ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΣΤΗΝ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΑ Η ύπαρξη της ατµόσφαιραs γύρω από τη γη είναι άµεση συνέπεια του πεδίου βαρύτητας της γης. Στο κεφάλαιο αυτό θα αγνοήσουµε τις ατµοσφαιρικές κινήσεις και θα θεωρήσουµε ότι η ατµόσφαιρα βρίσκεται σε κατάσταση στατικής ισορροπίας..1 Βασικοί νόµοι Ο νόµος παγκόσµιας έλξης είναι ένας από τους πλέον βασικούς νόµους της Φυσικής. Ανακαλύφθηκε από τον Newton που τον δηµοσίευσε µαζί µε τους νόµους κίνησης των σωµάτων το 1686. Σύµφωνα µε το νόµο αυτό, κάθε υλικό σηµείο µάζας Μ εξασκεί µία ελκτική δύναµη σ ένα άλλο υλικό σηµείο µάζας m, η οποία είναι ανάλογη του γινοµένου των δύο µαζών και αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της µεταξύ των υλικών σηµείων απόστασης. Σε διανυσµατική µορφή ο νόµος της παγκόσµιας έλξης γράφεται F = GMm r$. (.1) r F είναι η ελκτική δύναµη που εξασκείται στη µάζα m που βρίσκεται σε µια απόσταση r από την µάζα Μ, G = σταθερά παγκόσµιας έλξης = 6.673x1-11 Ν-m /kg, ενώ το διάνυσµα r κατευθύνεται από το υλικό σηµείο µάζας Μ στο υλικό σηµείο m. Οι νόµοι κίνησης των σωµάτων είναι οι τρεις θεµελιώδεις νόµοι του Newton. Σύµφωνα µε τον πρώτο νόµο, το νόµο της αδρανείας, «Ενα σώµα παραµένει σε κατάσταση ηρεµίας ή οµαλής κίνησης εφόσον το άθροισµα των δυνάµεων που επιδρούν πάνω του είναι µηδέν». Ο πρώτος νόµος αποτελεί ειδική περίπτωση του ου νόµου που εκφράζεται ως εξής: «Σε ένα αδρανειακό (µη επιταχυνόµενο) σύστηµα αναφοράς η δύναµη σ' ένα σώµα µάζας m ισούται µε το χρονικό ρυθµό της µεταβολής της ορµής του σώµατος». Σε διανυσµατική µορφή γράφεται F = d ( mv) (.) dt όπου v είναι η ταχύτητα του σώµατος. Η εξίσωση (.) είναι η βασική εξίσωση που χρησιµοποιείται στη µελέτη των ατµοσφαιρικών κινήσεων.
18 Οι δυνάµεις πάντα ενεργούν σε ζεύγη. Αυτό εκφράζεται από τον τρίτο νόµο του Newton, το νόµο δράσης - αντίδρασης, που αναφέρει ότι «Εάν ένα σώµα Α εξασκεί µία δύναµη πάνω σ ένα σώµα Β τότε µια ίση και αντίθετη δύναµη εξασκείται στο σώµα Α από το Β». Ο 3ος νόµος εκφράζεται από σχέση F AB = F. (.3) BA. Πεδίο βαρύτητας της γης Η δύναµη βαρύτητας, µε την οποία όλοι είµαστε εξοικειωµένοι, είναι η δύναµη που εξασκείται από τη γη σε άλλα σώµατα στο περιβάλλον της. Κάθε υλικό σώµα, πάνω και γύρω από τη γη, βρίσκεται στο χώρο που πεδίου βαρύτητας της γης. Αν θεωρήσουµε ένα σώµα σαν υλικό σηµείο µάζας m, το οποίο βρίσκεται σε απόσταση r από το κέντρο της γήινης σφαίρας µάζας Μ, τότε η βαρύτητα εκφράζεται από το νόµο της παγκόσµιας έλξης ( (.1)) ως όπου ορίζουµε F g = m g, (.4) G M r (.5) r $ σαν τη δύναµη βαρύτητας ανά µονάδα µάζας ή σαν επιτάχυνση της βαρύτητας. Είναι χρήσιµο να εκφράσουµε την (.5) σαν συνάρτηση της γήινης ακτίνας R E και του ύψους πάνω από την επιφάνεια της γης. Σε βαθµωτή µορφή έχουµε g GM g = =, (.6) RE ( 1 + / RE) (1 + / RE) όπου g GM / RE είναι η δύναµη της βαρύτητας ανά µονάδα µάζας στην επιφάνεια της γης. Στις συνήθεις εφαρµογές όπου <<R E, η (.6) µπορεί να απλοποιηθεί µετά από ανάπτυξη σε διωνυµική σειρά. ιατηρώντας µόνο τους δύο πρώτους όρους της σειράς έχουµε ( 1 RE) g = g /. (.7) H εξίσωση αυτή δείχνει ότι κοντά στην επιφάνεια της γης η επιτάχυνση της βαρύτητας µειώνεται, σε πρώτη προσέγγιση, γραµµικά µε το ύψος. Έτσι π.χ. στα 4 km ύψος, όπου g είναι περίπου.8 g, ενώ ο τρίτος όρος της σειράς που παραλήφθηκε προκαλεί σφάλµα ~1%. Όλα τα παραπάνω ισχύουν βέβαια στην περίπτωση που η γη δεν περιστρέφεται. Λόγω της περιστροφής της γής, ο παρατηρητής που βρίσκεται στην επιφάνεια της δεν βρίσκεται σε ένα αδρανειακό ( µη επιταχυνόµενο) σύστηµα αναφοράς, συνεπώς θα πρέπει όταν υπολογίζει την επιτάχυνση της βαρύτητας γιά σώµα µάζας m να λάβει υπόψη και την επίδραση της
