Paskait u konspektas. Jam padėjo Aristidas Vilkaitis ir Donatas Šepetys 2006 metais

Transcript

1 Paskait u konspektas AKTUARINĖ MATEMATIKA Surašė Jonas Šiaulys Ja padėjo Aristidas Vilkaitis ir Donatas Šepetys 26 etais Naudota literatūra Bowers N.L., Gerber H.U., Hickan J.C., Jones D.A., Nesbitt C.J., Actuarial Matheatics.The Society of Actuaries, Itasca Falin G.I., Falin A.I., Actuarial Matheatics in Exercises. Fizatlit, Moscow 23. (Rus u kalba).

2 I. Finansiniai skaičiaviai ( santrauka) 1.1 Palūkanos Sakykie laiko oentu t ka nors paskolinoe pinig u su a C. Po laiko h natūralu laukti, kad pinig u sua C pavirs i su a C + C, kur C >. Santykis i C vadinaas palūkan u nora nagrinėjau laikotarpiu C [t, t + h]. Paprastai palūkan u nora skaičiuojaa fiksuota laikotarpiui. Dažniausiai pasitaikantis laikotarpis vieneri etai. 1.2 Paprastosios ir sudėtinės palūkanos Sakykie pinig u sua C investuojaa dvies vienas po kito einanties laikotarpias. Be to, piro laikotarpio palūkan u nora i 1, o antro i 2. Palūkanos C bendra laikotarpiui gali būti skaičiuojaos dvie būdais: (a) Palūkanos skaičiuojaos tik nuo investuotos suos C. Šiuo atveju palūkanos bendra laikotarpiui: C C i 1 + C i 2. Vadinasi, viso laikotarpio palūkan u nora i C C i 1 + i 2. Toks palūkan u skaičiavio būdas vadinaas paprast uj u palūkan u principu. (b) Palūkanos antra laikotarpiui skaičiuojaos ne tik investuotai suai C, bet ir pirajae laikotarpyje sukauptos palūkanos. Šiuo atveju, per vis a laikotarpi sua C išaugs iki dydžio: C C(1 + i 1 )(1 + i 2 ). 2

3 Viso laikotarpio palūkan u nor a i randae iš lygybės: Taigi C(1 + i) C(1 + i 1 )(1 + i 2 ). i i 1 + i 2 + i 1 i 2. Toks palūkan u skaičiavio būdas vadinaas sudėtini u palūkan u principu. Aktuarinėje ateatikoje naudojaas tik sudėtini u palūkan u principas. Kadangi draudias, ypač ilgalaikis, glaudžiai susijȩs su investicijois, palūkan u nora naudojaa daugelyje aktuarinės ateatikos skaičiavi u. Palūkan u nora priklauso nuo investicinės aplinkos būklės, kuri a savo ruožtu i takoja ekonoikos vystyasis, bank u ir investicini u i oni u veikla. Norėdai išvengti didelės rizikos, draudio i onės savo skaičiaviuose naudoja ažesnes palūkan u noras už tas, kurios realiai egzistuoja rinkoje. Šios nustatoos palūkan u noros reikalingos ta, kad kaip nors būt u galia prognozuoti pinig u, gauna u iš draudėj u, augi a. Draudio bendrovės nustatyta būsi u palūkan u nora vadinaa technine palūkan u nora. Šiuo etu draudio bendrovės savo skaičiaviuose naudoja techninȩ palūkan u nor a iš intervalo [.3,.35]. Realiai draudio bendrovės investuoja draudėj u pinigus žyiai palankesnėis s alygois, t.y. su žyiai aukštesne palūkan u nora. Skirtuas tarp realios palūkan u noros ir techninės palūkan u noros yra pagrindinis draudiko paja u šaltinis. 1.3 Kapitalo kaupias Sakykie laiko oentu t investuojaa pinig u sua C laikotarpiui [; t]. Sakykie etinė palūkan u nora lygi i. Tada laiko oentu t kapitalas C pavirs i kapital a C(t) C(1 + i) t. Dydis A(t) (1 + i) t vadinaas kaupio koeficientu laikotarpiui t. 3

4 1.4 Palūkan u galia Palūkan u galia δ t tai oentinis santykinis kapitalo augio greitis, t.y.: δ t li t C(t + t) C(t). t C(t) Jeigu funkcija C(t) diferencijuojaa, kai kintaasis t priklauso kokia tai intervalui, tai tae intervale C(t + t) C(t) δ t li t t C(t) Esant pastoviai etinei palūkan u norai i, Todėl bet kuria teigiaa t Vadinasi, bet kuria t > C(t) C(1 + i) t. C (t) C(t) (ln C(t)). (ln C(t)) (ln(c (1 + i) t )) ln(1 + i). δ δ t ln(1 + i). Iš čia e δ 1 + i, i e δ 1. Esant pastoviai palūkan u galiai, kapitalo kaupio koeficient a A(t) galia išreikšti taip: A(t) e δt. Jei palūkan u galia δ t laikui bėgant kinta, tai: t A(t) e δudu. 1.5 Noinalios palūkan u noros Sakykie nagrinėjae laiko interval a, kurio ilgis 1/p. Standartinis intervalo ilgis aktuarinėje ateatikoje yra lygus etas. Vadinasi: 4

5 kai p 12 nagrinėjaas ėnesio laikotarpis; kai p 4 nagrinėjaas ketvirtis; kai p 2 nagrinėjaas pusetis. Jei etinė palūkan u nora pastovi ir lygi i, tai palūkan u nora laikotarpiui 1/p lygi (1 + i) 1 δ p 1 e p 1. i (p) Aktuarinėje ateatikoje lėšos investuojaos laikotarpiui 1/p dažnai apibūdinaos ne palūkan u nora i (p), o noinalia palūkan u nora i (p) p i (p) p(e δ p 1) p((1 + i) 1 p 1) Kartais dydis i (p) dar vadinaas noinalia palūkan u nora skaičiuojaa dažnuu p. 1.6 Diskontas Tarkie pinigai investuojai su pastovia etine palūkan u nora i. Sakykie prabėgus laikui t (t > ) es turie išokėti kažkoki a su a C. Ta, kad laiko oentu t turėtue reikia a su a C, esau laiko oentu t es turie investuoti su a: P C(1 + i) t. Iš ties u, esant etinei palūkan u norai i, po laiko t sua P pavirs i su a: P (1 + i) t C Dydis P vadinaas kapitalo C dabartine verte. O dydis ν i e δ vadinaas diskonto daugikliu. Panaudojus ν dabartinȩ kapitalo C vertȩ galia užrašyti taip: P C ν t. 5

6 1.7 Diskonto nora Sakykie laiko oentu t skolinae su a C laikotarpiui t 1 su etine palūkan u nora i. Sakykie palūkanas norie gauti dabar. Laiko oentu t 1 skolininkas turės gr ažinti su a C(1 + i). Palūkan u dalis šioje suoje lygi i C. Ši u palūkan u dabartinė vertė lygi: ν i C i C i. Taigi skolininkas norėdaas suokėti palūkanas iš anksto turi suokėti su a C i/(1 + i) Dydis d i/(1 + i) vadinaas diskonto nora sutartinia laiko vienetui, paprastai vieneries etas. Nesunku pastebėti, kad : d 1 ν 1 e δ. Sakykie dabar, kad sua C 1 skolinaa laikotarpiui 1/p. Vėl gi sakykie, kad norie iš anksto gauti palūkanas. Laikotarpio 1/p pabaigoje sua C 1 padidės dydžiu: i (p) Šio dydžio dabartinė vertė: i(p) p (1 + i) 1 p 1. ( ) 1 ( ) 1 1 i (p) p 1 p i 1 + i Kadangi i/(1 + i) d, tai diskonto nor a laikotarpiui 1/p galie išreikšti taip: ( ) 1 1 p (1 d) p : d (p). 1 + i Aktuarinėje ateatikoje be diskonto noros laikotarpiu 1/p dažnai naudojaas kitas dydis noinali diskonto nora laikotarpiui 1/p : d (p) p d (p) p (1 (1 d) 1 p ). 6

7 1.8 Deterinuoti anuitetai (rentos) Sakykie investicinė i onė turi atlikti eilȩ išok u ta tikrais laiko oentais. Be to, sakykie ta pati i onė gaus eilȩ i ok u irgi ta tikrais laiko oentais. Norint palyginti i ok u ir išok u srautus, visos išokos ir i okos turi būti diskontuotos ta tikra laiko oentui, pvz. t. Tegul išokos b i bus išokaos oentais t i, t.y.: sua b 1 išokaa laiko oentu t 1, sua b 2 išokaa laiko oentu t 2,... sua b n išokaa laiko oentu t n. O i okos c i tegul bus gaunaos oentais τ i : sua c 1 i okaa oentu τ 1, sua c 2 i okaa oentu τ 2,... sua c i okaa oentu τ. Vis u i šok u dabartinė vertė (vertė laiko oentu t ) yra lygi: O i ok u dabartinė vertė yra lygi: β b 1 ν t 1 + b 2 ν t b n ν t n. γ c 1 ν τ 1 + c 2 ν τ c ν τ. Aišku, kad i onė galės i vykdyti savo i sipareigojius, jeigu γ bus didesnė už β. Aukščiau nusakėe bet kokius okėji u srautus. Specialiu būdu atliekaus okėji u srautus paprastai vadinae deterinuotais anuitetais arba deterinuotois rentois. Toliau šiae skyriuje aptarsie kelet a deterinuot u anuitet u. Juos aprašydai žodeli deterinuoti paprastuo dėlei praleisie. Deterinuoti anuitetai iš esės skiriasi nuo gyvenio anuitet u. Pastarieji bus nagrinėjai vėliau, ketvirtae skyriuje. 7

