ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων μαθηματικών ο οποίος αποτελείται από ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών με τις οποίες : Σχεδιάζεται η διαδικασία συλλογής δεδομένων. Παρουσιάζονται τα δεδομένα αυτά συνοπτικά με σαφή και ακριβή τρόπο. Αναλύονται και εξάγονται αντίστοιχα συμπεράσματα από τα δεδομένα αυτά. Επιπλέον ασχολείται με τη δειγματοληπτική έρευνα που επιτρέπει από τα δεδομένα μιας μικρής ομάδας με τρόπο επαγωγικό να προσδιοριστούν με κάποια προσέγγιση τα χαρακτηριστικά της ευρύτερης ομάδας η οποία περιέχει το σύνολο των ομοειδών περιπτώσεων. Η Στατιστική διαιρείται σε κλάδους Περιγραφική Στατιστική ασχολείται με τη σύμπτυξη παρουσίαση ποσοτικών πληροφοριών μιας ή περισσοτέρων συγκεκριμένων ομάδων. Επαγωγική Στατιστική ασχολείται με την εξαγωγή συμπερασμάτων για ολόκληρο σύνολο δεδομένων με βάση τα χαρακτηριστικά μιας ομάδας δεδομένων. ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Στη Στατιστική μας ενδιαφέρει να εξετάσουμε στοιχεία ενός συνόλου ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους. Πληθυσμός λέγεται το σύνολο των ομοειδών στοιχείων για τα οποία γίνεται μια έρευνα στη Στατιστική. Τα στοιχεία του πληθυσμού ονομάζονται μονάδες ή άτομα του πληθυσμού. Τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό ονομάζονται μεταβλητές και συμβολίζονται συνήθως με κεφαλαία γράμματα Χ, Φ, Ζ Οι δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει μια μεταβλητή ονομάζονται τιμές τις μεταβλητής. ΕΙΔΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Τις μεταβλητές τις διακρίνουμε σε ΠΟΙΟΤΙΚΕΣ ή ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΕΣ και ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΠΟΙΟΤΙΚΕΣ είναι οι μεταβλητές των οποίων οι τιμές δεν μπορούν να μετρηθούν. Οι τιμές των ποιοτικών μεταβλητών είναι χαρακτηρισμοί και όχι αριθμοί. ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ είναι οι μεταβλητές των οπίων οι τιμές είναι αριθμοί. Διακρίνονται σε ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ οι οποίες παίρνουν μεμονωμένες τιμές και τις ΣΥΝΕΧΕΙΣ οι οποίες παίρνουν οποιαδήποτε τιμή ενός διαστήματος πραγματικών αριθμών. ΑΠΟΓΡΑΦΗ Απογραφή καλείται η μέθοδος συλλογής των δεδομένων με τον εξής τρόπο : παίρνουμε τις απαραίτητες πληροφορίες που χρειαζόμαστε για κάποιο πληθυσμό αφού εξετάσουμε όλα τα άτομα του πληθυσμού ως προς το χαρακτηριστικό που μας ενδιαφέρει. ΔΕΙΓΜΑ καλείται κάθε υποσύνολο του πληθυσμού. Για να θεωρείται αντιπροσωπευτικό ένα δείγμα ενός πληθυσμού, θα πρέπει να έχει επιλεγεί κατά κάποιο τρόπο, ώστε κάθε μονάδα του πληθυσμού να έχει την ίδια δυνατότητα να επιλέγει. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :. Μελετάμε τους κάτοικους μιας πόλης ως προς τις ιδιότητες : Α. ηλικία Β. επάγγελμα Γ. ύψος Δ. βάρος Ε. μορφωτικό επίπεδο Σ.Τ. εισόδημα Ποιες από τις παραπάνω μεταβλητές είναι ποιοτικές και ποιες ποσοτικές:. Τα αποτελέσματα των εξετάσεων των φοιτητών του Μαθηματικού τμήματος στο μάθημα της Στατιστικής ήταν τα ακόλουθα:, 3, 3,,,,,, 9. Να βρείτε : α) Ποιος είναι ο Πληθυσμός; β) Ποια είναι τα άτομα; γ) Ποιες είναι οι παρατηρήσεις; δ) Ποια είναι η μεταβλητή και σε ποια κατηγορία ανήκει; ε) Ποιες είναι οι τιμές της μεταβλητής; 3. Τι έχετε να παρατηρήσετε σχετικά με την ποιότητα των παρακάτω επιλεγμένων δειγμάτων; α) Για να βρούμε τις πολιτικές προτιμήσεις, παίρνουμε δείγμα από τους κάτοικους πολλών μεγάλων πόλεων; β) Για να βρούμε πως διασκεδάζουν οι νέοι της χώρας μας, επιλέγουμε μαθητές κάποιων λυκείων. γ) Για να εκτιμήσουμε την οικονομική κατάσταση της χώρας, παίρνουμε το κατά κεφαλήν εισόδημα.. Για να βρούμε το μέγεθος των καπνιστών στην Ελλάδα αποφασίσαμε να πάρουμε ένα δείγμα 00 ατόμων. Ποιος από τους παρακάτω τρόπους είναι ο καλύτερος για να πάρουμε δείγμα; α) Να πάρουμε 00 αθλητές; β) Να πάρουμε 00 άνδρες υπάλληλους μιας επιχείρησης; γ) Να πάρουμε 00 περαστικούς από ένα δρόμο;. Από ένα σύνολο 00 μαθητών (60 αγόρια 0 κορίτσια) επιλέγουμε ένα δείγμα μαθητών (9 αγόρια και 6 κορίτσια). Είναι το δείγμα αντιπροσωπευτικό; ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 3

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Τα στατιστικά δεδομένα, αφού συλλεχτούν, πρέπει να ταξινομηθούν σε πίνακες. Πρέπει δηλαδή τα δεδομένα να τοποθετηθούν σε γραμμές και στήλες έτσι ώστε να είναι εύκολη η κατανόηση τους, η σύγκριση τους και η εξαγωγή συμπερασμάτων. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Απόλυτη Συχνότητα της τιμής είναι ο φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων. Το άθροισμα όλων των συχνοτήτων, προφανώς, είναι ισο με το μέγεθος ν του δείγματος. Δηλαδή :.... Επίσης : 0 Σχετική Συχνότητα της τιμής είναι :,,,...,. Ισχύουν ότι :... και 0. Τις σχετικές συχνότητες μπορούμε να τις εκφράσουμε και επί τις εκατό, οπότε συμβολίζεται % και είναι : % %... % 00 και 0 % 00. Το σύνολο των ζευγών, ) λέγεται ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Ρωτήσαμε ένα δείγμα 0 μαθητών της Θεσσαλονίκης ως προς την ομάδα που υποστηρίζουν. Η απαντήσεις που πήραμε ήταν οι εξής : ΠΑΟΚ, 7 ΑΡΗΣ, 3 ΠΑΝΑΘΗΝΑΙΚΟΣ, ΑΕΚ, ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ και κάποιοι από αυτούς ΗΡΑΚΛΗΣ.. Να βρείτε πόσοι υποστηρίζουν τον ΗΡΑΚΛΗ.. Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανομής συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων και σχετικών % συχνοτήτων. Λύση :. Έστω η ποιοτική μεταβλητή : «Ομάδα» άρα :, :, :, :, : και :. Τότε οι 3 αντίστοιχες συχνότητες θα είναι,,..., 6 και θα ισχύει : 3 6 7 3 6 0 6. 0, άρα % 0,00 0 7 0,3 άρα % 0,300 3 0 3 3 3 0,06 άρα 3% 0,0600 6 0 0,0 άρα % 0,000 0 0,0 άρα % 0,000 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 6 ( κατανομή συχνοτήτων ενώ το σύνολο των ζευγών, ) ή, %) λέγεται κατανομή ( σχετικών συχνοτήτων. Ένα πίνακας που έχει τις τιμές, παρατηρήσεων, ονομάζεται πινάκας κατανομής συχνοτήτων. (, για ένα δείγμα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 6 6 0,0 άρα 6 % 0,000 0 0 Ομάδα Συχνότητα Σχετ. συχνότητα Σχετ. συχνοτ. % ΠΑΟΚ 0, ΑΡΗΣ 7 0,3 3 ΠΑΝΑΘΗΝΑΙΚΟΣ 3 0,06 6 ΑΕΚ 0,0 ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ 0,0 ΗΡΑΚΛΗΣ 0,0 0 Σύνολο 0,00 00 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ) Έστω ένα δείγμα μεγέθους και έστω οι οποίες είναι σε αύξουσα σειρά.,...,, οι τιμές μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ, Αθροιστική Συχνότητα εκφράζουμε το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής. Η Αθροιστική Σχετική Συχνότητα είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής. F εκφράζει το ποσοστό των παρατηρήσεων που Για τις αθροιστικές συχνότητες ισχύουν οι σχέσεις :... F... F F F F ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Ρωτήσαμε 00 μαθητές πόσα βιβλία διάβασαν το περασμένο καλοκαίρι. Τα αποτελέσματα φαίνονται στον παρακάτω πινάκα. Αριθ. βιβλίων Συχνότητα 0 90 60 6 3 6 8 Σύνολο 00 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Να κατασκευάσετε πινάκα κατανομής,, %,, F, F % Με τη βοήθεια του παραπάνω πινάκα, να βρείτε. Πόσοι μαθητές διάβασαν το πολύ βιβλία. Το ποσοστό των μαθητών που διάβασε το πολύ βιβλίο. Πόσοι μαθητές διάβασαν τουλάχιστον βιβλία. Το ποσοστό των μαθητών που διάβασε τουλάχιστον 3 βιβλία. Το ποσοστό των μαθητών που διάβασε τουλάχιστον αλλά το πολύ 3 βιβλία Λύση :. Για τις σχετικές συχνότητες σύμφωνα με τους τύπους και % 00 έχω : 90 0, άρα % 0,00 00 60 0,30 άρα % 0,3000 30 00 3 6 3 0,3 άρα 3% 0,300 3 00 6 0,08 άρα % 0,0800 8 00 8 0,0 άρα % 0,000 00 Για τις αθροιστικές συχνότητες σύμφωνα με τους τύπους : και έχω : 90 90 60 0 3 3 3 0 6 3 76 3 766 9 9 8 00 Για τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες σύμφωνα με τους τύπους : F και F F F F αλλά και F % 00F έχω : F F 0, άρα F % 0,00 F F F 0, 0, 30 F 0, 7 άρα F % 0,700 7 F3 F 3 F3 0,7 0, 3 F 0, 3 88 άρα F % 0,88 00 3 88 F F3 F 0,88 0, 08 F 0, 96 άρα F % 0,9600 96 F F F 0,96 0, 0 F, 00 άρα F %,00 00 00 Αριθμό. βιβλίων Έτσι συμπληρώνεται ο παρακάτω πίνακας : Συχνότητα Σχετ.συχν. Σχετ.συχν. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 6 % Αθρ.συχν. Αθρ.σχετ. συχν. F Αθρ.σχετ. συχν. F % 0 90 0, 90 0, 60 0,30 30 0 0,7 7 6 0,3 3 76 0,88 88 3 6 0,08 8 9 0,96 96 8 0,0 00,00 00 Σύνολο 00,00 00

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Το πλήθος των μαθητών που διάβασαν το πολύ βιβλία (δηλ. 0 ή ή ) είναι : 3 3 76. Το ποσοστό των μαθητών που διάβασε το πολύ βιβλίο (δηλ. 0 ή ) είναι : % % F % 7%. Το πλήθος των μαθητών που διάβασαν τουλάχιστον βιβλία (δηλ. ή 3 ή ) είναι : 3 66 8 0. Το ποσοστό των μαθητών που διάβασε τουλάχιστον 3 βιβλία (δηλ. 3 ή ) είναι : % % 8% % %. Το ποσοστό των μαθητών που διάβασε τουλάχιστον αλλά το πολύ 3 βιβλία (δηλ. ή ή 3) είναι : % % 30% 3% 8% % % 3 3. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πινάκα : % F % 0, 8 3 8 Σύνολο 00 Πανελλήνιες 000 Λύση : Ισχύουν τα εξής : 0, 0, 0, 0 0 % 00 % 000, % 0 F % % F % 0 6 8 6 3 0, 3 0 0 % 00 % 000, 3 % 30 F % % F 0 30 F % 0 % % 3 8 3 3 0, 3 3 0 0 3% 00 3 % 3 00 0, 3% 0 3 3 3 6 8 3 6 F % % % F 0 30 0 F % 80 3% 3 3 % 3 3 0 6 8 0 0, 0 0 % 00 % 000, % 0 3 6 8 0 F % % % 3% % F% 0 30 0 0 F % 00 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ % F % 0, 0 0 6 0,3 8 30 0 3 8 0, 6 0 80 0, 0 0 00 Σύνολο 0 00 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :. Να συμπληρώσετε τους παρακάτω πίνακες : 0 9 3 9 7 6 Συν. % % 3 0 0,0 Συν. 0 0 6 Αθρ. N F % F %. Να συμπληρώσετε τους παρακάτω πίνακες : % - 0,0-3 0 0 8 0, Συν. N ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 8 F % F % 8 0, 0 3 0,7 90 Σύνολο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3 : ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ (ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ) Ραβδόγραμμα Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται, όταν η μεταβλητή Χ είναι ποιοτική. Αποτελείται από ορθογώνιες στήλες που οι βάσεις τους είναι ισομήκης (με αυθαίρετη επιλογή μήκους και μεταξύ τους απόστασης) και βρίσκονται στον οριζόντιο ή στον κατακόρυφο άξονα. Το ύψος κάθε ορθογώνιας στήλης είναι ισο με τη συχνότητα ή τη σχετική συχνότητα της αντίστοιχης τιμής της μεταβλητής. Όταν θέλουμε να κάνουμε σύγκριση των αντίστοιχων τιμών της ίδιας μεταβλητής Χ για δυο διαφορετικά δείγματα (π.χ. άντρες - γυναίκες), τότε κατασκευάζουμε διπλά ορθογώνια για την ίδια τιμή της μεταβλητής Χ ένα για το κάθε δείγμα. Διάγραμμα Το διάγραμμα χρησιμοποιείται, όταν η μεταβλητή Χ είναι ποσοτική. Η διαφορά με το ραβδόγραμμα είναι ότι στο διάγραμμα αντί για ορθογώνιες στήλες σε κάθε τιμή υψώνουμε μια κάθετη γραμμή με ύψος ισο με τη συχνότητα ή τη σχετική συχνότητα της αντίστοιχης τιμής της μεταβλητής. Στον κατακόρυφο άξονα αντί για τη συχνότητα, μπορούμε να βάλουμε τις σχετικές συχνότητες, %, τις αθροιστικές συχνότητες N ή τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες F, F % και να κατασκευάσουμε τα αντίστοιχα διαγράμματα. Αν στο διάγραμμα ενώσουμε τα σημεία (, ) δηλαδή τα πάνω άκρα κάθε κάθετης γραμμής, τότε προκύπτει το πολύγωνο συχνοτήτων. Κυκλικό Διάγραμμα Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται, για τη γραφική παράσταση ποιοτικών ή ποσοτικών μεταβλητών, όταν όμως οι τιμές της μεταβλητής Χ είναι σχετικά λίγες. Το κυκλικό διάγραμμα είναι ένας κυκλικός δίσκος χωρισμένος σε κ κυκλικούς τομείς (όσες και οι τιμές ). Τα τόξα κάθε κυκλικού τομέα είναι ανάλογα με τις αντίστοιχες συχνότητες ή τις σχετικές συχνότητες της μεταβλητής. Αν με συμβολίζουμε το τόξο του κυκλικού τομέα που αντιστοιχεί στην τιμή, τότε ισχύει ότι : 360 360 για,,...,. Προφανώς... 360 Σημειόγραμμα Το σημειόγραμμα χρησιμοποιείται, για τη γραφική παράσταση ποιοτικών ή ποσοτικών μεταβλητών, όταν όμως οι τιμές της μεταβλητής Χ είναι λίγες. Για να το κατασκευάσουμε τοποθετούμε τις τιμές της μεταβλητής σε ένα οριζόντιο άξονα και πάνω από κάθε τιμή βάζουμε κατακόρυφα τόσες τελείες όση είναι και η αντίστοιχη συχνότητα. Χρονόγραμμα Το χρονόγραμμα ή χρονολογικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική απεικόνιση της διαχρονικής εξέλιξης ενός οικονομικού, δημογραφικού ή άλλου μεγέθους. Ο οριζόντιος άξονας χρησιμοποιείται ως άξονας μέτρησης της εξεταζόμενης μεταβλητής. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 6. Ρωτήσαμε ένα δείγμα 0 μαθητών της Θεσσαλονίκης ως προς την ομάδα που υποστηρίζουν. Η απαντήσεις που πήραμε ήταν οι εξής : ΠΑΟΚ, 7 ΑΡΗΣ, 3 ΠΑΝΑΘΗΝΑΙΚΟΣ, ΑΕΚ, ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ και κάποιοι από αυτούς ΗΡΑΚΛΗΣ. Να κατασκευάσετε ραβδόγραμμα συχνοτήτων, ραβδόγραμμα σχετικών επί τοις εκατό συχνοτήτων και κυκλικό διάγραμμα για τα παραπάνω δεδομένα. Λύση : Τα δεδομένα προέρχονται από την άσκηση (βλέπε παραπάνω) οπότε έχω τον παρακάτω πινάκα. Ομάδα Συχνότητα Σχετ. συχνότητα Σχετ. συχνοτ. % ΠΑΟΚ 0, ΑΡΗΣ 7 0,3 3 ΠΑΝΑΘΗΝΑΙΚΟΣ 3 0,06 6 ΑΕΚ 0,0 ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ 0,0 ΗΡΑΚΛΗΣ 0,0 0 Σύνολο 0,00 00 ΡΑΒΔΟΓΡΑΜΜΑ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 0 0 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΡΑΒΔΟΓΡΑΜΜΑ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 0 0 3 30 0 0 0 ΚΥΚΛΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 360 360 0,360 8, 0 360 360 7 0,3360, 0 360 360 3 3 3 0,06360, 6 0 360 360 0,0360, 0 360 360 0,0360 7, 0 360 360 6 6 0,0360 36 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΗΡΑΚΛΗΣ 0% ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ % ΑΕΚ % ΠΑΟΚ ΠΑΝΑΘΗΝΑΙΚΟΣ 6% ΑΡΗΣ ΠΑΟΚ % ΠΑΝΑΘΗΝΑΙΚΟΣ ΑΕΚ ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ ΗΡΑΚΛΗΣ ΑΡΗΣ 3% 7. Εξετάσαμε ένα δείγμα οικογενειών ως προς τον αριθμό των παιδιών που έχουν. Τα αποτελέσματα που πήραμε φαίνονται στον παρακάτω πινάκα. Να κατασκευάσετε το διάγραμμα και το αντίστοιχο πολύγωνο :. συχνοτήτων,. αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό. Αριθμό. παιδιών 0 3 Σύνολο Λύση :. Συχνότητα 8 6 0 Χρησιμοποιώντας τους τύπους, F, F F και F % 00F, συμπληρώνουμε τον πινάκα ως εξής : 0 3 Σύνολο 8 6 0 0, 0, 0,3 0, % 0 0 30 0 00 F % 0 60 90 00 Το διάγραμμα και το πολύγωνο συχνοτήτων φαίνονται στο σχήμα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Το διάγραμμα και το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό φαίνονται στο σχήμα. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 3