19 φυγοκέντρου δύναµης (µιας ψευδοδύναµης) στον υπολογισµό της δύναµης βαρύτητας. Αντίθετα για ένα παρατηρητή στο κέντρο της γής, ο οποίος όντως βρίσκεται σε αδρανειακό σύστηµα αναφοράς, αυτός προσµετρά εκτός της δύναµης βαρύτητας και την κεντροµόλο δύναµη που για αυτόν είναι πραγµατική. Η κεντροµόλος δύναµη ανά µονάδα µάζας, όπως µπορούµε να εξάγουµε και από το Σχήµα.1, είναι -ω r, όπου ω είναι γωνιακή ταχύτητα (ή γωνιακή συχνότητα) της γης και r είναι το διάνυσµα θέσης κάθετο στον άξονα περιστροφής, µε φορά από τον άξονα προς το σώµα. Το διανυσµατικό άθροισµα g= g ω r αντιπροσωπεύει την ολική επιτάχυνση της ελεύθερης πτώσης και ονοµάζεται ενεργός βαρύτητα. Η ενεργός δύναµη βαρύτητας ορίζεται από την εξίσωση F g m g = m( g ω r) (.8) Το µέγεθος της ενεργού επιτάχυνσης g υπολογίζεται εύκολα αν σε πρώτη προσέγγιση υποθέσουµε ότι g και g έχουν την ίδια κατεύθυνση (η γωνία µεταξύ των δύο αυτών διανυσµάτων είναι πολύ µικρή και εξαρτάται από το γεωγραφικό πλάτος). Η συνιστώσα της ω r κατά µήκος της g είναι ω rcosφ, έτσι ώστε για ένα σώµα που βρίσκεται σε ύψος από την επιφάνεια της γης ισούται µε ω (R E +) cos φ, αφού r = (R E +)cosφ. Κάνοντας χρήση της (.6), έχουµε για το µέτρο της ενεργού βαρύτητας GM g = ω ( RE + ) cos RE (1 + / RE) ϕ. (.9) Στην παραπάνω εξίσωση η ακτίνα της γής R E µεταβάλλεται µε το γεωγραφικό πλάτος (από 6356.9 km στους πόλους σε 6378.4 Σχήµα.1 Οι δυνάµεις που δρουν σε µονάδα µάζας που συµπεριστρέφεται µε τη Γη (η οποία δεν είναι σφαιρική αλλά σφαιροειδής εκ περιστροφής). Προσοχή: Τα R και Ω αντιστοιχούν στα r και ω στο κείµενο, ενώ το g είναι στη θέση του g, και αντίστροφα. km στον ισηµερινό), αφού η γη έχει σχήµα σφαιροειδούς εκ περιστροφής. ηλαδή στη πράξη η ακτίνα της γής είναι και αυτή συνάρτηση του γεωγραφικού πλάτους. Στους ατµοσφαιρικούς υπολογισµούς συνήθως χρησιµοποιούµε µια µέση τιµή R E =637 km. Για την επιτάχυνση της ελεύθερης πτώσης, σε συνήθεις υπολογισµούς, παίρνουµε g = 9.81 ms -. Παράδειγµα. Πόση είναι η µάζα της γης, όταν από µετρήσεις σε γεωγραφικό πλάτος φ = 3 o ξέρουµε ότι η δύναµη βαρύτητας ανά µονάδα µάζας στην επιφάνεια της θάλασσας έχει βρεθεί ίση µε 9.79 ms -. Λύση Στην τιµή του g που µετρήσαµε η περιστροφή της γης έχει κάποιο αποτέλεσµα σύµφωνα µε τα προηγούµενα. Η µάζα της γης Μ θα υπολογιστεί µε βάση την Εξίσωση (.9),
έτσι ώστε [ g+ ω ( RE + )cos ϕ]( RE + ) M =, G όπου ω = π rad/ηµέρα = 6.8/4 h = 7.7x1-5 s -1, R E = 637x1 3 m, g = 9.79 ms - και G= 6.673x1-11 Νm kg - 6 3 9.79x(637) 1 m s M = 11 3 1 6.67 1 m kg s (7.7) + = 5.9557 1 1 3 1 (637) 1 11 3 6.67 1 m kg 4 + kg +.154 1 9 cos 1 s 4 3 s m kg = 5.97 1 o 3 4 = kg. Σηµειώστε ότι, η συνεισφορά του (ου) όρου περιστροφής είναι µόνο,6%, εποµένως σε προβλήµατα που δεν ενδιαφέρει η ακρίβεια, ο όρος αυτός µπορεί να παραλείπεται..3 Γεωδυναµικό Το γεωδυναµικό Φ σε ένα σηµείο της ατµόσφαιρας, ορίζεται σαν το έργο που απαιτείται, ενάντια στη δύναµη της βαρύτητας, για να υψωθεί από την επιφάνεια της γης στο σηµείο αυτό ένα σώµα µάζας ίσης µε µονάδα. Έχοντας υπόψη τον ορισµό του έργου ( W = F ds) το γεωδυναµικό εκφράζεται αναλυτικά από την εξίσωση 1 Φ( ) F g d = g d = gd (.1) m όπου, εξ ορισµού, το γεωδυναµικόφ( ) Φ στην επιφάνεια της γης λαµβάνεται ίσο µε µηδέν (η επιφάνεια της γης κατά προσέγγιση µπορεί να θεωρηθεί σαν ισοδυναµική επιφάνεια). Επειδή η δύναµη της βαρύτητας είναι διατηρητική, το γεωδυναµικό σε κάποιο σηµείο εξαρτάται µόνο από το ύψος του σηµείου αυτού και όχι από τη διαδροµή που ακολουθήθηκε για τη µεταφορά του σώµατος στο σηµείο αυτό. Επίσης το έργο που απαιτείται για τη µεταφορά µιας µάζας από το σηµείο Α (Φ( A ) Φ A ) στο B ( Φ( B ) Φ B ) είναι ίσο µε ΦB Φ A. Το γεωδυναµικό µπορεί να χρησιµοποιηθεί στη θέση του ύψους για τον καθορισµό της θέσης ενός σηµείου στην κατακόρυφη κατεύθυνση. Μια άλλη ποσότητα που εξυπηρετεί το σκοπό αυτό είναι το γεωδυναµικό ύψος Z που ορίζεται από την εξίσωση Φ( ) 1 Z = gd, (.11) g g όπου g είναι η µέση επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της γης ( g = 9.81 ms - ). Το γεωδυναµικό ύψος χρησιµοποιείται σαν κατακόρυφος συνιστώσα σε πολλές ατµοσφαιρικές εφαρµογές, καθόσον η χρήση του ενσωµατώνει την µεταβολή του g µε το ύψος. Εάν αντικαταστήσουµε την τιµή του g από την Εξ (.9) και ολοκληρώσουµε βρίσκουµε
