atmosferikoan zulotik sartzen bada lortzen da hau. Ez da pentsatu behar zuloan neurtzen den emaria vs 2 denik. Izan ere, irtetean korronte-lerroak hurbiltzaileak dira eta zeharkako sekzio eragilea txikiagoa da (eta gainera, energia apur bat galtzen da beti). Emaria, beraz, Q = CvS 2 izango da, non C konstantea zuloaren emari-koefizientea den. Adibidez, irudiko motako zulo zirkular mehe baten kasuan C 0.62 dugu. Venturi efektua Kontsidera dezagun orain zeharkako sekzio aldakorreko hodi horizontal bat. h altuera puntu guztietan berdina dela suposatzen badugu (eta horrelakoa da zehazki erdiko korronte-lerroan eta era hurbilduan besteetan), honela idazten da Bernoulli-ren teorema 1 eta 2 puntuetan: 1 2 ρv2 1 + p 1 = 1 2 ρv2 2 + p 2. (10.215) Fluidoa konprimiezina denez, emaria berdina izango da 1 eta 2 puntuetan eta horrela idazten da (10.184): v 1 S 1 = v 2 S 2. Baina, S 2 < S 1 denez, v 2 > v 1 dugu, eta (10.215)-ren ondorioz, p 2 < p 1 : presioa txikiagoa (eta abiadura handiagoa) da hodi estuagoa den puntuetan IRUDIA Hodi horizontala. Efektu honek azaltzen du zergatik apurtzen diren, askotan, ur-hodi lodienak. Motorren karburagailuetan gasolina sartzeko erabiltzen da efektu hau, baita tximinietatik kea irteten laguntzeko eta lainoztagailuetan perfume-tanta txiki-txikiak airearekin nahasteko ere. Gainera, problemetan ikusiko dugunez, fenomeno honetaz balia gaitezke venturimetroetan emaria neurtzeko, eta probleman hegazkinen hegoen euste aerodinamikoa balioztatzeko erabiliko dugu. Baina azken problema eta praktikan askotan agertzen diren beste asko ez dira hain erraz azaltzen era zuzenean. Hala ere, gauzak nolabait ulertzeko, Venturi-ren efektuaren beste azalpen kualitatiboa erabilgarria izan daiteke. v 2 > v 1 dugunez, 1 eta 2 puntuen artean eskuineranzko azelerazio bat pairatu behar du (adibidez) erdiko korronte-lerroan barrena higitzen den partikulak eta azelerazio hori presio-gradiente batek sor dezake bakarrik: presioa handiagoa da 1 puntuan. Oro har, abiadura-eremuaren modulu edota norabidearen aldaketak (hala nola korronte-lerroen kurbadura) sortzen dituzten presio-gradienteak fenomeno batzuk ulertzeko erabil daitezke, nahiz eta Bernoulli-ren edo Venturi-ren emaitzak aplikatzen ez diren.

36 Ingurune jarraituak Fluido likatsuak Orekan horrelakorik ez badago ere, dinamikan ebakidura-esfortzuak agertzen dira beti benetako fluidoetan. Kontsidera dezagun irudiko esperimentua 4. Bi plano infinituren artean fluido bat dugu. Beheko planoa geldi dago eta goikoa abiadura konstantez higitzen da, erakusten den norabidean. Plano horren eta ondoan dagoen fluido-geruzen arteko indarrak bi osagai ditu: normala, presioaren ondorioa dena, eta tangentea. Azken honen ondorioz, planoak fluidoa eramaten du: planoa ukitzen duen geruza mehe bat pausagune erlatiboan dago eta planoarekin batera higitzen da; hori da esperimentuetan ikusten dena. Arrazoi beragatik, beheko geruza geldi dago eta tartekoak bitarteko abiaduraz higitzen dira, bakoitzak ondokoaren gainean marruskadura-indar bat (hau da, indar tangente bat) eragiten baitu. Likatasuna deitzen da fenomeno hau, fluido guztietan gertatzen dena IRUDIA Fluido bat abiadura erlatiboa duten bi plano infinituren artean. Gainera, planoen arteko abiadura erlatiboa mantentzeko aplikatu behar den esfortzua abiaduren diferentziaren proportzionala da eta planoen arteko distantziaren alderantzizko proportzionala: F A = ηv d. (10.216) Proportzionaltasun-konstantea likatasun dinamikoaren koefizientea (edo likatasun-koefizientea) deitzen da eta SI sisteman dagokion unitatea 1 Pa s da 5. Zenbait fluidoren likatasun-koefizienteak A.10 taulan bildu dira. Higiduraren perpendikularra den norabidean x koordenatua aukeratzen badugu, honela adierazten da irudiko bi plano paralelo hurbilen abiaduren diferentziak sortutako likatasunaren ebakidura-esfortzua: F + x) v(x) = ηv(x. (10.217) A x Beraz, x 0 limitean, hauxe dugu x distantziara higiduraren norabidean dagoen elementu batek albokoaren gainean eragiten duen ebakidura-esfortzua likatasunaren ondorioz: Poiseuille-ren legea F A = ηdv dx. (10.218) Hodi baten zeharkako sekzioan emaria kalkulatzeko, Q = vs formula erabili dugu lehenago, abiadura sekzioaren puntu guztietan berdina balitz bezala. Baina badakigu hori ezinezkoa dela, horman fluidoaren abiadura nulua baita. 4 Benetako esperimentuak errazago egiten dira beste geometriekin; ikus, adibidez, problema. 5 Liburu batzuetan aipatzen diren poiseuille izena eta Pl laburdura ez dira onartu SI sisteman. Praktikan, askotan, CGS sistemako poisea erabiltzen da: 1 P = 0.1 Pa s.)

37 10.10 Fluido likatsuak IRUDIA Fluidoaren abiadura hodi horizontal batean. Kontsidera dezagun irudiko hodi horizontal luzea. Jarioa egonkorra bada, abiadura- -banaketa denboraren independentea izango da eta r erradioko zilindroan aplikaturiko indar osoa nulua izango da. Alboko fluidoak eragindako likatasun-indarra kalkulatzeko, x koordenatuaren ordez, r erabili beharko da (10.218) legean. Ondorioz, hauxe dugu indarren oreka: (p 1 p 2 ) πr 2 + η(2πrl) dv = 0. (10.219) dr Hemendik erraz lortzen da abiadura-banaketa integral baten bidez: dv dr = p 1 p 2 r, (10.220) 2ηL v = p 1 p 2 4ηL r2 + C. (10.221) Integrazio-konstantea kalkulatzeko, horman fluidoa geldi dagoela adierazten duen v(r) = 0 mugalde-baldintza erabiltzen bada, hauxe da abiadura zentrotik r distantziara: v = p 1 p 2 4ηL ( R 2 r 2). (10.222) Ikusten dugu, bada, abiadura-banaketa parabolikoa dela, (a) irudian erakusten den bezala (10.11 atalean aipatzen den turbulentzia badago, (b) irudiak hobeto deskribatzen du kualitatiboki gertatzen dena). Bestalde, r eta r + dr erradioen arteko eraztun infinitesimalean zehar denbora-unitatean igarotzen den fluidoaren bolumena kontuan hartuz, erraz kalkulatzen da emaria: Q = v ds = p 1 p R ( 2 R 2 r 2) 2πr dr, (10.223) S 4ηL 0 Q = πr4 8η p 1 p 2 L. (10.224) Azken adierazpenean, presioa luzera-unitatean nola aldatzen den neurtzen du p/ l p 1 p 2 /L gaiak: p l = 8ηQ πr. (10.225) 4 Likatasunak eragindako galerak direla eta, presioa txikituz doa hodian barrena. Azpimarratzekoa da erradioaren laugarren berreturaren menpekotasuna: presio galera askoz ere txikiagoa izango da hodi zabaletan estuetan baino irudian erakusten dira presioaren txikitze horren ondorioak hodi horizontal mehe batean. Ezkerrean agertzen den fluido idealaren kasuan, presioa txikitzen da azelerazioaren ondorioz, Venturi efektuaren arabera; baina eskuinean dagoen fluido likatsuaren kasuan (10.225) galera ere dago, hodi meheagoetan arinagoa dena. Fluido idealaren kasuan, azken manometroan ia ez

38 Ingurune jarraituak IRUDIA Fluido (a) ideal (b) likatsu baten hustea hodi horizontal batean barrena. dago presio manometrikorik, bertan presioa atmosferikoaren berdintsua baita. Fluido likatsuaren kasuan hango presioa altuagoa izango da, hodiaren ahoraino bide bat egin behar baitu oraindik Navier eta Stokes-en ekuazioa Oro har, fluido likatsu baten esfortzu-tentsoreak, presioari dagokion (10.107) ekarpenaz gain, solido elastiko homogeneo isotropo baten kasurako ikusi genuen (10.111) tentsorearen egitura bereko beste osagai bat du: τ ij = p δ ij + τ ij, (10.226) ( τ ij vi = η + v ) j + (ζ 2 ) ( ) 3 x j x i 3 η v k δ ij. (10.227) x k Bigarren konstante bat behar da fluido batzuen kasuan: bigarren likatasun-koefizientea (edo bolumen-likatasunaren koefizientea) deituriko ζ delakoa. Koefiziente hau ez da agertzen fluido konprimiezinetan, v zabaltze-abiadura biderkatzen baitu. Fluido orokorrean, beraz, presioari dagokion p indar-dentsitateaz gain, indar likatsuaren dentsitatea agertuko da: 3 τ 3 ij 2 ( ) v i 1 v f Li = = η + j=1 x j j=1 x 2 j 3 η + ζ, (10.228) x i ( ) 1 f L = η 2 v + 3 η + ζ ( v). (10.229) Azken indar-dentsitatea Euler-en (10.197) ekuazioaren bigarren gaiari gehitzen badiogu, fluido likatsuen higidura-ekuazioa, Navier eta Stokes-en ekuazioa deitzen dena, lortzen dugu: [ ] ( ) v 1 ρ + (v )v = p + η 2 v + t 3 η + ζ ( v) + f V. (10.230) Likatasun zinematikoaren koefizientea k=1 ν η ρ (10.231) moduan definitzen badugu, hurrengo formara laburtzen da Navier eta Stokes-en ekuazioa fluido konprimiezinen kasuan: v t + (v )v = 1 ρ p + ν 2 v + 1 ρ f V. (10.232) Navier eta Stokes-en ekuazioa, ez da lineala (v )v gaia koadratikoa da eta kasu gutxitan aska daiteke esplizituki probleman aztertuko dugu bat.

39 10.11 Reynolds-en zenbakia Reynolds-en zenbakia Eman dezagun fluidoa konprimiezina dela ( v = 0) eta kanpo-indarraren dentsitatea kontserbatzailea ( f V = 0). Navier eta Stokes-en (10.232) ekuazioaren errotazionala Ω = v bortizitatearen eboluzio-ekuazioa da: Ω t + (Ω v) = η ρ 2 Ω, (10.233) v = 0. (10.234) (10.233) ekuazioan (10.200)-an ez zegoen likatasunaren menpeko gai berri bat agertzen da. Ondorioz, bortizitatearen ekuazioak aldatu egiten dira. Adibidez, (10.233) delakoan (Ω v) gaia ez balego, difusio-ekuazioa (eroale batean beroaren hedapena deskribatzen duena) izango litzateke: bortizitatea nonbait sortzen bada, beste puntuetara heda daitekeela espero dugu, beraz. Eman dezagun, irudiko ezkerraldean bezala, zilindro infinitu bat sartzen dugula distantzia handira v 0 = v 0 i abiadura konstantez higitzen den fluido batean. Abiadura-eremua aurkitzeko, (10.233) (10.234) ekuazioak hurrengo mugalde-baldintzekin batera ebatzi behar dira: lim v = v 0 i, (10.235) r v = 0. (10.236) r=a Problema aztertzeko, luzera-unitatetzat 2a diametroa eta denbora-unitatetzat 2a/v 0 aukeratuko ditugu, hau da, dimentsio gabeko aldagai hauek erabiliko dira: r = r 2a, (10.237) t = v 0 t. (10.238) 2a 10.8 ARIKETA Froga ezazu hasierako aldagaien eta dimentsio gabekoen arteko erlazioaren ondorioz hauxe dugula: 4a 2 v 2 0 v = v v 0, (10.239) = 2a, (10.240) t = 2a v 0 t, (10.241) Ω = 2a Ω, v 0 (10.242) Ω t = 4a2 Ω v0 2 t, (10.243) ( Ω v ) = 4a2 v0 2 (Ω v), (10.244) 2 Ω = 8a3 2 Ω, (10.245) v [ 0 Ω t + (Ω v) η ] ρ 2 Ω = Ω t + (Ω v ) 1 R 2 Ω, (10.246) R 2ρav 0. (10.247) η

