2.3. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων

Transcript

1 . Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 8 4 A Οµάδας. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων 7 i ( 4 6 ii ( ln 4 iii ( 4 iv ( συν i Για κάθε R είναι ( ii Για κάθε (, είναι ( 6 iii Για κάθε R είναι ( iv Για κάθε R είναι ( ηµ συν ηµ ln

2 . Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων i ( ( ( ii ( ηµ iii ( ηµ συν iv ( συν v ( ηµ συν i Για κάθε R είναι ( ( ( ( ( ( ( 6 6 ii Για κάθε R είναι ( ( ηµ (ηµ ηµ συν iii ( ( ( ( Για κάθε R είναι ( ( ( ( ( ( ( 4 ( iv Για κάθε R µε συν είναι ( ηµ συν (συν ( ηµ συν (συν ( (συν ( συν ηµ (συν ( ηµ συν ( ηµ (συν συν συν ηµ ηµ συν ηµ συν ηµ (συν συν ηµ (συν v Για κάθε R είναι ( ( ηµ συν (ηµ συν ηµ (συν ηµ συν συν συν ηµ ( ηµ ηµ συν συν ηµ

3 . Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων i ( iii ( i ln ηµ ii ( εφ σφ iv ( Για κάθε (, (, ( ln είναι ( ( ln ( ln ln ( ln ( ln ( ln ii Για κάθε R µε ηµ και συν είναι ( (εφ (σφ συν ηµ iii ( ηµ ηµ ( Για κάθε R είναι ( iv ( συν ηµ συν ηµ Για κάθε (, (, (, είναι ( Άρα ( 4 ( ( 4 ( 4 ( 4 ( ( ( ( ( 4

4 4 4.i Να βρείτε, όπου ορίζεται, την παράγωγο της συνάρτηση (, < 6, Για κάθε < είναι ( 4 Για κάθε > είναι ( ( 6 ( ( ( ( 6 Άρα η δεν παραγωγίζεται στο ο ( ( 6 4.ii Να βρείτε, όπου ορίζεται, την παράγωγο της συνάρτηση ηµ, (, > Για κάθε < είναι ( συν Για κάθε > είναι ( ( ηµ ( ( ( ( Άρα ( ηµ ηµ (

5 5 5.i Να βρείτε τα σηµεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( 4, στα οποία οι εφαπτόµενες είναι παράλληλες στον άξονα των. D R ( 4 4 ( ή ( 4 4 και ( 4 4 Τα ζητούµενα, λοιπόν, σηµεία είναι Α(, 4 και Β(, 4 5.ii Να βρείτε τα σηµεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( οποία οι εφαπτόµενες είναι παράλληλες στον άξονα των. D R ( ( ( Τo ζητούµενο σηµείo είναι το Α(,, στα 5.ii Να βρείτε τα σηµεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης (, στα οποία οι εφαπτόµενες είναι παράλληλες στον άξονα των. D R ( ( ( ή ( ( και ( Τα ζητούµενα, λοιπόν, σηµεία είναι Α(, και Β(,

6 6 6. Αν ( (,. Ισχύει ; και (, να βρείτε τις συναρτήσεις D R {}, D [, (, ( ( Για κάθε D είναι ( ( ( Για κάθε D είναι ( ( ( ( ( ( 4 ( οπότε, για κάθε D είναι ( 4. ( εν ισχύει αφού οι συναρτήσεις, έχουν διαφορετικό πεδίο ορισµού. 7. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόµενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων ( και ( στο κοινό σηµείο τους Α(,, είναι κάθετες. D R και D R ( ( (. Άρα οι εφαπτόµενες των C, τους Α(,, είναι κάθετες. ( και ( ( C στο κοινό σηµείο

7 7 8. ίνεται η συνάρτηση ( οποίες η κλίση της D R { α } ( α α ( α ( ( α ( α α ( α α ( α α ( α α α α α, α R. Να βρείτε τις τιµές του α, για τις C στο σηµείο της Α(, είναι ίση µε. α ( α α α α ( α α α α

8 8 9. Να βρείτε τα σηµεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( στα οποία η εφαπτοµένη είναι : i παράλληλη προς την ευθεία y 9 ii κάθετη προς την ευθεία y D R ( i Εφαπτοµένη στην ευθεία y 9 ( ή ( ( ( ( Τα ζητούµενα σηµεία είναι Α(,, Β(, 7 ii Εφαπτοµένη στην ευθεία y ( ( 4 ( ( ( ( Τα ζητούµενα σηµεία είναι Γ (, 45 9 ή, (, 45 9