1 GM Φ ( ) = ω cos ϕ RE +. (.1) RE( RE + ) Για πρακτικούς λόγους ο ος όρος, ο οποίος είναι πολύ µικρότερος του πρώτου, µπορεί να αγνοηθεί στην παραπάνω εξίσωση. Στην περίπτωση αυτή το Φ() = GM / R E (R E +) ονοµάζεται δυναµικό βαρύτητας. ορυφορικές τροχιές. Όταν αντικαταστήσουµε την (.1) στην (.) έχουµε την διαφορική εξίσωση dv GM = r$ (.13) dt r που διέπει την κίνηση των σωµάτων σ' ένα πεδίο βαρύτητας (για τη λεπτοµερή µελέτη του προβλήµατος, ο ενδιαφερόµενος θα πρέπει να ανατρέξει σ' ένα βιβλίο κλασσικής µηχανικής). Όταν µια σχετικά µικρή µάζα βρεθεί σ ένα πεδίο βαρύτητας, τότε κινείται κατά µήκος µιας τροχιάς κωνικής τοµής, δηλ. ελλειπτική, υπερβολική ή παραβολική. Το είδος της τροχιάς εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες, δηλαδή τη θέση και την ταχύτητα. Αν η αρχική ταχύτητα (κινητική ενέργεια) υπερβαίνει µια κρίσιµη τιµή, τότε το σώµα εκτελεί υπερβολική τροχιά. Αυτή είναι η περίπτωση δορυφόρων που στέλνονται στο ηλιακό σύστηµα (π.χ. στον Άρη) και ουδέποτε επιστρέφουν στην γη. Αν η αρχική ταχύτητα είναι µικρότερη µιας ορισµένης κρίσιµης τιµής, η τροχιά είναι ελλειπτική (π.χ. όπως συµβαίνει µε τις δεκάδες χιλιάδες τεχνητούς δορυφόρους γύρω από την γη). Η γη, που εκτελεί ελλειπτική τροχιά περί τον ήλιο, επιταχύνεται καθώς πλησιάζει τον ήλιο από τον Ιούλιο µέχρι τον Ιανουάριο, ενώ το υπόλοιπο διάστηµα επιβραδύνεται καθώς αποµακρύνεται από το ηλιακό κέντρο έλξης. Στην περίπτωση δορυφόρου κυκλικής τροχιάς σε ύψος, η κεντροµόλος δύναµη ισούται µε την δύναµη βαρύτητας GMms ( RE + ) = msω ( RE + s ) (.14) όπου m s και ω s είναι η µάζα και η γωνιακή ταχύτητα του δορυφόρου. Από την (.14) βλέπουµε ότι καθώς το ύψος του δορυφόρου ελαττώνεται, η γωνιακή συχνότητα αυξάνει. Αν η τροχιά της γης περί τον ήλιο θεωρηθεί κατά προσέγγιση κυκλική, η (.14) µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την εκτίµηση της µάζας του ήλιου αν ξέρουµε την απόσταση γής ηλίου (1 ΑΜ = 15 x 1 6 km). Η ολική ενέργεια ανά µονάδα µάζας που χρειάζεται για να µπει ένας δορυφόρος σε κυκλική τροχιά, µπορεί να βρεθεί, αν προσθέσουµε στο δυναµικό βαρύτητας την κινητική του ενέργεια ανά µονάδα µάζας 1 ( ωs ( ) RE + ). Εάν λάβουµε υπόψη τις (.1) και (.14) και καί κάνουµε πράξεις βρίσκουµε ότι η ολική αυτή ενέργεια ανά µονάδα µάζας είναι συνάρτηση του ύψους και δίνεται από την σχέση
GM 1 E = + ω cos ϕ RE +.15) RE RE Βέβαια, στην πραγµατικότητα η ενέργεια που απαιτείται είναι µεγαλύτερη απ' αυτή της (.15), γιατί αγνοήσαµε την τριβή µεταξύ δορυφόρου και αέρα στην ατµόσφαιρα. Η ενέργεια ανά µονάδα µάζας, που χρειάζεται ώστε ένα σώµα να διαφύγει από το πεδίο βαρύτητας, (που σηµαίνει ότι θα πρέπει να ακολουθήσει µια παραβολική ή υπερβολική τροχιά), βρίσκεται εύκολα από το δυναµικό βαρύτητας για =. Έτσι από τον πρώτο όρο της (.1), προκύπτει ότι η ενέργεια διαφυγής ανά µονάδα µάζας είναι g R E. Η ταχύτητα που πρέπει να δοθεί σ' ένα σώµα, ώστε να διαφύγει από την επίδραση του πεδίου βαρύτητας, βρίσκεται αφού εξισώσουµε την κινητική ενέργεια µε την ενέργεια διαφυγής. Προκύπτει ότι η ταχύτητα διαφυγής δίνεται από την σχέση v es = (.16) 1/ ( g E R ) και είναι ανεξάρτητη της µάζας του σώµατος. Οταν η εκτόξευση γίνεται από την επιφάνεια της γης η ταχύτητα διαφυγής είναι 11. kms -1, ενώ για τη σελήνη είναι.5 kms -1 µια και το g της σελήνης είναι 1.61 m/s. Αν η εκτόξευση γίνεται από µεγαλύτερο ύψος η v es, είναι φυσικά µικρότερη. Επειδή λόγω περιστροφής η ταχύτητα ενός σηµείου στον ισηµερινό είναι ωr E =,47 kms -1 πρός ανατολάς (αφού η διεύθυνση περιστροφής της γης είναι από δυσµάς πρός ανατολάς), απαιτείται λιγότερη ενέργεια για την εκτόξευση ενός δορυφόρου που γίνεται από ένα σηµείο στον ισηµερινό και προς τα ανατολικά, σε σχέση µε άλλα πεδία εκτόξευσης σε µεγαλύτερα γεωγραφικά πλάτη..4 Υδροστατική εξίσωση της ατµόσφαιρας Όλα τα πλανητικά σώµατα έχουν πεδία βαρύτητας αλλά πολλά απ' αυτά δεν έχουν ατµόσφαιρες λόγω της διαφυγής των αερίων συστατικών. Ο ρυθµός διαφυγής εξαρτάται από την ισχύ του πεδίου βαρύτητας, και από τις ταχύτητες των µορίων κοντά στο εξώτερο όριο της ατµόσφαιρας. Αφόρτιστα σωµάτια τα οποία κινούνται προς τα έξω µε ταχύτητες µεγαλύτερες της ταχύτητας διαφυγής και που δεν συγκρούονται µε άλλα σωµάτια ή δεν ιονίζονται, διαφεύγουν από την επίδραση του πεδίου βαρύτητας και χάνονται απ' την ατµόσφαιρα. Στην περίπτωση της σελήνης όλη η ατµόσφαιρα έχει διαφύγει, ενώ για την γη δεν γνωρίζουµε αν η ολική µάζα της ατµόσφαιρας έχει αυξηθεί λόγω ηφαιστειακών εκλύσεων και παγίδευσης ηλιακής και διαστηµικής ύλης, ή έχει ελαττωθεί λόγω διαφυγής µορίων από την εξώσφαιρα. Αντιλαµβανόµαστε λοιπόν, ότι το αέριο στρώµα που περιβάλλει τη γη υπάρχει λόγω του πεδίου βαρύτητας. Κάθε µόριο αέρα έλκεται από τη γη και αναγκάζεται να συγκρουστεί µε τα µόρια που βρίσκονται στα κατώτερα στρώµατα. Το αποτέλεσµα είναι, ότι σ ένα επίπεδο η "προς τα κάτω" δύναµη λόγω της βαρύτητας, εξισορροπείται από την "προς τα πάνω" δύναµη λόγω κρούσεων. Τις απλές αυτές ιδέες θα χρησιµοποιήσουµε, για να καταλήξουµε σε µια από τις σηµαντικές εξισώσεις στην ατµοσφαιρική Φυσική.
3 Ας θεωρήσουµε µια κατακόρυφη στήλη αέρα, διατοµής ίσης µε την µονάδα, που εκτείνεται από την επιφάνεια της γης στην ατµόσφαιρα. Θα υποθέσουµε ότι: 1) ο αέρας βρίσκεται σε ηρεµία σε σχέση µε τη γη, ) η σύνθεση του αέρα είναι οµογενής και 3) ότι ο αέρας µπορεί να θεωρηθεί σαν ιδανικό αέριο. Για να είναι ο αέρας σε ισορροπία θα πρέπει σε οποιοδήποτε ύψος, το βάρος της στήλης πάνω από το ύψος αυτό να είναι ίσο µε την πίεση (λόγω κρούσεων) που εξασκούν τα µόρια της στήλης κάτω από το ύψος. Κατά συνέπεια η ατµοσφαιρική πίεση σε ένα ύψος ισούται µε τη δύναµη της βαρύτητας ανά µονάδα επιφάνειας που εξασκεί η µάζα αέρα πάνω από το ύψος. Στην πραγµατικότητα ο παραπάνω ορισµός δεν είναι απόλυτα ακριβής γιατί οι υποθέσεις που κάναµε, µόνο προσεγγιστικά ευσταθούν. Σε πρώτη προσέγγιση όµως, επειδή οι κατακόρυφες κινήσεις και επιταχύνσεις του αέρα είναι πολύ µικρές, η ταύτιση µεταξύ του "βάρους στήλης αέρα" και "ατµοσφαιρικής πίεσης" είναι ικανοποιητική. Στη συνέχεια ας θεωρήσουµε ένα στοιχείο όγκου της προηγούµενης στήλης, µεταξύ των υψών και +d (βλέπε Σχ..) µάζας ρd, όπου ρ είναι η πυκνότητα στο ύψος. Η πίεση στο ύψος είναι p ενώ στο ύψος +d είναι p-dp. H ελάττωση της πίεσης είναι προφανώς ίση µε το βάρος του στοιχείου στήλης gρd (όπου g αντιστοιχεί στο ύψος ). ηλαδή προκύπτει dp = g ρ d. (.17) Η εξίσωση αυτή, που βρίσκει κανείς στα βιβλία Γενικής Φυσικής, συνδέει την πίεση και την πυκνότητα µε το ύψος για ένα ιδανικό αέριο που βρίσκεται κάτω από την επίδραση της βαρύτητας. Όπως τονίστηκε, ισχύει κάτω από συνθήκες στατικής ισορροπίας και Σχήµα. Στοιχείο όγκου στο ονοµάζεται υδροστατική εξίσωση της ατµόσφαιρας. ύψος µιας κατακόρυφης νοητής Από την (.17) βλέπουµε ότι ο ρυθµός µεταβολής της στήλης αέρα διατοµής ίσης µε τη πίεσης του αέρα µε το ύψος dp/d είναι ανάλογος της µονάδα. πυκνότητας του αέρα και της δύναµης βαρύτητας ανά µονάδα µάζας (g). Αν η πίεση στο ύψος είναι p() ή p, από την (.17) έχουµε και επειδή p( ) =, προκύπτει p p dp = gρ d p ( )= g ρ d. (.18) ηλαδή η πίεση σ ένα ύψος ισούται µε το βάρος µιας κατακόρυφης στήλης, διατοµής ίσης µε τη µονάδα, που εκτείνεται από το ύψος ως το άπειρο. Αν η µάζα της ατµόσφαιρας ήταν οµοιόµορφα κατανεµηµένη γύρω από τη γη, τότε η ατµοσφαιρική πίεση στην επιφάνεια της θάλασσας θα ήταν 113 mb ή 1 Atm, (στην πραγµατικότητα κυµαίνεται από 98-14 mb).
