ΚΕΦΛΙΟ ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ Κανονικά Πολύγωνα. Να δοθεί ο ορισμός του κανονικού πολυγώνου. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες.. Να βρεθεί η γωνία ενός κανονικού πολυγώνου. Έστω... ν ένα κανονικό πολύγωνο με ν πλευρές και έστω A A... A ν φ ν. Επειδή το άθροισμα των γωνιών κάθε κυρτού ν-γώνου είναι (ν - )8, θα έχουμε ν φ ν (ν - ) 8 και επομένως 3. Να αποδείξετε ότι : Δύο κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι όμοια. ς θεωρήσουμε τώρα δύο κανονικά πολύγωνα...τ, '''...Τ' αριθμό πλευρών ν. με τον ίδιο Τότε η γωνία καθενός είναι 8-36 ν οπότε έχουμε: A A, ',..., Τ Τ' (). Επίσης, αφού... Τ και '' ''... Τ'' θα έχουμε (). πό τις () και () προκύπτει ότι τα πολύγωνα... Τ και '''...Τ' είναι όμοια. 7
. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το που θεώρημα συνδέει τα κανονικά πολύγωνα με τον εγγεγραμμένο και περιγεγραμμένο κύκλο. Θεώρημα I Κάθε κανονικό πολύγωνο εγγράφεται σε έναν κύκλο και περιγράφεται σε έναν άλλον. Οι δύο αυτοί κύκλοι είναι ομόκεντροι. πόδειξη Έστω Δ...Τ ένα κανονικό πολύγωνο. Θεωρούμε τον κύκλο (Ο, ) που διέρχεται από τις κορυφές,, του πολυγώνου. Θα αποδείξουμε ότι ο κύκλος αυτός διέρχεται και από την κορυφή Δ, δηλαδή ότι OΔ. Επειδή OB O, το τρίγωνο Ο είναι ισοσκελές και επομένως σ, οπότε τα τρίγωνα Ο και ΟΔ είναι ίσα, γιατί έχουν: Ο Ο, Δ (αφού Δ... T κανονικό) και - σ - σ. πό την ισότητα αυτή προκύπτει ότι ΟΔ OA. Όμοια αποδεικνύεται ότι ο κύκλος (O,) διέρχεται και από τις υπόλοιπες κορυφές Ε, Ζ,... Τ και επομένως το πολύγωνο είναι εγγράψιμο. Οι πλευρές του πολυγώνου είναι ίσες χορδές του κύκλου (O,), επομένως και τα αποστήματά τους θα είναι ίσα, έστω με α. Επομένως, ο κύκλος (O,α) εφάπτεται στις πλευρές του Δ...Τ, άρα το πολύγωνο είναι περιγράψιμο σε κύκλο. Είναι φανερό, από τα παραπάνω, ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος (O,) και ο εγγεγραμμένος (O,α) του πολυγώνου είναι ομόκεντροι. 5. Τι καλείται κέντρο του κανονικού πολυγώνου ; Τι ακτίνα του κανονικού πολυγώνου ; Τι απόστημα του κανονικού πολυγώνου ; Τι κεντρική γωνία του κανονικού πολυγώνου και τι περίμετρο του κανονικού πολυγώνου ; Το κοινό κέντρο των δύο κύκλων στους οποίους εγγράφεται σε και περιγράφεται κάθε κανονικό πολύγωνο λέγεται κέντρο του πολυγώνου. Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται ακτίνα του πολυγώνου Η απόσταση του κέντρου από μια πλευρά του κανονικού πολυγώνου, δηλαδή η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου λέγεται απόστημα του πολυγώνου. 8
Επειδή τα τόξα,,..., Τ είναι ίσα, οι επίκεντρες γωνίες Ô, Ô,..., ΤÔ είναι ίσες. Καθεμία από τις γωνίες αυτές, δηλαδή η γωνία υπό την οποία φαίνεται κάθε πλευρά του πολυγώνου από το κέντρο του, λέγεται κεντρική γωνία του πολυγώνου. Το άθροισμα των πλευρών ενός κανονικού ν-γώνου καλείται περίμετρός του. Στα επόμενα, σε ένα κανονικό ν-γωνο θα συμβολίζουμε με την ακτίνα του, με λ ν την πλευρά του, με α ν το απόστημά του, με ω ν την κεντρική του γωνία, με Ρ ν την περίμετρό του και Ε ν το εμβαδόν του. 6. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα που ισχύει για τα στοιχεία του κανονικού ν-γώνου. Θεώρημα ΙI Σε κάθε κανονικό ν-γωνο ακτίνας ισχύουν οι εξής σχέσεις: πόδειξη Έστω Δ...Τ ένα κανονικό ν-γωνο, η ακτίνα του, λ ν η πλευρά του και OH αν το απόστημά του. (i) πό το ορθογώνιο τρίγωνο ΗΟ, με εφαρμογή του Πυθαγόρειου θεωρήματος προκύπτει OH +HA OA, δηλαδή (ii) Επειδή... Τ λ ν, θα είναι Ρ ν ν λ ν. (iii) Επειδή... TA θα είναι Ô Ô... ΤÔ ω ν και αφού οι γωνίες Ô, Ô,... και ΤÔ έχουν άθροισμα 36, έχουμε ν ω ν 36, δηλαδή ω ν (iv) Τα τρίγωνα Ο, Ο,..., ΟΤ είναι ίσα (ΠΠΠ), άρα και ισεμβαδικά και επομένως έχουμε: αφού Ρ ν ν λ ν. 9
7. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το πόρισμα της ομοιότητας των κανονικών ν-γώνων. ΠΟΡΙΣΜ Σε δύο κανονικά ν-γωνα ο λόγος των πλευρών τους ισούται με το λόγο των ακτίνων τους και το λόγο των αποστημάτων τους. πόδειξη Θεωρούμε δύο κανονικά πολύγωνα...τ και 'Τ'...Τ' με το ίδιο πλήθος πλευρών, έστω ν (ν 3). ν Ο,Ο' τα κέντρα των πολυγώνων, τα τρίγωνα Ο και Ο''' είναι όμοια γιατί είναι ισοσκελή και έχουν Ô 'Ô'' και επομένως, όπου ΟΗ, Ο'Η' τα ύψη των τριγώνων. πό την τελευταία ισότητα προκύπτει ότι: όπου λ ν,, α ν τα συνήθη στοιχεία του...τ και λ' ν, ', α' ν τα στοιχεία του '''...Τ'. ΠΡΤΗΡΗΣΗ ποδεικνύεται ότι, αν τα σημεία,,... ν διαιρούν έναν κύκλο σε ν ίσα τόξα, τότε το πολύγωνο.. ν (σχ.6α) καθώς και το πολύγωνο,,... ν, που σχηματίζουν οι εφαπτόμενες του κύκλου στα σημεία αυτά (σχ.6β) είναι κανονικά.
