ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 TΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. R = x,y,z : a x b, a y b, a z b.
|
|
- Θεόδωρος Μακρή
- 4 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 TΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 5.. Ορισμοί-Ιδιότητες Έστω f : R είναι φραγμένη συνάρτηση πάνω σε κλειστό ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο Εστω x, y, z R = x,y,z : a x b, a y b, a z b. είναι μια διαμέριση του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου R, όπου οι x, y, z είναι διαμερίσεις των κλειστών διαστημάτων [α i,b i ] (i=,,) της μορφής a x x... x b, a y y... y b, x N y M a z z... z b. z K Ορίζουμε ένα πλέγμα επιπέδων x xn, y ym, z zk ( n,..., N, m,..., M, k,..., K) παραλλήλων προς τα επίπεδα Οyz, Οxz και Oxy αντιστοίχως που διαμερίζουν το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο R σε N M K το πλήθος ορθογώνια παραλληλεπίπεδα n, m, k, όγκου V x x y y z z dx dy dz n, m, k n n m m k k n m k, όπου n,..., N, m,..., M, k,..., K. Αν και τότε ορίζουμε M sup f ( x, y, z) : ( x, y, z) n, m, k n, m, k m inf f ( x, y, z) :( x, y, z), n, m, k n, m, k N M K Lf sup mn, m, k Vn, m, k : οποιαδηποτε διαμεριση της R n m k και 9
2 N M K U f inf M n m k Vn m k : οποιαδηποτε διαμεριση της R n m k,,,,. Σημειώνουμε ότι οι αριθμοί U f και L f υπάρχουν πάντα και καλούνται ανώτερο και κατώτερο ολοκλήρωμα Darboux της f επί της R. Ορισμός 5. Έστω f : R είναι φραγμένη συνάρτηση πάνω σε κλειστό ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο R. Αν U L, f f τότε λέμε ότι η f είναι ολοκληρώσιμη κατά Darboux πάνω στο ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο R και γράφουμε. f ( x, y, z ) dxdydz R Ισοδύναμα λέμε ότι υπάρχει το τριπλό ολοκλήρωμα της f στο R. Πολλές φορές χρησιμοποιείται και ο ακόλουθος ισοδύναμος ορισμός: Έστω f : R είναι μια φραγμένη συνάρτηση πάνω σε κλειστό ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο R, είναι μια τυχαία διαμέριση του R σε στοιχειώδη ορθογώνια παραλληλεπίπεδα Ω n,m,k και x,y z είναι τυχαίο σημείο του Ω n,m,k. Εστω, n m k max n m k : n,..., N, m,..., M, k,..., M,, είναι το μέγιστο πλάτος της, όπου Αν υπάρχει το όριο x x y y z z n, m, k n n m m k k. lim δ N- M - K- n= m= k= f x,y,z V n m k n,m,k ανεξάρτητα της επιλογής της διαμέρισης με πλάτος το πολύ ίσο με δ και ανεξάρτητα της επιλογής των σημείων x n,ym, z k, τότε λέμε ότι υπάρχει το τριπλό ολοκλήρωμα της f στο R και γράφουμε
3 . f ( x, y, z ) dxdydz R Θεώρημα 5. Έστω f : R είναι συνεχής συνάρτηση πάνω σε κλειστό ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο R εκτός (ενδεχομένως) από ένα υποσύνολο R αμελητέου όγκου (π.χ. το Π μπορεί να είναι είτε αριθμήσιμο πλήθος σημείων, είτε πεπερασμένη ένωση τμηματικά λείων καμπύλων, είτε επιφάνεια z gx, y, όπου συνεχής συνάρτηση). Τότε η είναι ολοκληρώσιμη στο R. f Ο ορισμός του ολοκληρώματος Riemann επεκτείνεται και σε μη ορθογώνια παραλληλεπίπεδα ως εξής: Εστω f : είναι μια φραγμένη συνάρτηση πάνω σε κλειστό και φραγμένο στερεό, με το σύνορό του να είναι σύνολο αμελητέου όγκου. Τότε υπάρχει ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο R που καλύπτει εξ ολοκλήρου το στερεό. Ορίζουμε την επέκταση της f στο ως εξής: f ( x, y, z), ( x, y, z) g( x, y, z). (), ( x, y, z) R \ g Αν η g είναι ολοκληρώσιμη στο R, τότε ορίζουμε f ( x, y, z) dxdydz g( x, y, z) dxdydz, αφού αποδεικνύεται ότι η τιμή g ( x, y, z ) dxdydz είναι ανεξάρτητη R από την επιλογή του στερεού R. Ετσι μπορούμε να δώσουμε τον ακόλουθο Ορισμός 5. Θα λέμε ότι μια φραγμένη συνάρτηση f : είναι ολοκληρώσιμη πάνω σ ένα κλειστό και φραγμένο στερεό με σύνορο αμελητέου όγκου, αν η επέκταση της (όπως στην ()) είναι ολοκληρώσιμη κατά Riemann πάνω σ ένα (άρα και σε κάθε) ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο R που καλύπτει το. R f
4 Ιδιότητες του ολοκληρώματος Εστω f, g : είναι ολοκληρώσιμες συναρτήσεις πάνω σε κλειστό και φραγμένο στερεό με σύνορο αμελητέου όγκου. Αναφέρουμε χωρίς απόδειξη τις κάτωθι ιδιότητες: Η συνάρτηση k f g k, και ισχύει είναι ολοκληρώσιμη στο k f g( x, y, z) dxdydz k f ( x, y, z) dxdydz g( x, y, z) dxdydz Οι συναρτήσεις f g, f g, και f είναι ολοκληρώσιμες στο υπό την προϋπόθεση ότι είναι καλά ορισμένες στο. Αν η f είναι ολοκληρώσιμη στο και η g : f ( ) είναι συνεχής στο f(), τότε και η σύνθεση αυτών g f είναι ολοκληρώσιμη στο. Η συνάρτηση f είναι ολοκληρώσιμη στο και ισχύει Αν f ( x, y, z) g( x, y, z) f ( x, y, z) dxdydz f ( x, y, z) dxdydz. x, y,z, τότε ισχύει f ( x, y, z) dxdydz g( x, y, z) dxdydz. Αν και (ή γενικότερα το σύνολο είναι αμελητέου όγκου), τότε f ( x, y, z) dxdydz f ( x, y, z) dxdydz f ( x, y, z) dxdydz. Γενικότερα, αν ισχύει, τότε f ( x, y, z) dxdydz f ( x, y, z) dxdydz f ( x, y, z) dxdydz f ( x, y, z) dxdydz.
5 f x,y,z dxdydz. Αν είναι σύνολο αμελητέου όγκου, τότε Αν m f ( x, y, z) M, τότε ισχύει mv f ( x, y, z) dxdydz M V όπου V είναι ο όγκος του στερεού., Θεώρημα 5. (Μέσης Τιμής) Εστω f, g : είναι ολοκληρώσιμες συναρτήσεις πάνω σε κλειστό και φραγμένο στερεό με σύνορο αμελητέου όγκου και έστω ότι η g είναι μη αρνητική συνάρτηση στο. Tότε υπάρχει πραγματικός αριθμός μ: inf f sup f έτσι ώστε Επιπλέον, αν η ( f g)( x, y, z) dxdydz g( x, y, z) dxdydz. σύνολο, τότε υπάρχει f είναι συνεχής στο και το είναι και συνεκτικό * P έτσι ώστε f P και * ( ) * ( f g)( x, yz) dxdydz f P g( x, y, z) dxdydz. 5.. Υπολογισμός τριπλού ολοκληρώματος. Α. Πάνω σε ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο Για τον υπολογισμό του τριπλού ολοκληρώματος πάνω σε ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο ισχύει το ακόλουθο: Θεώρημα 5. (Fubini) Εστω f : R είναι συνεχής συνάρτηση πάνω στο ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο Τότε οι συναρτήσεις R = x,y,z : a x b, a y b, a z b. g y z b f x y z dx, (, ) (,, ) a b g x z f x y z dy, (, ) (,, ) a (, ) b (,, ) a g x y f x y z dz
6 είναι συνεχείς επί των ορθογωνίων χωρίων D, a, b a, b D a, b a, b και D a, b a, b, επιπλέον f x y z dxdydz (,, ) (,, ), D a b,, αντιστοίχως και f x y z dz dxdy b b f ( x, y, z) dy dxdz (,, ) f x y z dx dydz. D a D a,, Το Θεώρημα 5. μας λέει ότι τα τριπλά ολοκληρώματα πάνω σε ορθογώνια παραλληλεπίπεδα μπορούν να υπολογισθούν ολοκληρώνοντας αρχικά ως μία τυχαία μεταβλητή (κρατώντας τις υπόλοιπες δύο σταθερές), οπότε καταλήγουμε σε διπλό ολοκλήρωμα επί ορθογωνίου χωρίου. Στη συνέχεια ολοκληρώνουμε ως προς κάποια από τις εναπομείναντες μεταβλητές (κρατώντας την άλλη σταθερή) και καταλήγουμε σε ολοκλήρωμα συνάρτησης μιας μεταβλητής. Β. Πάνω σε φραγμένο στερεό Ορισμός 5. Εστω είναι κλειστό και φραγμένο στερεό του το σύνορο του οποίου έχει αμελητέο όγκο. Τότε το καλείται κανονικό ως προς y, εάν (α) το εσωτερικό του είναι ένα μη κενό συνεκτικό σύνολο και (β) κάθε ευθεία παράλληλη προς τον άξονα των y που διέρχεται από το εσωτερικό του έχει δύο μόνον κοινά σημεία με το σύνορο του. Με όμοιο τρόπο ορίζουμε ότι το είναι κανονικό ως προς x ή ως προς z. Aν το είναι κανονικό και ως προς x και ως προς y και ως προς z θα λέμε απλά ότι το είναι κανονικό σύνολο. Θεώρημα 5.4 Έστω f : είναι μία συνεχής συνάρτηση πάνω σε κλειστό και φραγμένο στερεό με σύνορο αμελητέου όγκου και έστω ότι τα χωρία D, D και D είναι οι ορθογώνιες xy προβολές του στερεού πάνω στα επίπεδα Oxy, Οxz και Oyz αντίστοιχα. (i) Αν το είναι κανονικό ως προς x στερεό της μορφής xz yz 4
