4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου

Transcript

1 4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου 8-9 Θέμα A A Αν οι συναρτήσεις,g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση και ισχύει: g g παραγωγίσιμη στο μονάδες 7 A Να διατυπώσετε το θεώρημα Frmat (Μονάδες ) και να αναφέρετε τη γεωμετρική ερμηνεία του Α Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: Κάθε συνάρτηση που είναι - στο πεδίο ορισμού της είναι και γνησίως μονότονη α Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής (μονάδα ) β Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α (μονάδες ) Α4Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α) Αν μια συνάρτηση είναι - στο πεδίο ορισμού της, τότε υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης της με την ίδια τεταγμένη β) Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο, τότε η σύνθεση τους g είναι συνεχής στο γ) Αν η είναι παραγωγίσιμη στο, τότε η είναι πάντοτε συνεχής στο g είναι β, τότε ισχύει: γ β δ) Αν η είναι συνεχής σε διάστημα Δ και α,β,γ Δ d α d d α γ ε) Για κάθε συνάρτηση : που είναι παραγωγίσιμη και δεν παρουσιάζει ακρότατα, ισχύει για κάθε Θέμα Β Δίνεται συνάρτηση συνεχής στο κάθε α) Να δείξετε ότι,, για την οποία ισχύει ότι μονάδες 5 d για μονάδες 7 β) Να δείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε την αντίστροφή της μονάδες 5 γ) Αφού αποδείξετε οι γραφικές παραστάσεις των, δεν τέμνονται στη συνέχεια να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές τους παραστάσεις μονάδες δ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης Πόσες από αυτές είναι ακέραιες ; Θέμα Γ Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη και κυρτή στο για κάθε Γ Να αποδείξετε ότι Γ Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 9, για την οποία ισχύει ότι και μονάδες 7 μονάδες 6 μονάδες 5

2 Έστω ότι επιπλέον για τη συνάρτηση ισχύει ότι για κάθε και Γ Να αποδείξετε ότι, Γ4 Να βρείτε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της, την οριζόντια ασύμπτωτή της και τον άξονα y y μονάδες 8 μονάδες 6 Θέμα Δ Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση :, και έστω F αρχική της με Αν d d, τότε: Δ Να δείξετε ότι Δ Να δείξετε ότι υπάρχει ρ, τέτοιο ώστε ρ ρ ρ F Δ Αν και, να δείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε Δ4 Αν ορίζεται στο, F η συνάρτηση F, να δείξετε ότι υπάρχει, Δ5 Έστω ότι η F είναι παραγωγίσιμη στο και Αν : α) Να βρείτε την β) Να δείξετε ότι lim F τέτοιο ώστε F F για κάθε μονάδες 5 Στέλιος Μιχαήλογλου

3 Λύσεις Θέμα A Α Για, ισχύει: ( g) ( g) g g g g Επειδή οι συναρτήσεις,g είναι παραγωγίσιμες στο, έχουμε: g g g g lim lim lim g, Δηλαδή g g Α Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ ένα διάστημα Δ και παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο ένα εσωτερικό σημείο του Δ Αν η και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε: y Γεωμετρικά αυτό σημαίνει ότι στα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο, η γραφική της παράσταση δέχεται οριζόντια εφαπτομένη ( ) Α α Ψ β Μια συνάρτηση μπορεί να είναι - χωρίς να είναι γνησίως μονότονη Για παράδειγμα η όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα είναι -, είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα,,,, όμως συνολικά δεν είναι γνησίως φθίνουσα διαστήματα O δ +δ Α4 α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Λ Θέμα Β Β Έστω ότι, τότε d λ λ, οπότε 8 λ d λ λ λ 4 λ λ λ 8 4 λ 9 λ λ 6 4λ λ 9 και 9 Β Είναι για κάθε και - και αντιστρέφεται, άρα y y y y, άρα y y, y, Β Είναι ισχύει(δ<), οπότε η είναι γνησίως αύξουσα στο,, άρα είναι

