Θέμα Α Α1. Θεωρία (απόδειξη), σελίδα 253 σχολικού βιβλίου. Έστω x1,

Transcript

1 Πανελληνίων Θέμα Α Α. Θεωρία (απόδειξη), σελίδα 53 σχολικού βιβλίου. Έστω, με. Θα δείξουμε ότι. Πράγματι, στο διάστημα, ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει, Επειδή, οπότε έχουμε και, έχουμε, οπότε η τέτοιο, ώστε. Α. Θεωρία (Ορισμός), σελίδα 9 σχολικού βιβλίου. Μια συνάρτηση θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα,, όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του, και επιπλέον im και im Α3. Θεωρία (Ορισμός), σελίδα 58 σχολικού βιβλίου. Μια συνάρτηση, με πεδίο ορισμού, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει, τέτοιο ώστε (Το για κάθε, λέγεται θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, ενώ το τοπικό μέγιστο της ). Α4. α) Σωστό β) Σωστό γ) Λάθος δ) Λάθος ε) Λάθος Θέμα Β Β. α τρόπος: z z 4 z z z z 4 z z z z z z z z 4 z z 4 zz zz z z i Επομένως, ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων M z, y C με:, των μιγαδικών z yi είναι ο κύκλος ~ /7 ~ Πέτρος Μάρκου

2 Πανελληνίων Κέντρο,, Ακτίνα και Εξίσωση C : y δηλαδή, ο μοναδιαίος κύκλος. β τρόπος: Έστω z yi, όπου y,. Έχουμε: z z 4 yi yi 4 yi yi 4 y y 4 y y 4 y 4 y y y Επομένως, ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων M z, y C, με: Κέντρο, και Ακτίνα, δηλαδή, ο μοναδιαίος κύκλος. των μιγαδικών z yi είναι ο κύκλος Β. α τρόπος: Επειδή οι μιγαδικοί z και z είναι από τους μιγαδικούς για τους οποίους ισχύει η σχέση, δηλαδή είναι μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες ανήκουν στον μοναδιαίο κύκλο C, οι εικόνες τους θα απέχουν από το κέντρο του κύκλου, απόσταση ίση με. Άρα: z i και z i Ισοδύναμα: Ακόμα, ισχύει:, δηλαδή: z και z z και zz z z z z z z z z zz zz zz zz z zz 4 3 και ~ /7 ~ Πέτρος Μάρκου

3 Πανελληνίων z z z z zz zz 5, z z z z z z z z z z z z z z Άρα, zz 5 β τρόπος: Με τη βοήθεια του κανόνα του παραλληλογράμμου, κατασκευάζουμε το σχήμα: Έστω: M z M η εικόνα του μιγαδικού z, M z M η εικόνα του μιγαδικού z και M z z M η εικόνα του μιγαδικού z z. Γι αυτό z z OM OM Στο τρίγωνο OMM έχουμε: OM OM και MM Το MM είναι η διανυσματική ακτίνα του μιγαδικού z z, ενώ ισχύει: z z M M M M. Ακόμα: z OM OM και z OM OM Άρα, ισχύει το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος. Επομένως, MOM 9. Το τετράπλευρο OM M M είναι παραλληλόγραμμο, με δυο διαδοχικές πλευρές ίσες OM OM και μια γωνία ορθή MOM 9. Επομένως το τετράπλευρο OMM M είναι τετράγωνο. Γι αυτό, θα έχει τις διαγωνίους του ίσες, δηλαδή: z z OM OM M M Β3. Έστω w yi, όπου y, w5w yi yi 5 yi 5 5yi 4 6yi y 4 6. Έχουμε: ~ 3/7 ~ Πέτρος Μάρκου

4 Πανελληνίων y y y y y 9 4 y 3 Επομένως, ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων M w, y C, με: (Εστίες 5, που βρίσκονται στον ), 5, Μεγάλο άξονα 6 Μικρό άξονα 4 Κορυφές 3,, 3,,, και, Κέντρο, των μιγαδικών w yi είναι η έλλειψη Το μέτρο w του μιγαδικού αριθμού w εκφράζει την απόσταση της εικόνας του μιγαδικού w από την αρχή των αξόνων,. Άρα: Το μέτρο w γίνεται μέγιστο, όταν η εικόνα του μιγαδικού w ταυτίζεται με την κορυφή ή με την κορυφή. Τότε, w μέγιστο 3 Το μέτρο w γίνεται ελάχιστο, όταν η εικόνα του μιγαδικού w ταυτίζεται με την κορυφή ή με την κορυφή. Τότε, w ελάχιστο ~ 4/7 ~ Πέτρος Μάρκου