7 = x, y,z : y,z D, g ( y,z) x g ( y,z), yz όπου g, g: Dyz είναι συνεχείς συναρτήσεις δύο μεταβλητών πάνω στο χωρίο, τότε D yz (,, ) (,, ) yz (, ) g ( y, z) f x y z dxdydz f x y z dx dydz. D g y z (ii) Αν το είναι κανονικό ως προς y στερεό της μορφής = x, y,z : x,z D, h ( x,z) y h ( x,z) xz όπου h, h: Dxz είναι συνεχείς συναρτήσεις δύο μεταβλητών πάνω στο χωρίο, τότε D xz (,, ) (,, ) xz (, ) h ( x, z) f x y z dxdydz f x y z dy dxdz. D h x z (iii) Αν το είναι κανονικό ως προς z στερεό της μορφής = x,y,z : x,y D, k ( x,y) z k ( x,y) xy όπου k, k: Dxy είναι συνεχείς συναρτήσεις δύο μεταβλητών πάνω στο χωρίο, τότε D xy (,, ) (,, ) xy (, ) k ( x, y) f x y z dxdydz f x y z dz dxdy. D k x y (iv) Aν το είναι κανονικό στερεό και άρα μπορεί να εκφρασθεί είτε μέσω της μορφής (i) είτε μέσω της (ii), είτε μέσω της (iii), τότε f x y z dxdydz (,, ) (,, ) xy (, ) k ( x, y) D k x y f x y z dz dxdy h( x, z) g( y, z) f ( x, y, z) dy (, ) dxdz (,, ) (, ) f x y z dx dydz. D h x z D g y z xz yz 5
8 Σημείωση: Το δυσκολότερο μέρος υπολογισμού ενός τριπλού ολοκληρώματος είναι η εύρεση των ορίων ολοκλήρωσης. Αν το στερεό δεν είναι κανονικό ούτε ως προς x ούτε ως προς y ούτε ως προς z προσπαθούμε να το εκφράσουμε ως ένωση κανονικών στερεών ξένων μεταξύ τους ανά δύο. Στη συνέχεια δουλεύουμε σε κάθε κανονικό στερεό ξεχωριστά. Έστω είναι στερεό κανονικό ως προς z. Tότε για να υπολογίσουμε τα όρια ολοκλήρωσης στο f ( x, y, z ) dxdydz εργαζόμαστε ως εξής: Παίρνουμε τυχαία ευθεία L παράλληλη με τον άξονα zz (ή κάθετη στο επίπεδο Οxy) που να διαπερνά τo στερεό κατά τη διεύθυνση αύξησης των z. Ολοκληρώνουμε την f ως προς z από την τιμή της επιφάνειας z=g (x,y) μέσω της οποίας η ευθεία L εισέρχεται στo στερεό, έως την τιμή της επιφάνειας z= g (x,y) μέσω της οποίας η ευθεία L εξέρχεται από το στερεό. Τα χωρίο D xy στερεού στο επίπεδο Οxy. προκύπτει από την oρθογώνια προβολή του Eφαρμογές του τριπλού ολοκληρώματος (α) Εστω είναι κλειστό και φραγμένο στερεό με σύνορο αμελητέου όγκου. Tότε το τριπλό ολοκλήρωμα V, dxdydz ισούται με τον όγκο του στερεού. (β) Εστω : (, ) είναι πυκνότητα μάζας που κατανέμεται με συνεχή τρόπο επί στερεού. Τότε το τριπλό ολοκλήρωμα M ( x, y, z) dxdydz ισούται με τη συνολική μάζα του. Επιπλέον το κέντρο βάρους (x,y,z ) του δίνεται από τις σχέσεις 6
9 x M x( x, y, z) dxdydz M y( x, y, z) dxdydz, y M ( x, y, z) dxdydz M ( x, y, z) dxdydz yz xz, z M M xy z( x, y, z) dxdydz ( x, y, z) dxdydz όπου οι M yz, M xz και M xy είναι οι ροπές ης τάξης του. 5.. Αλλαγή συστήματος συντεταγμένων. Θεώρημα 5.5 Εστω F : T G είναι ένα συνεχώς διαφορίσιμο και αντιστρέψιμο πεδίο επί κλειστού και φραγμένου τόπου της μορφής F u,v,w x,y,z x u,v,w,y u,v,w, z u,v,w, δηλαδή x x x u v w ( ) Dx, y,z F u v w u,v,w D u,v,w J P y y y z z z u v w Αν f : G είναι μία συνεχής συνάρτηση, τότε T G. G D x, y,z f x, y,zdxdydz f xu,v,w, yu,v,w, zu,v,w dudvdw T D u,v,w (α)μετασχηματισμός σε κυλινδρικές συντεταγμένες. Σ αυτή την περίπτωση έχουμε: άρα: συνφ -ρημφ D x,y,z = ημφ ρσυνφ = ρσυν φ+ ρημ φ= ρ, D ρ,φ,z f x, y,z dxdydz = f ρσυνφ,ρημφ,z ρdρdφdz. G 7
