Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS"

Transcript

1 Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius, Lietuva Vilnius universitetas, 216

2 AS, Vertinimas Kontrolinis 1 (spalis-lapkritis) 1 Kontrolinis 2 (gruodis) 1 Koliokviumas (žiemos sesija, įskaitos metu) 3 Kontrolinis 3 (pavasario sem.) 1 Laboratoriniai (pavasario sem.) 1 Egzaminas (birželis) 3

3 TURINYS Lentelių sąrašas Iliustracijų sąrašas Pagrindiniai žymenys Pratarmė iv v ix ix 1 SKYRIUS. Paprastosios diferencialinės lygtys ir jų sistemos 1 1. Diferencialinė lygtis ir jos sprendiniai Diferencialinė lygtis ir jos apibrėžimo sritis Diferencialinės lygties sprendiniai Kreivių šeimos diferencialinė lygtis Koši uždavinys Koši uždavinys Sprendinio egzistavimas ir vienatis Ypatingieji sprendiniai Sprendinio tęsinys Diferencialinių lygčiu sistemos n-osios eilės DL suvedimas į n-osios eilės normaliąją DLS n-osios eilės normaliosios DLS suvedimas į n-osios eilės DL Autonominės ir neautonominės DL SKYRIUS. Klasikinės pirmosios eilės diferencialinės lygtys ir jų integravimas DL y = f(x) Sprendinio tęsinys ir elgsena intervalo galuose DL y = g(y) Sprendinio egzistavimo ir vienaties teorema vienmatei autonominei lygčiai Kintamųjų atskyrimo metodas Lygtys pertvarkomos į lygtis su atsiskiriančiais kintamaisiais Pirmosios eilės tiesinės diferencialinės lygtys Homogeninė tiesinė diferencialinė lygtis Nehomogeninė tiesinė diferencialinė lygtis Bernulio ir Rikačio lygtys Bernulio lygtis

4 Dalykinė rodyklė 55 Vardų rodyklė 57 Literatūra 58

5 Lentelių sąrašas

6 Paprastosios Diferencialinės Lygtys vi

7 Iliustracijų sąrašas 1.1 DL y = x(x 2 1) apibrėžimo sritys DL y = 1 x 2 y 2 apibrėžimo sritis DL apibrėžimo sritis ir DL sprendinio grafikas Integralinė kreivė ir jos projekcijos: sprendinio grafikas y = sin x; sprendinio išvestinės grafikas y = cos x; fazinė trajektorija y 2 + (y ) 2 = Kreivę apibrėžiančios funkcijos DL y = y 2 integralinės kreivės DL y = x y integralinės kreivės, kai y > DL xdx + ydy = integralinės kreivės pvz. DL sprendiniai: (a) išreikštinių sprendinių grafikai; (b) neišreikštiniai sprendiniai DL y = cos x integralinės kreivės Parabolių ir elipsių šeimos Koši uždavinys pirmos eilės lygčiai Koši uždavinys antros eilės lygčiai DL y = 3y 2/3 integralinės kreivės. DL ypatingasis taškas ir ypatingasis sprendinys Integralinės kreivės tęsinys iki kompakto krašto Nepratęsiamas į dešinę sprendinys Lygties y = f(x) sprendinio y = ϕ(x) elgsena intervale (a; b], b < + : (a) lim x b f(x) ; (b)lim x b f(x) = +, b x f(ξ) dξ < + ; (c) lim x b f(x) = +, b x f(ξ) dξ = Lygties y = f(x) sprendiniai Lygties y = f(x), f > sprendinių elgsena, kai x Lygties y = g(y) sprendiniai Lygties y = g(y) stacionarieji sprendiniai Lygties y = g(y) sprendinio y = ϕ(x) elgsena, kai y Lygties y = y 2 sprendiniai Lygties y = 3(y 1) 2/3 sprendiniai

8 2.1 Neišreikštinės (y ) 2 = y + 4ay 2 DL sprendiniai Homogeninės TDL integralinės kreivės Monodromijos operatorius Nulinio sprendinio stabilumas Stabilus periodinis sprendinys Bernulio lygties integralinės kreivės

9 Pagrindiniai žymenys įrodymo pabaiga apibrėžimo, pastabos, išvados pabaiga := priskirimo, apibrėžimo žymuo tapatumo žymuo, išdavos sekimo žymuo ( išplaukia ), implikacija ekvivalentiškumo žymuo ( būtina ir pakankama arba tada ir tik tada ) bendrumo kvantorius ( kiekvienas ) egzistavimo kvantorius ( egzistuoja )! egzistavimo ir vienaties kvantorius ( egzistuoja vienintelis ) N {,1,2, } natūraliųjų skaičių aibė Z {,-2,-1,,1,2, } sveikųjų skaičių aibė R realiųjų skaičių aibė R t, R x, R y realiųjų skaičių t-ašis, x-ašis, y-ašis C kompleksinių skaičių aibė x X x yra aibės X elementas, x priklauso aibei X X Y aibių sankirta X Y aibių sąjunga X Y aibių Dekarto sąjunga didėjimo žymuo mažėjimo žymuo iškilumas aukštyn iškilumas žemyn x R n erdvės R n elementas v vektorius x, A vektorius-stulpelis, matrica C tolydžiųjų funkcijų klasė C k tolydžiai k-kartų diferencijuojamųjų funkcijų klasė C glodžiųjų funkcijų klasė D( ) (atvaizdžio, lygties) apibrėžimo sritis R( ) (atvaizdžio) reikšmių sritis

10 1 skyrius Paprastosios diferencialinės lygtys ir jų sistemos Šiame skyriuje susipažinsime su paprastosiomis diferencialinėmis lygtimis ir jų sprendiniais. Suformuluosime pradinį uždavinį. Nagrinėsime diferencialinių lygčių sistemas ir jų ryšį su aukštesniosios eilės diferencialine lygtimi. 1. Diferencialinė lygtis ir jos sprendiniai? Matematikoje funkcija f vadinamas atvaizdis f : R n R, o f(x 1,..., x n) žymima funkcijos reikšmė taške (x 1,..., x n) R n, tačiau dažnai patogu taip žymėti ir pačią funkciją, kai reikia nurodyti jos argumentus. Laikysime, kad visos nagrinėjamos funkcijos yra tolydžios savo argumentų atžvilgiu, t.y. f C(D), čia D yra sritis. Sritimi vadinama atviroji ir jungioji aibė. Jeigu D yra atviroji aibė, tuomet kiekvienas tos aibės taškas yra vidinis. Realiųjų skaičių tiesėje R jungiosios aibės yra intervalai (a; b), [a; b), (a; b], [a; b], a, b R. Sritys yra tik atvirieji intervalai I = (a; b), ( ; b), (a; + ) ir pati tiesė R = ( ; + ). Žymėsime R = [ ; + ], R + = (; + ), R = ( ; ). Sąvoka glodžioji funkcija nėra vienareikšmiškai apibrėžta matematinėje literatūroje. Smooth function (angl.), glatte funktion (vok.) atitinka klasę C, гладкая функция arba непрерывно дифференцируемая функция (rus.) atitinka klasę C 1. Šiame konspekte glodžąja funkcija vadinsime C klasės funkciją, o tolydžiai diferencijuojamas funkcijas atitinka C 1 klasė.? Funkcijos y = f(x) išvestinės gali būti žymimos: y, y, y, y (n), f (x), f (x), f (n) dy (x), dx, d n y, ẏ, ÿ. dxn Tašku virš kintamojo dažniausiai žymėsime funkcijos x = x(t) išvestines pagal kintamąjį t, kurio prasmė dažnai yra laikas, žymėsime ẋ := dx dt, ẍ := d2 x dt 2, x(n) := dn x dt n Diferencialinė lygtis ir jos apibrėžimo sritis Tarkime, kad funkcija F (x, y, p 1,..., p n ) yra tolyžiai diferencijuojama ir būtinai priklauso nuo argumento p n. 1.1 apibrėžimas [Paprastoji diferencialinė lygtis]. Paprastąja diferencialine lygtimi (PDL) vadinama lygybė F (x, y, y,..., y (n) ) =, (1.1) kurioje x yra nepriklausomas kintamasis, y(x) ieškoma (nežinoma) funkcija.

11 1. Diferencialinė lygtis ir jos sprendiniai pavyzdys [Paprastosios diferencialinės lygtys]. PDL pavyzdžiai: y = sin x, y + y xe x 1 =, e y + y x =. 1.2 pavyzdys [Diferencialinės dalinių išvestinių lygtys]. Lygtys y u x x u y =, v t = 2 v x + 2 v 2 y 2 nėra PDL, nes į jas įeina ieškomų funkcijų u(x, y) ir v(t, x, y) dalinės išvestinės. PDL uždaviniuose ieškoma nežinoma vieno kintamojo funkcija, tuo tarpu diferencialinėse dalinių išvestinių lygtyse ieškoma kelių kintamųjų funkcija. Kadangi šiame kurse nagrinėsime tik PDL, todėl trumpai jas vadinsime diferencialinėmis lygtimis (DL). 1.2 apibrėžimas [DL eilė]. Diferencialinės lygties eile vadinama aukščiausios išvestinės eilė diferencialinėje lygtyje. 1.3 pavyzdys [DL eilė]. DL F (x, y, y,..., y (n) ) = yra n-osios eilės, o DL F (x, y, y ) = yra pirmosios eilės. 1.1 pavyzdyje pateiktos pirmosios, trečiosios ir antrosios eilės DL. DL, užrašyta (1.1) pavidalu, vadinama neišreikštine diferencialine lygtimi. Neišreikštinės (1.1) DL apibrėžimo sritis yra sritis D F R n+2, kurioje funkcija F (x, y, p 1,..., p n ) yra tolydi kintamųjų (x, y, p 1,..., p n ) atžvilgiu. Jeigu D F nėra jungioji aibė, tuomet nagrinėsime DL kiekvienoje jungumo aibėje atskirai, t.y. laikysime, kad ta pati lygybė apibrėžia keletą DL. 1.4 pavyzdys [DL apibrėžimo sritis]. DL (y ) 2 + x + y 2 1 = apibrėžimo sritis yra D F = R + R R. 1.5 pavyzdys [Kelios DL]. Lygtis y + xy = apibrėžia dvi DL, kurių apibrėžimo sritys yra D 1 F = R + R + R ir D 2 F = R R R. 1.6 pavyzdys. DL y = x(x 2 1) (1.2) dešinioji pusė turi prasmę ir yra tolydi, kai x [ 1; ] ir x [1; + ] (žiūrėk 1.1 pav.). Vadinasi, turime dvi DL, užrašytas ta pačia formule (1.2), su D F = D 1 = ( 1; ) R R ir D F = D 2 = (1; + ) R R, atitinkamai.? Jeigu lygtis (nebūtinai DL) F (x, y, p 1,..., p n) = (1.3) aprašoma tolydžiai diferencijuojama funkcija F ir taške (x, y, p 1,..., p n ) išpildyta sąlyga F (x p, y, p n 1,..., p n ), (1.4) tuomet (remdamiesi neišreikštinės funkcijos teorema) (1.3) lygtį galima išspręsti p n atžvilgiu taško (x, y, p 1,..., p n) aplinkoje: p n = f(x, y, p 1,..., p n 1 ), (1.5) čia f yra tolydžiai diferencijuojama kintamųjų (x, y, p 1,..., p n 1 ) funkcija.