σκήσεις σχολικού βιβλίου Ερωτήσεις Κατανόησης. Υπάρχουν κανονικά πολύγωνα των οποίων οι εξωτερικές γωνίες είναι αμβλείες ; πάντηση Ναι. Είναι το ισόπλευρο τρίγωνο. Ποιο είναι το απόστημα κανονικού πολυγώνου περιγεγραμμένου σε κύκλο; πάντηση Είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου. 3. Ένα κυρτό πολύγωνο είναι κανονικό όταν. έχει μόνο ίσες πλευρές. έχει μόνο τις γωνίες του ίσες είναι εγγράψιμο σε κύκλο και έχει τις πλευρές του ίσες πάντηση Σωστή απάντηση είναι η διότι οι πλευρές του πολυγώνου είναι ίσες χορδές του περιγεγραμμένου του κύκλου συνεπώς οι γωνίες του πολυγώνου θα είναι και αυτές ίσες σαν εγγεγραμμένες σε ίσα τόξα οπότε το πολύγωνο θα είναι κανονικό. Μεταξύ των λ ν, α ν και ισχύει.. : ( ) Δ. Το σωστό είναι το διότι : ( ) 5. Μεταξύ των ω ν, φ ν ισχύει. ω ν + φ ν ω ν + φ ν. ω ν + φ ν 7 ο Δ. ω ν + φ ν 3 : 36 36 ω ν + φ ν 8 8 ο
σκήσεις Εμπέδωσης.Να βρεθούν η γωνία και η κεντρική γωνία ενός κανονικού: εξαγώνου, δεκαγώνου και δωδεκαγώνου. 36 36 8 8 7 8 και 7 5 5 5 5 36 36 8 8 6 και 6 6 5 6 6 πενταγώνου, 36 8 8 36 και 36 8 8 3 5 και 36 36 36 3.ν η γωνία ενός κανονικού πολυγώνου είναι 8 ο, τότε το πλήθος των πλευρών του είναι α. 5 β. γ. δ. 5 ε. 8. 36 8 8 36 8 8 36 7 7 36 ν 5 3.Σε δύο κανονικά πεντάγωνα ο λόγος των πλευρών τους είναι λ. Ποιος είναι ο λόγος των αποστημάτων, των ακτίνων τους, των περιμέτρων τους και των εμβαδών τους. 5 5 5 5 5 P5 P 5 5 5 5 5 5 5. Τα πλήθη, των πλευρών δύο κανονικών πολυγώνων είναι αντίστοιχα ρίζες των εξισώσεων: 3 3 7 5, 9. Να αποδείξετε ότι τα πολύγωνα είναι όμοια. Η εξίσωση 3 3 7 5, με σχήμα Horner, γίνεται ( 5) ( 3) 5 ή 3. 5 5 5
Επειδή ο ν είναι φυσικός αριθμός, έχουμε 3 >. Άρα ν 5 Ελέγχουμε αν η τιμή ν 5 επαληθεύει την εξίσωση 9.5 9 5 που ισχύει. Έτσι, οι δύο εξισώσεις έχουν κοινή ρίζα μόνο το 5, άρα τα πολύγωνα είναι κανονικά πεντάγωνα, άρα είναι όμοια. 5. Να αποδείξετε ότι το μόνο κανονικό πολύγωνο με γωνία οξεία είναι το ισόπλευρο τρίγωνο. 36 8 9 36 8 9 36 9 9 36 ν < άρα ν 3. 6.ν ένα κανονικό ν γωνο και ένα κανονικό μ-γωνο (μ > ν) είναι εγγεγραμμένα στον ίδιο κύκλο, να αποδείξετε ότι i) ii) > i) Είναι ii) > < και > ( > > ) > > + < (i) + ( ) 7. Θεωρούμε ένα κανονικό πεντάγωνο ΔΕ εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,). Να αποδείξετε ότι : i) Κάθε διαγώνιος χωρίζει το πεντάγωνο σε ένα ισοσκελές τραπέζιο και σε ένα 3
ισοσκελές τρίγωνο, ii) Η διχοτόμος της γωνίας ˆ είναι κάθετη στην πλευρά Ε, iii) Δύο διαγώνιοι που δεν έχουν κοινό άκρο σχηματίζουν με δύο πλευρές του πενταγώνου ρόμβο και iv) ν Η είναι το σημείο τομής της με τη Δ, τότε i) Φέρουμε τη διαγώνιο. τρίγωνο ισοσκελές.. Η ΕΔ ΔΕ τραπέζιο με Ε Δ, άρα ισοσκελές. ii) Ε Ο Δ H M Μ η διχοτόμος 36 7 5 ˆ 36 ˆ 8 ˆ.7 7 ˆ ˆ ˆ 7 8 9 Μ Ε iii) Όπως είναι ΕΔ//, έτσι είναι και Ε Δ, άρα ΕΔΗ παραλληλόγραμμο και επειδή Ε ΕΔ, είναι ρόμβος πλευράς. 5 5 iv) ρκεί να δείξουμε ότι. Η 5 ρκεί να δείξουμε ότι το τρίγωνο είναι όμοιο με το Η, το οποίο ισχύει διότι ˆ κοινή και ˆ ˆ. 5
ποδεικτικές σκήσεις. Το δάπεδο ενός δωματίου στρώθηκε με πλακίδια σχήματος κανονικών πολυγώνων με πλήθος πλευρών λ, μ, ν, όπου λ μ ν λ. Να αποδείξετε ότι + + Θα υπάρχει σημείο του δαπέδου που θα είναι κοινή κορυφή των τριών πολυγώνων. Άρα 36 36 8 + 36 8 + 36 8 36 8 8 36 36 + + + + + 36 + 36. ν ένα πολύγωνο είναι εγγράψιμο και περιγράψιμο σε δύο ομόκεντρους κύκλους, να αποδείξετε ότι είναι κανονικό. Τα αποστήματα των χορδών-πλευρών είναι ίσα σαν ακτίνες του μικρού κύκλου. Άρα χορδές-πλευρές του πολυγώνου ίσες. σ Κάθε γωνία του πολυγώνου είναι εγγεγραμμένη και βαίνει σε τόξο (ν-)σ. Άρα γωνίες του πολυγώνου ίσες. 3. ν,,, Δ είναι διαδοχικές κορυφές ενός κανονικού ν γώνου (ν ), να αποδείξετε ότι Ο Η Μ (παραπληρωματικές της. Δ. ο Θ. Διαμέσων στο τρίγωνο :. ΗΜ..ΗΜ Δ Θ ) ρκεί να αποδείξουμε ότι Δ ΗΜ Φέρουμε και ΔΘ. Είναι τρ.η τρ.δθ, αφού ) ορθογώνια ) Δ και 3) ˆ ˆ 5
