ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o A. Θεωρία σελ. 7 Β. Θεωρία σελ. 47 Γ. α. Σωστό β. Σωστό γ. Σωστό δ. Λάθος (βρίσκεται "κάτω" από τη γραφική παράσταση) ε. Λάθος (π.χ. () στο (, )) ΘΕΜΑ ο α. w z iz + 4 (α + βi) i(α + βi) + 4 (α + βi) i(α βi) + 4 α + βi αi β + 4 α β (β α)i. Άρα: Re(w)α β+4, Ιm(w)β α. β. Για να κινούνται οι εικόνες του z στην ευθεία µε εξίσωση y πρέπει να ισχύει : βα Όµως οι εικόνες του w στο µιγαδικό επίπεδο κινούνται στην ευθεία µε εξίσωση y, οπότε ισχύει : β α α β + 4 β + β α + α 8 4β 4α 8 β α γ. ος τρόπος Εάν z α + βi τότε z α + β. Εφόσον ζητάµε ο z να έχει ελάχιστο µέτρο αρκεί ο το z να γίνει ελάχιστο. Όµως οι εικόνες του z κινούνται πάνω στην ευθεία µε εξίσωση y, οπότε β α και z α + (α ) i. Άρα z α + β α + (α ). Έστω η συνάρτηση : () + ( ) () () 4 + 4, α IR Είναι : () 4 4 και έχουµε τον διπλανό πίνακα : Η παρουσιάζει ελάχιστο στο που είναι () Επειδή z (α), ο µιγαδικός µε το ελάχιστο µέτρο είναι αυτός που προκύπτει για α, δηλαδή z i

2 ος τρόπος y ε: y- Εάν M (α,β) είναι η εικόνα του µιγαδικού z τότε το z (OM) και Μ σηµείο της ευθείας y. Εφόσον ζητείται το ΟΜ να γίνει ελάχιστο πρέπει το ΟΜ να είναι κάθετο στην ευθεία y. - Μ Ο ζητούµενος µιγαδικός είναι το κοινό σηµείο των ευθειών ε και ΟΜ. λ ε και επειδή ε ΟΜ είναι λομ λ ε λομ. Άρα ΟΜ : y. Οπότε : άρα z i y ΘΕΜΑ ο Έστω η συνάρτηση () α. Η είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο IR ως πολυωνυµική µε 4 () > για κάθε IR, οπότε η είναι γνησίως αύξουσα στο IR. () + 6 ( + ) και είναι : () > ( + ) > > (αφού + > για κάθε IR ) () < ( + ) < < Οπότε η είναι κοίλη στο (, ] και κυρτή στο [, + ). Επίσης έχει σηµείο καµπής το (, ). Για να είναι η αντιστρέψιµη πρέπει να είναι -. Επειδή είναι γνησίως αύξουσα τότε θα είναι και - (Σχολικό Βιβλίο σελ. 5) β. Έστω η συνάρτηση g() e (+ ), IR Η g είναι παραγωγίσιµη στο IR µε g () e και g () e e, g () > e > e > > και g () < e < e < < Από τον πίνακα προσήµου φαίνεται ότι η g έχει ολικό ελάχιστο για το g(). Οπότε: g() g() e (+ ) e + για κάθε IR. Οπότε: e + (e ) (+ )

