ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

Transcript

1 () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα, δεν αποκλείεται να 0 είναι ή (όταν f δεν συνεπάγεται ότι υποχρεωτικά θα ισχύει για κάποια χ το =). Το κριτήριο το οποίο µας προσανατολίζει ότι η ή είναι αντίστοιχα γ.α ή γ.φ, είναι η ( ) f να µην είναι 0 σε διάστηµα, αλλά σε διακεκριµένα σηµεία. Παρατήρηση: Αν f ( ) 0 = και f ( ) > 0, ( α, ) (, β) f ( ηλαδή, αν ισχύει 0 f και ρίζες της f = είναι σηµεία διακεκριµένα τότε η f είναι γνησίως αύξουσα). ες παρατήρηση Σ.Β. ii) Για κάθε f, αντίστοιχα. Με τα Θεωρήµατα των παραγώγων απαντώ για µονοτονία κατά διαστήµατα και όχι για όλο το πεδίο ορισµού. Τη µονοτονία συνάρτησης µπορώ να την χρησιµοποιώ όταν η f είναι γνησίως µονότονη για να αποδεικνύω ότι η f είναι :. Τη µονοτονία µπορώ να τη χρησιµοποιώ για να δείχνω ότι η f ( ) = 0 έχει µοναδική ρίζα. ( εν έχει δύο διαφορετικές). Αν η f, µε ( < f < f Αν ρίζες της f µε ). f f = 0 < = άτοπο., () Ακρότατα i) Πιθανά τοπικά ακρότατα µιας συνάρτησης έχω I) στις ρίζες της πρώτης παραγώγου

2 II) Στα σηµεία που δεν ορίζεται η πρώτη παράγωγος, αλλά ορίζεται η συνάρτηση. ΙΙΙ) στα κλειστά άκρα του διαστήµατος του πεδίου ορισµού. ii) Όταν ζητείται να υπολογισθεί µόνο ακρότατο βολεύει να εργάζοµαι µε το ο θεώρηµα, ενώ όταν επιπλέον ζητείται και µονοτονία χρησιµοποιώ το πρώτο. iii) Για ασκήσεις στις οποίες ζητείται µέγιστο ή ελάχιστο (όγκος, εµβαδόν, µήκος, διατοµή, κόστος, πλάτος, ύψος) εκφράζω το ζητούµενο µέγεθος βάσει κάποιου τύπου, συναρτήσει κάποιων γραµµάτων, µεταβλητών. Αντικαθιστώ τα γνωστά µε νούµερα και τα υπόλοιπα τα εκφράζω συναρτήσει ενός, χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο Θεώρηµα ή εξισώσεις κωνικών τοµών. Έτσι έχω εκφράσει το ζητούµενο µέγεθος σαν συνάρτηση µίας µεταβλητής. Βρίσκω το Π.Ο. της λαµβάνοντας υπ όψιν, ότι όλα τα παραπάνω µεγέθη, είναι µέτρα, άρα θετικά καθώς και άλλες δεσµεύσεις της εκφώνησης. Με παραγώγους βρίσκω τοπικό ακρότατο. ικαιολογώ ότι το τοπικό ακρότατο είναι ολικό, λέγοντας ότι η προαναφερόµενη συνάρτηση είναι συνεχής στο Π.Ο. της και παράγωγός της έχει µοναδική ρίζα στο Π.Ο. της. το ακρότατο είναι το ζητούµενο. (Η δικαιολόγηση ότι το τοπικό ακρότατο είναι ολικό ακρότατο µπορεί να γίνει µε τους εξής τρόπους: α) είχνω ότι f f, Α ή f f, Α χρησιµοποιώντας τη µονοτονία. β) H f έχει µία µόνο ρίζα, παρουσιάζει τοπικό ακρότατο, είναι συνεχής στο Π.Ο. (αν δεν είναι συνεχής, µπορεί να έχει µόνο µια ρίζα και το τοπικό ακρότατο να µην είναι ολικό. Η συνέχεια εξασφαλίζεται από την παραγωγισιµότητα (τον τρόπο αυτό χρησιµοποιεί το βιβλίο).