Άρα Η Θ, άρα και ΗΜ ΜΘ. ΗΘΔ ορθογώνιο Δ ΗΘ ΗΜ. ν είναι το εμβαδόν ενός κανονικού ν-γώνου (ν ), εγγεγραμμένου σε κύκλο (Ο,), να αποδείξετε ότι κανονικού ν-γώνου ακτίνας Ο Κ P, όπου P η περίμετρος του Θεωρούμε οπότε. Φέρουμε τις ακτίνες Ο, Ο, Ο οπότε ΟΚ απόστημα του ν-γώνου. P ν (Ο) ν. ν Ο. Κ ν Κ που ισχύει. 5. ν είναι πλευρά κανονικού ν-γώνου περιγεγραμμένου σε κύκλο και η πλευρά και το απόστημα αντίστοιχα κανονικού ν-γώνου εγγεγραμμένου στον ίδιο κύκλο, να αποδείξετε ότι... Τα δύο πολύγωνα είναι όμοια, αφού έχουν ίδιο πλήθος πλευρών (αφού )... 6. ν E,,, είναι τα εμβαδά κανονικών ν-γώνων που έχουν πλευρές ίσες αντίστοιχα με τις πλευρές α, β, γ ορθογωνίου τριγώνου ( ˆ ), να αποδείξετε ότι + E. Τα τρία πολύγωνα είναι όμοια, αφού έχουν ίδιο πλήθος πλευρών. (α) πολύγωνο όμοιο του (β) (α) πολύγωνο όμοιο του (γ) Άρα + + από το Πυθαγόρειο. 6
Σύνθετα Θέματα. Οι Πυθαγόρειοι ισχυρίζονταν ότι υπάρχουν τρία μόνο κανονικά πολύγωνα των οποίων οι γωνίες μπορούν να καλύψουν το επίπεδο γύρω από ένα σημείο. Τα κανονικά αυτά πολύγωνα είναι τα ισόπλευρα τρίγωνα, τα τετράγωνα και τα κανονικά εξάγωνα. Να αποδείξετε την αλήθεια του ισχυρισμού αυτού των Πυθαγορείων. Θεωρούμε τον τύπο 36 8 σε μοίρες. Έστω ότι απαιτούνται κ το πλήθος κανονικά ν-γωνα. Τότε 36 κ. 36 κ. ( 8 ) 36 κ. ( ) κ. (ν ) ν κ κ φυσικός φυσικός ο ν διαιρεί τον ν ή ή ν 3 ή ή 6. Έστω κανονικό ν-γωνο και σημείο Σ στο εσωτερικό του. ν d, d,..., d είναι οι αποστάσεις του Σ από τις πλευρές του ν-γώνου, να αποδείξετε ότι d + d +... + d ν., όπου το απόστημα του ν-γώνου. Ο Σ ν 3 Κ ν Κ Κ ) + (Σ 3 Είναι (Σ d + ) +.. + (Σ d +... + Έστω... το κανονικό ν γωνο, ν Σ, Σ,..., Σ οι αποστάσεις d, d,..., d και Ο το κέντρο. Φέρουμε τις Σ, Σ,..., Σ τις Ο, Ο. ( d + d +... + d ) ν d + d +... + d ν. ) (... ) ν d ν (Ο ) και 7
3. Σε κανονικό οκτάγωνο Δ... Κ η πλευρά προεκτεινόμενη τέμνει την προέκταση της ακτίνας Ο στο σημείο Μ. Να αποδείξετε ότι Μ Δ. Θ Η Ζ Τα σημεία, Θ είναι απέναντι κορυφές του δεκαγώνου, άρα η Θ είναι διάμετρος.. Ι Κ Ο σ Ε Δ 3σ Δ Θ, οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι Μ Θ ή ότι ˆ ˆ. Μ ˆ ˆ 3 36 36 8
Εγγραφή βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και στοιχεία τους. Να εγγράψετε σ ένα κύκλο (Ο,) τετράγωνο (με γεωμετρική κατασκευή) και κατόπιν να υπολογίσετε την πλευρά και το απόστημά του ως συνάρτηση του. Έστω ένας κύκλος (Ο,). ν φέρουμε δύο κάθετες διαμέτρους και Δ, θα είναι Ô Ô ÔΔ ΔÔ 9, οπότε B Δ Δ και επομένως το Δ είναι τετράγωνο. πό το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο Ο με εφαρμογή του Πυθαγόρειου θεωρήματος έχουμε λ Ο + Ο +, από την οποία προκύπτει ότι:. Να εγγράψετε σ ένα κύκλο (Ο,) ένα κανονικό εξάγωνο (με γεωμετρική κατασκευή) και κατόπιν να υπολογίσετε την πλευρά και το απόστημά του ως συνάρτηση του. Έστω κύκλος (Ο,) και η πλευρά του κανονικού εξαγώνου που θέλουμε να εγγράψουμε στον (Ο,). Τότε Ô ω 6 6 και επειδή OA OB () το τρίγωνο Ο είναι ισόπλευρο. Άρα AB OA, δηλαδή Έτσι για την εγγραφή κανονικού εξαγώνου σε κύκλο, παίρνουμε πάνω στον κύκλο έξι διαδοχικά τόξα, B, Δ, ΔΕ, ΕΖ και Ζ με αντίστοιχη χορδή, το καθένα, 9
οπότε το ΔΕΖ είναι κανονικό εξάγωνο. Επειδή λ 6, από τη βασική σχέση 3. Να εγγράψετε σ ένα κύκλο (Ο,) ένα ( κανονικό ) ισόπλευρο τρίγωνο (με γεωμετρική κατασκευή) και κατόπιν να υπολογίσετε την πλευρά και το απόστημά του ως συνάρτηση του. ν τα σημεία,,, Δ, Ε και Ζ διαιρούν τον κύκλο σε έξι ίσα τόξα, τότε τα σημεία,, Ε είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου, αφού Ε Ε. Επειδή Δ 8, η Δ είναι διάμετρος και επομένως το τρίγωνο Δ είναι ορθογώνιο, οπότε λ 3 Δ - Δ () - 3 Να γίνει ένας πίνακας με τις πλευρές και τα αποστήματα των κανονικών πολυγώνων,όπως δίνονται συναρτήσει των ακτινών τους.