8 1.9 Vėluojantis anuitetas (renta) Sakykie laiko intervalas (, n) dalijaas i n dali u ir kiekvieno iš laiko interval u (, 1), (1, 2),..., (n 1, n) gale okaa sua lygi n 1 n Aprašyta okėji u srautui dabartinė vis u okėji u vertė (vertė oentu t ) lygi a n ν + ν 2 + ν ν n 1 νn. i Sukauptoji vis u okėji u vertė (vertė oentu t n) Aišku, kad s n (1 + i) n 1 + (1 + i) n (1 + i) + 1 (1 + i)n 1. i bet kuria natūrali aja skaičiui n. a n s n ν n, s n a n (1 + i) n 1.1 Išankstinis anuitetas (renta) Sakykie laiko intervalas (, n), n N, dalijaas i n dali u ir kiekvieno iš laiko interval u (, 1), (1, 2),..., (n 1, n) pradžioje okaa sua lygi n 2 n 8

9 Šiuo atveju dabartinė vis u okėji u vertė (vertė oentu t ) ä n 1 + ν + ν 2 + ν ν n 1 1 νn. d Sukauptoji vis u okėji u vertė (vertė oentu t n) s n (1 + i) n + (1 + i) n (1 + i) (1 + i)n 1. d Nesunku pastebėti, kad naggrinėjaa okėji u srautui Be to visies natūraliesies n ä n s n ν n, s n ä n (1 + i) n, n N. a n ä n 1 + ν n Atidėti anuitetai (rentos) Sakykie laiko intervalas (, n + ), n, N, dalijaas i n + dali u. Sakykie sua lygi 1 okaa kiekvieno iš interval u (, + 1), ( + 1, + 2),..., ( + n 1, + n) gale, o pradiniuose intervaluose okėjiai nevyksta. (, 1), (1, 2),..., ( 1, ) n + 1 n + Toks okėji u srautas vadinaas atidėtu vėluojančiu anuitetu arba atidėta vėluojančia renta. Tokia okėji u srautui dabartinė vis u okėji u vertė (vertė laiko oentu t ) a n ν +1 + ν ν +n ν a n. 9

10 Jeigu sua lygi 1 okaa kiekvieno iš interval u (, + 1), ( + 1, + 2),..., ( + n 1, + n) pradžioje, o pradiniuose laiko intervaluose (, 1), (1, 2),..., ( 1, ) okėjiai nevyksta, tai toks okėji u srautas vadinaas atidėtu išankstiniu anuitetu arba atidėta išankstine renta. Tokia anuitetui dabartinė vis u būsi u okėji u vertė ä n ν + ν ν +n 1 ν ä n Anuitetai okai dažnuu p Tarkie visi laiko intervalai (, 1), (1, 2),..., (n 1, n), n N, dalijai i p, p N, lygi u dali u ir kiekvieno gauto intervaliuko pabaigoje okaa sua 1/p. Gautasis okėji u srautas vadinaas vėluojančiu anuitetu okau dažnuu p arba vėluojančia renta okaa dažnuu p. Aišku, kad okėjiai vyksta oentais 1 p, 2 p,..., 1, p, p,..., 2,..., n p, n 1 + 2,..., n, p o iš viso atliekae n p okėji u. Tegul: a (p) n s (p) n - tokio anuiteto dabartinė vertė, - tokio anuiteto sukauptoji vertė. Jei okėjiai vyksta kiekvieno ažo laiko intervaliuko pradžioje, o okaa sua, kaip ir ankstesniu atveju, lygi 1/p, tai gautasis okėji u srautas vadinaas išankstiniu anuitetu okau dažnuu p arba išankstine renta okaa dažnuu p. Šiuo atveju okėjiai vyksta laiko oentais, 1 p, 2 p,..., 1, p, p..., n p, n p,..., n 1 + p 1 p, o okėji u, kaip ir ankstesniu atveju, atliekae n p. Tegul: 1

11 ä (p) n - tokio anuiteto dabartinė vertė, s (p) n Aišku, kad: - tokio anuiteto sukauptoji vertė. Be to: a (p) n ä (p) n s (p) n s (p) n a (p) n ν n, s (p) n ν n, s (p) n ä (p) n a (p) n ä (p) n 1 p + 1 p νn (1 + i) n (1 + i) n Vadinasi, norint paskaičiuoti dydžius a (p) n, s (p) n, ä (p) n, s (p) n, pakanka rasti vien a iš užrašyt u dydži u. Rasie ä (p) n išraišk a. Vietoje vienetinio ilgio laiko intervalo ikie p- aj a jo dali. Tada šio intervaliuko palūkan u nora yra i (p) o šio intervaliuko diskonto nora yra: (1 + i) 1 p 1 i (p) p, 1 (1 d) 1 p d (p) p. Vadinasi, intervaliuko diskonto koeficientas ν (p) i (p) ( ) 1 1 p 1 ν p. 1 + i Išankstini anuitet a, oka a dažnuu p intervale (, n) galia i sivaizduoti kaip išankstini anuitet a intervale (, np), tik su kitais palūkan u ir diskonto paraetrais. Kadangi kiekvienu okėjio oentu okaa sua lygi 1/p, tai: ä (p) n ä (p) n (i) 1 p än p (i (p) ). Pasinaudojȩ skyrelio 1.1 forulėis, gaunae: Taigi ä (p) n 1 p 1 (ν(p) ) np d (p) ä (p) n O iš s aryšio tarp dydži u ä (p) n 1 p 1 (ν 1 p ) np d (p) p 1 νn d d (p) d ä (p) n. ir a (p) n išplaukia, kad a (p) n i i (p) a n. 1 νn d (p). 11

12 1.13 Tolygūs anuitetai Nesunku pastebėti, kad Analogiškai li p d(p) li p(1 (1 d) 1 p ) li p(1 (1 + e δ ) 1 p ) p p li p p(1 e δ p ) li 1 e p 1 p δ p ln e δ δ. li x (e δx 1) x li p i(p) li p((1 + i) 1 p 1) li p(e δ p 1) δ. p p Vadinasi, d li p ä(p) n p li d (p) än d δ än 1 νn, δ i li p a(p) n p li i a (p) n i δ a n 1 νn. δ Gaut a rezultat a nesunku paaiškinti. Iš ties u, esant be galo ažies laiko intervalas, nėra skirtuo kada okai pinigai intervalo pradžioje ar pabaigoje. Gautasis ribinis (kai p ) okėji u srautas vadinaas tolygiu anuitetu. Toki okėji u sraut a galia palyginti su skysčio tekėjiu per laiko vienet a išteka vienas vienetas. Mokėjiai vyksta intervale (, n) be perstojo, tolygiai. Per kiekvienus etus išokaa (arba suokaa) sua lygi 1. Tolygaus anuiteto atvėju dabartinė okėji u vertė (būsi u okėji u vertė oentu t ) lygi ā n n ν n dt n Galia i rodyti, kad didelies p ( ä (p) n ā n 1 + δ ) 2p e δt dt 1 νn. δ + o ( ) 1 p ir ( a (p) n ā n 1 δ ) ( ) 1 + o. 2p p 12

13 Tolygus anuitetas yra atskiras tolydaus anuiteto atvejis. Tolydus anuitetas tai okėji u srautas laiko intervale (, n), kuri nusako lėš u patekio greitis w(t), priklausantis nuo laiko t. Tokia anuitetui dabartinȩ būsi u okėji u vertȩ nusako integralas n ν t w(t)dt. 13

14 II. Išgyvenio odeliai (santrauka) Kada irs kuris nors pasirinktas asuo - niekas negali tiksliai pasakyti. Vadinasi, žogaus gyvenio trukė X yra neneigiaas atsitiktinis dydis. Atsitiktinis dydis tai išatuojaa funkcija atvaizduojanti kažkoki a tikiybinȩ erdvȩ (Ω, A, P) i reali u skaiči u aibȩ R. Tikiybinės erdvės (Ω, A, P) apsprendžiančios žogaus gyvenio trukȩ X struktūra deja neaiški. Vadinasi, norint išiaiškinti atsitiktinio dydžio X charakteristikas belieka taikyti statistinius etodus. Ta reikia nagrinėti pakankaai didelȩ žoni u grupȩ. Paprastuo dėlei galie laikyti, kad atsitiktinis dydis X yra absoliučiai tolydus. Kaip žinoe neneigiaas atsitiktinis dydis X vadinaas absoliučiai tolydžiu, jeigu egzistuoja neneigiaa integruojaa funkcija f(x), vadinaa tankio funkcija, kuriai P (X < x) x f(u)du, x [, ). Tokia prielaida palengvina gyvenio trukės X nagrinėji a ir neprasilenkia su sveiku protu. Taigi šio skyriaus piroji esinė prielaida tokia: Žogaus gyvenio trukė X yra absoliučiai tolydus atsitiktinis dydis. Antra vertus, nustatyti atsitiktinio dydžio X tikrus paraetrus, kaip jau inėjoe, galia tik stebint šio atsitiktinio dydžio realizacijas. Ta, kad ši procedūra būt u i anoa, skirting u žoni u gyvenio trukes laikoe nepriklausoois atsitiktinio dydžio X kopijois. Taigi antroji šio skyriaus esinė prielaida tokia: Skirting u žoni u gyvenio trukės X 1, X 2,..., X n bet kuria n yra nepriklausoi vienodai pasiskirstȩ atsitiktiniai dydžiai. 14