3 3 γ) Λύνω την f ή f και προκύπτει Α ή σε υπερσύνολο του Α, άρα το τοπικό είναι ολικό. Χρησιµοποιείται σε περιπτώσεις πολλών ακρότατων. Με τα θεωρήµατα των παραγώγων προσδιορίζω τοπικά ακρότατα. Αλλά αν η ανισοτική σχέση f ή f ισχύει µε A τότε έχω ολικό. Όταν λοιπόν έχω διαπιστώσει ότι έχω τοπικό ακρότατο και θέλω να εξετάσω αν είναι ολικό, εργάζοµαι µε έναν από τους προηγούµενους τρεις τρόπους. Η µέθοδος αυτή ισχύει, όχι µόνο όταν τα είναι ρίζες της f ( ) = 0, αλλά και όταν τα είναι σηµεία στα οποία δεν ορίζεται η f και ορίζεται η συνάρτηση. 0 Η συνθήκη f που έχει το ο Θεώρηµα για τα ακρότατα, είναι ικανή 4 αλλά όχι αναγκαία, (π.χ. f =, f =, f 0 = 0, έχει ελάχιστο στο 0 το f ( 0) = 0 διότι R έχω f ( ) = 4 0 = f ( 0). ( ) Το τοπικό ακρότατο δεν µπορεί να είναι άκρο διαστήµατος ( α, β ) εκτός από την περίπτωση όπου η f ορίζεται στο και δεν ορίζεται η δεξιά ή αριστερά από το. Αν ν είναι ρίζα των f, f,, f και ( ν ) ( ν ) f 0 και f συνεχής στο (α, β) µε ( α, β ) τότε: Ι) αν η ν άρτιος είναι: τ.µ. όταν ( ν ) 0 f <, τ.ε. όταν ( ν ) 0 f > ΙΙ) αν ν περιττός στο δεν έχω τοπικό ακρότατο. (3) Απόδειξη ανισοτικών σχέσεων Όταν ζητείται να αποδειχθεί ( ) t( ) σ ( ) t( ) σ ( ) t( ) σ για A τότε: το 0. Θεωρώ τη συνάρτηση: Με παραγώγους βρίσκω µονοτονία-ακρότατο. Έστω

4 4 f ( ) + - f ( ) Ερµηνεύω τη µονοτονία σε ανισοτική σχέση. Έτσι έχω: < f < f f f = = > f < f Άρα για A έχω: 0 για. f f f f A Αυτό είναι το ζητούµενο. (4) Σηµεία καµπής-κοιλότητα Υπολογίζονται µε βάση το πρόσηµο και τις ρίζες της δεύτερης παραγώγου. Πιθανά σηµεία καµπής είναι οι ρίζες της f =, καθώς και τα σηµεία στα οποία δεν ορίζεται η f, αλλά ορίζεται η f ( ) είναι συνεχής σ αυτά και η f ( ) δεξιά-αριστερά απ αυτά αλλάζει πρόσηµο. Είναι δυνατό κάποιο να είναι και ακρότατο και σηµείο καµπής. 0 (5) Παραµετρικές Εκφωνήσεις δύο: α) ίνεται ότι η f παρουσιάζει τα σ.κ. και ζητάµε παραµέτρους, β) Να βρεθούν οι παράµετροι ώστε να παρουσιάζει τα σ.κ. Και στις δύο µετατρέπω

