ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ

Transcript

1 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 6, Γραφείο 102, Στρόβολος 200, Λευκωσία Τηλέφωνο: , Φαξ: ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ημερομηνία: Δευτέρα, 21/05/2018 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΜΕΡΟΣ A : Αποτελείται από 10 ασκήσεις. Να λύσετε και τις 10 ασκήσεις. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 5 μονάδες. 1. Να βρείτε το ολοκλήρωμα: 2 81 Είναι: Οι ελάχιστες ημερήσιες θερμοκρασίες (σε βαθμούς κελσίου) που καταγράφηκαν στο Τρόοδος κατά το πρώτο δεκαήμερο του Ιανουαρίου 2018 ήταν: 12,16,17,8,6,9,12,11,11,9 Να υπολογίσετε: (α) τα τεταρτημόρια, και (β) το εύρος των παρατηρήσεων καθώς και το ενδοτεταρτημοριακό εύρος. (α) Γράφουμε τις 10 παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά 6, 8, 9, 9, 11, 11, 12, 12, 16, 17 και τις συμβολίζουμε με, όπου 1, 2,,, 10. Επειδή το πλήθος τους είναι (άρτιος), έχουμε: , και 12 (β) Έχουμε: 17611, 129. Σε ένα σχολείο φοιτούν στη Β Λυκείου 205 μαθητές. Οι 80 μαθητές από αυτούς επέλεξαν το μάθημα της Φυσικής, οι 65 επέλεξαν το μάθημα της Βιολογίας και οι 4 επέλεξαν και τα δύο μαθήματα. Να βρείτε πόσοι μαθητές δεν επέλεξαν κανένα από τα δύο αυτά μαθήματα. 1

2 Έστω το σύνολο όλων των μαθητών της Β Λυκείου, το σύνολο των μαθητών που επέλεξαν Φυσική και το σύνολο των μαθητών που επέλεξαν Βιολογία. Τότε, σύμφωνα με τα δεδομένα, είναι: 205, 80, 65, 4 Το σύνολο των μαθητών που δεν επέλεξαν κανένα από το δύο αυτά μαθήματα είναι: Άρα: Δηλαδή, 94 μαθητές δεν επέλεξαν κανένα από το δύο αυτά μαθήματα. 4. Στο πιο κάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας τριτοβάθμιας πολυωνυμικής συνάρτησης : 0,, 4, η οποία παρουσιάζει σημείο καμπής στο 2. Να βρείτε τις τιμές του, για τις οποίες ισχύει: (α) 0 (β) 0 (γ) 0 (δ) 0 και 0 (α) 0 1, (β) 0 2 (γ) 0 1, (δ) 0 και 0, 4 2

3 5. Δίνονται δύο ενδεχόμενα, του ιδίου δειγματικού χώρου, με: (α) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες: i. ii. iii. / 5, 1 4 και / 4 (β) Να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα και είναι ανεξάρτητα. (α) Έχουμε: i. ii. 1 1 iii. / (β) Έχουμε: / Επομένως, τα ενδεχόμενα και δεν είναι ανεξάρτητα. και Δίνονται τα σύνολα,,, και,,. Να βρείτε το πλήθος των λέξεων με πέντε γράμματα (με νόημα ή χωρίς νόημα) που μπορούν να σχηματιστούν, αν επιλέξουμε τυχαία τρία γράμματα από το σύνολο και δύο γράμματα από το σύνολο. 4 4! 5! 2! 1!! 5! ! 1! 7. Δίνεται η συνάρτηση 91, όπου,. Η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο 1 και σημείο καμπής στο 1. Να βρείτε τις τιμές των και. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο, με: 29 Η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο 1. Επομένως:

4 Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο, με: 62 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει σημείο καμπής στο 1. Επομένως: Από τις 1 και 2 προκύπτει ότι: 99 1, 8. Τα στοιχεία του συνόλου είναι όλοι οι εξαψήφιοι αριθμοί που σχηματίζονται με τα ψηφία 0, 1, 2,, 4, 5, 6, 7, χωρίς επανάληψη. (α) Να βρείτε το πλήθος των στοιχείων του συνόλου. (β) Αν πάρουμε τυχαία έναν αριθμό από το σύνολο, να βρείτε την πιθανότητα ο αριθμός που επιλέγηκε να είναι πολλαπλάσιο του 5. (α) Το πλήθος των εξαψήφιων αριθμών που σχηματίζονται είναι: Έχουμε: (β) Το πλήθος των πιο πάνω εξαψήφιων που τελειώνουν σε 0 είναι: Επομένως, έχουμε αριθμούς. Το πλήθος των πιο πάνω εξαψήφιων που τελειώνουν σε 5 είναι: Επομένως, έχουμε αριθμούς. Έστω: Οι εξαψήφιοι που είναι πολλαπλάσια του Δίνεται η συνάρτηση :, η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με 12. Να βρείτε τον τύπο της, για την οποία ισχύουν 1 0 και 2. Έχουμε 12. Ολοκληρώνουμε ως προς και παίρνουμε:

5 Είναι: Έτσι: 6 6, Ολοκληρώνουμε ως προς και παίρνουμε: Είναι: Έτσι: , 10. Το ύψος ενός κόλουρου κώνου είναι τετραπλάσιο της ακτίνας της μικρής βάσης του. Η ακτίνα της μεγάλης βάσης του είναι ίσης με το ύψος του. Αν ο όγκος του είναι ίσος με 1792 m, να υπολογίσετε: (α) το μήκος της ακτίνας της μικρής βάσης του, (β) το εμβαδόν της ολικής του επιφάνειας. Έστω,, το ύψος, η ακτίνα της μεγάλης βάσης και η ακτίνα της μικρής βάσης του κόλουρου κώνου, αντίστοιχα. Έχουμε 4, και 4. (α) Έχουμε: m (β) Έχουμε: 4 16 m 16 m, 20 m Έτσι: m 5

6 ΜΕΡΟΣ B : Αποτελείται από 5 ασκήσεις. Να λύσετε και τις 5 ασκήσεις. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 10 μονάδες. 1. Σε έναν τηλεοπτικό διαγωνισμό ταλέντων συμμετείχαν εννέα 9 διαγωνιζόμενοι, οι οποίοι βαθμολογήθηκαν από το κοινό (με τηλεψηφοφορία) και από κριτική επιτροπή. Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στον πιο κάτω πίνακα: Διαγωνιζόμενος Βαθμολογία κριτικής επιτροπής Βαθμολογία κοινού (α) Να υπολογίσετε τον συντελεστή συσχέτισης των δύο μεταβλητών (βαθμολογία κριτικής επιτροπής) και (βαθμολογία κοινού). (β) Να χαρακτηρίσετε το είδος της συσχέτισης μεταξύ των δύο μεταβλητών και να την ερμηνεύσετε. Κατασκευάζουμε τον πιο κάτω πίνακα:

7 (α) Από τον πιο πάνω πίνακα έχουμε 45 9, 45 9, ,581989, 0 1, Επομένως, ο συντελεστής συσχέτισης μεταξύ των μεταβλητών και είναι: , ,58 1,82 (β) Ο συντελεστής 0,90 είναι θετικός και κοντά στο 1, που μας δείχνει ότι οι δύο μεταβλητές παρουσιάζουν ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση. Δηλαδή, όσο ψηλή βαθμολογία έδινε η κριτική επιτροπή, τόσο αντίστοιχα ψηλή βαθμολογία έδινε και το κοινό. 2. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο 2. Αφού βρείτε το πεδίο ορισμού της, τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τους άξονες των συντεταγμένων, τα διαστήματα μονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα, τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι κυρτή ή κοίλη, τα σημεία καμπής της, τη συμπεριφορά της στα άκρα του πεδίου ορισμού της, να κάνετε τη γραφική της παράσταση. Πεδίο Ορισμού: Σημεία τομής με τους άξονες των συντεταγμένων: 0, 0,,0 Μονοτονία Ακρότατα: Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο, με: ή 1 Η μονοτονία και τα ακρότατα της φαίνονται στον πιο κάτω πίνακα. Η είναι: Γνησίως αύξουσα στα διαστήματα, 0, 1, Γνησίως φθίνουσα στο διάστημα 0, 1 Η έχει τοπικό μέγιστο το 0 0 και τοπικό ελάχιστο το 1 1. Κυρτότητα Σημεία Καμπής: Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο, με:

8 Τα διαστήματα στα οποία η είναι κυρτή ή κοίλη και τα σημεία καμπής της γραφικής της παράστασης φαίνονται στον πιο κάτω πίνακα. Η είναι: Κοίλη στο διάστημα, Κυρτή στο διάστημα, Η γραφική παράσταση της έχει σημείο καμπής, το,. Συμπεριφορά της στα άκρα του πεδίου ορισμού της: lim lim 2 lim 2 lim lim 2 Γραφική παράσταση της :. Μια εργοληπτική εταιρεία κατασκευάζει εξοχικές κατοικίες. Το συνολικό κόστος κατασκευής εξοχικών κατοικιών, σε χιλιάδες ευρώ το χρόνο, δίνεται από τον τύπο 50, Η τιμή πώλησης κάθε εξοχικής κατοικίας είναι 20 χιλιάδες ευρώ. (α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση του κέρδους από την πώληση εξοχικών κατοικιών, σε χιλιάδες ευρώ τον χρόνο, δίνεται από τον τύπο: 17 50,