4 Σε πολλές µετεωρολογικές εφαρµογές δεν εξυπηρετεί να χρησιµοποιούµε την πυκνότητα ρ η οποία δεν µπορεί να µετρηθεί άµεσα. Από την εξίσωση των ιδανικών αερίων έχουµε µ p ρ = p =, R T RT όπου µ είναι το µέσο µοριακό βάρος του ξηρού αέρα (µ = 8.97), Τ η απόλυτη θερµοκρασία, R η παγκόσµια σταθερά των αερίων (R = 8.314x1 3 J K -1 kmole -1 ) και R η σταθερά του ξηρού αέρα R=R /µ = 87 J K -1 kg -1. Αντικαθιστώντας το ρ από την παραπάνω σχέση στην (.17), έχουµε g dp p R T d pg = µ = RT d. (.19) Ολοκληρώνοντας την (.19) από = (p = p ), έως = (p = p()) παίρνουµε την βαροµετρική εξίσωση στην γενική µορφή της µ g p p R T d p g ( )= R T d exp = exp (.) Γνωρίζοντας ότι p ( )/ p = ρ( T ) ( )/ ρ T, κατόπιν αντικατάστασης στην (.) καταλήγουµε στην γενική εξίσωση µεταβολής της πυκνότητας µε το ύψος µ ρ( )= ρ T g T( ) exp R T d (.1) Επειδή ρ=mn, όπου n η αριθµητική µοριακή πυκνότητα (=αριθµός µορίων ανά µονάδα όγκου) και m η µέση µάζα ενός µορίου, προκύπτει n ( ) n T g T( ) exp R T d µ. (.) = Η (.) περιγράφει τη µεταβολή µε το ύψος του αριθµού των µορίων ανά µονάδα όγκου. Από τις προηγούµενες εξισώσεις βλέπουµε, ότι στην ατµόσφαιρα, η µεταβολή της πίεσης ή της πυκνότητας ενός αερίου µε το ύψος, εξαρτάται από το είδος του αερίου (Μοριακό βάρος µ) και την µεταβολή των ποσοτήτων Τ και g µε το ύψος. Επειδή η θερµοκρασία δεν είναι εύκολο να εκφραστεί µέσω µιας απλής αναλυτικής συνάρτησης του ύψους, η ολοκλήρωση στις παραπάνω εξισώσεις είναι δύσκολο να γίνει. Μπορούµε να ολοκληρώσουµε µόνο προσεγγιστικά, σε ορισµένες περιπτώσεις όπου η συνάρτηση Τ() µπορεί να πάρει µια προσεγγιστική αναλυτική µορφή και εφόσον κάνουµε ορισµένες υποθέσεις για τις υπόλοιπες ποσότητες που υπεισέρχονται στο ολοκλήρωµα.
5 Στην µετεωρολογία συναντάµε τις ακόλουθες περιπτώσεις: 1) Οµογενής ατµόσφαιρα: ρ() = σταθερά. ) Ισόθερµη ατµόσφαιρα: Τ() = σταθερά. 3) Πολυτροπική ατµόσφαιρα: Τ() = T o - γ, όπου γ = - Τ/ είναι η κατακόρυφη θερµοβαθµίδα. Παρά το γεγονός ότι οι παραπάνω εξισώσεις είναι ανεφάρµοστες για όλη την ατµόσφαιρα, είναι χρήσιµο να τις εξετάσουµε χωριστά, γιατί η ατµόσφαιρα µπορεί να χωριστεί σε διάφορα στρώµατα, από τα οποία το καθένα µπορεί προσεγγιστικά να θεωρηθεί ότι υπακούει σε µια από τις παραπάνω τρεις περιπτώσεις. 1. Οµογενής Ατµόσφαιρα Θεωρούµε ότι ρ() = ρ = σταθερό και ότι g = g = 9.81 ms -. Ολοκλήρωση της (.17) δίνει p ( )= p gρ δηλαδή η πίεση στην οµογενή ατµόσφαιρα ελαττώνεται γραµµικά µε το ύψος και µηδενίζεται στο ύψος p R T RT = = = = H (.3) g ρ µ g g Η παράµετρος Η είναι η κλίµακα ύψους και εδώ ισούται µε το ύψος της οµογενούς ατµόσφαιρας. Η αριθµητική της τιµή για τον ξηρό αέρα (µ = 8.97), και για θερµοκρασία επιφάνειας της γης Τ = 73 ο Κ, είναι H = 799 m 8 km. Για µια θερµοκρασία Τ διαφορετική του Τ έχουµε H RT RT T H T = = =. (.4) g g T T Η τιµή του Η ο για µερικά από τα κύρια συστατικά της ατµόσφαιρας δίνεται στον Πίνακα.1. Πίνακας.1 Ύψος, Η (m), οµογενούς ατµόσφαιρας διαφόρων αερίων. Αέριο Ν Ο Α CO H H O Αέρας Η (m) 886 73 58 55 11498 183 799 Η µεταβολή της θερµοκρασίας µε το ύψος στην οµογενή ατµόσφαιρα, µπορεί να βρεθεί από την εξίσωση των ιδανικών αερίων (ξηρός αέρας) T = p/ Rρ. ιαφορίζοντας την εξίσωση αυτή ως προς υπό τη συνθήκη ότι ρ = σταθερό και κάνοντας χρήση της βασικής εξίσωσης της υδροστατικής (.17) έχουµε
6 dt d 1 dp g = = = 3. 4 / 1 m. Rρ d R H τελευταία σχέση, εκφράζει την κατακόρυφη κλίση θερµοκρασίας στην οµογενή ατµόσφαιρα, γενικά δε ονοµάζεται ατµοσφαιρική θερµοβαθµίδα. Η ποσότητα Η ορίστηκε µ εσα από τις εξισώσεις, αλλά είναι χρήσιµη σαν µέτρο έκτασης της ατµόσφαιρας σε πολλά προβλήµατα και υπολογισµούς. Κάνοντας χρήση της ποσότητας Η, η υδροστατική εξίσωση γράφεται dp p = g RT d = 1 H d. (.5) Από την τελευταία σχέση βλέπουµε ότι το Η µπορεί να χρησιµοποιηθεί σαν µονάδα µέτρησης ύψους εντός του οποίου λαβαίνουν χώρα συγκεκριµένες µεταβολές.. Ισόθερµη Ατµόσφαιρα Εάν Τ() = σταθ., ολοκληρώνοντας την υδροστατική εξίσωση (.19) µεταξύ των ορίων (p, p()) και (, ) βρίσκουµε ln p( ) p o µ g = R T = g RT ή p ( ) = pexp( / H), όπου H = RT / g. Η τελευταία εξίσωση µας λέει ότι στην ισόθερµη ατµόσφαιρα, η πίεση ελαττώνεται εκθετικά µε το ύψος. Αυτό θεωρητικά σηµαίνει, ότι η ισόθερµη ατµόσφαιρα δεν έχει ανώτερο όριο και εκτείνεται µέχρι το άπειρο. Στο ύψος = H, η πίεση ελαττώνεται στο 1/e της πίεσης p στην επιφάνεια της γης, ενώ για την οµογενή ατµόσφαιρα, στο ύψος αυτό, η πίεση είναι µηδέν. Από την τελευταία εξίσωση προκύπτει H T ( ) p 3. log. T p ( ) = Από τη σχέση αυτή βρίσκουµε, αν Η = 8 km και Τ = Τ, ότι η πίεση θα ελαττωθεί 1 φορές στο ύψος των 18.4 km και 1 φορές στο ύψος των 37 km. Στην πραγµατικότητα το ύψος αυτό είναι µικρότερο, γιατί η µέση θερµοκρασία είναι µικρότερη των o C.
