Παράδοξα Πιθανοτήτων

Παράδοξα Πιθανοτήτων Πετρίδης νδρέας * Ιουλιανού θανάσιος * Σάββα Μαρία * Πτωχοπούλου Θεογνωσία * Χάρπα Άντρη* ορκά Φλώρα* Ιωάννου Μαρία* Ιωάννου Ιωάννης ** (*) Λύκειο εργίνας, μαθητές τάξης (**) Λύκειο εργίνας, Μαθηματικός Περίληψη Στη μελέτη μας αυτή εξετάζουμε διάφορα προβλήματα πιθανοτήτων των οποίων είτε η λύση δεν είναι μοναδική και πολλές φορές εξαρτάται από τη διατύπωση του προβλήματος, είτε μπερδεύουν τον απλό μελετητή. Μεταξύ άλλων εξετάζονται τα παράδοξα (α) του Joseph Bertrand, (β) του σπασμένου ραβδιού, (γ) το πρόβλημα Monty Hall και (δ) παράδοξα που βασίζονται στη μεταβατική αρχή. ίνεται μια προσπάθεια ερμηνείας του παράδοξου σε κάθε πρόβλημα και παρουσιάζονται οι διάφορες προσεγγίσεις στη λύση τους. Τέλος επιχειρούμε την εξεικόνιση των παραδόξων δημιουργώντας μοντέλα προσομοίωσής τους στον υπολογιστή. Εισαγωγή Τα διάφορα φυσικά φαινόμενα, πειράματα ή και μοντέλα διακρίνονται σε δυο μεγάλες κατηγορίες. πό τη μια είναι τα αιτιοκρατικά (deterministic) μοντέλα των οποίων το αποτέλεσμα μπορεί εκτιμηθεί με ακρίβεια αν είναι γνωστές οι μεταβλητές (παράμετροι) που το διέπουν. πό την άλλη είναι τα στοχαστικά (stochastic) ή πιθανολογικά (probabilistic) μοντέλα στα οποία το αποτέλεσμα δεν μπορεί να προβλεφθεί με ακρίβεια έστω και αν είναι γνωστές οι αρχικές τους συνθήκες μεταβλητές. Ενυπάρχει στα πειράματα αυτά ο παράγοντας τύχη και για τούτο αποκαλούνται «πειράματα τύχης». ια την πρόβλεψη μιας εκτίμησης του αποτελέσματος ενός πειράματος τύχης καταφεύγουμε στη μέτρηση της συχνότητας εμφάνισης ενός συγκεκριμένου αποτελέσματος (Von Mises) και την εκφράζουμε συνήθως ως ποσοστό επί τοις εκατό. ια παράδειγμα, εάν ρίψουμε ένα αμερόληπτο νόμισμα 100 φορές, αναμένουμε πως στις 50 φορές θα εμφανίσει «κορόνα» και τις άλλες 50 θα εμφανίσει «γράμματα». Έτσι 1

η πιθανότητα του ενδεχομένου η ρίψη ενός νομίσματος να εμφανίσει «κορόνα» ή «γράμματα» είναι 50%. Ο Laplace έδωσε ένα άλλο ορισμό για την πιθανότητα ενός ενδεχομένου. Συγκεκριμένα, πήρε το λόγο του πλήθους των ευνοϊκών, για ένα ενδεχόμενο, αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης προς το συνολικό αριθμό όλων των δυνατών αποτελεσμάτων του πειράματος. ν συμβολίσουμε με το πλήθος των ευνοϊκών αποτελεσμάτων και με Ω το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων τότε: Ο ορισμός κατά Laplace προϋποθέτει ότι τόσο το σύνολο των ευνοϊκών αποτελεσμάτων όσο και το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων είναι πεπερασμένα και πως το ενδεχόμενο είναι απλό ενδεχόμενο, με την έννοια ότι η πιθανότητα εμφάνισής του δε βασίζεται σε άλλα ενδεχόμενα