10 (β) Μετασχηματισμός σε σφαιρικές συντεταγμένες. Στην περίπτωση αυτή έχουμε: συνθημφ -rημθημφ rσυνθσυνφ D x,y,z = ημθημφ rσυνθημφ rημθσυνφ Dr,θ,φ συνφ -rημφ, r ημφ όπου και. Αρα συνεπώς D x, y,z r ημφ D r,θ,φ, G f x, y,z dxdydz f rσυνθημφ, rημθημφ, rσυνφ r ημφdrdθdφ T Παρατήρηση. O ορισμός των τριπλών ολοκληρωμάτων μπορεί να γενικευθεί και σε χώρους περισσοτέρων διαστάσεων. Τότε έχουμε τα λεγόμενα πολλαπλά ολοκληρώματα. 5.4 Λυμένες ασκήσεις. Να υπολογισθεί το τριπλό ολοκλήρωμα. xydxdzdy Λύση. H oλοκλήρωση γίνεται επί ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου οπότε έχουμε x ( ) xydx dzdy y dzdy y y dzdy y yz 9y 6y dz dy dy dy 5y 5 dy 4. x y z dxdydz, όπου είναι το φραγμένο στερεό μεταξύ των επιφανειών x=,y=,z=, y=x και z=x+y.. Να υπολογισθεί το τριπλό ολοκλήρωμα 8
11 Λύση. Εχουμε xy ( x y z) dxdydz ( x y z) dz dydx D x y x z xz yz dydx x x y dydx x y y x dx x x x x 8 dx Να υπολογισθεί το τριπλό ολοκλήρωμα xyzdxdydz, όπου είναι το στερεό μεταξύ των επιπέδων x=,y=,z= και x+y+z=. Λύση. Το στερεό είναι ένα πρίσμα το οποίο είναι κανονικό. yy ' zz ' xx ' Η oρθογώνια προβολή D του πρίσματος στο επίπεδο Οxy προκύπτει θέτοντας z= στην x+y+z=, συνεπώς είναι το τρίγωνο με πλευρές x=, y= και x+y=. Θεωρούμε ευθεία παράλληλη στον άξονα των z z όπως φαίνεται στο σχήμα. Αυτή πάντα εισέρχεται από την τιμή z= και εξέρχεται πάνω στην επιφάνεια z=-x-y. Aρα έχουμε xy xy z xyzdxdydz xyzdz dxdy xy dxdy D D xy x y dxdy D. 9
12 Oπως είπαμε παραπάνω το χωρίο D είναι το τρίγωνο με πλευρές x=, y= και x+y=. Με τη συνήθη ολοκλήρωση που μάθαμε για τα διπλά ολοκληρώματα έχουμε x xy x y dxdy xy x y dy dx D Να υπολογισθεί ο όγκος που περικλείεται μεταξύ των επιφανειών με εξισώσεις z = x +y και z = 8 - x - y. Λύση. Οι δύο επιφάνειες τέμνονται πάνω στην έλλειψη x +y = 8 - x - y x +y = 4. Αρα η κοινή προβολή των επιφανειών αυτών στο επίπεδο Οxy είναι το χωρίο D ( x, y) : x y 4. Eχουμε λοιπόν: 8-x -y. V = dzdxdy 8 - x - 4y dxdy D x +y D Με αλλαγή μεταβλητής στον κυκλικό δίσκο x, το χωρίο D y μετασχηματίζεται και έχουμε D (, ) :,, π 8 - x - 4y dxdy 8 - ρ dρdθ 8π D ρ. 5. Υπολογίστε τον όγκο του στερεού που φράσσεται κάτω από το επίπεδο Οxy, πάνω από τη σφαίρα x + y + z = 4α και πλευρικά από ρ = ασυνθ, θ -π/,π/, ( a ). τον κύλινδρο Λύση. Το στερεό είναι η τομή των επιφανειών όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα (στο σχήμα θεωρήσαμε ενδεικτικά ότι a=): 4
13 .5 z'z x'x To στερεό είναι κανονικό ως προς z. Aρα οποιαδήποτε ευθεία παράλληλη στον άξονα z z εισέρχεται στο στερεό από την τιμή z= και εξέρχεται μέσω του άνω ημισφαιρίου z = 4a x y. Επίσης φαίνεται από το σχήμα ότι η προβολή της πάνω στο επίπεδο Οxy είναι ο κύκλος ρ = ασυνθ, θ -π/,π/ όπως φαίνεται στο σχήμα y'y - - y'y 4 x'x - - Εφόσον η προβολή δίνεται σε πολικές συντ/νες είναι λογικό να χρησιμοποιήσουμε μετασχηματισμό σε κυλινδρικές συντ/νες για να βρούμε τον όγκο του στερεού. Εχουμε x, y, z z και λαμβάνοντας υπόψη ότι z = 4a x y 4a ρ έχουμε: 4a -ρ dxdydz = ρdρdθdφ= dz ρdρdθ G D π/ ασυνθ π/ aσυνθ / 4α - ρ ρdρdθ d(4a - ρ ) dθ -π/ -π/ π/ / = (( 4a - 4a συν θ) 8 a ) dθ -π/ 4
14 π/ π/ 8a 8πa 8 8a ημ θ a dθ = ημ θdσυνθ + -π/ -π/ 8a π/ 8πa -συν θ dσυνθ + -π/ / 8a συν θ 8πa 8πa συνθ - + /. 6. Υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωμα zdxdydz + το θετικό ημισφαίριο σφαίρας x y z a,, όπου a. είναι Λύση. Χρησιμοποιούμε το μετασχηματισμό σε σφαιρικές συντ/νες και έχουμε: zdxdydz = + π/ π a rσυνφ r ημφdr dθdφ 4 4 πα π/ πα = ημφσυνφdφ Να υπολογισθεί με τριπλή ολοκλήρωση ο όγκος του στερεού που περικλείεται από τις επιφάνειες z x y, x y a και z=. Λύση. Το στερεό αποτελεί την τομή της κωνικής επιφάνειας z x y και της κυκλικής κυλινδρικής επιφάνειας όπως ενδεικτικά φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα (για α=): x y a
