Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για να ξεκινήσετε
Περιεχόμενα 6.1 Ορισμός Διπλού Ολοκληρώματος Βασικοί Τρόποι Υπολογισμού 6.2 Εφαρμογές του Διπλού Ολοκληρώματος 6.3 Αλλαγή Μεταβλητών στα Διπλά Ολοκληρώματα 6.4 Ασκήσεις 2
Προσδοκώμενα Αποτελέσματα Στην ενότητα αυτή θα μάθετε για: Βασικούς τρόπους επίλυσης διπλών ολοκληρωμάτων, Εφαρμογές των διπλών ολοκληρωμάτων, Επίλυση διπλών ολοκληρωμάτων με αλλαγή μεταβλητών. 3
6.1 Ορισμός Διπλού Ολοκληρώματος Βασικοί Τρόποι Υπολογισμού 4
Τρόποι Υπολογισμού Διπλού Ολοκληρώματος Το βασικό πρόβλημα εδώ είναι ο τρόπος υπολογισμού του διπλού ολοκληρώματος. Ανάλογα με το σχήμα του (τ) διακρίνουμε: Α) Θεώρημα Fubini (ή θεώρημα διαδοχικής ολοκληρώσεως): Ο τόπος τ είναι ορθογωνικός με σύνορα παράλληλα στους άξονες x, y. Τότε αυτός περικλείεται από τα ζεύγη των ευθειών: Ισχύει: 5
Τρόποι Υπολογισμού Διπλού Ολοκληρώματος Υπολογίζουμε δηλαδή πρώτα το ολοκλήρωμα της παρένθεσης με μεταβλητή ολοκλήρωσης την y και όρια γ, δ. Κατά την ολοκλήρωση αυτή το x παραμένει σταθερό. Έτσι το ολοκλήρωμα της παρένθεσης είναι μια συνάρτηση μόνο του x, αφού μετά τον υπολογισμό, το y αντικαθίσταται με γ, δ. Κατόπιν υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα από x=α μέχρι x=β της συνάρτησης του x που προέκυψε και έχουμε το τελικό αποτέλεσμα. Ανάλογα, έχουμε Εδώ υπολογίζουμε πάλι πρώτα την παρένθεση. Κατά την ολοκλήρωση αυτή, όπου το y παραμένει σταθερό, προκύπτει συνάρτηση του y, την οποία ολοκληρώνουμε από y=γ έως y=δ. Από τους δύο τρόπους επιλέγουμε εκείνο που οδηγεί πιο σύντομα στο αποτέλεσμα (και είναι και ο πιο εύκολος) 6
Τρόποι Υπολογισμού Διπλού Ολοκληρώματος Στην ειδική περίπτωση που η ολοκληρωτέα συνάρτηση γράφεται σαν γινόμενο των συναρτήσεων f(x), g(x): τότε είναι: δηλαδή γινόμενο ολοκληρωμάτων μιας μεταβλητής. Β) Ο τόπος τ είναι «κανονικός ως προς x», δηλαδή περικλείεται από τις ευθείες x=α, x=β και τις y 1 (x), y 2 (x) όπως φαίνεται σε καθένα από τα σχήματα. (Ακριβέστερα: Κάθε ευθεία παράλληλη στον άξονα y τέμνει το σύνορο του (τ) το πολύ σε δύο σημεία). 7
Τρόποι Υπολογισμού Διπλού Ολοκληρώματος Ισχύει: (y 1 (x) το κάτω σύνορο και y 2 (x) το άνω). Υπολογίζουμε δηλαδή πρώτα το ολοκλήρωμα της παρένθεσης κρατώντας το x σταθερό και με όρια y 1 (x), y 2 (x). Την συνάρτηση ως προς x που προκύπτει ολοκληρώνουμε με όρια a, b. 8
Τρόποι Υπολογισμού Διπλού Ολοκληρώματος Ανάλογα για καθένα από τους τόπους (κανονικοί ως προς y), έχουμε: όπου x 1 (y) το αριστερά σύνορο και x 2 (y) το δεξιά. 9