5 5 τα δεδοµένα σε εξισώσεις, λύνω σύστηµα και υπολογίζω παραµέτρους. Στη β) επιπλέον επαληθεύω τα τ.α., σ.κ. εδοµένα (Υπόθεση: Για ακρότατα, σηµεία καµπής, η f παρ., φορές στο Α αντίστοιχα). ) η f παρουσιάζει τ.α. στο f ( ) = 0 ) η f παρουσιάζει τ.α. στο (, ) y ( ) f = 0 f = y 3) η f παρουσιάζει σ.κ. στο f ( ) = 0 4) η f παρουσιάζει σ.κ. στο (, ) y ( ) f = 0 f = y 5) η f µηδενίζεται στο f ( ) = 0 6) η f διέρχεται από το (, ) y f = y 7) η f διέρχεται από την αρχή των αξόνων f 0 = 0 8) η f τέµνει τον στο 0 f = 9) η f τέµνει τον ψ ψ στο ψ ( 0) f = ψ 0) η f τέµνει τη g στο σηµείο µε τετµηµένη = ( ) οι f, g τέµνονται σε σηµείο µε τεταγµένη z. f g ) Η τετµηµένη του σηµείου τοµής µε τεταγµένη z προκύπτει από τη λύση του συστήµατος f = z ως προς g = z ) Η C f έχει εφαπτόµενη στο µε συν. διεύθυνσης z f = z

6 6 3) Η εφαπτόµενη της f στο (, ) και ψ f = z f = 0 0 4) Η εφαπτόµενη της f στο ειναι στο 5) Η εφαπτόµενη της f στο ειναι στην ευθεία ψ έχει συντ. διεύθ. f n (οριζόντια) = 0 n f ( ) = ε ε λ 6) Η εφαπτόµενη της f στο n f = ειναι στην ευθεία ε λε 0 ) Η f να µην έχει εφαπτόµενη n στον (οριζόντια) f για κάθε A ΕΙ ΙΚΕΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ) Η f να µην έχει εφαπτόµενη n στον ε f λε για κάθε A 3) Η f να µην έχει εφαπτόµενη n στην ε f λ + 0 για κάθε 6) Η f στο A f > 0 f < 0 για κάθε A 7) Η f σ.κ.α. (σ.κ.κ.) στο A f ( f ( ) 0) 0 για και 0 > < για κάθε A ( 0 ) nf = = f > f < για µε A ε 4) Η f να µην έχει ακρότατο f για κάθε A η = = και αριστερά-δεξιά από το η ( f για πρόσηµο). 5) Η f να µην έχει σηµείο καµπής f για κάθε A η ( = για f = και αριστερά-δεξιά από το η f ( ) να µην αλλάζει πρόσηµο) ( ) 0 0 f ( ) nf = 0 για = και f > 0 < 0 για µε A να έχει σταθερό (6) Εύρεση συνόλου τιµών

7 7 Να διαβαστούν τα σχετικά που περιέχονται στη συνέχεια στο κλειστό διάστηµα. Όταν το άκρο α είναι ανοικτό διάστηµα τότε το f α αντικαθίσταται στο ( α, β ] µε lim f a ενώ στο [ β, α ) µε lim f ( ) a. Κατά τα άλλα ισχύει η ίδια µεθοδολογία. Τα άκρα στην περίπτωση των ανοικτών διανυσµάτων, µπορεί να είναι αντίστοιχα, + (7) Για να δείξω ότι µια παράσταση f δεν έχει ρίζα µε µονοτονία και ακρότατα δείχνω ότι f ( ) f ( ) α > 0 η β < 0 ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ (Α) Εύρεση µονοτονίας ακρότατων- κοιλότητας- σηµείων καµπής (δες --4) Ειδικές περιπτώσεις. Ι) Πότε η ( ) και πώς γίνεται γνησίως ) Πώς εξετάζω µονοτονία της f µε A = [ α, + ] και µε f που ορίζεται στο ( α, ) A = + f = 3) Ακρότατα σε σηµεία που δεν ορίζεται η f 4) Ακρότατα σε σηµεία που είναι άκρα κλειστού διαστήµατος = πεδίο ορισµού της συνάρτησης. 5) Πότε και πώς το τοπικό γίνεται ολικό ακρότατο (δες το ιιι) 6) Σηµεία καµπής σε όπου δεν ορίζεται η f (δες το 4) (Β) Παραµετρικές (δες 5) (Γ) Απόδειξη ανισοτικών σχέσεων µε µονοτονία (δες 3) ( ) Εύρεση ελάχιστου-µέγιστου : µήκους, πλάτους, ύψους, εµβαδού, όγκου, κόστους κ.τ.λ. (δες το ιιι) (Ε) Εύρεση συνόλου τιµών