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 8. Σ ένα τμήμα μαθητών της γ λυκείου δόθηκε ένα τεστ μαθηματικών από όπου προέκυψαν τα παρακάτω αποτελέσματα :, 7, 9, 6,, 9, 3,, 6,, 9, 7, 0, 0, 6, 9, 3, 9,, 9, 9,, 7, 6, 0 α) Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων β) Α. Πόσοι μαθητές είχαν βαθμό τουλάχιστον Β. Μεγαλύτερο από 3 Γ. Τι ποσοστό % μαθητών είναι κάτω από τη βάση (0) Δ. Τι ποσοστό είναι πάνω από 6 Ε. Μεταξύ και 9 γ) Να κατασκευάσετε ραβδόγραμμα συχνοτήτων. 9. Τα αποτελέσματα των εκλογών, σε ένα εκλογικό τμήμα, δίνονται από το επόμενο (ελλιπή) πινάκα : Κόμμα Συχνότητα Σχετική συχνότητα Α 0, Β 0 0,30 Γ 0,3 Δ Σύνολο. Να βρείτε πόσοι εκλογείς ψήφισαν στο τμήμα αυτό. Να βρείτε πόσες ψήφους πήρε κάθε κόμμα σε αυτό το εκλογικό τμήμα. Να σχεδιάσετε το ραβδόγραμμα των σχετικών συχνοτήτων. (Πανελλήνιες 00 ) 0. Σε ένα κυκλικό διάγραμμα παριστάνεται το μορφωτικό επίπεδο των 00 εργαζομένων μιας επιχείρησης σε τέσσερις κατηγορίες : Α κατηγορία : Απόφοιτοι Γυμνάσιου Β κατηγορία : Απόφοιτοι Λυκείου Γ κατηγορία : Πτυχιούχοι Ανώτατης Εκπαίδευσης Δ κατηγορία : Κάτοχοι Μεταπτυχιακού Τίτλου Κάθε εργαζόμενος ανήκει σε μια μόνο από τις κατηγορίες αυτές. Στην Α κατηγορία ανήκει το % των εργαζομένων της επιχείρησης. Η γωνία του κυκλικού τομέα που αντιστοιχεί στους εργαζομένους της Δ κατηγορίας είναι 8. Οι εργαζόμενοι της επιχείρησης της Β κατηγορίας είναι εξαπλάσιοι των εργαζομένων της Γ κατηγορίας.. Να υπολογίσετε τον αριθμό των εργαζομένων κάθε κατηγορίας.. Να μετατρέψετε το κυκλικό διάγραμμα σε ραβδόγραμμα συχνοτήτων. (Πανελλήνιες 000 ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Όταν μια ποσοτική μεταβλητή Χ είναι συνεχής ή αν είναι διακριτή αλλά το πλήθος των παρατηρήσεων της είναι πολύ μεγάλο, τότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Πιο συγκεκριμένα ταξινομούμε (ομαδοποιούμε) τα δεδομένα σε μικρό πλήθος ομάδων οι οποίες ονομάζονται κλάσεις, ώστε κάθε τιμή να ανήκει σε μια μόνο κλάση. Τα άκρα των κλάσεων λέγονται όρια των κλάσεων. Οι κλάσεις είναι διαδοχικά διαστήματα της μορφής [, ). Μπορεί να συμβεί η τελευταία κλάση να είναι της μορφής [, ] ώστε να περιέχει την τελευταία παρατήρηση. Οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης θεωρούνται όμοιες και μπορούν να «αντιπροσωπευτούν» από την κεντρική τιμή κάθε κλάσης. Για την κεντρική τιμή της κλάσης [α,β) ισχύει : Καλούμε πλάτος κλάσης τον αριθμό c Η διαφορά της μικρότερης παρατήρησης από τη μεγαλύτερη παρατήρηση του ύ ό δείγματος λέγεται εύρος και ισχύει : R ή ή ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΒΗΜΑ Πρώτα πρέπει να γίνει η εκλογή του πλήθους των κλάσεων. Συνήθως αυτό δίνεται από την εκφώνηση της άσκησης. Αν όχι (σπάνια) χρησιμοποιούμε ως οδηγό τον παρακάτω πινάκα : Μέγεθος δείγματος ν <0 0-0 0-00 00-00 00-00 Αριθμός κλάσεων κ 6 7 8 9 R ΒΗΜΑ Προσδιορίζουμε το πλάτος κάθε κλάσης με τον τύπο : c. (αν χρειαστεί στρογγυλοποιούμε προς τα πάνω) ΒΗΜΑ 3 Κατασκευάζουμε τις κλάσεις ως εξής : ξεκινάμε από τη μικρότερη παρατήρηση και προσθέτουμε κάθε φορά το πλάτος c, μέχρι να δημιουργηθούν οι κ κλάσεις. ΒΗΜΑ Τέλος κάνουμε τη διαλογή των παρατηρήσεων. Το πλήθος των παρατηρήσεων της κλάσης λέγεται συχνότητα της κλάσης αυτής και αντιπροσωπεύει τη συχνότητα της κεντρικής τιμής της κλάσης αυτής. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Το ύψος των μαθητών (σε cm) της Γ Λυκείου ενός σχολείου δίνονται παρακάτω : 70 80 78 6 70 68 7 7 73 6 60 70 67 77 80 70 8 78 6 78 6 7 7 73 67 87 70 80 78 9 76 69 67 66 79 78 80 6 70 73 Να ομαδοποιήσετε τα δεδομένα σε κατάλληλο αριθμό κλάσεων και να κατασκευάσετε τον πίνακα με τις συχνότητες, N, %, F %. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Λύση :. Παρατηρούμε ότι το εύρος του δείγματος είναι R 96 3. Έχουμε ν=0 παρατηρήσεις, δηλ. το μέγεθος του δείγματος είναι ν=0, άρα από τον κατάλληλο πινάκα θα χρειαστούμε κ=6 κλάσεις. Το πλάτος κάθε κλάσης είναι R 3 c,83 6, άρα χρησιμοποιώντας τους τύπους, F, 6 F F και F % 00F, συμπληρώνουμε τον πινάκα ως εξής : Κλάσεις [, ) Κεντρικές τιμές Διαλογή Συχν. Σχετ. Συχν. Σχετ. Συχν. % Αθρ. Συχν. N Αθρ. Συχν. F [6-6) 9 ΙΙ 0,0 [6-68) 6 ΙΙΙΙΙ ΙΙΙ 8 0,0 0 0 [68-7) 7 ΙΙΙΙΙ ΙΙΙΙΙ ΙΙ 0,30 30 [7-80) 77 ΙΙΙΙΙ ΙΙΙΙΙ Ι 0,7 7, 33 8, [80-86) 83 ΙΙΙΙΙ 0,, 38 9 [86-9) 89 ΙΙ 0,0 0 00 Σύνολο 0,00 00 % ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΚΑΙ ΠΟΛΥΓΩΝΟ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ Για να κάνουμε τη γραφική παράσταση σε ομαδοποιημένες παρατηρήσεις, χρησιμοποιούμε το ιστόγραμμα συχνοτήτων. Για να κατασκευάσουμε ιστόγραμμα συχνοτήτων τοποθετούμε τις κλάσεις στον οριζόντιο άξονα και δημιουργούμε ορθογώνια (ενωμένα μεταξύ τους), των οποίων οι βάσεις έχουν πλάτος ισο με το πλάτος c κάθε κλάσης και ύψος ισο με. Για να κατασκευάσουμε το πολύγωνο συχνοτήτων, κατασκευάζουμε δυο ακόμα κλάσεις μια στην αρχή και μια στο τέλος των κλάσεων με συχνότητα μηδέν. Μετά ενώνουμε τα μέσα των άνω βάσεων των ορθογωνίων (δηλ τα σημεία (, ) όπου τα κέντρα των κλάσεων) και έτσι σχηματίζεται το πολύγωνο συχνοτήτων. Προσοχή :. Το εμβαδόν κάθε ορθογωνίου ισούται με τη συχνότητα της αντίστοιχης κλάσης. Αυτό σημαίνει ότι το άθροισμα των εμβαδών όλων των ορθογωνίων του ιστογράμματος συχνοτήτων, ισούται με το μέγεθος ν του δείγματος. Δηλ..... Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται ανάμεσα στο πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων, δηλαδή με το μέγεθος ν του δείγματος. ώ 3. Με παρόμοιο τρόπο κατασκευάζουμε το ιστόγραμμα και το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων ή %, αρκεί στον κατακόρυφο άξονα να βάλουμε τις τιμές ή % ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΚΑΙ ΠΟΛΥΓΩΝΟ ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΩΝ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ Ανάλογα με το ιστόγραμμα συχνοτήτων κατασκευάζουμε και το ιστόγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων, αρκεί στον κατακόρυφο άξονα να βάλουμε τις αθροιστικές συχνότητες N. Για να κατασκευάσουμε το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων ενώνουμε τα δεξιά άκρα των άνω βάσεων των ορθογωνίων (όχι τα μέσα). Με ανάλογο τρόπο κατασκευάζουμε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών % συχνοτήτων με τη διαφορά ότι στον κατακόρυφο άξονα βάζουμε τις τιμές F %. ΜΙΑ ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Ας υποθέσουμε ότι σε ένα δείγμα ομαδοποιημένων παρατηρήσεων η η κλάση είναι [,0) και έχει συχνότητα 0 και σχετική % συχνότητα 3. Τότε c 0 6, 0 και % 3. Όταν λέμε ότι οι παρατηρήσεις κατανέμονται ομοιόμορφα σε κάθε κλάση, σημαίνει ότι οι αποστάσεις των διαδοχικών τιμών τους είναι ίσες. Δηλαδή η υποθετική κλάση [,7) που έχει το μισό πλάτος c 7 3, θα έχει και τις μισές παρατηρήσεις δηλ. 0 και % 6. Καταλαβαίνουμε δηλαδή ότι τα ποσά πλάτος κλάσης και συχνότητα ή σχετική συχνότητα % είναι ανάλογα, έτσι ισχύουν : c c % και όπου c το πλάτος της αρχικής και c το πλάτος της c c % υποθετικής κλάσης, και % η συχνότητα και η σχετική συχνότητα % της αρχικής κλάσης και και % η συχνότητα και η σχετική συχνότητα % της υποθετικής κλάσης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Για τα δεδομένα της άσκησης :. να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα και το πολύγωνο συχνοτήτων. να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα και το πολύγωνο σχετικών % συχνοτήτων. να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα και το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων. να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα και το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών % συχνοτήτων. να βρείτε το πλήθος των μαθητών που έχουν ύψος κάτω από 7cm. να βρείτε το ποσοστό των μαθητών που έχει ύψος μεγαλύτερο ή ισο με 8cm. αν στην πρώτη γραμμή της παρέλασης συμμετέχει το 0% των πιο ψηλών μαθητών, τι ύψος πρέπει να έχει κάποιος μαθητής για να βρίσκεται στην πρώτη σειρά; Λύση :... ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ.. Οι μαθητές με ύψος μικρότερο του 7cm θα είναι αυτοί που ανήκουν στην η κλάση συν αυτούς που ανήκουν στη η κλάση συν κάποιους από αυτούς που ανήκουν στην 3 η κλάση δηλ. 3. Όπου 3 είναι η συχνότητα της υποθετικής κλάσης [68-7) 768 έτσι έχω: 3 3 6 3 8 3 768 3 6 8. Άρα 8 8 8 μαθητές. 3 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Το ποσοστό των μαθητών με ύψος μεγαλύτερο ή ισο του 8cm θα είναι το ποσοστό αυτών που ανήκουν στην 6 η κλάση συν κάποιους από αυτούς που ανήκουν στην η κλάση δηλ. 6 % %. Όπου % είναι η σχετική % συχνότητα της υποθετικής κλάσης 868 % % [8-86) έτσι έχω: 6 % 0 % 8,33 8680 % 6, Άρα 6 % % 8,333,33%. Το % των ψηλότερων μαθητών ανήκει στην κλάση [86-9) άρα θέλω ακόμα % από την κλάση [80-86). Δηλ. το 0% των ψηλότερων μαθητών είναι %, όπου 6 % % είναι η σχετική % συχνότητα της υποθετικής κλάσης [,86) με να είναι το 86 % 86 ζητούμενο ύψος. Έτσι έχω :,(86 ) 30 8680 % 6, 3, 30, 9 83, 6cm. Άρα ο μαθητής πρέπει να έχει ύψος 83, 6cm και πάνω για να βρίσκεται στην πρώτη γραμμή της παρέλασης. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 3. Δίνεται ο παρακάτω πίνακας κατανομής συχνοτήτων της μεταβλητής Χ. Κλάσεις [, ) Κεντρικές τιμές Συχν. Σχετ. Συχν. Αθρ. Συχν. F % [-) 0 [-9) 0 [9-3) 8 [3-7) 9 [7-) Σύνολο. Να γράψετε στο τετράδιο σας συμπληρωμένο τον παραπάνω πινάκα.. Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων % και το αντίστοιχο πολύγωνο. Να βρείτε το ποσοστό % των παρατηρήσεων που έχουν τιμές από έως 3 (Πανελλήνιες 00). Στα σχολεία ενός Δήμου υπηρετούν συνολικά 00 εκπαιδευτικοί. Ο συνολικός χρόνος υπηρεσίας των εκπαιδευτικών δίνεται από τον παρακάτω πίνακα. Χρόνια Υπηρεσίας Σχετική Συχνότητα [ - ) % 0 0 0 0 0 0 8 30 8 30 3. Πόσοι εκπαιδευτικοί έχουν τουλάχιστον χρόνια υπηρεσίας; ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Με την προϋπόθεση ότι κάθε εκπαιδευτικός θα συνταξιοδοτηθεί όταν συμπληρώσει 3 χρόνια; α) Πόσοι εκπαιδευτικοί θα συνταξιοδοτηθούν μέσα στα επόμενα, χρόνια; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. β)πόσοι συνολικά εκπαιδευτικοί πρέπει να προσληφθούν μέσα στα επόμενα χρόνια, ώστε ο αριθμός των εκπαιδευτικών που θα υπηρετούν στα σχολεία του Δήμου να παραμείνει ο ίδιος; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. (Πανελλήνιες 000). Το βάρος των αποσκευών καθενός εκ των 80 επιβατών μιας πτήσης κάποιας αεροπορικής εταιρίας είναι τουλάχιστον κιλά αλλά μικρότερη από 6 κιλά. Γνωρίζουμε ότι 8 επιβάτες έχουν αποσκευές με βάρος μικρότερο από κιλά, το 30% των επιβατών έχει αποσκευές με βάρος μικρότερο από 7 κιλά, 8 επιβάτες έχουν αποσκευές με βάρος μικρότερο από 0 κιλά και % των επιβατών έχει αποσκευές με βάρος τουλάχιστον 3 κιλά.. Να παρασταθούν τα δεδομένα σε ένα πινάκα συχνοτήτων (, N, %, F % ). Κάθε επιβάτης δικαιούται να μεταφέρει αποσκευές με βάρος μικρότερο των 0 κιλών, διαφορετικά έχει πρόσθετη οικονομική επιβάρυνση. Να βρείτε τι ποσοστό από τους 80 επιβάτες της πτήσης αυτής έχει πρόσθετη οικονομική επιβάρυνση. Να βρεθούν οι γωνίες των αντίστοιχων κυκλικών τομέων του κυκλικού διαγράμματος σχετικών συχνοτήτων, για τα δεδομένα του προβλήματος. (Πανελλήνιες 00) 6. Δίνεται ο εβδομαδιαίος μισθός σε 0 υπάλληλων μιας εταιρίας. 80 0 70 90 9 00 9 9 30 30 00 300 00 300 00 0 0 80 8 8 70 70 300 330 70 7 00 0 0 330 360 360 360 80 0 30 370 380 380 00 0 380 380 0 00 0 0 370 370. Να γίνει ομαδοποίηση των παρατηρήσεων σε κλάσεις ίσου πλάτους και να κατασκευαστεί ο αντίστοιχος πίνακας συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων.. Να γίνουν : a. Ιστόγραμμα συχνοτήτων. b. Ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων F %. c. Τα αντίστοιχα πολύγωνα.. Ποιο ποσοστό των υπάλληλων έχει εβδομαδιαίο μισθό πάνω από 30 ; 7. Στον παρακάτω πίνακα Δίνεται η ημερήσια δαπάνη 00 μαθητών σε ευρώ: δαπάνη σε ευρώ Μαθητές [,0) 0 [0,) 30 [,0) [0,) 0 [,30) 0 [30,3) Σύνολο 00. Να κατασκευάσετε τον πίνακα συχνοτήτων με τις στήλες των,, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr N, %, F %.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ποιο ποσοστό μαθητών ξοδεύει τουλάχιστον 0 ευρώ την ημέρα;. Να κατασκευάσετε το Ιστόγραμμα συχνοτήτων και το πολύγωνο συχνοτήτων.. Να κατασκευάσετε το Ιστόγραμμα των αθροιστικών επί τοις εκατό συχνοτήτων καθώς και το αντίστοιχο πολύγωνο.. Με τι ισούται το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται ανάμεσα στο πολύγωνο συχνοτήτων και στον οριζόντιο άξονα; 8. Οι μέρες καλοκαιρινών διακοπών μιας ομάδας ατόμων δίνεται στο παρακάτω πίνακα. Ημέρες Άτομα [7,) [,) 0 [,9) 8 [9,3) 3 [3,7 6. Να κατασκευάσετε τον πίνακα με τις συχνότητες, N, %, F %.. Να κατασκευάσετε το Ιστόγραμμα συχνοτήτων και το πολύγωνο συχνοτήτων.. Να κατασκευάσετε το Ιστόγραμμα των αθροιστικών επί τοις εκατό συχνοτήτων καθώς και το αντίστοιχο πολύγωνο.. Να βρείτε : a. Το πλήθος των ατόμων που έκαναν διακοπές κάτω από Ημέρες. b. Το ποσοστό των ατόμων που έκαναν διακοπές τουλάχιστον 6 Ημέρες. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Με τον όρο μέτρα θέσης εννοούμε τα μέτρα τα οποία δίνουν τη θέση του «κέντρου» των παρατηρήσεων στον οριζόντιο άξονα, δηλαδή τη θέση γύρω από την οποία είναι συγκεντρωμένες οι περισσότερες τιμές της κατανομής. Τα κυριότερα μέτρα θέσης με τα οποία θα ασχοληθούμε είναι η μέση τιμή ή αριθμητικός μέσος, ο σταθμικός μέσος και η διάμεσος. Το σύμβολο που θα συναντήσουμε παρακάτω, συμβολίζει το άθροισμα πολλών προσθετέων. Για παράδειγμα έως 0». 0 t t t... t0 και διαβάζουμε «άθροισμα των t από ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Η μέση τιμή (μέσος Όρος) είναι ίσως το πιο χρήσιμο μέτρο θέσης και εκφράζει το άθροισμα των παρατηρήσεων δια του πλήθους των παρατηρήσεων Όταν οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ είναι όλες διαφορετικές μεταξύ τους δηλ. της μορφής t, t,..., t, τότε για την εύρεση μέσης τιμής χρησιμοποιούμε τον τύπο : _ t t... t Όταν οι παρατηρήσεις,,... έχουν συχνότητα,,... αντίστοιχα, τότε θα χρησιμοποιούμε τον τύπο : _... Καλό θα είναι, αν πρόκειται να χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον τύπο, να συμπληρώσουμε στον πίνακα συχνοτήτων τη στήλη. Όταν γνωρίζουμε τη σχετική συχνότητα της παρατήρησης, τότε αξιοποιούμε τον τύπο : Ο τύπος αυτός προκύπτει επειδή : t Στην περίπτωση ομαδοποιημένων παρατηρήσεων, ως παρατήρηση παραπάνω τύπους θα παίρνουμε την κεντρική τιμή της -κλάσης. στους ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 3