15 2.1 Išgyvenio funkcija Gyvenio trukės X, kaip ir bet kurio kito atsitiktinio dydžio, pagrindinės charakteristikos yra šios: (1) gyvenio trukės pasiskirstyo funkcija (2) išgyvenio funkcija F (x) P(X < x), s(x) 1 F (x) F (x) P(X x). Kadangi X yra neneigiaas atsitiktinis dydis, tai abi funkcijos apibrėžtos intervale [, ), o reikšes ģyja intervale [, 1]. Atsitiktinio dydžio X pasiskirstyo funkcija F (x) lygi tikiybei, kad žogus nesulauks x et u, o išgyvenio funkcija s(x) rodo tikiybȩ, kad žogus sulauks x et u. Nesunku pastebėti tokias išgyvenio funkcijos savybes: (1) s(x) nedidėja, kai x, (2) s() 1, (3) s(+ ), (4) s(x) tolydi apibrėžio srityje. Aptarsie statistinȩ išgyvenio funkcijos prasȩ. Sakykie nagrinėjae žoni u grupȩ iš l individ u su gyvenio trukėis X 1, X 2,..., X l. Sakykie L(x) yra likusi u gyv u ažiaus x individ u skaičius iš pradinės grupės. Kadangi individ u gyvenio trukės X 1, X 2,..., X l yra nepriklausoi vienodai pasiskirstȩ atsitiktiniai dydžiai, tai pažyėjȩ l x EL(x) gaunae: l l l x EL(x) E 1 (Xi x) E ( ) 1 (Xi x) l i1 i1 P(X i x) l s(x). 15 i1

16 Vadinasi, bet kuria neneigiaa realia skaičiui x s(x) l x l, čia l x, kaip jau inėjoe, yra vidutinis ažiaus x individ u skaičius iš pradinės grupės l 2.2 Mirtinguo kreivė Kadangi žogaus gyvenio trukė X yra absoliučiai tolydus atsitiktinis dydis, tai šio dydžio pasiskirstyo funkcija F (x) turi tanki f(x). Aišku, kad: f(x) F (x) (1 F (x)) s (x) Dydis l f(x) akturarinėje ateatikoje vadinaas irties kreive. Aptarsie irties kreivės statistinȩ prasȩ. Nagrinėjae žoni u grupȩ l. Sakyki- e D(x) yra irusi uj u x-eči u iš grupės l skaičius. Tada Vadinasi, d x ED(x) E(L(x) L(x + 1)) l x l x+1. l f(x) l s (x) l li x Paskutinėje išraiškoje pasirinkȩ x 1, gaunae: s(x + x) s(x). x l f(x) l (s(x) s(x + 1)) l x l x+1 d x. Taigi l f(x) d x, kur d x - vidutinis irusi uj u x-eči u iš pradinės grupės l skaičius. Žinant irties kreivȩ l f(x) nesunku rasti s(x). Iš ties u: s(x) x f(u)du. 16

17 2.3 Mirtinguo galia Bet kuria neneigiaa realia x dydis µ x f(x) s(x) (x) s s(x) vadinaas irtinguo galia. Šioje forulėje, kaip ir anksčiau, f(x) yra gyvenio trukės X tankio funkcija, o s(x) yra išgyvenio funkcija. Iš apibrėžio išplaukia, kad: s(x) e x µ udu. Vadinasi, irtinguo galia µ x irgi gali būti laikoa pagrindinė gyvenio trukės X charakteristika, nes turėdai µ x nesunkiai galie surasti s(x) ir F (x). 2.4 Skaitinės gyvenio trukės charakteristikos Gyvenio trukȩ X apibūdina šio atsitiktinio dydžio pagrindinės charakteristikos: X pasiskirstyo funkcija, išgyvenio funkcija, irtinguas. Tačiau kartais i vairiose situacijose užtenka žinoti tik ta tikrus atsitiktinio dydžio skaitinius paraetrus. Dažniausiai naudojaos šios gyvenio trukės X skaitinės charakteristikos: (1) vidutinė gyvenio trukė (2) gyvenio trukės dispersija e EX xf(x)dx s(x)dx, DX EX 2 (EX) 2, čia EX 2 yra atsitiktinio dydžio X antrasis oentas, t.y., EX 2 x 2 f(x)dx 2 xs(x)dx, 17

18 (3) gyvenio trukės ediana (). Mediana - tai ažius, kurio sulaukia pusė pradinės grupės nari u. Ji paprastai randaa naudojantis kuria nors žeiau užrašyta lygybe: s(()) 1 2, 1 F (()) 1 2, P(X ()) 1 2, l () l Analizinės išgyvenio funkcijos Statistiniai tyriai rodo, kad žogaus gyvenio trukės X tikrasis pasiskirstyas turi gana sudėting a pavidal a. Todėl nuo seno buvo bandoa parinkti skirstinio pavidal a, kuris, būt u kiek i anoa paprastesnis ir, antra vertus, kuo tiksliau aprašyt u žogaus gyvenio trukȩ. Šiae skyrelyje pateiksie kelet a klasikini u bandy u žogaus gyvenio trukȩ aprašyti naudojant gana paprastas analizines funkcijas. (1) De Muavro 1729 etais pasiūlyta versija. Gyvenio trukė tolygiai pasiskirsčiusi intervale (, ω), kažkokia teigiaa skaičiui ω. Kitaip tariant, atsitiktinio dydžio X tankis turi pavidal a f(x) 1 ω, < x < ω. Konstanta ω užrašytoje išraiškoje yra aksialus i anoas žogaus ažius. Nesunku paskaičiuoti, kad de Muavro pasiūlytu atveju: F (x) x ω, < x < ω, s(x) 1 x ω, < x < ω, µ x 1 ω x, < x < ω. 18

19 (2) Gopertz 1825 etais pasiūlyta versija. Žogaus gyvenio trukės irtinguas turi pavidal a µ x Be αx, x, kur paraetrai B >, α > randai naudojant statistinius duoenis. Šie paraetrai aišku priklauso nuo vietovės, kurioje gyvena, nuo lyties, nuo žogaus darbo ir panaši u faktori u. Nesunku paskaičiuoti, kad Goperc pasiūlytai irtinguo išraiškai: s(x) e B(eαx 1) α, x, F (x) 1 e B(eαx 1) α, x, f(x) Be αx e B(eαx 1) α, x. (3) Makeha 186 etais pasiūlyta versija. Žogaus gyvenio trukės irtinguas turi pavidal a µ x A + Be αx, x, kur paraetrai A B, α >, B >, kaip ir ankstesnės versijos atveju randai iš statistini u duoen u. Makeha pasiūlytos versijos atveju s(x) e Ax B eαx 1 α, x, f(x) (A + Be αx )e Ax B eαx 1 α, x. (4) Weibul 1939 etais pasiūlyta versija. Žogaus gyvenio trukės irtinguas turi pavidal a µ x cx n, x, kur paraetrai c >, n > suderinti su statistiniais duoeniis. Šiuo atveju: s(x) e c n+1 xn+1,, f(x) cx n e c n+1 xn+1, x. 19

20 2.6 Likusio gyvenio trukė Negiȩ asenys i draudio kopanijas nesikreipia. Jeigu pilietis kreipiasi i draudio kopanij a, tai jis akivaizdžiai turi x, x, et u. Toliau garbing a aseni turinti x et u žyėsie (x). Visus nealonius atsitik- tinuus, gresiančius (x), natūralu nagrinėti su s alyga X x. Taigi aseniui (x) natūralu nagrinėti ne viso gyvenio trukȩ X, o likusio gyvenio trukȩ T x X x. Aišku, kad atsitiktinio dydžio T x skirstini nusako atsitiktinio dydžio X x skirstinys su s alyga X x. Toliau aptarsie pagrindinius dydžius aprašančius būsio gyvenio trukȩ T x. tq x tikiybė, kad (x) irs per artiiausius t et u, tq x P(T x < t) P(X x < t X x) F (x + t) F (x) 1 F (x) s(x) s(x + t) s(x) tp x tikiybė, kad (x) išgyvens dar bent t et u, tp x P(T x t) 1 t q x s(x + t) s(x) P(x X < x + t) P(X x) l x l x+t l x. l x+t l x. p x 1 p x tikiybė, kad (x) išgyvens bent etus. Nesunku pastebėti, kad tp x p x p x+1... p x+t 1, t N. q x 1 q x tikiybė, kad (x) irs per artiiausius etus t uq x tikiybė, kad (x) išgyvens t et u, bet irs per sekančius u et u, t uq x P(t T x < t + u) t+u q x t q x s(x + t) s(x + t + u) l x+t l x+t+u. s(x) l x t q x tikiybė, kad asuo x išgyvens t et u ir nuirs per sekančius etus, t q x t 1 q x s(x + t) s(x + t + 1) s(x) 2 l x+t l x+t+1 l x.