8 8 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ) Να µελετηθούν ως προς τη µονοτονία οι συναρτήσεις (α) * = 5 + 6/ R (β) = / R (γ) f ( ) e / f f n + = R (δ) f ( ) = ηµχ /0, [ π ] ) Να βρεθούν τα ακρότατα των συναρτήσεων µε τύπους (α) = + 3 (β) f ( ) = e + e (γ) f f = + (δ) f ( ) = ( n) (ε) f ( ) = n (στ) f ( ) 3) Να µελετηθεί ως προς τη µονοτονία η f ( ) = n = συνχ 4) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της f ( ) ( ( + = 4,, +,, ] ] 5) Να εξεταστούν ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα οι συναρτήσεις (α) f ( ) = (β) f = (γ) f ( ) = e (δ) f ( ) = n (ε) f ( ) = + ηµχ (στ) f n + 6) Να εξεταστεί ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα η f ( ) = / R - { κπ }, κ ηµχ 7) Να προσδιοριστούν οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ ώστε f = + κ n λ να παρουσιάζει ακρότατα στα σηµεία και. Να δείξετε στη συνέχεια, ότι για τις προσδιορισµένες τιµές των κ και λ το είναι θέση τοπικού ελάχιστου και το θέση τοπικού µέγιστου. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ-ΖΑΧΟΓΕΩΡΓΟΣ ΘΑΝΟΣ

9 9 n + 8) Θεωρούµε τη συνάρτηση f ( ) = / R* τα ακρότατα για να συγκρίνετε τους αριθµούς. Χρησιµοποιείστε τη µονοτονία και e π και e π 9) Να δειχτεί ότι απ όλα τα ορθογώνια µε σταθερή περίµετρο τ το τετράγωνο έχει το µεγαλύτερο εµβαδόν. 0) Σε σφαίρα ακτίνας R να εγγραφεί κώνος µε µέγιστο όγκο = ΒΚ ΑΚ = R + ) 3 3 (Υπόδ: V π π ( R )( ) Να βρεθεί ποιος από τους κυλίνδρους µε σταθερή ολική επιφάνεια Ε = πα λ έχει το µεγαλύτερο όγκο ( α > 0) Υπόδειξη: Αν h Το ύψος και η ακτίνα της βάσης τότε αλλά V π α = h V = π Ε = + λ π π h α h = ) Να βρεθεί το µέγιστο εµβαδόν ενός ορθογωνίου που µπορεί να εγγραφεί στην έλλειψη α ψ β + = Υπόδειξη: M (, ) ψ Ε ορθογωνίου=( ψ ) = 4ψ Για το M (, ψ ) έλλειψη έχω ψ β α β α + = ψ α 4β Ε = α α = Άρα (3) Να βρεθεί το ορθογώνιο παραλληλόγραµµο µέγιστου εµβαδού που µπορεί να εγγραφεί σε µια παραβολή (υπόδ: ( ) p( α ) Ε = ) (4) Να αποδειχθεί ότι από όλα τα τρίγωνα που έχουν σταθερή περίµετρο και σταθερή βάση το ισοσκελές τρίγωνο έχει το µεγαλύτερο εµβαδόν. (υπόδ: Ε= τ ( τ α) τ ( α τ) + ( τ α) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ-ΖΑΧΟΓΕΩΡΓΟΣ ΘΑΝΟΣ