12 3 1 SKYRIUS. Paprastosios diferencialinės lygtys ir jų sistemos [ (:19)] pav. DL y = x(x 2 1) apibrėžimo sritys. 1.2 pav. DL y = 1 x 2 y 2 apibrėžimo sritis. 1.3 pav. DL apibrėžimo sritis ir DL sprendinio grafikas. 1.3 apibrėžimas [DL kanoninis pavidalas]. DL yra užrašyta kanoniniu pavidalu, jei lygtis išspręsta aukščiausiosios eilės išvestinės atžvilgiu: y (n) = f(x, y, y,..., y (n 1) ). (1.6) 1.7 pavyzdys [DL kanoninis pavidalas]. DL y + y xe x 1 = kanoninis pavidalas yra y = y + xe x + 1. Akivaizdu, kad (1.6) DL, užrašytos kanoniniu pavidalu, apibrėžimo sritis yra D F = D f R, čia D f yra sritis, kurioje yra apibrėžta ir tolydi funkcija f(x, y, y,..., y (n 1) ). Sritis D f vadinama išreikštinės DL apibrėžimo sritimi. Kintamųjų (y, y,..., y (n 1) ) erdvė vadinama fazine erdve, o kintamųjų (x, y, y,..., y (n 1) ) erdvė išplėstine fazine erdve. Vadinasi, D f yra sritis išplėstinėje fazinėje erdvėje. 1.1 pavyzdyje pirmoji lygtis yra išreikštinė DL. Pastebėsime, kad trečioji lygtis yra iš esmės neišreikštinė, nes y negalima išreikšti jokia elementariąja funkcija. Pirmoji lygtis yra pavyzdys lygties, kurioje išvestinė yra išreikšta kaip kintamųjų x ir y funkcija (nors dešinioji lygties pusė tiesiogiai nuo y nepriklauso). 1.1 uždavinys. Nustatykite 1.6 pavyzdyje apibrėžtų išreikštinių DL apibrėžimo sritis D f. 1.8 pavyzdys [DL apibrėžimo sritis]. DL y = 1 x 2 y 2 dešinioji pusė apibrėžta uždarame skritulyje {(x, y): x 2 + y 2 1}, o DL apibrėžimo sritis D f yra vienetinis atvirasis skritulys B 2 1(, ) := {(x, y): x 2 + y 2 < 1} su centru koordinačių pradžioje (žiūrėk 1.2 pav.). DL (y ) 2 +y 2 +x 2 1 = (neišreikštinis pavidalas) apibrėžimo sritis D F = R 3. Išreiškiant išvestinę, gaunama išreikštinė DL, užrašyta kanoniniu pavidalu, kurios apibrėžimo sritis D F = D f R = B1 2 (, ) R. Pirmosios eilės DL kanoninis pavidalas dar vadinamas normaliuoju. y = f(x, y) (1.7)

13 1. Diferencialinė lygtis ir jos sprendiniai apibrėžimas [pirmosios eilės DL simetrinis pavidalas]. Jeigu v, w C(D), sritis D R 2 ir v(x, y) + w(x, y), tuomet lygtis v(x, y) dx + w(x, y) dy = (1.8) vadinama tiesine homogenine pirmosios eilės diferencialų lygtimi. Jeigu w(x, y ), tuomet (1.8) DL yra ekvivalenti (1.7) lygčiai dy v(x, y) = = f(x, y) (1.9) dx w(x, y) taško (x, y ) aplinkoje D f. Jeigu v(x, y ), tuomet (1.8) DL yra ekvivalenti lygčiai x := dx dy = w(x, y) v(x, y) = g(y, x) (1.1) taško (x, y ) aplinkoje D g. Pastaroji DL lygtis dar vadinama apverstąja lygtimi lygčiai (1.9). Lygybė (1.8) vadinama DL simetriniu pavidalu. 1.2 uždavinys. Užrašykite DL y = x/y simetrinį pavidalą ir apverstąją DL.? Jeigu pirmosios eilės DL lygtis užrašyta neišreikštiniu pavidalu, tai DL ir ją atitinkanti apverstoji DL užrašomos F (x, y, y ) = ir F (x, y, 1 x ) =, atitinkamai. Kiekvieną antrosios eilės DL galima užrašyti pavidalu F (x, y, y, y (1+(y ) 2 ) 3/2 ) =. (1.11) Paskutinio argumento išraiška (1.11) lygties kairėje pusėje atitinka kreivės (x, y(x)) kreivį. Šią DL atitinka apverstoji DL F (x, y, 1 x, x (1+(x ) 2 ) 3/2 ) =. (1.12) Jeigu duota kreivės parametrizacija (x(t), y(t)), tuomet jos kreivio formulė yra Aukštesnės eilės DL apverstosios DL pavidalas yra dar sudėtingesnis. ẋÿ ẍẏ (ẋ 2 +ẏ 2 ) 3/ uždavinys. Užrašykite DL (y ) 2/3 1 (y ) 2 = apverstąją DL. Kokia lygties prasmė? 1.9 pavyzdys. DL e y + y x = (žiūrėk 1.1 pavyzdys, trečioji lygtis) ir jos negalima užrašyti kanoniniu pavidalu su elementariąja funkcija f, tačiau ši DL parametrizuojama x = ϕ(t) := e t + t, y = ψ(t) := t, t.y. pastarosios funkcijos ϕ ir ψ paverčia lygtį e y + y x = tapatybe e ψ(t) + ψ(t) ϕ(t) ir rank (ϕ (t), ψ (t)) = rank (e t + 1, 1) = 1, t R.

14 5 1 SKYRIUS. Paprastosios diferencialinės lygtys ir jų sistemos [ (:19)] 1.4 pav. Integralinė kreivė ir jos projekcijos: sprendinio grafikas y = sin x; sprendinio išvestinės grafikas y = cos x; fazinė trajektorija y 2 + (y ) 2 = 1.? Bendruoju atveju n-osios eilės DL parametrizuotasis pavidalas yra: x = ϕ(t, t 1,..., t n), y = ϕ (t, t 1,..., t n), y = ϕ 1 (t, t 1,..., t n),... y (n) = ϕ n(t, t 1,..., t n). Laikysime, kad šios parametrizacijos Jakobio 1 matricos rank J = n + 1 ir ϕ, ϕ,..., ϕ n C 1 (D ϕ), D ϕ R n+1 t sritis, t = (t, t 1,..., t n). Sritį D ϕ vadinsime n-osios eilės DL, užrašytos parametrizuotuoju pavidalu, apibrėžimo sritimi. Jeigu parametrizuotojo pavidalo funkcijos ϕ, ϕ,...,ϕ n paverčia (1.1) DL tapatybe F ( ϕ(t), ϕ (t),..., ϕ ) n(t), t = (t, t 1,..., t n), tuomet turėsime (1.1) DL parametrizaciją. Nagrinėtame 1.9 pavyzdyje x = e t + t, y = s, y = u, y = t, D ϕ = R 3 = R t R s R u, tačiau kintamieji s, u lygties e y + y x = parametrizacijoje nenaudojami. 1.1 pavyzdys [DL parametrizuotasis pavidalas]. DL e y +y + y y + x 2 = parametrizuojama x = s, y = e t+u + t + s 2, y = u, y = t, D ϕ = R 3 = R t R s R u Diferencialinės lygties sprendiniai Nagrinėkime n-osios eilės DL užrašytą neišreikštiniu pavidalu (1.1). 1.5 apibrėžimas [DL sprendinys]. Tolydžiai diferencijuojama funkcija ϕ C n (I) vadinama DL sprendiniu, jeigu ją įstatę į DL gauname tapatybę. 1 Carl Gustav Jacob Jacobi ( ) vokiečiu matematikas.

15 1. Diferencialinė lygtis ir jos sprendiniai 6 Kol kas, apibrėždami sprendinį, laikysime, kad intervalas I yra atvirasis, t.y. I = (a; b) pavyzdys. DL (y ) 2 = 1 neturi sprendinių, o (y ) 2 + y 2 = turi vienintelį sprendinį y pavyzdys. DL y = 1 visi sprendiniai užrašomi funkcijų šeima priklausančia nuo vieno parametro C: ϕ(x) = x + C, C R. 1.6 apibrėžimas [DL integralinė kreivė]. Diferencialinės lygties integraline kreive vadinsime vektorinės funkcijos (y(x), y (x),..., y (n 1) (x)), atitinkančios sprendinį y(x), x I, grafiką. 1.7 apibrėžimas [fazinė trajektorija]. Integralinės kreivės projekciją (vaizdą) į kintamųjų (y, y,..., y (n 1) ) fazinę erdvę vadinsime fazine trajektorija. Integralinė kreivė yra C 1 klasės (vektorinė) funkcija. Fazinei trajektorijai, kuri yra kreivė, galima pridėti rodyklę, rodančią kaip juda projekcijos taškas didėjant x pavyzdys. Funkcija y = sin x yra DL y = y sprendinys. Integralinė kreivė (y, y ) = (sin x, cos x), x R, grafikas braižomas trimatėje erdvėje R x R y R y (žiūrėk 1.4 pav.), ir priklauso lygties apibrėžimo sričiai D f. Integralinės kreivės projekcijos: sprendinio grafikas y = sin x; sprendinio išvestinės grafikas y = cos x; fazinė trajektorija y 2 + (y ) 2 = 1. Funkcija y = e x yra DL y = y sprendinys. Integralinė kreivė y = e x, x R, yra šios funkcijos grafikas. Daugumoje vadovėlių integraline kreive vadinamas aukštesnių eilių diferencialinių lygčių sprendinio grafikas. Mes apibrėžėme tokioms lygtims integralinę kreivę kitaip. Pagal apibrėžimą integralinė kreivė priklauso lygties apibrėžimo sričiai D f išplėstinėje fazinėje erdvėje. Sprendinio grafikas gaunamas kaip integralinės kreivės projekcija į dvimatę plokštumą (x, y). Diferencialinė lygtis bus išspręsta, jei rasime visus jos sprendinius. DL sprendinių radimą vadinsime DL integravimu. Kiekviena n-osios eilės DL nusako bendrą geometrinę sprendinius apibrėžiančių integralinių kreivių sąvybę. Pirmosios eilės DL F (x, y, y ) = apibrėžia koordinačių x, y ir sprendinio grafiko liestinės polinkio sąryšį. Pirmosios eilės DL sprendinio grafikas yra integralinė kreivė. Pavyzdžiui, išreikštinės DL integralinės kreivės liestinės kampo su x ašimi tangentas kiekviename taške lygus DL dešiniosios pusės reikšmei tame taške (žiūrėk 1.3 pav.). Antrosios eilės DL apibrėžia koordinačių, sprendinio grafiko liestinės polinkio ir kreivio sąryšį (žiūrėk(1.11)).? Vienetinis apskritimas plokštumoje R 2 xy su centru koordinačių pradžioje aprašomas (globaliai) neišreikštine glodžiąja funkcija Ψ(x, y) := x 2 + y 2 1 =. Pusplokštumėje y > šio apskritimo dalį galime aprašyti glodžiąja funkcija y = 1 x 2, x ( 1; 1), o pusplokštumėje y < funkcija y = 1 x 2, x ( 1; 1). Tačiau jokia išreikštine funkcija y = ψ(x) negalime aprašyti šio apskritimo taškų ( 1; ) ir (1; ) aplinkoje. Tiesa, šių taškų aplinkoje apskritimas aprašomas funkcijomis x = 1 y 2, y ( 1; 1) ir x = 1 y 2, y ( 1; 1), atitinkamai. Mes pasirinkome

16 7 1 SKYRIUS. Paprastosios diferencialinės lygtys ir jų sistemos [ (:19)] pav. Kreivę apibrėžiančios funkcijos. atviruosius intervalus, kad nekiltų klausimų dėl funkcijų tolydumo ir diferencijamumo apibrėžimų. Beje, funkcija y = 1 x 2, pvz. taške x = 1, yra tik tolydi iš kairės ir šiame taške neegzistuoja net vienpusė išvestinė. Vienetinį apskritimą galima aprašyti parametrizuotuoju pavidalu (x, y) = (cos t, sin t), t (; 2π) arba t ( π; π). Pastebėsime, kad šio vienetinio apskritimo atveju, galima globalioji parametrizacija t [; 2π], nes abi funkcijos x = cos t ir x = sin t yra apibrėžtos t R ir yra periodinės su periodu 2π. Bendruoju atveju globaliosios parametrizacijos gali ir nebūti. Jeigu funkcija Ψ C 1 (G), čia sritis G R 2 xy, (x, y ) G, ir Ψ(x, y ) (, ) (čia gradientas Ψ = ( Ψ x, Ψ y )), tuomet egzistuoja taško (x, y ) aplinka, kurioje funkcija Ψ apibrėžia kreivę, ir ją galima aprašyti trimis būdais (žiūrėk 1.5 pav.): 1) neišreikštine tolydžiai diferencijuojama funkcija Ψ : R 2 R, tiksliau lygybe Ψ(x, y) = Ψ(x, y ) = C; 2) išreikštine tolydžiai diferencijuojama funkcija ψ : I R (arba funkcija y = ϕ x(x), ϕ x C 1 (I x), arba funkcija x = ϕ y(y), ϕ y C 1 (I y)); 3) tolydžiai diferencijuojama vektorine funkcija (ψ, ϕ): I t R 2, t.y. parametrizuotuoju pavidalu (x, y) = (ψ(t), ϕ(t)), ψ, ϕ C 1 (I t), ψ (t ) + ϕ (t ) =, (x, y ) = (ψ(t ), ϕ(t )). Įrodymas remiasi neišreikštinės funkcijos teorema. Kita vertus, kreivę, aprašytą funkcija y = ψ x(x), galima užrašyti neišreištiniu pavidalu Ψ(x, y) := y ψ x(x) =, ir Ψ y = 1. Parametrizuotąją kreivę taško (x, y ) aplinkoje galima užrašyti išreištiniu pavidalu (jei ψ (t ), tai y = ϕ(ψ 1 (x)), čia ψ 1 žymime atvirkštinę funkciją, o įrodymas vėl remiasi neišreikštinės funkcijos teorema). Vadinasi, kreivę (lokaliai) irgi galime užrašyti tiek neišreikštiniu, tiek išreikštiniu, tiek parametrizuotuoju pavidalu. Todėl žemiau pateikti sprendinių apibrėžimai tėra to pačio sprendinio skirtingi užrašymo būdai. 1.8 apibrėžimas [Išreikštinis DL sprendinys]. Funkciją y = ϕ(x), x I R x, vadinsime (1.1) DL išreikštiniu sprendiniu, jei 1) ϕ C n (I); 2) ( x, ϕ(x), ϕ (x),..., ϕ (n) (x) ) D F, x I;

17 1. Diferencialinė lygtis ir jos sprendiniai pav. DL y = y 2 integralinės kreivės. 1.7 pav. DL y = x y integralinės kreivės, kai y >. 1.8 pav. DL xdx + ydy = integralinės kreivės. 3) F ( x, ϕ(x), ϕ (x),..., ϕ (n) (x) ) pavyzdys [Pirmosios eilės DL sprendinys]. DL y = y 2 apibrėžta visoje plokštumoje, t.y. D f = R 2 xy. Funkcija y = 1 yra šios DL sprendinys intervaluose ( ; ) ir (; + ), nes kai x, tai funkcija y = 1 x C1 ir x ( 1 x ) = 1 ( 1 x 2 x )2. Taške x = sprendinys neapibrėžtas, nes jame funkcijos y = 1 reikšmė neapibrėžta (žiūrėk 1.6 pav.). Todėl funkcija x y = 1 apibrėžia du sprendinius: vieną intervale R, kitą R+. Šių x sprendinių integralinės kreivės yra hiperbolės šakos. 1.4 uždavinys. Koks DL y = y 2 sprendinys apibrėžtas visoje R? 1.9 apibrėžimas [Parametrizuotasis DL sprendinys]. Dvi funkcijas x = ψ(t), y = ϕ(t), t I R t (1.13) vadinsime (1.1) DL parametrizuotuoju sprendiniu, jei 1) ψ, ϕ C n (I), ψ ; 2) (ψ(t), ϕ(t), dϕ(t) dψ(t),..., 3) F (ψ(t), ϕ(t), dϕ(t) dψ(t),..., d dϕ(t) dψ(t) (... ( dψ(t) ))) D F, t I; d dψ(t) dϕ(t) (... ( dψ(t) ))) pavyzdys [DL parametrizuotieji sprendiniai]. Srityje y > DL y = x y parametrizuotieji sprendiniai yra (žiūrėk 1.7 pav.) x = C cos t, y = C sin t, t (; π), C >, nes ψ(t; C) = C cos t C 1 (; π), ψ = C cos t = C sin t, ϕ(t; C) = C sin t C 1 (; π), ir d(c sin t) d(c cos t) = C cos t C sin t C cos t C sin t.

18 9 1 SKYRIUS. Paprastosios diferencialinės lygtys ir jų sistemos [ (:19)]? Jeigu x = x(t), y = y(t), ir ẋ = dx dt y = dy dx = ẏ ẋ, 1.5 uždavinys. Raskite y išraišką., tuomet y = d2 y dx 2 = d dx ( ẏ ẋ ) = 1 ẋ d dt ( ẏ ) ÿẋ ẏẍ = ẋ ẋ 3. (1.14) Jei sprendinys užrašytas neišreiktiniu pavidalu Ψ(x, y) =, tai ne visada galima iš šio sąryšio išreikšti y (ir net x) elementariosiomis funkcijomis. Pavyzdžiui, e y + y x =. 1.6 uždavinys. Ar galima sprendinį, užrašytą formule e x+y + y + x =, išreikšti elementariąją funkcija. 1.1 apibrėžimas [Neišreikštinis DL sprendinys]. Sąryšis Φ(x, y) =, vadinamas DL neišreikštiniu sprendiniu, jeigu jis apibrėžia DL sprendinį y = ϕ(x) arba apverstosios DL sprendinį x = ψ(y). Nagrinėdami DL, visada ieškosime net tik sprendinių y = ϕ(x), bet ir apverstosios DL sprendinių x = ψ(y). Pirmosios eilės DL, užrašytai simetriniu pavidalu (1.8), funkcija Φ(x, y) apibrėžia neišreikštinį sprendinį Φ(x, y) =, jei teisinga tapatybė Φ(x, y) w(x, y) x Φ(x, y) v(x, y). y Kanoninio pavidalo (1.9) atveju neišreikštinį sprendinį apibrėžia tapatybė dφ Φ(x,y) := + Φ(x,y) f(x, y), dx x y o kanoninio pavidalo (1.1) atveju neišreikštinį sprendinį apibrėžia tapatybė dφ dy Φ(x,y) := g(y, x) + Φ(x,y). x y 1.7 uždavinys. Parodykite, kad lygybė e x+y + y + x = apibrėžia DL y = 1 neišreikštinį sprendinį. 1.8 uždavinys. Užrašykite DL, kurios neišreikštinis sprendinys yra e y + y x = pavyzdys [DL neišreikštinis sprendinys]. Funkcija Φ(x, y) = x 2 + y 2 C 2, C > apibrėžia DL dy = x neišreikštinius sprendinius dx y x2 + y 2 C 2 = srityje R 2 xy {(; )}, nes dφ = 2x + 2y( x dφ ), kai y, ir = dx y dy 2x( y ) + 2y, kai x (šiuo atveju sprendžiame apverstąją DL x dx = y ). Integralinės kreivės (apskritimai) pavaizduotos 1.8 pav. dy x Taške (; ) DL neapibrėžta pavyzdys [Antrosios eilės DL sprendiniai]. Nagrinėkime antrosios eilės DL (y ) 2/3 1 (y ) 2 =, kurios apibrėžimo sritis yra D F = R 4. Funkcija ϕ(x; C 1, C 2) = C (x C 1) 2 yra šios DL sprendinys intervale I = (C 1 1; C 1 + 1): ϕ(x; C 1, C 2) C 2 (I), ϕ x C 1 (x; C 1, C 2) = (1 (x C 1) 2 ), 1/2 ϕ 1 (x; C 1, C 2) = (1 (x C 1) 2 ), 3/2

19 1. Diferencialinė lygtis ir jos sprendiniai 1 ir teisinga tapatybė ( 1 ) 2/3 ( 1 (1 (x C 1) 2 ) 3/2 x C 1 (1 (x C 1) 2 ) 1/2 ) 2. Kadangi ϕ(x; C 1, C 2) = C (x C 1) 2 yra DL sprendinys su bet kokiomis C 1 ir C 2 reikšmėmis, todėl gauname sprendinių šeimą (aibę) priklausančią nuo dviejų parametrų. Pastebėsime, kad funkcija ϕ(x; C 1, C 2) = C 2 1 (x C 1) 2 taip pat yra sprendinys su bet kokiomis C 1 ir C 2 reikšmėmis. Tai dar viena sprendinių šeima. DL sprendinių grafikai pavaizduoti 1.9(a) pav. Parametrizuotieji sprendiniai yra (x, y) = (C 1 + cos t, C 2 + sin t), t I = (; π) arba t I = ( π; ) nes ψ = C 1 + cos t, ϕ = C 2 + sin t C 1 (I), ψ = sin t, kai t π,, π. Pasinaudodami (1.14) formulėmis, randame y = cos t sin t, y = 1 sin 3 t. Istatę šias išraiškas į DL, gauname tapatybę ( 1 ) 2/3 ( cos t ) sin 3 t sin t Nagrinėjami parametrizuotieji sprendiniai atitinka išreikštinius sprendinius y = C (x C 1) 2 ir y = C 2 1 (x C 1) 2. Lygybė Φ(x, y; C 1, C 2) (x C 1) 2 + (y C 2) 2 1 = apibrėžia DL (y ) 2/3 1 (y ) 2 = neišreikštinius sprendinius. Jei y C 2, tuomet = 2(y C2), ir galime užrašyti sprendinių išreikštinius pavidalus Φ y y = C 2 ± 1 (x C 1) 2, x (C 1 1; C 1 + 1). Perrašykime DL pavidalu (1.11) ( y ) 2/3 = 1. (1 + (y ) 2 ) 3/2 Tada neišreikštinis apverstosios DL (žiūrėk (1.12)) pavidalas yra ( ) x 2/3 = 1. (1 + (x ) 2 ) 3/2 Ši DL sutampa su duotąja DL. Vadinasi, neišreikštiniai DL sprendiniai yra visi plokštumos vienetiniai apskritimai (žiūrėk 1.9(b) pav.). Dažniausiai DL lygtis turi begalo daug sprendinių, ir jie sudaro sprendinių šeimas, priklausančias nuo keleto konstantų pavyzdys [DL sprendiniai]. Lygties y = y sprendiniai yra y = C 1ch x + C 2sh x su C 1, C 2 R. Šie sprendiniai sudaro kreivių šeimą, priklausančią nuo dviejų konstantų C 1, C 2.

20 11 1 SKYRIUS. Paprastosios diferencialinės lygtys ir jų sistemos [ (:19)] y ( C 1, C 2 ) x -1-1 (a) (b) 1.9 pav pvz. DL sprendiniai: (a) išreikštiniu sprendiniu grafikai; (b) neišreikštiniai sprendiniai. 1.1 pav. DL y = cos x integralinės kreivės. Konstantos C 1,..., C n, įeinančios į DL sprendinio išraišką, vadinamos laisvosiomis. Šios konstantos gali įgyti bet kokias reikšmes, o kartais ir begalinę reikšmę, t.y.. Laisvųjų konstantų skaičius gali būti įvairus ( n), bet dažniausiai lygus n. 1.9 uždavinys. Pateikite pavyzdį antros eilės DL, kurios visų spendinių šeima priklauso tik nuo vienos laisvosios konstantos apibrėžimas [Bendrasis DL sprendinys]. Bendruoju n-osios eilės DL sprendiniu vadinsime DL sprendinių šeimą y = ϕ(x; C 1,..., C n ), priklausančią nuo n laisvųjų konstantų C 1,..., C n, ir pasižyminčia savybe, kad sistema y = ϕ(x; C 1,..., C n ), y = ϕ (x; C 1,..., C n ), (1.15)... y (n 1) = ϕ (n 1) (x; C 1,..., C n ) yra vienareikšmiškai išspendžiama laisvųjų konstantų atžvilgiu: C 1 = ψ 1 (x, y,..., y (n 1) ),... (1.16) C n = ψ n (x, y,..., y (n 1) ). Bendrasis sprendinys gali būti užrašytas parametrizuotu pavidalu arba neišreikštiniu pavidalu x = ϕ(t; C 1,..., C n ), y = ψ(t; C 1,..., C n ), (1.17) Ψ(x, y; C 1,..., C n ) =. (1.18) Pastaruoju atveju, sprendinių šeima dar vadinama bendruoju integralu. Iš bendrojo sprendinio (bendrojo integralo), imdami konkrečias C 1,..., C n reikšmes, gauname atskirąjį sprendinį (atskirąjį integralą).

21 1. Diferencialinė lygtis ir jos sprendiniai pavyzdys. Funkcija y = sin x + C yra DL y = cos x bendrasis sprendinys, o y = sin x, y = sin x 2, y = sin x + 1 atskirieji sprendiniai (žiūrėk 1.1 pav.). 1.2 pavyzdys. DL (y ) 2/3 1 (y ) 2 = sprendiniais yra dvi bendrųjų (išreikštinių) sprendinių šeimos: y = C 2+ 1 (x C 1) 2 ir y = C 2 1 (x C 1) 2. Pavyzdžiui, pirmosios šeimos atveju, sistema y = C (x C 1) 2, y x C 1 = 1 (x C1) 2 yra vienareikšmiškai išspendžiama laisvųjų konstantų atžvilgiu: C 1 = x + y 1 + (y ) 2, C2 = y (y ) 2. Abi šias sprendinių šeimas galima apibrėžti vienu bendruoju integralu (x C 1) 2 + (y C 2) 2 = 1, C 1, C 2 R, kuris taip pat aprašo ir bendruosius sprendinius x = C 1+ 1 (y C 2) 2 ir x = C 1 1 (y C 2) 2 apverstajai DL. 1.1 uždavinys. Nustatykite DL eilę ir patikrinkite, ar duotoji funkcija (funkcijos) apibrėžia sprendinį: a) y + 9y =, y = C 1 cos(3x) + C 2 sin(3x); b) y, 5y =, y = Ce x/2 2; c) y = 2xy, ye x2 = C; d) y = x, y = Cch t, x = Csh t; y e) y = x + sin x, y = x3 sin x + C; 6 f) y = e x2, y = x e ξ2 dξ + C uždavinys. Patikrinkite, ar 1.1 uždavinio sprendiniai apibrėžia bendruosius sprendinius arba integralus Kreivių šeimos diferencialinė lygtis Jeigu spręsdami n-eilės DL radome jos bendrąjį sprendinį (integralą), tuomet turime kreivių šeimą, priklausančią nuo n laisvųjų konstantų. Pabandykime spręsti atvirkštinį uždavinį. Sakykime, duota kreivių šeima, apibrėžta lygtimi Ψ(x, y; C 1,..., C n ) =. Sudarome sistemą Ψ (x, y; C 1,..., C n ) Ψ(x, y; C 1,..., C n ) =, Ψ 1 (x, y, y ; C 1,..., C n ) Ψ x... + Ψ y y =, Ψ n (x, y, y,..., y (n) ; C 1,..., C n ) Ψn 1 x + Ψn 1 y y + + Ψn 1 y (n) =. y (n 1)

22 13 1 SKYRIUS. Paprastosios diferencialinės lygtys ir jų sistemos [ (:19)] Eliminuodami konstantas C 1,..., C n, gautume šios kreivių šeimos n-osios eilės DL pavyzdys [vienetinių apskritimų šeima plokštumoje]. Visų vienetinių apskritimų šeimos plokštumoje lygtis yra (x C 1) 2 + (y C 2) 2 = 1. Diferencijuodami šią lygtį pagal kintamąjį x du kartus, gauname Randame 2(x C 1) + 2(y C 2)y =, 2 + 2(y ) 2 + 2(y C 2)y =. x C 1 = 1 + (y ) 2 y, y C y 2 = 1 + (y ) 2. y Įstatome šias išraiškas į apskritimų lygtį, gauname vienetinių apskritimų plokštumoje DL (1 + (y ) 2 ) 3 = (y ) 2. Kreivių šeima priklausanti tik nuo vieno parametro vadinama vienaparametrine kreivių šeima pavyzdys [Vienaparametrinių kreivių šeimos]. Žemiau pateikta keletas vienaparametrinių kreivių šeimų: Sistema 1. Φ(x, y, C) := x + y + C = apibrėžia lygiagrečių (tiesei y = x) tiesių šeimą; 2. Φ(x, y, C) := y Cx 2 = parabolių šeimą (žiūrėk 1.11 pav.); 3. Φ(x, y, C) := x 2 /2 + y 2 C 2 = koncentrinių elipsių su centru koordinačių pradžioje ir ašimis C 2 ir C šeimą (C > ) (žiūrėk 1.11 pav.). Φ(x, y, C) =, Φ x Φ dy (x, y, C) + y (x, y, C) dx =. ir yra vienaparametrinių kreivių šeimos DL, tiesa, užrašyta parametriniu pavidalu (parametras C). Vienaparametrinės kreivių šeimos DL sudaroma eliminuojant parametrą C pavyzdys [Kreivių šeimos DL]. Surasime 1.22 pavyzdžio kreivių šeimų DL: { x + y + C =, y = 1; y = { { y Cx 2 =, C = y/x 2, y = 2y 2xC + 1 y = y x = 2xC ; { x 2 /2 + y 2 C 2 =, y = x x + 2y y 2y =.

23 2. Koši uždavinys pav. Paraboliu ir elipsiu šeimos pav. Koši uždavinys pirmos eilės lygčiai pav. Koši uždavinys antros eilės lygčiai. Jeigu iš lygties Φ(x, y, C) = pavyksta išreikšti parametrą C = Ψ(x, y), tuomet šiai vienaparametrinei šeimai DL yra Ψ Ψ dy (x, y) + (x, y) x y dx = uždavinys. Suraskite vienaparametrinių kreivių šeimų DL: a) xy = C; b) e 3x y = C; c) y = e Cx2 ; d) y = Cxe x. Taikymuose dažnai reikia surasti kreivių šeimą, kertančią duotąją kreivių šeimą tam tikru kampu θ (pvz., stačiu). Tokios kreivių šeimos vadinamos izogonaliosiomis (ortogonaliosiomis, kai θ = π/2) trajektorijomis. Sakykime, duotosios kreivių šeimos ir jai izogonaliosios kreivių šeimos DL yra y = f(x, y), y = g(x, y), atitinkamai, o θ 2 ir θ 1 yra kampai, atitinkantys kryptis, kurias apibrėžia DL dešiniosios pusės. Tada funkcijos f ir g susijusios lygybe g f 1 + gf = tg θ 2 tg θ 1 = tg (θ 2 θ 1 ) = tg θ, 1 + tg θ 2 tg θ 1 jei θ π/2, (1.19) 1 + gf =, jei θ = π/2. (1.2) 1.24 pavyzdys [Ortogonaliosios trajektorijos]. Surasime ortogonaliąsias trajektorijas parabolių šeimai y = Cx 2, kurios DL y = 2y/x jau radome (žiūrėk pavyzdžius). Tada ortogonaliosios šeimos DL yra y = x/(2y). Kaip matėme, šios DL sprendiniais yra elipsių x 2 /2 + y 2 = C 2 šeima (žiūrėk pavyzdžius). Šios ortogonaliosios trajektorijos pavaizduotos 1.11 pav uždavinys [Ortogonaliosios trajektorijos]. Raskite ortogonalių trajektorijų DL šioms vienaparametrinėms kreivių šeimoms (pabandykite išspręsti gautas DL ir surasti šias trajektorijas): a) x 2 y 2 = C 2 ; b) x 2 + y 2 = C 2 ; c) y = Cx 3 ; d) x 2 + (y C) 2 = C uždavinys [Izogonaliosios trajektorijos]. Raskite izogonaliųjų su θ = π/4 trajektorijų DL apskritimų šeimai x 2 + y 2 = C 2. Pabandykite išspręsti gautą DL ir surasti trajektorijų šeimą.

24 15 1 SKYRIUS. Paprastosios diferencialinės lygtys ir jų sistemos [ (:19)] 2. Koši uždavinys Kaip matėme, DL dažniausiai turi be galo daug sprendinių. Norint išskirti kurį nors vieną sprendinį, reikia pareikalauti, kad sprendinys tenkintų papildomas sąlygas Koši uždavinys Jeigu sprendžiama n-osios eilės DL F (x, y, y,..., y (n) ) =, (2.1) tuomet tokiomis sąlygomis laikomos išreikštinio sprendinio ir jo išvestinių iki (n 1)-os eilės reikšmės, kai x = x : y(x ) = y, y (x ) = y,..., y (n 1) (x ) = y (n 1). (2.2) DL su tokiomis sąlygomis vadinama Koši 2 (pradiniu) uždaviniu, o pačios sąlygos pradinėmis. Pradinę sąlygą apibrėžia taškas (x, y, y,..., y (n 1) ), kuris priklauso D f, jei DL užrašyta kanoniniu pavidalu uždavinys. Patikrinkite, kad y = Ce x2 yra DL y = 2xy sprendinys. Raskite integralinę kreivę, einančią per tašką (1, 4) pavyzdys. Koši uždavinys y = y/x, y() = 2 neturi išreikštinio sprendinio, nes taške x = DL neapibrėžta. Koši uždavinys apverstajai DL x = x/y, x(2) = turi sprendinį x. Ypač lengva spręsti Koši uždavinį, jeigu žinomas DL bendrasis sprendinys ir nėra kitų sprendinių. Šiuo atveju, bendrojo sprendinio sąvoka garantuoja, kad Koši uždavinys turi vienintelį sprendinį, nes iš (1.15) sistemos galime vienareikšmiškai rasti laisvąsias konstantas. Bendrasis sprendinys y = ϕ(x; x, y, y,..., y (n 1) ) (2.3) yra vadinamas bendrojo sprendinio Koši pavidalu pavyzdys. DL y = 2xy bendrojo sprendinio Koši pavidalas yra y = y e x2 x 2, o DL y + y = šis pavidalas yra y = y cos(x x ) + y sin(x x ). 2 Augustin Louis Cauchy ( ) prancūzu matematikas.

25 2. Koši uždavinys Sprendinio egzistavimas ir vienatis Kanoninei n-os eilės DL y (n) = f(x, y, y,..., y (n 1) ) (2.4) Koši uždavinio sprendinio egzistavimui pakanka, kad f C(G) srityje G D f R n+1 [18]. 1.1 teorema [Peano 3 ]. Tarkime, funkcija f yra tolydi srityje G. Tada egzistuoja (2.4) lygties sprendinys y = ϕ(x), x I, tenkinantis (2.2) pradines sąlygas. Tačiau šios teoremos salygų neužtenka Koši uždavinio sprendinio vienačiai [8, 17, 18]. 1.2 teorema [Pikaro 4 ]. Tarkime, funkcija f ir jos dalinės išvestinės f y,..., f tolydžios srityje G. Tada egzistuoja vienintelis (2.4) lygties sprendinys y (n 1) y = ϕ(x), x I, tenkinantis pradines (2.2) sąlygas pavyzdys. Funkcijos y = sin x ir y = cos x yra DL y +y = sprendiniai. Šių dviejų sprendinių grafikai kertasi, tačiau šie sprendiniai nesutampa jokiame intervale (žiūrėk 1.13 pav.) uždavinys. Ar kertasi šio pavyzdžio integralinės kreivės? Panaši teorema teisinga ir (2.1) lygčiai srityje G D F [8]. Jos įrodymas išplaukia neišreikštinės funkcijos sąvybių (žiūrėk (1.3) (1.5) ) ir 1.2 teoremos. 1.3 teorema. Tarkime, funkcija F C 1 (G) ir taške (x, y, y,..., y(n) ) G išpildytos sąlygos F (x, y, y,..., F y(n) ) =, y (n) (x, y, y,..., y(n) ). Tada egzistuoja (2.1) lygties vienintelis sprendinys y = ϕ(x), x I, tenkinantis (2.2) pradines sąlygas. 1.4 teorema [tolydi priklausomybė nuo pradinės sąlygos]. Jeigu f C 1 (G), tuomet Koši uždavinio (2.4), (2.2) sprendinys ϕ(x; x, y, y,..., y (n 1) ) apibrėžtas, tolydus ir ϕ C 1 kiekvieno taško (x ; x, y, y,..., y (n 1) ) aplinkoje. Pikaro teoremą ir tolydžią priklausomybę nuo pradinės sąlygos įrodysime vėliau, bet jau dabar jomis naudosimės. Šios trys teoremos sprendinio sąvybes formuluoja lokaliai. Sritis G D f, kurios visuose taškuose Koši uždavinio sprendinys yra vienintelis, vadinsime DL sprendinio vienaties sritimi. DL dvi integralinės kreivės, sutampančios viename DL sprendinio vienaties srities G taške, sutampa visoje šioje srityje. Antros eilės DL tokiems sprendiniams integralinės kreivės sutaps, jeigu bendrame taške abu sprendiniai turės tą pačią liestinę. 3 Giuseppe Peano ( ) italu matematikas. 4 Émile Picard ( ) prancūzu matematikas.

26 17 1 SKYRIUS. Paprastosios diferencialinės lygtys ir jų sistemos [ (:19)] G K K pav. DL y = 3y 2/3 integralinės kreivės. DL ypatingasis taškas ir ypatingasis sprendinys pav. Integralinės kreivės tęsinys iki kompakto krašto pav. Nepratęsiamas į dešinę sprendinys pavyzdys. Rasime DL y = 3y 2/3 integralinę kreivę, einančią per tašką (1, 1). Atitinkamas Koši (pradinis) uždavinys yra y = 3y 2/3, y(1) = 1. Patikriname, kad funkcija y = (x C) 3 yra DL sprendiniai. Įstatome pradines sąlygas: 1 = y(1) = (1 C) 3 C = (kitos šaknys yra kompleksinės). Vadinasi, šis Koši uždavinys turi sprendinį y = x 3 (žiūrėk 1.14 pav.). Rasime integralinę kreivę, einančią per tašką (, ). Per šį tašką eina jau rasta integralinė kreivė y = x 3, ir dar viena papildoma integralinė kreivė y. Vadinasi, šiuo atveju, Koši uždavinio sprendinys nėra vienintelis, ir šis taškas nepriklauso DL sprendinio vienaties sričiai uždavinys. Raskite 1.28 pavyzdžio DL sprendinio vienaties sritį (sritis) apibrėžimas. DL sprendinys, per kurio kiekvieną tašką eina tik vienas tos DL sprendinys, vadinamas atskiruoju sprendiniu uždavinys. Raskite Koši uždavinio sprendinius, jei žinomas bendrasis sprendinys arba bendrasis integralas: a) y = y, y(1) = 1; yx = C; x b) y = 1 x, y(1) = ; xey = C; c) y = 1, y() = 1, y () = 3 2 ; y = x2 2 d) y = x + sin x, y() = 1, y () = 1; y = x3 3 e) y = x y, y(3) = 4; y2 + x 2 = C. + C1x + C2; sin x + C1x + C2; 2.3. Ypatingieji sprendiniai

27 2. Koši uždavinys 18 DL gali turėti sprendinių, kurių taškuose neišpildyta vienaties sąlyga. Nagrinėtame 1.28 pavyzdyje sprendinio y negausime iš bendrojo sprendinio (kubinių parabolių šeimos) y = (x C) 3 su jokia konstanta C R (žiūrėk 1.14 pav.) uždavinys. Raskite 1.28 pavyzdžio DL visus sprendinius, kuriems neišpildyta vienaties sąlyga apibrėžimas [Ypatingasis taškas]. Ypatingaisiais taškais vadinsime tuos integralinės kreivės taškus, kuriose neišpildyta sprendinio vienaties sąlyga apibrėžimas [Ypatingasis sprendinys]. Ypatinguoju sprendiniu vadinsime sprendinį, kurio kiekvienas taškas yra ypatingasis taškas. Kai kanoninės (2.4) DL dešiniosios pusės funkcija yra tolydi ir turi dalines išvestines pagal kintamuosius y, y,..., y (n 1), jos ypatingieji sprendiniai gali būti tik tie, kuriuose tenkinama bent viena sąlyga: f y =,..., f =. y (n 1) Neišreikštinės (2.1) DL atveju, kai F C 1 (G), ypatingais gali būti sprendiniai F apibrėžti ir lygybėmis F =, =. y (n) 1.2 uždavinys. Patikrinkite, kad DL turi duotuosius sprendinius ir suraskite ypatinguosius sprendinius: 2.4. Sprendinio tęsinys a) y = 2 y, y = x C (x C); b) (y ) 2 + y 2 = 1, y = sin(x C). Jeigu sprendinys yra apibrėžtas intervale I, tai jis bus sprendinys ir intervale J I apibrėžimas [integralinės kreivės tęsinys]. Integralinę kreivę intervale I vadinsime integralinės kreivės intervale J I tęsiniu, o integralinę kreivę intervale J integralinės kreivės intervale I siauriniu. Koši uždavinio su pradinėmis sąlygomis (2.2) integralinė kreivė pratęsiama pirmyn (atgal) iki aibės Γ G D f, jeigu egzistuoja sprendinys su tomis pačiomis pradinėmis sąlygomis, kurio integralinė kreivė kertasi su Γ taške x x (x x ). Integralinė kreivė pratęsiama pirmyn (atgal) neaprėžtai, jeigu visiems x x (x x ) egzistuoja sprendinys su tomis pačiomis pradinėmis sąlygomis. Laikysime, kad sprendinys turi tęsinį, jeigu jo integralinė kreivė turi tęsinį. Vietoje pirmyn (atgal) taip pat naudosime terminus į dešinę (į kairę). Jeigu sprendinys pratęsiamas iš atvirojo intervalo (a; b) į intervalą (a; b] ([a; b)), tuomet tokį tęsinį vadinsime dešiniuoju (kairiuoju) plėtiniu. Sprendinys, kurio negalima pratęsti nei į kairę, nei į dešinę, vadinamas pilnuoju sprendiniu, o intervalas J vadinamas sprendinio egzistavimo maksimaliuoju intervalu. Toliau pagal nutylėjimą sprendinį suprasime kaip pilnąjį.

28 19 1 SKYRIUS. Paprastosios diferencialinės lygtys ir jų sistemos [ (:19)]? Aibė K R n vadinama kompaktu, jeigu ji yra uždara ir aprėžta. Jeigu kompaktą padengsime atvirųjų aibių denginiu, tuomet galima išrinkti baigtinį podenginį. Ši kompakto savybė Hausdorfo 5 topologinėse erdvėse naudojama kaip kompakto apibrėžimas. Didžiausia atviroji aibė, priklausanti aibei A vadinama aibės A vidumi, o mažiausia uždaroji aibė, dengianti aibę A vadinama aibės A uždariniu. Aibės A uždarinio taškai, kurie nepriklauso aibės A vidui, sudaro aibės A kraštą A. 1.5 teorema [apie sprendinio tęsinį]. Tarkime, K G D f yra kompaktas ir pradinė sąlyga (x, y, y,..., y (n 1) ) K ir f C 1 (G). Tada integralinė kreivė pratęsiama iki kompakto krašto ir toks pratęsimas yra vienintelis. Teorema teigia, kad per kiekvieną vidinį kompakto tašką eina vienintelė integralinė kreivė, kuri pratęsiama iki kompakto krašto (žiūrėk 1.15 pav.). Tęsinio vienatis suprantama ta prasme, kad dvi integralinės kreivės su tą pačia pradine sąlyga sutampa visur kur jos apibrėžtos pavyzdys. Koši uždavinio y = y 2, y() = 1, sprendinys užrašomas išreikštine funkcija y = 1/(1 x). Šį sprendinį galima pratęsti atgal (į kairę) neaprėžtai, tačiau negalima pratęsti pirmyn (į dešinę) iki tiesės x = 1, t.y. maksimalusis intervalas yra ( ; 1). Teorema apie tęsinį lieka teisinga. Jeigu kompaktas yra uždarasis stačiakampis [a; 1] [; b], tai sprendinys pratęsiamas į kairę iki stačiakampio kraštinės x = a su bet kokiu a <, t.y. visiems x, ir sprendinys pratęstas pirmyn (į dešinę) pasieks tik viršutinę stačiakampio kraštinę kokį b > 1 bepaimtume (žiūrėk 1.16) ir niekada nepasieks dešiniosios kraštinės. 1.3 pavyzdys. Koši uždavinio y = y, y() = 1, sprendinys užrašomas išreikštine funkcija y = e x. Šį sprendinį galima pratęsti atgal ir pirmyn neaprėžtai, nes su bet kokiu a > sprendinys kirs kairiąją ir dešiniąją uždarojo stačiakampio [ a; a] [; e a + 1] kraštines. 3. Diferencialinių lygčių sistemos Apibendrinsime DL lygties savoką DL sistemoms, t.y. nagrinėsime vektorinę DL F (x, y, y,..., y (m) ) =, (3.1) čia y = (y 1,..., y n ), F = (F 1,..., F n ) C 1 (D F ), D F R n(m+1)+1 yra funkcijos F (kartu ir vektorinės DL apibrėžimo sritis). Tokia vektorinė m-tosios eilės DL dar vadinama m-osios eilės diferencialinių lygčių sistema (DLS). Paprasčiausios yra pirmosios eilės DLS: F 1 (x, y 1,..., y n, y 1,..., y n ) =, F n (x, y 1,..., y n, y 1,..., y n ) =. 5 Felix Hausdorff ( ) vokiečiu matematikas.... (3.2)

29 3. Diferencialinių lygčių sistemos 2 Kai jakobianas D(F 1,...,F n ) D(y 1,...,y n ), pirmąsias išvestines galima išreikšti per likusius kintamuosius: y 1 = f 1 (x, y 1,..., y n ),... (3.3) y n = f n (x, y 1,..., y n ). Tokią DLS vadiname n-osios eilės normaliąja DLS. Jos vektorinis pavidalas yra y = f(x, y), f C(D f ), D f R n+1. Šiai DLS (vektorinei DL) apibendrinamos visos sąvokos, kurias apibrėžėme skaliarinei DL y = f(x, y). Pavyzdžiui, Koši uždavinys užrašomas kaip y = f(x, y), y(x ) = y. (3.4) 1.16 apibrėžimas [integralinė kreivė]. Normaliosios DLS (arba vektorinės DL) (3.3) integraline kreive vadinsime vektorinės funkcijos y(x), x I, grafiką apibrėžimas [fazinė erdvė]. Kintamųjų (y 1, y 2,..., y n ) erdvė vadinama fazine erdve apibrėžimas [fazinė trajektorija]. Integralinės kreivės projekciją į fazinę erdvę (y 1, y 2,..., y n ) vadinsime fazine trajektorija. Bendrasis sprendinys ir bendrasis integralas apibrėžiami kaip y = ϕ(x, C), Ψ(x, y, C) = arba Φ(x, y) = C, čia C = (C 1,..., C n ), o visos funkcijos yra tolydžiai diferencijuojamos. Suformuluosime Pikaro, tolydžios priklausomybės nuo pradinės sąlygos ir sprendinio tęsinio teoremų analogus. 1.6 teorema. Tarkime, funkcija f C 1 (G), G R n+1. Tada egzistuoja vienintelis (3.4) Koši uždavinio sprendinys y = ϕ(x), x I, tenkinantis pradinę sąlygą. 1.7 teorema [tolydi priklausomybė nuo pradinės sąlygos]. Jeigu f C 1 (G), tuomet funkcija ϕ(x; x, y ) apibrėžta, tolydi ir ϕ C 1 kiekvieno taško (x ; x, y ) aplinkoje. 1.8 teorema [apie sprendinio tęsinį]. Tarkime, K G D f yra kompaktas ir pradinė sąlyga (x, y ) K ir f C 1 (G). Tada integralinė kreivė pratęsiama iki kompakto krašto ir toks pratęsimas yra vienintelis.

30 21 1 SKYRIUS. Paprastosios diferencialinės lygtys ir jų sistemos [ (:19)] 3.1. n-osios eilės DL suvedimas į n-osios eilės normaliąją DLS Kiekvieną n-osios eilės kanoninę DL galima suvesti į normaliąją DLS. Parodysime tai Koši uždaviniui y (n) = f(x, y, y,..., y (n 1) ), y(x ) = y,..., y (n 1) (x ) = y (n 1). (3.5) Apibrėžkime vektorinę funkciją z = (z 1, z 2,..., z n ) := (y, y,..., y (n 1) ). Tada (3.5) Koši uždavinys ekvivalentus nomaliajai DLS z 1 = z 2, z 2 = z 3, z n 1 = z n,... (3.6) z n = f(x, z 1,..., z n ) su pradine (vektorine) sąlyga z(x ) = z := (y, y,..., y (n 1) ). Šis suvedimas rodo, kad 1.2 teorema (kai f C 1 (G)) išplaukia iš 1.6 teoremos, 1.4 teorema iš 1.7 teoremos, 1.4 teorema iš 1.8 teoremos pavyzdys. Koši uždavinys y + y =, y() = y, y () = y suvedamas į antrosios eilės DLS y = z, z = y su pradinėmis sąlygomis y() = y, z() = y uždavinys. Ar toks suvedimas vienintelis? Atsakymas: ne, nes galima suvesti ir y = z, z = y, su pradinėmis sąlygomis y() = y, z() = y uždavinys. Suvesti DL į DLS: a) y = sin y; b) y + 5xy + (y ) 2 sin x + y = ; c) y = sin ( 1 + (y ) 2 ) n-osios eilės normaliosios DLS suvedimas į n-osios eilės DL Kiekvieną n-osios eilės normaliąją (3.3) DLS galima suvesti į vieną n-osios eilės kanoninę DL. Diferencijuojame vieną DLS lygtį (pvz., pirmąją) n 1 kartą pagal x, ir keičiame pirmosios eilės išvestines normaliosios sistemos lygčių dešiniosiomis pusėmis. Įvedame naują funkciją z(x) := y 1 (x). Taip gaunama n

31 3. Diferencialinių lygčių sistemos 22 lygčių sistema: z = f 1 (x, z, y 2,..., y n ) := f 1 (x, y 1, y 2,..., y n ), f 1 i=1 z = f 2 (x, z, y 2,..., y n ) := f 1 x + n y f i, i... (3.7) z (n 1) = f n 1 (x, z, y 2,..., y n ) := z (n) = f n (x, z, y 2,..., y n ) := f n 2 x f n 1 x + n n 2 f i=1 y f i, i + n n 1 f i=1 y f i. i Iš (3.7) sistemos pirmųjų n 1 lygčių išreiškiame y 2,..., y n (kada tai galima padaryti?): y 2 = g 2 (x, z, z,..., z (n 1) ),... y n = g n (x, z, z,..., z (n 1) ), ir įstatome jas į (3.7) sistemos paskutinę lygtį z (n) = f n ( x, z, g2 (x, z, z,..., z (n 1) ),..., g n (x, z, z,..., z (n 1) ) ). Gaunama viena n-osios eilės DL Pradinės sąlygos šiai lygčiai yra z (n) = g(x, z, z,..., z (n 1) ). (3.8) z(x ) = y 1 (x ), z (i) (x ) = f i (x, y 1 (x ),..., y n (x )), i = 1,..., n 1. Išsprendę (3.8) lygtį, randame ir y 1 (x) = z(x). Analogiškai galima parašyti ir n-osios eilės lygtis kitoms funkcijoms y 2,..., y n. Jeigu suradome funkciją y 1, tuomet galima pašalinti iš sistemos pirmąją lygtį, įstatyti y 1 į likusias sistemos lygtis, t.y. nagrinėti normaliąją sistemą, sudarytą iš n 1-os lygties pavyzdys. Duota DLS dv = w, dw = v. dx x dx Apibrėžiame naują funkciją y = v, diferencijuojame pirmąją lygtį pagal x, ir gauname y = w, x y = dw 1 w = y w = y x, w y = y y x dx x x 2 x x 2 x DLS suvesta į antros eilės DL y = y+y x arba xy + y + y = uždavinys. Suveskite DLS į vieną DL: x 2. a) u = v, v = u; b) u = v, v = u; c) u = u v, v = u + v.

32 23 1 SKYRIUS. Paprastosios diferencialinės lygtys ir jų sistemos [ (:19)] 3.3. Autonominės ir neautonominės DL Jeigu funkcija f DL tiesiogiai nepriklauso nuo kintamojo x, tai DL (arba DLS) dy 1 y dx = f 1 (y 1,..., y n ), = f(y)... dy n dx = f n (y 1,..., y n ). vadinama autonomine. Priešingu atveju, vadinsime neautonomine. Kiekvieną neautominę DLS visada galima suvesti į autonominę dy 1 dx = f 1 (x, y 1,..., y n ),... dy n dx = f m (x, y 1,..., y n ) dx dt = f (x, y 1,..., y n ) 1, dy 1 dt = f 1 (x, y 1,..., y n ),... dy n dt = f n (x, y 1,..., y n ), čia y R n. Ir atvirkščiai, kiekvieną autonominę DLS srityje, kurioje f + f f n >, galima suvesti į neautonominę DLS. Pavyzdžiui, jeigu f, tai čia x := y. dy dt = f (y, y 1,..., y n ), dy 1 dt = f 1 (y, y 1,..., y n ),... dy n dt = f n (y, y 1,..., y n ) 1.33 pavyzdys. Neautonominė DL suvedama į autonominę DLS dx dt = y, dy dx = x y dy 1 dx = f 1 (x,y 1,...,y n ) f (x,y 1,...,y n ),... dy n dx = f n (x,y 1,...,y n ) f (x,y 1,...,y n ), dy dt = x uždavinys. Suveskite neautonomines DL (DLS) į autonomines DL (DLS): a) dy dx = y x ; dy b) dx = z + x, dz dx = y + x apibrėžimas [fazinė kreivė]. Autonominės sistemos trajektoriją vadinsime fazine kreive.

