Εξαναγκασµένος αρµονικός ταλαντωτής χωρίς απόσβεση Το καλοκαίρι που πέρασε, η «περιπέτεια» της φθίνουσας κλόνισε την πίστη µου στην αυθεντία των πανεπιστηµιακών µας βιβλίων. Σοκαρίστηκα διαπιστώνοντας ότι αυτά που διδάχθηκα και δίδαξα, µε τόση σιγουριά ότι λέω το σωστό, δεν έλεγαν την αλήθεια ή έλεγαν περίπου την αλήθεια. Τώρα έρχεται ο εξαναγκασµένος αρµονικός ταλαντωτής να µας δείξει ακόµα µια φορά πόσο λάθος είχαµε να πιστεύουµε ότι η διδασκαλία µας ήταν αλώβητη από λάθη και ασάφειες. Η διδασκαλία του εξαναγκασµένου κλονίζεται συθέµελα σε πείσµα τόσων και τόσων πανεπιστηµιακών βιβλίων παγκόσµιας εµβέλειας. Με αφορµή τα αποσπάσµατα από το βιβλίο Θέµατα Φυσικής, Παρανοήσεις και προτάσεις υπέρβασής τους του Θρασύβουλου Μαχαίρα που ανάρτησε ο Διονύσης, πιστεύω ότι υπάρχουν σηµεία που όχι µόνο αξίζουν να µη τα προσπεράσουµε ανυποψίαστα, αλλά επιβάλλεται να τα προσέξουµε, ώστε όλοι µαζί να βρούµε τρόπο να περισώσουµε ότι είναι εφικτό. Κωδικοποιώ σηµεία των αποσπασµάτων του βιβλίου και ας τα προσέξουµε. Α. Σηµεία γενικότερου προβληµατισµού 1) «... σχετικά µε την ηθική διάσταση και τη µεγάλη ευθύνη όσων βάζουν θέµατα Πανελλαδικών Εξετάσεων από σχολικό βιβλίο που είναι γεµάτο λάθη» Στ αλήθεια βαρύ φορτίο που για να το σηκώσεις χρειάζεται βαθιά γνώση και αρκετή τόλµη. ) «... η διδασκαλία του εξαναγκασµένου αρµονικού ταλαντωτή χωρίς απόσβεση στα Λύκεια είναι απαράδεκτη, γιατί µε τον τρόπο που µας αναγκάζει το σχολικό βιβλίο να τον διδάξουµε, είναι σα να µας αναγκάζει να περιγράψουµε φυσικό φαινόµενο δικιά µας εφεύρεσης. Με διαγράµµατα και σχέσεις δηλαδή που δεν υπάρχουν.» Πάντα ένιωθα άβολα όταν σχεδίαζα την καµπύλη συντονισµού για b=.τώρα ξέρω ότι δεν πρέπει να το κάνω. 3) Πέρσι στις Πανελλαδικές, 1ο Θέµα, ερώτηση 5δ: «Σε µια εξαναγκασµένη ταλάντωση, η συχνότητα της ταλάντωσης ισούται µε τη συχνότητα του διεγέρτη. Ο εξαναγκασµένος χωρίς απόσβεση είναι κλασικό παράδειγµα εξαναγκασµένης ταλάντωσης, όπου ο διεγέρτης δεν επιβάλλει στον ταλαντωτή τη συχνότητά του» Πως λοιπόν µπορούµε να είµαστε βέβαιοι ότι ο µαθητής που θα χαρακτηρίσει την ερώτηση 5δ λανθασµένη, δεν θα έχει στο µυαλό του την παραπάνω περίπτωση; Ή µήπως πρέπει να του κρύψουµε την αλήθεια για να «σώσουµε» τα λάθη του σχολικού και όχι µόνο 1
Β. Σηµεία που αφορούν τη σωστή διδασκαλία του φαινοµένου 1) «... Βλέποντας στα διαγράµµατα του Σχήµατος 4.41 το b να εµπλέκεται ποιοτικά ισοδύναµα µε τα άλλα b, συµπεραίνουµε ότι ένας εξαναγκασµένος ταλαντωτής χωρίς απόσβεση (b=), µετά από κάποιο µεταβατικό στάδιο κατά το οποίο εκτελεί µια πολύπλοκη κίνηση, θα εισέλθει σε µια µόνιµη κατάσταση όπου, ανεξάρτητα από τις αρχικές συνθήκες, θα εκτελεί µία µόνο αρµονική ταλάντωση µε σταθερό πλάτος. Το πλάτος αυτό θα είναι τόσο πιο µεγάλο όσο πιο κοντά στην ιδιοσυχνότητα f βρίσκεται η συχνότητα f του διεγέρτη. Στην περίπτωση µάλιστα του συντονισµού ( f=f ), αυτή η ταλάντωση θα έχει σταθερό άπειρο πλάτος (!!!) Όλα αυτά όµως για τον εξαναγκασµένο ταλαντωτή χωρίς απόσβεση (b= δηλαδή) δεν υφίστανται. εν υπάρχουν!!!» Το λάθος στον εξαναγκασµένο ταλαντωτή που τεκµηρίωσε ο Θρασύβουλος Μαχαίρας δεν είναι απλό λαθάκι όπως µας τονίζει και από την αφίσα της παρουσίασης του βιβλίου του: Είναι λάθος που τροφοδοτεί γενιές ανθρώπων και που περιέχεται και σε πανεπιστηµιακά βιβλία για φοιτητές ή Φυσικούς. Έτσι τα λάθη ανατροφοδοτούνται.. ) Η εξίσωση κίνησης του εξαναγκασµένου χωρίς τριβή που εξετάζουµε είναι υ x(t) = ρ ηµt + x συνω t + ( ω ηµω t Η εξίσωση κίνησης αυτή µπορεί να εκληφθεί ως σύνθεση των εξισώσεων κίνησης δύο ταλαντώσεων: ρ Της αρµονικής ταλάντωσης x1 = ηµω t ω ω µε κυκλική συχνότητα ω εκείνη του διεγέρτη και πλάτος A 1 = ω ρ ω Της αρµονικής ταλάντωσης υ x = ηµt + x συνω t ( µε κυκλική συχνότητα την κυκλική ιδιοσυχνότητα ω του ταλαντωτή και πλάτος Α υ = + x ( Άρα ο εξαναγκασµένος ταλαντωτής χωρίς απόσβεση είναι παράδειγµα σύνθεσης ταλαντώσεων µε διαφορετικά πλάτη και διαφορετικές συχνότητες. Να λοιπόν που µια εξαναγκασµένη ταλάντωση είναι σύνθεση ταλαντώσεων.
Αφού λοιπόν ο εξαναγκασµένος ταλαντωτής χωρίς απόσβεση είναι σύνθεση ταλαντώσεων θα έχουµε όλα όσα µπορούµε να δούµε σε µια σύνθεση ταλαντώσεων. Για παράδειγµα αν η διαφορά των ω και ω είναι µικρή σε σχέση µε τις ω κα ω ξεχωριστά περιµένουµε να σχηµατίζονται διακροτήµατα!!! Και κάτι άλλο πολύ σηµαντικό. Στην εξαναγκασµένη αυτή ταλάντωση ο διεγέρτης δεν επιβάλλει τη συχνότητά του στον ταλαντωτή, αλλά και οι δύο συχνότητες συνυπάρχουν στην κίνηση του ταλαντωτή. 3)Στον εξαναγκασµένο ταλαντωτή µε απόσβεση έχουµε µεταβατικό στάδιο, στον εξαναγκασµένο χωρίς απόσβεση δεν υπάρχει. 4) Ο συντονισµός στον εξαναγκασµένο ταλαντωτή χωρίς απόσβεση δεν έχει και µεγάλη σχέση µε τον συντονισµό στον εξαναγκασµένο µε απόσβεση τουλάχιστον σε µια πρώτη εξέταση από άποψη φυσικής συµπεριφοράς. Στη µια περίπτωση έχουµε ακατάπαυστη αύξηση του πλάτους της ταλάντωσης και στην άλλη µόνιµη κατάσταση µε σταθερό µέγιστο πλάτος. Δηλαδή µετά από ένα µεταβατικό στάδιο θα έχουµε ταλάντωση µε σταθερό πλάτος. Στο σηµείο αυτό, αφού ευχαριστήσω το συνάδελφο κύριο Μυσίρη για την προσφορά του πάνω στο θέµα θα διαφωνήσω µαζί του στο εξής: Γράφει: Επίσης για το τελευταίο διάγραµµα "omilia pps" πιστεύω πως θα µπορούσαµε να το "σώσουµε" αν αντί για b= γράφαµε b τείνει στο µηδέν και δηλώναµε ότι η καµπύλη ότι κλείνει κάπου πολύ πολύ ψηλά. Αλλά γιατί να γλιτώσουµε το σχολικό και τα χίλια δυο πανεπιστηµιακά για άλλη µια φορά από τα λάθη τους; Δε µας έφτασαν οι φθίνουσες; Πόσες «γενιές ανθρώπων τροφοδοτήθηκαν» µε εκείνο το Α=Α e -Λt χωρίς να ξέρουν ούτε τι λένε ούτε τι µεταδίδουν στα παιδιά; Δε µας φτάνει τώρα ο εξαναγκασµένος ταλαντωτής; Γιατί να συνεχίσω αυτή την τακτική; 5) Ας προσέξουµε και αυτό το κοµµάτι από το κείµενο του Θρασύβουλου: «Στο συντονισµό ενός εξαναγκασµένου χωρίς απόσβεση, οι συχνότητες των δύο συνιστωσών αρµονικών ταλαντώσεων συµπίπτουν. Το γεγονός αυτό, ενώ σε άλλη περίπτωση θα οδηγούσε σε µια νέα ταλάντωση σταθερού πλάτους και ίδιας συχνότητας µε τις συνιστώσες ταλαντώσεις x 1 και x, εδώ δηµιουργεί άλλες συνθήκες γιατί απειρίζει τα πλάτη Α 1 και Α των δύο ταλαντώσεων. Με άλλα λόγια, Ο προοδευτικός µε την πάροδο του χρόνου απειρισµός των διαφόρων µεγεθών (πλάτους, ταχύτητας, ενέργειας κ.α) κατά το συντονισµό, φορµαλιστικά δεν οφείλεται στο ότι συνθέτουµε δύο ταλαντώσεις ίδιας συχνότητας, αλλά στο ότι συνθέτουµε δύο ταλαντώσεις ίδιας συχνότητας και απείρου πλάτους!!! Και είναι καταπληκτική η δύναµη των µαθηµατικών να µπορούν να δίνουν αποτέλεσµα µε τόσους απειρισµούς!!!» 3
Αυτά δε συµβαίνουν όταν υπάρχει έστω και η παραµικρή απόσβεση. Άρα κοιτάξτε κάτι καινούργιο: Ο εξαναγκασµένος ταλαντωτής χωρίς απόσβεση είναι µια σύνθεση ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης, ίδιας συχνότητας αλλά µε άπειρα πλάτη. Είναι όντως καταπληκτικό!!! Τροµερό παράδειγµα σύνθεσης!! 6) Στο συντονισµό του εξαναγκασµένου χωρίς απόσβεση το σύστηµα οδεύει στην καταστροφή. Το πόσο αργά ή γρήγορα εξαρτάται από τις αντοχές του συστήµατος που µελετάµε ή από τις διαστάσεις του, αφού όσο µεγάλο και να είναι ο ταλαντωτής θα οδεύει σε όλο και πιο µεγάλες αποστάσεις µέχρις ότου φτάσει στις διαστάσεις του συστήµατος που εξετάζουµε (π.χ. στα άκρα του τραπεζιού) και θα το διαλύσει. 7) Και κάτι γενικό τελευταίο «Όταν λέµε ότι αλλάζουµε την κυκλική συχνότητα ω του διεγέρτη ώστε να πλησιάσουµε στην κυκλική ιδιοσυχνότητα ω του ταλαντωτή πρέπει να έχουµε υπόψη µας ότι µιλάµε για µεταβολή κάποιας από τις παραµέτρους m, b, D, F, ω. Εννοούµε λοιπόν ότι κάνουµε την αλλαγή που θέλουµε στην εν λόγω παράµετρο (στην προκείµενη περίπτωση την αλλαγή της ω) ευθύς εξαρχής και πριν αρχίσει η κίνηση διατηρώντας τις άλλες τέσσερις παραµέτρους σταθερές. Κατόπιν αρχίζει η κίνηση την οποία και µελετάµε. εν αλλάζουµε δηλαδή την παράµετρο ω ενώ το κινητό είναι ήδη σε κίνηση.» Άρα στις προσοµοιώσεις (αν και δεν ξέρω πως λειτουργούν) ας το πάρουµε υπόψη µην αρχίσουµε και αλλάζουµε παραµέτρους όταν εξελίσσεται το φαινόµενο και αρχίσουµε να βλέπουµε τίποτε παράξενα να βγαίνουν και ψαχνόµαστε. Συζητώντας µε e-mail για τις φθίνουσες µε το Θρασύβουλο Μαχαίρα, µε τον οποίο γνωριζόµαστε µόνο ηλεκτρονικά, µου είπε κάποτε το εξής: «Δε θέλω εγώ να εξωθούµαι σε προσεγγίσεις, από άλλους που δήθεν ξέρουν τα φαινόµενα ακριβώς. Θέλω εγώ να ξέρω ακριβώς τα φαινόµενα και να αποφασίσω εγώ την προσέγγιση. Θέλω οι άλλοι που ξέρουν (διάφορα πανεπιστηµιακά βιβλία φιρµάτα) να µου λένε το ακριβές φαινόµενο ή να µε παραπέµπουν στο ακριβές φαινόµενο και εγώ θα δω τι θα κάνω.» Ίσως µε αυτή την έννοια δόθηκε η φράση «η ευθύνη του σχολικού βιβλίου είναι να είναι βέλτιστο». Μετά την καλοκαιρινή µας εµπειρία µε τις φθίνουσες και τώρα µε τον εξαναγκασµένο και ποιος ξέρει τι θα δούµε ακόµη, κατάλαβα ότι η ηχηρή βιβλιογραφία ενός βιβλίου που προορίζεται για µαθητές δε φτάνει να το κάνει καλό. 4
Στριφογυρνάνε µες στο µυαλό µου τα λόγια του Θρασύβουλου «...Η Φυσική, η µόνη βασική επιστήµη των δοµών του Κόσµου, από σεπτό άγγιγµα της Φύσης, κατάντησε στα Λύκεια θλιβερή ασκησιολογία...» Τι να του απαντήσεις;;;; Θοδωρής Παπασγουρίδης papasgou@gmail.com 5