40 Ingurune jarraituak Azken ekuazioan definitu dugun dimentsio gabeko R = 2ρav 0 η = 2av 0 ν (10.248) magnitudea, problemaren Reynolds-en zenbakia da eta ebatzi behar den problema, primak kenduta, honela idazten dela frogatu dugu: Ω t + (Ω v) = 1 R 2 Ω, (10.249) v = 0, (10.250) lim v = i, (10.251) r v r=1 = 0. (10.252) Baina hemen geratu den parametro bakarra R da. Honek esan nahi du bi problemetan, a, v 0, ρ edo η desberdinak izan arren, Reynolds-en zenbakia berdina bada, biak izango direla antzekoak, hau da, baliokideak ikuspuntu matematikotik: nahikoa izango da bat aztertzea bestea ulertzeko. Antzekotasunaren lege hau garrantzi praktiko handikoa da. Esaterako, hegazkinak diseinatzeko, nahikoa da eskala txikiko eredu bat haize-tunel batean aztertzea. (Egia esan, airea konprimiezina delako hipotesia mantentzeko, Mach-en zenbakia txikia ez bada, bi problemetan berdina izan behar du hauek antzekoak izateko.) Ebatzi behar den problema matematikoa oso zaila da eta hurbilketak edo zenbakizko metodoak erabiliz ebatzi behar dira. Reynolds-en zenbakia oso txikia denean (R 1), soluzioa irudiko ezkerraldean ikusi genuenaren antzekoa da. R handitzean, zilindroaren atzean zurrunbiloak sortzen dira: zirkulazioa ez da, beraz, zero; baina higidura oso erregularra eta egonkorra da. R handiagoekin zurrunbiloak askatzen dira eta euren ordez beste batzuk sortzen dira etengabe; higidura erregularra da baina ez egonkorra, periodikoa baizik. Azkenean, higidura irregularra, kaotikoa, hasten da: turbulentzia sortzen da. Azpimarratu behar da R limitean, hau da, likatasuna arbuiagarria denean, ez dela ataleko higidura berreskuratzen, konstante hori biderkatzen duen bigarren ordenako deribatuak oso handiak izan baitaitezke: fluido idealen hurbilketak fluidoen funtsezko ezaugarri bat ahazten du (hala ere, erabilgarria da jarioa laminarra denean bortizitaterik ez badago). Esperimentu askotan ikusi da hodi zuzen horizontal batean higitzen den fluidoaren kasuan, Reynolds-en zenbakia baino txikiagoa denean jarioa erregularra, laminarra izan ohi dela, baina 4000 baino handiagoa denerako ia beti turbulentzia agertu dela Stokes-en eta Newton-en legeak Likatasunaren ondorioz, fluidoetan v abiaduraz higitzen diren gorputzek arraste-indar bat pairatzen dute, (10.193) bultzada hidrostatikoaz gain. Arraste-indarra adierazteko, dimentsio gabeko C D arraste-koefizientea erabili ohi da: F η = 1 2 C Dρv 2 S, (10.253) non S delakoa v-ren perpendikularra den planoan gorputzak duen proiekzioaren azalera den. 6 Kasu horretan (10.248) definizioan hodiaren diametroa erabili behar da 2a-ren ordez eta v 0 -ren ordez fluidoaren abiaduraren batez besteko balioa.

41 10.12 Stokes-en eta Newton-en legeak 457 Eman dezagun a erradioko esfera zurrun bat (S = πa 2 ) fluido batean barrena v abiaduraz higitzen dela. Jarioa konprimiezina bada eta problema honen Reynolds-en zenbakia oso txikia bada, R 2ρav 0.2, (10.254) η arraste-koefizientea C D = 24 R da eta arraste-indarra Stokes-en legeak emandakoa: (10.255) F η = 6πaηv. (10.256) (Aintzira batean astiro hondoratzen den harri-kokor bati aplika dakioke hau, baita uretan dagoen mikroorganismo bati edo aireko hautsari.) R handitzean C D (v) aldatzen da, baina 1000 R 10 5 tartean ia konstantea da, C D 0.44, (10.257) eta (10.253) arraste-indarrak Newton-en legea betetzen du: abiaduraren karratuaren proportzionala da. (Hauxe da Pisako dorretik askatutako harriak edo paraxutista batek pairatzen duen airearen arrastea.) Stokes-en legearen aldaera bat erabili zen XX. mendeko esperimentu famatu eta garrantzitsu batean. 1897an J. J. Thomson-ek elektroia aurkitu zuen eta bere karga eta masaren e/m zatidura neurtu zuen eremu magnetikoetan elektroiak nola higitzen diren aztertuz tartean R. A. Millikan-ek 7 egindako esperimentuetan elektroiaren e karga neurtu zen zuzenean eta kargaren kuantizazioa, hau da, karga guztiak oinarrizko kargaren multiploak direla, frogatu zen IRUDIA Millikan-en esperimentuaren eskema. Esperimentuaren eskema irudian erakusten da. Lainoztagailu baten bidez olio-tanta txikiak barreiatzen dira goiko xaflaren gainean eta honek duen zulo txikian zehar igarotzen diren tantak izpi horizontal batez argitzen dira, teleskopioaren bidez ikusi ahal izateko. Tantak X izpiez edo bestelako erradiazio ionizatzaileaz kargatzen dira. Xafla metalikoen arteko V potentzial- -diferentzia aldatuz, tanta bat airean geldi geratzea lor daiteke. Hori gertatzen denean, tantan aplikatutako pisuaren, indar elektrostatikoaren eta bultzada hidrostatikoaren batura nulua da: qe mg + ρ airea mg = 0 = q = 4π (ρ olioa ρ airea ) a 3 gl, (10.258) ρ olioa 3V 7 Esperimentu hauengatik eta efektu fotoelektrikoari buruz egindakoengatik eskuratu zuen 1923ko Nobel saria.

42 Ingurune jarraituak non, xaflen arteko L distantzia bada, eremu elektrostatikoa E = V/L dela erabili dugun. Lortutako (10.258) adierazpenean tantaren a erradioa oso txikia zen (10 5 cm ingurukoa) eta, zuzenean neurtu beharrean, Stokes-en legea erabiltzen zen eremu elektrostatikoa kentzean tanten abiadura neurtzeko: probleman frogatuko dugunez, neur daitekeen balio batera jotzen du tantaren abiadurak eta horren bidez a erradioa kalkula daiteke. (Egia esan, tantak hain txikiak izanik, airea ezin da ingurune jarraitutzat kontsideratu eta Stokes-en legearen aldaera bat erabili behar da.) Tanten kargak beti ziren balio baten multiploak: horrela frogatu zen naturan kargak beti direla e balio baten multiplo osoak (aske agertzen ez diren quarken kasuan, kargak e/3-ren multiplo osoak dira) Gainazal-tentsioa Zergatik dira esferikoak xaboi-burbuilak eta ur-tantak? Nola dabiltza ur gainetik zapatariak? 8 Fenomeno hauen eta beste askoren zergatia gainazal-tentsioa da. Fluidoen arteko gainazalean dauden molekulek oso ingurune anisotropoa ikusten dute; adibidez, alde batetik, uraren molekulak dituzte eta bestetik airearenak (lurrunarenekin batera). Ondorioz, inguruneen arteko molekula batzuetako lodierako geruzen zatien artean gainazalaren tangenteak diren indarrak agertzen dira: gainazal-indarrak IRUDIA Xaboi-uraren mintza. Gainazal-indarra neurtzeko irudiko esperimentua egin daiteke. Burdin hari batekin u bat egiten da eta hari zuzen arin higikor batekin laukizuzen bat osatzen da. Xaboi-uretan sartu ondoren kontuz ateratzen bada, mintz mehe batek betetzen du laukizuzena eta beheko haria goikora erakartzen du, indar egoki bat aplikatzen ez bazaio. Beheko hariaren pisuaren eta orekan mantentzeko aplikatutako indarra neurtzen da. Harrigarria bada ere, F indarra ez da azaleraren menpekoa: ez da aldatzen z-rekin. Honen azalpena mintzaren egitura mikroskopikoan datza. Nahiz eta oso mehea izan, lodiera oso handia da molekulen dimentsioen alde: molekula batzuetako lodiera duten bi gainazal-geruzek mugatutako bolumena da. Azalera handitzean, barruan zeuden molekula batzuk gainazalera mugitzen dira, gainazal-geruzen azalera handiagotzeko. Portaera hori gomazko mintz batenaren guztiz desberdina da eta indarra ez da deformazioaren menpekoa. Esperimentuetan ikusten dena hauxe da: gainazal-tentsioa, aplikatzen den lerroaren luzeraren proportzionala da irudiko esperimentuan mintzak bi alde dituenez, luzera osoa 2l da eta neurtzen den indarra F = 2γl, (10.259) 8 Horrela deitzen dira gerris sp. intsektuak.

43 10.13 Gainazal-tentsioa 459 non, definizioz, luzera unitateko gainazal-indarra γ gainazal-tentsioa den: γ = F 2l. (10.260) Magnitude honen unitatea SI sisteman 1 N/m = 1 W/m 2 da. Unitateen arteko erlazio erraz hau beste modu batean ulertzeko, kalkula dezagun z aldatzean (hau da, mintzaren azaleran aldatzean) gainazal-tentsioaren kontra egindako lana: W = F z = 2γl z. (10.261) Azalera osoaren aldaketa S = 2l z denez, azaleraren aldaketaren unitateko lana gainazal- -tentsioaren berdina da: W = γ. (10.262) z Baina, egin berri dugun kalkulua zuzena izateko, kontuan hartu behar dugu gainazal-tentsioak tenperaturaren menpekotasun handia duela eta hau handitzean gainazal-tentsioa txikitzen dela: dγ/dt < 0. Beraz, beroa eman behar zaio mintzari bere tenperatura konstantea izateko prozesuan. Ondorioz, ezin dugu esan, indar eta energia elastikoen kasuan 10.7 probleman egingo dugunaren antzera, gainazal-tentsioak egindako lana mintzaren energiaren aldaketaren berdina denik. Zenbait fluidoren gainazal-tentsioak A.10 taulan bildu dira IRUDIA Xaboi-burbuila baten erdia Mintz esferiko baten bi aldeetako presioen diferentzia Kontsidera dezagun xaboi-urez egindako burbuila bat eta azter dezagun mintzaren oreka. Burbuilaren erdiak pairatzen dituen indarrak (pisua ahaztuta) kanpoko eta barruko presioek eragindakoak eta bi gainazaletan aplikaturiko gainazal-indarrak dira geometrian erraz kalkulatzen da azkena: F γ = 2γ(2πR)k = 4γπRk. (10.263) Bestalde, altuera arbuiatu dugunez, presioak homogeneoak izango dira eta eragindako indarra hurrengoa: F p = (p p 0 ) ds = (p p 0 ) πr 2 k. (10.264) S Hemen S ds integrala mugaren menpeko hutsa dela erabili dugu (ikus problema) esferaerdian kalkulatu beharrean, oinarritzat duen zirkuluan zuzenean aurkitzeko: S ds = πr2 k.

44 Ingurune jarraituak Oreka-baldintza F p + F γ = 0 denez, presioen diferentzia hauxe dugu: p p 0 = 4γ R. (10.265) Diferentzia handiagoa da burbuilaren erradioa txikiagoa denean. Ur-tanta baten kasuan gainazal bakarra dugunez, aurrekoaren erdia da emaitza: p p 0 = 2γ R. (10.266) Ukipen-angelua Eman dezagun likido bat dugula ontzi batean. Likidoaren gainazalak ontziaren horma ukitzen duen puntuetan hiru ingurune ditugu: solidoa (beira, adibidez), likidoa (ura) eta gasa (airea edo, hobe esan, lurruna). Hortaz, inguruneen arteko hiru geruza desberdin eta dagozkien hiru gainazal-tentsio desberdinak egongo dira, geruzak mugatzen dituen inguruneen izenen lehen letraz izendatzeko ditugunak: γ sl, γ lg eta γ sg. Aurreko ataletan bakarrik kontsideratu dugu γ γ lg IRUDIA Solido, likido eta gasaren arteko geruzak. Solidoaren hormaren eta likidoaren gainazalaren arteko angelua ukipen-puntuetan ukipen-angelua deritzo. Hiru geruzek elkar ebakitzen dute lerroan (zirkunferentzia batean ontzia zilindrikoa bada), irudian ikusten denez, ukipen-angelua 0 edo π ez bada, laugarren indar bat behar da ebakidura hori orekan egoteko: itsaspen-indarra deritzo hormak eragindako indar horri. Ebakiduraren luzera-unitatearen oreka-baldintzak honela idazten dira: γ sg = γ sl + γ lg cosθ, (10.267) I = γ lg sin θ. (10.268) Lehen emaitza Young-en ekuazioa deitzen da eta ukipen-angelua inguruneen ezaugarrien menpekoa dela diosku. Bigarrenak luzera-unitateko I itsaspen-indarra ematen digu IRUDIA Detergentearen eragina olio-tanta batean.