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Οι βαθμοί ενός μαθητή της γ λυκείου στα 6 μαθήματα που έδωσε εξετάσεις είναι :, 6,, 6, 8,.. Να βρείτε τη μέση βαθμολογία του μαθητή.. Τι βαθμό πρέπει να γράψει στο 7 ο μάθημα (ΑΟΘ) ώστε ο μέσος όρος του να γίνει,; Λύση : 6 t _ t t... t6 668 90. 6 6 6. Έστω t 7 ο βαθμός που πρέπει να γράψει στο 7 ο μάθημα (ΑΟΘ), τότε για την καινούρια μέση τιμή ισχύει : 90 t 7 7, 90 t 7 _ t, 08, t 7 8, t... t 7 6 t 7, 6 t 7 t 7,. Ο παρακάτω πίνακας δίνει την κατανομή συχνοτήτων των οικογενειών ως προς τον αριθμό των παιδιών τους. Αριθμός παιδιών Αριθμός οικογενειών 0 7 7 3 7 Σύνολο 0 Να βρείτε τη μέση τιμή των παιδιών που έχει κάθε οικογένεια. Λύση : Η μέση τιμή του πλήθους των παιδιών δίνεται από τον τύπο : _... 0 Στον πινάκα κατανομής συχνοτήτων θα προσθέσω μια στήλη με τα γινόμενα Άρα : Αριθμός παιδιών Αριθμός οικογενειών 0 7 0 7 7 8 3 7 8 Σύνολο ν=0 88 _ 88, 76 παιδιά. 0 0 : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 3. Εξετάσαμε ένα δείγμα οικογενειών ως προς τον αριθμό των υπολογιστών (laptop ή pc) που υπάρχουν στο σπίτι. Οι αθροιστικές συχνότητες % που πρόεκυψαν φαίνονται στον παρακάτω πινάκα. Να βρείτε τη μέση τιμή των υπολογιστών που υπάρχουν σε κάθε σπίτι. Αριθμός υπολογιστών F % 0 30 80 3 90 00 Σύνολο Λύση : Από τα δεδομένα του πινάκα καταλαβαίνουμε ότι πρέπει να βρούμε τις σχετικές συχνότητες, και μετά για να βρούμε τη μέση τιμή να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο : _. Από τις σχέσεις : F % 00F, F και F F συμπληρώνουμε τον πινάκα : Αριθμός υπολογιστών F % F 0 0,0 0,0 0 0, 0,30 30 0, 0,0 0,80 80 3 0, 0,9 9 0, 0,0,00 00 0,0 Σύνολο,9 _ Άρα, 9 υπολογιστές.. Ο παρακάτω πίνακας δίνει τον αριθμό των επισκέψεων 0 μαθητών σε διάφορα μουσεία της χώρας κατά τη διάρκεια ενός έτους. Κλάσεις Συχν. [, ) [0-) 8 [-) [-6) 0 [6-8) 6 [8-0) Να βρείτε τη μέση τιμή. Λύση : Στον πινάκα κατανομής συχνοτήτων που δίνεται θα συμπληρώσουμε δυο επιπλέον στήλες, μια με τις κεντρικές τιμές και μια στήλη με τα γινόμενα. Έτσι έχω : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Άρα : Κλάσεις [, ) Κεντρικές τιμές Συχν. [0-) 8 8 [-) 3 36 [-6) 0 0 [6-8) 7 6 [8-0) 9 36 Σύνολο ν=0 7 _ 7, 3 μουσεία. 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΜΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ Το σταθμικό μέσο τον χρησιμοποιούμε σε περιπτώσεις στις τιμές,,... ενός συνόλου παρατηρήσεων δίνεται διαφορετική βαρύτητα. Πιο συγκεκριμένα αν σε κάθε τιμή της μεταβλητής,,... δίνεται διαφορετική βαρύτητα που εκφράζεται από τους συντελεστές στάθμισης (βαρύτητα) w, w,... w, τότε ο σταθμικός μέσος δίνεται από τον _ τύπο : w w... w w w... w w w ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Η επίδοση ενός μαθητή σε πέντε μαθήματα είναι, 0, 6, 8,. Να βρείτε τη μέση επίδοση. Αν τα μαθήματα είχαν συντελεστές στάθμισης, 3,,, και 3 αντίστοιχα ποια θα ήταν η μέση επίδοση; Λύση : _ 068 70. _ 03 683 30. 3 3 3 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3 : ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ : Διάμεσος (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχτεί σε αύξουσα σειρά, ορίζεται ως : η μεσαία παρατήρηση αν ν είναι περιττός, ή ο μέσος όρος (ημιάθροισμα) των δυο μεσαίων παρατηρήσεων, όταν το ν είναι άρτιος αριθμός. Πιο συγκεκριμένα έστω t, t,..., t οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ, οι οποίες είναι σε αύξουσα σειρά. Αν το πλήθος ν είναι περιττός, τότε : t (π.χ.,3,,8, t t t3 ) Αν το πλήθος ν είναι άρτιος, τότε : t 6 t 6 t3 t 8 3 6, ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 7 t t (π.χ.,3,,8,, Παρατήρηση : Αν ν περιττός, τότε η διάμεσος δ είναι μια από τις παρατηρήσεις, ενώ αν ν άρτιος η διάμεσος δ μπορεί να μην είναι μια από τις παρατηρήσεις. Διάμεσος από σχετικές συχνότητες : Από τον ορισμό της διαμέσου προκύπτει ότι η διάμεσος είναι η τιμή για την οποία το πολύ 0% των παρατηρήσεων είναι μικρότερες από αυτήν και το πολύ 0% είναι μεγαλύτερες από αυτήν. Έτσι όταν γνωρίζουμε τις σχετικές συχνότητες, για να βρούμε τη διάμεσο, υπολογίζουμε τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες επί τις εκατό F % και αν για κάποια τιμή ισχύει F % 0% τότε. Αν για καμία τιμή δεν ισχύει F % 0%, τότε ως διάμεσο παίρνουμε την τιμή για την οποία η F % ξεπερνά για πρώτη φορά το 0%. Διάμεσος σε ομαδοποιημένα δεδομένα Για να βρούμε τη διάμεσο σε ομαδοποιημένα δεδομένα, κατασκευάζουμε το ιστόγραμμα-μα και το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων επί τις εκατό F %. Στη συνέχεια βρίσκουμε την τετμημενη δ του σημείου του πολυγώνου που έχει τεταγμένη 0. Στο διπλανό σχήμα τα τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι όμοια άρα θα ισχύει y 0. y Από την παραπάνω σχέση υπολογίζουμε και τη διάμεσο δ.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 6. Επτά μπασκετμπολίστες έχουν ύψη σε cm : 0, 8, 9, 0, 0, 98,. Να βρείτε το διάμεσο των υψών τους. Λύση : Πρώτα θα βάλουμε σε αύξουσα σειρά της παρατηρήσεις : 8, 9, 98, 0, 0, 0, Ισχύει ν=7 (περιττός) άρα t t t 0cm 7 7. Να βρείτε τη διάμεσο των παρατηρήσεων : 7,, 8,, 3, 3, 6, 6. Λύση : Πρώτα θα βάλουμε σε αύξουσα σειρά της παρατηρήσεις :, 3, 6, 7, 8, 3,, 6 t t t 8 t 8 t t 7 8 Ισχύει ν=8 (άρτιος) άρα 7, 8. Να βρείτε τη διάμεσο των δεδομένων που βρίσκονται στον παρακάτω πινάκα. Λύση : Συμπληρώνουμε τον πινάκα : t t t t3 Ισχύει : ν= άρα,...,,,...,, 3, 3,..., 3,,...,,,...,,6,7 t t3 t6 6 t t3 3 3 Άρα : 3 3 8 3 6 7 Σύνολο 3 3 8 3 6 0 6 3 7 Σύνολο ν= ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 9. Να βρείτε τη διάμεσο των δεδομένων που βρίσκονται στον παρακάτω πινάκα. Λύση : Συμπληρώνουμε τον πινάκα : Ισχύει : ν=309 άρα t 309 t,...,,,...,, 3, 3,..., 3,,...,,,...,,6,7 t3 t3 t 30 Άρα : t 3 3 87 3 38 6 Σύνολο 309 0. Να βρείτε τη διάμεσο των δεδομένων που βρίσκονται στον παρακάτω πινάκα. 3 3 87 30 3 38 93 6 309 Σύνολο ν=309 0,0 3 0,8 0,0 7 0,7 8 0, 9 0, Σύνολο,00 Λύση : Επειδή δεν γνωρίζουμε το μέγεθος ν του δείγματος αλλά τις σχετικές συχνότητες, θα κατασκευάσουμε πινάκα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων % και θα βρούμε σε ποια τιμή αντιστοιχεί το 0%. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ % F % 0,0 0 0 3 0,8 8 38 0,0 3 7 0,7 7 60 8 0, 8 9 0, 00 Σύνολο,00 00 Παρατηρούμε ότι για την τιμή 7 η αθροιστική σχετική συχνότητα % ξεπερνά για πρώτη φορά το 0%, άρα είναι 7. Να βρείτε τη διάμεσο των δεδομένων που βρίσκονται στον παρακάτω πινάκα. % 0 3 8 6 30 7 8 8 Λύση : Επειδή δεν γνωρίζουμε το μέγεθος ν του δείγματος αλλά τις σχετικές συχνότητες, θα κατασκευάσουμε πινάκα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων % και θα βρούμε σε ποια τιμή αντιστοιχεί το 0%. % F % 0 3 8 0 30 80 7 9 8 8 00 Σύνολο 00 3 3 Παρατηρούμε ότι F % 0%, άρα. Στο διπλανό πινάκα δίνονται τα ποσά σε που ξόδεψαν 00 μαθητές ενός λυκείου, στο κυλικείο του σχολείου τους σε μια εβδομάδα. Να βρεθεί η διάμεσος. Λύση : Ποσά σε [, ) Συχν. [0-) 0 [-) 0 [-6) 60 [6-8) 0 [8-0) 30 [0-) 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 30