3 γ. Γνωρίζουµε ότι ο άξονας συµµετρίας των γραφικών παραστάσεων της και της είναι η ευθεία y. H εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της στο σηµείο (,) είναι : y () ()( ) y ( ) y, αφού () και () δ. ος τρόπος Θα βρούµε τα κοινά σηµεία της C µε τον. Εφόσον το (,) είναι πάνω στον άξονα συµµετρίας y άρα είναι σηµείο των C και C. ηλαδή η C τέµνει τον στο (,). εν υπάρχει άλλο κοινό σηµείο της C µε τον, γιατί η είναι -. Οπότε το ζητούµενο εµβαδόν είναι : E (y) dy Η και η έχουν το ίδιο είδος µονοτονίας, άρα και η γνησίως αύξουσα στο IR. Για y (y) () (y), οπότε E (y) dy. Θέτουµε 4 (y) () y y + + και dy (5 + + ) d 4 Για y + + ( + + ) και για y (Σχήµα Horner) 4 ( )( ) (*) Άρα : E (y) dy ( ) d (5 + + ) d τ.µ ος τρόπος y O y E C E C - Οι είναι C και C είναι συµµετρικές ως προς την ευθεία y. Εποµένως το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την C, τον άξονα και την ευθεία είναι ίσο µε το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την C τον άξονα y y και την ευθεία y. H είναι κυρτή στο [, + ) οπότε η C είναι πάνω από την εφαπτοµένη y, ενώ η συµµετρική C είναι κάτω από την y. Τα κοινά σηµεία των και y είναι: () (Σχήµα Horner) 4 ( )( ) (*) Οπότε το ζητούµενο εµβαδόν είναι : C

4 [ ( + + ) ] d ( + ) d E () d ( ()) d τ.µ * Σηµείωση Η εξίσωση έχει µοναδική λύση την γιατί η είναι - και εποµένως κάθε οριζόντια ευθεία, συνεπώς και η y τέµνει τη C σε µοναδικό σηµείο. ΘΕΜΑ 4ο α. Έστω (χωρίς βλάβη της γενικότητας) ότι γ < δ Τότε στο διάστηµα [γ,δ] ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Bolzano για την, οπότε υπάρχει ένα τουλάχιστον (γ,δ) (α,β) µε ( ), άρα στο (α,β) η εξίσωση () έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα (α,β). β. Η είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο (α,β) και α β Εποµένως αφού (α) ( ) (β) στα διαστήµατα [ α, ] και [,β] ισχύουν για την οι προϋποθέσεις του Θ. Rolle άρα υπάρχουν (α, ) και (,β). Από το Θ.Μ.Τ. του διαφορικού λογισµού στα διαστήµατα [α,γ] και [δ,β] έχουµε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (γ) (α) (γ) κ (α,γ) µε (κ ) και γ α γ α α κ γ δ κ β (β) (δ) (δ) κ (δ,β) µε (κ ) β δ β δ Οπότε : (γ)(δ) (κ ) (κ ) >. (γ α)(β δ) Επειδή (α, ) < κ Εφαρµόζοντας το Θ.Μ.Τ. για την στο [,κ ] υπάρχει ξ (,κ ) τέτοιο ώστε (κ ) ( ) (κ ) (ξ ) κ κ Όµοια εφαρµόζοντας το Θ.Μ.Τ. για την στο [ κ, ] υπάρχει ξ (κ, ) τέτοιο ώστε ( ) (κ ) (κ ) (ξ ) κ κ (κ ) (κ ) Άρα : (ξ ) (ξ ) < (κ )( κ )

5 Η τελευταία δηλώνει ότι οι (ξ ), (ξ ) είναι ετερόσηµες και χωρίς βλάβη, µπορούµε να θεωρήσουµε (ξ )< και (ξ )>. γ. Από το β ερώτηµα, εφαρµόζοντας το Θ. Bolzano για την στο [ ξ,ξ ] έχουµε : Η είναι συνεχής στο [ ξ,ξ ] (α,β) οπότε υπάρχει ένα τουλάχιστον (ξ,ξ ) τέτοιο ώστε ( ). Το σηµείο θα ήταν σηµείο καµπής της συνάρτησης εφόσον η άλλαζε πρόσηµο εκατέρωθεν αυτού. Όµως κάτι τέτοιο δεν εξασφαλίζεται από τα δεδοµένα του θέµατος. Έπρεπε να δοθεί στα δεδοµένα να δειχθεί ότι υπάρχει ΠΙΘΑΝΟ σηµείο καµπής της γραφικής παράστασης της.