και προϋποθέσεις. κόμα, στην πιθανότητα κατά Laplace είναι αναγκαίο να υποθέσουμε πως τα ενδεχόμενα ακολουθούν ομοιόμορφη κατανομή. Με άλλα λόγια, ότι όλα τα ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα. Σε πραγματικά πειράματα τύχης οι πιο πάνω προϋποθέσεις δεν είναι πάντοτε ευδιάκριτες. δυναμία εντοπισμού μιας έκαστης των υποθέσεων αυτών είναι δυνατό να οδηγήσει στην εμφάνιση φαινομενικά παράδοξων αποτελεσμάτων. Στην εργασία μας μελετούμε μια σειρά από τέτοια παράδοξα και με τη βοήθεια της προσομοίωσης προσπαθούμε να εντοπίσουμε ενδεχόμενους λόγους της εμφάνισης τους. Το Πρόβλημα Monty Hall Σε ένα τηλεπαιχνίδι εμφανίζονται τρία κλειστά χαρτιά. Το ένα από τα τρία χαρτιά κρύβει ένα ακριβό δώρο ενώ τα άλλα δύο κρύβουν μια γλάστρα ή ένα γαϊδούρι. Επιλέγετε στην τύχη ένα χαρτί, ας πούμε το πρώτο και ο παρουσιαστής του παιγνιδιού ο οποίος γνωρίζει πού βρίσκεται το δώρο ανοίγει ένα άλλο χαρτί πίσω από το οποίο βρίσκεται μια γλάστρα. Στη συνέχεια σας προτείνει να ανταλλάξετε το χαρτί της επιλογής σας με το άλλο χαρτί που παραμένει κλειστό. Σας συμφέρει ή όχι η ανταλλαγή της επιλογής σας με το προτεινόμενο από τον τηλεπαρουσιαστή χαρτί; (Monty_Hall4.html) Στο δίλημμα αυτό βρέθηκαν οι διαγωνιζόμενοι στο τηλεπαιχνίδι Let s Make a Deal το οποίο παρουσιαζόταν στην μερική την δεκαετία του 70 με παρουσιαστές τους Monty Hall και Carol Merill. Σε σχετικό ερώτημα στον ημερήσιο τύπο της εποχής η παρουσιάστρια του παιγνιδιού αποκάλυψε ότι συμφέρει στον διαγωνιζόμενο να ανταλλάξει την επιλογή του. Η αποκάλυψη αυτή ξεσήκωσε κύμα διαφωνιών από ένα σύνολο θεατών του παιγνιδιού ακόμα και μαθηματικών. Το πρόβλημα αποτελεί κλασικό παράδειγμα διαισθητικής γκάφας στον προσδιορισμό της πιθανότητας ενός Φάση

ενδεχόμενου υπό συνθήκη. Στα επόμενα θα προσπαθήσουμε να αποδείξουμε ότι πράγματι συμφέρει στον διαγωνιζόμενο να ανταλλάξει το χαρτί του. Το πρόβλημα έχει τρεις φάσεις. Στην πρώτη φάση τοποθετείται το δώρο πίσω από ένα χαρτί. Η πιθανότητα τοποθέτησης του χαρτιού σε οποιαδήποτε θέση είναι η ίδια και ίση με. Σε δεύτερη φάση ο διαγωνιζόμενος καλείται να επιλέξει ένα από τα τρία χαρτιά. Η πιθανότητα επιλογής οποιουδήποτε χαρτιού είναι ίση με. Η πιθανότητα για κάθε ένα από τα εννέα δυνατά ενδεχόμενα είναι. Στην τρίτη φάση του παιγνιδιού ο παρουσιαστής φανερώνει ένα από τα χαρτιά στο όποιο δεν είναι το δώρο. Στη φάση αυτή εμφανίζονται δυο ειδών περιορισμοί. Στην περίπτωση που ο διαγωνιζόμενος δεν επιλέξει το τυχερό χαρτί, ο παρουσιαστής δεν έχει άλλη επιλογή από το να αποκαλύψει το μοναδικό χαρτί που παραμένει κλειστό, Φάση Φάση στο οποίο δεν κρύβεται το δώρο. Ενώ, στην περίπτωση που ο διαγωνιζόμενος επιλέξει το τυχερό χαρτί ο παρουσιαστής μπορεί να αποκαλύψει ένα από τα δυο εναπομείναντα χαρτιά, όποιο θέλει, με πιθανότητα. Το επόμενο δενδροδιάγραμμα παρουσιάζει τα δυνατά ενδεχόμενα μαζί με τις πιθανότητες του κάθε ενδεχόμενου. Τα ευνοϊκά για το διαγωνιζόμενο ενδεχόμενα, δεδομένου ότι δεν ανταλλάζει το χαρτί του είναι τα, Η συνολική πιθανότητα ο διαγωνιζόμενος να κερδίσει το δώρο, δεδομένης της απόφασης του να κρατήσει το χαρτί της αρχικής του επιλογής είναι: ντίστροφα, τα ευνοϊκά ενδεχόμενα να κερδίσει το δώρο όταν δεχθεί την ανταλλαγή του χαρτιού είναι: Η πιθανότητα ο διαγωνιζόμενος να κερδίσει το δώρο αν ανταλλάξει το χαρτί είναι: 3

Άρα, συμπεραίνουμε ότι η διαίσθηση του διαγωνιζόμενου πως είτε αλλάξει το χαρτὶ του, είτε όχι θα έχει την ίδια πιθανότητα να κερδίσει το δώρο είναι, σύμφωνα με όλα τα πιο πάνω λανθασμένη. Το παράδοξο βασίζεται στη λανθασμένη εκτίμηση πως το ενδεχόμενο ανταλλαγής του χαρτιού είναι απλό και όχι σύνθετο. Φάση Φάση Φάση Το Σπασμένο Ραβδί Ένα άλλο κλασικό παράδειγμα παράδοξου στις πιθανότητες είναι το πρόβλημα με το σπασμένο ραβδί: ν να ραβδ σπάσει τυχα α σε τρ α κομμάτια, ποια η πιθανότητα τα σπασμ να κομμάτια να σχηματ σουν τρ γωνο. (broken_stick.html) 4

ια να βρούμε τη σωστή απάντηση πρέπει να βρούμε την σωστή μέθοδο με την οποία θα σπάσουμε το ραβδί. Η πρώτη μέθοδος είναι να σπάσουμε το ραβδάκι ταυτόχρονα σε τρία τυχαία κομμάτια. Στην περίπτωση αυτή θα αποδείξουμε ότι η πιθανότητα του ενδεχομένου είναι ¼. Κατασκευάζουμε ισόπλευρο τρίγωνο του οποίου το ύψος είναι ίσο με το μήκος του ραβδιού του πειράματός μας. Φέρουμε τις ορθές προβολές τυχαίου σημείου Τ του τριγώνου ως προς τις πλευρές του. Θα δείξουμε ότι το άθροισμα των τριών προβολών είναι σταθερό και ισούται με το ύψος του κανονικού τριγώνου. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ό ά ώ ( ) Στη συνέχεια θα δείξουμε ότι αν το σημείο Τ βρίσκεται μέσα στο τρίγωνο ΔΖΕ, τότε τα κομμάτια του ραβδιού σχηματίζουν τρίγωνο, ενώ αν βρίσκεται εκτός του μικρού τριγώνου ΔΕΖ, τότε τα κομμάτια δε σχηματίζουν τρίγωνο. Παρατηρούμε ότι αν το Τ βρίσκεται εκτός του τριγώνου ΔΕΖ τότε δεν ισχύει η τριγωνική ιδιότητα για τα τμήματα των ορθών προβολών και επομένως δε σχηματίζουν τρίγωνο. (ΤΘ) +(ΤΗ) +(ΤΥ) = υ (μικρούτριγώνου) Και ΤΙ = ΤΥ +ΥΙ = ΤΥ + υ Άρα, (ΤΘ)+(ΤΗ)+(ΤΥ)=υ (μικρού τριγ.) (ΤΘ)+(ΤΗ)+(ΤΥ) υ+(τυ) (ΤΘ)+(ΤΗ) υ+(τυ) (ΤΘ)+(ΤΗ) (ΤΙ) φού η πιθανότητα να ενωθούν οι τρεις ορθές προβολές μέσα στο σκιασμένο εγγεγραμμένο τρίγωνο είναι 1 προς 4, τότε η πιθανότητα να σχηματιστεί τρίγωνο είναι 1/4. 5

Μια άλλη μέθοδος είναι να σπάσουμε το ραβδί τυχαία σε δύο κομμάτια. Στη συνέχεια επιλέγουμε στην τύχη ένα από τα δύο κομμάτια και το ξανασπάμε. ν επιλέξουμε να σπάσουμε το μικρό κομμάτι, τότε δε θα μπορέσουμε να φτιάξουμε τρίγωνο. ν επιλέξουμε να σπάσουμε το μεγάλο, τότε η πιθανότητα θα είναι 1/3, διότι σε αυτή την περίπτωση οι ευνοϊκές θέσεις του σημείου Τ είναι μέσα στο τρίγωνο ΔΕΖ, ενώ οι δυνατές θέσεις του είναι μέσα σε ένα από τα τρία τρίγωνα, ΔΕ, ΔΕΖ και ΕΖ. ν θεωρήσουμε ότι τα ενδεχόμενα εκλογής του ενός ή του άλλου κομματιού είναι ισοπίθανα η πιθανότητα να επιλέξουμε το μεγάλο κομμάτι είναι 1/. Άρα, η πιθανότητα σχηματισμού τριγώνου περιορίζεται στο 1 1 1. 3 6 Μια διόρθωση που αναφέρεται στη βιβλιογραφία και αφορά στη δεύτερη περίπτωση είναι η ακόλουθη. Έστω και τα μήκη των δυο κομματιών με. Τότε το Τ μπορεί να πάρει οποιαδήποτε θέση μέσα στο τραπέζιο ΔΖ (η ΔΖ χωρίζει το ύψος του τριγώνου μήκος ραβδιού σε δυο ίσα μέρη). ια κάθε τυχαία θέση του σημείου Τ η πιθανότητα τα τρία κομμάτια να σχηματίσουν τρίγωνο, δεδομένου ότι επιλέγεται το μεγαλύτερο κομμάτι, είναι ίση με το λόγο, x 1 x θροίζοντας για όλες τις δυνατές θέσεις του σημείου Τ στο διάστημα έχουμε, 1 1 1 x 1x 1 0 1x 1x 0 0 P( A) dx dx x ln(1 x) 1 1 1 1 ln ln1 ln ln 0,193 Ο τύπος του Bays της ολικής πιθανότητας μας επιτρέπει τον υπολογισμό της όπου, / το ενδεχόμενο τα τρία κομμάτια να φτιάξουν τρίγωνο δεδομένου ότι επιλέγεται το μεγαλύτερο από τα δύο κομμάτια που προέκυψαν από το αρχικό σπάσιμο. 6

P( A) P( A / B) P( B) P( A / B) P( B) 1 1 0,193 P( A / B) 0 P( A / B) 0,193 0,386 Παρατηρούμε ότι η υπολογισμένη πιθανότητα είναι ελαφρώς μεγαλύτερη από το 1/3 που μας έδωσε το γεωμετρικό μοντέλο. Μια προέκταση της μεθόδου που μόλις έχουμε αναλύσει είναι να θεωρήσουμε ότι η επιλογή των δύο κομματιών που προκύπτουν από το αρχικό σπάσιμο δεν είναι ισοπίθανη αλλά ανάλογη του μήκους των κομματιών. ν και είναι τα μήκη των δύο κομματιών τότε η πιθανότητα επιλογής ενός εκάστου είναι και αντίστοιχα. Άρα για το τυχαίο σημείο Τ είναι, x P( A / B) (1 x) x 1 x Ολοκληρώνοντας στο διάστημα παίρνουμε, 1 x 1 P( A / B) 4 Δηλαδή, αποδείξαμε το ισοδύναμο του γεωμετρικού μοντέλου όπου το ραβδί σπάζει ταυτόχρονα σε τρία κομμάτια. Επομένως, το παράδοξο της ύπαρξης δυο διαφορετικών λύσεων στο πρόβλημα του σπασμένου ραβδιού βασίζεται στη λανθασμένη εκτίμηση του ισοπίθανου της μεταβλητής «λήψη ενός εκ των δυο κομματιών», στην περίπτωση που το ραβδί δε σπάζει ταυτόχρονα σε τρία κομμάτια. 