10 0 Ε = + Θεωρώ την Ε µε ( ) τ ( τ α) τ ( α τ) ( τ α) που εκφράζει το τετράγωνο της τιµής του εµβαδού του τριγώνου που έχει σταθερή περίµετρο τ, σταθερή βάση µήκους α και µια πλευρά µήκους )(5) Θεωρούµε ΑΒΓ µε βάση ΒΓ = a και ύψος Α = h Να βρεθεί το µέγιστου εµβαδού ορθογώνιο παραλληλόγραµµο που να έχει τη βάση του στη ΒΓ και τις άλλες δύο κορυφές στις άλλες πλευρές του τριγώνου. (υπόδ: α α Ε= ( h ) = + α h h (6) Να µελετηθούν οι συναρτήσεις ως προς την κοιλότητα και τα σηµεία καµπής. (γ) (α) f ( ) = R { 0} (β) f ( ) = n ( 0, + ) 3 f = R = (ε) f ( ) = ( + 5) ( 3 0 ) (δ) f ( ) n( n ) (7) Να προσδιοριστούν τα κ, λ ώστε το σηµείο M, να είναι σηµείο καµπής 3 της συνάρτησης f µε f ( ) = κ λ (8) Για την f ( ) = + + δείξτε ότι έχει τρία σηµεία καµπής που είναι συνευθειακά. (9) Να βρεθούν οι τιµές του α R ώστε η f να είναι γνησίως αύξουσα στο R f ( ) α + +, = α +, < (0) Να ευρεθούν τα τοπικά ακρότατα της f = ηµχ + συν χ π () Στο 0, να βρεθεί το µέγιστο της ηµ ( + συν ) f = α Να βρεθεί το α R να στρέφει τα κοίλα άνω () Έστω f ( ) για κάθε R Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ-ΖΑΧΟΓΕΩΡΓΟΣ ΘΑΝΟΣ

11 3 (3) Για τον α f = + + β + γ να δείξετε ότι η f δεν παρουσιάζει τοπικό ακρότατο τότε και µόνο τότε αν α 3β (4) ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί α, β µε 4 3α + β > 0 και η εξίσωση + 4α + β = 0. Να δείξετε ότι δεν έχει πραγµατική λύση ως προς. 4 3 (5) Για ποια τιµή θετικού αριθµού α µέγιστη τιµή της συνάρτησης f µε α f = e α γίνεται ελάχιστο; (6) α) Να βρείτε τα ακρότατα της f µε * β) Αν α, β R+ µε α+β= να αποδείξετε ότι ( f = α β (35) Αν f = α + α + + αν ) να δειχτεί ότι υπάρχει µια µόνο τιµή του για την οποία η f παίρνει ελάχιστη τιµή. Να βρεθεί η τιµή αυτή του. (36) Για την 3 f = Να δείξετε ότι υπάρχει ένα µόνο σηµείο καµπής, και να βρεθεί η εφαπτοµένη της καµπύλης στο σηµείο αυτό. (37) Να δείξετε ότι η εξίσωση = 0 δεν έχει πραγµατική ρίζα. 3 (38) ίνεται f = e =. Να µελετηθεί ως προς τη µονοτονία κατά διαστήµατα και να βρεθεί το µέγιστο αν υπάρχει (39) Να δείξετε ότι η εξίσωση (40) Να µελετηθεί η f ( ) = e + (4) Να βρεθούν τα,, να έχει τοπικά ακρότατα στα σηµεία 3 + = συνχ έχει ακριβώς µια πραγµατική ρίζα. 3 α βγ R έτσι ώστε η f ( ) = + α + β + γ µε =, = (4) Να ευρεθεί η συνθήκη ώστε η 3 ακρότατα. 3 f 0 = 3 f = + α + β + γ να έχει τοπικά Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ-ΖΑΧΟΓΕΩΡΓΟΣ ΘΑΝΟΣ