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Χρησιμοποιούμε τη σχέση, ώστε να βρούμε τις σχετικές συχνότητες και στη συνέχεια τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες F και F % και έπειτα συμπληρώνουμε τον πινάκα : Ποσά σε [, ) Κεντρικές τιμές.. F. F % [0-) 0 0,0 0,0 [-) 3 0 0, 0,30 30 [-6) 60 0,30 0,60 60 [6-8) 7 0 0,0 0,80 80 [8-0) 9 30 0, 0,9 9 [0-) 9 0 0,0 00 Σύνολο 00 Έπειτα κατασκευάζουμε το ιστόγραμμα F % και το αντίστοιχο πολύγωνο. Στο παραπάνω σχήμα τα τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι όμοια άρα θα ισχύει 0 30 0 3( ) 3 6 60 30 30 3 3 6,33 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 3

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 3. Σε ένα διαγώνισμα Βιολογίας η βαθμολογία των μαθητών δίνεται από το παρακάτω ιστόγραμμα συχνοτήτων.. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας και να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Κλάσεις βαθ/γίας Κέντρο κλάσης Συχνότητα Σχετική συχνότητα Αθροιστική συχνότητα Αθρ. σχετ. συχνότητα [ ) ν Ν F [,8) [8,) [,6) [6,) Σύνολο. Να βρείτε τη μέση τιμή των βαθμών.. Πόσοι μαθητές έχουν βαθμό μέχρι και 0; ( ο Πανελλήνιες 00). Στην «Αττική οδό» εξυπηρετούνται καθημερινά 00 χιλιάδες οχήματα, τα οποία διανύουν από έως χιλιόμετρα. Η διανυόμενη απόσταση σε χιλιόμετρα από τα οχήματα αυτά παρουσιάζεται στην πρώτη στήλη του πίνακα: Κλάσεις σε χλµ. Κέντρο κλάσης Συχνότητα ν σε χιλ. μονάδες Σχετική συχνότητα % Αθροιστική Συχνότητα Ν σε χιλ. μονάδες Αθρ. Σχετ. Συχνότητα F % [, ) 60 [, ) 68 [, 3) 80 [3, ) Σύνολο 00. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παραπάνω πίνακα και να συμπληρώσετε τις τιμές των αντίστοιχων μεγεθών.. Να σχεδιάσετε το ιστόγραμμα (, %) και το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων.. Να βρείτε τη μέση τινά.. Να βρείτε το πλήθος των οχημάτων που διανύουν απόσταση τουλάχιστον χιλιομέτρων. (3 ο Πανελλήνιες 00) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 3

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Οι βαθμοί 60 μαθητών σε ένα διαγώνισμα Μαθηματικών κυμαίνονται από 0 έως 0 και έχουν ομαδοποιηθεί σε κλάσεις ίσου πλάτους. Αν: Η γωνία του κυκλικού τομέα που αντιστοιχεί στην κλάση [, 6) του κυκλικού διαγράμματος είναι ο. Οι σχετικές συχνότητες των δύο πρώτων κλάσεων είναι ίσες. 8 μαθητές πήραν βαθμό έως 6 και 6 μαθητές πήραν βαθμό τουλάχιστον 8, τότε:. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συμπληρωμένο. ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ [ - ) ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΤΙΜΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ν ΣΧΕΤΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ΣΧΕΤΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ % ΣΥΝΟΛΟ. Να βρείτε τη μέση τιμή της βαθμολογίας των μαθητών.. Να βρείτε πόσοι μαθητές πήραν βαθμολογία από 0 έως.. Να βρείτε το ποσοστό των μαθητών που πήραν βαθμολογία τουλάχιστον 7. ( ο Πανελλήνιες 00) 6. Έστω,, 3, οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν=7 με αντίστοιχες (απόλυτες) συχνότητες ν, ν, ν 3, ν, όπου ν = 3ν 3. ίνεται επίσης ότι τα τόξα του κυκλικού διαγράμματος συχνοτήτων που αντιστοιχούν στις τιμές και είναι αντίστοιχα 0 και 30.. Να βρεθούν οι συχνότητες ν, =,,3,. Να βρεθούν τα τόξα που αντιστοιχούν στις τιμές 3 και. ίνεται ότι < 7, = 7, 3 = 3, και >3. Να δειχθεί ότι 0 R + 7 = δ όπου R,, δ είναι αντίστοιχα το εύρος, η μέση τιμή και η διάμεσος των παρατηρήσεων. (3 ο Πανελλήνιες 009) 7. Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται οι ώρες πρωινής εργασίας των μαθητών ενός τμήματος εσπερινού λυκείου, όπου α και β είναι οι τιμές του τοπικού μεγίστου και του 3 τοπικού ελαχίστου, αντίστοιχα, της συνάρτησης ( ) 9,. Ώρες εργασίας μαθητών Συχνότητα α 3 β. Να αποδείξετε ότι α= και β=3. Να βρείτε τη μέση τιμή και τη διάμεσο δ των ωρών πρωινής εργασίας των μαθητών.. Πόσοι μαθητές εργαστήκαν το πολύ ώρες; (Πανελλήνιες 00) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 33