21 f x (t) atsitiktinio dydžio T x tankio funkcija, ( ) s(x) s(x + t) f x (t) (P(T x < t)) ( t q x ) s (x + t) s(x) s(x) ( ) f(x + t) s(x + t) s (x + t) t p x µ x+t. s(x) s(x) s(x + t) e x būsios gyvenio trukės vidurkis, e x t f x (t)dt td( t q x ) t tp x µ x+t dt td( t p x ) s(x + t) dt 1 s(x) s(x) x s(u)du. tp x dt tdp(t x < t) e x:n dalinis būsios gyvenio trukės vidurkis. Šis dydis rodo kiek vidutiniškai et u asuo x pragyvens per artiiausius n et u. e x:n E(in(T x, n)) 1 x+n s(x) s(u)du. x DT x E(T 2 x ) (ET x ) 2 būsios gyvenio trukės dispersija. Nesunku i rodyti, kad ETx 2 2 s(x) t s(x + t)dt. 2.7 Sveikareišė likusio gyvenio trukė Labai dažnai gyvybės draudio i onės sutartis su klientais sudaro suapvalinta et u skaičiui. Todėl šalia dydžio T x X x aktuarinėje ateatikoje nagrinėjaas dydis K x [T x ]. Kadangi K x i gyja tik neneigiaas sveikas reikšes, tai K x skirstini nusako tikiybės P(K x k), k, 1, 2,

22 Aišku, kad: P(K x k) P([T x ] k) P(k T x < k + 1) k 1 q x k q x s(x + k) s(x + k + 1) l x+k l x+k+1 d x+k, s(x) l x l x e x EK x k P(K x k) k k q x k kp x q x+k k1 k1 k1 s(x + k) s(x + k + 1) k 1 s(x + k), k1 s(x) s(x) k1 DK x E(K x ) 2 (EK x ) 2, E(K x ) 2 k 2 kp x q x+k 2 (k s(x + k)) e x. k1 s(x) k1 Iš gautos e x išraiškos išplaukia, kad 1 e x (s(x + 1) + s(x + 2) +...) s(x) s(x + 1 s(x + 1) + (s(x + 2) + s(x + 3) +...) s(x) s(x) p x + p x e x+1 p x (1 + e x+1 ) (1 q x )(1 + e x+1 ). Vadinasi, bet kuria x q x 1 + e x+1 e x 1 + e x Mirtinguo lentelės Statistinius duoenis apie ta tikros individ u grupės gyvenio trukȩ patogu surašyti i lentelȩ. Gauta lentelė paprastai vadinaa irtinguo lentele. Mirtinguo lentelėje pateikiaa inforacija apie atsitiktinai pasirinkto asens iš ta tikros grupės gyvenio trukȩ, priklausoai nuo jo 22

23 ažiaus x. Mirtinguo lentelė atspindinti visos individ u grupės elgesi vadinaa bendr aja irtinguo lentele. Norint išsprȩsti koki nors draudio procese atsirandanti uždavini, us pakanka žinoti vien tik išgyvenio funkcijos s(x) reikšes. Tačiau bendroje irtinguo lentelėje dažnai pateikiai ir kiti duoenys, susiejȩ su (x) gyvenio truke. Būtent: l x l s(x) - vidutinis sulaukusi u x et u individ u skaičius iš pradinės grupės l, d x l x l x+1 - vidutinis grupės individ u skaičius, kurie irė sulaukȩ ažiaus x, q x d x lx - tikiybė, kad atskiras individas irs turėdaas x et u, e x - x et u sulaukusio individo būsio gyvenio trukė. Dažniausia irtinguo lentelėse naudojaas laiko atas yra lygus vieneries etas. Taigi nurodyt u funkcij u reikšės pateikiaos oentais x, 1, 2,.... Akivaizdu, kad bet kurioje šalyje, taigi ir Lietuvoje, yra didelės žoni u grupės su skirtingois gyvenio trukės charakteristikois. Pvz.: vyr u irtinguas yra žyiai didesnis negu oter u; na u šeiininki u irtinguas yra žyiai ažesnis negu vairuotoj u; asen u, kurie edik u pripaži stai tinkai darbui, irtinguas žyiai ažesnis, negu t u, kuries suteikiaa kokia nors invaliduo grupė; ir panašiai. Mirtinguo lentelės, sudarytos ta tikros visuoenės grupės, vadinaos pasirinktinėis irtinguo lentelėis. Kartais žogus negali pasirinkti vienos ar kitos visuoenės grupės. Pavyzdžiui, vyras negali tapti oterii, šachtininkui sunku tapti na u šeiininke, sveika žogui sunku tapti invalidu ir panašiai. Tačiau dažnai atskiras asuo gali pasirinkti ta tikr a visuoenės grupȩ. Pavyzdžiui, norėdaas apsidrausti gyvybȩ žogus privalo pasitikrinti sveikat a. Jei žogus neserga, jis patenka i neserganči uj u grupȩ. Be abejo, tokios grupės irtinguas ažesnis už bendr a tautos irtingu a. Pasirinktinėse irtinguo lentelėse, sudarytos individas, savo noru patekusies i ta tikr a grupȩ, naudojai specialūs pažyėjiai. Kelet a j u painėsie: p [x]+t - tikiybė, kad individas (x + t), prieš t et u patekȩs i grupȩ, pragyvens dar etus, 23

24 q [x]+t - tikiybė, kad individas (x + t), prieš t et u patekȩs i grupȩ, irs per artiiausius etus, up [x]+t - tikiybė, kad individas (x + t), kuris prieš t et u pateko i grupȩ, pragyvens dar u et u, uq [x]+t - tikiybė, kad individas (x + t), kuris prieš t et u pateko i grupȩ, irs per artiiausius u et u. Pastebėta, kad kai kuriose grupėse irtinguo priklausyas nuo laiko, prabėgusio nuo patekio i grupȩ, ažėja laikui bėgant. O po koki u nors r et u visai nelieka skirtuo, ar individas buvo i sirašȩs i grupȩ, ar ne. Laiko tarpas r, po kurio galia nepaisyti, ar individas priklauso grupei, ar ne, vadinaas pasirinkio veikio periodu. Taigi: l [x]+t l x+t, t r. 2.9 Gyvenio trukė - nebūtinai sveikas skaičius Statistiniai duoenys (l x, q x, d x, e x ) irtinguo lentelėse pateikiai tik sveikos x reikšės. Norint rasti inet u funkcij u tarpines reikšes reikia interpoliuoti. Aktuarinėje ateatikoje skirai trys pagrindiniai interpoliavio būdai, kurie reiasi ta tikrois prielaidois apie s(x) pavidal a, kai x nėra sveikas skaičius. Populiariausios yra trys žeiau išvardintos prielaidos. Pira prielaida. Mirtinguas pasiskirstȩs tolygiai. Sakykie, kad išgyvenio funkcija s(x) tiesinė bet kuriae intervale [x, x + 1] kai x natūralusis arba,t.y., s(x + t) (1 t) s(x) + t s(x + 1), x N, t [; 1]. Nesunku i rodyti, kad esant aprašytai prielaidai tq x t q x, tp x 1 t q x, y q x yq x+t, 1 t q x q x µ x+t, 1 t q x f x (t) t p x q x+t q x, 24

25 visies x N, t [; 1], y (; 1), y + t 1. Antra prielaida. Mirtinguo galia pastovi. Sakykie, kad išgyvenio funkcija kinta eksponentiškai bet kuriae intervale [x, x + 1] kai x natūralusis arba,t.y., s(x + t) s(x) e µxt, µ x ln p x, x Z, t [; 1]. Esant aprašytai prielaidai tq x 1 e µ xt, tp x e µ xt, yq x+t 1 e µ xy, µ x+t µ x, f x (t) t p x q x+t e µ xt µ x, visies x N, t [; 1], y [; 1], y + t 1. Trečia prielaida. Balducci prielaida. Sakykie, kad išgyvenio funkcija s(x) tenkina toki a s alyg a 1 s(x + t) 1 t s(x) + t s(x + 1) kai t [; 1] ir x N. Iš Balducci prielaidos išplaukia, kad tq x tq x, 1 (1 t)q x p x tp x, 1 (1 t)q x yq x+t yq x, 1 (1 y t)q x µ x+t q x, 1 (1 t)q x f x (t) p x q x t p x q x+t, 1 (1 t)q x visies x N, t [; 1], y [; 1] ir y + t 1. 25