9 9. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης (, η οποία άγεται από το σηµείο Α(,. D R Η εφαπτοµένη ε της y ( ο ( ο C στο τυχαίο σηµείο της Λ( ο, ( ( ο y ο ( ο o y ο o Η ε άγεται από το Α Α ε ο Για ο, η ( γίνεται y Για ο, η ( γίνεται y o o ( ο έχει εξίσωση ο ή ο. ίνεται η συνάρτηση ( α β γ, α, β, γ R. Να βρείτε τις τιµές των α, β, γ για τις οποίες η C διέρχεται από το σηµείο Α(, και εφάπτεται της ευθείας y στην αρχή των αξόνων. Η C διέρχεται από το σηµείο Α(, ( Η α β γ α β γ ( C διέρχεται από την αρχή των αξόνων ( γ ( Η εφαπτοµένη της C στην αρχή των αξόνων είναι y ( ( ( και επειδή ( α β δηλαδή ( α β β, η εφαπτοµένη γίνεται y β y β, η οποία πρέπει να συµπίπτει µε την ευθεία y, δηλαδή πρέπει β ( Λόγω των (, ( η ( α α

10 . Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων : i ( ( 4 4 ii ( ( iii ( ηµ( iv ( ln( v ( i Πρέπει 4 4 ( 4 και 4 ( ( 4 4 ( 4 4 ( 4 4 ( ( ( 4 4 ii Πρέπει > > ( ( ( ( iii D R ( συν( iv Πρέπει ( και 4 9 ( ( 4 ( συν( ( συν( ( ( > > ( ( > < ή < < Γινόµενο ( ( ( ( v D R ( ( (

11 . Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης στο σηµείο ο όταν : i ( iii ( ηµ (π, ο 6 i Για κάθε R είναι ( (, ο ii ( ( (, ο 4 ( Άρα ( 4 4 ii Για κάθε > είναι 8 ( ( ( ( ( ( ( Άρα (4 ( 4 ( 4 iv ( 8 8, ο iii Για κάθε R είναι ( ( ηµ (π ( ηµ (π ηµ (π ηµ (π (ηµ(π Άρα ( 6 ( 6 iv ηµ (π 6 ( 6 ( 6 ηµ (π ηµ (π συν(π (π ηµ (π ηµ (π συν(π.π ηµ (π 6 συν(π 6.π 6 ( π π 96 π 576 Για κάθε είναι ( Άρα ( ( ( ( ( ( 4 ( (

12 4. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων : ln i ( ii ( 5 iii ( (ln, > iv ( ηµ i Για κάθε > είναι ( ( ln ln ln ln ( ln ii Για κάθε R είναι (5ln ( ( iii ( ( (5ln ln(ln ln ln (ln [(5 ln] (5ln ln ln 5ln5ln 5 ln(ln [ln(ln] (ln [ ln(ln [ln(ln] ] (ln [ln(ln ln (ln ] (ln [ln(ln ln. ] (ln [ln(ln ln ] iv Για κάθε R είναι ( (ηµ συν ηµ.( συν συν συν ηµ συν συν ηµ συν (συν ηµ συν συν συν ( συν ( ηµ 5. Αν ( ηµ, να αποδείξετε ότι ( 4 ( Για κάθε R είναι ( ηµ (ηµ ηµ συν ηµ ( συν ( συν ( 4 ( συν 4ηµ ( ηµ 4ηµ 4ηµ 4ηµ

13 Β Οµάδας. Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ( και ( έχουν ένα µόνο κοινό σηµείο, στο οποίο οι εφαπτόµενές τους είναι κάθετες. D R και D R. Εργαζόµαστε στο Κοινά σηµεία των R ( ( C, C : ( ( Άρα το σηµείο Α(, είναι το µοναδικό κοινό σηµείο των ( ( ( ( Άρα ( ( Εποµένως, οι εφαπτόµενές των είναι κάθετες C, ( ( ( ( C, C C στο κοινό σηµείο τους Α(,

14 4. Να αποδείξετε ότι η ευθεία y έχει, µε τη γραφική παράσταση της ( δύο κοινά σηµεία και εφάπτεται αυτής σε ένα από τα σηµεία αυτά. Η ευθεία y εκφράζεται µε τη συνάρτηση (, R D R Κοινά σηµεία των C, C : ( ( ( ( ( ( ( 8 Άρα τα κοινά σηµεία των ( ( ( ( ( ( [ ( ] ( ( ή ή C, ( ( Εφαπτοµένη της C είναι Α(, διπλό σηµείο και Β(, 8 C στο Α(, : y ( y y που συµπίπτει µε τη δοσµένη ευθεία. ίνονται οι συναρτήσεις ( α β και (. Να βρείτε τα α, β R, για τα οποία οι γραφικές παραστάσεις τους έχουν κοινή εφαπτοµένη στο σηµείο µε τετµηµένη ο. D R και D R. Εργαζόµαστε στο R ( α β, ( Κοινή εφαπτοµένη στη θέση ο ( ( και ( ( α β και α β α β και β α α α και β α α και β

15 5 4. ίνονται οι συναρτήσεις ( εφαπτοµένη της D R και και (. Να αποδείξετε ότι η C στο σηµείο Α(,, εφάπτεται και στην D R. C. Εργαζόµαστε στο R (, ( ( Εφαπτοµένη της C στο σηµείο Α(, ε : y ( ( ( Θα βρούµε την εφαπτοµένη της δεν της ανήκει. Εφαπτοµένη της y ( y y C, που άγεται από το σηµείο Α(,, το οποίο C σε κάποιο σηµείο της Λ( ο, ( ο η : y ( ο ( ο ( ο y ( ο ο ( ο ( ο ( Η (η διέρχεται από το Α(, ( ο ο ( ο ( ο ο ο ο ο ο ο ή ο Για ο η (η γίνεται y ( ( ( y ( y y Για ο η (η γίνεται y ( ( ( y, που συµπίπτει µε την ε.