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 8. Μια μεταβλητή Χ παίρνει τιμές,, 3 0 και 3, όπου α πραγματικός αριθμός. Οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες των τιμών δίνονται από τον 7 3 τύπο : F για,,3, όπου λ θετικός ακέραιος.. Να αποδείξετε ότι λ=. Να βρείτε τις σχετικές συχνότητες,, 3 και.. Αν η μέση τιμή των παρατηρήσεων είναι 9, να βρείτε την τιμή του α. (Πανελλήνιες 00) 9. Οι βαθμοί ενός μαθητή της γ λυκείου στα διάφορα μαθήματα είναι : 6,,, 3, 9,, 8,, 3,.. Να βρεθεί η μέση βαθμολογία του μαθητή.. Τι βαθμό πρέπει να γράψει στο τελευταίο μάθημα ώστε να βγάλει μέσο όρο. 0. Ο παρακάτω πίνακας δίνει στις δυο πρώτες στήλες την κατανομή συχνοτήτων των οικογενειών ως προς τον αριθμό των παιδιών τους. Αριθμός παιδιών Αριθμός οικογεν. 0 3 3 Σύνολο 00 Να βρεθεί η μέση τιμή της μεταβλητής χ=αριθμός παιδιών.. Οι βαθμοί των 0 μαθητών σε ένα διαγώνισμα είναι : 6 8 0 8 3 8 9 0 3 8 6 3 0 7 9 7 9 7 7 9 7 6 6 8 0 0 3 6 9 8 7 3 8. Να βρεθεί η μέση βαθμολογία.. Να βρεθεί η μέση βαθμολογία, αν ομαδοποιήσουμε τις παρατηρήσεις σε 6 κλάσεις.. Οι ελάχιστες θερμοκρασίες (σε βαθμούς Κελσίου) σε δυο πόλεις Α και Β για μερικές συνεχείς Ημέρες ήταν : Πόλη Α :, -3,, 0, -,, 0 Πόλη Β : -3,, -, 0,, 0,, 0 Να βρείτε τη διάμεσο των θερμοκρασιών για κάθε μια από τις δυο πόλεις. 3. Έστω το σύνολο Ω={ 0,, }. Να βρείτε τις τιμές του ώστε οι αριθμοί :,,, να έχουν διάμεσο μεγαλύτερη από τη μέση τιμή. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 3

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Τα μέτρα διασποράς μιας κατανομής εκφράζουν τις αποκλίσεις των τιμών μιας μεταβλητής γύρω από τα μέτρα κεντρικής τάσης. Τα σπουδαιότερα μέτρα διασποράς είναι : το εύρος R, η διακύμανση s, η τυπική απόκλιση s και ο συντελεστής μεταβολής CV. Για να κατανοήσουμε τη χρησιμότητα των μέτρων θέσης θα δώσουμε ένα παράδειγμα : Δυο μαθητές έχουν τους ακολούθους βαθμούς σε 6 μαθήματα Μαθητής Α : 0,0,0,0,0,0 Μαθητής Β :,6,,6,,6 Είναι εύκολο να παρατηρήσουμε ότι και οι δυο έχουν μ.ο.. Δηλαδή τα μέτρα θέσης δεν μου δίνουν κάποια πληροφορία για την ομοιομορφία των βαθμών κάθε μαθητή. Τα μέτρα διασποράς θα μας βοηθήσουν να εντοπίσουμε αυτή την ανομοιομορφία που έχουν οι βαθμοί του μαθητή Α, αλλά και την ομοιομορφία που έχουν οι βαθμοί του μαθητή Β. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΟΣ R Το πιο απλό μέτρο διασποράς είναι το εύρος R που ορίζεται ως η διαφορά της μικρότερης παρατήρησης από τη μεγαλύτερη παρατήρηση. Δηλαδή : Εύρος R=Μεγαλύτερη παρατήρηση Μικρότερη παρατήρηση π.χ. Για το παράδειγμα με τους μαθητές Α και Β ισχύει : R 00 0, 6 R Σε ομαδοποιημένα δεδομένα ως εύρος R θεωρούμε τη διαφορά του κατώτερου ορίου της πρώτης κλάσης από το ανώτερο όριο της τελευταίας κλάσης. Το εύρος είναι αρκετά απλό μέτρο, που υπολογίζεται εύκολα δε θεωρείται όμως αξιόπιστο μέτρο διασποράς, γιατί βασίζεται μόνο στις δυο ακραίες παρατηρήσεις. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Να βρείτε το εύρος σε κάθε ένα από τα παρακάτω δείγματα : Β Α :, -, 6, 8, -, Λύση : R ( ) 7 R 9 R 7 7 0 0 8 8 Γ Κλάσεις [7,) 0 [,7) 8 [7,) 7 [,7) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 3

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Α : ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ s Έστω t,...,, t t οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής (μεμονωμένες δηλ. όχι από πινάκα συχνοτήτων). Η διακύμανση ή διασπορά Αυτόν τον τύπο τον προτιμάμε όταν η μέση τιμή είναι ακέραιος. s δίνεται από τον τύπο : s t Αποδεικνύεται ότι ο τύπος της διακύμανσης μπορεί να πάρει την ισοδύναμη μορφή : t s t. Αυτόν τον προτιμάμε όταν η μέση τιμή δεν είναι ακέραιος. Όταν έχουμε πινάκα συχνοτήτων ή ομαδοποιημένα δεδομένα όπου,,..., είναι οι τιμές της μεταβλητής ή τα κέντρα των κλάσεων και,,..., οι αντίστοιχες συχνότητες, τότε η διακύμανση ορίζεται από τον τύπο : τύπο τον προτιμάμε όταν η μέση τιμή είναι ακέραιος. s. Αυτόν τον Αποδεικνύεται ότι ο τύπος της διακύμανσης μπορεί να πάρει την ισοδύναμη μορφή : s. Αυτόν τον προτιμάμε όταν η μέση τιμή δεν είναι ακέραιος. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Να βρείτε τη διακύμανση στο δείγμα Α : 3, 9,,, Λύση : 3 9 60 (3 ) (9 ) () () s t 8 9 0 9 8 80 36 () ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 36

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 6. Να βρεθεί η διακύμανση στο δείγμα του παρακάτω πίνακα. Λύση : 0 Έχω : (ακέραιος) 0 0 Άρα : s 0 Θα συμπληρώσω τον παραπάνω πίνακα με τις κατάλληλες στήλες ώστε να υπολογίσω τον παραπάνω τύπο, έτσι έχω : 0 Άρα τελικά : s 8, 8 0 7. Να βρεθεί η διακύμανση στο δείγμα του παρακάτω πίνακα. Λύση : 3 6 Σύνολο ν=0 0 3 3 6 Έχω : 3, (όχι ακέραιος) 0 0 3 7 7 Σύνολο ν=0 3 Άρα : s 0 0 Θα συμπληρώσω τον παραπάνω πίνακα με τις κατάλληλες στήλες ώστε να υπολογίσω τον παραπάνω τύπο, έτσι έχω : 3 ( ) ( ) - 3 6 0 0 0 3 9 9 Σύνολο ν=0 0 8 3 3 7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 37

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 3 Άρα τελικά : s 6, 36 0 0 0 0 8. Να βρεθεί η διακύμανση στο δείγμα του παρακάτω πίνακα. Λύση : Κλάσεις [, ) Κεντρικές τιμές 3 6 9 8 3 7 7 7 9 9 Σύνολο ν=0 3 6 κλάσεις [0-) 8 [-) [-6) 0 [6-8) 6 [8-0) Συχν. [0-) 8 8 [-) 3 36 [-6) 0 0 [6-8) 7 6 [8-0) 9 36 Σύνολο ν=0 7 _ 7 Άρα :, 3 (όχι ακέραιος) Άρα : s 0 0 0 0 Θα συμπληρώσω τον παραπάνω πίνακα με τις κατάλληλες στήλες ώστε να υπολογίσω τον παραπάνω τύπο, έτσι έχω : Κλάσεις Κεντρικές Συχν. [, ) τιμές [0-) 8 8 8 [-) 3 36 9 08 [-6) 0 0 0 [6-8) 7 6 9 9 [8-0) 9 36 8 3 Σύνολο ν=0 7 98 7 Άρα : s 98 6, 0 0 0 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 38

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 39 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 9. Οι μαθητές ενός τμήματος ξοδεύουν κατά μέσο ορό 6 αγοράζοντας διάφορα τρόφιμα από το κυλικείο του σχολειού. Εάν η διακύμανση είναι 900 8. s και επιπλέον το άθροισμα των τετραγώνων των ποσών που ξόδεψε καθένας από τους μαθητής είναι.76.700, να βρείτε πόσοι είναι οι μαθητές του τμήματος. Λύση : Από εκφώνηση έχω : 900 8. s, 6, t.76.700. Άρα : t t s t.76.700.900 8.76.700 8.900 t.76.700.900 8 6.76.700 8.900 8.76.700 9. 3906.76.700.900 8 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Β : ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΚΑΙ Η ΣΧΕΣΗ ΤΗΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ Τύπος που συνδέει τη διακύμανση με τη μέση τιμή Έχω : t t s t t s t t s t s s. (Ισχύει t. Επίσης το πηλίκο t εκφράζει τη μέση τιμή των τετραγώνων t των τιμών t και συμβολίζεται ) Διακύμανση όταν γνωρίζουμε τις σχετικές συχνότητες Έχω : s s s s