. Να εγγράψετε σ ένα κύκλο (Ο,) ένα κανονικό δεκάγωνο (με γεωμετρική κατασκευή) και κατόπιν να υπολογίσετε την πλευρά και το απόστημά του ως συνάρτηση του. Έστω λ η πλευρά του κανονικού δεκαγώνου που θέλουμε να εγγράψουμε στον κύκλο (Ο,). Η κεντρική γωνία AÔB είναι 36 / 36 και καθεμία από τις γωνίες της βάσης του ισοσκελούς τριγώνου Ο είναι A B 7. Έτσι, αν φέρουμε τη διχοτόμο Δ της γωνίας ΟA τα τρίγωνα ΔΟ και Δ είναι ισοσκελή, αφού είναι ΔAΟ 36 AÔB και Δ A + Ô 36 + 36 7 B. Επομένως, ΟΔ Δ λ και Δ - λ. Με εφαρμογή του θεωρήματος της διχοτόμου στο τρίγωνο Ο προκύπτει ότι: και επειδή λ > Δ - λ (αφού Δ > AΔ), η τελευταία ισότητα εκφράζει ότι το λ είναι το μεγαλύτερο από τα τμήματα που προκύπτουν αν διαιρέσουμε την ακτίνα σε μέσο και άκρο λόγο. ια την κατασκευή του κανονικού δεκαγώνου του εγγεγραμμένου σε κύκλο, διαιρούμε την ακτίνα του κύκλου σε μέσο και άκρο λόγο και στη συνέχεια ορίζουμε τα διαδοχικά τόξα,,..., που έχουν το καθένα χορδή ίση με το μεγαλύτερο τμήμα στα οποία χωρίζεται η ακτίνα με τη διαίρεσή της σε μέσο και άκρο λόγο. 5. Σε δοσμένο κύκλο, να εγγραφεί κανονικό οκτάγωνο και να υπολογισθούν η πλευρά του και το απόστημά του. Εγγράφουμε στον κύκλο το τετράγωνο Δ και στη συνέχεια παίρνουμε τα μέσα Ε, Ζ, Η, Θ των τόξων που αντιστοιχούν στις πλευρές,, Δ και Δ. Τότε το Ε...Θ είναι το ζητούμενο οκτάγωνο. ν θεωρήσουμε τη διάμετρο ΕΗ που αντιστοιχεί στο Ε, επειδή το τρίγωνο ΗΕ είναι ορθογώνιο και η κάθετη στην ΕΗ, έχουμε Ε ΕΗ ΕΙ ( - OI) και τελικά, αφού Ε λ 8 και ΟΙ α, έχουμε:
6. Ένα κανονικό ν-γωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, ). Να εγγραφεί στον ίδιο κύκλο κανονικό ν - γωνο και να αποδειχθεί ότι λ ν ( - α ν ). ν πάρουμε τα μέσα των τόξων που αντιστοιχούν στις πλευρές του κανονικού ν-γώνου, ο κύκλος διαιρείται σε ν ίσα τόξα. Έτσι προκύπτει το εγγεγραμμένο κανονικό πολύγωνο με ν πλευρές. Έστω λ ν και Μ το μέσο του τόξου. Τότε Μ λ ν και ΟΜ. Επομένως, από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΗΜ έχουμε: ΠΡΤΗΡΗΣΗ
σκήσεις σχολικού βιβλίου Ερωτήσεις Κατανόησης.Να χαρακτηρίστε ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ) τις παρακάτω προτάσεις δικαιολογώντας την απάντηση σας. i) 6 3 Σ Λ ii) 3 6 3( 3) Σ Λ iii) 3 6 ( 3) Σ Λ πάντηση i) 3 6 3 ii) 3 6 3 ( 3) 3( 3) 3 iii) 3 6 ( 3). ν,,, Δ διαδοχικά σημεία ενός κύκλου (Ο, ) ώστε, λ, Δ, να εξηγήσετε γιατί η Δ είναι διάμετρος του κύκλου πάντηση AB 9 ο, λ B 3 ο και Δ Δ 6 ο Οπότε AB + B + Δ 9 ο + 3 ο + 6 ο 8 ο, άρα Δ διάμετρος 3. ν,, διαδοχικά σημεία ενός κύκλου (Ο, ) ώστε AB ο και B 6 ο, η περίμετρος του τριγώνου είναι A (3 3).. ( 3) Δ. (3 ) Δικαιολογήστε την απάντηση σας. πάντηση AB ο λ 3 3, B 6 ο λ 6 3
AB + B ο +6 ο 8 ο οπότε η είναι διάμετρος συνεπώς Η περίμετρος του τριγώνου είναι + + 3++(3+ 3 ) σωστό το.. Στο παρακάτω σχήμα Μ Ο Η Η γωνία Μ είναι. 3 ο.5 ο.5 ο Δ. 6 ο Ε. 75 ο πάντηση Σωστή απάντηση είναι η Δ διότι : ΟΗ α 3 οπότε AB ο Επομένως ˆ 6 ο
σκήσεις Εμπέδωσης. Να υπολογίσετε ως συνάρτηση του το εμβαδόν ενός ισοπλεύρου τριγώνου και ενός κανονικού εξαγώνου, που είναι εγγεγραμμένα σε κύκλο (Ο,). 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6 6 6 6 3 3 3 3 6 6. Κανονικό πολύγωνο έχει ακτίνα cm και απόστημα 5 3cm. Να βρεθεί η πλευρά του και το εμβαδόν του. 5 3 75 + 75 5 cm 3 3 5 3 ν 6 6 6 6 6 6 3 3 6 6 3 3 3. 3 5 3 cm 3. Κανονικό πολύγωνο έχει ακτίνα 8cm και πλευρά 8 βρεθεί το απόστημά του και το εμβαδόν του. 8 ν 8 8 6. 8cm cm.. Να.Σε κύκλο (Ο,) παίρνουμε διαδοχικά τα τόξα AB 6 ο, B 9 ο και ο. Να υπολογισθούν ως συνάρτηση του οι πλευρές και το εμβαδόν του τετραπλεύρου Δ. 5
Δ Λ AB 6 ο 6 B 9 ο ο Δ 3 3 Ο 6 K 9 36 ο 6 ο 9 ο ο 9 ο Άρα Δ B Δ Δ τραπέζιο. Φέρουμε το ύψος ΛΚ του τραπεζίου από το κέντρο Ο. 3 ΛΚ ΟΛ + ΟΚ 3 6 3 (Δ) 3 3 3 3 3 6
ποδεικτικές σκήσεις. Το άθροισμα των γωνιών ενός κανονικού πολυγώνου είναι 8 ορθές και το εμβαδόν του 6 3cm. Να βρεθεί η ακτίνα του. 36 8 σε ορθές 8 8.ν 8.ν ν 6 6 3 6 6 6 6 6 6 6 3 3 3 3.Σε κύκλο (Ο,) και εκατέρωθεν του κέντρου του, θεωρούμε δύο παράλληλες χορδές του και Δ, ώστε και Δ 9 Ο Λ 6 K Δ 9 3. Να υπολογισθούν οι μη παράλληλες πλευρές και Δ του τραπεζίου Δ, το ύψος του και το εμβαδόν του ως συνάρτηση του. 6 AB 6 ο Δ 3 Δ ο 3 Δ εγγεγραμμένο τραπέζιο ισοσκελές. Δ λλά 36 ο 6 ο ο 8 ο Άρα 9 ο Δ Φέρουμε το ύψος ΛΚ του τραπεζίου από το κέντρο Ο. 3 ΛΚ ΟΛ + ΟΚ 3 6 3 (Δ) 3 3 3 3 3 7
3.Να υπολογισθούν ως συνάρτηση του η πλευρά και το απόστημα ενός κανονικού -γώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο (Ο.). Η Δ Ο Κ Θεωρούμε οπότε 6 Φέρουμε τη διάμετρο ΚΟΔ οπότε ΟΚ 3 6 άρα Κ Ο ΟΚ 3 Κ Τρίγωνο Κ ορθογώνιο με ύψος Κ AB Είναι 3 3 3 3 AB Δ. Κ A 3 3 3 3. Να υπολογίσετε ως συνάρτηση του το εμβαδόν ενός κανονικού δωδεκαγώνου χωρίς να υπολογίσετε προηγουμένως την πλευρά και το απόστημά του. Θεωρούμε οπότε 6 Ο Φέρουμε τις Ο, Ο, Ο, είναι δε Ο Κ A.. E 6 O 6 6 3 8
Σύνθετα Θέματα. Δίνεται κύκλος (Ο,) και χορδή του Δ. Πάνω σε τυχαία ευθεία ε, 6 που διέρχεται από το κέντρο και εκατέρωθεν του Ο παίρνουμε σημεία,, ώστε Ο Ο. ν Μ το μέσο της Δ, να αποδείξετε ότι 3 +. Είναι Ο Ο 3 ε Ο M Δ και ΟΜ Δ, άρα ΟΜ 3 6 ο Θ. Διαμέσων στο τρίγωνο Μ: + O + 3 3 3 + + +. πό το σημείο εκτός κύκλου (Ο,) φέρουμε τέμνουσα, ώστε. ν Ο 7, να αποδείξετε ότι και στη συνέχεια να 3 υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου Ο. Έστω x Ο Δύναμη του σημείου : AB. A Κ x x.x 7 x 7 x 3 x 3 3 Φέρουμε ΟΚ δηλαδή ΟΚ 3 (Ο). ΟΚ 3 3 9
3. Σε κύκλο (Ο,) θεωρούμε τα διαδοχικά σημεία,,, ώστε και 6. ν Μ το μέσο της και Δ το σημείο που τέμνει η προέκταση της 3 Μ τον κύκλο, να υπολογίσετε, ως συνάρτηση του, το τμήμα ΜΔ. M Δ και 6 3 A 6 ο και ο 8 ο άρα διάμετρος και ˆ Πυθαγόρειο στο τρίγωνο Μ: + + + 3 Άρα Μ 7 Δύναμη του σημείου Μ: Μ. ΜΔ Μ. Μ 7 ΜΔ 3 3 ΜΔ 7 7 7 3 3 3 7 3 7 3
Μήκος κύκλου. Πως γίνεται η προσέγγιση του μήκους του κύκλου με κανονικά πολύγωνα ; Με τη βοήθεια της περιμέτρου κανονικών πολυγώνων προσεγγίζουμε στη συνέχεια την έννοια του μήκους κύκλου. ς θεωρήσουμε έναν κύκλο (O,) και ας εγγράψουμε σε αυτόν διαδοχικά ένα ισόπλευρο τρίγωνο, ένα κανονικό 6-γωνο, ένα κανονικό -γωνο και γενικά ένα πολύγωνο με διπλάσιο κάθε φορά πλήθος πλευρών από το προηγούμενο. Καθώς ο αριθμός των πλευρών των κανονικών πολυγώνων διπλασιάζεται, από το σχήμα φαίνεται ότι: "το κανονικό πολύγωνο τείνει να ταυτισθεί με τον κύκλο". Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε και αν αντί εγγεγραμμένων θεωρήσουμε κανονικά πολύγωνα περιγεγραμμένα στον κύκλο (O,) και διπλασιάζουμε διαρκώς το πλήθος των πλευρών τους. ν θεωρήσουμε λοιπόν την ακολουθία (Ρ ν ) των περιμέτρων των κανονικών πολυγώνων των εγγεγραμμένων στον κύκλο (O,) και την ακολουθία (Ρ' ν ) των περιμέτρων των περιγεγραμμένων κανονικών πολυγώνων γύρω από τον ίδιο κύκλο, τότε αποδεικνύεται ότι υπάρχει μοναδικός θετικός αριθμός L μεγαλύτερος όλων των όρων της ακολουθίας (Ρ ν ) και μικρότερος όλων των όρων της (Ρ' ν ) με την εξής ιδιότητα: καθώς το ν διπλασιάζεται, οι όροι των ακολουθιών (Ρ ν ) και (Ρ' ν ) προσεγγίζουν όλο και περισσότερο τον αριθμό L. Ο αριθμός L (που είναι το κοινό όριο των ακολουθιών και ανεξάρτητος από την επιλογή κανονικών πολυγώνων) λέγεται μήκος του κύκλου (Ο,).. Πως ορίστηκε ο π και ποιος τύπος μας δίνει το μήκος του κύκλου κέντρου Ο και ακτίνας ; Ο Ιπποκράτης ο Χίος απέδειξε πρώτος ότι ο λόγος τη διάμετρό του είναι σταθερός, δηλαδή είναι ο ίδιος για κάθε κύκλο. του μήκους του κύκλου προς 3