0 Το Παράδοξο του Bertrand Το παράδοξο του Bertrand είναι ένα πρόβλημα που εξετάζει την πιθανότητα μια χορδή ενός κύκλου που επιλέχθηκε τυχαία να είναι μεγαλύτερη από την πλευρά του ισόπλευρου τριγώνου εγγεγραμμένου στον κύκλο. υτό το πρόβλημα τέθηκε αρχικά από τον Joseph Bertrand στην εργασία του Calcul des probabilities το 1888. O Bertrand έδωσε τρία επιχειρήματα, όλα προφανώς έγκυρα, που παράγουν όμως τρία ασυμβίβαστα αποτελέσματα. Εμείς, με τη βοήθεια του προγράμματος Geogebra, προσπαθήσαμε να αναπαραστήσουμε εφαρμογές των τριών εκδοχών του προβλήματος, έτσι ώστε να προσεγγίσουμε την έννοιά τους και να την κατανοήσουμε. 7

Πρώτη λύση (Bertrand_Paradox_1.html) ρχικά κατασκευάζουμε έναν κύκλο με ακτίνα r και κέντρο C, και εγγράφουμε σ αυτόν ένα ισόπλευρο τρίγωνο με κορυφές,,. Στον κύκλο δημιουργούνται τρία ίσα τόξα (==). Στη συνέχεια φέρουμε τυχαίες χορδές από την κορυφή. παρατηρούμε ότι μόνο οι χορδές που καταλήγουν στο τόξο είναι μεγαλύτερες από την πλευρά του τριγώνου. Άρα μόνο το 1/3 της περιφέρειας του κύκλου έχει χορδές μεγαλύτερες από τις πλευρές του τριγώνου. Στην προσομοίωση στον υπολογιστή παρατηρήσαμε πως όταν εκφράσαμε τις συντεταγμένες των σημείων της περιφέρειας του κύκλου σε πολικές συντεταγμένες η πειραματική πιθανότητα προσέγγιζε περισσότερο προς τη θεωρητική λύση του 1/3. Δεύτερη λύση (Bertrand_Paradox_.html) Φέρουμε τη διάμετρο BD του κύκλου που είναι κάθετη στην πλευρά. ναμένουμε πως όλες οι χορδές του κύκλου, που είναι κάθετες στην διάμετρο αυτή θα κατανέμονται ομοιόμορφα σε όλο το μήκος της διαμέτρου. πό το σύνολο των χορδών αυτών μόνο εκείνες που βρίσκονται σε απόσταση από το κέντρο του κύκλου θα έχουν μήκος μεγαλύτερο της πλευράς του εγγεγραμμένου τριγώνου. Άρα η πιθανότητα, οι χορδές που φέραμε να είναι μεγαλύτερες από τις πλευρές του τριγώνου, είναι. Παρατηρούμε, όμως πως αν ξεφύγουμε από τον περιορισμό, οι χορδές να φέρονται κάθετα στη διάμετρο BD του κύκλου, και δεχθούμε, οι χορδές να φέρονται τυχαία στον κύκλο, τότε η πιθανότητα, οι χορδὲς να έχουν μήκος μεγαλύτερο από την πλευρά του ισόπλευρου τριγώνου είναι και πάλι ( ). Επομένως, το παράδοξο στην περίπτωση αυτή προέκυψε από τη λανθασμένη υπόθεση πως το ενδεχόμενο δημιουργίας χορδών κάθετων σε τυχαία διάμετρο του κύκλου είναι απλό ενδεχόμενο. 8

Τρίτη λύση (Bertrand_Paradox_3.html) Στην αρχική κατασκευή μας προσθέτουμε ένα μικρότερο κύκλο εγγεγραμμένο στο ισόπλευρο τρίγωνο. Η ακτίνα του κύκλου αυτού είναι. Άρα το εμβαδόν του μικρού κύκλου είναι το ¼ του μεγάλου κύκλου. Στη συνέχεια φέρουμε τυχαίες χορδές στο κύκλο. Παρατηρούμε ότι μόνο οι χορδές που έχουν το μέσο τους μέσα στον μικρό κύκλο είναι μεγαλύτερες από την πλευρά του τριγώνου. Και επομένως, η ζητούμενη πιθανότητα είναι. Όταν προσομοιώσαμε