12 (43) Να ευρεθεί η σχέση µεταξύ των, έχει σηµεία καµπής. (44) ίνεται η 3 ακρότατα. α β R ώστε η 4 3 f = + α + β + να f = κ + + κ. Να βρεθούν τα κ R ώστε η f να µην έχει 3 (45) Να προσδιοριστούν τα ώστε η f µε f ( ) κ ακρότατα στα = 0, =. (46) ίνεται κ, λ R = + + λ να έχει f = + +. Να βρείτε τα διαστήµατα µονοτονίας και ακρότατα + ΘΑ.. 88 (, 5 /0 ) (47) Έστω η συνάρτηση f µε 3 f ( ) = α α , R. Να βρείτε το α R ώστε η f να 3 3 παρουσιάζει καµπή στο =. Μετά για την τιµή αυτή του α να σχηµατίσετε τον πίνακα-µεταβολών της f. ΘΑ...87,5/0. (48) ίνεται f = 3 + 4, R. Έστω, είναι τα σηµεία στα οποία η f παρουσιάζει τοπικά ακρότατα και 3 το σηµείο στο οποίο παρουσιάζει καµπή. Να αποδειχθεί ότι τα σηµεία του επιπέδου ( ( ) ) ( f ) ( 3 f ( 3) ), f,,,, είναι συνευθειακά. ΘΑ...85 (,5/0) (49) ίνεται f =. Να βρεθεί η µονοτονία και τα ακρότατά της. Στη συνέχεια να χαράξετε πρόχειρη γραφική παράσταση και να βρείτε το σύνολο τιµών. (50) α) Να αποδείξετε ότι > 0 ισχύει n β) Έστω η συνάρτηση f ορισµένη στο [ 0, + ) µε:

13 3 en αν 0 f ( ) = 0 αν = 0 Να αποδειχθεί ότι i) η f είναι συνεχής στο πεδίο αν = ορισµού της ii) είναι φθίνουσα στο ( 0, ) iii) f ( ) =. ΘΑ ( 5/0) (5) Να βρεθούν τα ακρότατα της + αν 3 f ( ) = 4 αν αν 3 4 (5) ίνεται f : R R µε 0 f = 0 + R. i) Να εξετάσετε µονοτονία κατά διαστήµατα ii) είξτε ότι R. (53) Να εξετάσετε αν υπάρχουν α, β R ώστε η συνάρτηση f = α + β να έχει τοπικό ακρότατο στο = 3 και σηµείο καµπής στο 3 = (54) Να προσδιοριστούν τα κ, λ ώστε το σηµείο M (, ) να είναι σηµείο καµπής της 3 f = κ λ (55) Να εξετάσετε αν υπάρχουν α, β R έτσι ώστε η 4 3 f = α + β να παρουσιάζει σηµεία καµπής στα = και = 3 α =, β = ) ίνεται f = α + β + 8γ + +, όπου α, βγ, R. Να βρεθούν τα α, β, γ ώστε η f να παρουσιάζει σηµεία καµπής στα = και = 3 και

14 4 ( ) = 40. ( =, = 0, = ) f α β γ 4 3 (57) Έστω f = α + β + 8 γ + +, α, β, γ R. Να βρεθούν τα α, β, γ ώστε η f να παρουσιάζει σηµεία καµπής στα = και = και η εφαπτοµένη 3 της γραφικής παράστασης της f στο 3 = 0 να έχει συντελεστή διευθύνσεως τον αριθµό. ( α =, β = 0, γ = ) (58) α) Να αποδείξετε ότι R έχω e + β) Θεωρώ τη συνάρτηση f στο [ 0, + ) e + 3 αν 0 f ( ) = 4 αν = 0 i) Να µελετηθεί ως προς τη συνέχεια αν = ii) Να δείξετε ότι είναι αύξουσα, ( 0,) iii) Να εξετάσετε αν υπάρχει η f ( ) * (59) Να δείξετε ότι αν,, R τότε α β + 8α + β > 6α 3 β (60) Έστω α πραγµατικός αριθµός και f η συνάρτηση µε 4 3 α 5 3 f ( ) = + + α α + + ( α + 7) 5α. 3 3 Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν έχει σηµεία καµπής. 7 (6) ίνεται η f = + + α. Να δείξετε ότι είναι γνησίως αύξουσα και ότι έχει µια µόνο πραγµατική ρίζα.