Παράδειγμα 1 (1/3) Στο διπλό ολοκλήρωμα να γραφούν τα όρια ολοκληρώσεως με δύο τρόπους, αν η περιοχή (τ) περιορίζεται από τις ευθείες Λύση: Σχεδιάζουμε την περιοχή ολοκληρώσεως (τ) Θεωρούμε σταθερά τα όρια ως προς τη μεταβλητή x 10
Παράδειγμα 1 (2/3) Τότε στο διάστημα [-1,0] το y μεταβάλλεται από την ευθεία y=-x-1 ως την ευθεία y= x+1. Στο διάστημα [0,1] το y μεταβάλλεται από την ευθεία y=x-1 ως την ευθεία y= -x+1. Συνεπώς έχουμε 11
Παράδειγμα 1 (3/3) Αναλογικά, θεωρώντας σταθερά τα όρια ολοκλήρωσης ως προς τη μεταβλητή y, έχουμε 12
Παράδειγμα 2 (1/2) Να γίνει αλλαγή της διατάξεως (σειράς) ολοκληρώσεως στα ολοκληρώματα Λύση: Η περιοχή ολοκληρώσεως Δ ορίζεται από το σύνολο των σημείων (x,y) για τα οποία Σχεδιάζουμε την περιοχή Δ με βάση τις παραπάνω ανισώσεις 13
Παράδειγμα 2 (2/2) Θεωρώντας τα όρια ολοκληρώσεως σταθερά ως προς y είναι απαραίτητο να χωρίσουμε την περιοχή Δ σε δύο περιοχές όπου το x μεταβάλλεται από x=y μέχρι x=2. Έτσι έχουμε: 14
Έλεγχος Αν αμφιβάλουμε και θέλουμε να ελέγξουμε αν έγινε σωστά η αλλαγή, θέτουμε f(x,y)=1 και υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα και στους δύο όρους. Πράγματι: Συνεπώς που δηλώνει ότι έγινε σωστά η αλλαγή ολοκληρώσεως. 15
Παράδειγμα 3 (1/3) Να υπολογισθεί το διπλό ολοκλήρωμα όπου (τ) ο τόπος του επιπέδου που περικλείεται από τις ευθείες: Λύση: Η ευθεία x=α είναι κάθετη στον άξονα x στο x=α, ενώ η ευθεία y=β είναι κάθετη στον άξονα y στη θέση y=β. Έτσι σχεδιάζουμε τον τόπο (τ) όπως φαίνεται στο σχήμα, που είναι ορθογωνικός με σύνορα παράλληλα στους άξονες. 16
Παράδειγμα 3 (2/3) Άρα εφαρμόζουμε μια από τις σχέσεις: ή π.χ την πρώτη: Υπολογίζουμε πρώτα το ολοκλήρωμα ως προς y (κρατώντας σταθερό το x): 17
Παράδειγμα 3 (3/3) Με αντικατάσταση στη σχέση (1) βρίσκουμε: 18
Παράδειγμα 4 (1/4) Να υπολογισθεί το διπλό ολοκλήρωμα της συνάρτησης στον τόπο (τ) που περικλείεται από τις γραμμές: Λύση: Αρχικά σχεδιάζουμε τον τόπο (τ): Η ευθεία x=α είναι κάθετη στον άξονα x στη θέση x=α. Έτσι, σχεδιάζουμε τις ευθείες x=1, x=3. Για την ευθεία y=2x αρκεί να βρούμε δύο σημεία. Δίνουμε δύο (αυθαίρετες) τιμές στο x και βρίσκουμε αντίστοιχα y: Για x=0 είναι y=0, ενώ για x=1 βρίσκουμε y=2. Έτσι η ευθεία y=2x καθορίζεται από τα σημεία Κ(0,0), Α(1,2). 19
Παράδειγμα 4 (2/4) Όμοια, η ευθεία y=4x καθορίζεται από τα σημεία Κ(0,0), Β(1,4). Ο τόπος είναι «κανονικός ως προς x», αφού έχει σύνορα τις ευθείες x=1, x=3 κάθετες στον άξονα x. Κλείνει πάνω από την y 2 (x)=4x και κάτω από την y 1 (x)=2x. Εφαρμόζουμε την σχέση: 20
Παράδειγμα 4 (3/4) Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα της παρένθεσης (το x σταθερό): 21
Παράδειγμα 4 (4/4) Η σχέση (1) γράφεται τώρα: 22
Παράδειγμα 5 (1/4) Δίνεται το ολοκλήρωμα A. Να υπολογιστεί ο τόπος ολοκλήρωσης. B. Να υπολογισθεί η τιμή του. C. Να δειχθεί ότι: Λύση: A. Προηγείται η ολοκλήρωση ως προς y (καθώς φαίνεται από την (1)) και ακολουθεί ολοκλήρωση ως προς x με σταθερά άκρα. Πρόκειται δηλαδή για διπλό ολοκλήρωμα σε τόπο (τ) που είναι «κανονικός ως προς x», με σύνορα τις ευθείες x=0, x=1. 23
Παράδειγμα 5 (2/4) Ο τόπος κλείνει πάνω με την γραμμή y=x και κάτω με την y=x 2, όπως φαίνεται από την (1). Προκύπτει ο τόπος που φαίνεται στο σχήμα. B. Ο υπολογισμός του ολοκληρώματος γίνεται κατά τα γνωστά: 24
Παράδειγμα 5 (3/4) C. Παρατηρούμε ότι ο τόπος (τ) είναι και «κανονικός ως προς y». Περιορίζεται από τις ευθείες y=0, y=1. Τις εξισώσεις των δύο άλλων συνόρων λύνουμε ως προς x, οπότε βρίσκουμε Άρα 25
6.2 Εφαρμογές του Διπλού Ολοκληρώματος 26
Εφαρμογές Στα επόμενα υποθέτουμε ότι (τ) είναι ένα χωρίο στο επίπεδο x,y και ότι δ(x,y) είναι η επιφανειακή πυκνότητα μάζας, η μάζα, δηλαδή, ανά μονάδα επιφάνειας. Εφαρμογή 1: Το εμβαδό του τόπου (τ) δίνεται από τη σχέση Εφαρμογή 2: Η μάζα του τόπου (τ) δίνεται από τη σχέση 27
Εφαρμογές Εφαρμογή 3: Οι συντεταγμένες του κέντρου μάζας του τόπου (τ) είναι: Εφαρμογή 4: Ροπές αδράνειας του (τ). Ως προς τους άξονες: Ως προς την αρχή Ο των αξόνων (πολική ροπή αδράνειας): 28
Εφαρμογές Εφαρμογή 5: Αν (τ) είναι η προβολή της επιφάνειας S στο επίπεδο ΟΧΥ τότε ο όγκος V ανάμεσα στην επιφάνεια S και την προβολή της (τ) στο επίπεδο ΟΧΥ είναι: Εφαρμογή 6: Αν (τ) είναι η προβολή στο επίπεδο x,y της επιφάνειας S με εξίσωση z=z(x,y), τότε το εμβαδό της S είναι: Όπου z=z(x,y) είναι η εξίσωση της επιφάνειας. 29
Παράδειγμα 1 (1/2) Να προσδιοριστεί ο όγκος του στερεού που έχει τις έδρες του στο επίπεδο και στα αξονικά επίπεδα (xy), (yz), (xz)(δηλαδή τα επίπεδα z=0, x=0, y=0 αντίστοιχα). Λύση: Ο ζητούμενος όγκος του στερεού θα δίνεται από το παρακάτω διπλό ολοκλήρωμα όπου είναι η περιοχή ολοκλήρωσης που αποτελεί βάση του στερεού στο επίπεδο και δίνεται από το σύνολο: 30
Παράδειγμα 1 (2/2) Έτσι έχουμε: 31
Παράδειγμα 2 (1/2) Να υπολογισθεί ο όγκος του στερεού που περικλείεται από τα επίπεδα z=0 (xy-επίπεδο), y=0 (xz-επίπεδο), x=1, y=x και z-x-y=1. Λύση: Στο σχήμα φαίνονται το στερεό και η περιοχή D στο xyεπίπεδο 32
Παράδειγμα 2 (2/2) Επομένως και ο όγκος του στερεού είναι: 33
6.3 Αλλαγή Μεταβλητών στα Διπλά Ολοκληρώματα 34
Εισαγωγή Στην περίπτωση του απλού ολοκληρώματος ο τύπος αλλαγής μεταβλητής δίνεται από την ισότητα όπου η x=φ(t) έχει συνεχή παράγωγο στο διάστημα Ι=[γ,δ] με α=φ(γ) και β=φ(δ). Όταν φ (t) 0 στο Ι, τότε η φ(t) είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα στο Ι. Αν φ (t)>0, τότε η φ είναι γνησίως αύξουσα και α<β, οπότε η ισότητα (*) γράφεται Αν φ (t)>0, τότε η φ είναι γνησίως αύξουσα και α>β, οπότε η ισότητα (*) γράφεται 35
Εισαγωγή Επομένως, στην περίπτωση του απλού ολοκληρώματος, όταν φ (t) 0 ο τύπος αλλαγής της μεταβλητής (Ολοκλήρωση με αντικατάσταση) είναι Στην περίπτωση του διπλού ολοκληρώματος ισχύει ανάλογος τύπος αλλαγής μεταβλητών. 36
Θεώρημα Αλλαγής Μεταβλητών στο Διπλό Ολοκλήρωμα Δίνεται ο μετασχηματισμός F Φ( 2, 2), με συνεχείς παραγώγους στο ανοιχτό σύνολο G 2, οποίος δίνεται από τις εξισώσεις και D συμπαγές υποσύνολο του G, του οποίου το σύνορο D είναι κατά τμήματα λεία καμπύλη. Αν ο μετασχηματισμός F είναι αμφιμονοσήμαντος στο D, η ιακωβιανή και η συνάρτησηf(x,y) είναι συνεχής στο F(D) τότε ισχύει 37
Θεώρημα Αλλαγής Μεταβλητών στο Διπλό Ολοκλήρωμα Κάνουμε αλλαγή μεταβλητών με διπλό σκοπό: Απλούστευση της ολοκληρωτέας συνάρτησης και ταυτόχρονη απλούστευση του τόπου ολοκλήρωσης. Ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος όπου (τ) είναι τόπος του επιπέδου Oxy. 38
Βήματα Βήμα 1: Επιλέγουμε συναρτήσεις μετασχηματισμού κατάλληλα. Η επιλογή εξαρτάται τόσο από την ολοκληρωτέα συνάρτηση, όσο και από τον τόπο ολοκλήρωσης (τ). Μπορεί οι σχέσεις μετασχηματισμού να είναι δοσμένες. Βήμα 2: Υπολογίζουμε συναρτήσει των u, υ νέων μεταβλητών τις ποσότητες: Βήμα 3: Σχεδιάζουμε στο επίπεδο με άξονες u,υ τις εικόνες των συνόρων του τόπου (τ), οπότε προκύπτει ο τόπος D στο επίπεδο uυ. 39
Βήματα Βήμα 4: Εφαρμόζουμε τη σχέση και υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα του δεύτερου μέλους. Ένα βασικό πρόβλημα στην αλλαγή μεταβλητών είναι η επιλογή του μετασχηματισμού, δηλαδή των σχέσεων: Η επιλογή αυτή γίνεται συνήθης με βάση τις παρακάτω παρατηρήσεις, όταν βέβαια δεν δίνεται ο μετασχηματισμός. 40
Παρατηρήσεις 1. Όταν ο τόπος (τ) είναι κυκλικός δίσκος, θεωρούμε: όπου r, φ οι γνωστές μας πολικές συντεταγμένες. 2. Όταν ο τόπος (τ) είναι ελλειπτικός, θεωρούμε: όπου α, β ημιάξονες της έλλειψης κατά x, y αντίστοιχα. 3. Όταν ο τόπος (τ) του επιπέδου Oxy έχει σύνορο που δίνεται σε «πολική μορφή»: r=r(φ) τότε πάλι θεωρούμε πολικές συντεταγμένες. 4. Όταν στο σύνορο του τόπου (τ) μία παράσταση των x, y εμφανίζεται δύο φορές, θέτουμε αυτή ίση με u. 5. Όταν μια παράσταση των x,y εμφανίζεται στην ολοκληρωτέα συνάρτηση και ταυτόχρονα στο σύνορο (εξίσωση συνόρου) του τόπου (τ) θέτουμε αυτή ίση με u. 41
Παράδειγμα 1 (1/4) Χρησιμοποιώντας το μηχανισμό να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα τόπος που περικλείεται από τις γραμμές όπου (τ) είναι ο Λύση: Ο τόπος (τ) φαίνεται στο σχήμα Ο μετασχηματισμός είναι δοσμένος Μπορούμε να επιλύσουμε ως προς x, y: και υπολογίζουμε 42
Παράδειγμα 1 (2/4) Σχεδιάζουμε τώρα στο επίπεδο uυ την εικόνα του συνόρου (τ) με βάση το δοσμένο μετασχηματισμό, απαλείφοντας σε κάθε περίπτωση τα x, y. Σύνορο y=x: Είναι Προκύπτει: υ=0 (με απαλοιφή των x,y) Άρα η εικόνα της y=x είναι η ευθεία υ=0, δηλαδή ο άξονας u. 43
Παράδειγμα 1 (3/4) Σύνορο x + y= 2. Είναι. Με απαλοιφή των x,y από τις τρεις αυτές σχέσεις βρίσκουμε u=2 δηλαδή ευθεία κάθετη στον άξονα u στη θέση u=2. Σύνορο y=0. Είναι. Με απαλοιφή των x,y από αυτές βρίσκουμε u=υ (ευθεία). Έτσι προκύπτει ο τόπος D στο επίπεδο uυ που είναι η εικόνα του (τ) δια μέσου του δοσμένου μετασχηματισμού. Ο τόπος D είναι κανονικός ως προς u (ευθείες u=2, u=0) ενώ κλείνει πάνω από την υ=u και κάτω από την υ=0. 44
Παράδειγμα 1 (4/4) Έχουμε σύμφωνα με τη σχέση Όμως, επειδή ο (D) θεωρείται κανονικός ως προς u είναι: Παρατήρηση: Για να βρούμε την εικόνα μιας γραμμής του τόπου (τ), απαλείφουμε τα x,y από την εξίσωση της γραμμής και τις εξισώσεις μετασχηματισμού 45
Παράδειγμα 2 (1/4) Να υπολογισθεί το διπλό ολοκλήρωμα της συνάρτησης cos(x 2 +y 2 ) στον τόπο τ: Λύση: Ο τόπος (τ) ορίζεται με ανισοτικές σχέσεις. Θεωρούμε τις αντίστοιχες ισότητες: Για προκύπτει ο τόπος (τ) του σχήματος. (Γενικά η ανισότητα παριστάνει το εσωτερικό Περιφέρειας κέντρου (x 0,y 0 ) και ακτίνας R ενώ η το εξωτερικό). 46
Παράδειγμα 2 (2/4) Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος, επειδή ο τόπος είναι μέρος κυκλικού δίσκου, θεωρούμε το μετασχηματισμό σε πολικές συντεταγμένες: Το τυχαίο σημείο του τόπου είναι: Είναι: 47
Παράδειγμα 2 (3/4) Θα βρούμε τώρα την εικόνα (D) του τόπου (τ) στο επίπεδο rφ. Κατ αρχήν, επειδή r 0, ένα σύνορο του τόπου (D) είναι ο άξονας φ (r=0). Σύνορο του x = 0. Η πρώτη από τις σχέσεις μετασχηματισμού δίνει φ= π. Σύνορο του y = 0. 2 Η δεύτερη από τις σχέσεις μετασχηματισμού δίνει φ = 0. Σύνορο x 2 +y 2 = α 2. Απ αυτή και τις σχέσεις μετασχηματισμού, με απαλοιφή των x,y βρίσκουμε r=α. Ο τόπος (D) φαίνεται στο σχήμα και είναι ορθογωνικός. 48
Παράδειγμα 2 (4/4) Εφαρμόζουμε τη σχέση: 49
Παράδειγμα 3 (1/6) Να υπολογισθεί το διπλό ολοκλήρωμα όπου (τ) είναι ο τόπος που περικλείεται από τις: Λύση: Όταν δίνεται μια καμπύλη δεύτερου βαθμού, όπου οι συντελεστές των x 2,y 2 είναι ομόσημοι, περνάμε όλους τους όρους στο ίδιο μέρος και προσπαθούμε να κατασκευάσουμε τέλεια τετράγωνα, για να βρούμε το είδος της. Το σύνορο γράφεται: 50
Παράδειγμα 3 (2/6) Δηλαδή κύκλος κέντρου Α(1,0) και ακτίνας 1, αφού γενικά η εξίσωση: παριστάνει περιφέρεια κύκλου με κέντρο (a,b) και ακτίνα ίση με R. Όμοια: Το σύνορο: γράφεται (κύκλος κέντρου Β(2,0) και ακτίνας 2). Το σύνορο: γράφεται (περιφέρεια κύκλου κέντρου Κ(0,1) και ακτίνας 1). Τέλος το σύνορο: γράφεται (περιφέρεια κύκλου κέντρου Μ(0,3) και ακτίνας 3). 51
Παράδειγμα 3 (3/6) Ο τόπος (τ) φαίνεται στο σχήμα. Το σύνορο του τόπου (τ) γράφεται: Δηλαδή οι παραστάσεις παίρνουν σταθερές τιμές στο σύνολο του (τ). Θεωρούμε, λοιπόν, την αλλαγή: 52
Παράδειγμα 3 (4/6) Έχουμε: Οπότε βρίσκουμε: και επομένως: 53
Παράδειγμα 3 (5/6) Βρίσκουμε τώρα τον τόπο D του επιπέδου uυ: Το σύνορο Το σύνορο Το σύνορο Ενώ το σύνορο 54
Παράδειγμα 3 (6/6) Ο τόπος D φαίνεται στο σχήμα και είναι ορθογωνικός. Υπολογίζουμε τώρα την παράσταση: (Συμφέρει μερικές φορές να μην εκφράζουμε αμέσως την ολοκληρωτέα συνάρτηση συναρτήσει των νέων μεταβλητών αλλά με τον πολλαπλασιασμό της επί της συναρτησιακή ορίζουσα). Υπολογίζουμε τώρα το ολοκλήρωμα: 55
6.4 Ασκήσεις 56
Άσκηση 1 (1/2) Να υπολογισθεί το διπλό ολοκλήρωμα: όπου Τ το τραπέζιο του επιπέδου ΧΟΥ με κορυφές τα σημεία: (1,1), (2,2), (2,0), (4,0). Λύση: Είναι: 57
Άσκηση 1 (2/2) Αν θέσουμε, οπότε και Έχουμε: 58
Άσκηση 2 (1/2) Χρησιμοποιώντας τις αντικαταστάσεις να υπολογίσετε το διπλό ολοκλήρωμα: όπου Τ είναι το τρίγωνο με εξισώσεις πλευρών Τις Λύση: 59
Άσκηση 2 (2/2) 60
Σε αυτή την ενότητα μιλήσαμε για: 6.1 Ορισμός Διπλού Ολοκληρώματος Βασικοί Τρόποι Υπολογισμού 6.2 Εφαρμογές του Διπλού Ολοκληρώματος 6.3 Αλλαγή Μεταβλητών στα Διπλά Ολοκληρώματα 6.4 Ασκήσεις 61
Ολοκλήρωση Μαθήματος Συγχαρητήρια!! Έχετε ολοκληρώσει με επιτυχία το μάθημα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 62