Η σταθερή αυτή τιμή του λόγου συμβολίζεται διεθνώς με το Ελληνικό γράμμα π (αρχικό της λέξης περιφέρεια) δηλαδή κύκλου ακτίνας δίνεται από τη σχέση π, οπότε προκύπτει ότι το μήκος L του Ο αριθμός π είναι ένας άρρητος, υπερβατικός αριθμός και μια προσέγγισή του, που στην πράξη χρησιμοποιείται, είναι π 3,. Ο ρχιμήδης χρησιμοποιούσε ως προσέγγιση του π το. 3. Τι καλείται τεθλασμένη γραμμή, εγγεγραμμένη σε τόξο ; Έστω ένα τόξο ενός κύκλου (O,). Μία τεθλασμένη με άκρα τα σημεία, και τις άλλες κορυφές της σημεία του τόξου λέγεται εγγεγραμμένη στο τόξο. Στην περίπτωση που οι πλευρές της είναι ίσες, λέγεται κανονική τεθλασμένη.. Τι καλείται τεθλασμένη γραμμή, περιγεγραμμένη σε τόξο ; Μια τεθλασμένη με άκρα τα, και πλευρές εφαπτόμενες του τόξου λέγεται περιγεγραμμένη τεθλασμένη στο τόξο. Η έννοια της κανονικής περιγεγραμμένης ορίζεται, όπως στην περίπτωση της εγγεγραμμένης. 5. Πως προσεγγίζεται το μήκος ενός τόξου ; πό ποιους τύπους δίνεται και ποια σχέση προκύπτει από αυτούς ; Το μήκος του τόξου κύκλου (O,) ορίζεται όπως και το μήκος του κύκλου. Δηλαδή το μήκος του τόξου είναι ο μοναδικός θετικός αριθμός l τον οποίο προσεγγίζουν ολοένα και περισσότερο τα μήκη Ρ ν και Ρ' ν των κανονικών τεθλασμένων γραμμών των εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων αντίστοιχα στο τόξο, καθώς το ν διπλασιάζεται. Επειδή ο κύκλος είναι τόξο 36 με μήκος π το τόξο θα έχει μήκος ένα τόξο μ θα έχει μήκος οπότε Επίσης, ένα τόξο κύκλου με μήκος λέγεται ακτίνιο (rad). Άρα ένα τόξο α rad έχει μήκος α, δηλαδή πό τις () και () προκύπτει ότι. 3
6. Σε κύκλο (O,) θεωρούμε διάμετρο και τις χορδές και, ώστε cm και cm. Να βρεθεί το μήκος του κύκλου και τα μήκη των τόξων και είναι μικρότερα του ημικυκλίου. Επειδή η είναι διάμετρος, η γωνία θα είναι ορθή, οπότε από το ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε: + ή () + ( ) ή 6, δηλαδή. Το μήκος L του κύκλου θα είναι L π π cm. Επειδή θα είναι: θα είναι 3, οπότε 6 και επομένως το μήκος του 33
σκήσεις σχολικού βιβλίου Ερωτήσεις Κατανόησης. ντιστοιχίστε κάθε μέγεθος της στήλης με την τιμή του στην στήλη Στήλη Μήκος κύκλου ακτίνας Μήκος τόξου μ ο σε κύκλο ακτίνα Μήκος τόξου α rad σε κύκλο ακτίνα Στήλη α π 36 α 8.Το μήκος L τόξου ενός κύκλου ακτίνας με χορδή λ 6 είναι.6. π 3 π Δ.π Ε. 3 Κυκλώστε το γράμμα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση. Σωστό είναι το, αφού η χορδή του τόξου είναι η λ 6, το τόξο θα είναι 6 ο, άρα το μήκος του είναι L 6 8 8 3 π 3
Δ σκήσεις Εμπέδωσης.Πάνω σε ευθεία ε θεωρούμε διαδοχικά τα σημεία,, και Δ. ν L, L, L και L είναι τα μήκη των κύκλων με διαμέτρους,, Δ και Δ 3 αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι L + L + L L. 3 L + L + L 3 + + ( + + Δ) Δ L.Να βρείτε το μήκος του εγγεγραμμένου κύκλου σε κανονικό εξάγωνο πλευράς cm. 3 Η ακτίνα του κύκλου θα είναι το απόστημα 3 5 3 6 L 5 3 3 3. Να βρεθεί το μήκος του τόξου που αντιστοιχεί στην πλευρά κανονικού -γώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας 5cm. Oι μοίρες του τόξου είναι μ 36 36. Το μήκος του τόξου θα είναι.5.36 cm 8 8. Όταν ένα ποδήλατο διανύει μια απόσταση, ο ένας τροχός του που έχει ακτίνα κάνει ν στροφές, ενώ ο άλλος που έχει ακτίνα ρ κάνει ν στροφές. Να αποδείξετε ότι ρ. Ο κύκλος ακτίνας έχει μήκος, άρα διανύει απόσταση ν.. Ο κύκλος ακτίνας ρ έχει μήκος, άρα διανύει απόσταση ν.. Διανύουν, όμως, την ίδια απόσταση Άρα ν. ν. ρ. 35
5. Δίνεται κύκλος (Ο,) και τα διαδοχικά του σημεία,,, ώστε να είναι και 3. Να βρεθούν τα μήκη των τόξων AB, B και ως συνάρτηση του. AB 9 ο 3 B ο 9 8 8 3 36 ο 9 ο ο 5 ο 5 8 5 6 36
