Λίγα λόγια για τα Πλατωνικά και Αρχιµήδεια τερεά (Κανονικά και Ηµικανονικά Πολύεδρα) Λίγα Ιστορικά στοιχεία ηµ. Μπουνάκης χ. ύµβουλος Μαθηµατικών dimitrmp@sch.gr Ιούνιος 2011 Κανονικό Πολύεδρο είναι το κυρτό πολύεδρο που έχει όλες τις έδρες του κανονικά πολύγωνα και ίσα µεταξύ τους. Τα κανονικά Πολύεδρα µελετήθηκαν από τους αρχαίους Έλληνες Γεωµέτρες (Πυθαγόρας, Θεαίτητος -380 π.χ.) και αναφέρονται από τον Ευκλείδη (300 π.χ.) στα τοιχεία του (βιβλίο ιγ ). Θεαίτητος (380 π.χ.) : απόδειξε ότι υπάρχουν µόνο 5 κανονικά πολύεδρα Ευκλείδης (300 π.χ.): έδειξε πως κατασκευάζεται κάθε πολύεδρο και η περιγεγραµµένη σφαίρα του. Πάππος (300 µ.χ.) : έδειξε πως εγγράφεται σε δοσµένη σφαίρα κάθε πολύεδρο
2 Τα κανονικά Πολύεδρα αναφέρονται από τον Πλάτωνα στο έργο του Τίµαιος γι αυτό ονοµάστηκαν και Πλατωνικά στερεά- όπου τα συνδέει µε την θεµελίωση του κόσµου από αυτά. υγκεκριµένα δίνεται η εξής αντιστοιχία: Κύβος : Γη, Οκτάεδρο : Αέρας, Τετράεδρο : Φωτιά, Εικοσάεδρο : Νερό ωδεκάεδρο : ύµπαν Ηµικανονικό Πολύεδρο, είναι το κυρτό πολύεδρο που έχει όλες τις έδρες του κανονικά πολύγωνα µε δυο τουλάχιστον από αυτά να µην είναι ίσα µεταξύ τους και σε κάθε κορυφή του αντιστοιχεί ο ίδιος αριθµός από τέτοια πολύγωνα. Τα ηµικανονικά Πολύεδρα µελετήθηκαν από τον Αρχιµήδη ο οποίος και απόδειξε ότι είναι ακριβώς 13 (κατά µαρτυρία Πάππου). Tρία από αυτά είναι, αντίστοιχα (βλ. τέλος): Kυβοκτάεδρο (2, 2, 0, 0, 0, 0), Ροµβοκυβοκτάεδρο (1, 3, 0, 0, 0, 0,), Εικοσιδωδεκάεδρο (2, 0, 2, 0, 0, 0) ΠΡΟΤΑΗ 1 Υπάρχουν ακριβώς 5 κανονικά πολύεδρα. Απόδειξη Έστω ρ το πλήθος των (κανονικών) πολυγώνων µε ν πλευρές µιας στερεάς γωνίας του πολυέδρου, ρ, ν 3. Επειδή το άθροισµα των γωνιών µιας στερεάς γωνίας είναι µικρότερο από 4 ορθές, έχουµε ρ 180ο - 360 ο ο < 360 ν ή ρ 1-2 < 2 ν ή 2ν+2ρ-νρ>0 (ή (ν-2)(ρ-2)< 4), ρ, ν 3 Έτσι λαµβάνουµε Με ν=3 (τρίγωνα), ρ = 3, 4, 5 (τετράεδρο, 8-άεδρο, 20-άεδρο) Με ν=4 (τετράγωνα), ρ = 3 (Κύβος)
3 Με ν=5 (πεντάγωνα), ρ = 3 (-έδρο) Με ν = 6, 7, προκύπτει ρ< 3, αδύνατο. Η επιβεβαίωση ότι πράγµατι υπάρχουν αυτά τα πολύεδρα γίνεται µε την κατασκευή τους. Υπάρχουν µόνο 5 κανονικά πολύεδρα: η απόδειξη του Ευκλείδη (τοιχεία βιβλίο ιγ ) (έχει προηγηθεί η κατασκευή των πολυέδρων) Λέγω δή, ὅτι παρὰ τὰ εἰρηµένα πέντε σχήµατα οὐ συσταθήσεται ἕτερον σχῆµα περιεχόµενον ὑπὸ ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων ἴσων ἀλλήλοις. Ὑπὸ µὲν γὰρ δύο τριγώνων ἢ ὅλως ἐπιπέδων στερεὰ γωνία οὐ συνίσταται. ὑπὸ δὲ τριῶν τριγώνων ἡ τῆς πυραµίδος, ὑπὸ δὲ τεσσάρων ἡ τοῦ ὀκταέδρου, ὑπὸ δὲ πέντε ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου ὑπὸ δὲ ἓξ τριγώνων ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων πρὸς ἑνὶ σηµείῳ συνισταµένων οὐκ ἔσται στερεὰ γωνία οὔσης γὰρ τῆς τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου γωνίας διµοίρου ὀρθῆς ἔσονται αἱ ἓξ τέσσαρσιν ὀρθαῖς ἴσαι ὅπερ ἀδύνατον ἅπασα γὰρ στερεὰ γωνία ὑπὸ ἐλασσόνων ἢ τεσσάρων ὀρθῶν περιέχεται. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ οὐδὲ ὑπὸ πλειόνων ἢ ἓξ γωνιῶν ἐπιπέδων στερεὰ γωνία συνίσταται. ὑπὸ δὲ τετραγώνων τριῶν ἡ τοῦ κύβου γωνία περιέχεται ὑπὸ δὲ τεσσάρων ἀδύνατον ἔσονται γὰρ πάλιν τέσσαρες ὀρθαί. ὑπὸ δὲ πενταγώνων ἰσοπλεύρων καὶ ἰσογωνίων, ὑπὸ µὲν τριῶν ἡ τοῦ δωδεκαέδρου ὑπὸ δὲ τεσσάρων ἀδύνατον οὔσης γὰρ τῆς τοῦ πενταγώνου ἰσοπλεύρου γωνίας ὀρθῆς καὶ πέµπτου, ἔσονται αἱ τέσσαρες γωνίαι τεσσάρων ὀρθῶν µείζους ὅπερ ἀδύνατον. οὐδὲ µὴν ὑπὸ πολυγώνων ἑτέρων σχηµάτων περισχεθήσεται στερεὰ γωνία διὰ τὸ αὐτὸ ἄτοπον. Οὐκ ἄρα παρὰ τὰ εἰρηµένα πέντε σχήµατα ἕτερον σχῆµα στερεὸν συσταθήσεται ὑπὸ ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων περιεχόµενον ὅπερ ἔδει δεῖξαι. (τοιχεία, βιβλίο ιγ, πρόταση ις )
4 ΠΡΟΤΑΗ 2 Αν µια στερεά γωνία (κυρτού) κανονικού πολυέδρου αποτελείται από ρ πλήθους (κανονικά) ν-γωνα, τότε για τις Έδρες, Κορυφές και Ακµές του πολυέδρου ισχύουν 4ρ Ε = 2ν + 2ρ - νρ, 4ν Κ = 2ν + 2ρ - νρ, 2νρ Α = 2ν + 2ρ - νρ Απόδειξη Οι Ε έδρες έχουν νε µη διαφορετικές κορυφές και επειδή ρ από αυτές σµίγουν σε µια κορυφή, έχουµε νε Κ = ρ (1). Επίσης οι Ε έδρες έχουν νε µη διαφορετικές ακµές και επειδή κάθε 2 από αυτές δίνουν σµίγουν και δίνουν µια ακµή θα είναι νε Α = 2 (2) Επειδή Κ + Ε = Α + 2 (Euler) από τις (1), (2) λύνοντας ως προς Ε, προκύπτει 4ρ Ε = 2ν + 2ρ - νρ και από τις (1), (2) προκύπτουν και οι άλλοι τύποι., (εξασφαλίζεται το 2ν+2ρ-νρ>0 από την αρχική συνθήκη για τα ν, ρ) Παρατηρούµε ότι το ζεύγος (ρ, ν) των ρ, ν-γώνων σε µια (οποιαδήποτε) κορυφή του πολυέδρου, χαρακτηρίζει πλήρως το κανονικό πολύεδρο. Α. Έτσι όταν ν = 3 (τρίγωνα) έχουµε Αν ρ = 3 τότε Ε= 4, Τετράεδρο (Κ = 4, Α = 6) Αν ρ = 4 τότε Ε= 8, Οκτάεδρο (Κ = 6, Α = ) Αν ρ = 5 τότε Ε= 20, Εικοσάεδρο (Κ =, Α = 30) Β. Με ν = 4 (τετράγωνα) έχουµε ρ=3, οπότε Ε= 6, Κύβος (Κ = 8, Α = ) Γ. Με ν=5 (πεντάγωνα) έχουµε ρ=3, οπότε Ε=, ωδεκάεδρο (Κ=20, Α=30) ηµείωση-μνηµονικός κανόνας: Το (4, 3)- οκτάεδρο είναι δυϊκό µε το (3, 4)- εξάεδρο, ενώ το (3, 5) δωδεκάεδρο είναι δυϊκό µε το (5, 3)- εικοσάεδρο. τα δυϊκά πολύεδρα οι έδρες του ενός είναι κορυφές του άλλου, ενώ έχουν τις ίδιες ακµές.
5 ΠΡΟΤΑΗ 3 Αν µια στερεά γωνία κυρτού κανονικού ή ηµικανονικού πολυέδρου έχει έδρες αποτελούµενες από ρ: τρίγωνα, τ : τετράγωνα, γ : πεντάγωνα, ξ : εξάγωνα, ω : οκτάγωνα και δ : δεκάγωνα, (ρ, τ, γ, ξ, ω, δ Ν) τότε για το πλήθος των Κορυφών, Εδρών και Ακµών του πολυέδρου ισχύει, αντίστοιχα, Κ = 240 2(40ρ + 30τ + 24γ + 20ξ +15ω +δ), Ε =, Α = 0(ρ + τ + γ + ξ + ω + δ), όπου = 0+40ρ+30τ+24γ+20ξ+15ω+δ 60(ρ+τ+γ+ξ+ω+δ) και το πλήθος των (κανονικών) Τριγώνων, Τετραγώνων, Πενταγώνων, Εξαγώνων, Οκταγώνων και εκαγώνων εδρών του πολυέδρου, είναι ίσο αντίστοιχα µε: Ρ = 80ρ, Τ = 60 τ, Π = 48 γ, Ξ = 40ξ, Ω = 30ω, = 24δ Απόδειξη Έστω Ρ, Τ, Π, Ξ, Ω, όλα τα (κανονικά) τρίγωνα, τετράγωνα, πεντάγωνα, εξάγωνα και δεκάγωνα του ηµικανονικού (ή κανονικού πολυέδρου) αντίστοιχα, οπότε Ε = Ρ + Τ+ Π + Ξ+ Ω + (1) Λόγω κορυφών των εδρών ισχύουν 3Ρ = ρκ, 4Τ = τκ, 5Π = γκ, 6Ξ = ξκ, 8Ω = ωκ, 10 = δκ, οπότε από (1) Ε = ρ τ γ ξ ω δ + + + + + 3 4 5 6 8 10 Κ Επίσης λόγω κορυφών των ακµών έχουµε 2Α = 3Ρ+4Τ+5Π+6Ξ+8Ω+10, οπότε 2Α = (ρ+τ+γ+ξ+ω+δ)κ. Επίσης Κ + Ε =Α + 2 (σχέση Euler) και µε την βοήθεια των προηγουµένων σχέσεων, λύνοντας ως προς Κ, λαµβάνουµε
6 Κ = 240, όπου = 0+40ρ+30τ+24γ+20ξ+15ω+δ - 60(ρ+τ+γ+ξ+ω+δ) την συνέχεια προκύπτουν εύκολα οι υπόλοιποι τύποι. ηµείωση 1 Η εξάδα (ρ, τ, γ, ξ, ω, δ Ν) χαρακτηρίζει πλήρως το ηµικανονικό ή κανονικό πολύεδρο. Έτσι ο κόλουρος κύβος µε 1 τρίγωνο και 2 οκτάγωνα σε µια στερεά γωνία του, αντιστοιχεί στην εξάδα (1, 0, 0, 0, 2, 0), το κόλουρο οκτάεδρο αντιστοιχεί στην εξάδα (0, 1, 0, 2, 0, 0), το εικοσιδωδεκάεδρο στην εξάδα (2, 0, 2, 0, 0, 0), το δωδεκάεδρο (0, 0, 3, 0, 0, 0), το εικοσάεδρο (5, 0, 0, 0, 0, 0) κλπ. ηµείωση 2 Οι παραπάνω τύποι γενικεύονται και για την περίπτωση των δυο άλλων κατηγοριών ηµικανονικών πολυέδρων, των πρισµάτων και των αντιπρισµάτων, όπως π.χ. το παρακάτω πενταγωνικό ηµικανονικό πρίσµα και αντιπρίσµα. Οι κατηγορίες αυτές περιλαµβάνουν άπειρα τέτοια ηµικανονικά πολύεδρα, σε αντίθεση µε τα παραπάνω ακριβώς 5 πλατωνικά και 13 Αρχιµήδεια πολύεδρα.
7 Αρχιµήδεια τερεά (Ηµικανονικά Πολύεδρα) Τα πολύεδρα αυτά είναι ηµικανονικά, δηλαδή οι έδρες τους είναι κανονικά πολύγωνα όχι ίσα µεταξύ τους (από 2 ή 3 τρίγωνα, τετράγωνα, πεντάγωνα, εξάγωνα, οκτάγωνα, δεκάγωνα). ύµφωνα µε το Πάππο (300 µ.χ) αναφέρονται σε πραγµατεία του Αρχιµήδη (280-2π.Χ.) και είναι ακριβώς 13. Όνοµα χήµα Έδρες Είδος Έδρών Ακµές Κορυφές Κόλουρο Τετράεδρο -truncated tetrahedron (σε µια κορυφή: 3.6.6) 8 4 τρίγωνα 4 εξάγωνα 18 Κυβοκτάεδρο - cuboctahedron (3.4.3.4) γ = 2, τ = 2 14 8 τρίγωνα 6 τετράγωνα 24 Κόλουρος Κύβος - truncated cube ή truncated hexahedron (3.8.8) 14 8 τρίγωνα 6 οκτάγωνα 36 24 Κόλουρο Οκτάεδρο - truncated octahedron (4.6.6) 14 6 τετράγωνα 8 εξάγωνα 36 24 Ροµβοκυβοκτάεδρο - rhombicuboctahedron ή small rhombicuboctahedron (3.4.4.4 ) 26 8 τρίγωνα 18 τετράγωνα 48 24 Κόλουρο Κυβοκτάεδρο- truncated cuboctahedron ή greaαt rhombicuboctahedron (4.6.8) 26 τετράγωνα 8 εξάγωνα 6 οκτάγωνα 72 48 Πεπλατυσµένος Κύβος - snub cube ή snub hexahedron ή snub cuboctahedron (2 µορφές) (3.3.3.3.4) 38 32 τρίγωνα 6 τετράγωνα 60 24
8 Εικοσιδωδεκάεδρο - icosidodecahedron (3.5.3.5) γ = 2, π = 2 32 20 τρίγωνα πεντάγωνα 60 30 Κόλουρο ωδεκάεδρο - truncated dodecahedron (3.10.10) 32 20 τρίγωνα δεκάγωνα 90 60 Κόλουρο Εικοσάεδρο - truncated icosahedron ή buckyball ή football/soccer ball (5.6.6 ) 32 πεντάγωνα 20 εξάγωνα 90 60 Ροµβοεικοσιδωδεκάεδροrhombicosidodecahedron ή small rhombicosidodecahedron (3.4.5.4) 62 20 τρίγωνα 30 τετράγωνα πεντάγωνα 0 60 Κόλουρο Εικοσιδωδεκάεδρο - truncated icosidodecahedron ή great rhombicosidodecahedron (4.6.10) 62 30 τετράγωνα 20 εξάγωνα δεκάγωνα 180 0 Πεπλατυσµένο ωδεκάεδρο - snub dodecahedron ή snub icosidodecahedron (2 µορφές) (3.3.3.3.5) 92 80 τρίγωνα πεντάγωνα 150 60 χετικές ιστοσελίδες: http://9gym-peiraia.att.sch.gr/pdf_files/arximideia_sterea.pdf http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2052