4 Επειδή η C βρίσκεται πάνω από τη y, η C βρίσκεται κάτω από την y, οπότε Άρα οι γραφικές παραστάσεις των, δεν τέμνονται Β4 Επειδή η έχει πεδίο ορισμού το, Είναι η σύνθεση ορίζεται στο γιατί (5) φ 7 4, Έστω 4 για κάθε Οι ακέραιες ρίζες της (5) είναι οι διαιρέτες του σταθερού όρου, οπότε πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι:,, Είναι 4 4 φ 7 4 6, 4 4 φ , φ 74, φ 7 4, Έστω 4, Η α είναι παραγωγίσιμη στο με Είναι φ 7 4 6, φ Η είναι η μοναδική ακέραια ρίζα της (5) Από το σχήμα Hornr προκύπτει ότι: ρ= - 4 ή Για κάθε, είναι, Για κάθε, είναι, και για κάθε, είναι, Είναι lim lim, lim lim, 6 και Στο διάστημα, lim,,6 η α είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα άρα Επειδή, η εξίσωση έχει ακριβώς μια ρίζα στο Στο διάστημα, η α είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα άρα,,6 Επειδή η εξίσωση Στο διάστημα, η α είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα άρα, lim, είναι αδύνατη στο Επειδή η εξίσωση είναι αδύνατη στο Τελικά η (5) έχει λύσεις

5 Θέμα Γ Γ Έστω g, Η g είναι παραγωγίσιμη στο, με g Επειδή η είναι κυρτή, η είναι γνησίως αύξουσα, οπότε για κάθε g g, άρα και είναι Για κάθε g g είναι Γ Είναι, και είναι και lim Επειδή lim Επειδή η είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο A, A, lim, 9 Επειδή 9 A, έχει σύνολο τιμών το υπάρχει μοναδικό A τέτοιο ώστε Γ Για κάθε είναι c, c,, c,c c, c,, c c, άρα c, Επειδή η είναι παραγωγίσιμη στο είναι παραγωγίσιμη και στο, άρα c lim lim lim lim c, άρα για κάθε, τελικά είναι για κάθε Γ4 και αφού lim lim lim lim DLH ο άξονας, είναι οριζόντια ασύμπτωτη της lim Επειδή lim, η C στο C δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο Θεωρούμε κατακόρυφη ευθεία λ με λ Επειδή η είναι συνεχής στο,,και για κάθε, το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, τον, την λ και τη είναι:, άρα η y, δηλαδή λ λ E λ λ λ λ λ d d d λ λ λ λ λ λ λ lim λ lim lim λ λ DLH λ Ε Ω lim E λ Είναι λ λ λ Είναι λ lim E λ, άρα λ

6 Θέμα Δ Δ Επειδή d d οι αριθμοί Επειδή β για κάθε είναι και d, d είναι ετερόσημοι d με α β, οπότε: α - Αν d και d, τότε και - Αν d και d, τότε και, δηλαδή, δηλαδή που ισχύει Δ ρ άτοπο αφού για κάθε ή ρ Επειδή ή ρ, τέτοιο ώστε ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ αδύνατο ή, λόγω του θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών υπάρχει Δ H είναι συνεχής στο, άρα παίρνει μέγιστη τιμή στο διάστημα αυτό Αν και τότε η δεν παρουσιάζει μέγιστο στο και στο -, οπότε θα υπάρχει, στο οποίο η θα παρουσιάζει μέγιστο Τότε σύμφωνα με το θεώρημα Frmat είναι Δ4 Θεωρούμε τη συνάρτηση g F,, Η g είναι συνεχής στο, ως άθροισμα των συνεχών συναρτήσεων F συναρτήσεων) και Είναι με το θεώρημα Bolzano, υπάρχει, τέτοιο ώστε g F (σύνθεση συνεχών d d F F gg, οπότε σύμφωνα Δ5α) c F F F F c F c c, c Είναι c β) Η εφαπτομένη της CF στο Είναι, άρα, έχει εξίσωση y F F y F y F F και F για κάθε και επειδή η F είναι συνεχής, είναι κυρτή στο Επειδή η F είναι κυρτή βρίσκεται πάνω από κάθε εφαπτομένη της εκτός του σημείου επαφής τους, άρα F F lim F lim lim F Επειδή είναι και