την περίπτωση αυτή στον υπολογιστή με τη βοήθεια του προγράμματος Geogebra, παρατηρήσαμε πως η πιθανότητα πλησίαζε το και όχι το. ια να διερευνήσουμε τη διαφορά αυτή πήραμε το ίχνος των μέσων των τυχαίων χορδών. Παρατηρήσαμε πως η κατανομή των σημείων αυτών δεν είναι ομοιόμορφη σε όλη την επιφάνεια του κύκλου αλλά παρατηρείται μια μεγαλύτερη συγκέντρωση προς το κέντρο του κύκλου. υτό εξηγεί και τη διαφορά ανάμεσα στο θεωρητικό μοντέλο που αναγράφεται στη βιβλιογραφία με το αποτέλεσμα της προσομοίωσης που κάναμε στον υπολογιστή. Επομένως, το λάθος στην περίπτωση αυτή βρίσκεται στο ότι λανθασμένα υποτέθηκε πως η κατανομή των χορδών του κύκλου είναι ομοιόμορφη. Παράδοξα μεταβατικής ιδιότητας Είναι γνωστό από τη λογική πως αν μια πρόταση ισχύει μεταξύ των αντικειμένων και και η ίδια πρόταση ισχύει επίσης μεταξύ των και, τότε η πρόταση θα είναι επίσης αληθής μεταξύ των και. Η ιδιότητα αυτή λέγεται μεταβατική. Ένα κλασικό παράδειγμα είναι η ανισοτική σχέση. Συγκεκριμένα αν ο ιάννης είναι πιο βαρύς από τον Κώστα και ο Κώστας πιο βαρύς από τον ντώνη, τότε ο ιάννης είναι πιο βαρύς από τον ντώνη. Θα περίμενε κανείς πως η μεταβατική ιδιότητα θα ίσχυε και στις πιθανότητες. Μια σειρά όμως από αντιπαραδείγματα καταδεικνύουν, αντίθετα με την ανθρώπινη διαίσθηση, ότι στο χώρο των πιθανοτήτων δεν ισχύει η μεταβατική ιδιότητα. ια παράδειγμα σε δυαδικές σχέσεις προτίμησης δεν ισχύει η μεταβατική ιδιότητα. Δηλαδή, αν το προϊόν προτιμάται από το προϊόν και το προϊόν προτιμάται έναντι του προϊόντος, τότε δεν είναι σίγουρο αν μεταξύ των προϊόντων και, το είναι περισσότερο προτιμητέο. Το ίδιο ισχύει σε προτιμήσεις υποψηφίων σε εκλογές κ.ο.κ. Ο Bradley Efron, στατιστικολόγος στο Stanford University, κατασκεύασε μια σειρά από ζάρια για να καταδείξει τη μη εφαρμογή της μεταβατικής ιδιότητας στις πιθανότητες. Παρακάτω παραθέτουμε μια τετράδα από τέτοια ζάρια στο ανάπτυγμά τους. Δ 0 4 0 4 4 4 3 3 3 3 3 3 9 6 6 5 1 1 5 5 1

νάμεσα στο και στο παρατηρούμε ότι η πιθανότητα να κερδίσει το είναι 4/36 και η πιθανότητα να κερδίσει το είναι 1/36. Συμπεραίνουμε λοιπόν πως μεταξύ του και του, περισσότερες πιθανότητες για να κερδίσει έχει το ζάρι. / 0 0 4 4 4 4 / 3 3 3 3 3 3 6 6 νάμεσα στο και στο παρατηρούμε, ότι η πιθανότητα να κερδίσει το είναι 4/36 και η πιθανότητα να κερδίσει το είναι 1/36. Επομένως, ανάμεσα στο και στο περισσότερες πιθανότητες για να κερδίσει έχει το ζάρι. Τέλος, ανάμεσα στο και στο Δ παρατηρούμε ότι η πιθανότητα να κερδίσει το είναι 7/36 και η πιθανότητα να κερδίσει το Δ είναι 9/36. Άρα, μεταξύ του και του Δ περισσότερες πιθανότητες για να κερδίσει έχει