15 5 (6) Να δείξετε ότι η f µε f = n + για κάθε (0, + ) παίρνει + θετικές τιµές και µε τη βοήθεια αυτού να δειχτεί ότι η συνάρτηση φ ( ) = + είναι γνήσια αύξουσα στο ( 0, + ) (63) Να προσδιορίσετε το ορθογώνιο µε πλευρές ες προς τους άξονες και µέγιστο ψ εµβαδόν που είναι εγγεγραµµένο στην έλλειψη + =. 9 4 Να βρείτε ποιο από τα ορθογώνια µε το ίδιο εµβαδόν έχει την ελάχιστη περίµετρο. ) (64) Από το σηµείο M (, να αχθεί ευθεία (ε) που να σχηµατίζει µε τους θετικούς ηµιάξονες, καρτεσιανού συστήµατος συντεταγµένων, τρίγωνο µε ελάχιστο εµβαδόν. (65) Να βρεθούν τα µήκη των πλευρών ορθογώνιου παραλληλογράµµου µεγίστου εµβαδού, που δύο πλευρές του να βρίσκονται πάνω στους θετικούς ηµιάξονες ορθογώνιου συστήµατος και µια από τις κορυφές του πάνω στην ευθεία + ψ = 3 (66) ίνεται η f µε f ( ) = α + α + ( α ). α)να βρεθούν οι τιµές του f ( ) = α + +3 για τις οποίες η f είναι αύξουσα στο R 4 β) Για τη µικρότερη από τις τιµές αυτές του α, να αποδειχθεί ότι η εξίσωση 3 f = 3α + 4 έχει µόνο µια ρίζα στο διάστηµα f (67) ίνονται τα σηµεία R και f = 3 6α + 4 της έλλειψης R Να βρεθεί σηµείο Γ πάνω στην έλλειψη τέτοιο ώστε το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ να είναι µέγιστο.

16 6 (68) ίνεται η συνάρτηση f µε f > αν R και 3 6α + 4 > 0. Να δειχτεί ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο < 0 3 6α 48 < 0 α < (69) Θεωρούµε τη συνάρτηση f µε τύπο αε,. ορισµένη για 3 3 f = + α + β + γ α) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης (n) του διαγράµµατος της f στο σηµείο f β, β) Να δείξετε ότι για κάθε R. η εφαπτοµένη (n) βρίσκεται πάνω από το διάγραµµα της f (70) Να βρεθούν τα 0 4α β 0 α 3 β. για τα οποία η συνάρτηση α α = 0. είναι γνησίως φθίνουσα στο =. Όταν η παραπάνω συνάρτηση f 6 3 είναι γνησίως φθίνουσα στο R να δειχτεί ότι η εξίσωση πραγµατική και δύο µιγαδικές ρίζες. f ( ) = 0 έχει µια (7) Για τη συνάρτηση f µε f = + να δείξετε ότι η f = δεν έχει άλλη πραγµατική ρίζα εκτός της 0 f για κάθε A της f. ΑΣΚΗΣΗ 4 3 f ( ) = α Η f ως πολυωνυµική είναι παραγωγίσιµη στο R, µε: 4 3 α ln 0 =. Με το Θεώρηµα Μέσης Τιµής να δείξετε ότι f = Η f ως πολυωνυµική είναι παραγωγίσιµη στο R, µε: f = 3 6α + 4.Για να στρέφει η f τα κοίλα άνω για κάθε R, απαιτώ f > για κάθε R. ηλαδή α + > 0. Πρέπει < 0 36α 48 < 0 α < 4. Άρα αε,. 3 3

17 7 ΑΣΚΗΣΗ 3 3 f = + α + β + γ Η f είναι παραγωγίσιµη ως πολυωνυµική, µε: f β Για να µην έχει η f τοπικό ακρότατο, θέλουµε να µην αλλάζει πρόσηµο για κάθε R. Άρα 0 4α β 0 α 3 β. Η ισότητα ισχύει α α για =0. ηλαδή για =. Και επειδή δούλεψα µε ισοδυναµίες, έχω 6 3 αποδείξει και το αντίστροφο.