Γενικό Λύκειο Καρπενησίου

Γενικό Λύκειο Καρπενησίου Εργασία στη Γεωµετρία Θέµα: Τα κανονικά πολύγωνα στη Φύση, στην Τέχνη και στις Επιστήµες (α)τα πολύγωνα και οι πλακοστρώσεις του M.C. Escher (β) Ο υπερβατικός αριθµός π Καρπενήσι Μαθήτριες: Λαθύρη Μαρία Λάµπρου Φαίη Μπόνια Αρετή Τµήµα: Β2 Σχολικό Έτος: 2010-2011 1

Περιεχόµενα: Α Μέρος Βιογραφία:Maurits Comelis Escher (σελ.3) Έργα του Maurits Comelis Escher (σελ.5) Β Μέρος Ο υπερβατικός αριθµός π (σελ.7) Βιβλιογραφία (σελ.8) 2

Α. Γενικός τίτλος Τα κανονικά πολύγωνα στη Φύση, στην Τέχνη και στις Επιστήµες (α)τα πολύγωνα και οι πλακοστρώσεις του M.C. Escher Βιογραφία:Maurits Comelis Escher O Maurits Cornelis Escher γεννήθηκε στο Leeuwarden της Ολλανδίας στις 17 Ιουλίου του 1898. Ήταν το µικρότερο από τα τέσσερα παιδιά του George Arnold Escher και της δεύτερης γυναίκας του της Sara Gleichman. Το 1903 η οικογένεια µετακόµισε στο Άρνεµ και ο Escher έκανε µαθήµατα ξυλουργικής και πιάνου µέχρι τα δεκατρία του χρόνια. Μετά το γυµνάσιο γράφτηκε στη Σχολή Αρχιτεκτονικής και ιακόσµησης του Χάαρλεµ αλλά για πολύ λίγο ασχολήθηκε µε τις σπουδές στην αρχιτεκτονική. Με την ενθάρρυνση του δασκάλου του Samuel Jessurunde Mesquita ασχολήθηκε µε τις γραφικές τέχνες και το 1922 αφήνει τη σχολή έχοντας αποκτήσει εµπειρία στο σχέδιο και στην ξυλογραφία. Πήγε στη Γαλλία κι από κει στην Ισπανία όπου επισκέφτηκε την Alhambra, ένα παλάτι των Μαυριτανών του 13 ου αιώνα, στη Γρανάδα και το µουσουλµανικό τέµενος της Κόρδοβα. Εκεί έρχεται σε επαφή µε τη διακοσµητική δεξιοτεχνία των καλλιτεχνών του Ισλάµ, εντυπωσιάζεται και εµπνέεται από τα µαυριτανικά µωσαϊκά και τα γεωµετρικά µοτίβα που διακοσµούσαν τους τοίχους των κτιρίων του παλατιού. Ταξιδεύει στην Ιταλία κι εκεί γνωρίζει την γυναίκα του Jetta Umiker, µε την οποία απέκτησαν τρεις γιους. Μετά το γάµο τους το 1924, εγκαθίστανται στην Ρώµη και µένουν εκεί µέχρι το 1935. Κατά την διάρκεια αυτών των 11 χρόνων ταξιδεύει στην Ιταλία και εµπνέεται από τα πανέµορφα τοπία της. Αυτή την περίοδο στο έργο του κυριαρχεί η ορατή πραγµατικότητα δηλαδή αυτά που παρατηρεί στον κόσµο γύρω του. Εξαιτίας των πολιτικών και κοινωνικών εξελίξεων στην χώρα αποφασίζουν να φύγουν για την Ελβετία, όπου µένουν για 2 χρόνια. Ο Έσερ νοιώθει δυστυχισµένος και του λείπει η ιταλική ύπαιθρος. Τα έργα του της ιταλικής περιόδου και κυρίως τα σκίτσα του αποτελούν υλικό που χρησιµοποιεί στην µετέπειτα δουλειά του. Τα χρόνια που έζησαν στην Ελβετία και κατά την διάρκεια του Β παγκοσµίου πολέµου φιλοτεχνεί 62 έργα. Το 1936 επιστρέφει στην Alhambra. Η δεύτερη αυτή επίσκεψή του σήµανε την αρχή της πλήρους αλλαγής στο στυλ και στα θέµατά του. Τα γεωµετρικά σχέδια των Μαυριτανών που για θρησκευτικούς λόγους είχαν παντελή απουσία κάθε έµψυχης µορφής, τον ενθουσιάζουν και τον προσελκύουν αφάνταστα. Θεωρητικά αυτά τα σχέδια θα µπορούσαν να συνεχίζονται ως το άπειρο. Ο Escher ήθελε να δώσει ζωή σε αυτά τα αφηρηµένα σχέδια χρησιµοποιώντας ζώα κυρίως πουλιά και ψάρια, φυτά και ανθρώπους γιατί η επίδραση από κάτι γνώριµο του φαινόταν πιο δυνατή. Το 1937 µετακοµίζουν στο Ukkel µια µικρή πόλη κοντά στις Βρυξέλλες και τελικά το 1941 επιστρέφουν στην Ολλανδία και µένουν στο Baarn µέχρι το 1970. Παρόλο που στα προηγούµενα χρόνια είχε κινηθεί κατά διαστήµατα προς αυτή την κατεύθυνση από το 1937 συγκεντρώνεται στις επινοήσεις της δικής του φαντασίας και ερευνά εντατικά τεκµηριωµένο, εικονογραφικό υλικό από διάφορες έρευνες για τα µαθηµατικά και την κρυσταλλογραφία. Τα συµπεράσµατα των γεωµετρών και των 3