16 6 5. Να βρείτε πολυώνυµο τρίτου βαθµού τέτοιο, ώστε ( 4, (, ( ( 4 και ( 6. Έστω ( α β γ δ, α το ζητούµενο πολυώνυµο. Είναι ( α ( β γ, ( 6α β, ( 6α ( 4 δ 4 δ 4 δ 4 ( α β γ α β γ β γ ( 4 α β 4 6α β 6 β ( ( 6. 6α 6 α α δ 4 δ 4 δ 4 β γ ( 4 γ γ 9 β 4 β 4 β 4 α α α Άρα ( Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει πολυώνυµο δεύτερου βαθµού, του οποίου η γραφική παράσταση να εφάπτεται των ευθειών y και y στα σηµεία Α(, και Β(, αντιστοίχως. Έστω ( α β γ µε α το πολυώνυµο. Α C γ ( Β C α β γ α β γ ( Είναι ( α β, οπότε ( β ( και ( α β (4 Η ευθεία y εφάπτεται της C στο Α ( Η ευθεία y εφάπτεται της C στο Β ( ( β (5 (4 α β (5 α α (6 Λόγω των (6, (5, ( η ( που είναι άτοπο

17 7 7. Αν µια συνάρτηση : R R είναι παραγωγίσιµη στο ο α, να αποδείξετε ότι i ii i α α ( α ( α ( α α ( α α α ( ( α α α ( ( α ( α ( α ( α ( α ( α ( α ( α Για α είναι α α [( ( α ] ( α( α α ( ( α ( α α ( α ( α ( ( α [ ( α ] α α α α ( ( α. ( α α α α α α ( α ( α ii α α ( ( α ( ( α ( α ( α Για α είναι α α α [( ( α ] ( α( α ( ( α α ( α α α Επειδή η συνάρτηση h( είναι παραγωγίσιµη στο α, θα έχουµε α h (α ( α α Αλλά h ( ( α, οπότε h (α α και η ( α α ( ( α α [ α α α [. ( ( α α ( ( α ] α α ( ( α α α ( α ( α α α ( ( α ( α ( α α ( α α α ] α [ ( α α ( α α α ] α α α

18 8 8. Να βρείτε τα σηµεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( ηµ ηµ, [, π], στα οποία η εφαπτοµένη της είναι παράλληλη στον άξονα των. Στα ζητούµενα σηµεία θα είναι ( συν ( 4ηµ (ηµ συν 4ηµ συν συν ηµ συν ηµ εφ Αλλά π 4π ( 4 π, π 4 π, π 4 π, π 4 π π, 5π, 9π π, 5π, 9π 8 8 8,, π 4 π 8 kπ 4 π (

19 9 9. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων i ( ii ( 4 και στη συνέχεια την εξίσωση της εφαπτοµένης της περίπτωση χωριστά. i D R ( < (,, Για < είναι ( ( ( C στο Ο(,, σε καθεµιά ( ( ( Για >, ( Το δεύτερο ερώτηµα είναι εκτός ύλης. ii D R ( < (, 4, Για < είναι ( 4 ( 4 ( 4 ( ( Για >, ( 4 4 ( ( ( 4 4 ( ( ( ( ( ( ( Από τις (, ( ( Η ζητούµενη εφαπτοµένη είναι y ( (( y y (

20 . Έστω µια παραγωγίσιµη στο R συνάρτηση για την οποία ισχύει ( και η συνάρτηση που ορίζεται από την ισότητα ( (, R. Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη της C στο σηµείο Α(, ( εφάπτεται της C στο Β(, (. Η εφαπτοµένη της C στο σηµείο Α(, ( είναι ε : y ( (( y ( ( y ( ( Είναι ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Η εφαπτοµένη της C στο σηµείο Β(, ( είναι η : y ( (( y [( ] y ( y ( ( Από τις (, (, οι ευθείες ε, η συµπίπτουν, άρα η ε εφάπτεται της C στο Β(, (.

21 . Έστω µια συνάρτηση παραγωγίσιµη στο διάστηµα (,, για την οποία ισχύει (ηµ συν, για κάθε ( π, π i Να βρείτε την ( ii Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη της C στο σηµείο Α(, ( σχηµατίζει µε τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο. i Η υπόθεση για δίνει (ηµ συν ( Με παραγώγιση έχουµε (ηµ(ηµ συν ηµ (ηµσυν (συν ηµ Άρα (ηµ (συν ηµ ( ( ( ii H εφαπτοµένη της C στο σηµείο Α(, ( είναι ε : y ( (( y. y ( Για y, η (. Άρα η (ε τέµνει τον άξονα στο σηµείο Α(, Για, η ( y. Άρα η (ε τέµνει τον άξονα y y στο σηµείο Β(, Εποµένως (ΟΑ (ΟΒ δηλαδή το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισοσκελές.