ĮVADAS Į FINANSŲ SISTEMĄ

Transcript

1 III. AKCIJOS, OBLIGACIJOS IR JŲ VERTINIMAS 5 ATEITIES VERTĖ, DABARTINĖ VERTĖ IR PALŪKANŲ NORMOS Turinys 5.1 Įvadas 5.2 Mokėjimų dabar ir ateityje vertė Ateities vertė ir sudėtinė palūkanų norma Dabartinė vertė 5.3 PV taikymas Vidinė grąžos norma Obligacijos: pagrindai Paprastesnė PV formulė 5.4 Realios ir nominalios palūkanų normos 5.1 Įvadas Skolintojai istoriškai nebuvo labai mėgstami, švelniai tariant: daug kam atrodydavo, kad jie uždirba pinigus nieko neveikdami; nustato lupikiškas palūkanas (ir, o siaube, palūkanas nuo palūkanų); jų turtėjimas lemia nelygybės didėjimą. 1/5/2016 Psl. 152 / 1452

2 Nepaisant visko, skolintojai egzistuoja, o kreditas yra vienas svarbiausių būdų paskirstyti išteklius. Skola ir kreditas egzistuoja senai: yra archeologinių šaltinių, kad žmonės skolindavo grūdus ir metalą prieš 5000 m.; kreditas egzistavo bent 2000 metų prieš monetų atsiradimą; skolos lazdelės (tally sticks) buvo vienais pirmųjų pinigų. 1/5/2016 Psl. 153 / 1452

3 Pav Skolos lazdelės 1/5/2016 Psl. 154 / 1452

4 Nepaisant senos istorijos, kreditą buvo sunku gauti iki protestantiškos reformacijos. XVI a. požiūris į kreditą pasikeitė, o (nelupikiškų) palūkanų mokėjimai buvo labiau toleruojami: kai kurie istorikai netgi laiko tai postūmiu kapitalizmo ir jo institucijų susikūrimui; protestantiškos Europos šalys vystėsi greičiau už katalikiškas, bent jau iš pradžių. 8 XX a. kredito augimas buvo ypač didelis, ir nors tai sutapo su ekonominio augimo laikotarpiu, palūkanų institutas ir skolintojai nėra labai populiarūs. Kodėl? Palūkanų nepopuliarumas nemaža dalimi atsiranda yra dėl nesuvokimo, kad skolintojas, išduodamas paskolą, turi alternatyvinius kaštus: skolintojas atsisako vartoti dabar; per paskolos laikotarpį jis negali pasinaudoti kai kuriomis atsiradusiomis galimybėmis; taigi, besiskolinantieji turi sumokėti skolintojams kompensaciją už prarastas galimybes. Bankai, klaviatūros pagalba išduodami paskolą, iš pradžių neturi alternatyvinių kaštų, bet jie atsiranda kiek vėliau, kai: 8 Taip argumentavo Max Weber (1905) The Protestant Ethic and the Spirit of Capitalism. 1/5/2016 Psl. 155 / 1452

5 einamieji indėliai tampa taupomaisiais; reikia skolintis, kad pakeist iš banko išėjusius indėlius. Šiandien palūkanų normos (interest rates) procentai nuo pasiskolintos sumos: yra tarytum savaime suprantamos ir svarbios kone kiekvienam žmonėms, verslams, valdžioms; susieja dabartį ir ateitį, leidžiant palyginti mokėjimus skirtingomis datomis; parodo skolinimo grąžą ir skolinimosi kaštus. Kad mokėtume daryti gerus finansinius sprendimus, turime: suprasti palūkanų normas, naudojant ateities vertės ir dabartinės vertės sąvokas; mokėti taikyti šias sąvokas vertinant įvairias FP-es; suvokti infliacijos reikšmę taupymo grąžai (suvokti nominalias ir realias palūkanas). 5.2 Mokėjimų dabar ir ateityje vertė Kad palygintume mokėjimų skirtingomis datomis vertę, turime suvokti 2 sąvokas: ateities vertė (future value, FV); dabartinė vertė (present value, PV). 1/5/2016 Psl. 156 / 1452