9 (β) Να βρείτε πόσες εξοχικές κατοικίες πρέπει να κατασκευάζει η εργοληπτική εταιρεία τον χρόνο, ώστε να έχει το μέγιστο δυνατό κέρδος. (α) Η συνάρτηση του κέρδους από την πώληση εξοχικών κατοικιών, σε χιλιάδες ευρώ τον χρόνο, δίνεται από τον τύπο: , (β) Έχουμε: , ,5, 0, 95 Εύκολα παρατηρούμε ότι το κέρδος της εταιρείας μεγιστοποιείται, όταν 85. Εναλλακτικά, αν θεωρήσουμε ότι το πλήθος των εξοχικών κατοικιών είναι πραγματικός αριθμός στο διάστημα 0, 95, μπορούμε να εργαστούμε ως ακολούθως: Η συνάρτηση του κέρδους είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα 0,95, με: Η μονοτονία και τα ακρότατα της φαίνονται στον πιο κάτω πίνακα. Εύκολα παρατηρούμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 0,85, γνησίως φθίνουσα στο διάστημα 85, 95 και λαμβάνει την ολικά μέγιστη της τιμή, όταν Δίνεται η λέξη ΣΤΟΧΑΣΜΟΣ. (α) i. ii. (β) i. Να βρείτε το πλήθος των αναγραμματισμών της πιο πάνω λέξης. Να βρείτε το πλήθος των αναγραμματισμών της πιο πάνω λέξης, που έχουν τα φωνήεντα σε συνεχόμενες θέσεις. Αν πάρουμε στην τύχη έναν από τους αναγραμματισμούς της λέξης ΣΤΟΧΑΣΜΟΣ, να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου: {Ο αναγραμματισμός περιέχει τη λέξη ΣΤΟΧΟΣ} 9

10 ii. Αν ο αναγραμματισμός περιέχει τη λέξη ΣΤΟΧΟΣ, να βρείτε την πιθανότητα η λέξη ΣΤΟΧΟΣ να μην είναι στο τέλος του αναγραμματισμού. (α) i. ii. (β) i. ii. Το πλήθος όλων των αναγραμματισμών της πιο πάνω λέξης είναι ίσο με: 9! !! Το πλήθος όλων των αναγραμματισμών της πιο πάνω λέξης, όπου τα φωνήεντα είναι σε συνεχόμενες θέσεις είναι ίσο με: 7!!! ! Το πλήθος όλων των αναγραμματισμών που περιέχουν τη λέξη ΣΤΟΧΟΣ είναι ίσο με το πλήθος των μεταθέσεων των 4 αντικειμένων,,,. Δηλαδή, 4! 24. Επομένως, 4! Όλοι οι αναγραμματισμοί που περιέχουν τη λέξη ΣΤΟΧΟΣ και αυτή βρίσκεται στην τελευταία θέση είναι όσοι και οι αναγραμματισμοί των γραμμάτων, και. Δηλαδή,! 6. Επομένως, για να μην βρίσκεται η λέξη ΣΤΟΧΟΣ στην τελευταία θέση, έχουμε συνολικά αναγραμματισμούς και η αντίστοιχη πιθανότητα είναι: Στο πιο κάτω σχήμα το είναι ορθογώνιο τραπέζιο με και κάθετες στην ευθεία και 8 cm. Το σημείο βρίσκεται πάνω στην και το τόξο ανήκει στον κύκλο με κέντρο και ακτίνα 4 cm. Το είναι ορθογώνιο τρίγωνο με 90, 0 και 5 cm. Το σκιασμένο χωρίο στρέφεται πλήρη στροφή γύρω από την ευθεία. Να υπολογίσετε: (α) το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας και (β) τον όγκο του στερεού που παράγεται. 10

11 Στο πιο κάτω σχήμα φαίνεται το στερεό που θα δημιουργηθεί μετά την περιστροφή. Στο ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε: 10 cm 90, 0, 5 cm συν0 5 cm Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο έχουμε: cm (α) Για το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας του παραγόμενου στερεού, έχουμε: ή ά ή.ώ cm ή.ί cm ί cm ή.ό ώ cm ί cm ί cm Άρα, από τις 1 6, η γίνεται: ή ά cm (β) Για τον όγκο του στερεού που δημιουργείται: ό ύ ί ώ ό ώ ί ί cm ώ cm ό ώ cm ί cm Άρα, από τις 7 10, η γίνεται: ό ύ cm 11