κρυσταλλογράφων θα τα χαρακτηρίσει ανοικτή πόρτα των µαθηµατικών και θα αναγνωρίσει την εξαιρετική επίδρασή τους στο έργο του. Από αυτή την περίοδο έχει σαν βάση ένα γεωµετρικό σχέδιο (ένα τρίγωνο, ένα κύκλο, µία σπείρα ή µία σφαίρα, ένα πολύγωνο ή ένα πολύεδρο), χρησιµοποιεί οπτικές αντιφάσεις και τα χαρακτικά του έχουν να κάνουν µε τον άπειρο χρόνο και χώρο, τις συµµετρίες, τους δακτυλίους και τις σπείρες στο χώρο, τις αντανακλώµενες εικόνες, τις αντιστροφές, τις περιστροφές, τις σχετικότητες, τη σύγκρουση µεταξύ του επιπέδου και του χώρου. Το έργο όµως που τον έκανε πασίγνωστο ήταν η συστηµατική διαίρεση του επιπέδου και οι περίφηµες πλακοστρώσεις του. Ένα έργο στο οποίο υπερέχει η καθαρή γεωµετρία. Παρόλο που ο Escher δεν είχε καµία επίσηµη κατάρτιση µαθηµατικών, και δεν τα είχε κατανοήσει βαθιά, δηµιουργεί ένα έργο τέχνης που στηρίζεται σε πολλές µαθηµατικές αρχές. Αναπτύσσει τη δική του θεωρία για τις πλακοστρώσεις στο επίπεδο, την οποία ο ίδιος χαρακτηρίζει ερασιτεχνική, µιας και διαφέρει από τις αυστηρές θεωρήσεις των γεωµετρών και τα γεωµετρικά σχέδια που χρησιµοποιεί, τα οποία δείχνουν να µην έχουν αρχή ή τέλος, σταδιακά εξελίσσονται σε µορφές ή το αντίστροφο. Στις πλακοστρώσεις του τα πλακίδια µπορεί να είναι πολυγωνικά, κυρτά ή µη ή να έχουν οποιοδήποτε περίγραµµα. Χρησιµοποιεί διάφορους µετασχηµατισµούς συµµετρίας, περιστροφές και µεταθέσεις επαναλαµβάνοντας τις µορφές του και µάλιστα σε κάποια έργα του όλο και σε µικρότερες κλίµακες, για να µεταβιβάσει την αίσθηση του απείρου. Η έννοια του δυισµού, που είναι θεµελιώδης στη γεωµετρία και βασίζεται στη διαπίστωση της συµµετρικής συµπεριφοράς θεµελιωδών γεωµετρικών αντικειµένων, είναι διάχυτη στο έργο του κυρτός κοίλος, σκοτάδι φως, πάνω κάτω, και συχνά καλός κακός τη µεταφυσική πτυχή της δυαδικότητας. Στις 30 Απριλίου του 1955 χρίζεται ιππότης του τάγµατος Orange-Nassau ως µια αναγνώριση της προσφοράς του στις τέχνες. Οι πιο γνωστές δηµιουργίες του είναι από αυτή την περίοδο. Επίσης κάνει οµιλίες σε διάφορες διοργανώσεις αν και λόγω κάποιων προβληµάτων υγείας, αναγκάζεται να διακόψει τις δραστηριότητες του προσωρινά. Από το 1970 µένει στο Rosa-Srier στο Laren, σ ένα σπίτι για καλλιτέχνες κι εκεί έχει τη δυνατότητα να έχει το δικό του στούντιο. Πέθανε στις 27 Μαρτίου 1972 σε ηλικία 73 χρονών. Λίγοι ήξεραν ότι ο Escher θα γινόταν ένας διάσηµος καλλιτέχνης και θα δηµιουργούσε ένα εµπνευσµένο έργο που πάντρευε τον κόσµο της τέχνης και των µαθηµατικών. Στην εποχή του το έργο του εκτιµήθηκε από µαθηµατικούς παρά από οµότεχνούς του. Τα πιο διάσηµα έργα του είναι τα αποκαλούµενα «αδύνατες δοµές» όπως τα «Ascending and Descending», «Relativity», τα «Transformation Prints» του ή τα «Metamorphosis I», «Metamorphosis II», «Metamorphosis III», «Sky & Water I» και «Reptiles» αλλά κατά την διάρκεια της ιταλικής περιόδου δηµιουργεί και ρεαλιστικά έργα, όπως το Castrovalva. Συνολικά έκανε 448 λιθογραφίες, ξυλογραφίες και ξυλογλυπτικές, και πάνω από 2000 σχέδια και σκίτσα. Επίσης, εικονογράφησε βιβλία, σχεδίασε τάπητες, γραµµατόσηµα και τοιχογραφίες. 4

Έργα του Maurits Comelis Escher Τα Ερπετά Μία πολύ όµορφη και χιουµοριστική λιθογραφία µε κανονική εξαγωνική πλακόστρωση, µας δείχνει µια παιχνιδιάρικη µετάβαση ενός πράγµατος από µία διάσταση σε άλλη. Από το µονοδιάστατο επίπεδο στο τρισδιάστατο πραγµατικό αντικείµενο. Το έργο Μεταµόρφωση II είναι ένας πίνακας που χρησιµοποιεί στενόµακρες λωρίδες αλλά λόγω της συµµετρίας των δύο άκρων του µας δίνει την αίσθηση ενός κύκλου. Ένα σταυρόλεξο που µετατρέπεται σε σκακιέρα, σε ερπετό, σε κυψέλη, σε µελίσσι, σε πουλιά, σε ψάρια, σε πόλη, σε σκακιέρα και καταλήγει πάλι σε σταυρόλεξο, µε κύρια τεχνική τη συστηµατική διαίρεση του επιπέδου. 5

Το Ηµέρα και Νύχτα µία ξυλογραφία που χρησιµοποιεί τη συµµετρία σε άξονα, στη συστηµατική διαίρεση του επιπέδου. Σταδιακά η αυστηρή γεωµετρία υποχωρεί σε ένα ακανόνιστο µωσαϊκό και το τοπίο χάνεται στο βάθος του ορίζοντα Σχέδια µε επιρροές από την Alhambra 6