5 Πανελληνίων Β4. α τρόπος: Οι εικόνες των μιγαδικών z ανήκουν στον μοναδιαίο κύκλο. Άρα z 6. Η ελάχιστη τιμή του w είναι ίση με 3 και η μέγιστη τιμή του w είναι ίση με. Επομένως: w 3 7. Με τη βοήθεια της τριγωνικής ανισότητας, παίρνουμε: 6 7 z w z w z w w 3 4. Άρα, z w 4 και Από τις σχέσεις 8 και 6 7 z w z w z w w. Άρα, zw β τρόπος: Κάνουμε το σχήμα: 9 προκύπτει: z w Το μέτρο z w εκφράζει την απόσταση της εικόνας του μιγαδικού z (η οποία ανήκει στον κύκλο C ) από την εικόνα του μιγαδικού w (η οποία ανήκει στην έλλειψη C ). Τότε: z w, και ελάχιστη z w 3 4 μέγιστη Επομένως, z w 4. Θέμα Γ Γ. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, με: n n n n n, ή διαφορετικά n. ~ 5/7 ~ Πέτρος Μάρκου

6 Πανελληνίων Για Άρα,,, έχουμε: n n Για, είναι: n Για Άρα,,, έχουμε: n n Άρα, ο πίνακας μονοτονίας της είναι: Επομένως, η είναι γνησίως φθίνουσα στο Ακόμα, η συνάρτηση παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο,, ενώ είναι γνησίως αύξουσα στο,, το ελάχιστο n. Υπολογίζουμε τα όρια: im, im n και im im n im im, im, άρα: im n και im, άρα: im im n Για το σύνολο τιμών: Στο διάστημα, : Η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής ως πράξη μεταξύ συνεχών συναρτήσεων στο,, άρα το σύνολο τιμών της στο είναι: im,, ~ 6/7 ~ Πέτρος Μάρκου

7 Πανελληνίων Στο διάστημα, : Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής ως πράξη μεταξύ συνεχών συναρτήσεων στο,, άρα το σύνολο τιμών της στο είναι: άρα im συνεχής στο, επειδή παραγωγίσιμη στο im, im, im, Επομένως, το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι:, D Γ. Έχουμε: 3 n 3 n n 3 n n 3 n 3 Αρκεί να αποδείξουμε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες. Στο διάστημα, :,, άρα η εξίσωση,, θετική ρίζα Επειδή, άρα η εξίσωση έχει το πολύ μια ρίζα στο, έχει τουλάχιστον μια ρίζα Επομένως, το είναι η μοναδική (θετική) ρίζα της εξίσωσης,.,., στο Στο διάστημα, :,, άρα η εξίσωση,, θετική ρίζα Επειδή, άρα η εξίσωση έχει το πολύ μια ρίζα στο, έχει τουλάχιστον μια ρίζα Επομένως, το είναι η μοναδική (θετική) ρίζα της εξίσωσης Τελικά, η εξίσωση έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες,. Γ3. Επειδή, είναι ρίζες της εξίσωσης, θα ισχύει: και 3.,., στο,. α' τρόπος:,. Θεωρούμε τη συνάρτηση h Η συνάρτηση h είναι συνεχής στο,,, ως πράξη μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. ~ 7/7 ~ Πέτρος Μάρκου

8 Πανελληνίων Ακόμα:, επειδή, και h, όπου, επειδή h. Άρα: όπου h h,, Επομένως, ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano για τη συνάρτηση h στο διάστημα. Άρα, υπάρχει τουλάχιστον ένα, τέτοιο, ώστε: h β' τρόπος: Θεωρούμε τη συνάρτηση,. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο,, Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο,,,, με: Ακόμα: και 3. Άρα:,, ως πράξη μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. επειδή παραγωγίσιμη στο Επομένως, ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Roll για τη συνάρτηση στο διάστημα. Άρα, υπάρχει τουλάχιστον ένα, τέτοιο, ώστε: :, Γ4. Έχουμε: g n n,. Λύνουμε την εξίσωση: g n ή n ή ~ 8/7 ~ Πέτρος Μάρκου

9 Πανελληνίων Ο πίνακας προσήμων της συνάρτησης g είναι: Άρα, το ζητούμενο εμβαδόν είναι: n g g g d g d nd nd nd g g I I I nd nd n n d n d n n d n n n n I nd nd n n d n d n d n n n n Άρα: 4 3 I I τετραγωνικές μονάδες Σημείωση: Η γραφική παράσταση δεν απαιτείται από τους υποψηφίους. ~ 9/7 ~ Πέτρος Μάρκου

10 Πανελληνίων Θέμα Δ Αρχικά, λόγω της γνωστής ανισότητας (εφαρμογή, σελίδα 66 του σχολικού βιβλίου) ισχύει: n, για κάθε Επομένως, n n, για κάθε Άρα και n, για κάθε Ακόμα, έχουμε: t dt tdt, για κάθε Θεωρούμε τη συνάρτηση g Επειδή η συνάρτηση στο t dt,.. t είναι συνεχής στο,, η συνάρτηση t dt θα είναι παραγωγίσιμη, με t dt Επομένως, η συνάρτηση g t dt είναι παραγωγίσιμη στο g tdt Ακόμα, παρατηρούμε ότι: g tdt tdt. Τότε, g g,, με:. Άρα, η συνάρτηση g παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο. Έχουμε: Η συνάρτηση g παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο Το είναι εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού, D της g. Επομένως, ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Frmat για τη συνάρτηση g. Άρα: g Η συνάρτηση είναι συνεχής στο πρόσημο στο,. Δηλαδή θα ισχύει: 3,, και επειδή, για κάθε ή για κάθε g,. για κάθε, η θα διατηρεί ~ /7 ~ Πέτρος Μάρκου

11 Πανελληνίων Όμως,, άρα:, για κάθε 4 Δ. Θεωρούμε τη συνάρτηση h Η συνάρτηση nt t dt,. t t είναι συνεχής στο nt t Άρα, η συνάρτηση h, ως πράξη μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. dt είναι παραγωγίσιμη στο t nt t nt t n h dt nt t Ακόμα, h dt t t 5 Έχουμε: nt t n dt t 6 Επειδή για κάθε, θα ισχύει 6 nt t n dt t nt t n dt, για κάθε n h, για κάθε 8 Για t έχουμε: nt t και Άρα, t nt t. t Δηλαδή, η για τη συνάρτηση ίση με το. Επομένως, για Άρα, nt t dt t t nt t. Άρα:,, με: 7 ισχύει ότι k και η t t k και t,, ισχύει: 9 t nt t dt h nt t k δεν είναι παντού ~ /7 ~ Πέτρος Μάρκου

12 Πανελληνίων Άρα, ισχύει: 8 n h, για κάθε h, για κάθε n 9 n h, για κάθε Άρα, η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο συναρτήσεων n και h. α' τρόπος: Παραγωγίζουμε τη σχέση 8 και προκύπτει: n h h h n n, ως πηλίκο των παραγωγίσιμων στο, και λόγω των σχέσεων 5 και n n n. Επειδή ισχύει n, για κάθε, έχουμε : n n n n n n Επομένως, υπάρχει σταθερός αριθμός c ισχύει, ώστε: n n n c, για κάθε και επειδή, για κάθε n n n c Για, η σχέση 3 δίνει: n n n c n n c n n n c c c προκύπτει και n ~ /7 ~ Πέτρος Μάρκου

13 Πανελληνίων Άρα: n n n, για κάθε n n n, για κάθε n n n, για κάθε n, για κάθε n, για κάθε n, για κάθε β' τρόπος:, : Για κάθε 5 n n h h h h 8 h h h h h h h Επομένως, υπάρχει σταθερός αριθμός c, ώστε: h c, για κάθε 3 Για, η σχέση 3 δίνει: h c c c h, για κάθε Άρα: h h, για κάθε, για κάθε, για κάθε h nt t dt, για κάθε 4 t Παραγωγίζουμε τη σχέση 4 και προκύπτει: nt t dt, για κάθε t n, για κάθε n, για κάθε n, για κάθε ~ 3/7 ~ Πέτρος Μάρκου