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3 : ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Η τυπική απόκλιση συμβολίζεται με s και είναι η θετική τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης. Δηλαδή : s s Η τυπική απόκλιση εκφράζεται με την ίδια μονάδα μέτρησης που εκφράζονται και οι μεταβλητές, ενώ η διακύμανση εκφράζεται σε μονάδα μέτρησης η οποία είναι το τετράγωνο της μονάδας μέτρησης των μεταβλητών. Ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής μεταβλητότητας CV, ορίζεται από τη.ό s σχέση : CV με 0. έή Ιδιότητες του συντελεστή μεταβολής Χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε ως προς τη μεταβλητότητα δυο κατανομές οι οποίες είτε δεν έχουν την ίδια μονάδα μέτρησης είτε έχουν ίδια μονάδα μέτρησης αλλά σημαντικά διαφορετικές μέσες τιμές. Συνήθως εκφράζεται επί τοις εκατό % και είναι ανεξάρτητος από τη μονάδα μέτρησης της μεταβλητής. Για να είναι αξιόπιστος θα πρέπει η μέση τιμή να μην είναι κοντά στο μηδέν. Αν για δυο δείγματα Α και Β ισχύει ότι CV CV, τότε λέμε ότι το δείγμα Α έχει μεγαλύτερη ομοιογένεια από το δείγμα Β. Ένα δείγμα λέγεται ομοιογενές αν ισχύει CV 0% ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 30. Δίνεται το δείγμα Α : 3, 9,,,. Να βρείτε τη μέση τιμή, τη διακύμανση, την τυπική απόκλιση και το συντελεστή μεταβολής του δείγματος Α. Στη συνέχεια να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές. Λύση : 3 9 60 (3 ) (9 ) () () () s t 8 9 0 9 8 80 36 s s 36 6 s 6 CV 0, 0%. Ισχύει ότι CV 0%, άρα το δείγμα δεν είναι ομοιογενές. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Η ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ Υ=α+β Έστω,...,, ν παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ με μέση τιμή και τυπική απόκλιση s. Αν σε κάθε μια από της παρατηρήσεις,...,, προσθέσουμε μια σταθερά c θα προκύψουν οι παρατηρήσεις y, y,..., y για τις οποίες ισχύει : y c,,,...,, τότε αποδεικνύεται ότι ισχύουν τα εξής : για τη νέα μέση τιμή των παρατηρήσεων y c, ισχύει : y c για τη νέα διάμεσο των παρατηρήσεων για τη νέα τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων για τη νέα εύρος των παρατηρήσεων Αν κάθε μια από της παρατηρήσεις y y,..., c, ισχύει : c y y c, ισχύει : s y s c, ισχύει : Ry R, πολλαπλασιαστεί επί μια σταθερά c θα προκύψουν οι παρατηρήσεις y, y,..., y για τις οποίες ισχύει : y c,,,...,, τότε αποδεικνύεται ότι ισχύουν τα εξής : για τη νέα μέση τιμή των παρατηρήσεων y c, ισχύει : y c για τη νέα διάμεσο των παρατηρήσεων για τη νέα τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων για τη νέα εύρος των παρατηρήσεων y c, ισχύει : y c y c, ισχύει : s y c s y c, ισχύει : Ry c R Γενικά, για τις παρατηρήσεις y s y s y,,,...,, ισχύουν τα εξής : ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 3. Δίνεται το δείγμα Α :, 6, 6, 7, 9, 0.. Να βρείτε τη μέση τιμή, την τυπική απόκλιση και τον συντελεστή μεταβολής των παραπάνω παρατηρήσεων. Αν αυξήσουμε καθεμία από τις παρατηρήσεις κατά, να βρείτε τη μέση τιμή, την τυπική απόκλιση και τον συντελεστή μεταβολής των τιμών που προκύπτουν.. Αν αυξήσουμε κάθε μια από τις παρατηρήσεις κατά %, να βρείτε τη μέση τιμή, την τυπική απόκλιση και τον συντελεστή μεταβολής των τιμών που προκύπτουν.. Να βρείτε τη μικρότερη τιμή του αριθμού c>0 που πρέπει να προσθέσουμε σε καθεμία από τις παρατηρήσεις, ώστε το δείγμα των τιμών που θα προκύψουν να είναι ομοιογενές. Λύση : 6 6 7 9 0. 7 6 6 6 ( 7) (6 7) (6 7) (7 7) (9 7) (0 7) s t 6 6 9 0 9 6 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ s s s CV 0,8 8%. Ισχύει ότι CV 0%, άρα το δείγμα δεν είναι 7 ομοιογενές.. Αν σε κάθε μια από της παρατηρήσεις,,..., 6 του δείγματος Α :, 6, 6, 7, 9, 0 προσθέσουμε θα προκύψουν οι παρατηρήσεις y, y,..., y6 για τις οποίες ισχύει : y,,,..., 6, τότε : y y 7 y s s s y CV y s y y y CV y 0,6 6%. Αν κάθε μια από της παρατηρήσεις,,..., 6 του δείγματος Α :, 6, 6, 7, 9, 0 αυξηθεί κατά % θα προκύψουν οι παρατηρήσεις z, z,..., z6 για τις οποίες ισχύει : z z 0, z ( 0,) z,,,,..., 6, τότε : 00 z, z,7 z 8,7 s, s s, s, z CV z sz z y CV z, 8,7 y 0,8 8%. Αν προσθέσουμε c στις τιμές,,..., 6, θα προκύψουν οι τιμές w, w,..., w6 για τις οποίες ισχύει : w c,,,..., 6, τότε : w c w 7 c και s s s w w Το δείγμα των αριθμών w c είναι ομοιογενές αν ισχύει : CV w 0% sw w 0 7 c 0 0 7c 0 7 c 7 c 0 7c 0 c 3(δεκτό) ή 7c 0 c 7 (απορ. γιατί από εκφων. c>0) Άρα c 3δηλαδή η μικρότερη τιμή του αριθμού c είναι 3. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΚΑΜΠΥΛΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Όταν για μια συνεχή κατανομή ο αριθμός των κλάσεων είναι πολύ μεγάλος (τείνει στο άπειρο) και το πλάτος των κλάσεων πολύ μικρό (τείνει στο μηδέν), τότε το πολύγωνο συχνοτήτων, αντί να είναι μια τεθλασμένη γραμμή γίνεται μια ομαλή καμπύλη η οποία ονομάζεται καμπύλη συχνοτήτων. Οι κυριότερες καμπύλες συχνοτήτων φαίνονται στο παρακάτω σχήματα (α), (β), (γ) και (δ) ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Αν η καμπύλη συχνοτήτων, για το χαρακτηριστικό που εξετάζουμε, είναι κανονική ή περίπου κανονική, τότε η τυπική απόκλιση s έχει τις παρακάτω ιδιότητες : Το 68% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα ( s, s) Το 9% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα ( s, s) Το 99,7% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα ( 3s, 3s) Το εύρος R ισούται περίπου με έξι τυπικές αποκλίσεις, δηλαδή R 6s Η μέση τιμή είναι ιση με τη διάμεσο Λόγο της συμμετρίας της καμπύλης προκύπτουν τα παρακάτω ποσοστά όπως φαίνονται στο σχήμα που ακολουθεί : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 3

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 3. Η ηλικία των κάτοικων μιας πόλης ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή 0 έτη και τυπική απόκλιση έτη.. Να βρείτε τη διάμεσο της κανονικής κατανομής της ηλικίας των κάτοικων.. Να βρείτε τον συντελεστή μεταβολής και να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές. Αν ο αριθμός των κάτοικων της πόλης είναι 000, να βρείτε πόσοι περίπου κάτοικοι είναι ηλικίας :. Μεταξύ 3 και 6 ετών. Μεταξύ και 3 ετών. (Πανελλήνιες 009) Λύση :. Είναι 0έτη και επειδή έχουμε κανονική κατανομή ισχύει : 0. s Είναι s έτη άρα CV 0,30 30%, ισχύει : CV 0%, άρα το 0. δείγμα δεν είναι ομοιογενές. Μεταξύ 3-6 χρόνων είναι το 68% του δείγματος των.000 κάτοικων της πόλης, 68 δηλαδή.000 680. 70 κάτοικοι. 00. Μεταξύ -3 χρονών είναι το,3%+3,%=,8% του δείγματος των.000,8 κάτοικων της πόλης, δηλαδή.000,80 63 κάτοικοι. 00 33. Σε έρευνα που έγινε στους μαθητές μιας πόλης, για το χρόνο που κάνουν να πάνε από το σπίτι στο σχολείο, διαπιστώθηκε ότι το 0% περίπου των μαθητών χρειάζεται περισσότερο από λεπτά, ενώ το 6% περίπου χρειάζεται λιγότερο από 0 λεπτά. Υποθέτουμε ότι η κατανομή του χρόνου της διαδρομής είναι κατά προσέγγιση κανονική.. Να βρείτε τον μέσο χρόνο διαδρομής των μαθητών και την τυπική απόκλιση του χρόνου διαδρομής τους... Να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές. Αν οι μαθητές της πόλης είναι 000, πόσοι μαθητές θα κάνουν χρόνο διαδρομής από έως 6 λεπτά; ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr