ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ x 2. 6x x. 1B. Α) Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ) καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις:

Transcript

1 ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 0, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Γ ΛΥΚΕΙΟΥ... ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ... ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 ΘΕΜΑ 1 Ο 1Α. α). Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; β). Να αποδείξετε ότι αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο διάστημα Δ, τότε ισχύει: f g f ( ) g ( ) γ). Να αντιστοιχίσετε κάθε συνάρτηση f() από τη στήλη Α με την παράγωγό της από τη στήλη Β. ΣΤΗΛΗ Α α) f ( ) 3 1 β) f ( ) (3) 1 γ) f ( ) (3 1) δ) f ( ) (3 1) 6. (3 1) ΣΤΗΛΗ Β 1B. Α) Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ) καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις: α) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f ( ) 0 εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. για κάθε β) Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν: f 0 0 για κάποιο a,, 0 f 0 στο a, 0, f 0 στο, 0 τότε η f παρουσιάζει στο διάστημα (α, β) για = 0 ελάχιστο. γ) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα (α,β) και για κάποιο 0 a, f 0 0, τότε η f έχει υποχρεωτικά τοπικό ακρότατο στο 0. ισχύει δ) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ και γνησίως φθίνουσα, τότε υποχρεωτικά ισχύει f 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ.

2 Β) Να συμπληρώσετε με το κατάλληλο σύμβολο (<, =, >) τα παρακάτω κενά, ώστε να προκύψει σωστή πρόταση: <<Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν f... 0 για a,, f... 0 στο a, ) και f () στο ( 0, ), τότε η f παρουσιάζει στο διάστημα (α, β) για = 0 μέγιστο.>> ( 0 ΘΕΜΑ Ο Δίνεται η συνάρτηση f ( ) a 3, με, α) Να αποδείξετε ότι 4. β) Να βρείτε το όριο lim 1 f ( ) f ( ). a για την οποία ισχύει: f ( 1) f 1 14 f γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f: i) στο σημείο της Μ(4, f(4)), ii) που είναι παράλληλη στην ευθεία : y 011, iii) που διέρχεται από το σημείο P( 4, 1). ΘΕΜΑ 3 Ο Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ln. α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα, αφού βρείτε το πεδίο ορισμού. 1 β) Να αποδείξετε ότι ln για κάθε >0. ΘΕΜΑ 4 Ο 43 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) e. α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. β) Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της Μ (1, f(1)). γ) Να βρείτε το όριο: lim 3 f f f 7 4

3 ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 0, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Γ ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ... ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 013 ΘΕΜΑ 1 Α. Έστω 1,,, ν οι τιμές μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν. Να δώσετε τον ορισμό της μέσης τιμής και της διαμέσου δ των τιμών i της μεταβλητής Χ. μονάδες 8 Β. Έστω 1,,, κ οι τιμές μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν. Στην τιμή i αντιστοιχίζεται η σχετική συχνότητα f i.nα δικαιολογήσετε γιατί : α) 0 f i 1, i = 0,1,,,κ β) f 1 + f + + f k = 1 μονάδες 10 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σ (σωστό) ή Λ (λάθος) α) Ν 1 +Ν ν 1 = ν β) Ισχύει ότι f i = i N, τότε θα είναι i Fi γ) Τα μέτρα διασποράς εκφράζουν τις αποκλίσεις των τιμών μιας μεταβλητής γύρω από τα μέτρα κεντρικής τάσης. δ) Όταν η τυπική απόκλιση είναι μηδέν, όλες οι τιμές μιας μεταβλητής ενός δείγματος ταυτίζονται με τη μέση τιμή. ε) Η διακύμανση εκφράζεται με την ίδια μονάδα μέτρησης του χαρακτηριστικού στ) Όταν έχουμε ακραίες παρατηρήσεις είναι προτιμότερο να χρησιμοποιούμε τη μέση τιμή αντί της διαμέσου. ζ) Σε μια κατανομή είναι R s 6 μονάδες 7 ΘΕΜΑ Οι βαθμοί 00 μαθητών στις απολυτήριες εξετάσεις στο μάθημα της Ιστορίας έχουν μέση τιμή 1 και διακύμανση 4. Έστω ότι για τους βαθμούς των 199 μαθητών ισχύει ότι 199 () i 775 και i1 α) Να βρείτε το βαθμό του 00 ου μαθητή β) Να βρείτε το συντελεστή μεταβολής των βαθμών μονάδες 9

4 μονάδες 4 γ) Αν οι βαθμοί ακολουθούν περίπου κανονική κατανομή, να βρείτε i) τη διάμεσο ii) το εύρος των παρατηρήσεων iii) το ποσοστό των μαθητών που έγραψαν τουλάχιστον 16 iv) το ποσοστό των μαθητών που έγραψε το πολύ 10 μονάδες 1 ΘΕΜΑ 3 Η βαθμολογία των μαθητών της Θετικής Κατεύθυνσης της Γ Λυκείου ενός Ενιαίου Λυκείου στο μάθημα της Βιολογίας ομαδοποιήθηκε σε πέντε κλάσεις ίσου πλάτους και προέκυψε ο παρακάτω πίνακας σχετικών συχνοτήτων. Βαθμολογίες [, ) Κέντρο f i ,15-0, Δίνεται επιπλέον ότι η συχνότητα της πρώτης κλάσης ισούται με τη συχνότητα της πέμπτης, ενώ της τέταρτης είναι τετραπλάσια από αυτές. α) Να αποδείξετε ότι το πλάτος των κλάσεων είναι 4 β) Να συμπληρώσετε τον πίνακα γ) Να βρείτε μέση τιμή και τυπική απόκλιση δ) Να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές μονάδες 7 μονάδες 5 μονάδες 10 (4+6) μονάδες 3 Δίνεται ο τύπος 1 k i i i1 s k i1 i i ΘΕΜΑ 4 Η Μαθηματική Εταιρεία έκανε ένα διαγωνισμό και σε μια πόλη οι βαθμοί των 00 μαθητών έχουν στο σχήμα δίπλα το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων που αναφέρεται σε ομαδοποίηση των βαθμών σε κλάσεις ίσου πλάτους c που το c το θεωρούμε ως μονάδα μέτρησης

5 του οριζόντιου άξονα. α. Να βρείτε το c μονάδες 5 β. Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και το αντίστοιχο πολύγωνο μονάδες 8 γ. Να βρείτε τη διάμεσο μονάδες 8 δ. Αν δοθεί έπαινος στο,5% με την καλύτερη βαθμολογία τι βαθμό πρέπει να έχει κάποιος μαθητής για να πάρει έπαινο. μονάδες 4

6 ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 0, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Γ ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ... ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 01 ΘΕΜΑ 1 Ο α) Δώστε τον ορισμό της παραγώγου της συνάρτησης f στο σημείο 0. β) Να συμπληρώσετε τον πίνακα: Συνάρτηση Πεδίο ορισμού f () f () f e f n 1 f f 7 f γ) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό ή Λάθος: i) Αν για μια συνάρτηση f ισχύει () 0 παρουσιάζει ακρότατα στο (α, β). ii) Αν για μια συνάρτηση f ισχύει () 0 0,, a f για κάθε a, f, a 0 0 τότε η f παρουσιάζει στο 0 0, τότε η f δεν και f () 0 μέγιστο. για κάθε iii) Αν για μια συνάρτηση f ισχύει f 0 0 και εκατέρωθεν του 0 η f () τότε η f παρουσιάζει για 0 ακρότατο. αλλάζει πρόσημο

7 ΘΕΜΑ Ο α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: i) ii) f () n 3 5 f () Μονάδες 10 β) Να υπολογίσετε το όριο: lim 1 1 Μονάδες 10 ΘΕΜΑ 3 Ο α) Να βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων: f () n,() g,() h e, t() n Μονάδες 10 β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της συνάρτησης 0 e. ΘΕΜΑ 4 Ο f () n, 0 στο σημείο Μονάδες 15 α) Δίνεται η συνάρτηση f () n i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού. ii) iii) Να βρείτε την μονοτονία της. Να βρείτε τα ακρότατα.

8 β) Ένα δείγμα 40 οικογενειών μιας περιοχής εξετάστηκε ως προς τον αριθμό των παιδιών τους και προέκυψε ο πίνακας: Αριθμός Συχνότητα v i Σχετική παιδιών i συχνότητα f i % Αθροιστική συχνότητα N i Αθροιστική σχετική συχνότητα F i % Σύνολο 40 α) Να γράψετε στο τετράδιό σας συμπληρωμένο τον παραπάνω πίνακα: Μονάδες 8 β) Με τη βοήθεια του πίνακα, να βρείτε: το ποσοστό των οικογενειών που έχουν τουλάχιστον 3 παιδιά. Μονάδες

9 ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 0, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Γ ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ... ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 01 (ΘΕΡΙΝΗ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ) ΘΕΜΑ 1 Ο Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: n( ) α) f () 9 4 β) g ΘΕΜΑ Ο Να βρείτε τα όρια: α) β) lim 1 lim ΘΕΜΑ 3 Ο Να βρείτε τα όρια: α) lim β) lim 0 3

10 ΘΕΜΑ 4 Ο α) Δίνεται η συνάρτηση: f () 1 να δείξετε ότι: f (1) (με τον ορισμό παραγώγου) 4 β) Δίνεται η συνάρτηση: (ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ 010) f () 1 1 να βρείτε το όριο: lim 1 f () 1 1

11 ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 0, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Γ ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ... ΘΕΜΑ 1 ο ΜΑΡΤΙΟΣ 01 Α. Να σημειώσετε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι σωστές ή λάθος 1. Η μέση τιμή είναι μέτρο θέσης. Η αθροιστική συχνότητα μιας παρατήρησης δεν είναι πάντα ακέραιος αριθμός. 3. Η διάμεσος υπολογίζεται σε όλα τα είδη μεταβλητών 4. Το εύρος είναι αξιόπιστο μέτρο θέσης 5. Η τυπική απόκλιση δεν μεταβάλλεται αν πολλαπλασιάσουμε τις τιμές των παρατηρήσεων με μια σταθερή τιμή α. 6. Ένα δείγμα που ακολουθεί κανονική κατανομή είναι ομοιογενές 7. Η διακύμανση έχει τις ίδιες μονάδες με τις παρατηρήσεις 8. Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται μόνο στις ποσοτικές μεταβλητές 9. Ομοιογενές χαρακτηρίζεται ένα δείγμα όταν C.V > 10% μονάδες 9 Β. i) Τι ονομάζεται συχνότητα v i της μεταβλητής i ενός δείγματος μεγέθους ν ; ii) Τι ονομάζεται σχετική συχνότητα f i της μεταβλητής i ενός δείγματος μεγέθους ν ; iii) Τι ονομάζεται διάμεσος ενός δείγματος ; μονάδες 6 Γ. Έστω 1,,, κ οι τιμές μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν Στην τιμή i αντιστοιχίζεται η σχετική συχνότητα f i.nα δικαιολογήσετε γιατί : α) 0 f i 1, i = 0,1,,,κ β) f 1 + f + + f k = 1 μονάδες 10

12 ΘΕΜΑ ο Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι τιμές μιας μεταβλητής Χ και οι αντίστοιχες αθροιστικές συχνότητες τους. Τιμές i Αθρ. Συχνότητα Ν i α) Να βρείτε το μέγεθος του δείγματος β) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο δ γ) Να υπολογίσετε τη διακύμανση μονάδες 3 μονάδες 1 μονάδες 10 ΘΕΜΑ 3 ο Σε έρευνα που έγινε στους μαθητές μιας πόλης, για το χρόνο που κάνουν να πάνε από το σχολείο στο σπίτι τους, διαπιστώθηκε ότι το 50% περίπου των μαθητών χρειάζεται περισσότερο από 1 λεπτά, ενώ το 16 % περίπου χρειάζεται λιγότερο από 10 λεπτά. Υποθέτουμε ότι έχουμε περίπου κανονική κατανομή. α) να βρεθεί μέση τιμή και τυπική απόκλιση β) αν οι μαθητές της πόλης είναι 4000, να βρείτε πόσοι μαθητές θα κάνουν χρόνο από 14 έως 16 λεπτά. μονάδες 5 ΘΕΜΑ 4 ο Ο καθηγητής των Μαθηματικών στο διαγώνισμα της Στατιστικής που έβαλε στους μαθητές παρουσίασε μέσο όρο βαθμολογίας 11 με τυπική απόκλιση. Κάνει σκέψεις προκειμένου να βοηθήσει τους μαθητές : α) να προσθέσει 4 μονάδες στο βαθμό κάθε γραπτού ή β) να αυξήσει τη βαθμολογία κάθε γραπτού κατά 0% Σε κάθε περίπτωση πως θα επηρεαστεί η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση ; μονάδες 5 Καλή Επιτυχία!!!

13 ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 0, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Γ ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ... ΘΕΜΑ 1 Ο Α. 1. Να συμπληρώσετε: ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 011 n c e 1. Όμοια: () cf f g f g f g 1 μονάδα το καθένα 1 μονάδα το καθένα 3. Να δείξετε ότι: f g f g 8 μονάδες 4. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: 3 μονάδες Η συνάρτηση f () e έχει παράγωγο: e e e e e e e e a. e....

14 ΘΕΜΑ Ο f () 3 α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού: β) Να υπολογισθεί: lim 0 f () γ) Να βρεθεί η εξίσωση εφαπτομένης στο σημείο 1, f 1 ΘΕΜΑ 3 Ο 5 μονάδες 10 μονάδες 10 μονάδες f n 1 1 α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού. β. Να βρεθεί η f. 5 μονάδες 8 μονάδες γ. Να βρείτε το σημείο της καμπύλης της f στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη με τον άξονα. 1 μονάδες ΘΕΜΑ 4 Ο f 1 1 f 1 α. Να υπολογιστεί: lim μονάδες β. Να υπολογίσετε τον συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της f στο σημείο με τετμημένη μονάδες γ. Να υπολογίσετε τη γωνία που σχηματίζει η παραπάνω εφαπτομένη με τον άξονα. Καλή Επιτυχία!!! 5 μονάδες

15 ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 0, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Γ ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ... ΘΕΜΑ Α i) Να συμπληρώσετε τα κενά: ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 011(ΘΕΡΙΝΗ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ) α) Αν μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α παρουσιάζει μέγιστο στο χ0 τότε. για κάθε A. β) Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα λέγεται.. Μονάδες 4 γ) Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέγεται συνεχής, αν για κάθε 0 ii) Να χαρακτηρίσετε με ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις προτάσεις: A Μονάδες 4 ισχύει.. α) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ και για κάθε 1, Μονάδες 4 με 1 τότε f f. 1 β) Σε μια συνάρτηση ένα τυπικό ελάχιστο μπορεί να είναι μεγαλύτερο από ένα τυπικό μέγιστο. Μονάδες 4 γ) Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη τότε είναι γνησίως αύξουσα. Μονάδες 4 ΘΕΜΑ Β i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης: 3 ii) Όμοια: g() n5 1 iii) Να βρείτε το παρακάτω όριο: lim f 9 iv) Όμοια: v) Όμοια: lim lim 3 1

16 ΘΕΜΑ Γ Γ1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 και δίπλα τη λέξη ΣΩΣΤΟ, αν είναι σωστή, ή τη λέξη ΛΑΘΟΣ, αν είναι λανθασμένη. 1. Πείραμα τύχης ονομάζεται εκείνη η διαδικασία την οποία όσες φορές και αν την επαναλάβουμε, κάτω από τις ίδιες συνθήκες, δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμά της.. Δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης ονομάζεται το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων που μπορούν να εμφανιστούν κατά την εκτέλεση του πειράματος. 3. Ρίχνουμε ένα νόμισμα 5 φορές και συμβολίζοντας με «Κ» το δυνατό αποτέλεσμα «κεφαλή» και με «Γ» το δυνατό αποτέλεσμα «γράμματα», φέρνουμε την πρώτη φορά «κεφαλή», τη δεύτερη και την τρίτη «γράμματα» και την τέταρτη και πέμπτη «κεφαλή». Ο Δειγματικός χώρος του πειράματος είναι Ω= {Κ, Γ, Γ, Κ, Κ}. 4. Ο δειγματικός χώρος Ω ενός πειράματος τύχης ονομάζεται και βέβαιο ενδεχόμενό του. Μονάδες 8 Γ. Να συμπληρώσετε τις προτάσεις που ακολουθούν: 1.Σε ένα πείραμα τύχης δύο ενδεχόμενα Α και Β ονομάζονται ασυμβίβαστα όταν.ρίχνουμε ένα ζάρι και η ένδειξη της πάνω έδρας του είναι ένας από τους αριθμούς 1,, 3, 4, 5 και 6. a.ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι το σύνολο Ω= b.το ενδεχόμενο η πάνω έδρα να είναι άρτιος αριθμός είναι Α= c.το ενδεχόμενο η πάνω έδρα να είναι αριθμός μικρότερος του 4 είναι Β= d.πως συμβολίζεται στη γλώσσα των συνόλων το ενδεχόμενο να πραγματοποιούνται συγχρόνως και το Α και το Β και ποιο είναι αυτό; Μονάδες 10 Γ3. Να συμπληρώσετε στη γλώσσα των συνόλων το που ανήκει το δυνατό αποτέλεσμα «ω». Στη συνέχεια να γραμμοσκιάσετε την αντίστοιχη περιοχή στο διάγραμμα Venn. 1.Το ενδεχόμενο Α δεν πραγματοποιείται. Το ω

17 .Πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Α και Β. Το ω Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Δ Δ1. Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω= {1,,3,4,5,6,7,8,9} και τα ενδεχόμενα Α= {,3,4,5} και Β= {4,5,7,8}. Ι) να ορίσετε τα ενδεχόμενα Α Β, Α Β, Α, Β, Α- Β και Β Α. ΙΙ) Να υπολογίσετε τα Ν (Α), Ν(Β), Ν (Α Β) και Ν (ΑΒ) Μονάδες 13 Δ. Ένα κουτί περιέχει τρεις μπάλες, μία κόκκινη, μία μαύρη και μία άσπρη. Κάνουμε το εξής πείραμα: Παίρνουμε από το κουτί μια μπάλα και καταγράφουμε το χρώμα της. Στη συνέχεια παίρνουμε από τις δύο μπάλες που απέμειναν τη μία και καταγράφουμε και πάλι το χρώμα της. Να βρείτε: ι) τον δειγματικό χώρο του πειράματος, ιι) το ενδεχόμενο Α: << η πρώτη μπάλα να είναι μαύρη>>, ιιι) το πλήθος των στοιχείων του δειγματικού χώρου του πειράματος, καθώς και το πλήθος των στοιχείων του ενδεχομένου Α. Μονάδες 1

18 ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 0, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Γ ΛΥΚΕΙΟΥ... ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ... ΘΕΜΑ 1 Ο ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 011 Σε ένα δείγμα μεγέθους ν να αναφέρετε: α)τι ονομάζεται απόλυτη συχνότητα ν i της τιμής i μιας μεταβλητής Χ, β)τι ονομάζεται σχετική συχνότητα f i της τιμής i μιας μεταβλητής Χ, γ)τι εκφράζει γενικά η αθροιστική συχνότητα Ν i ; Να αποδείξετε ότι το f 1 + +f κ =1. ΘΕΜΑ Ο Δίνεται ο επόμενος πίνακας κατανομής συχνοτήτων μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ με τιμές 1,, 3, 4, 5. i ν i f i F i % ,8 5 0,18 Σύνολο α)να βρείτε το μέγεθος του δείγματος. β)να συμπληρώσετε τον παραπάνω πίνακα τοποθετώντας και τα στοιχεία των στηλών f i %, N i, F i.

19 ΘΕΜΑ 3 Ο Α. Να βρεθεί η μέση τιμή των παρατηρήσεων : Β. Αν γνωρίζουμε τις συχνότητες ή τις σχετικές συχνότητες των τιμών μιας μεταβλητής Χ, με ποιους τύπους υπολογίζουμε τη μέση τιμή τους; Γ. Με ποιον τύπο υπολογίζουμε τη μέση τιμή ενός συνόλου παρατηρήσεων ομαδοποιημένων σε κλάσεις; Δ. Μια επιχείρηση απασχολεί 300 άτομα. Οι 10 από αυτούς έχουν μέσο μισθό 1480 ευρώ το μήνα. Αν ο μέσος μηνιαίος μισθός και των 300 ατόμων είναι 1540 ευρώ, να βρείτε το μέσο μηνιαίο μισθό των υπολοίπων ατόμων που εργάζονται στην επιχείρηση. ΘΕΜΑ 4 Ο Α. Πως ορίζεται η διάμεσος ενός δείγματος ν παρατηρήσεων. Β. Να βρεθεί η διάμεσος για τις παρακάτω παρατηρήσεις α) β) Γ. Τι εκφράζει η διάμεσος ενός δείγματος; Δ. Τι ονομάζουμε εύρος ενός συνόλου παρατηρήσεων; ΘΕΜΑ 5 Ο Δίνονται οι παρακάτω τιμές μιας μεταβλητής Χ: Να υπολογίσετε: α) τη διακύμανση β) την τυπική απόκλιση γ) το συντελεστή μεταβολής. δ) Είναι το δείγμα ομοιογενές;

20 ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 0, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Γ ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ... ΘΕΜΑ 1 15 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 010 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Δίνεται η συνάρτηση f() 4 3. i.να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f. ii.να αποδειχθεί ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. iii.να βρεθούν τα ολικά ακρότατα της f. iv.να εξεταστεί αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Μ(1,1) και να λυθεί η ανίσωση f( ) 1. ΘΕΜΑ Να υπολογισθούν τα παρακάτω όρια: (α) lim (β) lim (γ) lim 1 3 (δ) 1 lim 1 3 ΘΕΜΑ Δίνεται η συνάρτηση f(), , 1 i.να υπολογισθεί το lim f(). 1 ii.να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η f να είναι συνεχής στο 0 1. ΔΙΑΡΚΕΙΑ: ΩΡΕΣ

21 ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 0, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Γ ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ... ΜΑΡΤΙΟΣ 010 ΘΕΜΑ 1 Ο 1 Έστω η συνάρτηση f. i. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ii. Να βρείτε το σύνολο των τιμών της f. iii. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της f. ΘΕΜΑ Ο Δίνεται η συνάρτηση 1 f e α. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία, την κυρτότητα και να βρείτε τα ακρότατα αυτής. β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. γ. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 1 a e για a e. ΘΕΜΑ 3 Ο Α. Έστω η συνάρτηση f () ln 1. της f. B. Δίνεται η συνάρτηση g Να λύσετε την εξίσωση 0 ln 1 ln 1. f και να βρείτε το πρόσημο i) Να μελετήσετε τη g ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ii) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η g είναι κυρτή ή κοίλη και τα σημεία καμπής της C g.

22 ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 0, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Γ ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ... ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 010 ΘΕΜΑ 1 Ο A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν η f είναι συνεχής στο και f () = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα. Β. Τι σημαίνει γεωμετρικά το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού; Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Έστω δύο συναρτήσεις f, g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι f, g είναι συνεχείς στο Δ και f () = g () για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε ισχύει f() = g() για κάθε Δ. β. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε Δ ή είναι αρνητική για κάθε Δ, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ. γ. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και δεν είναι αντιστρέψιμη, τότε υπάρχει κλειστό διάστημα [α, β], στο οποίο η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle. δ. Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της.

23 ΘΕΜΑ Ο Α. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : Να αποδείξετε ότι: για την οποία ισχύει 6 f 0 e f 3 e 3. α) υπάρχει ένα τουλάχιστον 1 0,3 τέτοιο, ώστε: f ' 1 3 f 1 β) υπάρχει ένα τουλάχιστον 0,3 τέτοιο, ώστε: f f ' 0 Β. Αν 0 a, να αποδείξετε ότι: a a a ea a e ΘΕΜΑ 3 Ο Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : αποδείξετε ότι:, 1,5, με 1, α) υπάρχουν 1 β) ισχύει ότι f 3 4, γ) η εξίσωση με f 1 f 5 4 f 3, f 3 0 f '' 1. Να ώστε f f f ' ' 3, 1 f 3 f 3 έχει μια τουλάχιστον λύση στο (0,3). ΘΕΜΑ 4 Ο Δίνεται συνάρτηση f : με συνεχή πρώτη παράγωγο και ο μιγαδικός αριθμός : z i z f 3 f 1 i για τον οποίο ο αριθμός w είναι πραγματικός. Να αποδείξετε ότι: z α) f f 3 1, β) υπάρχουν ώ f f 1,3, ' ', 1 1 γ) υπάρχει ώ f f 1,3, 1 1, δ) υπάρχουν 1 1, 1,3, ώ : f ' 1 f ' 1

24 ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 0, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Γ ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ... ΘΕΜΑ 1ο Α.1 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f(). Να αποδείξετε ότι: c f ' c f ' όπου c ο πραγματικός αριθμός. Μονάδες 6,5 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. ()() ' '() '() β. f (()) g ' ' f g ' g ' f f ' g g ' f γ. g() g f g f g f g, g 0 p p1 δ. ' p, p ό, 0 ε. ' στ. ' Μονάδες 6 Β1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τα γράμματα της στήλης Α και δίπλα σε κάθε γράμμα τον αριθμό της στήλης Β, που αντιστοιχεί στην σωστή απάντηση. Α Συνάρτηση f α. ln, 0 β., 0 3 γ. Β Πρώτη Παράγωγος Μονάδες 7,5

25 Β. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Αν f και f ' a 7, όπου α πραγματικός αριθμός τότε η τιμή του α είναι: 4 α.1β. γ. 3δ.4ε.6 ΘΕΜΑ Ο 1 Έστω f ( ) a. Η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(3,) και η εφαπτομένη της καμπύλης της f στο Α είναι παράλληλη στον. α) να βρείτε τις τιμές των α, β Μονάδες 10 β) για τις τιμές των α, β που βρήκατε να υπολογιστεί το lim f ( ) Μονάδες 7 γ) να δείξετε ότι δεν υπάρχει σημείο της καμπύλης της f ώστε η εφαπτομένη σε αυτό να είναι παράλληλη στην διχοτόμο της πρώτης γωνίας. Μονάδες 8 1 ΘΕΜΑ 3 Ο Να βρείτε τα α,β αν η εφαπτομένη της καμπύλης της συνάρτησης f ae 1 στο σημείο της Α(0,1) είναι παράλληλη στην ευθεία : y 1 και μετά την εξίσωση της εφαπτομένης. e 1 Δίνεται η συνάρτηση f. ΘΕΜΑ 4 Ο Α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία. Μονάδες 8 g a a a 3, a, R, να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f Β1. Αν και g έχουν την ίδια εφαπτομένη στο σημείο με τετμημένη 0 0, όταν a ή a 1 και 1. Μονάδες 10 Β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του προηγούμενου ερωτήματος. Μονάδες 3 Β3. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η εφαπτομένη αυτή με τους άξονες. Μονάδες 4

26 ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 0, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Γ ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ... ΘΕΜΑ 1 Ο α) f 1 β) Να βρείτε το όριο: 1 3 να βρεθεί το πεδίο ορισμού. Μονάδες 10 lim Μονάδες 15 ΘΕΜΑ Ο f i. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού ii. Να βρείτε το όριο: lim f Μονάδες 10 Μονάδες 15 ΘΕΜΑ 3 Ο 1 f i. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού ii. Να βρεθεί: f 3 (Με τον ορισμό) iii. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο Α(3,f (3)) Μονάδες 10 Μονάδες 10

27 f () 1 4 ΘΕΜΑ 4 Ο lim () f Να βρείτε το λ ώστε

28 ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 0, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Γ ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ... ΘΕΜΑ 1 Α. Για δυο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ενός δειγματικού χώρου Ω, να αποδείξετε ότι Ρ(Α ) = 1 Ρ(Α) ΜΟΝΑΔΕΣ 9 Β. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη ; MONAΔΕΣ 5 Γ. Να διατυπώσετε τον αξιωματικό ορισμό της πιθανότητας. Δ. Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α ώστε 1 4 f ' a 7 αν f ( ) 1 ΜΟΝΑΔΕΣ 6 ΜΟΝΑΔΕΣ 5 ΘΕΜΑ Έστω 1 f ( ) a. Η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(3,) και η εφαπτομένη της καμπύλης της f στο Α είναι παράλληλη στον. α) να βρείτε τις τιμές των α, β ΜΟΝΑΔΕΣ 10 β) για τις τιμές των α, β που βρήκατε να υπολογιστεί το lim f ( ) ΜΟΝΑΔΕΣ 7 γ) να δείξετε ότι δεν υπάρχει σημείο της καμπύλης της f ώστε η εφαπτομένη σε αυτό να είναι παράλληλη στην διχοτόμο της πρώτης γωνίας. ΜΟΝΑΔΕΣ 8 ΘΕΜΑ 3 Έχουμε 30 σφαίρες μέσα σε ένα δοχείο, αριθμημένες από το 1 εως το 30. Επιλέγουμε στη τύχη μια σφαίρα. Εστω Α το ενδεχόμενο ο αριθμός της σφαίρας να είναι άρτιος και Β το ενδεχόμενο ο αριθμός της σφαίρας να είναι πολλαπλάσιο του 5. Να υπολογιστούν οι πιθανότητες. α) Ρ(Α), Ρ(Β) ΜΟΝΑΔΕΣ 6 β) P( A B) ΜΟΝΑΔΕΣ 6 γ) P( A B ) ΜΟΝΑΔΕΣ 6 δ) P A ΜΟΝΑΔΕΣ 7 1

29 ΘΕΜΑ 4 Έστω η συνάρτηση f ( ) ( ) και τα σημεία της καμπύλης της f Α 1, Α,... Α 10 με τετμημένες 1,,. 10. α) Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα την f. ΜΟΝΑΔΕΣ 5 β) Αν για τις τετμημένες ισχύει ότι και s = 3 να βρείτε την μέση τιμή και την τυπική απόκλιση των τεταγμένων. ΜΟΝΑΔΕΣ 10 γ) Ποιο είναι πιο ομοιογενες το δείγμα των τετμημένων ή των τεταγμένων ; ΜΟΝΑΔΕΣ 10

30 ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 0, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Γ ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ... ΘΕΜΑ 1 Ο Α. Να δώσετε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού τους. Μονάδες 8 Β. α. Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της; 0 Μονάδες 4 β. Να δώσετε τον ορισμό της διαμέσου (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων, όταν ο ν είναι άρτιος αριθμός. Μονάδες 3 Γ1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Στην περίπτωση των ποσοτικών μεταβλητών, οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες Fi το ποσοστό των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής. i εκφράζουν Μονάδες β. Αν f, g είναι δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις, τότε για την παράγωγο της σύνθετης συνάρτησης ισχύει: f ( g( )) ' f ' g( ) g'( ). Μονάδες γ. Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν f ' 0 για a,, f '( ) 0 στο a, f '( ) 0 στο ( 0, ), τότε η f παρουσιάζει στο διάστημα, ελάχιστο. a για 0 Γ. Να γράψετε στο τετράδιό σας τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: v 1, f όπου ν φυσικός ln, f όπου 0, f όπου 0 3 και Μονάδες f, 4 όπου πραγματικός. Μονάδες 4

31 ΘΕΜΑ Ο 1 Δίνεται η συνάρτηση f. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. β). Να υπολογίσετε το όριο lim f ( ). 3 γ). Να βρεθεί η πρώτη παράγωγος της f. δ). Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης στην καμπύλη της f στο σημείο 1, f 1. Μονάδες 4 Μονάδες 4 Μονάδες 7 Μονάδες 10 ΘΕΜΑ 3 Ο Ένα προϊόν πωλείται σε 10 διαφορετικά καταστήματα στις παρακάτω τιμές, σε Ευρώ: 8,10,13,13,15,16,18,14,14,9 α) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή, τη διάμεσο και την επικρατούσα τιμή. β) Να υπολογίσετε το εύρος, την τυπική απόκλιση και τον συντελεστή μεταβολής. Μονάδες 6 Μονάδες 6 γ) Αν οι τιμές του προϊόντος σε όλα τα καταστήματα υποστούν έκπτωση 10%, να εξετάσετε αν θα μεταβληθεί ο συντελεστής μεταβολής. Μονάδες 13 ΘΕΜΑ 4 Ο Δίνεται η συνάρτηση f ln α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.

32 β) Να υπολογίσετε την παράγωγό της. γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα. Μονάδες 7 δ) Να υπολογίσετε το όριο: lim 1 f '( ) 3 1 Μονάδες 8

33 ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 0, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Γ ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ... ΘΕΜΑ 1 Ο α) Πότε μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; β) Πότε μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, λέγεται συνεχής; γ) Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο και πότε τοπικό ελάχιστο. δ) Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο σημείο χ 0 του πεδίου ορισμού της; Τι ονομάζουμε παράγωγο της f στο χ 0 ; Να υπολογίσετε τα όρια: ΘΕΜΑ Ο a)lim lim α) Να υπολογίσετε την παράγωγο της συνάρτησης: f 3 στο σημείο 0 1 ΘΕΜΑ 3 Ο β) Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης: g() 3 στο σημείο 0

34 ΘΕΜΑ 4 Ο Να συμπληρώσετε τον πίνακα: i vi f f % i i Ni F i F i % 1 0, ΣΥΝΟΛΟ