ποδεικτικές σκήσεις.με διάμετρο την ακτίνα Ο ενός κύκλου (Ο,) γράφουμε κύκλο (Κ) και από το Ο φέρουμε ημιευθεία που τέμνει τον κύκλο (Ο) στο και τον κύκλο (Κ) Στο Δ. Να αποδείξετε ότι τα τόξα και έχουν ίσα μήκη. Έστω θ σε μοίρες η γωνία ˆ Δ ΚΔ ΚΟ ˆ θ ˆ θ σαν εξωτερική του τριγώνου ΚΟΔ θ O K 8 8 8.Να αποδείξετε ότι το μήκος του κύκλου, που εφάπτεται σε δύο ομόκεντρους κύκλους, ισούται με το ημιάθροισμα ή την ημιδιαφορά των μηκών αυτών, όταν αντίστοιχα ο κύκλος αυτός περιέχει στο εσωτερικό του ή όχι το μικρότερο κύκλο. Άρα Έστω Ο το κέντρο των δύο ομόκεντρων κύκλων και Κ το κέντρο του τρίτου. Ονομάζουμε, τα σημεία επαφής του κύκλου (Κ) με το μεγάλο και μικρό κύκλο (Ο) αντίστοιχα. Οπότε τα και θα ανήκουν στη διάκεντρο ΟΚ. Ονομάζουμε L το μήκος του μεγάλου κύκλου (Ο), L του μικρού και L το μήκος του κύκλου (Κ). Όταν ο κύκλος (Κ) περιέχει στο εσωτερικό του το μικρό κύκλο (Ο). L + L π Ο + π Ο π (Ο + Ο) π () B O K A π ( Κ) ( π Κ) L Όταν κύκλος (Κ) δεν περιέχει στο εσωτερικό του το μικρό κύκλο (Ο). L L π Ο π Ο π (Ο Ο) π () B O K A π ( Κ) ( π Κ) L 37
3. Δίνεται τρίγωνο με α 3cm, β cm και γ 5cm. Να βρείτε το μήκος i) του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ii) του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου τ α + β + γ 3 + + 5 τ, τ α 8, τ β 7, τ γ 6 3 Ε ().8.7.6 3.7..7..3.3.7.3.7 8 νωρίζουμε ότι Ε τ ρ ρ E 8 Άρα L π 8 π cm νωρίζουμε ότι E Ε αβγ.8 3..5 336 73 73 65 336 Άρα L. 65 65 38
Σύνθετα Θέματα. Δίνεται ημικύκλιο (Ο,) διαμέτρου. Με διαμέτρους τις Ο και Ο γράφουμε, στο εσωτερικό του πρώτου, ημικύκλια. Να υπολογίσετε το μήκος του κύκλου, ο οποίος εφάπτεται των τριών αυτών ημικυκλίων, ως συνάρτηση του. Κ Σ O x Λ Έστω (Σ, x) ο κύκλος που εφάπτεται των τριών ημικυκλίων. Θα είναι ΣΚ x + ΣΛ Άρα το Σ θα ανήκει στη μεσοκάθετο Ο του τμήματος και θα είναι ΟΣ Ο Σ x Πυθαγόρειο στο τρίγωνο ΣΟΛ: Άρα + x x x x x x 3x x 3 L π x π 3 3. Δίνεται τεταρτοκύκλιο Ο AB. Με διάμετρο την Ο γράφουμε, στο εσωτερικό του τεταρτοκυκλίου, ημικύκλιο και στη συνέχεια γράφουμε κύκλο (Κ) που να εφάπτεται στο ημικύκλιο, στην πλευρά Ο και στο τόξο AB. Να αποδείξετε ότι το μήκος του κύκλου (Κ) ισούται με το μήκος του τόξου AB. Η O x K Λ Ζ Θ M Μ το κέντρο του ημικυκλίου, Ζ, Η, Θ τα σημεία επαφής και x η ακτίνα του κύκλου (Κ). Θα υπολογίσουμε την ακτίνα x ως συνάρτηση της ακτίνας του τεταρτοκυκλίου. Θ. Οξείας ωνίας στο τρίγωνο ΚΟΜ: + - ΟΜ.ΟΛ, φέραμε ΚΛ Ο, οπότε ΟΛ x. 39
. Άρα x x x x x x x x x x L ύ (Κ) π x π Άρα L ύ (Κ) L ί και L ί.8 8 3. Μ Να βρείτε το μήκος της γραμμής ΔΕΖ του σχήματος. Ξ 7 3 5 6 7 8 π Δ Ε Θ Ν 9 Ι Λ Ζ Κ Πυθαγόρειο στο τρίγωνο Ξ: AB 3 9 6 5 5 () Είναι 7 6 5, αφού 9 < 36 + 5 Άρα η γωνία ˆB του τριγώνου ΚΛ είναι οξεία 7 6 5 -.5 9 36 + 5, () ο Θ. Διαμέσων στο τρίγωνο ΠΝ: 7 9. 9 + 8. + 8 6 Δ 6 (3) L ί ΔΕ π. π () Τρίγωνο ΜΖΙ ορθογώνιο με ύψος ΖΘ: ΘΜ.ΘΙ 8. 6 ΖΘ L π. π (5) ί ΕΖ () + () + (3) + () + (5) μήκος της γραμμής ΔΕΖ 5 +, + 6 + π + π 6, + 6 + 6π
Εμβαδόν κυκλικού δίσκου. Τι καλείται κυκλικός δίσκος και πως γίνεται η προσέγγιση του εμβαδού κύκλου με κανονικά πολύγωνα ; Έστω ένας κύκλος (Ο,). Ο κύκλος μαζί με τα εσωτερικά του σημεία αποτελούν τον κυκλικό δίσκο με κέντρο Ο και ακτίνα. Όπως είδαμε ότι τα εγγεγραμμένα ή τα περιγεγραμμένα σε έναν κύκλο κανονικά πολύγωνα τείνουν να ταυτισθούν με τον κύκλο, καθώς το πλήθος των πλευρών τους διπλασιάζεται. Ο μοναδικός θετικός αριθμός Ε προς τον οποίο πλησιάζουν ολοένα και περισσότερο, τα εμβαδά των εγγεγραμμένων και των περιγεγραμμένων κανονικών πολυγώνων, λέγεται εμβαδόν του κυκλικού δίσκου ή απλούστερα εμβαδόν του κύκλου. Επειδή ο Ε προσεγγίζεται από το εμβαδόν εγγεγραμμένων ή περιγεγραμμένων κανονικών πολυγώνων, ας θεωρήσουμε ένα κανονικό ν-γωνο εγγεγραμμένο στον κύκλο (Ο,). Τότε το εμβαδόν Εν δίνεται από τον τύπο : Τότε το εμβαδόν Εν δίνεται από τον τύπο Ε ν Ρ ν α ν (). Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το θεώρημα που μας δίνει το εμβαδόν ενός κύκλου ; Θεώρημα : Το εμβαδόν Ε ενός κυκλικού δίσκου ακτίνας δίνεται από τη σχέση E π. πόδειξη πό το σχήμα φαίνεται ότι καθώς το ν διπλασιάζεται το α ν προσεγγίζει την ακτίνα και επειδή το Ρν προσεγγίζει το μήκος L του κύκλου, από την σχέση Ε ν Ρ ν α ν προκύπτει ότι το Ε ν προσεγγίζει το L π π.