14 Πανελληνίων γ' τρόπος: Από τη σχέση παίρνουμε: n h, για κάθε nt t n dt, για κάθε t nt t nt t dt dt t t c (εφαρμογή σελίδα 35 του σχολικού βιβλίου),, για κάθε Λόγω του συμπεράσματος προκύπτει ότι υπάρχει σταθερός αριθμός c τέτοιος, ώστε: nt t dt c, για κάθε t Για, παίρνουμε: nt t dt c t c c Άρα, ισχύει: nt t dt, για κάθε t Παραγωγίζουμε την παραπάνω σχέση (η συνάρτηση h nt t dt, για κάθε t n, για κάθε n, για κάθε nt t dt είναι παραγωγίσιμη) και έχουμε: t ~ 4/7 ~ Πέτρος Μάρκου

15 Πανελληνίων Δ. Αρχικά, έχουμε: im n, άρα n im im Θέτουμε και γι αυτό im y και παίρνουμε: y L im y y y im y im y y y y y y y y im im y y y y d l'hospital d l'hospital y y im im y y y Δ3. Είναι n n, για κάθε Η συνάρτηση στο,, με:. t είναι συνεχής στο,, άρα η συνάρτηση F F t dt, για κάθε. n F,, με: n n F Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο n n t dt είναι παραγωγίσιμη n n n, για κάθε. Επομένως, η συνάρτηση F είναι κυρτή στο,. Άρα, η συνάρτηση F είναι γνησίως αύξουσα στο,. ~ 5/7 ~ Πέτρος Μάρκου

16 Πανελληνίων Έστω τυχαίο. Έχουμε: άρα και 3 Θεωρούμε τα διαστήματα, και,3. Η συνάρτηση F είναι συνεχής στο,, ως παραγωγίσιμη στο, Η συνάρτηση F είναι παραγωγίσιμη στο,, Επομένως, ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής για τη συνάρτηση F στο διάστημα,. Άρα, υπάρχει τουλάχιστον ένα, F F τέτοιο, ώστε: F F F F Η συνάρτηση F είναι συνεχής στο,3, ως παραγωγίσιμη στο, Η συνάρτηση F είναι παραγωγίσιμη στο,3, Επομένως, ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής για τη συνάρτηση F στο διάστημα,3. Άρα, υπάρχει τουλάχιστον ένα,3 F F τέτοιο, ώστε: F 3 F F 3 F 3 Είναι,,,3 F, 5 άρα F F και 3, 6 3 F F F F 3 F F F F 3 ισχύει F F 3 F ισχύει F F 3 F. F F F Αποδείξαμε ότι για τυχαίο Επομένως, για κάθε. Δ4. Έχουμε: F F 3 F F F F 3. (είναι n, για κάθε Είναι F n Άρα, F,. 5 6, λόγω της ) ~ 6/7 ~ Πέτρος Μάρκου

17 Πανελληνίων Ακόμα, επειδή, ισχύουν: και 3 F Άρα, F F F F Από το ερώτημα (Δ3), προκύπτει ότι: για κάθε F F 3 F ισχύει Επομένως F F 3 F F F F 3 8 Θεωρούμε τη συνάρτηση: G F F F 3,. Είναι: G F F F 3 F F 3 (λόγω της 3 (λόγω της G F F F Η συνάρτηση G είναι συνεχής στο,,, ως πράξη μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. GG Επομένως, ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano για τη συνάρτηση G στο διάστημα,, τέτοιο, ώστε: 7 ) 8 ). Άρα, υπάρχει τουλάχιστον ένα G F F F 3 F F 3 F Επιπλέον, η συνάρτηση G είναι παραγωγίσιμη στο,, με: 3 n G F F F F επειδή είναι n, για κάθε, λόγω της. Επομένως, η συνάρτηση G είναι γνησίως φθίνουσα στο,, άρα η εξίσωση πολύ μια ρίζα. Άρα, το, είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης G. Δηλαδή, υπάρχει μοναδικό, τέτοιο, ώστε: G F F F 3 F F 3 F G θα έχει το ~ 7/7 ~ Πέτρος Μάρκου