6 Naudosime jas, kad pamatytume kodėl pažadas sumokėti tam tikrą sumą ateityje yra mažiau vertas nei pažadas sumokėti šiandien. Pavyzdžiui, žinote, kad jei pasiskolinsite 100 šiandien, po kiek laiko turėsite grąžinti daugiau, tačiau kiek daugiau priklauso nuo: mokėjimo datos; palūkanų normos. Šioje paskaitoje darysime prielaidą, kad jūs tikrai sumokėsite. Neapibrėžtumą dėl mokėjimo nagrinėsime paskaitoje apie riziką Ateities vertė ir sudėtinė palūkanų norma Kokia yra ateities vertė 1, padėto į palūkanas duodantį indėlį šiandien? Ateities vertė (future value, FV) yra investicijos šiandien vertė konkrečią datą ateityje. Pavyzdžiui: padėję 100 indėlį su 5% metinėm palūkanom po 1 metų turėsite 105 (investicijos dabartinę vertę 100 ir 5 palūkanų); todėl 100 ateities vertė a) po metų, b) esant 5% palūkanų normai, yra 105. Taip pat galėtume sakyti, kad 100 investicijos pajamos yra 5, štai kodėl palūkanų norma dar vadinama pajamingumu (yield). Tokius pačius skaičiavimus atliks pasiskolinęs 100 metams už 5% grąžinsite 105 (prisiminkite Pamatinį principą #1: laikas turi vertę). 1/5/2016 Psl. 157 / 1452

7 Matematiškai: ,05 = 105 [dabartinė investicijos vertė] + [palūkanos] = [būsimoji investicijos vertė po metų] PV + PV i = FV PV (1 + i) = FV Matome, kad a) kuo didesnė palūkanų norma ir b) investuota suma, tuo didesnė ateities vertė. Dauguma FP-ių nemoka vienintelio mokėjimo lygiai po metų. Kokia bus ateities vertė 100 investicijos po 2 metų? Kadangi naudojame metines palūkanų normas, kad apskaičiuotume FV investicijos po 2 metų, turime naudoti sudėtinių palūkanų (compund interest) sąvoką palūkanos nuo palūkanų. Antrais metais jūs gausite: palūkanas ne tik už pradinę investiciją, bet ir palūkanas nuo pirmais metais gautų palūkanų, kadangi abu turi alternatyvinius kaštus. 1/5/2016 Psl. 158 / 1452

8 Taigi, 100 indėlio dviem metams už 5% metines palūkanas FV turės 4 dalis: 1) pradinė investicija 100; 2) palūkanos už pradinę investiciją 1-ais metais; 3) palūkanos už pradinę investiciją 2-ais metais; 4) 2-ais metais sumokėtos palūkanos už 1-ais metais uždirbtas palūkanas (tai ir yra sudėtinės palūkanos) , , ,05 = 110,25 Galime parodyti, kad tai lygu: 100 1, = 100 (1,05) 2 [Įrodymas , , ,05 = 100(1 + 0,05 + 0,05 + 0,05 2 ) = 100(1 + 0,05)(1 + 0,05) = 100(1 + 0,05) 2 = 100(1,05) 2. Panaudojome vidurinės mokyklos algebrą: (1 + i + i + i 2 ) = (1 + 2i + i 2 ) = (1 + i) 2.] 1/5/2016 Psl. 159 / 1452

9 Pav ateities vertė Jei turime daugiau metų t, tada pradinę investuotą sumą (I) dauginsime iš (1 + i) t. Lentelėje matome 100 FV per kelis metus ir esant įvairioms palūkanoms. Matome, kad jei ignoruotume sudėtines palūkanas, kaip daro daug paprastų žmonių, po 10 metų gautume ne 150, o 162,89, t.y. sudėtinės palūkanos duotų papildomus 12,89 palūkanų per 10 metų. Taigi, bendra FV formulė: FV = PV (1 + i) t Formulė vis dar galioja, tačiau viena pastaba skaičiuojant FV, a) i, b) t t.b. matuojami tais pačiais laiko vienetais. Naudojome metines palūkanų normas (% per metus), todėl t buvo matuojamas metais taip pat. 1/5/2016 Psl. 160 / 1452