3. Τι καλείται κυκλικός τομέας ; πό ποιον τύπο δίνεται το εμβαδόν του κυκλικού τομέα ; Θεωρούμε έναν κύκλο (O,) και μία επίκεντρη γωνία Ô. Το σύνολο των κοινών σημείων της επίκεντρης γωνίας Ô και του κυκλικού δίσκου (O,) λέγεται κυκλικός τομέας κέντρου Ο και ακτίνας. Ο κυκλικός αυτός τομέας συμβολίζεται O.ν η επίκεντρη γωνία Ô είναι μ, λέμε ότι και ο κυκλικός τομέας O είναι μ. Το εμβαδόν του κυκλικού τομέα ορίζεται ανάλογα με το εμβαδόν του κύκλου και συμβολίζεται (O). Επειδή ο κυκλικός δίσκος είναι κυκλικός τομέας 36 με εμβαδόν π ο κυκλικός τομέας έχει εμβαδό π 36 και άρα ένας τομέας μ θα έχει εμβαδόν π μ36. Ώστε το εμβαδόν ενός κυκλικού τομέα O μ και ακτίνας δίνεται από την ισότητα: Επίσης, επειδή ο κυκλικός δίσκος (O, ) είναι τομέας π rad με εμβαδόν π ένας τομέας α rad θα έχει εμβαδόν Επομένως, το εμβαδόν ενός κυκλικού τομέα α rad και ακτίνας δίνεται από την ισότητα. Τι καλείται κυκλικό τμήμα και πως υπολογίζουμε το εμβαδόν του ; Έστω ένας κύκλος (O,) και μια χορδή του. Η χωρίζει τον κυκλικό δίσκο σε δύο μέρη που βρίσκονται εκατέρωθεν αυτής. Καθένα από αυτά τα μέρη λέγεται κυκλικό τμήμα. Το εμβαδόν ε του κυκλικού τμήματος που περιέχεται στην κυρτή γωνία Ο υπολογίζεται με τη βοήθεια της ισότητας δηλαδή αφαιρώντας από το εμβαδόν του κυκλικού τομέα το εμβαδόν του τριγώνου Ο.
5. (Μηνίσκοι του Ιπποκράτη) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο (A 9 ). Με διαμέτρους, και γράφουμε ημικύκλια στο ημιεπίπεδο (,). Να αποδειχθεί ότι το άθροισμα των εμβαδών των σχηματιζόμενων μηνίσκων είναι ίσο με το εμβαδόν του τριγώνου. (Μηνίσκος είναι το σχήμα που «περικλείεται» από δύο τόξα που έχουν κοινή χορδή και βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της). πόδειξη Συμβολίζουμε με μ, μ τα εμβαδά των σχηματιζόμενων μηνίσκων, τ, τ τα εμβαδά των κυκλικών τμημάτων με χορδές, αντίστοιχα, στο ημικύκλιο διαμέτρου. Έχουμε: από τις οποίες, χρησιμοποιώντας και τη σχέση + βρίσκουμε 6. Δίνεται κύκλος (O,) και δυο χορδές του και Να υπολογισθεί η περίμετρος και το εμβαδόν Ε του μικτόγραμμου τριγώνου, ως συνάρτηση του. 3
7. Τι καλείται τετραγωνισμός κύκλου και τι γνωρίζετε για αυτόν ; Τετραγωνισμός κύκλου λέγεται η κατασκευή, με κανόνα και διαβήτη, ενός τετραγώνου ισοδύναμου με το δοσμένο κύκλο. Έστω η ακτίνα ενός κύκλου και Ε το εμβαδόν του. Επειδή Ε L όπου L το μήκος του κύκλου, προκύπτει ότι ο κύκλος είναι ισοδύναμος με τρίγωνο, που έχει βάση L και ύψος. Κάθε τρίγωνο όμως είναι ισοδύναμο με τετράγωνο. Επομένως ο τετραγωνισμός του κύκλου ανάγεται στην κατασκευή του L, αφού το είναι ένα δοσμένο τμήμα. Επειδή όμως Lπ η κατασκευή του ανάγεται στην κατασκευή τμήματος μήκους π (αφού για είναι L π). ια να είναι η κατασκευή αυτή δυνατή, όπως έχει αποδειχθεί, θα έπρεπε ο π να είναι ρίζα πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές, δηλαδή αλγεβρικός αριθμός, βαθμού ν, όπου ν φυσικός. Όμως, ο ερμανός Μαθηματικός Lindemann, το 88, απέδειξε ότι ο π δεν είναι αλγεβρικός αριθμός αλλά υπερβατικός και επομένως δεν κατασκευάζεται γεωμετρικά. ποδείχθηκε έτσι το αδύνατο της γεωμετρικής λύσης του προβλήματος του τετραγωνισμού του κύκλου. ΠΡΤΗΡΗΣΗ : Στο παρακάτω σχήμα, το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, το Δ ημικύκλιο διαμέτρου και το Ε τόξο του κύκλου (, ). ποδεικνύεται ότι ο σχηματιζόμενος μηνίσκος τετραγωνίζεται. και μάλιστα (μ) ())
σκήσεις σχολικού βιβλίου Ερωτήσεις Κατανόησης.ντιστοιχίστε κάθε μέγεθος της στήλης με την τιμή του στην στήλη Στήλη Στήλη Εμβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας π Εμβαδόν κυκλικού τομέα μ ο σε κύκλο ακτίνας Εμβαδόν κυκλικού τομέα α rad 8 σε κύκλο ακτίνας π 36.Με βάση το παρακάτω σχήμα χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ) και αιτιολογήστε την απάντηση σας. i) (O AB ) ( O ) Λ ii) (O ) ( O ) Σ. Σ. Λ iii) (O ) (O AB ) Σ. Λ iν) (OAΔ) (Ο) Σ Λ Σ. ν) ε ε Λ νi) λ 6 Σ. Λ 5