το ζάρι. /Δ 6 6 1 1 1 5 Δ Δ Δ 5 Δ Δ Δ 5 Δ Δ Δ Δ/ 1 1 1 5 5 5 0 Δ Δ Δ Δ Δ Δ 0 Δ Δ Δ Δ Δ Δ 4 Δ Δ Δ 4 Δ Δ Δ 4 Δ Δ Δ 4 Δ Δ Δ Μετά τη φθίνουσα αυτή, ακολουθία πιθανοτήτων θα συμπέραινε ο ανυποψίαστος μελετητής πως το ζάρι θα είχε περισσότερες πιθανότητες να νικήσει το Δ ζάρι. Η ανάλυση, όμως, του δειγματικού χώρου των ζαριών και Δ δείχνει πως είναι το ζάρι Δ που νικά το ζάρι με πιθανότητα 1/36. Το παράδοξο αυτό φαινόμενο στις πιθανότητες, θελήσαμε να το εξεικονίσουμε στον υπολογιστή. Συγκεκριμένα, πήραμε τα τρία ζάρια οι όψεις των φαίνονται στον επόμενο πίνακα. 10

Το πρώτο ζάρι έχει στις δύο έδρες τον αριθμό 1 ενώ Έδρες Ζαριών στις υπόλοιπες τον αριθμό 4. Το δεύτερο ζάρι έχει σε όλες τις έδρες του τον αριθμό 3. Το τρίτο ζάρι έχει στις Χ 1 1 4 4 4 4 δύο έδρες τον αριθμό 5 και στις υπόλοιπες τον αριθμό Υ 3 3 3 3 3 3. Ζ 5 5 Ρίχνοντας αρκετές φορές τα ζάρια μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι το πρώτο ζάρι νικά το δεύτερο και το δεύτερο νικά το τρίτο. Κατά παράδοξο, όμως τρόπο το τρίτο ζάρι νικά το πρώτο. (Non_Transitive_Dice.html) Συμπεράσματα Μετά τη συζήτηση γνωστών στη βιβλιογραφία παραδόξων στις πιθανότητες, όπως αυτά στα οποία αναφερθήκαμε στην εργασία μας αυτή, γίνεται φανερό πως έχει ιδιαίτερη σημασία η προσεκτική μελέτη των προϋποθέσεων που υπάρχουν όταν στα μαθηματικά χρησιμοποιούμε ορισμούς, σχέσεις, προτάσεις ή θεωρήματα για την εξαγωγή συμπερασμάτων. Συγκεκριμένα έχουμε προσέξει πως όταν στις πιθανότητες χρησιμοποιούμε τον ορισμό κατά Laplace, τότε θα πρέπει να έχουμε κατά νουν πως τα ενδεχόμενα θα πρέπει να είναι απλά, ισοπίθανα (ομοιόμορφη κατανομή) και πως το σύνολο του δειγματικού χώρου και του ενδεχομένου θα πρέπει να είναι πεπερασμένα. δυναμία να ελέγξουμε μια από τις προϋποθέσεις αυτές είναι πολύ πιθανόν να μας οδηγήσει σε αντιφατικές απαντήσεις παράδοξα. Τέλος, μια σειρά από παράδοξα, όπως είναι τα μη μεταβατικά ζάρια, στηρίζονται στη λανθασμένη διαίσθηση για την χρήση απλών ιδιοτήτων που ισχύουν σε άλλες περιοχές των μαθηματικών στις οποίες μπορεί να είμαστε περισσότερο εξοικειωμένοι. ιβλιογραφία 1. Μαθηματικά Επιλογής, Λυκείου, 003, Υπηρεσία νάπτυξης Προγραμμάτων.. www.cut-the-knot.org/curriculum/probability 3. M. Jackson, Paradoxes with dice and elections, Towards Excellence in Mathematics (Melbourne, 004), Mathematical Association of Victoria, 004, pp. 08 18. 4. A. R. Meyer and R. Rubinfeld, Course notes, Mathematics for Computer Science Introduction to Probabilities, (Fall 005), Massachusetts Institute of Technology. 5. M. Gardner, The Colossal Book of Mathematics, W.W. Norton & Co, 001, pp. 73-96. 11