ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ξεφυλλίζοντας τα σχολικά βιβλία της Α και Β Λυκείου θα συναντήσουμε τις παρακάτω 10 "βασικές" συναρτήσεις των οποίων τη γραφική παράσταση πρέπει να γνωρίζουμε: 1) ( x) x (ευθεία) Πεδίο Ορισμού: Σε κάθε περίπτωση ισχύει:, Σύνολο Τιμών: A ( η κλίση της ευθείας ή συντελεστής διεύθυνσής της, όπου ω η γωνία που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα x x ) ενώ η ευθεία τέμνει τον άξονα ' B 0, y y στο Μονοτονία: Αν 0 η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο, Αν 0 η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο, Αν 0 η συνάρτηση είναι σταθερή στο ) ( x) x (παραβολή) Πεδίο Ορισμού:, Σύνολο Τιμών: A 0, αν α 0 α 0, Η γραφική παράσταση ( C ) έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα και A,0 αν y' y και κορυφή το O0,0 Μονοτονία Ακρότατα: Αν 0 η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο,0 και γνησίως αύξουσα στο 0, και παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για x 0 το (0) 0. Αν 0 η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο,0 0, και γνησίως φθίνουσα στο και παρουσιάζει ολικό μέγιστο για x 0 το (0) 0. 1 ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
3) ( x) 3 x, 0 Πεδίο Ορισμού:, Σύνολο Τιμών: A Η γραφική παράσταση ( C ) έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων Ο(0,0) Μονοτονία: Αν 0 η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο, Αν 0 η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο, a 4) ( x), 0 (υπερβολή) x Πεδίο Ορισμού: A * *, Σύνολο Τιμών: Η γραφική παράσταση ( C ) έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων Ο(0,0) Μονοτονία: Αν 0 η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα:,0 και 0,, Αν 0 η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα:,0 και 0,. Σημείωση: Επειδή a y y x a ισχύει: x Αν a 0 τότε yx a δηλ. xyομόσημοι., Άρα η γραφική παράσταση θα βρίσκεται στο 1 ο και 3 ο τεταρτημόριο ενώ, Αν a 0 τότε yx 0 δηλ. xy, ετερόσημοι. Άρα η γραφική παράσταση θα βρίσκεται στο ο και 4 ο τεταρτημόριο. ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
5) ( x) ax x, 0 (τριώνυμο) Πεδίο Ορισμού:, Σύνολο Τιμών: A, 4 αν 0 και A, 4 αν 0 Σε κάθε περίπτωση η C έχει: Κορυφή το K,, άξονα συμμετρίας την ευθεία: 4 x, τέμνει τον άξονα y' y στο 0, και διέρχεται από το συμμετρικό του Β ως προς την ευθεία x Μονοτονία Ακρότατα: Αν 0 η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο, και γνησίως αύξουσα στο, και παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για x το y 4 Αν 0 η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο, και γνησίως φθίνουσα στο, και παρουσιάζει ολικό μέγιστο για x το y 4 3 ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
6) ( x) x Πεδίο ορισμού:, Σύνολο τιμών: 1,1 Η γραφική παράσταση επαναλαμβάνεται ανά π! Μονοτονία - Ακρότατα στο 0, : Στο 0, η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα 3 Στο, η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα 3 Στο, η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα Η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστη τιμή το και ελάχιστη τιμή το -1 Γενικά: ( x) x,, 0 Η γραφική παράσταση είναι ημιτονοειδής καμπύλη με περίοδο ελάχιστη τιμή ρ. 7) ( x) x T και μέγιστη τιμή ρ και Πεδίο ορισμού:, Σύνολο τιμών: 1,1 Η γραφική παράσταση επαναλαμβάνεται ανά π! Μονοτονία στο 0, : Στο 0, η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα, η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα Στο Η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστη τιμή το και ελάχιστη τιμή το -1 Γενικά: ( x) x,, 0. Η γραφική παράσταση είναι ημιτονοειδής με περίοδο T και μέγιστη τιμή ρ και ελάχιστη τιμή ρ. 4 ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