26 III. Gyvybės draudias Sakykie susiklostė tokia standartinė draudiinė situacija. Draudėjas (x) kreipiasi i draudik a, norėdaas apdrausti savo gyvybȩ. Draudėjas nori, kad jo irties atveju draudikas suokėt u su a, lygi a 1. Draudikui už ši a paslaug a draudėjas nori suokėti vienu okėjiu. Šiae skyriuje bus nagrinėjaa tokios paslaugos kaina. Kadangi draudikas gautus pinigus investuoja, tai draudio kaina priklauso nuo x, nuo techninės etinės palūkan u noros i, nuo draudio terino ir draudio rūšies. 3.1 Draudias, kai išoka okaa iš karto po irties Tarkie, kad draudėjas (x) ir draudikas pasirašė sutarti, pagal kuri a išoka lygi 1 išokaa iš karto po draudėjo irties. Draudėjo likusio gyvenio trukė yra atsitiktinis dydis T x. Būsios išokos dabartinė vertė - taip pat atsitiktinis dydis. Pažyėkie ši dydi Z x. Aišku, kad atsitiktinis dydis Z x priklauso nuo atsitiktinio dydžio T x. Be to, Z x priklauso nuo draudio rūšies. Tiksliai nustatyti būsios išokos dabartinȩ vertȩ Z x nei anoa, tačiau galie rasti pagrindines šio atsitiktinio dydžio charakteristikas. Šiae skyriuje apsiribosie Z x vidurkiu ir dispersija. Atsitiktinio dydžio Z x vidurkis EZ x vadinaas gryn aja vienkartine preija. Toliau šiae skrelyje pateiksie Z x, EZ x ir DZ x išraiškas i vairi u draudio rūši u atveju. Prienae, kad visae šiae skyriuje ν yra diskonto daugiklis (žiūrėkite 1.6 skyreli ), t.y. ν i, kur i etinė palūkan u nora, o sibolis I A žyi i vykio A indikatori u n-et u gyvybės draudias Sua, lygi 1, išokaa draudėjui irus, jei irtis draudėj a užklupo per artiiausius n et u. Kitais atvejais draudėjas negauna nieko. Nagrinėjaoje situacijoje: 26

27 būsiosios išokos dabartinė vertė ν Tx, jei T x n, Z x, jei T x > n, ν T x I Tx n, būsiosios išokos dabartinės vertės vidutinė vertė arba grynoji vienkartinė preija Ā 1 x:n EZ x n ν t f x (t)dt n būsios išokos dabartinės vertės dispersija DZ x 2 Ā 1 x:n (Ā1 x:n ) 2, ν t tp x µ x+t dt, kur 2 Ā 1 x:n EZ 2 x n ν 2t tp x µ x+t dt Draudias iki gyvos galvos Sua, lygi 1, okaa iš kart po (x) irties, nepriklausoai nuo to, kada jis irs. Šiuo atveju: būsiosios išokos dabartinė vertė vienkartinė grynoji preija Ā x EZ x Z x ν T x, ν t f x (t)dt būsios išokos dabartinės vertės dispersija DZ x 2 Ā x (Āx) 2, ν t tp x µ x+t dt, kur 2 Ā x ν 2t tp x µ x+t dt. 27

28 3.1.3 n-et u grynasis kaupias Sua, lygi 1, išokaa po lygiai n et u, jei draudėjas vis dar gyvas. Aprašytu atveju: būsiosios išokos dabartinė vertė, kai T x < n, Z x ν n, kai T x n, ν n I Tx n, vienkartinė grynoji preija A 1 x:n EZ x ν n P(T x n) ν n np x, būsios išokos dabartinės vertės dispersija DZ x 2 A 1 x:n (A 1 x:n ) 2, čia 2 A 1 x:n EZ 2 x ν 2t tp x n-et u kaupiaasis draudias Sua, lygi 1, išokaa, jei draudėjas iršta per artiiausius n et u (okaa iš karto po irties) arba jei draudėjas išgyvena n et u (okaa laikotarpio pabaigoje). Aprašytoje situacijoje: būsiosios išokos dabartinė vertė ν T x, kai T x n, Z x ν T x I ν n Tx n + ν n I Tx >n,, kai T x > n, vienkartinė grynoji preija n Ā x:n EZ x Ā1 x:n + Ax:n 1 ν t tp x µ x+t dt + ν n np x, 28

29 būsios išokos dabartinės vertės dispersija DZ x 2 Ā x:n (Āx:n ) 2, čia 2 Ā x:n n ν 2t tp x µ x+t dt + ν 2t tp x et u atidėtas gyvybės draudias iki gyvos galvos Sua, lygi 1, išokaa draudėjui iš karto po irties, jeigu irtis ji užklupo ne anksčiau kaip po et u. Aišku, kad aprašytoje situacijoje: būsiosios išokos dabartinė vertė, kai T x <, Z x ν Tx, kai T x, ν Tx I Tx, vienkartinė grynoji preija Āx EZ x ν t f x (t)dt būsios išokos dabartinės vertės dispersija DZ x 2 Āx ( Ā x ) 2, ν t tp x µ x+t dt, čia 2 Āx ν 2t tp x µ x+t dt et u atidėtas draudias n etas Sua, lygi 1, išokaa iš karto po draudėjo irties, jeigu irtis ji užklupa ne anksčiau kaip po et u, bet ne vėliau kaip po (n + ) et u. Aprašytoje situacijoje: 29

30 būsiosios išokos dabartinė vertė, kai T x <, Z x ν T x, kai T x, ν T x I <Tx n+, vienkartinė grynoji preija nāx EZ x +n ν t f x (t)dt +n būsios išokos dabartinės vertės dispersija čia, paskutinėje lygybėje, DZ x 2 nāx ( n Ā x ) 2, +n 2 nāx ν 2t tp x µ x+t dt. ν t tp x µ x+t dt, Kaset didėjantis gyvybės draudias iki gyvos galvos Sua lygi 1 išokaa iš karto po draudėjo irties, jei draudėjas iršta pirais etais, sua lygi 2 išokaa iš karto po draudėjo irties, jei draudėjas iršta antrais etais, sua lygi 3 išokaa išx karto po draudėjo irties, jei draudėjas iršta trečiais etais ir t.t. Aprašytu atveju: būsiosios išokos dabartinė vertė vienkartinė grynoji preija (IĀ) x EZ x Z x ν T x [T x + 1], [t + 1]ν t tp x µ x+t dt, būsios išokos dabartinės vertės antrasis oentas EZ 2 x [t + 1] 2 ν 2t tp x µ x+t dt. 3

31 3.1.8 kart u per etus didėjantis draudias iki gyvos galvos Visi etai padalijai i laikotarpi u. Sua lygi 1, išokaa, jei draudėjas iršta pirajae laikotarpyje, sua lygi, išokaa, jei draudėjas 2 3 iršta antrajae laikotarpyje, sua lygi, išokaa, jei draudėjas iršta trečiajae laikotarpyje ir t.t. Aprašytu atveju: būsiosios išokos dabartinė vertė vienkartinė grynoji preija (I () Ā) x EZ x Z x ν Tx [T x + 1], [t + 1] ν t tp x µ x+t dt, būsios išokos dabartinės vertės antrasis oentas EZ 2 x 2 [t + 1] ν 2t tp x µ x+t dt Tolygiai didėjantis gyvybės draudias iki gyvos galvos Sua lygi t, (išatuota etais) okaa iš karto po draudėjo irties. būsiosios išokos dabartinė vertė Z x T x ν Tx, vienkartinė grynoji preija (ĪĀ) x EZ x tν t tp x µ x+t dt, būsios išokos dabartinės vertės antrasis oentas EZ 2 x 31 t 2 ν 2t tp x µ x+t dt.

32 3.1.1 n-et u ažėjantis gyvybės draudias Sua lygi n, išokaa, jei draudėjas (x) iršta pirais etais po sutarties pasirašyo, sua n 1 išokaa, jei draudėjas (x) iršta antrais etais po sutarties pasirašyo, sua lygi n 3 išokaa, jei draudėjas iršta trečiais etais po sutarties pasirašyo ir t.t. Šiuo atveju: būsiosios išokos dabartinė vertė vienkartinė grynoji preija Z x ν Tx (n [T x ])I Tx n, (DĀ)1 x:n EZ x n (n [t])ν t tp x µ x+t dt, būsios išokos dabartinės vertės antrasis oentas EZ 2 x n ν 2t (n [t]) 2 tp x µ x+t dt. 3.2 Draudias kai išokaa okaa irties et u pabaigoje Tarkie draudėjas (x) pasirašė sutarti pagal kuri a draudio išoka bus išokaa ne iš karto po draudėjo irties, o draudėjo irties et u pabaigoje. Esant tokios draudio s alygos būsios išokos dabartinė vertė Z x yra atsitiktinis dydis priklausantis ne nuo T x, o nuo K x [T x ]. Skyrelyje 2.3 buvo gauta lygybė: P(K x k) P(k < T x < k + 1) k 1 q x t p x q x+k, k, 1, 2,.... Naudojantis šiuo K x skirstiniu galie gauti atsitiktinio dydžio Z x vidurkio ir dispersijos išraiškas. Atsitiktinio dydžio Z x vidurkis EZ x, kaip ir draudio, išokao irties oentu atveju, vadinaas vienkartine gryn aja preija. Aišku, kad EZ x ir EZx 2 išraiškos priklauso nuo draudio sutarties rūšies. Toliau šiae skyrelyje aptarsie pagrindines draudio su išoka irties et u gale rūšis. 32