45 10.14 Problema ebatziak 461 Ukipen-angelua 0 θ < π/2 denean, likidoak solidoa busti egiten duela esaten da. Horrela gertatzen da, adibidez, urak, alkoholak, eterrak eta beste likido batzuek mota askotako beira ukitzen dutenean: kasu hauetan θ = 0 dugu, gainera. Bestalde, uraren eta zilarraren artean θ π/2 dugu, uraren eta parafinaren artean θ 107 eta merkurio eta beiraren artean θ 140. Azken bi kasuetan, eta θ > π/2 den bakoitzean, likidoak ez duela solidoa bustitzen esaten da. Gainazal-tentsioa likidoaren ezpurutasunen menpekoa denez, eragile hezegarri baten bidez ukipen-angelua txiki daiteke: horixe da detergenteen zereginetako bat Kapilaritatea Gainazal-tentsioa dela eta, oso hodi mehe bat uretan sartzen bada, uraren gainazalaren garaiera handiagoa edo txikiagoa da hodiaren kanpoan baino. Arrazoia irudian erakusten da, likidoak hodia bustitzen duenean ezkerrean eta eta kontrako kasua eskuinean IRUDIA Kapilaritatea. Kanpoko gainazalaren gaineko ur-zutabearen oreka, bere pisuaren eta gainazal-indarraren osagai bertikalaren batura nulua denean gertatzen da: mg + F γ cos θ = 0. Barruko uraren gainazal kurbatua meniskoa deitzen da eta bere kurbadura arbuiatzen badugu, zutabearen bolumena dv = πr 2 h da, kapilarraren erradioa R bada. Beraz, hauxe dugu oreka-baldintza: 2πRγ cosθ = ρπr 2 hg, (10.269) 2γ cosθ h = ρrg. (10.270) Jurin-en legea deitzen den emaitza honen arabera, fenomenoa ikusgarriagoa da hodi meheetan. Argi dago emaitza honetan likidoak horma bustitzen ez badu, (θ > π/2), barneko likidoaren altuera txikiagoa dela: h < 0. Garrantzi handikoa da kapilaritatea, adibidez, euriaren ura zoruko partikulen arteko zirrituetan gordetzeko, landareek handik har dezaten Problema ebatziak Deformazio-tentsorearen balio eta bektore propioak Kontsidera dezagun solido elastiko bateko puntu batean zentraturiko alegiazko gainazal esferiko infinitesimal bat. Froga ezazu gorputzak deformazio txiki bat pairatzen duenean gainazala

46 Ingurune jarraituak elipsoide bihurtzen dela. Nola aurki daitezke elipsoidearen forma eta orientazioa? Egin azken kalkulua deformazioa aipaturiko puntuan hurrengo hau den kasuan: u = Gainazalaren zentroa irudiko P 1 puntua bada eta gainazaleko puntu generikoa P 2, deformazioa gertatu baino lehenago esferaren erradio infinitesimala dl izango da. Deformatu denean, (10.48)-ren ondorioz, distantzia honela idazten da deformazioak txikiak direla kontuan hartuz: dl 2 = dl i,j=1 u ij dx i dx j. Forma koadratiko hau honela idazten da 1 identitate matrizea eta deformazio-tentsorearen osagaiekin eraikitako U (u ij ) deformazio-matrizea erabiliz: dl 2 = X (1 2U) X, 1 2U matrizearen balio eta bektore propioen problema, X (1 2U λ1) v = 0, hurrengoaren baliokidea da, λ 1 2ǫ egiten bada: (U ǫ1) v = 0. Deformazio-tentsorea (eta U matrizea) simetrikoa denez, beti onartzen ditu hiru bektore propio ortonormal eta hauek oinarritzat aukeratzen badira, U eta 1 2U diagonal bihurtzen dira. Ondorioz, gainazal deformatuaren ekuazioa honela idazten da triedro propio horretan: dx 1 dx 2 dx 3 ( ) dl 2 = (1 2ǫ i ) d x 2 i = d xi. i=1 i=1 1 + ǫ i Elipsoide baten ekuazioa da hau, noski, eta ardatz nagusien luzerak (1 + ǫ i ) dl dira. Ardatz horien norabideetan, hau da, deformazio-tentsorearen bektore propioen norabideetan, deformazioa luzetarakoa da, zeharkako osagairik gabekoa, eta deformazio unitarioa dagokion ǫ i balore propioa. Adibidean, hauexek ditugu deformazio-tentsorearen balio propioak eta bektore propio ortonormalak:. ǫ i = , , , v i = , ,

47 10.14 Problema ebatziak Uraren konprimigarritasuna Nola aldatzen da hidrostatikaren oinarrizko legea, uraren konprimigarritasuna arbuiatzen ez bada? Oharra: Ahaztu gazitasunaren eta tenperaturaren aldaketak. Kontsidera dezagun dz altuerako kubo bertikal infinitesimal bat. Uraren azalean, hau da, p 0 presio atmosferikoan, uraren dentsitatea ρ 0 bada, z sakoneran p presioaren eta ρ dentsitatearen arteko erlazioa, konprimigarritasun moduluaren (10.7) definizioak emandakoa izango da: p p 0 = B V V = B ρ ρ = Bρ ρ 0, ρ 0 ( ρ = ρ p p ) 0, B non kuboaren dm = ρv = ρ ds dz masa aldatzen ez denez, ρ V + ρ V = 0 dela erabili dugun. Hidrostatikoaren legea, kuboaren oreka-ekuazioa izango da: p(z + dz) ds p(z) ds dm g = 0, ( dp = ρg dz = ρ p p ) 0 g dz. B Koefiziente konstanteetako ekuazio diferentzial lineal hau zuzenean integratzen da (ikus, adibidez, [38]), p(0) = p 0 hastapen-baldintza erabiliz: p = p 0 + B ( e ρ0gz/b 1 ) [ = p 0 + ρ 0 gz 1 + ρ 0gz 2B + O ( B 2)], [ ρ = e ρ0gz/b ρ 0 = ρ ρ 0gz B + O ( B 2)] Pitot-en hodia Hegazkin baten abiadura neurtzeko irudian eskematikoki erakusten den Pitot-en hodi bat jar daiteke fuselajean. Kanpoko hodiaren zuloetatik airearen p 1 presioa neurtzen da eta barnekoaren muturra gelditze-puntua da, bertan airearen abiadura erlatiboa nulua baita. Nola kalkula daiteke hegazkinaren abiadura bi presioen diferentziaz baliatuz? Goiko zuloetatik neurtzen den p 1 presioa (hegazkinaren sisteman) v abiaduraz higitzen den airearena da. p 2 neurtzeko hodiaren ahoan, berriz, airea geldi dago. Bernoulli-ren teorema bi puntu horien artean (nahiago bada, hodiaren aurrean distantzia handira dagoen bitarteko puntu bat erabil daiteke) aplikatzen badugu (bestelako informaziorik ezean, teoremaren hipotesiak betetzen direla suposatuz), lortzen da eta hortik v abiadura askatzen da: p ρv2 = p 2 v = 2 p 2 p 1. ρ

48 Ingurune jarraituak Biskosimetroa Irudiko zilindro luzeak ardatz komun baten inguruan biratzen ari dira erakutsitako abiadura angeluarrez. Bien artean fluido bat dago. Kalkulatu abiadura-eremua eta zilindroen abiadura angeluarra konstantea izateko haietan aplikatu behar diren indar-momentuak (hauek neurtuz, fluidoaren likatasun dinamikoaren koefizientea kalkula daiteke). Eman jarioa egonkorra dela. Azken hipotesiari esker, argi dago simetriaren ondorioz p = p(r) eta v = v(r) ˆϕ dugula koordenatu zilindrikoak 9 erabiltzen badira. Fluidoaren azelerazioa zentripetoa da, noski: dv = (v )v = v2 dt r ˆr. Nahiago bada, (B.16), (B.29), (B.44) eta dˆr dϕ = ˆϕ, dˆϕ dϕ = ˆr emaitzak erabil daitezke aurreko azelerazioa (v )v adierazpenaren bidez lortzeko. Gainera, hurrengoak zuzenean egiaztatzen dira: v = 0, p = dp 2 v = dr ˆr, ( d 2 v dr r dv dr v ) r 2 Kasu erraz honetan, hortaz, fluidoa konprimiezintzat har dezakegu eta (10.232) ekuazioa hurrengora laburtzen da: ( ρ v2 d 2 ˆr = dp r dr ˆr + η v dr + 1 dv 2 r dr v ) ˆϕ. r 2 Ekuazio honen bi osagaiak honela idazten dira: dp dr = ρ v2 r, d 2 v dr + 1 dv 2 r dr v r 2 = 0. Cauchy eta Euler-en ekuazioa da azkena (ikus, adibidez, [38]) eta soluzioak v r λ erakoak. Zuzenean ikusten da kasu honetan ekuazio lineal honen soluzio orokorra 9 Gogoratu 449. orrialdearen behealdean esandakoa. v = Ar + B r ˆϕ.

49 10.14 Problema ebatziak 465 dela. Integrazio-konstanteak aurkitzeko, zilindroen hormetan fluidoa pausagune erlatiboan dagoela adierazten duten v(r 1 ) = ω 1 R 1 eta v(r 2 ) = ω 2 R 2 mugalde-baldintzak erabiltzen badira, hauxe lortzen da: A = ω 2R2 2 ω 1R1 2, B = R2 1 R2 2 R2 2 R1 2 R2 2 R1 2 (ω 1 ω 2 ). Orain, presioaren deribatua ematen duen ekuazio erradialaren integralak presioa ematen digu. Ohar zaitez bi zilindroen abiadura angeluarrak berdinak direnean fluidoa ere modu berean higitzen dela, sistema osoa solido zurruna balitz bezala. Azter dezagun orain fluidoak zilindro bakoitzaren gainean eragiten duen indar-momentua (hori da biskosimetro batean neur daitekeena, fluido baten η koefizientea aurkitzeko). Hasteko, aurki dezagun ebakidura-esfortzua (x, y) = (R 1, 0) puntuan. Horretarako τ yx kalkulatu behar dugu puntu horretan. Abiadura-eremua koordenatu cartesiarretan v x v y = v sin ϕ = ωy, = v cosϕ = ωx, ω v r = A + B r 2 moduan idazten da. Ondorioz, (10.226) (10.227) eta (x, y) = (r, 0) puntuan x = r dela erabiliz, τ yx τ yx y=0 ( vx = η y + v ) y = η x = ηx ω = ηr ω x y=0 τ τ yx (R 1, 0) = 2η B, R1 2 ( x ω ) x y ω, y r = 2η B r 2, Zilindroaren puntu guztietan ebakidura-esfortzuaren modulua berdina denez, L luzeran eragindako indar-momentu osoa N 1 = τ (2πR 1 L) R 1 = 4πηLB = 4πηL R2 1 R2 2 R 2 2 R 2 1 (ω 1 ω 2 ). Modu berean, erraz frogatzen da kanpoko zilindroan eragindako indar-momentua N 2 = N 1 dela. (Jakina, ω 1 = ω 2 denean ez dago inolako indar-momenturik.) Azalera osoaren bektorea 2 1 dr = r 2 r 1 integrala integrazio-mugen menpeko hutsa den bezala, S ds integrala S gainazalaren mugaren menpeko hutsa da. Frogatu S 1 eta S 2 gainazalek C kurba itxi berbera mugatzat badute eta orientazio berdinekoak badira, honako hau betetzen dela: ds = ds. S 1 S 2

50 Ingurune jarraituak Gainazal baten orientazioa alderantziz jarriz gainazal itxia lortzen denez, emaitza hau S ds = 0 moduan ere adieraz daiteke, S gainazal itxi guztietarako. Modu honetan frogatzeko, Gauss-en teoremaren (10.128) adierazpena erabil daiteke τ tentsorea identitatea (eta, beraz, konstantea) bada: τ ij = δ ij, 3 3 τ ij ds j = δ ij ds j = ds i, j=1 S ds i = j=1 3 S j=1 δ ij ds j = V 3 j=1 δ ij x j dv = 0. Fisikari buruzko testuliburuetan Gauss-en teorema frogatzeko erabiltzen diren proiekzioez ere balia gintezke beste frogapen bat emateko.

