ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 11. Δίνεται ο μηνιαίος μισθός (σε ευρώ) των 50 υψηλόμισθων υπαλλήλων μιας μεγάλης εταιρείας.

Transcript

1 ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ (κλάσεις ίσου πλάτους) ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου 11. Δίνεται ο μηνιαίος μισθός (σε ευρώ) των 5 υψηλόμισθων υπαλλήλων μιας μεγάλης εταιρείας α. Να γίνει ομαδοποίηση των παρατηρήσεων σε 4 κλάσεις ίσου πλάτους. β. Να κατασκευάσετε τον πίνακα συχνοτήτων ν, Ν, f %, F % γ. Να κάνετε ιστόγραμμα συχνοτήτων ν και ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων F % καθώς και τα αντίστοιχα πολύγωνα δ. Αν υποτεθεί ότι σε κάθε κλάση οι μισθοί είναι ομοιόμορφα κατανεμημένοι να βρείτε το ποσοστό των υπαλλήλων που έχουν μισθό πάνω από 35 ευρώ. Λύση: 495 Euro και το μικρότερο α. Εντοπίζουμε το μεγαλύτερο ( ) ( 1 Euro ) Βρίσκουμε το εύρος: R = = 395 Διαιρούμε το εύρος R με το πλήθος των κλάσεων κ για να βρούμε το πλάτος, c της κάθε κλάσης: R 395 c = c = 1 κ 4 e-mal : nfo@arnos.gr 169

2 Για πρακτικούς λόγους στρογγυλοποιούμε το πλάτος της κλάσης προς τα πάνω β. Έτσι (μετά τη διαλογή) ο πίνακας έχει ως εξής: Μηνιαίος μισθός [ - ) Kεντρικές τιμές x Συχνότητες ν Σχετικές Συχνότητες f Αθροιστικές συχνότητες Ν Αθροιστικές σχετ. συχνότητες F , , , , Σύνολα 5 1 γ. Το ιστόγραμμα και το πολύγωνο συχνοτήτων, είναι: e-mal : nfo@arnos.gr 17

3 Το ιστόγραμμα και το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων, είναι: δ. Από το σημείο 35 στον άξονα των μισθών, φέρνουμε παράλληλη προς τον άξονα των σχετικών συχνοτήτων ( F ). Από το σημείο Μ στο οποίο αυτή η παράλληλη τέμνει το πολύγωνο σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων φέρουμε κάθετη στον άξονα F και διαβάζουμε την ένδειξη. Αλλιώς αν F γ είναι η ένδειξη που αντιστοιχεί στο σημείο 35 των μισθών, τότε: 35 3 Fγ 54 = Άρα: Fγ = 71 Επομένως πάνω από 35 Euro τον μήνα, παίρνει περίπου: 1 71 = 29 των υπαλλήλων e-mal : nfo@arnos.gr 171

4 Γενικά Αν η ένδειξη επί του άξονα F δεν φαίνεται καθαρά ή επειδή μπορεί να γίνει λάθος στη χάραξη των γραμμών, ένας ασφαλής τρόπος υπολογισμού της ένδειξης είναι: Αν η αντιστοιχία σημείων του οριζόντιου και του κατακόρυφου άξονα είναι: α F, α β Fβ και γ Fγ όπου: τότε: γ ( α, β ) γ α = β α Fγ F F F β α α 12. Στα σχολεία ενός Δήμου υπηρετούν συνολικά 1 εκπαιδευτικοί. Ο συνολικός χρόνος υπηρεσίας των εκπαιδευτικών δίνεται από τον παρακάτω πίνακα: Kεντρικές Σχετική Τιμές ν x f Σύνολα Χρόνια υπηρεσίας [ - ) e-mal : nfo@arnos.gr Αθροιστική Σχετική συχνότητα F Α. Να κάνετε ιστόγραμμα συχνοτήτων και πολύγωνο συχνοτήτων. Β. Να κάνετε ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων Γ. Πόσοι εκπαιδευτικοί έχουν τουλάχιστον 15 χρόνια υπηρεσίας; Δ. Με την προϋπόθεση ότι κάθε εκπαιδευτικός θα συνταξιοδοτηθεί, όταν συμπληρώσει 35 χρόνια: α. Πόσοι εκπαιδευτικοί θα συνταξιοδοτηθούν μέσα στα επόμενα 12,5 χρόνια; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. β. Πόσοι συνολικά εκπαιδευτικοί πρέπει να προσληφθούν μέσα στα επόμενα πέντε χρόνια, ώστε ο αριθμός των εκπαιδευτικών που υπηρετούν στα σχολεία του Δήμου να παραμένει ο ίδιος; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 172

5 Λύση: Συμπληρώνουμε τον πίνακα (Πανελλήνιες 2 Ημερήσια Γ.Λ. ) Χρόνια Kεντρικές Σχετική Αθροιστική Σχετική υπηρεσίας Τιμές ν [ ) x συχνότητα F f 5 2, , , , , , , Σύνολα 1 1 Α. Το ιστόγραμμα και το πολύγωνο συχνοτήτων, είναι: e-mal : nfo@arnos.gr 173

6 Β. Το ιστόγραμμα και το πολύγωνο των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων, είναι: Γ. Τουλάχιστον 15 χρόνια υπηρεσίας έχουν: = 63 εκπαιδευτικο ί Δ. α. Σε 12,5 χρόνια θα πάρουν σύνταξη όσοι ανήκουν στις 3,35, 25,3 και οι μισοί περίπου της κλάσης κλάσεις [ ) [ ) [ 2,25 ). Δηλαδή αυτοί που έχουν τουλάχιστον 22,5 χρόνια υπηρεσίας, εφ όσον οι εκπαιδευτικοί αυτοί είναι ομοιόμορφα κατανεμημένοι, ως προς τα χρόνια υπηρεσίας σ αυτή την κλάση. Άρα θα πάρουν σύνταξη: = 39 εκπαιδευτικο ί β. Θα πάρουν σύνταξη όσοι ανήκουν στην κλάση [ 3,35 ) αφού σε 5 χρόνια όλοι αυτοί θα έχουν τουλάχιστον 35 χρόνια υπηρεσίας. Άρα πρέπει να προσληφθούν: 12 εκπαιδευτικο ί 13. Οι χρόνοι που έκαναν μια ομάδα οδηγών της φόρμουλα 1 για να κάνουν ένα γύρο της πίστα είναι από 1 ως 2 δευτερόλεπτα χωρισμένοι σε 5 κλάσεις ίσου πλάτους. e-mal : nfo@arnos.gr 174

7 Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τον οριζόντιο άξονα (των χρόνων) και το πολύγωνο συχνοτήτων του δείγματος έχει εμβαδόν 8 αν θεωρήσουμε ως μονάδα το πλάτος της κάθε κλάσης. Η σχετική συχνότητα που αντιστοιχεί στην κλάση με κεντρική τιμή 19 είναι,1. Η σχετική συχνότητα που αντιστοιχεί στην κλάση [ 14, 16 ) είναι,2. Οι οδηγοί που έκαναν από 16 ως 18 δευτερόλεπτα είναι διπλάσιοι από τους οδηγούς που έκαναν από 1 ως 12 δευτερόλεπτα. 48 οδηγοί έκαναν χρόνο κάτω από 16 δευτερόλεπτα. Να κάνετε τον πίνακα συχνοτήτων ν, Ν, f, F Λύση: Βρίσκουμε το εύρος R του δείγματος: R = 2 1 = 1 Άρα το πλάτος c κάθε κλάσης θα είναι: R 1 c= = = 2 κ 5 Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τον οριζόντιο άξονα και το πολύγωνο συχνοτήτων, αν θεωρήσουμε ως μονάδα το πλάτος των κλάσεων, είναι ίσο με το μέγεθος του δείγματος. Επειδή το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τον οριζόντιο άξονα και το πολύγωνο συχνοτήτων είναι 8, το μέγεθος του δείγματος είναι: ν = 8 Με αρχή το 1 και πλάτος 2, οι κλάσεις που δημιουργούνται είναι: [ 1,12 ), [ 12,14 ), [ 14,16 ), [ 16,18) και [ 18, 2) Η κλάση με κέντρο το 19 είναι η πέμπτη [ 18, 2 ). Άρα: f5 =,1 Η κλάση [ 14,16 ) είναι η τρίτη, άρα: f3 =,2 e-mal : nfo@arnos.gr 175

8 Έτσι ν 3 = 8,2 = 16 και 5 8,1 8 ν = =. Η τέταρτη κλάση [ 16,18 ) έχει διπλάσια συχνότητα της πρώτης [ 1,12 ). Άρα: ν = ν f4 = 2f Ακόμη 48 οδηγοί έκαναν χρόνο κάτω από 16 sec, άρα: Όμως: Επομένως: και ν 1+ν 2 +ν 3 = 48 ν 1+ν 2 +ν 3+ν 4 +ν 5 = ν = 8 ν 4 = 24 ν4 ν 1 = = 12, ν 2 = = 2 2 Οπότε ο ζητούμενος πίνακας έχει ως εξής: Χρόνια υπηρεσίας [ ) Kεντρικές Τιμές x ν Σχετική f Αθροιστική Σχετική συχνότητα F Σύνολα Στην «Αττική οδό» εξυπηρετούνται καθημερινά 2 χιλιάδες οχήματα, τα οποία διανύουν από 5 έως 45 χιλιόμετρα. Η διανυόμενη απόσταση σε χιλιόμετρα από τα οχήματα αυτά παρουσιάζεται στην πρώτη στήλη του πίνακα: Αθροιστική Κέντρο Σχετική Κλάσεις κλάσης ν συχνότητα σε χλμ. x Ν (σε χιλιάδες) f (σε χιλιάδες) [5, 15) 6 [15, 25) 68 [25, 35) 18 [35, 45) ΣΥΝΟΛΑ 2 Αθρ. Σχετ. F e-mal : nfo@arnos.gr 176

9 Α. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παραπάνω πίνακα και να συμπληρώσετε τις τιμές των αντίστοιχων μεγεθών. Β. Να σχεδιάσετε το ιστόγραμμα ( x, f ) και το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων. Γ. Να σχεδιάσετε το ιστόγραμμα ( x,f ) και το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων. Δ. Να βρείτε το πλήθος των οχημάτων που διανύουν απόσταση τουλάχιστον 25 χιλιομέτρων Ε. Να εκτιμήσετε το πλήθος των οχημάτων που διανύουν απόσταση το πολύ 4 χιλιομέτρων θεωρώντας ότι σε κάθε κλάση τα οχήματα κατανέμονται ομοιόμορφα. Διασκευή από θέμα 3 των Πανελληνίων του 24, ημερησίων Φ.Ε.Λ. Λύση: Α. Παρατηρούμε ότι: Άρα: και f 6 1 = 1 = 3, f 2 = F2 F1 = 38 2 f2 =,38 και ν 2 = 2,38 = 76 Ν 3 =ν 1+ν 2 +ν 3 = ν 3, άρα ν 3 = = 44 Επίσης: Ν 4 =ν= 2, άρα ν 4 = 2 Έτσι ο πίνακας έχει ως εξής: Κλάσεις Κέντρο Σχετική Αθροιστική σε χλμ. κλάσης ν συχνότητα x (σε χιλιάδες) f Ν (σε χιλιάδες) [5, 15) [15, 25) [25, 35) [35, 45) ΣΥΝΟΛΑ 2 1 Αθρ. Σχετ. F e-mal : nfo@arnos.gr 177

10 Β. Το ιστόγραμμα και το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων ( ) f. Γ. Το ιστόγραμμα και το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων. είναι: Δ. Το πλήθος των οχημάτων που διανύουν απόσταση τουλάχιστον 25 km ανήκουν στις κλάσεις: [ 25,35 ) και [ 35, 45 ) Άρα είναι: = 64 χιλιάδες αυτοκίνητα Ε. Τα οχήματα που διανύουν το πολύ 4 km είναι αυτά που ανήκουν στις κλάσεις: [ 5,15 ), [ 15, 25 ), [ 25,35 ) 35, 4 της κλάσης [ ) και στο υποδιάστημα [ ) 35, 45. Στο υποδιάστημα [ 35,4 ) που είναι το μισό της τελευταίας κλάσης ανήκουν τα μισά οχήματα e-mal : nfo@arnos.gr 178

11 μιας και αυτά είναι ομοιόμορφα κατανεμημένα μέσα στην κλάση. Άρα συνολικά: διανύουν το πολύ 4 km = 19 οχήματα e-mal : nfo@arnos.gr 179