33 3.2.1 Gyvybės draudias iki gyvos galvos Sua lygi 1 išokaa draudėjo (x) irties et u gale. Šiuo paprasčiausiu atveju: Z x ν Kx+1, A x EZ x ν k+1 kp x q x+k, EZ 2 x 2 A x k k DZ x 2 A x (A x ) 2. ν 2(k+1) kp x q x+k, n-et u gyvybės draudias Sua lygi 1 išokaa draudėjui (x) irus per artiiausius n et u. Išoka okaa irties et u gale. Šiuo atveju: Z x ν Kx+1 I Kx<n, A 1 x:n EZ x EZ 2 x 2 A 1 x:n n 1 k n 1 k DZ x 2 A 1 x:n (A 1 x:n ) 2. ν k+1 kp x q x+k, ν 2(k+1) kp x q x+k, n-et u kaupiaasis draudias Sua lygi 1 išokaa, jeigu draudėjas iršta per artiiausius n et u (okaa irties et u pabaigoje) arba jei draudėjas išgyvena n et u (okaa periodo pabaigoje). Aprašytu atveju: 33

34 Z x ν K x+1 I Kx <n + ν n I Kx n, A x:n EZ x A 1 x:n + ν n np x EZ 2 x 2 A x:n n 1 k n 1 k ν 2(k+1) kp x q x+k + ν 2n np x. ν k+1 kp x q x+k + ν n np x, et u atidėtas n et u draudias Sua lygi 1 išokaa irties et u gale, jeigu irtis draudėj a užklupa ne anksčiau kaip po et u ir ne vėliau (n + ) et u. Šiuo atveju: Z x ν K x+1 I Kx<+n, na x EZ x EZ 2 x 2 na x +n 1 k +n 1 k ν k+1 kp x q x+k, ν 2(k+1) kp x q x+k n et u kaset didėjantis draudias Sua lygi 1 okaa pir u et u gale, jei draudėjas iršta pirais etais, sua lygi 2 okaa, jei draudėjas iršta antrais etais, sua lygi 3 išokaa, jei draudėjas iršta trečiaisiais etais, t.t., sua lygi n išokaa n-t uj u et u gale, jei draudėjas iršta n-taisiais etais. Aprašytu atveju: Z x ν K x+1 [K x + 1]I Kx <n, (IA) 1 x:n EZ x EZ 2 x n 1 k n 1 k ν k+1 (k + 1) k p x q x+k, ν 2(k+1) (k + 1) 2 kp x q x+k. 34

35 3.2.6 n et u kaset ažėjantis draudias Sua lygi n išokaa pir u et u gale, jei draudėjas iršta pirais etais, sua lygi n 1, jei draudėjas (x) iršta antrais etais, t.t., sua lygi 1 okaa n-t uj u et u gale, jei draudėjas iršta n-taisiais etais. Šiuo atveju: Z x ν Kx+1 [n K x ]I Kx<n, (DA) 1 x:n EZ x EZ 2 x n 1 k n 1 k ν k+1 (n k) k p x q x+k, ν 2(k+1) (n k) 2 kp x q x+k Kaset didėjantis draudias iki gyvos galvos Sua lygi 1 išokaa pir uj u et u gale, jei draudėjas iršta pirais etais, sua lygi 2 i ˇokaa antr uj u et u gale, jei draudėjas iršta per antrus etus, sua lygi 3 išokaa treˇvci uj u et u gale, jeigu draudėjas iršta per trečius etus ir t.t. Z x ν K x+1 (K x + 1), (IA) x EZ x ν k+1 (k + 1) k p x q x+k, k EZx 2 ν 2(k+1) (k + 1) 2 kp x q x+k. k 3.3 Ryšys tarp draudio išok u, oka u irties oentu, ir draudio išok u, oka u irties et u gale Sakykie T x yra likusi draudėjo (x) gyvenio trukė. Aišku, kad: T x K x + S x, 35

36 jei o K x [T x ], S x T x K x {T x }. Sakykie irtinguas pasiskirstȩs tolygiai tarp bet kuri u sveik u arguento x reikši u. Tai yra (žiūrėkite 2.9 skyreli ) išgyvenio funkcija s(x) bet kuries x Z, x, t 1 tenkina lygybȩ s(x + t) (1 t) s(x) + t s(x + 1). Kadangi šiuo atveju t q x t q x, bet kuria sveika neneigiaa x ir bet kuria t [, 1] (žiūrėkite 2.9 skyreli ), tai bet kuria s iš intervalo [, 1] ( ) P(S x < s) P({T x } < s}) P (k T x < k + s) k P (k T x < k + s) kp x sq x+k k k s kp x q x+k s kp x q x+k k k s 1 s Vadinasi, atsitiktinis dydis S x tolygiai pasiskirstȩs intervale [, 1]. Antra vertus, iš i rodytos lygybės ir inėtos lygybės tq x t q x, x N, t [, 1] išplaukia, kad bet kuria sveika neneigiaa k ir bet kuria s [, 1] P(K x k, S x < s) P(k T x < k + s) k p x sq x+k k p x s q x+k P(S x < s) P(k T x < k + 1) P(S x < s) P(K x k). I rodyta lygybė rodo atsitiktini u dydži u K x ir S x nepriklausou a. Taigi i rodėe toki teigini TEOREMA.Jeigu irtinguas pasiskirstȩs tolygiai bet kuriae intervale [x, x + 1], x N, tai dėstinyje T x K x + S x atsitiktiniai dydžiai K x ir S x yra nepriklausoi. Be to atsitiktinis dydis S x tolygiai pasiskirstȩs intervale [, 1]. 36

37 Naudojantis šia teorea, galia gauti s aryšius tarp grynosios vienkartinės preijos, okaos irties oentu, ir vienkartinės grynosios preijos, okaos irties et u gale. Toliau šiae skyrelyje pateikiai keli tik k a i rodytos teoreos taikyo pavyzdžiai. Jeigu irtinguas pasiskirstȩs tolygiai, tai Nesunku pastebėti, kad Ā x i δ A x. 1 E(ν Sx 1 ) ν s 1 1ds νs ln ν ln ν ( 1 ν 1) 1 ln e (1 (1 + i)) i δ δ. Pasinaudojȩ teorea, gaunae Ā x E(ν T x ) E(ν K x+s x ) E(ν K x+1 1+S x ) E(ν K x+1 ν S x 1 ) E(ν Kx+1 ) E(ν Sx 1 ) A x E(ν Sx 1 ) i δ A x. Jeigu irtinguas pasiskirstȩs tolygiai, tai Ā 1 x:n i δ A1 x:n. Dydis Ā1 x:n yra vienkartinė grynoji preija n et u gyvybės draudio atveju. Esant tokia draudiui būsios išokos dabartinė vertė yra ν T x I Tx <n. Vadinasi, iš teoreos išplaukia Ā 1 x:n E ( ν T x I Tx<n) E ( ν T x +1 ν S x 1 ) I Kx<n E ( ν K x+1 I Kx<n ν S x 1 ) E ( ν K x+1 I Kx <n i δ A1 x:n. ) Eν S x 1 37

38 Jeigu irtinguas pasiskirstȩs tolygiai, tai (IĀ)1 x:n i δ (IA)1 x:n. Dydis (IĀ)1 x:n yra n et u kaset didėjančio draudio vienkartinė grynoji preija. Esant tokia draudiui būsios išokos vertė yra: Z x [T x + 1]ν T x I (Tx<n). Pasinaudojȩ teorea, gaunae (IĀ)1 x:n EZ x E([T x + 1]ν T x I (Tx<n)) E((K x + 1)ν Kx+1+Sx 1 I (Kx <n)) E((K x + 1)ν K x+1 I (Kx<n)ν S x 1 ) E((K x + 1)ν K x+1 I (Kx <n))e(ν S x 1 ) (IA) 1 x:n E(ν Sx 1 ) (IA) 1 x:n i δ. Jeigu irtinguas pasiskirstȩs tolygiai, tai (ĪĀ) x i ( ( 1 δ (IA) x d 1 ) ) A x. δ Atsitiktiniai dydžiai K x ir S x nepriklausoi, todėl (ĪĀ) x ET x ν T x E((K x + S x )ν K x+s x ) Kadangi ir E((K x + 1)ν K x+s x + (S x 1)ν K x+s x ) E((K x + 1)ν K x+1 ν S x 1 ) + E((S x 1)ν K x+1 ν S x 1 ) E((K x + 1)ν K x+1 ) i δ + E(νK x+1 ) E((S x 1)ν S x 1 ) (IA) x i δ + A x E((S x 1)ν Sx 1 ). E((S x 1)ν Sx 1 ) E(ν S x 1 ) i δ, (s 1)ν s 1 1ds uν u du 1 ud νu ln ν

39 tai ν u u ln u 1 + i δ 1 1 ν u ν 1 du ln u ln ν ) ( 1 ln 2 ν ν 1 ln 2 ν 1 + i δ + i δ 2 i δ ( 1 + i + 1 i δ νu ln 2 ν i δ 1 δ i 2 δ 2 ) i ( 1 δ δ d) 1, (ĪĀ) x (IA) x i δ + i ( 1 δ δ 1 ) A x. d Jeigu irtinguas pasiskirstȩs tolygiai, tai 2 Ā 1 x:n i2 + 2i 2δ ( 2 A 1 x:n Iš atsitiktini u dydži u K x ir S x nepriklausouo išplaukia, kad: ). 2 Ā 1 x:n E(ν T x I (Tx <n)) 2 E(ν 2T x I (Tx <n)) E(ν 2(Kx+1)+2(Sx 1) I (Kx <n)) E(ν 2(K x+1) I (Kx<n)) E(ν 2(S x 1) ) E(ν Kx+1 I (Kx<n)) 2 Eν 2(Sx 1). }{{} 2 A 1 x:n Atsitiktinis dydis S x tolygiai pasiskirstȩs intervale [, 1], todėl Vadinasi, E(ν 2(S x 1) ) 1 ν 2(s 1) 1 ds 1 2 ln ν ν 2 2 ln ν i2 + 2i 2δ 2 Ā 1 x:n i2 + 2i 2δ 2A 1 x:n.. Jei išgyvenio funkcija s(x) tenkina kit a prielaid a arguento x nesveikos reikšės (žiūrėkite 2.9 skyreli ), tai irgi būt u galia išvesti ta tikrus s aryšius tarp grynosios vienkartinės preijos, kai išokaa okaa irties oentu, ir grynosios vienkartinės preijos, kai išoka okaa irties et u pabaigoje. Tačiau tie s aryšiai žyiai sudėtingesni, nes sunku ištirti S x pasiskirsty a ir atsitiktini u dydži u K x ir S x priklausou a. 39

40 3.4 Rekursinės lygtys Naudojant tikiybi u teorijos ir ateatinės analizės etodus galia gauti ta tikrus s aryšius tarp grynosios vienkartinės preijos, paskaičiuotos skirtingies draudėj u ažias x. Tokio pavidalo s aryšiai vadinai rekursinėis lygtiis. Toliau šiae skyrelyje pateikiae kelis rekursini u lygči u pavyzdžius Teorea. Esant pastovia diskonto daugikliui ν 1 1+i lygybė: A x ν(q x + p x A x+1 ) teisinga visies x. Teore a i rodysie dvie būdais. Pradžioje analizinis i ryas. Iš 2.6 skyrelyje aptart u foruli u išplaukia,kad: k+1p x s(x + k + 1) s(x + 1) s(x + 1) s(x) k p x+1 p x. Vadinasi, pagal 3.2 skyrelyje gautas forules A x ν k+1 kp x q x+k k ν p x q x + ν k+1 kp x q x+k k1 νq x + ν j+2 j+1p x q x+j+1 j νq x + ν ν j+1 p xj p x+1 q x+j+1 j ν q x + p x ν j+1 jp x+1 q x+j+1 j νq x + νp x A x+1 ν (q x + p x A x+1 ). Dabar tikiybinis i rodyas. Kadangi A x E(ν K x+1 ), 4

41 tai pasinaudojȩ s alyginio vidurkio savybe, gaunae A x E(ν Kx+1 K x ) P(K x ) + E(ν Kx+1 K x 1) P(K x 1). Tačiau: E(ν Kx+1 K x ) E(ν) ν, P(K x ) q x, P(K x 1) p x, ir E(ν Kx+1 K x 1) E(ν (Kx 1)+2 K x 1 ) E(νν (Kx 1)+1 K x 1 ) E(νν Kx+1+1 K x+1 ) νe(ν Kx+1+1 ) νa x+1. Vadinasi, A x νq x + p x ν A x Teorea. Esant pastoviai palūkan u galiai δ: (Āx ) x µ x + Āx(δ + µ x ). Aišku, kad teoreos forulė ekvivalenti lygybei Ā x+ x A x + x ( µ x + Āx(δ + µ x ) ) + o( x), nes ) (Āx li Ā x+ x Āx. x x x teore a taip pat i rodysie dvie būdais. Pradžioje analizinis i rodyas. Iš 3.1 skyrelyje išvest u lygybi u gaunae, kad Kadangi y xp x Ā x s(x + y x) s(x) ν t tp x µ x+t dt x ν y x y xp x µ y dy. s(y) s(x) s(y) s() s() s(x) 1 yp, xp 41

42 tai Vadinasi, Ā x x ν y x yp µ x dy 1 ν y yp xp ν x µ y dy. xp (Āx ) x 1 ν x }{{} xp s(x) x x x x ν y yp µ y dy + 1 ν x xp ν y yp µ y dy ν y yp µ y dy ( ν x (s(x)) 1) x + 1 ν x xp ( ν x xp µ x ) ν y yp µ y dy (ν x ln ν( 1) (s(x)) 1 + ν x ( s(x)) 2 s (x) ) µ x µ x { ν y δ yp µ y dy 1 ( }}{ s ) (x) ν x xp ν x xp s(x) µ x x x δ + µ x ν x xp x ν y yp µ y dy µ x (δ + µ x )Āx µ x. Dabar tikiybinis teoreos i rodyas. Aišku, kad bet kuria teigiaa h Ā x E(ν T x ) E(ν T x T x < h) P(T x < h) + E(ν T x T x h) P(T x h). Kadangi tai P(T x < h) h q x, P(T x h) h p x, Ā x E(ν T x T x < h) hq x + E(ν T x T x h) hp x. 42

43 Atsitiktinio dydžio T x s alyginis tankis su s alyga, kad T x < h yra: Vadinasi, Antra vertus, f Tx <h(t) (P(T x < t T x < h)) ( ) P(Tx < t, T x < h) P(T x < h) ( ) P(Tx <t) P(T x, kai < t h, <h) x, kai t > h, P(T x < t) hq x f x(t) hq x E(ν T x < h) I (t h) I (t h) t p x µ x+t hq x I (t h). h tp x µ x+t dt. hp x E(ν T x T x h) E(ν T x h+h T x h ) ν h E(ν T x h T x h ) ν h E(ν T x+h T x+h ) ν h E(ν T x+h ) ν h Ā x+h. Gautas išraiškas sustatȩ i pradinȩ lygybȩ, gaunae: Todėl Arba Ā x h q x h ν t tp x µ x+t hq x dt + ν h Ā x+h hp x. Ā x+h Āx Āx+h ν h Ā x+h hp x + Ā x+h Āx h h ν t tp x µ x+t dt. 1 ν h hp x Āx+h 1 h ν t tp x µ x+t dt. h h Paskutinėje lygybėje perėjȩ prie ribos, kai h, gaunae: Ā (Āx) x+h x li Āx h h 1 ν h hp x li Ā x+h 1 h ν t h tp x µ x+t dt. h h 43

44 Kadangi: li Ā x+h Āx, h 1 ν h hp x ν h hp x ν p x li li (ν y h h h yp x ) y h ( ) s(x + y) ν y ln ν y p x + ν y s(x) y y ( ) δ + s (x + y) δ + µ x, s(x) h 1 li h h u tai pagaliau gaunae: ν t tp x µ x+t dt li h ν t tp x µ x+t dt u y h ν t tp x µ x+t dt h (ν u up x µ x+u ) h µ x, (Āx)) x Āx (δ + µ x ) µ x Nesunku pastebėti, kad teoreos lygybė yra teoreos lygybės tolydi versija. 44

45 IV. Gyvenio anuitetai (rentos) Draudėjui (x) apsidraudžiant savo gyvybȩ reikia draudikui suokėti ta tikr a su a. Be abejo ši a su a galia suokėti iš karto, vienu okėjiu. Tačiau ta tikros draudio rūšis vienkartinė grynoji preija yra gana didelė. Preija, už kuri a draudikas suteikia draudio paslaugas, siekdaas gauti peln a, dar didesnė. Todėl sudarydaas draudio sutarti draudėjas (x) dažniausiai neoka iš karto visos preijos, o i sipareigoja ta tikrais laikotarpiais okėti ta tikras nedideles suas už suteikt a paslaug a. Galios etinės, ėnesinės, ketvirtinės ir kitokios i okos. Draudėjas gali sutarti su draudiku okėti i okas periodo gale arba pradžioje. Mokėjiai gali būti ažėjantys, didėjantys, atidėti, terinuoti ir dar kažin kokie. Natūralu, kad visi okėjiai vyksta, kol draudėjas (x) gyvas ir gali okėti. Gyvenio anuitetas - tai okėji u srautas, kuri vykdo draudėjas (x) tol, kol gyvena. Mokėji u srautas gali būti nagrinėjaas ir fiksuoto ilgio laikotarpiui, pavyzdžiui, dešičiai et u. Tokiu atveju draudėjas (x) oka i okas per ši fiksuot a laikotarpi, pavyzdžiui, 1 et u, jeigu okėjio etu jis vis dar gyvas. Pirae skyriuje atėe, kad svarbiausias dydis, nusakantis okėji u sraut a, yra būsi u i ok u dabartinė vertė. Kadangi draudėjas (x) oka i okas tol, kol jis gyvas, tai būsi u i ok u dabartinė vertė yra atsitiktinis dydis. Ši atsitiktini dydi paprastai žyie siboliu Y x. Atsitiktinis dydis Y x turi prase tik tuo atveju, kai X > x. Esant fiksuotai s alygai X > x, galie kalbėti apie būsi u i ok u dabartinės vertės vidurki EY x ir dispersij a DY x.šiae skyriuje i vairi u rūši u gyvenio anuitetas rasie atsitiktinio dydžio Y x ir jo skaitini u charakteristik u, EY x, EYx 2, DY x, išraiškas. Atsitiktinio dydžio Y x vidurkis EY x aktuarinėje ateatikoje paprastai vadinaas vadinaas aktuarine dabartine anuiteto verte. 4.1 Paprasčiausias gyvenio anuitetas Paprasčiausias okėji u srautas tai srautas susidedantis iš vieno okėjio. Sakykie sua lygi 1 suokaa po n et u, jei draudėjas (x) išgyvena n et u. 45