15 Το στερεό είναι άνω φραγμένο από την κωνική επιφάνεια, έχει ως παράπλευρη επιφάνεια τον κύλινδρο και είναι κάτω φραγμένο από το επίπεδο z=. Eχουμε λοιπόν x y V dxdydz dz dxdy x y dxdy D D. Το χωρίο D είναι η προβολή του στερεού στο επίπεδο Οxy, συνεπώς D ( x, y) : x y. Με μετασχηματισμό είναι ο κυκλικός δίσκος σε πολικές συντ/νες παίρνουμε V dd. 8. Να υπολογισθεί με τριπλή ολοκλήρωση ο όγκος του στερεού που περικλείεται από τις επιφάνειες z x y ( ) και x y z 6. Λύση. Το στερεό είναι άνω φραγμένο από το άνω ημισφαίριο και κάτω φραγμένο από την κωνική επιφάνεια όπως φαίνεται στο κάτωθι σχήμα: H προβολή της τομής των επιφανειών x y z 6 στο επίπεδο Οxy είναι το χωρίο z x y ( ) και D x y x y (, ) : 4 το οποίο προκύπτει από την απαλοιφή του z από τις εξισώσεις των δύο επιφανειών. Εχουμε λοιπόν: dxdydz dz dxdy x y x y dxdy 6x y 6 ( ) D ( x y ) D 4
16 / 6 6 dd Υπολογίσετε το (μη γνήσιο) ολοκλήρωμα I x y z a dxdydz, a>. Λύση. Θεωρούμε το στερεό r,, : r r, /, / n n όπου rn, n. Το στερεό n παριστάνει επιφάνεια σφαίρας κέντρου (,,) και ακτίνας για x, y, z. Τότε με μετασχηματισμό σε σφαιρικές συν/νες έχουμε: a / / r n In r drd d r r n / / rn r a a drd d / rn r n dr a dr r a r rn a a r n rn rn a a a. 44
17 5.5 Αλυτες ασκήσεις. Υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωμα dxdydz, ( x y z ) όπου είναι το στερεό μεταξύ των επιπέδων x=,y=,z= και x+y+z=. Απάντ. 8 n 5 6. Υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωμα z x y dxdydz, όπου είναι το στερεό μεταξύ των επιφανειών x +y =, z=x, z= (z). Aπάντ.. Υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωμα I x y z dxdydz είναι το εσωτερικό της μοναδιαίας σφαίρας με κέντρο το (,,)., όπου Aπάντ Υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωμα I το εσωτερικό του ελλειψοειδούς xyzdxdydz, όπου είναι x y z για x, y, z. a b c Aπάντ. abc Υπολογίστε με τριπλή ολοκλήρωση τον όγκο του στερεού που περικλείεται από τις επιφάνειες y x, y x, x+z =6, z =. 6. Υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωμα Aπάντ a b y x y dzdydx, ( a, b ). axx 45
18 7. Υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωμα Aπάντ ab R R x y x y dzdydx, ( R ). R x Aπάντ. 8. Υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωμα R 5 5 x y z dzdxdy επί της σφαίρας με κέντρο το σημείο (,,) και ακτίνα /. Απάντ. 8 n 9. Εστω είναι η στερεά περιοχή που περικλείεται από τα παραβολοειδή z x y και z 6 8x y. Υπολογίστε τους όγκους των δύο στερεών στα οποία χωρίζει ο κύλινδρος 9x 4y το στερεό. Απάντ. V 48 και V 6 46
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 TΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. R = x,y,z :a x b, a y b, a z b. είναι τυχαίες διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [α i,b i ] (i=1,2,3) της µορφής
. Ορισµοί-Ιδιότητες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 TΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Έστω f : R είναι φραγµένη συνάρτηση πάνω σε κλειστό ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο Εστω ( x, y, z) {( ) } R = x,y,z :a x b, a y b, a z b. = είναι µια διαµέριση
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. είναι διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [α,b] και [c,d] αντιστοίχως της µορφής
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 4.. Ορισµοί-Ιδιότητες Έστω f : R είναι µία φραγµένη συνάρτηση πάνω σε µία κλειστή ορθογώνια περιοχή Εστω (, y ) { } R =,y :a b, c y d. = είναι µια διαµέριση της ορθογώνιας