Β. Ο υπερβατικός αριθµός π «Όλοι οι αριθµοί είναι ενδιαφέροντες, µερικοί όµως είναι πιο ενδιαφέροντες από τους άλλους και το π είναι ο πιο ενδιαφέρων από όλους» [Ίαν Στιούαρτ, καθηγητής των Μαθηµατικών στο Πανεπιστήµιο τού Warwick] Το περίεργο είναι ότι το π είναι ταυτοχρόνως άρρητος και υπερβατικός αριθµός. Άρρητος σηµαίνει ότι δεν µπορεί να εκφραστεί ως ο λόγος δύο ακεραίων αριθµών, πράγµα που αποδείχθηκε το 1761 από Johann Heinrich Lamber, ενώ το ότι είναι υπερβατικός όπως αποδείχθηκε από τον Ferdinand von Lindemann) το 1882 σηµαίνει ότι δεν υπάρχει πολυώνυµο µε ρητούς συντελεστές του οποίου να αποτελεί ρίζα το π. Μια σηµαντική συνέπεια της υπερβατικότητας του π είναι το γεγονός ότι δεν είναι κατασκευάσιµο. Αποτελεί τη ζωντανή απόδειξη ότι δεν µπορούµε να τετραγωνίσουµε τον κύκλο. εν µπορεί δηλαδή κανείς, χρησιµοποιώντας µόνον έναν κανόνα και έναν διαβήτη, να κατασκευάσει ένα τετράγωνο που να έχει ακριβώς το ίδιο εµβαδόν µε έναν δεδοµένο κύκλο. Εποµένως, η µαθηµατική σταθερά π είναι ένας πραγµατικός αριθµός που µπορεί να οριστεί ως ο λόγος του µήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάµετρό του στην Ευκλείδεια γεωµετρία, και ο οποίος χρησιµοποιείται πολύ συχνά στα µαθηµατικά, τη φυσική και τη µηχανολογία Η εύρεση τής ακριβούς τιµής του είναι αδύνατη, διότι τα δεκαδικά ψηφία του συνεχίζονται επ' άπειρον. Πολλές ιστοσελίδες δίνουν το π µε πολλά δεκαδικά ψηφία. Και ενώ τα δεκαδικά του π έχουν υπολογιστεί σε περισσότερα από πέντε τρισεκατοµµύρια (5*10 12 ) σε πρακτικές εφαρµογές κανένας δεν χρειάζεται περισσότερα από µια ντουζίνα. Τα πρώτα 50 δεκαδικά ψηφία του π είναι: 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 Ο Αρχιµήδης θεωρείται ότι ήταν ο πρώτος που προσέγγισε τον υπολογισµό τού π σε µία πιο θεωρητική βάση. Έτσι, είναι γνωστό και ως η σταθερά τού Αρχιµήδους. Κινέζοι, Ινδοί και Πέρσες σοφοί προσπάθησαν όλοι να υπολογίσουν τη σταθερά αυτή. Ωστόσο, το όνοµα µε την οποία την γνωρίζουµε σήµερα τής δόθηκε το 1706, όταν ο Ουαλλός µαθηµατικός Γουίλιαµ Τζώουνς πρότεινε να ονοµαστεί η σταθερά τού Αρχιµήδους µε το ελληνικό γράµµα π, από τη λέξη «περιφέρεια». Για τη διευκόλυνση τής αποµνηµόνευσης µέρους τού αριθµού π θα συναντήσει κανείς σε πολλές γλώσσες στιχάκια στα οποία ο αριθµός γραµµάτων κάθε λέξης συµπίπτει µε τα πρώτα δεκαδικά ψηφία τού π, ένα προς ένα. Στα ελληνικά επινοήθηκε από τον Ν. Χατζιδάκη (1872-1942) καθηγητή Μαθηµατικών στο Πανεπιστήµιο Αθηνών, τετράστιχο που προσπαθεί να περιγράψει τον π: Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωµετρεί, το κύκλου µήκος ίνα ορίση διαµέτρω, παρήγαγεν αριθµόν απέραντον, καί όν, φεύ, ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι 7

Βιβλιογραφία http://atlaswikigr.wetpaint.com/page/σταµπολίδου+θεοδώρα (πρόσβαση 14/4/2011) http://el.wikipedia.org/wiki/%ce%91%cf%81%ce%b9%ce%b8%ce%bc%cf%8c %CF%82_%CF%80 http://www.inews.gr/116/i-stathera-tou-archimidous---o-arritos-kai-ypervatikos-arithmosp-314.htm http://www2.e-yliko.gr/htmls/ekdiloseis/escher.aspx Κείµενο αφήγησης 8