33 3. Diferencialinių lygčių sistemos 24

34 2 skyrius Klasikinės pirmosios eilės diferencialinės lygtys ir jų integravimas Šiame skyriuje nagrinėsime pirmosios eilės diferencialines lygtis, kurias galima išspręsti integruojant. Įrodysime sprendinio egzistavimo ir vienaties teoremą vienmačiu atveju autonominei lygčiai. Daugelio tokių lygčių sprendiniai randami kintamųjų atskyrimo metodu. 1. DL y = f(x) Nagrinėkime DL dy dx = f(x), f C(I), I = (a; b). (1.1) 2.1 lema. Tarkime, f aprėžta intervale I. Tada DL (1.1) sprendinys randamas integruojant: y = f(x) dx + C. (1.2) Įrodymas. DL lygties (1.1) prasmė yra, kad ieškoma funkcija y yra funkcijos f pirmykštė funkcija. Iš matematinės analizės (Rymano 1 integralo teorija) žinome, kad funkcijos f pirmykščių funkcijų šeima yra (1.2). 2.1 pavyzdys. DL y = cos x visi sprendiniai yra y = sin x + C, t.y. visi jie aprašomi bendruoju sprendiniu. 2.2 pavyzdys. Intervale (; 1) sprendinys yra funkcija ϕ(x) = x, intervale ( 1; ) funkcija ϕ(x) = x, o taške x = sprendinio reikšmė turėtų būti nulinė (tolydumas). Tačiau funkcija ϕ(x) = x nėra diferencijuojama funkcija. Vadinasi, DL y = sign x, ( 1; 1) sprendinių neturi. Nagrinėkime Koši uždavinį (1.1) lygčiai su pradine sąlyga y(x ) = y. Tuomet pirmykščių funkcijų šeimą galima išreikšti apibrėžtiniu integralu y(x) = x 1 Bernhard Riemann ( ) vokiečiu matematikas. x f(ξ) dξ + C. (1.3)

35 1. DL y = f(x) 26 Kai x = x, iš pradinės sąlygos randame C = y. Vadinasi, integralinė kreivė einanti per tašką (x, y ) apibrėžia vienintelį sprendinį (Barou 2 formulė) y(x) = y + x x f(ξ) dξ. (1.4) 2.3 pavyzdys. Koši uždavinio y = cos x, y() = 1 sprendinys (žiūrėk 1.1 pav.) y(x) = 1 + x cos ξ dξ = 1 + sin ξ x = 1 + sin x. 2.1 uždavinys. Raskite DL arba Koši uždavinio sprendinius: a) y = x(1 x), x ( 1; 1), y() = 1; b) y = 1 1+x Sprendinio tęsinys ir elgsena intervalo galuose Jeigu dešinysis intervalo (a; b) galas yra baigtinis, t.y. b < +, tuomet sprendinio pratęsimas į šį tašką priklauso nuo ribos f := lim x b f(x) egzistavimo. Bendruoju atveju ji gali neegzistuoti. Kairiajame intervalo gale situacija analogiška. Nagrinėkime DL dy = f(x), f C(a; b), b < +. (1.5) dx Koši uždavinio su pradine sąlyga y(x ) = y, x (a; b) sprendinys x ϕ(x) := y + f(ξ) dξ, (1.6) x ϕ C 1 (a; b) ir ϕ (x) f(x), x (a; b). Jeigu f B(a; b), tai f(x) M ir x2 ϕ(x 2 ) ϕ(x 1 ) = f(ξ) dξ M x 2 x 1, x 1, x 2 (a; b). x 1 Remiantis funkcijos ribos Koši kriterijumi, egzistuoja sprendinio riba B := ϕ(b ) = b lim + x b f(ξ) dξ. x (1.7) 2.2 lema. Tarkime, f C(a; b) B(a; b), < a < b < +. Tada integralinė kreivė tolydžiai pratęsiama į intervalą [a; b]. Toliau nagrinėsime tik atvejus, kai egzistuoja baigtinė arba begalinė riba f = f(b ) = lim x b f(x). 2 Isaac Barrow ( ) anglu matematikas, filologas ir teologas.

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Taikomosios matematikos institutas, Diferencialinių lygčių katedra Naugarduko g. 24, LT-3225

Διαβάστε περισσότερα

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lgčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius,

Διαβάστε περισσότερα

Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės

Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės Dalinės išvestinės Tarkime, kad dviejų kintamųjų funkcija (, )yra apibrėžta srityje, o taškas 0 ( 0, 0 )yra vidinis srities taškas. Jei fiksuosime argumento

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 4 dalis

Matematika 1 4 dalis Matematika 1 4 dalis Analizinės geometrijos elementai. Tiesės plokštumoje lygtis (bendroji, kryptinė,...). Taško atstumas nuo tiesės. Kampas tarp dviejų tiesių. Plokščiosios kreivės lygtis Plokščiosios

Διαβάστε περισσότερα

X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2)

X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) Monotonin s funkcijos Tegul turime funkciją f : A R, A R. Apibr žimas. Funkcija y = f ( x) vadinama monotoniškai did jančia (maž jančia) aib je X A, jei x1< x2 iš X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) ( f

Διαβάστε περισσότερα

Vilniaus universitetas. Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS

Vilniaus universitetas. Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS Vilniaus universitetas Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS Vilnius 1992 T U R I N Y S 1. Vektorinė erdvė............................................. 3 2. Matricos rangas.............................................

Διαβάστε περισσότερα

1. Individualios užduotys:

1. Individualios užduotys: IV. PAPRASTOSIOS DIFERENCIALINĖS LYGTYS. Individualios užduots: - trumpa teorijos apžvalga, - pavzdžiai, - užduots savarankiškam darbui. Pirmosios eilės diferencialinių lgčių sprendimas.. psl. Antrosios

Διαβάστε περισσότερα

AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS

AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS Aibės sąvoka ir pavyzdžiai Atskirų objektų rinkiniai, grupės, sistemos, kompleksai matematikoje vadinami aibėmis. Šie atskiri objektai vadinami aibės elementais. Kai elementas

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJOS. veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena. a = {a 1,..., a n } ir b = {b 1,... b n } skaliarine sandauga

FUNKCIJOS. veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena. a = {a 1,..., a n } ir b = {b 1,... b n } skaliarine sandauga VII DAUGELIO KINTAMU JU FUNKCIJOS 71 Bendrosios sa vokos Iki šiol mes nagrinėjome funkcijas, apibrėžtas realiu skaičiu aibėje Nagrinėsime funkcijas, kurios apibrėžtos vektorinėse erdvėse Tarkime, kad R

Διαβάστε περισσότερα

Matematinės analizės konspektai

Matematinės analizės konspektai Matematinės analizės konspektai (be įrodymų) Marius Gedminas pagal V. Mackevičiaus paskaitas 998 m. rudens semestras (I kursas) Realieji skaičiai Apibrėžimas. Uždarųjų intervalų seka [a n, b n ], n =,

Διαβάστε περισσότερα

Specialieji analizės skyriai

Specialieji analizės skyriai Specialieji analizės skyriai. Specialieji analizės skyriai Kompleksinio kinamojo funkcijų teorija Furje eilutės ir Furje integralai Operacinis skaičiavimas Lauko teorijos elementai. 2 Kompleksinio kintamojo

Διαβάστε περισσότερα

Specialieji analizės skyriai

Specialieji analizės skyriai Specialieji analizės skyriai. Trigonometrinės Furje eilutės Moksle ir technikoje dažnai susiduriame su periodiniais reiškiniais, apibūdinamais periodinėmis laiko funkcijomis: f(t). 2 Paprasčiausia periodinė

Διαβάστε περισσότερα

1.4. Rungės ir Kuto metodas

1.4. Rungės ir Kuto metodas .4. RUNGĖS IR KUTO METODAS.4. Rungės ir Kuto metodas.4.. Prediktoriaus-korektoriaus metodas Palyginkime išreikštinį ir simetrinį Eulerio metodus. Pirmojo iš jų pagrindinis privalumas tas, kad išreikštinio

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA

LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA tema. APSKRITIMŲ GEOMETRIJA (00 0) Teorinę medžiagą parengė bei antrąją užduotį sudarė Vilniaus pedagoginio universiteto docentas Edmundas Mazėtis. Apskritimas tai

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 3 dalis

Matematika 1 3 dalis Matematika 1 3 dalis Vektorių algebros elementai. Vektorių veiksmai. Vektorių skaliarinės, vektorinės ir mišriosios sandaugos ir jų savybės. Vektoriai Vektoriumi vadinama kryptinė atkarpa. Jei taškas A

Διαβάστε περισσότερα

IV. FUNKCIJOS RIBA. atvira. intervala. Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam,

IV. FUNKCIJOS RIBA. atvira. intervala. Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam, 41 Funkcijos riba IV FUNKCIJOS RIBA Taško x X aplinka vadiname bet koki atvira intervala, kuriam priklauso taškas x Taško x 0, 2t ilgio aplinka žymėsime tokiu būdu: V t (x 0 ) = ([x 0 t, x 0 + t) Sakykime,

Διαβάστε περισσότερα

0.1. Bendrosios sąvokos

0.1. Bendrosios sąvokos .1. BENDROSIOS SĄVOKOS 1.1. Bendrosios sąvokos.1.1. Diferencialinės lygtys su mažuoju parametru F ) x n),x n 1),...,x,x,t;ε =, xt;ε) C n T), T [,+ ), < ε ε ) F x n) t;ε),x n 1) t;ε),...,x t;ε),xt;ε),t;ε,

Διαβάστε περισσότερα

I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI ATSAKYMAI

I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI ATSAKYMAI 008 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija Kiekvieno I dalies klausimo teisingas atsakymas vertinamas tašku. I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI

Διαβάστε περισσότερα

2.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS

2.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS .5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS 5.. Pirmoji Bolcao Koši teorema. Jei fucija f tolydi itervale [a;b], itervalo galuose įgyja priešigų želų reišmes, tai egzistuoja tos tašas cc, ( ab ; ), uriame

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZINĖ GEOMETRIJA III skyrius (Medžiaga virtualiajam kursui)

ANALIZINĖ GEOMETRIJA III skyrius (Medžiaga virtualiajam kursui) ngelė aškienė NLIZINĖ GEMETRIJ III skrius (Medžiaga virtualiajam kursui) III skrius. TIESĖS IR PLKŠTUMS... 5. Tiesės lgts... 5.. Tiesės [M, a r ] vektorinė lgtis... 5.. Tiesės [M, a r ] parametrinės lgts...

Διαβάστε περισσότερα

Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos

Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 1 Teiginio

Διαβάστε περισσότερα

0.1. Bendrosios sąvokos

0.1. Bendrosios sąvokos 0.1. BENDROSIOS SĄVOKOS 1 0.1. Bendrosios sąvokos 0.1.1. Diferencialinės lygtys su mažuoju parametru F ) x n),x n 1),...,x,x,t;ε = 0, xt;ε) C n T), T [0,+ ), 0 < ε ε 0 ) F x n) t;ε),x n 1) t;ε),...,x t;ε),xt;ε),t;ε

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATINĖ LOGIKA. Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos

MATEMATINĖ LOGIKA. Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 Teiginio

Διαβάστε περισσότερα

FDMGEO4: Antros eilės kreivės I

FDMGEO4: Antros eilės kreivės I FDMGEO4: Antros eilės kreivės I Kęstutis Karčiauskas Matematikos ir Informatikos fakultetas 1 Koordinačių sistemos transformacija Antrosios eilės kreivių lgtis prastinsime keisdami (transformuodami) koordinačių

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n. Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai vektoriu

4.1 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n. Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai vektoriu IV DEKARTO KOORDINAČIU SISTEMA VEKTORIAI 41 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai α = (a 1,, a n ) Be mums jau žinomu

Διαβάστε περισσότερα

2008 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija

2008 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 008 M MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA 008 m matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 7 uždavinių atsakymai I variantas Užd

Διαβάστε περισσότερα

Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas

Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas Pirmasis uždavinys Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas Uždavinio formulavimas a) Žinoma n = 50 tiriamo

Διαβάστε περισσότερα

2009 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 1 6 uždavinių atsakymai

2009 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 1 6 uždavinių atsakymai M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus -6- įsakymu Nr. (..)-V-8 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO

Διαβάστε περισσότερα

1 TIES ES IR PLOK TUMOS

1 TIES ES IR PLOK TUMOS G E O M E T R I J A Gediminas STEPANAUSKAS 1 TIES ES IR PLOK TUMOS 11 Plok²tumos ir ties es plok²tumoje normalin es lygtys 111 Vektorin e forma Plok²tumos α padetis koordina iu sistemos Oxyz atºvilgiu

Διαβάστε περισσότερα

06 Geometrin e optika 1

06 Geometrin e optika 1 06 Geometrinė optika 1 0.1. EIKONALO LYGTIS 3 Geometrinėje optikoje įvedama šviesos spindulio sąvoka. Tai leidžia Eikonalo lygtis, kuri išvedama iš banginės lygties monochromatinei bangai - Helmholtco

Διαβάστε περισσότερα

VIII. FRAKTALINĖ DIMENSIJA. 8.1 Fraktalinės dimensijos samprata. Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis?

VIII. FRAKTALINĖ DIMENSIJA. 8.1 Fraktalinės dimensijos samprata. Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis? VIII FRAKTALINĖ DIMENSIJA 81 Fraktalinės dimensijos samprata Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis? Tarkime, kad duota atkarpa, kurios ilgis lygus 1 Padalykime šia atkarpa n lygiu daliu Akivaizdu, kad kiekvienos

Διαβάστε περισσότερα

Elektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose

Elektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose lktroų ir skylučių statistika puslaidiikiuos Laisvų laidumo lktroų gracija, t.y. lktroų prėjimas į laidumo juostą, gali vykti kaip iš dooriių lygmų, taip ir iš valtiės juostos. Gracijos procsas visuomt

Διαβάστε περισσότερα

ATSITIKTINIAI PROCESAI. Alfredas Račkauskas. (paskaitų konspektas 2014[1] )

ATSITIKTINIAI PROCESAI. Alfredas Račkauskas. (paskaitų konspektas 2014[1] ) ATSITIKTINIAI PROCESAI (paskaitų konspektas 2014[1] ) Alfredas Račkauskas Vilniaus universitetas Matematikos ir Informatikos fakultetas Ekonometrinės analizės katedra Vilnius, 2014 Iš dalies rėmė Projektas

Διαβάστε περισσότερα

2015 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija. I dalis

2015 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija. I dalis PATVIRTINTA Ncionlinio egzminų centro direktorius 0 m. birželio d. įskymu Nr. (..)-V-7 0 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pgrindinė sesij I dlis Užd. Nr. 4 7

Διαβάστε περισσότερα

VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA. Algoritmų teorija. Paskaitų konspektas

VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA. Algoritmų teorija. Paskaitų konspektas VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA Algoritmų teorija Paskaitų konspektas Dėstytojas: lekt. dr. Adomas Birštunas Vilnius 2015 TURINYS 1. Algoritmo samprata...