46 Šiuo atveju dabartinė būsios i okos vertė, jei T x n, Y x ν n, jei T x > n, Aktuarinė dabartinė būsios i okos vertė Be to ir ν n I (Tx >n). ne x : EY x ν n P(T x > n) ν n np x. EY 2 x ν 2n np x, DY x ν 2n np x (ν n np x ) 2. Nesunku pastebėti (žiūrėkite skyreli ), kad ne x A 1 x:n A x:n A 1 x:n. Taigi vienas ir tas pats dydis žyias dvie skirtingais siboliais. Dažniausiai, skaičiuojant anuitet u aktuarines vertes arba pensini u fond u i vairias charakteristikas vartojaas sibolis n E x, o skaičiuojant vienkartines gryn asias preijas naudojaas sibolis Ax:n 1. Prienae, kad šis sibolis žyi gryn aj a preij a n et u gryn aja kaupiui. Sakykie, pavyzdžiui, 25 et u Lietuvos respublikos pilietis pasižadėjo po 4 et u suokėti 1 Lt., jei tuo etu bus gyvas. Aišku, kad dabartinȩ tokios i okos vertȩ, esant palūkan u norai i, 6, galie rasti iš lygybės 1 4 E 25 1 ν 4 4 p 25 1, l65 l 25. Pagal Lietuvos gyventoj u irtinguo lentelȩ l , l Vadinasi, dabartinė aprašytos i okos vertė 1. Pastaba. Kadangi 1 4 E , 8 Lt. ν i, np x l x+n l x, 46

47 tai dydžio n E x iřaišk a galie perrašyti taip: Iš čia ne x 1 (1 + i) n lx+n l x. l x (1 + i) n ne x l x+n. Gautoji forulė atskleidžia dydžio n E x statistinȩ prasȩ. Jei gyventoj u grupė susidedanti iš l x nari u investuos po su a n E x, su palūkan u nora i, tai po n et u likusieji gyvi l x+n asenys gaus po su a lygi a 1. Pavyzdyje turejoe: l x l , (1 + i) n (1 +, 6) 4 1, , l x+n l Surašȩ i paskutinȩ lygti šias skaitines reikšes, gaunae: Iš čia, kaip jau atėe, E 25 1, E 25, Taigi, 25 et u Lietuvos pilietis, norėdaas gauti 1 Lt, sukakus 65 eries, dabar turėt u investuoti 665 Lt. su palūkan u nora i Pastaba. Bet kuria fiksuota n ( n E x ) x n E x (µ x µ x+n ). Iš ties u Kadangi ( n E x ) x ν n ( n p x ) x. ( n p x ) x ( s(x + n) s(x) s (x + n) s(x) s (x + n) s(x + n) ) x s (x + n)s(x) s(x + n)s (x) s 2 (x) s (x) s(x) s(x + n) s(x) n p x (µ x µ x+n ), 47 s(x + n) s(x) s (x) s(x) s(x + n) s(x)

48 tai ( n E x ) x ν n np x (µ x µ x+n ) n E x (µ x µ x+n ). Gautoji lygybė parodo dydžio n E x elgesi priklausoai nuo x. Jeigu µ x didėja intervale [x, x + n], tai n E x ažėja didėjant x. Jeigu µ x nekinta intervale [x, x + n], tai n E x nekinta didėjant x. Jei µ x ažėja intervale [x, x + n], tai n E x didėja, didėjant x. 3. Pastaba. I dydžio n E x išraišk a i einantys nariai ν n ir n p x turi prasȩ visies realies neneigiaies x ir n. Vadinasi, dydis n E x irgi turi prasȩ visies neneigiaies x ir n. Taigi, laiko tarpas n dydyje n E x nebūtinai natūralusis skaičius. 4. Pastaba. Esant pastoviai palūkan u galiai, bet kuria fiksuota x ( n E x ) x n E x (µ x+n + δ). Uřašytoji lygybė nesunkiai gaunaa naudojantis II skyriuje pateiktois išgyvenio funkcijos ir irtinguo galios savybėis: ( ) ) ( n E x ) x (ν n np x ) δn s(x + n) n e (e δn s(x+n) ln e s(x) s(x) n n x+n x+n e δn e µ ydy x e (µ y+δ)dy x e x+n (µ y+δ)dy x n x+n x (µ y + δ)dy n n n E x ( (µ x+n + δ)) (x + n) n n E x (µ x+n + δ) Iš gautos lygybės išplaukia, kad n E x ažėja didėjant laikotarpiui n. 4.2 Tolygūs gyvenio anuitetai Šiae skyriuje nagrinėsie tolygius draudėjo (x) okėji u srautus. Visais nagrinėjaais atvejais draudėjas oka pinigus tolygiai kol gyvas. Skyrelyje pateiksie būsi u okėji u dabartinės vertės Y x išraiškas i vairiais atvejais, gausie forules dabartinės aktuarinės vertės EY x ir DY x skaičiavias. 48

49 4.2.1 Viso gyvenio tolygus anuitetas Draudėjas (x) oka pinigus tolygiai. Per etus suokaa sua lygi 1. Mokėjiai vyksta, kol draudėjas gyvena. Šiuo atveju būsi u i ok u dabartinė vertė Y x ā Tx 1 νt x, δ o aktuarinė dabartinė būsi u i ok u vertė ā x EY x Eā Tx ā t f x (t)dt ā t tp x µ x+t dt Teorea. Esant pastoviai etinei palūkan u norai Nesunku pastebėti, kad ā x ν t tp x dt. ( t p x ) t ( s(x + t) s(x) µ x+t tp x. ) t s (x + t) s(x) s (x + t) s(x + t) s(x + t) s(x) Todėl Antra vertus tp x µ x+t dt d( t p x ). ā t 1 νt δ Vadinasi, integruodai daliis gaunae ā x ā t tp x µ x+t dt t ν s ds. t ν s ds d( t p x ) t t ν s ds ( t p x ) + tp x d ν s ds + tp x ν t dt 49 ν t tp x dt.

50 Tarp dabartinės aktuarinės i ok u vertės ā x ir grynosios vienkartinės preijos draudio iki gyvos galvos atveju Āx yra glaudus ryšys. Ši ryši nusako toks tvirtinias Teorea. Esant pastoviai etinei palūkan u galiai 1 δā x + Āx. Teoreos lygybȩ galia i rodyti analiziniu etodu. I rašius vietoje dydži u a x, A x j u integralines išraiškas ir pritaikius integravio daliis forulȩ nesunkiai gaunaas užrašytas s aryšis. Mes i rodysie teoreos lygybȩ tikiybiniu etodu. Kadangi (žiūrėkite 1.13 skyreli ) Y x ā Tx T x ν s ds νs ln ν T x 1 νtx, δ tai pasinaudojȩ vidurkio savybėis gaunae ( ) 1 ν T x ā x EY x E 1 δ δ E(1 νt x ) nes (žiūrėkite skyreli ) 1 δ (1 EνTx ) 1 (1 Āx), δ Eν T x Āx. Forulė 1 δā x + Āx reiškia, kad 1 investuotas dabar lygus tolygiai okaos, kol (x) gyvas, etinės palūkan u galios ir vienetinės išokos, draudėjui (x) irus, dabartinės vertės suai Teorea. Viso gyvenio tolydaus anuiteto atveju, esant pastoviai etinei palūkan u galiai, DY x 1 δ 2 (2 Ā x (Āx) 2 ). Kadangi Y x ā Tx 1 νtx, δ 5

51 tai, pasinaudojȩ dispersijos savybėis, gaunae ( ) 1 ν T x DY x D 1 δ δ D(1 2 νt x ) 1 δ 2 D(νT x ) 1 δ 2 ( 2 Ā x (Āx) 2), nes (žiūrėkite skyreli ) D ( ν T x) 2 Ā x (Āx) 2. Uždavinys Sakykie draudėjo (x) gyveni a valdo pastovi irtinguo galia µ, 4, o draudikas investuoja gautas lėšas su pastovia etine palūkan u nora i, 6. Draudikas oka i okas tolygiai po 1 per etus iki gyvos galvos. Tegul Y x draudėjo oka u i ok u dabartinė vertė. Rasie ā x, σ(y x ) ir P(Y x > ā x ). Pasinaudojȩ teoreos forule, gaunae { } exp x+t µ s ds ā x ν t δt s(x + t) tp x dt e dt e δt { } dt s(x) exp x µ s ds e δt e µt dt e (δ+µ)t dt e.9827t dt e.9827t Pagal skyrelyje gautas forules ir Ā x Eν T x Ee δt x e δt tp x µ x+t dt µ e (δ+µ)t dt µ , 2 Ā x E(ν 2T x ) e 2δt tp x µ x+t dt e δt e µt µdt e 2δt e µt µdt µ e (2δ+µ)t dt µ