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. είναι διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [α,b] και [c,d] αντιστοίχως της µορφής
. Ορισµοί-Ιδιότητες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Έστω f : R είναι µία φραγµένη συνάρτηση πάνω σε µία κλειστή ορθογώνια περιοχή Εστω (, y ) { } R =,y :a b, c y d. = είναι µια διαµέριση της ορθογώνιας περιοχής
Διαβάστε περισσότεραb proj a b είναι κάθετο στο
ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Βρείτε όλα τα σηµεία P τέτοια ώστε η απόσταση του P από το A(, 5, 3) είναι διπλάσια από την απόσταση του P από το B(6, 2, 2). είξτε ότι το σύνολο όλων αυτών των σηµείων είναι σφαίρα.
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις στο επαναληπτικό διαγώνισμα 3
Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Λύσεις στο επαναληπτικό διαγώνισμα Διπλά Ολοκληρώματα Άσκηση (Υπολογισμός διπλού ολοκληρώματος- Αλλαγή
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα τριπλών oλοκληρωμάτων Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Παραδείγματα τριπλών oλοκληρωμάτων Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα I = x e + z dv όπου = [, ] [,] [,] Η ολοκλήρωση, όπως φαίνεται από τα άκρα ολοκλήρωσης, γίνεται πάνω
Διαβάστε περισσότεραx 3 D 1 (x 1)dxdy = dydx = (x 1)[y] x x 3 dx + x)dx = 3 x5
1 Επαναληπτικές Ασκήσεις 19-1-18 Διπλά Ολοκληρώματα 1. Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα (x 1)dxdy όπου το χωρίο περιέχεται από τις καμπύλες y x και y x. Λύση Οι δύο καμπύλες τέμνονται στα σημεία όπου x x.
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ 6. a2 x 2 y 2. = y
ΛΥΣΕΙΣ 6. Οι ασκήσεις από το βιβλίο των Marsden - romba. 7.5. Θεωρούμε την παραμετρικοποίηση rx, y = x, y, a 2 x 2 y 2, όπου το x, y διατρέχει τον δίσκο στο xy-επίπεδο που ορίζεται από την x 2 +y 2 a 2.
Διαβάστε περισσότεραΑριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Λογισμός 4. Ασκήσεις. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών Α.Π.Θ.
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Λογισμός 4 Ασκήσεις Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 23 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΥπολογισµός τριπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση
00 Υπολογισµός τριπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Στην παράγραφο αυτή θα δούµε πως µπορεί να χρησιµοποιηθεί το θεώρηµα Fubini για τον υπολογισµό τριπλών ολοκληρωµάτων. Ξεκινούµε µε την διατύπωση
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για
Διαβάστε περισσότεραΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. n S f x, y,z ΔV (1) n i i i i i 1
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Τα τριπλά ολοκληρώματα ορίζονται με τρόπο ανάλογο με τα διπλά ολοκληρώματα. Ισχύουν ανάλογα θεωρήματα ολοκληρωσιμότητας και ανάλογες ιδιότητες. Θεωρούμε μια συνάρτηση f,,
Διαβάστε περισσότεραΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 8: Αλλαγή μεταβλητών. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8: Αλλαγή μεταβλητών. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διπλά Ολοκληρώματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Ορθογώνια Χωρία Ορισμός n f( x, y) da lim f( x, y ) = Α Α 0 k
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 4ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Προσεγγίστε τo ολοκλήρωμα ( + ) I d d με αθροίσματα iemann χωρίζοντας το πεδίο ολοκλήρωσης σε ίσα ορθογώνια.