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARIOJI TEORIJA

ELEMENTARIOJI TEORIJA ELEMENTARIOJI TEORIJA Pirmosios kombinatorikos þinios siekia senàsias Rytø ðalis, kuriose mokëta suskaièiuoti këlinius bei derinius ir sudarinëti magiðkuosius kvadratus, ypaè populiarius viduramþiais.

Διαβάστε περισσότερα

1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai yra studentai galima išreikšti formule. 2 Ta pati teigini galima užrašyti ir taip. 3 Formulė U&B C reiškia, kad

1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai yra studentai galima išreikšti formule. 2 Ta pati teigini galima užrašyti ir taip. 3 Formulė U&B C reiškia, kad 45 DISKREČIOJI MATEMATIKA. LOGIKA. PAVYZDŽIAI Raidėmis U, B ir C pažymėti teiginiai: U = Vitas yra studentas ; B = Skirmantas yra studentas ; C = Jonas yra studentas. 1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai

Διαβάστε περισσότερα

Matematinės analizės egzamino klausimai MIF 1 kursas, Bioinformatika, 1 semestras,

Matematinės analizės egzamino klausimai MIF 1 kursas, Bioinformatika, 1 semestras, MIF kurss, Bioinformtik, semestrs, 29 6 Tolydžios tške ir intervle funkciju pibrėžimi Teorem Jei f C[, ], f() = A , ti egzistuoj toks c [, ], kd f(c) = 2 Konverguojnčios ir diverguojnčios eikutės

Διαβάστε περισσότερα

III. MATRICOS. DETERMINANTAI. 3.1 Matricos A = lentele žymėsime taip:

III. MATRICOS. DETERMINANTAI. 3.1 Matricos A = lentele žymėsime taip: III MATRICOS DETERMINANTAI Realiu ju skaičiu lentele 3 Matricos a a 2 a n A = a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn vadinsime m n eilės matrica Trumpai šia lentele žymėsime taip: A = a ij ; i =,, m, j =,, n čia

Διαβάστε περισσότερα

I.4. Laisvasis kūnų kritimas

I.4. Laisvasis kūnų kritimas I4 Laisvasis kūnų kitimas Laisvuoju kitimu vadinamas judėjimas, kuiuo judėtų kūnas veikiamas tik sunkio jėos, nepaisant oo pasipiešinimo Kūnui laisvai kintant iš nedidelio aukščio h (dau mažesnio už Žemės

Διαβάστε περισσότερα

Diskrečioji matematika

Diskrečioji matematika VILNIAUS UNIVERSITETAS Gintaras Skersys Julius Andrikonis Diskrečioji matematika Pratybų medžiaga Versija: 28 m. sausio 22 d. Vilnius, 27 Turinys Turinys 2 Teiginiai. Loginės operacijos. Loginės formulės

Διαβάστε περισσότερα

Matematinė logika. 1 skyrius Propozicinės formulės. žodį, Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia

Matematinė logika. 1 skyrius Propozicinės formulės. žodį, Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia 1 skyrius Matematinė logika Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia mintį, žodį, protą, sąvoką. Logika arba formalioji logika nagrinėja teisingo mąstymo dėsnius ir formas, kai samprotavimų turinys nėra

Διαβάστε περισσότερα

Algoritmai. Vytautas Kazakevičius

Algoritmai. Vytautas Kazakevičius Algoritmai Vytautas Kazakevičius September 2, 27 2 Turinys Baigtiniai automatai 5. DBA.................................. 5.. Abėcėlė............................ 5..2 Automatai..........................

Διαβάστε περισσότερα

Taikomieji optimizavimo metodai

Taikomieji optimizavimo metodai Taikomieji optimizavimo metodai 1 LITERATŪRA A. Apynis. Optimizavimo metodai. V., 2005 G. Dzemyda, V. Šaltenis, V. Tiešis. Optimizavimo metodai, V., 2007 V. Būda, M. Sapagovas. Skaitiniai metodai : algoritmai,

Διαβάστε περισσότερα

1 Įvadas Neišspręstos problemos Dalumas Dalyba su liekana Dalumo požymiai... 3

1 Įvadas Neišspręstos problemos Dalumas Dalyba su liekana Dalumo požymiai... 3 Skaičių teorija paskaitų konspektas Paulius Šarka, Jonas Šiurys 1 Įvadas 1 1.1 Neišspręstos problemos.............................. 1 2 Dalumas 2 2.1 Dalyba su liekana.................................

Διαβάστε περισσότερα

Ketvirtos eilės Rungės ir Kutos metodo būsenos parametro vektoriaus {X} reikšmės užrašomos taip:

Ketvirtos eilės Rungės ir Kutos metodo būsenos parametro vektoriaus {X} reikšmės užrašomos taip: PRIEDAI 113 A priedas. Rungės ir Kuto metodas Rungės-Kutos metodu sprendiamos diferencialinės lygtys. Norint skaitiniu būdu išspręsti diferencialinę lygtį, reikia žinoti ieškomos funkcijos ir jos išvestinės

Διαβάστε περισσότερα

Modalumo logikos S4 kai kurios išsprendžiamos klasės

Modalumo logikos S4 kai kurios išsprendžiamos klasės VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS INFORMATIKOS KATEDRA Magistro baigiamasis darbas Modalumo logikos S4 kai kurios išsprendžiamos klasės Some Decidable Classes of Modal Logic

Διαβάστε περισσότερα

Remigijus Leipus. Ekonometrija II. remis

Remigijus Leipus. Ekonometrija II.   remis Remigijus Leipus Ekonometrija II http://uosis.mif.vu.lt/ remis Vilnius, 2013 Turinys 1 Trendo ir sezoniškumo vertinimas bei eliminavimas 4 1.1 Trendo komponentės vertinimas ir eliminavimas........ 4 1.2

Διαβάστε περισσότερα

EKONOMETRIJA 1 (Regresinė analizė)

EKONOMETRIJA 1 (Regresinė analizė) EKONOMETRIJA 1 Regresinė analizė Kontrolinis Sudarė M.Radavičius 004 05 15 Kai kurių užduočių sprendimai KOMENTARAS. Kai kuriems uždaviniams tik nusakytos sprendimų gairės, kai kurie iš jų suskaidyti į

Διαβάστε περισσότερα

Matematinis modeliavimas

Matematinis modeliavimas ALGIRDAS AMBRAZEVIƒIUS Matematinis modeliavimas Vilniaus universitetas 2006 2 TURINYS 1 SKYRIUS PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI 4 11 Pagrindines s vokos 4 12 Fundamentaliu gamtos desniu taikymas 10

Διαβάστε περισσότερα

Praeita paskaita. Grafika ir vizualizavimas Atkirtimai dvimatėje erdvėje. Praeita paskaita. 2D Transformacijos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, 2010

Praeita paskaita. Grafika ir vizualizavimas Atkirtimai dvimatėje erdvėje. Praeita paskaita. 2D Transformacijos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, 2010 Praeita paskaita Grafika ir vizualizavimas Atkirtimai dvimatėje erdvėje Atkarpos Tiesės lgtis = mx+ b kur m krpties koeficientas, o b aukštis, kuriame tiesė kerta ašį Susikirtimo taško apskaičiavimui sulginamos

Διαβάστε περισσότερα

Spalvos. Šviesa. Šviesos savybės. Grafika ir vizualizavimas. Spalvos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, Spalvos 1

Spalvos. Šviesa. Šviesos savybės. Grafika ir vizualizavimas. Spalvos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, Spalvos 1 Spalvos Grafika ir vizualizavimas Spalvos Šviesa Spalvos Spalvų modeliai Gama koregavimas Šviesa Šviesos savybės Vandens bangos Vaizdas iš šono Vaizdas iš viršaus Vaizdas erdvėje Šviesos bangos Šviesa

Διαβάστε περισσότερα

DISKREČIOJI MATEMATIKA

DISKREČIOJI MATEMATIKA VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS INFORMATIKOS KATEDRA Valdas Diči ūnas Gintaras Skersys DISKREČIOJI MATEMATIKA Mokymo priemonė Vilnius 2003 Įvadas Išvertus iš lotynu kalbos

Διαβάστε περισσότερα

DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2

DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2 DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2010 m. vasario 23 d. Santrauka Antras laboratorinis darbas skirtas išmokti sudarinėti daugialypės

Διαβάστε περισσότερα

t. y. =. Iš čia seka, kad trikampiai BPQ ir BAC yra panašūs, o jų D 1 pav.

t. y. =. Iš čia seka, kad trikampiai BPQ ir BAC yra panašūs, o jų D 1 pav. LIETUVOS JUNŲ J Ų MTEMTIKŲ MOKYKL tema. TRIGONOMETRIJOS TIKYMI GEOMETRIJOJE (008-00) Terinę medžiagą parengė bei šeštąją uždutį sudarė Vilniaus pedaggini universitet dentas Edmundas Mazėtis Šiame darbe

Διαβάστε περισσότερα

M A T E M A T I K O S P R A K T I K U M A S S U M A T H C A D

M A T E M A T I K O S P R A K T I K U M A S S U M A T H C A D LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS MATEMATIKOS KATEDRA Antanas Lapinskas M A T E M A T I K O S P R A K T I K U M A S S U M A T H C A D (MOKOMOJI KNYGA) AKADEMIJA 006 UDK 0049 (0754) Sudarė: doc dr Antanas

Διαβάστε περισσότερα

eksponentinės generuojančios funkcijos 9. Grafu

eksponentinės generuojančios funkcijos 9. Grafu DISKREČIOJI MATEMATIKA (2 semestras) KOMBINATORIKOS IR GRAFU TEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA I KOMBINATORIKA 1 Matematinės indukcijos ir Dirichlė principai 2 Dauginimo taisyklė,,skaičiuok dukart principas

Διαβάστε περισσότερα

ŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPINĖSE TERPĖSE

ŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPINĖSE TERPĖSE ŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPIĖSE TERPĖSE 43 2.7. SPIDULIUOTĖS IR KŪO SPALVOS Spinduliuotės ir kūno optiniam apibūdinimui naudojama spalvos sąvoka. Spalvos reiškinys yra nepaprastas. Kad suprasti spalvos esmę,

Διαβάστε περισσότερα

Statistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas

Statistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas Statistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas DNR molekulių vaizdas DNR struktūros pakitimai. Keičiantis DNR molekulės formai keistųsi ir visos sistemos entropija. Mielėse esančio DNR struktūros

Διαβάστε περισσότερα

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

1 iš 15 RIBOTO NAUDOJIMO

1 iš 15 RIBOTO NAUDOJIMO iš 5 PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriau 00-06-08 įakymu Nr. 6.-S- 00 m. matematiko valtybinio brando egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė eija 8 uždavinių atakymai Užd. Nr. 5 6 7

Διαβάστε περισσότερα

TIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010

TIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010 TIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010 Tikimybiu teorija nagrin eja atsitiktinius ivykius ir tu ivykiu tikimybes ivykio pasirodymo galimyb es mat, i²reik²t skai iumi p,

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης.

Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης. Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο 2016-17. Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης. 1. Για καθεμία από τις παρακάτω συναρτήσεις ελέγξτε βάσει του ορισμού της παραγωγισιμότητας αν είναι παραγωγίσιμη στο αντίστοιχο

Διαβάστε περισσότερα

II dalis Teisingas atsakymas į kiekvieną II dalies klausimą vertinamas 1 tašku g/mol

II dalis Teisingas atsakymas į kiekvieną II dalies klausimą vertinamas 1 tašku g/mol PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus 05 m. birželio 8 d. įsakymu Nr. (.3.)-V-73 05 M. CHEMIJOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA. Pagrindinė sesija I dalis Teisingas

Διαβάστε περισσότερα

Ekonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė

Ekonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė Ekonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė dėst. T. Rekašius, 2012 m. lapkričio 19 d. 1 Duomenys Visi trečiam laboratoriniam darbui reikalingi duomenys yra tekstinio formato failuose http://fmf.vgtu.lt/~trekasius/destymas/2012/ekomet_lab3_xx.dat,

Διαβάστε περισσότερα

V skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI

V skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI V skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI Uždirbtų palūkanų suma priklauso ne tik nuo palūkanų normos dydžio, bet ir nuo palūkanų kapitalizavimo dažnio Metinė palūkanų norma nevisada atspindi

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 2014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ

LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 2014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ 014 m. birželio 5 d. matematikos valstybinį

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Minimalaus dengiančio medžio radimas

4.3. Minimalaus dengiančio medžio radimas SKYRIUS. ALGORITMAI GRAFUOSE.. Minimalaus dengiančio medžio radimas Šiame skyriuje susipažinsime su minimaliu dengiančiu medžių radimo algoritmais. Pirmiausia sudarysime dvi taisykles, leidžiančias pasirinkti

Διαβάστε περισσότερα

1. Vektoriu veiksmai. Vektoriu skaliarinė, vektorinė ir mišrioji sandaugos

1. Vektoriu veiksmai. Vektoriu skaliarinė, vektorinė ir mišrioji sandaugos 1. Vektoriu veiksmai. Vektoriu skaliarinė, vektorinė ir mišrioji sandaugos Vektoriu užrašymas MAPLE Vektorius MAPLE galime užrašyti daugeliu būdu. Juos grafiškai vaizduosime paketo Student[LinearAlgebra]

Διαβάστε περισσότερα

2 laboratorinis darbas. TIKIMYBINIAI MODELIAI

2 laboratorinis darbas. TIKIMYBINIAI MODELIAI laboratorns darbas laboratorns darbas. TIKIMYBINIAI MODELIAI DARBO TIKSLAS - šstudjuot atstktnų dydžų r vektorų skrstnus, skrstno (passkrstymo) funkcją, tanko funkcją, skatnes charakterstkas r jų savybes.

Διαβάστε περισσότερα

Įvadas į laboratorinius darbus

Įvadas į laboratorinius darbus M A T E M A T I N Ė S T A T I S T I K A Įvadas į laboratorinius darbus Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2005 m. rugsėjo 26 d. Reziumė Laboratorinis darbas skirtas susipažinti su MS Excel priemonėmis

Διαβάστε περισσότερα

Analizės uždavinynas. Vytautas Kazakevičius m. lapkričio 1 d.

Analizės uždavinynas. Vytautas Kazakevičius m. lapkričio 1 d. Analizės uždavinynas Vytautas Kazakevičius m. lapkričio d. ii Vienmatė analizė Faktorialai, binominiai koeficientai. Jei a R, n, k N {}, tai k! = 3 k, (k + )!! = 3 5 (k + ), (k)!! = 4 6 (k); a a(a ) (a

Διαβάστε περισσότερα

Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Informatikos katedra. Gintaras Skersys. Mokymo priemonė

Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Informatikos katedra. Gintaras Skersys. Mokymo priemonė Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Informatikos katedra Gintaras Skersys Klaidas taisančių kodų teorija Mokymo priemonė Vilnius 2005 I dalis Pagrindinės savokos 1 Įvadas Panagrinėkime

Διαβάστε περισσότερα

Arenijaus (Arrhenius) teorija

Arenijaus (Arrhenius) teorija Rūgštys ir bazės Arenijaus (Arrhenius) teorija Rūgštis: Bazė: H 2 O HCl(d) H + (aq) + Cl - (aq) H 2 O NaOH(k) Na + (aq) + OH - (aq) Tuomet neutralizacijos reakcija: Na + (aq) + OH - (aq) + H + (aq) + Cl

Διαβάστε περισσότερα

04 Elektromagnetinės bangos

04 Elektromagnetinės bangos 04 Elektromagnetinės bangos 1 0.1. BANGINĖ ŠVIESOS PRIGIMTIS 3 Šiame skyriuje išvesime banginę lygtį iš elektromagnetinio lauko Maksvelo lygčių. Šviesa yra elektromagnetinė banga, kurios dažnis yra optiniame

Διαβάστε περισσότερα

Vilius Stakėnas. Kodavimo teorija. Paskaitu. kursas

Vilius Stakėnas. Kodavimo teorija. Paskaitu. kursas Vilius Stakėnas Kodavimo teorija Paskaitu kursas 2002 2 I vadas Informacija perduodama kanalais, kurie kartais iškraipo informacija Tarsime, kad tie iškraipymai yra atsitiktiniai, t y nėra nei sistemingi,

Διαβάστε περισσότερα

2.6. IŠVESTINĖ, DIFERENCIJAVIMAS

2.6. IŠVESTINĖ, DIFERENCIJAVIMAS 6 IŠVESTINĖ DIFERENCIJAVIMAS 61 Išvestiės sąvok Fukcijos išvestiės sąvok yr mtemtikos istrumets kurio reikšmę suku įvertiti Glbūt ti glim plygiti su vidus degimo vriklio sukūrimu Diferecijuoti pprsčiusis

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Οι εξισώσεις Bernoulli αποτελούν την κλάση των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

KADETAS (VII ir VIII klasės)

KADETAS (VII ir VIII klasės) ADETAS (VII ir VIII klasės) 1. E 10 000 Galima tikrinti atsakymus. adangi vidutinė kainasumažėjo, tai brangiausia papūga kainavo daugiau kaip 6000 litų. Vadinasi, parduotoji papūga kainavo daugiau kaip

Διαβάστε περισσότερα

= df. f (n) (x) = dn f dx n

= df. f (n) (x) = dn f dx n Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) Ορισμός Cauchy: f (ξ) = lim x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) = f(x) f(ξ) x ξ ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0

Διαβάστε περισσότερα

DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 1

DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 1 DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 1 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2010 m. vasario 9 d. Santrauka Pirmas laboratorinis darbas skirtas išmokti generuoti nesudėtingus

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA. RINKTINIAI MATEMATIKOS SKYRIAI (Informatikos spec., 2 srautas, magistrantūra, 1 semestras) PROGRAMA. su skaidžia savybe skaičiu

TEORIJA. RINKTINIAI MATEMATIKOS SKYRIAI (Informatikos spec., 2 srautas, magistrantūra, 1 semestras) PROGRAMA. su skaidžia savybe skaičiu GRAFU TEORIJA RINKTINIAI MATEMATIKOS SKYRIAI (Informatikos spec, 2 srautas, magistrantūra, 1 semestras) PROGRAMA 1 Pagrindinės sa vokos, pavyzdžiai Grafu veiksmai 2 Grafo parametru sa ryšiai 3 Jungiantysis

Διαβάστε περισσότερα

TERMODINAMIKA. 1. Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai

TERMODINAMIKA. 1. Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai TERMODINAMIKA 1. Pagrindinės sąvks ir apibrėžimai Įvadas Termdinamika (T) graikiškas ždisiš dviejų daliųterm (šiluma) + dinamika (jėga). Tai fundamentalus bendrsis inžinerijs mkslas apie energiją : js

Διαβάστε περισσότερα

Balniniai vožtuvai (PN 16) VRG 2 dviejų eigų vožtuvas, išorinis sriegis VRG 3 trijų eigų vožtuvas, išorinis sriegis

Balniniai vožtuvai (PN 16) VRG 2 dviejų eigų vožtuvas, išorinis sriegis VRG 3 trijų eigų vožtuvas, išorinis sriegis Techninis aprašymas Balniniai vožtuvai (PN 16) VRG 2 dviejų eigų vožtuvas, išorinis sriegis VRG 3 trijų eigų vožtuvas, išorinis sriegis Aprašymas Šie vožtuvai skirti naudoti su AMV(E) 335, AMV(E) 435 arba

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINO PROGRAMA I. BENDROSIOS NUOSTATOS

MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINO PROGRAMA I. BENDROSIOS NUOSTATOS PATVIRTINTA Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministro 0 m. liepos d. įsakymu Nr. V-97 (Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministro 04 m. gruodžio 9 d. įsakymo Nr. V- 7 redakcija) MATEMATIKOS

Διαβάστε περισσότερα

5 paskaita. 5.1 Kompaktiškosios aibės Sąvokos

5 paskaita. 5.1 Kompaktiškosios aibės Sąvokos 5 pskit 5.1 Kompktiškosios ibės 5.1.1 Sąvokos Iš mtemtinės nlizės kurso žinome dvi svrbis prėžtu reliu ju skičiu ibiu svybes. Pirmoji Bolcno-Vejerštrso teorem: bet kuri beglinė prėžt reliu ju skičiu ibė

Διαβάστε περισσότερα

4 laboratorinis darbas. PARAMETRŲ ĮVERČIAI IR STATISTINĖS HIPOTEZĖS

4 laboratorinis darbas. PARAMETRŲ ĮVERČIAI IR STATISTINĖS HIPOTEZĖS PARAMETRŲ ĮVERČIAI IR STATISTINĖS HIPOTEZĖS DARBO TIKSLAS - išstudijuoti parametrų taškiių ir itervaliių įverčių radimo, parametriių ir eparametriių hipotezių tikriimo uždaviius ir jų taikymą Teorijos

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Laboratorinis darbas Nr. 2

Laboratorinis darbas Nr. 2 M A T E M A T I N Ė S T A T I S T I K A Laboratorinis darbas Nr. 2 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2005 m. spalio 23 d. Reziumė Antras laboratorinis darbas skirtas išmokti generuoti tikimybinių skirstinių

Διαβάστε περισσότερα

5 klasė. - užduotys apie varniuką.

5 klasė. - užduotys apie varniuką. 5 klasė - užduotys apie varniuką. 1. Varniukas iš plastilino lipdė raides ir iš jų sudėliojo užrašą: VARNIUKO OLIMPIADA. Vienodas raides jis lipdė iš tos pačios spalvos plastelino, o skirtingas raides

Διαβάστε περισσότερα

d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1

d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1 d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n1 x dx = 1 2 b2 1 2 a2 a b b x 2 dx = 1 a 3 b3 1 3 a3 b x n dx = 1 a n +1 bn +1 1 n +1 an +1 d dx d dx f (x) = 0 f (ax) = a f (ax) lim d dx f (ax) = lim 0 =

Διαβάστε περισσότερα

y(t) S x(t) S dy dx E, E E T1 T2 T1 T2 1 T 1 T 2 2 T 2 1 T 2 2 3 T 3 1 T 3 2... V o R R R T V CC P F A P g h V ext V sin 2 S f S t V 1 V 2 V out sin 2 f S t x 1 F k q K x q K k F d F x d V

Διαβάστε περισσότερα

Atsitiktinių paklaidų įvertinimas

Atsitiktinių paklaidų įvertinimas 4.4.4. tsitiktinių paklaidų įvertinimas tsitiktinės paklaidos įvertinamos nurodant du dydžius: pasikliaujamąjį intervalą ir pasikliaujamąją tikimybę. tsitiktinių paklaidų atveju, griežtai tariant, nėra

Διαβάστε περισσότερα

AUTOMATINIO VALDYMO TEORIJA

AUTOMATINIO VALDYMO TEORIJA Saulius LISAUSKAS AUTOMATINIO VALDYMO TEORIJA Projekto kodas VP1-.-ŠMM-7-K-1-47 VGTU Elektronikos fakulteto I pakopos studijų programų esminis atnaujinimas Vilnius Technika 1 VILNIAUS GEDIMINO TECHNIKOS

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 26/10/2017. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 26/10/2017. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Συνθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκσεις - 26/0/207 Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Οι εξισώσεις Bernoulli αποτελούν την κλάση των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης της

Διαβάστε περισσότερα

1. Įvadas. Laisvųjų dalelių kvantinės mechanikos elementai

1. Įvadas. Laisvųjų dalelių kvantinės mechanikos elementai 1. Įvadas. Laisvųjų dalelių kvantinės mechanikos elementai 1.1. Branduolio nukleonų energijos diskretumo aiškinimas. Dalelė stačiakampėje potencialo duobėje Dalelės banginė funkcija tai koordinačių ir

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA

TEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA DISKREČIOJI MATEMATIKA (2 semestras) KOMBINATORIKOS IR GRAFU TEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA I KOMBINATORIKA 1 Matematinės inducijos principas 2 Dauginimo taisylė 3 Gretiniai, ėliniai ir deriniai 4 Kartotiniai

Διαβάστε περισσότερα

Rinktiniai informacijos saugos skyriai. 3. Kriptografija ir kriptografijos protokolai: Klasikinė kriptografija

Rinktiniai informacijos saugos skyriai. 3. Kriptografija ir kriptografijos protokolai: Klasikinė kriptografija Rinktiniai informacijos saugos skyriai 3. Kriptografija ir kriptografijos protokolai: Klasikinė kriptografija Paskaitos tikslai Šioje temoje nagrinėjami klausimai: Perstatų šifrai Keitinių šifrai Vienos

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINU CENTRAS MATEMATIKA m. valstybinio brandos egzamino uþduotis

LIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINU CENTRAS MATEMATIKA m. valstybinio brandos egzamino uþduotis LIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINU CENTRAS MATEMATIKA 006 m. valstybinio brandos egzamino uþduotis Pagrindinë sesija 006 m. geguþës 17 d. Trukmë 3 val. Nacionalinis

Διαβάστε περισσότερα