10 Taigi, jei skaičiuojame FV: po pusmečio, tai t = 1/2; po mėnesio, tai t = 1/12; po dienos, tai t = 1/365. Jei metinė palūkanų norma yra 5%, tai mėnesio palūkanų norma (panaudoję sudėtines palūkanas) bus 1,0041, nes: (1 + i m ) 12 = 1,05; pakėlę abi puses 1/12 laipsniu, (1 + i m ) = 1,05 1/12. Procento šimtosios dalys finansų pasaulyje turi atskirą vardą baziniai punktai (basis points), pavyzdžiui, 0,41 procento yra 41 bazinis punktas. Intarpas 5.1. Investicijos dvigubėjimas ir 72 taisyklė Per kiek laiko 100 už 5% taps 200?: bukokas būdas kalkuliatorium dauginkit 100 iš 1,05 vėl ir vėl, kol gausit apie 200. Po 14 kartų bus 197,99, po 15 kartų jau 207,89. Žodžiu, investicija padvigubės tarp 14 ir 15 metų; 72 taisyklė (rule of 72): 72/5 = 14,4 metų. Patikrinkite, kad 1,05 14,4 = 2, taisyklė: 1/5/2016 Psl. 161 / 1452

11 rodo sudėtinių palūkanų galią palūkanoms padvigubėjus, investicijos padvigubėjimo laikas sumažėja per pusę; galioja kitiems eksponentiniams procesams, kai kas nors auga pastoviu tempu (gyventojų skaičius, įmonės pardavimai etc.). [Įrodymas. 72 taisyklė yra aproksimacija algebrinės problemos su natūralaus logaritmo panaudojimu: naudojame FV = PV(1 + i) t prilyginame PV = 1, o FV = 2 logaritmuojame t = ln(2)/ln(1 + i) (ši formulė yra tiksli) naudojame aproksimaciją, kad ln(l + i) i (nedideliems i) tada t = ln(2)/i ln(2) = 0,693, todėl, turėtume naudoti 69,3 taisyklę. Nedidelėms palūkanoms taip ir darykite, bet pedagoginiais tikslais naudojamos 5%, ar panašios apvalios palūkanos, todėl 72.] Dabartinė vertė Kiek mokėjimas ateityje yra vertas šiandien? Pavyzdžiui, draugas nori pasiskolinti 225, ir siūlo mokėti: po is metus; po u metus. 1/5/2016 Psl. 162 / 1452

12 Ką rinksitės? Apskaičiuokite šių mokėjimo sekų dabartinę vertę (present value), kartais vadinamą dabartine diskontuota verte (present discounted value). Kol kas naudojome PV žymėti pradinę investuotą sumą, bet, kitaip pažvelgus, tai ir yra šiandieninė vertė mokėjimų, kurie bus ateityje, t.y. dabartinė vertė yra suma, kuri t.b. investuota šiandien, kad gautume tam tikrą sumą ateities datai. FP-ės žada ateities mokėjimus, todėl reikia žinoti kaip vertinti tuos mokėjimus. PV yra pagrindas apskaičiuoti FP-ių kainą! Pertvarkome ankstesnę FV formulę: PV = FV ( 1+ i) t Ankstesniame pavyzdyje: FV 100 (po 1-ų metų su 5% palūkanomis) yra 105; PV 105 (po 1-ų metų, esant 5% palūkanoms) yra 100. FV didėja su palūkanų norma, PV mažėja, didėjant palūkanų normai. 1/5/2016 Psl. 163 / 1452

13 O jei mokėjimai bus ne per 1-us metus? Bendroji formulė: PV = (1 + t FV i) t t Iš formulės matome, kad PV tuo didesnė: kuo didesni ateities mokėjimai FV t ; kuo trumpesnis laikas t iki mokėjimo; kuo mažesnė palūkanų norma i. Lent Dabartinė vertė 100 PV, esant 5% palūkanų normai, po 14,4 metų (=72/5) bus ~ 50. 1/5/2016 Psl. 164 / 1452

14 5.3 PV taikymas PV sąvokos taikymą iliustruosime 2 pavyzdžiais: vidine grąžos norma; obligacijos vertinimu Vidinė grąžos norma Kuriate įmonę, galvojate ar skolon pirkti įrengimą: įrengimas kainuos 1 mln.; pagamins 4000 vnt. prekės per metus; parduosite prekes po 50 už vnt.; todėl metinės pajamos bus ; reikia žaliavoms, darbo užmokesčiui (nepridėkite palūkanų, jas mokėsite iš pelno prieš palūkanas); todėl metinis pelnas bus ; po 10 metų įrengimas staiga nebeveiks. Ar pirkti? Priklauso nuo palūkanų už paskolą: pirma, apskaičiuosime jūsų investicijos į įrengimą vidinę grąžos normą (internal rate of return, IRR); 1/5/2016 Psl. 165 / 1452

15 antra, palyginsime ją su faktine palūkanų norma i už banko paskolą, ir jei IRR > i, įrengimą pirkti apsimoka. IRR yra palūkanų norma, kuri sulygina investicijos kainą su jos generuotų pajamų PV. Mūsų pavyzdyje: = t t= 1 (1+ irr) Su Excel funkcija =irr() apskaičiuojame IRR ir gauname 8,14%. ( Ar 8,14% yra pakankama IRR, kad pateisintų jūsų investiciją? Tai priklauso nuo 1 mln. gavimo kainos, kurios yra dvi: galite naudoti savo įmonės vidines lėšas (retained earnings) buvusių pelnų sumą; galite imti paskolą (loan) iš banko. 1/5/2016 Psl. 166 / 1452

16 Pirmu atveju sprendžiate ar įrengimo IRR yra didesnė už geriausios alternatyvos panaudoti jūsų lėšas palūkanas (pavyzdžiui, padėti indėlį), kas yra jūsų investicijos alternatyviniai kaštai (alternative costs). Antru atveju, kai skolinatės iš banko (paskolos palūkanos tada yra alternatyviniai kaštai, nes jos galite ir neimti), jums reikia žinoti ar liks pelno po palūkanų mokėjimo. Lentelė parodo pastovius paskolos aptarnavimo mokėjimus (fixed-payment loan), paėmus 1 mln. 10-čiai metų už įvairias palūkanų normas (Excel funkcija =PMT(i; trukmė; suma). 1/5/2016 Psl. 167 / 1452

17 PMT funkcija naudoja faktą, kad paskolos suma t.b. lygi PV 10-ies pastovių mokėjimų, esant paskolos palūkanų normai i = 10 M i t t= 1 (1+ ) Esant kokiai i apsimoka imti paskolą?: 1/5/2016 Psl. 168 / 1452

18 prisiminkite, kad jūsų metinis pelnas prieš palūkanų mokėjimą yra , o vidinė grąžos norma yra 8,14%; kol paskolos palūkanų norma i yra 8% ar mažiau, jūsų pelnas po palūkanų mokėjimo bus teigiamas; jei tiksliai, tai IRR ir yra palūkanų norma, esant kuriai metinis mokėjimas per 10 metų lygiai grąžins paskolą taigi, imam paskolą, jei IRR > i. IRR padės ir atsakant kaip skolinti kolegai 225 aukščiau pateiktame pavyzdyje: kolega siūlo mokėti is metus (IRR = 15,9%); u metus (IRR = 7,3%); pirmas grąžinimo būdas jums geresnis. Intarpas 5.2. Priešlaikinis išėjimas į pensiją Jei tokia galimybė yra, geriau ja nesinaudokite paprastai tai neapsimoka (nebent žinote, kad sergate mirtina liga) PV tokių anuitetų sekos bus prastesnis, nei PV mokėjimų, išėjus į pensiją standartiniu laiku Obligacijos: pagrindai 1/5/2016 Psl. 169 / 1452

19 PV sąvoka labai padeda vertinant obligacijas (bonds) pažadą atlikti mokėjimų seką konkrečiomis ateities datomis. Šį pažadą ir perkame, kai skoliname obligacijos emitentui. Obligacija, kaip teisinis įsipareigojimas, pasako 2 pagrindinius dalykus: mokėjimų seką; kas vyksta, jei emitentas tų mokėjimų atlikti negali. Pagrindinis obligacijų tipas: obligacija su atkarpa (coupon bond) emitentas moka a) atkarpas (coupons) pagal atkarpos palūkanas (coupon rate) ir b) visą pradinę pasiskolintą sumą (principal; face value; par value) išpirkimo metu (maturity date). 1/5/2016 Psl. 170 / 1452

20 Pav Obligacija su atkarpomis 1/5/2016 Psl. 171 / 1452

21 Prieš kompiuterizaciją, investuotojai gaudavo popierinę obligaciją su, tarkim, 10-čia datomis ir sumomis pažymėtų atkarpų, kurias investuotojas: nukirpdavo ir pateikdavo obligacijos emitentui, kad šis išmokėtų atkarpoje nurodytą sumą; obligacijos išpirkimo metu investuotojas pateikdavo pačią obligaciją pagrindinės sumos išmokėjimui. Moderniais laikais viskas vyksta elektroniniais pavedimais. Atsakymą pateikia PV sąvoka obligacijos kaina yra PV jos atkarpų ir pagrindinės sumos mokėjimų. Pavyzdžiui, kaip įvertinti tokią obligaciją: 10 metų iki išpirkimo; 100 pagrindinė suma; kasmetinės atkarpos po 10. 1) Pagrindinės sumos PV: F PV F = ( 1+ i) 10 1/5/2016 Psl. 172 / 1452

22 Matome, kad šiame pavyzdyje: PV pagrindinės sumos mokėjimo po 10 m. [PV(F)] yra 38,55: o kuo toliau mokėjimas, tuo jo PV bus mažesnė; o kuo didesnė atkarpos palūkanų norma, tuo mažesnė PV(F); 2) PV atkarpų mokėjimų: PV C = C i) 10 t t= 1 (1+ t Matome, kad šiame pavyzdyje: PV atkarpų mokėjimo 10 metų [PV(C)] yra 61,45: o kuo ilgiau tęsiasi kuponų mokėjimai, tuo didesnė jų bendroji PV 30 m. obligacijos mokėjimų bus daugiau nei 10 m. obligacijos, todėl 30 m. 1/5/2016 Psl. 173 / 1452

23 obligacija, ceteris paribus, bus brangesnė; o kuo didesnė diskonto palūkanų norma, tuo mažesnė atkarpų bendroji PV. Taigi, bendroji obligacijų vertinimo formulė: PV C T t B = + t t= 1 (1+ i) (1+ F i) T Faktas, kad mažesnės palūkanų normos reiškia didesnes obligacijų kainas, o didesnės palūkanų normos reiškia mažesnes obligacijų kainas, yra labai svarbus, ir apie jį nuolat primena finansų naujienose: kadangi obligacijos žada fiksuotus mokėjimus ateityje, kuo didesnė palūkanų norma, tuo mažesnė tų mokėjimų dabartinė vertė; todėl obligacijos vertė svyruoja atvirkščiai palūkanų normai, naudojamai apskaičiuoti pažadėtų mokėjimų PV Paprastesnė PV formulė Ši formulė naudinga skaičiuojant PV bet kurios mokėjimų sekos, kaip: būsto ar vartojimo paskola; obligacijos su atkarpa; 1/5/2016 Psl. 174 / 1452

24 taip pat investicijos vidinei grąžos normai skaičiuoti. Tarkime, kad ketinate pirkti būstą: skolinsitės PV eurų; už palūkanų normą i; sutariate atlikti n lygių mokėjimų. Kokio dydžio bus mokėjimas? Jis bus toks, kad PV visų jūsų mokėjimų, diskontuotų palūkanų norma i, būtų lygi paskolos sumai. Mokėjimo C apskaičiavimui naudokime šią PV formulę: PV = T C i t t= 1 (1+ ) Padauginkime ją iš [1/(1 + i)]: (1 T T C C PV = = t t + i) (1+ i) t= 1 (1+ i) t= 2 (1+ i) Šią formulę atimam iš pradinės: 1/5/2016 Psl. 175 / 1452

25 PV 1 PV (1+ i) C = (1+ i) 1 C (1+ i) T+ 1 Supaprastinam: PV C 1 1 i (1+ i) = T Pavyzdys. Imate: būsto paskolą; 30 metų; už 8%. Prisiminkite, kad palūkanų norma t.b. to pačio dažnio kaip ir mokėjimai. Pavyzdžiui, jei darysite mėnesinius mokėjimus, tada i t.b. mėnesinė palūkanų norma. Metiniai mokėjimai (360 mėnesinių mokėjimų) bus sprendinys: 1/5/2016 Psl. 176 / 1452

26 C 1 1 0,08 (1,08) = = 11,258C Taigi, metiniai mokėjimai bus 8882,57. Patikrinkite su Excel funkcija =PMT(i; T; PV) Tą patį galime atlikti 360 mėnesiniams mokėjimams, naudojant mėnesinę palūkanų normą 0,6434, kurios metinis ekvivalentas yra 8 %. PV C 1 1 i (1+ i) = T Šią formulę naudokite a) pastoviems paskolos mokėjimams, b) atkarpų mokėjimams, ar c) vidinei investicijos grąžos normai skaičiuoti: kai T didėja, [1/(1 + i) T ] vis mažesnis; jei mokėjimai niekada nesibaigia, t.y. T, tada [1/(1 + i) T ] 0, ir PV tokių pastovių nesibaigiančių mokėjimų bus [C/i]. 1/5/2016 Psl. 177 / 1452

27 5.4 Realios ir nominalios palūkanų normos Kol kas skaičiavimuose naudojome nominalią palūkanų normą (nominal interest rate), t.y. nesirūpinome, kad infliacija gali suvalgyti jų perkamąją galią. Kad gautume realią palūkanų normą (real interest rate, r), iš i atimame laukiamą infliacijos tempą (inflation rate, π e ). Tai makroekonomikoje vadinama Irving o Fisher io lygtimi (Fisher equation): r = i π e Ši lygtis yra aproksimacija, kurią naudokite, jei laukiama infliacija ir reali palūkanų norma yra nedideli. Tikslus sąryšis: (1 + i) = (1 + r)(1 + π e ) (1 + i) = 1 + r + π e + rπ e i = r + π e + rπ e Aproksimacija ignoruoja rπ e (tarkime, 0,05 0,02 = 0,001). Sąvoka reali palūkanų norma kiek klaidina: 1/5/2016 Psl. 178 / 1452

28 finansinėje spaudoje matome nominalias palūkanų normas, kurios yra realios ta prasme, kad jos iš realaus gyvenimo (sandorių); negalime tiesiogiai stebėti realios palūkanų normos turime ją įvertinti su Fisher io lygtim ir infliacijos lūkesčiais (inflation expectations), kurie gaunami: o iš gyventojų apklausų (populations surveys); o profesionalių prognozuotojų infliacijos prognozių (survey of professional forecasters); o arba išskaičiuojami iš finansinių rinkų informacijos, pavyzdžiui, iš infliacija indeksuotų vyriausybių obligacijų (inflation-indexed bonds) pajamingumo. Prognozės gali būti klaidingos, todėl turime dar vieną sąvokos dimensiją: ex ante realią palūkanų normą; ex post realią palūkanų normą. Šią jau galime apskaičiuoti tiksliai, jei žinote savo individualų infliacijos tempą, kuris priklauso nuo jūsų vartojimo struktūros. 1/5/2016 Psl. 179 / 1452

29 Pav Pensininkų vartojimo krepšelis Lietuvoje 1/5/2016 Psl. 180 / 1452

30 Pav Pensininkų infliacija Lietuvoje Šaltinis: 1/5/2016 Psl. 181 / 1452