Διαβάστε περισσότερα1 3 (a2 ρ 2 ) 3/2 ] b V = [(a 2 b 2 ) 3/2 a 3 ] 3 (1) V total = 2V V total = 4π 3 (2)
Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Δεύτερο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Για την επίλυση της άσκησης και την εύρεση του ζητούμενου όγκου, αρχικά αναγνωρίζουμε ότι ο τόπος ολοκλήρωσης, είναι ο κύκλος x + y = b, ο οποίος
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Ανάλυση ΙI
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 9: Τριπλά ολοκληρώματα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών
Διαβάστε περισσότερα< F ( σ(h(t))), σ (h(t)) > h (t)dt.
ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ IV, /6/9 Θέμα 1. Εστω : a 1, β 1 ] R μια C 1 καμπύλη. Μια C 1 καμπύλη ρ : a, β] R λέγεται αναπαραμετρικοποίηση της αν υπάρχει h : a, β] a 1, β 1 ], 1 1 επί και
Διαβάστε περισσότεραΑνασκόπηση-Μάθημα 24, 25 Διπλό ολοκλήρωμα
Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Ανασκόπηση-Μάθημα 4, 5 Διπλό ολοκλήρωμα Στο μαθήματα 4 και 5 ( //8, 6 //8 ), μιλήσαμε για το διπλό ολοκλήρωμα.
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 Πολλαπλά Ολοκληρώματα
Κεφάλαιο Πολλαπλά Ολοκληρώματα Διπλά Ολοκληρώματα. Έστω ότι η f ( είναι, ) ορισμένη σε ένα ορθογώνιο χωρίο : a b, c d d ΔA (, ) Δ c Δ a b Το οποίο διαμερίζουμε σε ορθογώνια υποχωρία (, ). Σχηματίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5 Πολλαπλά Ολοκληρώματα
Κεφάλαιο 5 Πολλαπλά Ολοκληρώματα 5. Διπλά Ολοκληρώματα σε ορθογώνιο χωρίο. 5.. Εισαγωγή Έστω ότι η f (, ) είναι ορισμένη σε ένα ορθογώνιο χωρίο : a b, c d d (, ) A c a b Το οποίο διαμερίζουμε σε ορθογώνια
Διαβάστε περισσότεραk ) 2 P = a2 x 2 P = 2a 2 x y 2 Q = b2 y 2 Q = 2b 2 y z 2 R = c2 z 2 R = 2c 2 z P x = 2a 2 Q y = 2b 2 R z = 2c 2 3 (a2 +b 2 +c 2 ) I = 64π
Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πέμπτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Το θεώρημα Gauss γενικά διατυπώνεται ως: F dv = ( F η)dσ (1) V Για την άσκηση όπου μας δίνεται η σφαίρα x + y + z 4 = Φ, το κάθετο διάνυσμα η,
Διαβάστε περισσότεραx y z η οποία ορίζεται στο χωρίο V
HY 111, Απειροστικός Λογισμός Εαρινό Εξάμηνο 011 01 Διδάσκων: Κώστας Παναγιωτάκης 8 ο Φροντιστήριο (18/5/01) Τριπλά Ολοκληρώματα Συνοπτική Θεωρία Έστω ένα στερεό, το οποίο φράσσεται από τις επιφάνειες
Διαβάστε περισσότεραDIPLA KAI TRIPLA OLOKLHRWMATA
Kefˆlio 8 IPLA KAI TRIPLA OLOKLHRWMATA Σημειώσεις Γ. Γεωργίου, ΜΑΣ. 8. iplˆ oloklhr mt 8.. iplì olokl rwm se orjog nio Ορίζουμε πρώτα το διπλό ολοκλήρωμα (double integrl), R[,b]X[,d] d f(, ) da R πάνω
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Ανάλυση ΙI
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 8: Διπλά ολοκληρώματα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 9. Εφαρµογές του ορισµένου ολοκληρώµατος
9. Εµαδόν χωρίου Κεφάλαιο 9 Εφαρµογές του ορισµένου ολοκληρώµατος Στο 7 0 Κεφάλαιο είδαµε ότι αν f είναι µια συνάρτηση συνεχής στο κλειστό και φραγµένο διάστηµα [α,] (α
Διαβάστε περισσότεραΙόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής
Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής Μαθηματικός Λογισμός Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παναγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότερα5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών
Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόµενα. 1 Ολοκληρώµατα ιπλό Ολοκλήρωµα... 1
Περιεχόµενα Ολοκληρώµατα. ιπλό Ολοκλήρωµα...................... i Κεφάλαιο Ολοκληρώµατα. ιπλό Ολοκλήρωµα Ι. Πάνω σε ορθογώνιο Εστω f : R α, β] γ, δ] R µία ϕραγµένη συνάρτηση στο ορθογώνιο R. Ορίζουµε
Διαβάστε περισσότερα2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y)
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Εστω f : R R η συνάρτηση με τύπο y + x sin 1, για y 0, f(x, y) = y 0, για y = 0. (α) Να αποδειχθεί οτι lim f(x, y) = 0. (x,y) (0,0) (β) Να αποδειχθεί οτι το lim(lim f(x, y)) δεν
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος
Παραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Να υπολογισθεί με τρόπους το ολοκλήρωμα I d d 0 Η ολοκλήρωση, όπως φαίνεται από τα άκρα ολοκλήρωσης, γίνεται πάνω στο ορθογώνιο χωρίο R 0,,
Διαβάστε περισσότεραΟλοκληρώματα. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ
ΗΥ- Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Ολοκληρώματα Εφαρμογές Ολοκληρωμάτων Υπολογισμός μήκους Υπολογισμός εμβαδού Υπολογισμός όγκου Χρήση σε Τύπους/Μετρικές Φυσική Πιθανότητες Γραφική Θέματα Αναγνώρισης προτύπων
Διαβάστε περισσότερα6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet).