7 3. Πολυτροπική Ατµόσφαιρα Εδώ έχουµε Τ() = Τ - γ, όπου γ = - dτ/d η κατακόρυφος θερµοβαθµίδα. Στην περίπτωση αυτή, η υδροστατική εξίσωση γράφεται dp p gd = RT gd = R( T γ ) = g dt Rγ T Λαµβάνοντας g = σταθ. και ολοκληρώνοντας µεταξύ των ορίων (p, p()) και (Τ, Τ()) έχουµε g/ R g/ R p ( ) T( ) = γ γ 1 p T = γ. T Η τελευταία σχέση εκφράζει τη µεταβολή της πίεσης µε το ύψος στην πολυτροπική ατµόσφαιρα. Το ύψος, στο οποίο η πίεση ισούται µε p(), βρίσκεται από την τελευταία σχέση και είναι Rg To p = γ / ( ) 1. γ p Από την εξίσωση αυτή βρίσκουµε ότι το ανώτερο όριο της πολυτροπικής ατµόσφαιρας (p() = ), είναι ίσο µε = T /γ, έτσι π.χ. αν Τ ο = 73 ο K και γ = 6 ο / km, τότε = 45 km. Είναι εύκολο να δείξουµε ότι η οµογενής ατµόσφαιρα είναι µερική περίπτωση της πολυτροπικής. Πράγµατι, αν αντικαταστήσουµε την τιµή γ = -g/r = - 3.4 ο C/1m για την οµογενή ατµόσφαιρα και Τ = 73 ο Κ, τότε προκύπτει ότι = 8 km. Αν συγκρίνουµε την κατακόρυφη µεταβολή της πίεσης και στις τρεις περιπτώσεις (Σχήµα.3), βλέπουµε ότι η πίεση ελαττώνεται ταχύτερα στην οµογενή ατµόσφαιρα ενώ στην ισόθερµο ατµόσφαιρα ελαττώνεται µε βραδύτερο ρυθµό απ ότι στην πολυτροπική. Σχήµα.3 Μεταβολή της πίεσης µε το ύψος στην οµογενή (1), πολυτροπική (3) και ισόθερµη (), ατµόσφαιρα. Μια άλλη ατµόσφαιρα που ονοµάζεται πρότυπη (standard), χαρακτηρίζεται από µια µέση κατακόρυφη κατανοµή µετεωρολογικών παραµέτρων και βρίσκει εφαρµογή σε διάφορους πρακτικούς υπολογισµούς. Στην πρότυπη ατµόσφαιρα δεχόµαστε ότι η θερµοκρασία ελαττώνεται γραµµικά µε το ύψος, µε γ = - 6.5 ο C/km, µέχρι τα 11 km, ενώ από τα 11 έως 3 km παραµένει σταθερά και ίση µε 16 ο Κ (-56.5 ο C). ηλαδή, η ατµόσφαιρα
8 standard είναι πολυτροπική µέχρι τα 11 km και ισόθερµη από τα 11 έως τα 3 km, έτσι ώστε να µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τις αντίστοιχες εξισώσεις στους υπολογισµούς. Εφαρµογή της υδροστατικής εξίσωσης στην ανώτερη ατµόσφαιρα. Προφανώς όταν χρησιµοποιούµε την (.17) για τον υπολογισµό της πίεσης στην ανώτερη ατµόσφαιρα, θα πρέπει να λάβουµε υπόψη ότι το g δεν µπορεί να είναι ίσο µε g o. Αντικαθιστώντας το g από την (.9) στην (.19), η υδροστατική εξίσωση παίρνει την µορφή p R E dp = g RE ω ( + ) cos ϕ d RT RE + (.6) Αν θεωρήσουµε ότι η θερµοκρασία T() = T είναι σταθερή και ολοκληρώσουµε, έχουµε g RE ω cos ϕ p( ) = p + RE exp + (.7) RT RE + RT Λαµβάνοντας υπόψη την (.11), η τελευταία σχέση γράφεται p ( ) = pexp( ( )/ RT) Φ όπου Φ() είναι το γεωδυναµικό, R E η µέση ακτίνα της γης, και R η σταθερά αερίου του αέρα (R=R/µ a ). Από την (.16), επειδή το g ελαττώνεται µε το ύψος προκύπτει ότι οι µεταβολές της πίεσης (ή πυκνότητας) µε το ύψος, είναι µικρότερες απ' ότι στην περίπτωση που g() = σταθ. Οι διαφορές αυτές γίνονται σηµαντικές στην ετερόσφαιρα. Στην οµόσφαιρα (µέχρι του 1 km) το σφάλµα που εισάγεται, όταν g() = g = 9.81 ms -, είναι µικρό. Βέβαια οι παραπάνω εξισώσεις δεν είναι απόλυτα ακριβείς, γιατί θεωρήσαµε στην ολοκλήρωση της (.16) ότι Τ() = σταθ. Στην πραγµατικότητα η θερµοκρασία Τ() στην ανώτερη ατµόσφαιρα δεν είναι εύκολο να εκφραστεί από µια απλή σχέση σαν συνάρτηση του ύψους. Η θερµοκρασία βέβαια παραµένει σταθερή πάνω από την θερµόπαυση, της οποίας όµως το ύψος είναι δύσκολο να καθοριστεί γιατί εξαρτάται από την ηλιακή δραστηριότητα. Μια άλλη ερώτηση είναι αν ο όρος "πίεση" είναι εφαρµόσιµος στην ανώτερη ατµόσφαιρα, όπου ο αριθµός των µορίων ανά µονάδα όγκου είναι µικρός, η µέση ελευθέρα διαδροµή µεγάλη και οι κρούσεις σπανίζουν. Αποδεικνύεται, ότι η υδροστατική εξίσωση µπορεί να χρησιµοποιηθεί και για πολύ αραιωµένη ατµόσφαιρα (µέχρι τα 1 km). Η µάζα της ατµόσφαιρας. Η µάζα του αέρα σ ένα στοιχείο στήλης, διατοµής ίσης µε την µονάδα και ύψους d, είναι dm = ρ d. Κατά συνέπεια σε όλη τη στήλη από ύψος έως η µάζα είναι
9 έτσι ώστε η ολική µάζα της ατµόσφαιρας είναι m = ρ d (.8) Αν χρησιµοποιήσουµε την (.8) και την (.1), έχουµε M = 4π RE ρd. (.9) m T g = d d T ρ exp RT ( ) ( ) (.3) Για να υπολογίσουµε το m o, χρειάζεται να ξέρουµε την συνάρτηση µεταβολής της θερµοκρασίας µε το ύψος και φυσικά θα πρέπει να λάβουµε υπόψη την µεταβολή του g µε το ύψος. Για ένα προσεγγιστικό υπολογισµό της ολικής µάζας της ατµόσφαιρας, ας υποθέσουµε ότι Τ() = Τ (ισόθερµη ατµόσφαιρα) και g = σταθ. Τότε από την (.3) βρίσκουµε m = / H ) ρ exp( d = ρ H Χρησιµοποιώντας ρ = 1.7 kgm -3, H = 799 m, R E = 637 km βρίσκουµε από την (.9), ότι Μ = 5,3x1 18 kg. Βρήκαµε προηγουµένως, ότι η µάζα όλης της γης είναι περίπου 5.97x1 4 kg. ηλαδή, η µάζα της ατµόσφαιρας είναι ~1 6 φορές µικρότερη (το ένα εκατοµµυριοστό) της µάζας της γης. Η κατακόρυφη κατανοµή της µάζας στην περίπτωση της ισόθερµης ατµόσφαιρας, µπορεί να υπολογιστεί από τις παραπάνω εξισώσεις. Επειδή dm = ρd, βρίσκουµε ότι η µάζα ατµοσφαιρικής στήλης, διατοµής ίσης µε την µονάδα, µέχρι ένα ύψος είναι m ( ) = ρ d = m { - exp( / H )} 1, ( T( ) = T) (.31) Χρησιµοποιώντας την (.31), βρίσκουµε εύκολα, ότι περίπου τα 63% της όλης ατµοσφαιρικής µάζας, βρίσκονται κάτω από τα 8 km, τα 5% κάτω από τα 5.5 km, 9% κάτω από τα 18.4 km και 99% κάτω από τα 36 km. Στην πραγµατικότητα, λόγω της µεταβολής της θερµοκρασίας µε το ύψος, τα παραπάνω ύψη είναι διαφορετικά αλλά οι διαφορές δεν είναι πολύ σηµαντικές..5 Κλίµακα ύψους και διάχυση Από την (.) έχουµε d p ( ) = pexp (.3) H( ) όπου H() = R T()/µg είναι η κλίµακα ύψους. Λόγω µίξης το µοριακό βάρος µπορεί να θεωρηθεί σταθερό µέχρι τα 1 km. Eπίσης σταθερό µπορεί να θεωρηθεί και το g σε πρώτη
3 προσέγγιση. Συνεπώς η Η() µεταβάλλεται ανάλογα της θερµοκρασίας Τ(), µέχρι τα 1 km, (για Τ = 73 Κ βρήκαµε ότι Η = 8 km). Αν η θερµοκρασία ήταν σταθερή, θα προέκυπτε ότι p ( ) = p exp( / H). Στην πραγµατικότητα η σχέση αυτή ισχύει µόνο κατά προσέγγιση. Μέχρι τα 1 km (oµόσφαιρα), η Η παίρνει τιµές στο διάστηµα από 5 ως 9 km. Στην ετερόσφαιρα (>1 km) το µοριακό βάρος του αερίου µίγµατος µεταβάλλεται µε το ύψος. Για ένα µίγµα αερίων υπό την επίδραση του πεδίου βαρύτητας, η Στατιστική Μηχανική προβλέπει ότι θα υπάρχει ξεχωριστή κατακόρυφη κατανοµή για κάθε είδος µορίων. ηλαδή κάθε αέριο (i), θα υπακούει στην εξίσωση pi( ) = pi exp d H ( ) i σύµφωνα µε το µοριακό του βάρος µ i. Κατά τον τρόπο αυτό στα κατώτερα στρώµατα η συγκέντρωση των βαρύτερων συστατικών θα υπερισχύει σε σχέση µε την συγκέντρωση των ελαφρότερων συστατικών (το αντίθετο συµβαίνει στα ανώτερα στρώµατα). Για να καταλάβουµε αυτό, ας θεωρήσουµε, απλουστεύοντας τα πράγµατα, µόνο δυο συστατικά κι ας υποθέσουµε ότι τα g και Τ παραµένουν σταθερά. Έχουµε R T ( ) αέριο 1: H1( ) =, p1( ) = p1exp( / H1) gµ 1 Σχήµα.4 Κατανοµή των αερίων µε το ύψος σε κατάσταση ισορροπίας λόγω διάχυσης. p= µερική πίεση, = ύψος πάνω από ένα αυθαίρετο ύψος αναφοράς, Οι κλίµακες ύψους H 1 και H είναι σταθερές. αέριο : H ( ) = R T ( ), gµ p ( ) = p exp( / H ) (.33) Εάν µ 1 > µ, το Σχήµα.4 δείχνει την κατανοµή της συγκέντρωσης των δυο αερίων µε το ύψος. Λόγω του ότι Η 1 < Η, οι δυο καµπύλες τέµνονται σε ένα ύψος, πάνω από το οποίο το ελαφρότερο συστατικό είναι το επικρατέστερο. Αντίθετα µε την ετερόσφαιρα, κάτω από τα 1 km όπου οι µηχανισµοί µίξης επικρατούν, δεν έχουµε στρωµάτωση των αέριων συστατικών και το µίγµα των αερίων είναι οµογενές. Συνεπώς η (.3) χρησιµοποιείται στην οµόσφαιρα για την µελέτη του αερίου µίγµατος. Πάνω από τα 1 km, η ισορροπία περιγράφεται από ένα σύνολο εξισώσεων (.33) και η σύσταση του αέρα µεταβάλλεται µε το ύψος ώστε τελικά, έχουµε µια κατάσταση ισορροπίας που υπαγορεύεται από τη µοριακή διάχυση.
31 Η διάχυση µάζας είνια µια σηµαντική φυσική διεργασία µεταφοράς στο χώρο µάζας και ενέργειας. Λαβαίνει χώρα όταν υπάρχει µια χωρική βαθµίδα της πυκνότητας. Η φορά της διάχυσης είναι τέτοια, ώστε να έχουµε µεταφορά µάζας από περιοχές µεγαλύτερης συγκέντρωσης (πυκνότητας ή πίεσης) σε περιοχές µικρότερης συγκέντρωσης. Αν Γ είναι η πυκνότητα µοριακής ροής, δηλ. ο αριθµός των µορίων που διαχέονται προς την θετική κατεύθυνση ανά µονάδα χρόνου και µονάδα επιφανείας (m - s -1 ), τότε προκύπτει µια σχέση αναλογίας µεταξύ του Γ και της µεταβολής της συγκέντρωσης N ανά µονάδα µήκος ( dn / d ) ( η ροή µάζας είναι αντίθετη της βαθµίδας dn / d της οποίας η κατεύθυνση ορίζεται από τις µικρότερη προς την µεγαλύτερη συγκέντρωση). Η σχέση αυτή γράφεται Γ= D dn d (.34) και είναι γνωστή σαν νόµος του Fick. D είναι ο συντελεστής διάχυσης και έχει διαστάσεις m s -1. Το αρνητικό σηµείο στην (.34) είναι για να δείξει, ότι η καθαρή ροή (net flow) λαβαίνει χώρα προς τη διεύθυνση εκείνη στην οποία το N ελαττούται. Από την κινητική θεωρία (π.χ. Βλέπε: An Introduction to thermodynamics, the kinetic theory of gases and statistical Mechanics, by F. W. Sears σελ. 69) προκύπτει για ένα µίγµα αερίων ότι 1 1 1 D = vλ = v, 3 3 σ N όπου v = µέση µοριακή ταχύτητα, λ = µέση ελεύθερη διαδροµή, σ = ενεργός διατοµή κρούσης (εξαρτάται από τις διαστάσεις των µορίων και είναι της τάξης των 4 A ). Σύµφωνα µε την τελευταία εξίσωση, η διάχυση εξαρτάται από την µέση ελεύθερη διαδροµή των µορίων, ενώ ο όρος 1/D µπορεί να χρησιµοποιηθεί σαν µέτρο του χρόνου διάχυσης. Κεφάλαιο. Ασκήσεις 1. Να βρεθεί η γωνία µεταξύ g και g (Σχ..1) στην επιφάνεια της Γης ως συνάρτηση του Γεωγραφικού Πλάτους φ. Ποια είναι η µέγιστη αριθµητική τιµή της γωνίας αυτής και σε ποιο γεωγραφικό πλάτος αντιστοιχεί;. Να βρεθούν οι περίοδοι περιστροφής δορυφόρων που βρίσκονται σε κυκλική τροχιά στα ύψη των και 6 km. Ποιες είναι οι τιµές των περιόδων αυτών για ένα παρατηρητή στη Γη, όταν οι δορυφόροι βρίσκονται στο επίπεδο του ισηµερινού και κινούνται από δυσµάς προς ανατολάς; 3. Αν η θερµοκρασία στα 5 km είναι ο Κ να βρεθεί τα κλάσµα των ατόµων Η που θα διαφύγει της ατµόσφαιρας.
3 4. Υπολογίστε το γεωδυναµικό ύψος που αντιστοιχεί στη στάθµη των.1 mb όταν η πίεση στην επιφάνεια της θάλασσας είναι ~1 mb. Η κλίµακα ύψους της ατµόσφαιρας µπορεί να ληφθεί ίση µε 8 km. 5. Υποθέστε ότι η µέση θερµοκρασία στο στρώµα µεταξύ των βαροµετρικών επιπέδων των 1 mb και 9 mb είναι 8 ο Κ, και βρείτε το εύρος του στρώµατος. 6. Αν η τροπόπαυση αντιστοιχεί στα 15mb πίεση και η στρατόπαυση σε 1mb, τότε α) να βρείτε την ολική µάζα ανά µονάδα επιφάνειας της στρατόσφαιρας και β) να βρείτε το εύρος της στρατόσφαιρας αν βρεθεί υπό κανονικές συνθήκες πίεσης και θερµοκρασίας (Ρ=1 Atm = 113 mb, T = 73 ο K). ίνεται g = 9.7m/s 7. Υποθέστε ότι από ένα ύψος 1 km και άνω η ατµόσφαιρα βρίσκεται σε ισορροπία λόγω διάχυσης µε µια σταθερή θερµοκρασία 15 ο Κ. Οι αριθµητικές πυκνότητες των Ο και Η στα 1 km είναι no = 1 6 cm 3 4 3 και n H = 1 cm. Να βρεθεί το ύψος πέραν του οποίου το Η γίνεται το επικρατέστερο συστατικό. Θεωρείστε ότι g = 6 m/s =const. 8. Αν ο λόγος της αριθµητικής πυκνότητας των ατόµων Ο προς αυτή των ατόµων Η στα km ύψος είναι 1 5, υπολογίστε τον ίδιο λόγο στα 14 km ύψος κάνοντας την υπόθεση ότι από τα έως 14 km η περιοχή είναι ισόθερµος µε Τ= ο Κ. 9. Σε ποιο ύψος θα πρέπει να βρίσκεται ένα µόριο Η θερµοκρασίας 5 ο Κ για να διαφύγει από την ατµόσφαιρα;