8) ( x) x Πεδίο ορισμού: k, k, Σύνολο τιμών: A Η γραφική παράσταση επαναλαμβάνεται ανά π! Μονοτονία: Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε διάστημα της μορφής:,, 9) ( x) a x ( 0) Πεδίο ορισμού:, Σύνολο τιμών: 0, Μονοτονία: Αν 0 η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο, Αν 0 1 η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο, x Αν 1 τότε (x) 1 1 οπότε η συνάρτηση είναι σταθερή. 5 ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
10) ( x) log x,0 1 A Πεδίο ορισμού: 0,, Σύνολο τιμών: Μονοτονία: Αν 1 η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο Αν 0 1 η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΙΣ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Έστω συνάρτηση με γνωστή γραφική παράσταση C και c 0. 1 ον ) Αν g( x) ( x) c τότε η γραφική παράσταση της g προκύπτει από την γραφική παράσταση της με κατακόρυφη μετατόπιση προς τα πάνω κατά c μονάδες. ον ) Αν g( x) ( x) c τότε η γραφική παράσταση της g προκύπτει από την γραφική παράσταση της με κατακόρυφη μετατόπιση προς τα κάτω κατά c μονάδες. 3 ον ) Αν g( x) ( x c) τότε η γραφική παράσταση της g προκύπτει από την γραφική παράσταση της με οριζόντια μετατόπιση προς τα δεξιά κατά c μονάδες. 4 ον ) Αν g( x) ( x c) τότε η γραφική παράσταση της g προκύπτει από την γραφική παράσταση της με οριζόντια μετατόπιση προς τα αριστερά κατά c μονάδες. ΑΣΚΗΣΗ Να χαράξετε τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων: α) g ( x) x 1 β) g ( x) ( x ) γ) g x x ( ) ( ) 3 6 ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
ΛΥΣΗ Θεωρούμε την συνάρτηση ( x) x (παραβολή) α) Παρατηρούμε ότι: g ( x) ( x ) 1 Άρα: Η γραφική παράσταση της g 1 θα προκύψει από τη γραφική παράσταση της με κατακόρυφη μετατόπιση κατά μονάδες προς τα κάτω. β) Επίσης παρατηρούμε ότι: g ( x) ( x ) Άρα: Η γραφική παράσταση της g θα προκύψει από τη γραφική παράσταση της με οριζόντια μετατόπιση κατά μονάδες δεξιά. β) Επίσης παρατηρούμε ότι: g ( x) ( x ) 3 Άρα: Η γραφική παράσταση της g 3 θα προκύψει από τη γραφική παράσταση της πρώτα με οριζόντια μετατόπιση κατά μονάδες αριστερά και στη συνέχεια κατακόρυφη μετατόπιση κατά μονάδες προς τα πάνω. (στην ίδια γραφική παράσταση θα καταλήξουμε και αν ξεκινήσουμε με κατακόρυφη μετατόπιση κατά μονάδες προς τα πάνω και στη συνέχεια οριζόντια μετατόπιση κατά μονάδες αριστερά ). ΑΛΛΕΣ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ (ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ) 1) Η γραφική παράσταση μιας ΑΡΤΙΑΣ συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y' y π.χ. ( x) x x, x, ( x) ( x ) ) Η γραφική παράσταση μιας ΠΕΡΙΤΤΗΣ συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων O0,0. π.χ. ( x) x x, x, ( x) ( x ) 3) Η αντίθετη μιας συνάρτησης έχει γραφική παράσταση το συμμετρικό σχήμα της 7 ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
γραφικής παράστασης της ως προς τον άξονα π.χ. ( x) x ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΒΑΚΑΛΟΠΟΥΛΟΣ xx. ' ΕΠΟΜΕΝΩΣ Η γραφική παράσταση της θα αποτελείται από την γρ. παρ. της αν ( x) 0 και το συμμετρικό της σχήμα ως προς τον άξονα xx ' αν ( x ) 0., 0 π.χ. ( ) x x x x, 0 x x 4) Η γραφική παράσταση των περιοδικών συναρτήσεων επαναλαμβάνονται ανά Τ. (όπου Τ η περίοδος της συνάρτησης). (βλέπε ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) ΑΣΚΗΣΗ Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση: ( x) x ΛΥΣΗ Η ( x) x είναι ΑΡΤΙΑ! αφού: x, x και ( x) x x ( x) Άρα η C έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y' y. Επομένως θα χαράξουμε για x 0 την γραφική παράσταση της ( x) x και για x 0 θα χαράξουμε το συμμετρικό σχήμα ως προς τον y' y. 8 ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