51 10.15 Problemak Problemak 10.1 Zein da altzairuzko kable baten luzera maximoa, mutur batetik esekitzean bere pisuaren eraginez apur ez dadin? 10.2 Zein izango litzateke material konprimiezin baten Poisson-en koefizientea? 10.3 Irudiko hagatxo arina 105 cm luze da eta A eta B soken bidez eseki da sabaitik. Nondik eseki behar da M masa bi sokek (a) esfortzu berdinak, (b) deformazio berdinak paira ditzaten? Datuak: A sokaren zeharkako sekzioa 1 mm 2 -koa da eta B-rena 2 mm 2 -koa. Lehenengoaren Young-en modulua kg/mm 2 -koa da eta B-rena kg/mm 2 -koa Gomazko barra bat 10 cm luze da eta bere sekzio karratuaren aldeak 1 cm-koak. Bere luzeraren norabidean 1000 N-eko konpresio-indarra aplikatzen zaionean 1 cm laburragoa da eta zeharkako sekzioa 1.1 cm 2 -koa. Zeintzuk dira Young-en eta Poisson-en moduluak? Orain barra altzairuzko matrize batean sartzen bada, zeharkako norabideetan zabal ez dadin, zein izango da laburpena konpresio berdinarekin? 10.5 Aurreko problemaren gomaz egindako 20 cm-ko aldeetako kubo bat, Mariana irletatik hurbil dagoen ozeano-fosarik sakonenean murgilarazten da. Zein izango da kuboaren bolumena m-tara? Altzairuzko kable batetik eseki daiteke kuboa? Zergatik? 10.6 Barra bat orekan dago muturretan aplikaturiko kontrako indarren eraginpean. Zeintzuk dira tentsio- eta ebakidura-esfortzuak (hau da, esfortzuaren osagai normala eta tangentea) irudian erakusten den zeharkako planoan? Nola aukeratu behar da α angelua trakzio-esfortzua maximoa izateko? Eta ebakidura-esfortzua maximoa izan dadin? 10.7 Kalkulatu 10.6 problemako barraren energia elastikoaren dentsitatea esfortzuaren eta deformazio unitarioaren funtzioan. Iradokizuna: Kalkulatu egoera horretara iristeko aplikaturiko indarrak egin duen lana Sodioaren bolumen-modulua neurtzeko, irudiko pistoia erabiltzen da. V 1 bolumeneko sodioaren lagina olioaren V 2 bolumenean sartzen da. F indar handia aplikatzean A azalerako pistoiaren desplazamendua d bada eta olioaren bolumen-modulua B 2, zein da sodioarena? Oharra: Eman pistoia eta horma ez direla deformatzen eta marruskadura arbuiagarria dela.

52 Ingurune jarraituak 10.9 Irudiko hodi bertikala ρ dentsitateko likidoz beteriko azelerometroa da. Adieraz ezazu a azelerazioa beste parametroen bidez Hegazkin-hego baten azpian airearen abiadura 90 m s 1 -ekoa bada, zein izan beharko du abiadurak hegoaren gainean, 1000 N m 2 -ko eustea izateko? Oharra: Eustearen benetako azalpena hain erraza ez bada ere, erabili Bernoulli-ren teorema abiadura balioztatzeko Irudiko venturimetroan fluido ideal konprimiezinaren emaria Q da. Zein izango da h altuera? Irudiko hodiaren sekzioa 36 cm 2 -koa da S 1 sekzioan eta 9 cm 2 -koa S 2 -an. 5 s-tan 27 litro ur isurtzen dira. Kalkulatu hurrengo magnitudeak: (a) Fluidoaren abiadura handiena eta txikiena. (b) S 1 eta S 2 puntuetako presioen arteko kendura. (c) Merkuriozko zutabeen altueren arteko diferentzia Hodi hurbiltzaile baten sekzioaren diametroaren aldaketa lineala da. Barruan isurtzen ari den fluidoa, ideala eta konprimiezina da. Emaria Q bada, zein izango da azelerazioa x puntuan? Hodiaren sekzio normalaren azalera 500 cm 2 -koa da 1 puntuan eta 250 cm 2 -koa 2 delakoan. Kalkula itzazu 1 puntuan neurturiko presio manometrikoa eta emaria Guztiz beterik dagoen edalontzi baten ur gainean izotz-kubo batzuk daude. Froga ezazu izotza urtzean ez dela tantarik ere galduko (edaten hasi ez bagara ere) Irudiko tresna Prandtl-en hodia da. Nola erabil daiteke irudiko tresna airearekiko abiadura neurtzeko?

53 10.15 Problemak Izozmendi paralelepipediko baten garaieraren zortziren bat ur gainean badago, zein da bere dentsitatea? Istorioak dioenez, Arkimedes-ek bere printzipioa aurkitu zuen (bainuontzian zegoela) Sirakusako erregeak planteatu zion problema ebazten saiatzen ari zenean. Izan ere, erregeak uste zuen koroa egiteko emandako urretik zati bat zilarrarekin ordezkatua izan zela. Koroaren pisua airean 9.8 N-ekoa bazen eta ur azpian 9.2 N-ekoa, zein zen koroaren konposizioa? Oharra: Suposatu aleazio baten bolumena osagaien bolumenen batura dela Paradoxa hidrostatikoa. «Irudiko bi ontzi berdinak ur beterik daude. Bien oinarrietan, gainean duten uraren altuera berdina denez, presioa berdina da eta, beraz, ezkerrekoaren oinarri zabalagoan indar handiagoa eragiten da. Hortaz, ezkerreko ontziaren pisua handiagoa da. Bestalde, hori ezinezkoa da, bi ontziak berdinak baitira. Hortaz, hidrostatikaren oinarrizko legea gaizki dago.» Zer uste duzu zuk? Balioztatu eraikin baten 70 m 2 -ko sabai lau horizontalean 100 km/h-ko urakan batek eragiten duen indar osoa Ganbera handi batean dagoen uraren gaineko airearen presioa 2 atm-koa da. Uraren azalaren azpian, metro batera, horman egindako 10 cm 2 -ko zuloaren emari-koefizientea 0.62 da. Zein da irteten den ur-zorrotadaren abiadura? Kalkulatu ganberan eragindako indar horizontala Magnus efektua. Azter dezagun abiadura angeluar konstantez bere ardatz tinkoaren inguruan biratzen ari den zilindro bat inguratzen duen jario ideal konprimiezin irrotazionala (ikus irudia). Froga ezazu soluzioa bat v = φ, φ = α cosϕ ( r + a2 r dela, zilindroaren ardatzaren inguruko (r, ϕ, z) koordenatu zilindrikoak aukeratzen badira. Egiaztatu v = A, A = β 2π ln r a k soluzioa dela eta ondorioztatu bien batura ere soluzioa dela. Nolako mugalde-baldintzak betetzen dira? Bi soluzioen batura erabiltzen bada, zein da zilindroak pairatzen duen indar osoa? Kalkulatu abiadura-eremuaren zirkulazioa Hodi baten bi muturretan erradio desberdinetako xaboi-burbuilak sortu dira. Eztabaidatu hurrengo posibilitateen artean zein izango den gertatuko dena: (a) Burbuila handia txikituko da biak berdinak izan arte. (b) Handia hustuko da desagertu arte. (c) Txikia hustuko da desagertu arte. (d) Dauden moduan geratuko dira. (e) Bien erradioak oszilatzen hasiko dira. )

54 Ingurune jarraituak Kapilar baten beheko muturra uraren azalaren azpitik dago, 10 cm-tara, eta barruan ura 4 cm-tara igo da. Nolako presioa aplikatu behar da goiko muturrean behekoan burbuila erdiesferiko bat sortzeko? Bi xafla handi paralelo bertikal likido batean sartzen badira, zein da barruko eta kanpoko likidoaren azalen arteko distantzia? Merkurioa beirazko gainazal lau batean isurtzean sortzen den putzuaren lodiera uniformea da eta ez da aldatzen putzuaren tamainarekin. Kalkulatu aipaturiko lodiera IRUDIA Descartes-en urpekaria (ikus problema) Descartes-en urpekaria. Plastikozko ur-botila batean ketchup-poltsatxo bat flotatzen ari da, argazkian ikusten den bezala. Tapoia ipini ondoren, botilaren horma estutzen bada, poltsatxoa urperatu egiten da, hondoraino heldu arte. Nola azal daiteke fenomeno hau? Abiadura limitea. Kontsideratu fluido batean grabitatearen eraginpean higitzen ari den esfera zurrun txiki bat, eta eman R < 0.2 dela. Frogatu esferaren abiadurak, kalkulatu behar den muga-balio batera jotzen duela. Zurruntzat jotzen baditugu euriaren ur-tantak, nolakoak izan daitezke aurreko azterketa aplikatu ahal izateko? Millikan-en esperimentua. Erabili problema Millikan-en esperimentuan neurtutako (10.258) kargaren adierazpenean tantaren a erradioa abiadura limitearekin ordezkatzeko Irudiko intsektizida-lainoztagailuaren enboloaren diametroa D = 60 mm-koa da eta S sarrera-hodiarena d = 2 mm. Azken honen altuera, intsektizidaren azaletik neurtua, h = 90 mm-koa bada, balioztatu enboloaren abiadura minimoa beste muturretik irteten den aireak intsektizida eraman dezan.

55 10.15 Problemak Altzairuzko kable baten zeharkako azalera A da eta Young-en modulua Y. Hasieran bi mutur finkoren artean dago, tentsioa arbuiagarria delarik. Erditik m masako objektua esekitzean, kablea irudian erakusten den moduan geratzen da. Froga ezazu θ deformazio-angelua hurrengo ekuazio transzendenteak emandakoa dela: 2 sin θ(sec θ 1) = mg Y A. Zein da θ-ren balioa mg/y A = 0.01 denean? Jario egonkor batean abiadura bektorea konstantea da puntu bakoitzean. Azeleratua izan daiteke fluidoaren partikulen higidura? Kubo bat egiteko bi bloke berdin itsasten dira irudian erakusten den moduan. Nolakoa da loturak pairatzen duen esfortzua: tentsioa, konpresioa ala ebakidura-esfortzua? Ur-tanga itxi batean uraren garaiera h = 1 m-koa da eta bere azalean presio manometrikoa p m = 1 atm-koa. Tangaren oinarria zorutik H = 2 m-tara dago eta horma bertikalean, oinarriaren parean, A = 1 cm 2 -ko azalerako zulo zirkular bat egiten da. (a) Non jotzen du zorua ur-zorrotadak? (b) Zein da zorrotadak zoruan eragiten duen indar bertikala? (c) Eta tangan eragindako indar horizontala? Irudiko ur-tangaren balbula, masa arbuiagarriko esfera da, hondoko zulo zirkularra estaltzen duena. Esfera eta zuloaren arteko ukipen-zirkuluak bertikaletik neurtutako ϕ angelua definitzen du eta ur-azala esferako goiko puntutik h distantziara dago. (a) Kalkulatu urak esferako puntuetan eragiten duen presioa. (b) Aurkitu esferak pairatzen duen indar bertikal osoa. Arkimedes-en printzipioa erabiliz kalkula daiteke? (c) Zein da indar bertikal hori ϕ π limitean (hau da, zulorik ez dagoenean)? (d) Nolakoa izan behar du h garaierak ϕ = 3π/4 denean, ura zulotik ez isurtzeko? Enbor bat ur gainean dago irudian erakusten den moduan. Zein da egurraren dentsitate erlatiboa?

56 Ingurune jarraituak Irudiko ur-tangan pistoi bat S azalerako hodi horizontalean v abiadura konstantez higitzen denean, A azalerako hodi bertikaletik ura irteten da erakusten den garaieraraino. Kalkulatu v abiadura eta pistoian aplikatu behar den F indarra (marruskadura arbuiagarria bada). Nola aukeratu behar da A/S zatidura, h 1 eta h 2 aldatu gabe, pistoian egin behar den potentzia minimoa izateko? Eta maximoa izateko? A eta S azalerak eta h 1 + h 2 garaiera osoa aldatzen ez badira, nola aukeratu behar da h 1 balioa aipaturiko potentzia maximoa eta minimoa lortzeko? m = 20 kg-ko bolatxo bat L = 3 m-ko altzairuzko hari batetik esekitzen da. Bertikalean oszilatzean bolatxoaren maiztasuna ν = 8.14 Hz da. Hariaren diametroa d = 1 mm bada, zein da bere Young-en modulua? Irudiko ur-tangako horman zulo txiki bat egiten da. Zein izan behar du zuloaren garaierak zoruan zorrotadaren irispide horizontala maximoa izan dadin? Zein da azken honen balioa? Hiru zulo egiten badira, irudia gaizki dago. Zergatik? Zein da benetako irudia? Oharra: Egin sinplifikazio-hipotesi egokiak (hala nola uraren h altuera oso astiro aldatzen dela) Irudiko urmael zabalaren sakonera oso txikia da eta apurka-apurka ari da husten erakusten den zulotik. Haizea gogortzean ura isurtzen ez denean, zein da haizearen abiadura minimoa? Zer gertatzen da haizearen noranzkoa kontrakoa bada? Haizerik ez dabilenean, zenbateko denbora behar da problemako urmaela husteko, bere azalera S bada, zuloarena A eta emari-koefizientea C? Egia ala gezurra? «Irudiko ontzian olioa eta ura ondo nahastu ondoren, hondoko presioa neurtu da. Ontzia geldi utzita olioa eta ura bereizi direnean hondoan neurtzen den presioa txikiagoa da.» Erabili mekanika deribatu partzialetako ekuazio hau ebazteko: u t + a u x + b u y + c u z = 0, 2 u 3 t 2 u v 2 i v j x i x j = 0. i,j=1 (a, b, c eta v i konstanteak dira.) Zein da azken uhin-ekuazioaren eta ohiko (9.5)-ren arteko desberdintasuna?

57 10.15 Problemak Sifoia. Ontzi batetik likidoa ateratzeko hura makurtu gabe erabiltzen da tresna hau. Hasieran hodia likidoz beterik badago eta irudian erakusten den moduan ontzian sartzen bada, A muturra baino beherago dagoen C puntatik irtengo da likidoa. Likidoaren dentsitatea ρ da eta likatasuna arbuiagarria. Zein da fluidoaren abiadura C puntuan? Eta presioa B punturik gorenean? Zein da h 1 garaieraren baliorik handiena C-tik likidoa isurtzeko, d eta h 2 balio ezagunetarako? Froga ezazu gorputz homogeneo isotropo baten kasuan bolumenaren deformazio unitarioa 3 k=1 τ kk = 3B V V erlazioak emandakoa dela eta Hooke-ren legea modu honetan ere idatz daitekeela: u ij = 1 + σ Y τ ij σ Y 3 τ kk δ ij. k= Irudiko kubo homogeneo isotropoa orekan dago. Erabili kuboaren aldeen S azalera, F indarra eta Young-en eta Poisson-en moduluak, esfortzu- eta deformazio-tentsoreak idazteko. Zein da bolumenaren deformazioa? Irudiko hodi horizontaletan barrena fluido ideal bat isurtzen ari da. Emaria Q da, dentsitatea ρ, presioa p eta zeharkako sekzioaren azalera S. Zeintzuk dira fluidoak AB ukondoetan eragiten dituen indarrak? Igerileku batean txalupa bat dago 10. Barruan zegoen harri handi bat uretara botatzean, zer gertatuko zaio ur-mailara: igoko da, jaitsiko da ala berdin geratuko da? Nolakoa izan behar du beheko barraren Young-en moduluak, bi material desberdinez egindako goikoaren deformazioa pairatzeko? 10 Badirudi Felix Bloch, George Gamov eta Robert Oppenheimer fisikari bikainen erantzunak okerrak izan zirela galdera hau egin zitzaienean.

58 Ingurune jarraituak IRUDIA Buruz behera jarritako edalontzia (ikus problema) Edalontzi batean ura dago eta ahoa kartoi mehe batez estaltzen da. Edalontzia buruz behera jarri ondoren, kartoia askatzen bada, ez da jausten: ura barruan geratzen da (ikus argazkia). Nola azal daiteke fenomeno hau? Fluido likatsu bat isurtzen ari da, grabitatearen eraginpean, luzera handiko bi xafla bertikal paraleloen artean, irudian erakusten den bezala. Fluidoaren dentsitatea ρ da eta likatasun-koefizientea η. Jarioa egonkorra eta laminarra da. (a) Idatzi 2x lodierako geruza bertikal zentratuaren higidura-ekuazioa, pisua eta bi aldeetan aplikatutako likatasun-indarrak kontuan hartuz (goiko eta beheko muturretan presioa atmosferikoa da). Erabili mugalde-baldintza egokiak xaflen arteko bitarteko planotik x distantziara fluidoaren abiadura hauxe dela frogatzeko: v = ρg ( a 2 x 2). 2η (b) Kalkulatu L luzera eta 2a lodiera dituen azalera horizontalean zehar isurtzen den emaria.

DERIBAZIO-ERREGELAK 1.- ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAREN DERIBATUA. ( ) ( )

DERIBAZIO-ERREGELAK 1.- ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAREN DERIBATUA. ( ) ( ) DERIBAZIO-ERREGELAK.- ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAREN DERIBATUA. Izan bitez D multzo irekian definituriko f funtzio erreala eta puntuan deribagarria dela esaten da baldin f ( f ( D puntua. f zatidurak

Διαβάστε περισσότερα

Solido zurruna 2: dinamika eta estatika

Solido zurruna 2: dinamika eta estatika Solido zurruna 2: dinamika eta estatika Gaien Aurkibidea 1 Solido zurrunaren dinamikaren ekuazioak 1 1.1 Masa-zentroarekiko ekuazioak.................... 3 2 Solido zurrunaren biraketaren dinamika 4 2.1

Διαβάστε περισσότερα

= 32 eta β : z = 0 planoek osatzen duten angelua.

= 32 eta β : z = 0 planoek osatzen duten angelua. 1 ARIKETA Kalkulatu α : 4x+ 3y+ 10z = 32 eta β : z = 0 planoek osatzen duten angelua. Aurki ezazu α planoak eta PH-k osatzen duten angelua. A'' A' 27 A''1 Ariketa hau plano-aldaketa baten bidez ebatzi

Διαβάστε περισσότερα

Zinematika 2: Higidura zirkular eta erlatiboa

Zinematika 2: Higidura zirkular eta erlatiboa Zinematika 2: Higidura zirkular eta erlatiboa Gaien Aurkibidea 1 Higidura zirkularra 1 1.1 Azelerazioaren osagai intrintsekoak higidura zirkularrean..... 3 1.2 Kasu partikularrak..........................

Διαβάστε περισσότερα

Solido zurruna 1: biraketa, inertzia-momentua eta momentu angeluarra

Solido zurruna 1: biraketa, inertzia-momentua eta momentu angeluarra Solido zurruna 1: biraketa, inertzia-momentua eta momentu angeluarra Gaien Aurkibidea 1 Definizioa 1 2 Solido zurrunaren zinematika: translazioa eta biraketa 3 2.1 Translazio hutsa...........................

Διαβάστε περισσότερα

ANGELUAK. 1. Bi zuzenen arteko angeluak. Paralelotasuna eta perpendikulartasuna

ANGELUAK. 1. Bi zuzenen arteko angeluak. Paralelotasuna eta perpendikulartasuna Metika espazioan ANGELUAK 1. Bi zuzenen ateko angeluak. Paalelotasuna eta pependikulatasuna eta s bi zuzenek eatzen duten angelua, beaiek mugatzen duten planoan osatzen duten angeluik txikiena da. A(x

Διαβάστε περισσότερα

5. GAIA Solido zurruna

5. GAIA Solido zurruna 5. GAIA Solido zurruna 5.1 IRUDIA Giroskopioaren prezesioa. 161 162 5 Solido zurruna Solido zurruna partikula-sistema errazenetakoa dugu. Definizioak (hau da, puntuen arteko distantziak konstanteak izateak)

Διαβάστε περισσότερα

7.GAIA. ESTATISTIKA DESKRIBATZAILEA. x i n i N i f i

7.GAIA. ESTATISTIKA DESKRIBATZAILEA. x i n i N i f i 7.GAIA. ESTATISTIKA DESKRIBATZAILEA 1. Osatu ondorengo maiztasun-taula: x i N i f i 1 4 0.08 2 4 3 16 0.16 4 7 0.14 5 5 28 6 38 7 7 45 0.14 8 2. Ondorengo banaketaren batezbesteko aritmetikoa 11.5 dela

Διαβάστε περισσότερα

Banaketa normala eta limitearen teorema zentrala

Banaketa normala eta limitearen teorema zentrala eta limitearen teorema zentrala Josemari Sarasola Estatistika enpresara aplikatua Josemari Sarasola Banaketa normala eta limitearen teorema zentrala 1 / 13 Estatistikan gehien erabiltzen den banakuntza

Διαβάστε περισσότερα

Aldagai Anitzeko Funtzioak

Aldagai Anitzeko Funtzioak Aldagai Anitzeko Funtzioak Bi aldagaiko funtzioak Funtzio hauen balioak bi aldagai independenteen menpekoak dira: 1. Adibidea: x eta y aldeetako laukizuzenaren azalera, S, honela kalkulatzen da: S = x

Διαβάστε περισσότερα

1. Gaia: Mekanika Kuantikoaren Aurrekoak

1. Gaia: Mekanika Kuantikoaren Aurrekoak 1) Kimika Teorikoko Laborategia 2012.eko irailaren 12 Laburpena 1 Uhin-Partikula Dualtasuna 2 Trantsizio Atomikoak eta Espektroskopia Hidrogeno Atomoaren Espektroa Bohr-en Eredua 3 Argia: Partikula (Newton)

Διαβάστε περισσότερα

1. Higidura periodikoak. Higidura oszilakorra. Higidura bibrakorra.

1. Higidura periodikoak. Higidura oszilakorra. Higidura bibrakorra. 1. Higidura periodikoak. Higidura oszilakorra. Higidura bibrakorra. 2. Higidura harmoniko sinplearen ekuazioa. Grafikoak. 3. Abiadura eta azelerazioa hhs-an. Grafikoak. 4. Malguki baten oszilazioa. Osziladore

Διαβάστε περισσότερα

2. GAIA Higidura erlatiboa

2. GAIA Higidura erlatiboa 2. GAIA Higidura erlatiboa 2.1 IRUDIA Foucault-en pendulua Pariseko Panteoian 1851n eta 2003an. 53 54 2 Higidura erlatiboa Bi erreferentzia-sistema inertzialen arteko erlazio zinematikoa 1.2.1 ataleko

Διαβάστε περισσότερα

1 Aljebra trukakorraren oinarriak

1 Aljebra trukakorraren oinarriak 1 Aljebra trukakorraren oinarriak 1.1. Eraztunak eta gorputzak Geometria aljebraikoa ikasten hasi aurretik, hainbat egitura aljebraiko ezagutu behar ditu irakurleak: espazio bektorialak, taldeak, gorputzak,

Διαβάστε περισσότερα

3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak. Eugenio Mijangos

3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak. Eugenio Mijangos 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak Eugenio Mijangos 3. KOADERNOA: ALDAGAI ANITZEKO FUNTZIOAK Eugenio Mijangos Matematika Aplikatua, Estatistika eta Ikerkuntza Operatiboa Saila Zientzia eta Teknologia

Διαβάστε περισσότερα

(1)σ (2)σ (3)σ (a)σ n

(1)σ (2)σ (3)σ (a)σ n 5 Gaia 5 Determinanteak 1 51 Talde Simetrikoa Gogoratu, X = {1,, n} bada, X-tik X-rako aplikazio bijektiboen multzoa taldea dela konposizioarekiko Talde hau, n mailako talde simetrikoa deitzen da eta S

Διαβάστε περισσότερα

9. K a p itu lu a. Ekuazio d iferen tzial arrun tak

9. K a p itu lu a. Ekuazio d iferen tzial arrun tak 9. K a p itu lu a Ekuazio d iferen tzial arrun tak 27 28 9. K A P IT U L U A E K U A Z IO D IF E R E N T Z IA L A R R U N T A K UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 29 Oharra: iku rra rekin

Διαβάστε περισσότερα

7.1 Oreka egonkorra eta osziladore harmonikoa

7.1 Oreka egonkorra eta osziladore harmonikoa 7. GAIA Oszilazioak 7.1 IRUDIA Milurtekoaren zubia: Norman Foster-ek Londresen egin zuen zubi hau zabaldu bezain laster, ia bi urtez itxi behar izan zuten, egiten zituen oszilazio handiegiak zuzendu arte.

Διαβάστε περισσότερα

9.28 IRUDIA Espektro ikusgaiaren koloreak bilduz argi zuria berreskuratzen da.

9.28 IRUDIA Espektro ikusgaiaren koloreak bilduz argi zuria berreskuratzen da. 9.12 Uhin elektromagnetiko lauak 359 Izpi ultramoreak Gasen deskargek, oso objektu beroek eta Eguzkiak sortzen dituzte. Erreakzio kimikoak sor ditzakete eta filmen bidez detektatzen dira. Erabilgarriak

Διαβάστε περισσότερα

ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK

ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK 1.- LEHEN DEFINIZIOAK Jatorri edo erpin berdina duten bi zuzenerdien artean gelditzen den plano zatiari, angelua planoan deitzen zaio. Zirkunferentziaren zentroan erpina duten

Διαβάστε περισσότερα

4. GAIA Indar zentralak

4. GAIA Indar zentralak 4. GAIA Indar zentralak 4.1 IRUDIA Planeten higiduraren ezaugarri batzuen simulazio mekanikoa zientzia-museoan. 121 122 4 Indar zentralak Aarteko garrantzia izan dute fisikaren historian indar zentralek:

Διαβάστε περισσότερα

Jose Miguel Campillo Robles. Ur-erlojuak

Jose Miguel Campillo Robles. Ur-erlojuak HIDRODINAMIKA Hidrodinamikako zenbait kontzeptu garrantzitsu Fluidoen garraioa Fluxua 3 Lerroak eta hodiak Jarraitasunaren ekuazioa 3 Momentuaren ekuazioa 4 Bernouilli-ren ekuazioa 4 Dedukzioa 4 Aplikazioak

Διαβάστε περισσότερα

FISIKA ETA KIMIKA 4 DBH Higidurak

FISIKA ETA KIMIKA 4 DBH Higidurak 1 HASTEKO ESKEMA INTERNET Edukien eskema Erreferentzia-sistemak Posizioa Ibibidea eta lekualdaketa Higidura motak Abiadura Abiadura eta segurtasun tartea Batez besteko abiadura eta aldiuneko abiadura Higidura

Διαβάστε περισσότερα

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA 95i 10 cm-ko aldea duen karratu baten lau erpinetako hirutan, 5 μc-eko karga bat dago. Kalkula itzazu: a) Eremuaren intentsitatea laugarren erpinean. 8,63.10

Διαβάστε περισσότερα

Makina elektrikoetan sortzen diren energi aldaketak eremu magnetikoaren barnean egiten dira: M A K I N A. Sorgailua. Motorea.

Makina elektrikoetan sortzen diren energi aldaketak eremu magnetikoaren barnean egiten dira: M A K I N A. Sorgailua. Motorea. Magnetismoa M1. MGNETISMO M1.1. Unitate magnetikoak Makina elektrikoetan sortzen diren energi aldaketak eremu magnetikoaren barnean egiten dira: M K I N Energia Mekanikoa Sorgailua Energia Elektrikoa Energia

Διαβάστε περισσότερα

1 GEOMETRIA DESKRIBATZAILEA...

1 GEOMETRIA DESKRIBATZAILEA... Aurkibidea 1 GEOMETRIA DESKRIBATZAILEA... 1 1.1 Proiekzioa. Proiekzio motak... 3 1.2 Sistema diedrikoaren oinarriak... 5 1.3 Marrazketarako hitzarmenak. Notazioak... 10 1.4 Puntuaren, zuzenaren eta planoaren

Διαβάστε περισσότερα

9. Gaia: Espektroskopiaren Oinarriak eta Espektro Atomiko

9. Gaia: Espektroskopiaren Oinarriak eta Espektro Atomiko 9. Gaia: Espektroskopiaren Oinarriak eta Espektro Atomikoak 1) Kimika Teorikoko Laborategia 2012.eko irailaren 21 Laburpena 1 Espektroskopiaren Oinarriak 2 Hidrogeno Atomoa Espektroskopia Esperimentua

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKARAKO SARRERA OCW 2015

MATEMATIKARAKO SARRERA OCW 2015 MATEMATIKARAKO SARRERA OCW 2015 Mathieu Jarry iturria: Flickr CC-BY-NC-ND-2.0 https://www.flickr.com/photos/impactmatt/4581758027 Leire Legarreta Solaguren EHU-ko Zientzia eta Teknologia Fakultatea Matematika

Διαβάστε περισσότερα

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA 1. (2015/2016) 20 cm-ko tarteak bereizten ditu bi karga puntual q 1 eta q 2. Bi kargek sortzen duten eremu elektrikoa q 1 kargatik 5 cm-ra dagoen A puntuan deuseztatu

Διαβάστε περισσότερα

Materialen elastikotasun eta erresistentzia

Materialen elastikotasun eta erresistentzia Materialen elastikotasun eta erresistentzia Juan Luis Osa Amilibia EUSKARA ETA ELEANIZTASUNEKO ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA Liburu honek UPV/EHUko Euskara eta Eleaniztasuneko Errektoreordetzaren

Διαβάστε περισσότερα

Hidrogeno atomoaren energi mailen banatzea eremu kubiko batean

Hidrogeno atomoaren energi mailen banatzea eremu kubiko batean Hidrogeno atomoaren energi mailen banatzea eremu kubiko batean Pablo Mínguez Elektrika eta Elektronika Saila Euskal Herriko Unibertsitatea/Zientzi Fakultatea 644 P.K., 48080 BILBAO Laburpena: Atomo baten

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA:

MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA: MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA: Koaderno hau erabiltzeko oharrak: Koaderno hau egin bazaizu ere, liburuan ezer ere idatz ez dezazun izan da, Gogora ezazu, orain zure liburua den hori,

Διαβάστε περισσότερα

EUSKARA ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA

EUSKARA ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA EUSKARA ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA 1.1. Topologia.. 1.. Aldagai anitzeko funtzio errealak. Definizioa. Adierazpen grafikoa... 5 1.3. Limitea. 6 1.4. Jarraitutasuna.. 9 11 14.1. Lehen mailako

Διαβάστε περισσότερα

5. GAIA Mekanismoen Analisi Dinamikoa

5. GAIA Mekanismoen Analisi Dinamikoa HELBURUAK: HELBURUAK: sistema sistema mekaniko mekaniko baten baten oreka-ekuazioen oreka-ekuazioen ekuazioen planteamenduei planteamenduei buruzko buruzko ezagutzak ezagutzak errepasatu errepasatu eta

Διαβάστε περισσότερα

4. GAIA: Ekuazio diferenzialak

4. GAIA: Ekuazio diferenzialak 4. GAIA: Ekuazio diferenzialak Matematika Aplikatua, Estatistika eta Ikerkuntza Operatiboa Saila Zientzia eta Teknologia Fakultatea Euskal Herriko Unibertsitatea Aurkibidea 4. Ekuazio diferentzialak......................................

Διαβάστε περισσότερα

7. K a p itu lu a. Integ ra l a nizk o itza k

7. K a p itu lu a. Integ ra l a nizk o itza k 7. K a p itu lu a Integ ra l a nizk o itza k 61 62 7. K A P IT U L U A IN T E G R A L A N IZ K O IT Z A K UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 7.1. ARAZOAREN AURKEZPENA 63 7.1 A ra zo a

Διαβάστε περισσότερα

Hirukiak,1. Inskribatutako zirkunferentzia. Zirkunskribatutako zirkunferentzia. Aldekidea. Isoszelea. Marraztu 53mm-ko aldedun hiruki aldekidea

Hirukiak,1. Inskribatutako zirkunferentzia. Zirkunskribatutako zirkunferentzia. Aldekidea. Isoszelea. Marraztu 53mm-ko aldedun hiruki aldekidea Hirukiak, Poligonoa: elkar ebakitzen diren zuzenen bidez mugatutako planoaren zatia da. Hirukia: hiru aldeko poligonoa da. Hiruki baten zuzen bakoitza beste biren batuketa baino txiakiago da eta beste

Διαβάστε περισσότερα

DBH3 MATEMATIKA ikasturtea Errepaso. Soluzioak 1. Aixerrota BHI MATEMATIKA SAILA

DBH3 MATEMATIKA ikasturtea Errepaso. Soluzioak 1. Aixerrota BHI MATEMATIKA SAILA DBH MATEMATIKA 009-010 ikasturtea Errepaso. Soluzioak 1 ALJEBRA EKUAZIOAK ETA EKUAZIO SISTEMAK. EBAZPENAK 1. Ebazpena: ( ) ( x + 1) ( )( ) x x 1 x+ 1 x 1 + 6 x + x+ 1 x x x 1+ 6 6x 6x x x 1 x + 1 6x x

Διαβάστε περισσότερα

Zirkunferentzia eta zirkulua

Zirkunferentzia eta zirkulua 10 Zirkunferentzia eta zirkulua Helburuak Hamabostaldi honetan, hau ikasiko duzu: Zirkunferentzian eta zirkuluan agertzen diren elementuak identifikatzen. Puntu, zuzen eta zirkunferentzien posizio erlatiboak

Διαβάστε περισσότερα

Antzekotasuna. Helburuak. Hasi baino lehen. 1.Antzekotasuna...orria 92 Antzeko figurak Talesen teorema Antzeko triangeluak

Antzekotasuna. Helburuak. Hasi baino lehen. 1.Antzekotasuna...orria 92 Antzeko figurak Talesen teorema Antzeko triangeluak 6 Antzekotasuna Helburuak Hamabostaldi honetan haue ikasiko duzu: Antzeko figurak ezagutzen eta marrazten. Triangeluen antzekotasunaren irizpideak aplikatzen. Katetoaren eta altueraren teoremak erakusten

Διαβάστε περισσότερα

Diamanteak osatzeko beharrezkoak diren baldintzak dira:

Diamanteak osatzeko beharrezkoak diren baldintzak dira: 1 Diamanteak osatzeko beharrezkoak diren baldintzak dira: T= 2,000 C eta P= 50,000 a 100,000 atmosfera baldintza hauek bakarrik ematen dira sakonera 160 Km-koa denean eta beharrezkoak dira miloika eta

Διαβάστε περισσότερα

1. Oinarrizko kontzeptuak

1. Oinarrizko kontzeptuak 1. Oinarrizko kontzeptuak Sarrera Ingeniaritza Termikoa deritzen ikasketetan hasi berri den edozein ikaslerentzat, funtsezkoa suertatzen da lehenik eta behin, seguru aski sarritan entzun edota erabili

Διαβάστε περισσότερα

Poisson prozesuak eta loturiko banaketak

Poisson prozesuak eta loturiko banaketak Gizapedia Poisson banaketa Poisson banaketak epe batean (minutu batean, ordu batean, egun batean) gertaera puntualen kopuru bat (matxura kopurua, istripu kopurua, igarotzen den ibilgailu kopurua, webgune

Διαβάστε περισσότερα

Fisika BATXILERGOA 2. Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula

Fisika BATXILERGOA 2. Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula Fisika BATXILERGOA 2 Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula Obra honen edozein erreprodukzio modu, banaketa, komunikazio publiko edo aldaketa egiteko, nahitaezkoa da jabeen baimena, legeak aurrez ikusitako

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Aire konprimituzko teknikaren aurrerapenak

1.1. Aire konprimituzko teknikaren aurrerapenak 1.- SARRERA 1.1. Aire konprimituzko teknikaren aurrerapenak Aire konprimitua pertsonak ezagutzen duen energia-era zaharrenetarikoa da. Seguru dakigunez, KTESIBIOS grekoak duela 2.000 urte edo gehiago katapulta

Διαβάστε περισσότερα

0.Gaia: Fisikarako sarrera. ARIKETAK

0.Gaia: Fisikarako sarrera. ARIKETAK 1. Zein da A gorputzaren gainean egin behar dugun indarraren balioa pausagunean dagoen B-gorputza eskuinalderantz 2 m desplazatzeko 4 s-tan. Kalkula itzazu 1 eta 2 soken tentsioak. (Iturria: IES Nicolas

Διαβάστε περισσότερα

1. jarduera. Zer eragin du erresistentzia batek zirkuitu batean?

1. jarduera. Zer eragin du erresistentzia batek zirkuitu batean? 1. jarduera Zer eragin du erresistentzia batek zirkuitu batean? 1. Hastapeneko intentsitatearen neurketa Egin dezagun muntaia bat, generadore bat, anperemetro bat eta lanpa bat seriean lotuz. 2. Erresistentzia

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA:

MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA: MATEMATIKAKO ARIKETAK. DBH 3. KOADERNOA IZENA: Koaderno hau erabiltzeko oharrak: Koaderno hau egin bazaizu ere, liburuan ezer ere idatz ez dezazun izan da, Gogora ezazu, orain zure liburua den hori, datorren

Διαβάστε περισσότερα

I. KAPITULUA Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa

I. KAPITULUA Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa I. KAPITULUA Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa 1. ZENBAKI ERREALAK. ZENBAKI ERREALEN ADIERAZPENA ZENBAKIZKO ARDATZEKO PUNTUEN BIDEZ Matematikaren oinarrizko kontzeptuetariko bat zenbakia da. Zenbakiaren kontzeptua

Διαβάστε περισσότερα

Uhin guztien iturburua, argiarena, soinuarena, edo dena delakoarena bibratzen duen zerbait da.

Uhin guztien iturburua, argiarena, soinuarena, edo dena delakoarena bibratzen duen zerbait da. 1. Sarrera.. Uhin elastikoak 3. Uhin-higidura 4. Uhin-higiduraren ekuazioa 5. Energia eta intentsitatea uhin-higiduran 6. Uhinen arteko interferentziak. Gainezarmen printzipioa 7. Uhin geldikorrak 8. Huyghens-Fresnelen

Διαβάστε περισσότερα

6. Aldagai kualitatibo baten eta kuantitatibo baten arteko harremana

6. Aldagai kualitatibo baten eta kuantitatibo baten arteko harremana 6. Aldagai kualitatibo baten eta kuantitatibo baten arteko harremana GAITASUNAK Gai hau bukatzerako ikaslea gai izango da: - Batezbestekoaren estimazioa biztanlerian kalkulatzeko. - Proba parametrikoak

Διαβάστε περισσότερα

Fisika. Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula. Irakaslearen gidaliburua BATXILERGOA 2

Fisika. Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula. Irakaslearen gidaliburua BATXILERGOA 2 Fisika BATXILEGOA Irakaslearen gidaliburua Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula Obra honen edozein erreprodukzio modu, banaketa, komunikazio publiko edo aldaketa egiteko, nahitaezkoa da jabeen baimena,

Διαβάστε περισσότερα

3. K a p itu lu a. Aldagai errealek o fu n tzio errealak

3. K a p itu lu a. Aldagai errealek o fu n tzio errealak 3. K a p itu lu a Aldagai errealek o fu n tzio errealak 49 50 3. K AP IT U L U A AL D AG AI E R R E AL E K O F U N T Z IO E R R E AL AK UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 3.1. ARAZOAREN

Διαβάστε περισσότερα

AURKIBIDEA I. KORRONTE ZUZENARI BURUZKO LABURPENA... 7

AURKIBIDEA I. KORRONTE ZUZENARI BURUZKO LABURPENA... 7 AURKIBIDEA Or. I. KORRONTE ZUZENARI BURUZKO LABURPENA... 7 1.1. MAGNITUDEAK... 7 1.1.1. Karga elektrikoa (Q)... 7 1.1.2. Intentsitatea (I)... 7 1.1.3. Tentsioa ()... 8 1.1.4. Erresistentzia elektrikoa

Διαβάστε περισσότερα

10. K a p itu lu a. Laplaceren transfo rm atu a

10. K a p itu lu a. Laplaceren transfo rm atu a 1. K a p itu lu a Laplaceren transfo rm atu a 239 24 1. K A P IT U L U A L A P L A C E R E N T R A N S F O R M A T U A 1.1 A ra zo a re n a u rk e zp e n a K u rtsoan zehar, ald ag ai an itzen ald aketa

Διαβάστε περισσότερα

ELASTIKOTASUNAREN TEORIA ETA MATERIALEN ERRESISTENTZIA. Ruben Ansola Loyola

ELASTIKOTASUNAREN TEORIA ETA MATERIALEN ERRESISTENTZIA. Ruben Ansola Loyola ELSTIKOTSUNREN TEORI ET MTERILEN ERRESISTENTZI Ruben nsola Loyola Udako Euskal Unibertsitatea Bilbo, 005 HEZKUNTZ, UNIBERTSITTE ET IKERKET SIL DERTMENTO DE EDUCCIÓN UNIVERSIDDES E INVESTIGCIÓN «Liburu

Διαβάστε περισσότερα

Antzekotasuna ANTZEKOTASUNA ANTZEKOTASUN- ARRAZOIA TALESEN TEOREMA TRIANGELUEN ANTZEKOTASUN-IRIZPIDEAK BIGARREN IRIZPIDEA. a b c

Antzekotasuna ANTZEKOTASUNA ANTZEKOTASUN- ARRAZOIA TALESEN TEOREMA TRIANGELUEN ANTZEKOTASUN-IRIZPIDEAK BIGARREN IRIZPIDEA. a b c ntzekotasuna NTZEKOTSUN IRUI NTZEKOK NTZEKOTSUN- RRZOI NTZEKO IRUIK EGITE TLESEN TEOREM TRINGELUEN NTZEKOTSUN-IRIZPIEK LEHEN IRIZPIE $ = $' ; $ = $' IGRREN IRIZPIE a b c = = a' b' c' HIRUGRREN IRIZPIE

Διαβάστε περισσότερα

EREMU GRABITATORIOA ETA UNIBERTSOKO GRABITAZIOA

EREMU GRABITATORIOA ETA UNIBERTSOKO GRABITAZIOA AIXERROTA BHI EREMU GRABITATORIOA ETA UNIBERTSOKO GRABITAZIOA 2012 uztaila P1. Urtebete behar du Lurrak Eguzkiaren inguruko bira oso bat emateko, eta 149 milioi km ditu orbita horren batez besteko erradioak.

Διαβάστε περισσότερα

EREDU ATOMIKOAK.- ZENBAKI KUANTIKOAK.- KONFIGURAZIO ELEKTRONIKOA EREDU ATOMIKOAK

EREDU ATOMIKOAK.- ZENBAKI KUANTIKOAK.- KONFIGURAZIO ELEKTRONIKOA EREDU ATOMIKOAK EREDU ATOMIKOAK Historian zehar, atomoari buruzko eredu desberdinak sortu dira. Teknologia hobetzen duen neurrian datu gehiago lortzen ziren atomoaren izaera ezagutzeko, Beraz, beharrezkoa da aztertzea,

Διαβάστε περισσότερα

ERREAKZIOAK. Adizio elektrozaleak Erredukzio erreakzioak Karbenoen adizioa Adizio oxidatzaileak Alkenoen hausketa oxidatzailea

ERREAKZIOAK. Adizio elektrozaleak Erredukzio erreakzioak Karbenoen adizioa Adizio oxidatzaileak Alkenoen hausketa oxidatzailea ERREAKZIAK Adizio elektrozaleak Erredukzio erreakzioak Karbenoen adizioa Adizio oxidatzaileak Alkenoen hausketa oxidatzailea ADIZI ELEKTRZALEK ERREAKZIAK idrogeno halurozko adizioak Alkenoen hidratazioa

Διαβάστε περισσότερα

OREKA KIMIKOA GAIEN ZERRENDA

OREKA KIMIKOA GAIEN ZERRENDA GAIEN ZERRENDA Nola lortzen da oreka kimikoa? Oreka konstantearen formulazioa Kc eta Kp-ren arteko erlazioa Disoziazio-gradua Frakzio molarrak eta presio partzialak Oreka kimikoaren noranzkoa Le Chatelier-en

Διαβάστε περισσότερα

EREMU NAGNETIKOA ETA INDUKZIO ELEKTROMAGNETIKOA

EREMU NAGNETIKOA ETA INDUKZIO ELEKTROMAGNETIKOA EREMU NAGNETIKOA ETA INDUKZIO ELEKTROMAGNETIKOA Datu orokorrak: Elektroiaren masa: 9,10 10-31 Kg, Protoiaren masa: 1,67 x 10-27 Kg Elektroiaren karga e = - 1,60 x 10-19 C µ ο = 4π 10-7 T m/ampere edo 4π

Διαβάστε περισσότερα

PROGRAMA LABURRA (gutxiengoa)

PROGRAMA LABURRA (gutxiengoa) PROGRAMA LABURRA gutiengoa Batilergo Zientiiko-Teknikoa MATEMATIKA I Ignacio Zuloaga BHI Eibar IGNACIO ZULOAGA B.I. EIBAR Gutiengo programa Zientiiko-Teknikoa. maila Ekuaio esponentialak Ariketa ebatiak:

Διαβάστε περισσότερα

du = 0 dela. Ibilbide-funtzioekin, ordea, dq 0 eta dw 0 direla dugu. 2. TERMODINAMIKAREN LEHENENGO PRINTZIPIOA ETA BIGARREN PRINTZIPIOA

du = 0 dela. Ibilbide-funtzioekin, ordea, dq 0 eta dw 0 direla dugu. 2. TERMODINAMIKAREN LEHENENGO PRINTZIPIOA ETA BIGARREN PRINTZIPIOA . TERMODINAMIKAREN LEHENENGO PRINTZIPIOA ETA BIGARREN PRINTZIPIOA.. TERMODINAMIKAREN LAN-ARLOA Energi eraldaketak aztertzen dituen jakintza-adarra termodinamika da. Materia tarteko den prozesuetan, natural

Διαβάστε περισσότερα

1. MATERIAREN PROPIETATE OROKORRAK

1. MATERIAREN PROPIETATE OROKORRAK http://thales.cica.es/rd/recursos/rd98/fisica/01/fisica-01.html 1. MATERIAREN PROPIETATE OROKORRAK 1.1. BOLUMENA Nazioarteko Sisteman bolumen unitatea metro kubikoa da (m 3 ). Hala ere, likido eta gasen

Διαβάστε περισσότερα

Emaitzak: a) 0,148 mol; 6,35 atm; b) 0,35; 0,32; 0,32; 2,2 atm; 2,03 atm; 2.03 atm c) 1,86; 0,043

Emaitzak: a) 0,148 mol; 6,35 atm; b) 0,35; 0,32; 0,32; 2,2 atm; 2,03 atm; 2.03 atm c) 1,86; 0,043 KIMIKA OREKA KIMIKOA UZTAILA 2017 AP1 Emaitzak: a) 0,618; b) 0,029; 1,2 EKAINA 2017 AP1 Emaitzak:a) 0,165; 0,165; 1,17 mol b) 50 c) 8,89 atm UZTAILA 2016 BP1 Emaitzak: a) 0,148 mol; 6,35 atm; b) 0,35;

Διαβάστε περισσότερα

Magnetismoa. Ferromagnetikoak... 7 Paramagnetikoak... 7 Diamagnetikoak Elektroimana... 8 Unitate magnetikoak... 9

Magnetismoa. Ferromagnetikoak... 7 Paramagnetikoak... 7 Diamagnetikoak Elektroimana... 8 Unitate magnetikoak... 9 Magnetismoa manak eta imanen teoriak... 2 manaren definizioa:... 2 manen arteko interakzioak (elkarrekintzak)... 4 manen teoria molekularra... 4 man artifizialak... 6 Material ferromagnetikoak, paramagnetikoak

Διαβάστε περισσότερα

TEKNIKA ESPERIMENTALAK - I Fisikako laborategiko praktikak

TEKNIKA ESPERIMENTALAK - I Fisikako laborategiko praktikak TEKNIKA ESPERIMENTALAK - I Fisikako laborategiko praktikak Fisikako Gradua Ingeniaritza Elektronikoko Gradua Fisikan eta Ingeniaritza Elektronikoan Gradu Bikoitza 1. maila 2014/15 Ikasturtea Saila Universidad

Διαβάστε περισσότερα

4. Hipotesiak eta kontraste probak.

4. Hipotesiak eta kontraste probak. 1 4. Hipotesiak eta kontraste probak. GAITASUNAK Gai hau bukatzerako ikaslea gai izango da ikerketa baten: - Helburua adierazteko. - Hipotesia adierazteko - Hipotesi nulua adierazteko - Hipotesi nulu estatistikoa

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometria ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOEN ARTEKO ERLAZIOAK

Trigonometria ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOEN ARTEKO ERLAZIOAK Trigonometria ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK SINUA KOSINUA TANGENTEA ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOEN ARTEKO ERLAZIOAK sin α + cos α = sin α cos α = tg α 0º, º ETA 60º-KO ANGELUEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK

Διαβάστε περισσότερα

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: OPTIKA

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: OPTIKA SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: OPTIKA TEORIA 1. (2012/2013) Argiaren errefrakzioa. Guztizko islapena. Zuntz optikoak. Azaldu errefrakzioaren fenomenoa, eta bere legeak eman. Guztizko islapen a azaldu eta definitu

Διαβάστε περισσότερα

MAKINAK DISEINATZEA I -57-

MAKINAK DISEINATZEA I -57- INGENIERITZA MEKANIKOA, ENERGETIKOA ETA MATERIALEN AILA 005 V. BADIOLA 4. KARGA ALDAKORRAK Osagaiak nekea jasaten du txandakako kargak eusten dituenean: trenbidearen gurpila, leherketa-motorraren biela.

Διαβάστε περισσότερα

2. PROGRAMEN ESPEZIFIKAZIOA

2. PROGRAMEN ESPEZIFIKAZIOA 2. PROGRAMEN ESPEZIFIKAZIOA 2.1. Asertzioak: egoera-multzoak adierazteko formulak. 2.2. Aurre-ondoetako espezifikazio formala. - 1 - 2.1. Asertzioak: egoera-multzoak adierazteko formulak. Programa baten

Διαβάστε περισσότερα

3. Ikasgaia. MOLEKULA ORGANIKOEN GEOMETRIA: ORBITALEN HIBRIDAZIOA ISOMERIA ESPAZIALA:

3. Ikasgaia. MOLEKULA ORGANIKOEN GEOMETRIA: ORBITALEN HIBRIDAZIOA ISOMERIA ESPAZIALA: 3. Ikasgaia. MLEKULA RGAIKE GEMETRIA: RBITALE IBRIDAZIA KARB DERIBATUE ISMERIA ESPAZIALA Vant off eta LeBel-en proposamena RBITAL ATMIKE IBRIDAZIA ibridaio tetragonala ibridaio digonala Beste hibridaioak

Διαβάστε περισσότερα

3. K a p itu lu a. Aldagai errealek o fu n tzio errealak

3. K a p itu lu a. Aldagai errealek o fu n tzio errealak 3 K a p itu lu a Aldagai errealek o fu n tzio errealak 13 14 3 K AP IT U L U A AL D AG AI E R R E AL E K O F U N T Z IO E R R E AL AK UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 31 FUNTZIOAK:

Διαβάστε περισσότερα

HASI ESKEMA INTERNET HASTEKO ESKEMA INTERNET

HASI ESKEMA INTERNET HASTEKO ESKEMA INTERNET 7 HASTEKO ESKEMA INTERNET Edukien eskema Uhin-higidura Soinua Higidura bibrakorra Soinu ekoizpena Uhin -higidura Uhin motak Uhin bat karakterizatzen duten magnitudeak Uhinen intentsitate eta energia Argia

Διαβάστε περισσότερα

1. INGENIARITZA INDUSTRIALA. INGENIARITZAREN OINARRI FISIKOAK 1. Partziala 2009.eko urtarrilaren 29a

1. INGENIARITZA INDUSTRIALA. INGENIARITZAREN OINARRI FISIKOAK 1. Partziala 2009.eko urtarrilaren 29a 1. Partziala 2009.eko urtarrilaren 29a ATAL TEORIKOA: Azterketaren atal honek bost puntu balio du totalean. Hiru ariketak berdin balio dute. IRAUPENA: 75 MINUTU. EZ IDATZI ARIKETA BIREN ERANTZUNAK ORRI

Διαβάστε περισσότερα

Inekuazioak. Helburuak. 1. Ezezagun bateko lehen orria 74 mailako inekuazioak Definizioak Inekuazio baliokideak Ebazpena Inekuazio-sistemak

Inekuazioak. Helburuak. 1. Ezezagun bateko lehen orria 74 mailako inekuazioak Definizioak Inekuazio baliokideak Ebazpena Inekuazio-sistemak 5 Inekuazioak Helburuak Hamabostaldi honetan hauxe ikasiko duzu: Ezezagun bateko lehen eta bigarren mailako inekuazioak ebazten. Ezezagun bateko ekuaziosistemak ebazten. Modu grafikoan bi ezezaguneko lehen

Διαβάστε περισσότερα

Agoitz DBHI Unitatea: JOKU ELEKTRIKOA Orria: 1 AGOITZ. Lan Proposamena

Agoitz DBHI Unitatea: JOKU ELEKTRIKOA Orria: 1 AGOITZ. Lan Proposamena Agoitz DBHI Unitatea: JOKU ELEKTRIKOA Orria: 1 1. AKTIBITATEA Lan Proposamena ARAZOA Zurezko oinarri baten gainean joko elektriko bat eraiki. Modu honetan jokoan asmatzen dugunean eta ukitzen dugunean

Διαβάστε περισσότερα

Ingeniaritza Kimikoaren Oinarriak

Ingeniaritza Kimikoaren Oinarriak Ingeniaritza Kimikoaren Oinarriak Miriam rabiourrutia Gallastegi EUSKR ET ELENIZTSUNEKO ERREKTOREORDETZREN SRE RGITLPEN ISBN: 978-84-9860-830-4 Liburu honek UPV/EHUko Euskara eta Eleaniztasuneko Errektoreordetzaren

Διαβάστε περισσότερα

4. GAIA MASAREN IRAUPENAREN LEGEA: MASA BALANTZEAK

4. GAIA MASAREN IRAUPENAREN LEGEA: MASA BALANTZEAK 4. GAIA MASAREN IRAUPENAREN LEGEA: MASA BALANTZEAK GAI HAU IKASTEAN GAITASUN HAUEK LORTU BEHARKO DITUZU:. Sistema ireki eta itxien artea bereiztea. 2. Masa balantze sinpleak egitea.. Taula estekiometrikoa

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Sarrera: telekomunikazio-sistemak

1.1 Sarrera: telekomunikazio-sistemak 1 TELEKOMUNIKAZIOAK 1.1 Sarrera: telekomunikazio-sistemak Telekomunikazio komertzialetan bi sistema nagusi bereiz ditzakegu: irratia eta telebista. Telekomunikazio-sistema horiek, oraingoz, noranzko bakarrekoak

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA DISKRETUA ETA ALGEBRA. Lehenengo zatia

MATEMATIKA DISKRETUA ETA ALGEBRA. Lehenengo zatia MATEMATIKA DISKRETUA ETA ALGEBRA Lehenengo zatia http ://www.sc.ehu.es/ccwalirx/docs/materiala.htm 1. KALKULU PROPOSIZIONALA 2. PREDIKATU KALKULUA 3. MULTZOAK, OSOKOAK 4. ERLAZIOAK ETA FUNTZIOAK 5. GRAFOAK

Διαβάστε περισσότερα

Ordenadore bidezko irudigintza

Ordenadore bidezko irudigintza Ordenadore bidezko irudigintza Joseba Makazaga 1 Donostiako Informatika Fakultateko irakaslea Konputazio Zientziak eta Adimen Artifiziala Saileko kidea Asier Lasa 2 Donostiako Informatika Fakultateko ikaslea

Διαβάστε περισσότερα

1-A eta 1-8 ariketen artean bat aukeratu (2.5 puntu)

1-A eta 1-8 ariketen artean bat aukeratu (2.5 puntu) UNIBERTSITATERA SARTZEKO HAUTAPROBAK 2004ko EKAINA ELEKTROTEKNIA PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD JUNIO 2004 ELECTROTECNIA 1-A eta 1-8 ariketen artean bat aukeratu (2.5 1-A ARIKETA Zirkuitu elektriko

Διαβάστε περισσότερα

LANBIDE EKIMENA. Proiektuaren bultzatzaileak. Laguntzaileak. Hizkuntz koordinazioa

LANBIDE EKIMENA. Proiektuaren bultzatzaileak. Laguntzaileak. Hizkuntz koordinazioa Elektroteknia: Ariketa ebatzien bilduma LANBDE EKMENA LANBDE EKMENA LANBDE EKMENA roiektuaren bultzatzaileak Laguntzaileak Hizkuntz koordinazioa Egilea(k): JAO AAGA, Oscar. Ondarroa-Lekeitio BH, Ondarroa

Διαβάστε περισσότερα

ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Bigarren zatia: praktika). Irakaslea: Josemari Sarasola Data: 2016ko maiatzaren 12a - Iraupena: Ordu t erdi

ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Bigarren zatia: praktika). Irakaslea: Josemari Sarasola Data: 2016ko maiatzaren 12a - Iraupena: Ordu t erdi ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Bigarren zatia: praktika). Irakaslea: Josemari Sarasola Data: 2016ko maiatzaren 12a - Iraupena: Ordu t erdi I. ebazkizuna (2.25 puntu) Poisson, esponentziala, LTZ Zentral

Διαβάστε περισσότερα

Proba parametrikoak. Josemari Sarasola. Gizapedia. Josemari Sarasola Proba parametrikoak 1 / 20

Proba parametrikoak. Josemari Sarasola. Gizapedia. Josemari Sarasola Proba parametrikoak 1 / 20 Josemari Sarasola Gizapedia Josemari Sarasola Proba parametrikoak 1 / 20 Zer den proba parametrikoa Proba parametrikoak hipotesi parametrikoak (hau da parametro batek hartzen duen balioari buruzkoak) frogatzen

Διαβάστε περισσότερα

4.GAIA. ESPAZIO BEKTORIALAK

4.GAIA. ESPAZIO BEKTORIALAK 4.GAIA. ESPAZIO BEKTORIALAK. Defiizioa. Propietateak 3. Azpiespazio bektorialak 4. Kobiazio liealak 5. Depedetzia eta idepedetzia lieala 6. Oiarria eta dimetsioa 7. Oiarri-aldaketa 8. Azpiespazio bektoriale

Διαβάστε περισσότερα

Gaiari lotutako EDUKIAK (127/2016 Dekretua, Batxilergoko curriculuma)

Gaiari lotutako EDUKIAK (127/2016 Dekretua, Batxilergoko curriculuma) Termodinamika Gaiari lotutako EDUKIAK (127/2016 Dekretua, Batxilergoko curriculuma) Erreakzio kimikoetako transformazio energetikoak. Espontaneotasuna 1. Energia eta erreakzio kimikoa. Prozesu exotermikoak

Διαβάστε περισσότερα

Elementu baten ezaugarriak mantentzen dituen partikularik txikiena da atomoa.

Elementu baten ezaugarriak mantentzen dituen partikularik txikiena da atomoa. Atomoa 1 1.1. MATERIAREN EGITURA Elektrizitatea eta elektronika ulertzeko gorputzen egitura ezagutu behar da; hau da, gorputz bakun guztiak hainbat partikula txikik osatzen dituztela kontuan hartu behar

Διαβάστε περισσότερα

2011 Kimikako Euskal Olinpiada

2011 Kimikako Euskal Olinpiada 2011 Kimikako Euskal Olinpiada ARAUAK (Arretaz irakurri): Zuzena den erantzunaren inguruan zirkunferentzia bat egin. Ordu bete eta erdiko denbora epean ahalik eta erantzun zuzen gehien eman behar dituzu

Διαβάστε περισσότερα

UNITATE DIDAKTIKOA ELEKTRIZITATEA D.B.H JARDUERA. KORRONTE ELEKTRIKOA. Helio atomoa ASKATASUNA BHI 1.- ATOMOAK ETA KORRONTE ELEKTRIKOA

UNITATE DIDAKTIKOA ELEKTRIZITATEA D.B.H JARDUERA. KORRONTE ELEKTRIKOA. Helio atomoa ASKATASUNA BHI 1.- ATOMOAK ETA KORRONTE ELEKTRIKOA 1. JARDUERA. KORRONTE ELEKTRIKOA. 1 1.- ATOMOAK ETA KORRONTE ELEKTRIKOA Material guztiak atomo deitzen diegun partikula oso ttipiez osatzen dira. Atomoen erdigunea positiboki kargatua egon ohi da eta tinkoa

Διαβάστε περισσότερα

KANTEN ETIKA. Etika unibertsal baten bila. Gizaki guztientzat balioko zuen etika bat.

KANTEN ETIKA. Etika unibertsal baten bila. Gizaki guztientzat balioko zuen etika bat. EN ETIKA Etika unibertsal baten bila. Gizaki guztientzat balioko zuen etika bat. Kantek esan zuen bera baino lehenagoko etikak etika materialak zirela 1 etika materialak Etika haiei material esaten zaie,

Διαβάστε περισσότερα

EGITURAREN ANALISIA ETA SINTESIA. KONTZEPTU OROKORRAK

EGITURAREN ANALISIA ETA SINTESIA. KONTZEPTU OROKORRAK 1. GAIA 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 EGITURAREN ANALISIA ETA SINTESIA. KONTZEPTU OROKORRAK Definizioak 1.1.1 MakinaetaMekanismoa 1.1.2 MailaedoElementua 1.1.3 PareZinematikoa 1.1.4 KateZinematikoa

Διαβάστε περισσότερα

LOGIKA. F. Xabier Albizuri go.ehu.eus/ii-md

LOGIKA. F. Xabier Albizuri go.ehu.eus/ii-md LOGIKA F. Xabier Albizuri - 2018 fx.albizuri@ehu.eus go.ehu.eus/ii-md Logikako bi gaiak: 1. LOGIKA PROPOSIZIONALA 2. PREDIKATU LOGIKA Ikasliburuak: 1. Logic and Discrete Mathematics: A Computer Science

Διαβάστε περισσότερα

6. GAIA: Oinarrizko estatistika

6. GAIA: Oinarrizko estatistika 6. GAIA: Oinarrizko estatistika Matematika Aplikatua, Estatistika eta Ikerkuntza Operatiboa Saila Zientzia eta Teknologia Fakultatea Euskal Herriko Unibertsitatea Aurkibidea 6. Oinarrizko estatistika.......................................

Διαβάστε περισσότερα

DINAMIKA. c Ugutz Garitaonaindia Antsoategi Ingeniaritza Mekanikoa Saila Gasteizko I.I.T. eta T.I.T.U.E. Euskal Herriko Unibertsitatea

DINAMIKA. c Ugutz Garitaonaindia Antsoategi Ingeniaritza Mekanikoa Saila Gasteizko I.I.T. eta T.I.T.U.E. Euskal Herriko Unibertsitatea DINAMIKA c Ugutz Gartaonanda Antsoateg Ingenartza Mekankoa Sala Gastezko I.I.T. eta T.I.T.U.E. Euskal Herrko Unbertstatea 2000/2001 kasturtea Índce 1. SARRERA 3 2. INDARRAK 3 3. ERREFERENTZIA SISTEMA DINAMIKAN.

Διαβάστε περισσότερα

Oxidazio-erredukzio erreakzioak

Oxidazio-erredukzio erreakzioak Oxidazio-erredukzio erreakzioak Lan hau Creative Commons-en Nazioarteko 3.0 lizentziaren mendeko Azterketa-Ez komertzial-partekatu lizentziaren mende dago. Lizentzia horren kopia ikusteko, sartu http://creativecommons.org/licenses/by-ncsa/3.0/es/

Διαβάστε περισσότερα

15. EREMU EFEKTUKO TRANSISTOREAK I: SAILKAPENA ETA MOSFETA

15. EREMU EFEKTUKO TRANSISTOREAK I: SAILKAPENA ETA MOSFETA 15. EREMU EFEKTUKO TRANSISTOREAK I: SAILKAPENA ETA MOSFETA KONTZEPTUA Eremu-efektuko transistorea (Field Effect Transistor, FET) zirkuitu analogiko eta digitaletan maiz erabiltzen den transistore mota

Διαβάστε περισσότερα