6 Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Diichlet) Aρµονικές συναρτήσεις Ορισµός 61 Εστω E είναι ανοικτό σύνολο και f : E είναι µια πραγµατική συνάρτηση δύο πραγµατικών µεταβλητών και y Θα λέµε
Διαβάστε περισσότεραEPIKAMPULIA KAI EPIFANEIAKA OLOKLHRWMATA
Kefˆlaio 9 EPIKAMPULIA KAI EPIFANEIAKA OLOKLHRWMATA Σημειώσεις Γ. Γεωργίου, ΜΑΣ 1. 9.1 EpikampÔlia oloklhr mata Ορισμός Εστω f : R R βαθμωτό πεδίο συνεχές στη 1 καμπύλη σ : [a, b] R. ολοκλήρωμα α είδους
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 2017
Πανεπιστηµιο Πατρων Πολυτεχνικη Σχολη Τµηµα Μηχανικων Η/Υ & Πληροφορικης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 217 Θ1. Θεωρούµε την συνάρτηση f(x, y, z) = 1 + x 2 + 2y 2 z. (αʹ) Να ϐρεθεί
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: : : : ma 3 για κάθε Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: 3 3 Τι συμπεραίνετε για τις παραπάνω νόρμες του Αν θεωρήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ Χειμερινό εξάμηνο Ασκήσεις 1.
ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ Χειμερινό εξάμηνο -7 Ασκήσεις Αποδείξτε την ανισότητα Cuch-Schwr Για R Δείξτε ότι η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν τα διανύσματα και είναι συγγραμμικά Αποδείξτε την τριγωνική ανισότητα
Διαβάστε περισσότεραΟλοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Ολοκληρώματα. τεχνικές. 108 ασκήσεις. εκδόσεις.
Ολοκληρώματα Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Ολοκληρώματα τεχνικές 08 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglkos.gr / / 0 7 εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας : 0-60.78
Διαβάστε περισσότεραds ds ds = τ b k t (3)
Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πρώτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Γνωρίζουμε ότι το εφαπτόμενο διάνυσμα ( t), ορίζεται ως: t = r = d r ds (1) και επιπλέον το διάνυσμα της καμπυλότητας ( k), ορίζεται ως: d t k
Διαβάστε περισσότεραΟλοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Ολοκληρώματα. τεχνικές. 108 ασκήσεις. εκδόσεις.
Ολοκληρώματα Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Ολοκληρώματα τεχνικές 08 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglkos.gr / / 0 9 εκδόσεις Καλό πήξιμο Τα πάντα για τα Ολοκληρώματα
Διαβάστε περισσότεραΑνασκόπηση-Μάθημα 29 Σφαιρικές συντεταγμένες- Εφαρμογές διπλού και τριπλού ολοκληρώματος- -Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα α είδους
Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Ανασκόπηση-Μάθημα 29 Σφαιρικές συντεταγμένες- Εφαρμογές διπλού και τριπλού ολοκληρώματος- -Επικαμπύλιο
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/2017. Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. dy dx = 2y + x 2 y 2 2x
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/017 Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης dx y + x y. x Παρατηρούμε ότι η δ.ε. είναι ομογενής. Πράγματι, dx y x + 1 x y x y x + 1 (
Διαβάστε περισσότεραxsin ydxdy (α) Εάν το χωρίο R είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x=α και x=β και από πάνω και κάτω από τις καμπύλες dr = dxdy
ΔΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Εφαρμογή Να υολογιστεί το ολοκλήρωμα : cos sin dd Ολοκληρώνουμε ρώτα ως ρος θεωρώντας το σαν σταθερά (αρατηρούμε ότι το «εσωτερικό» ολοκλήρωμα είναι ως ρος, δηλαδή ρώτα εμφανίζεται το
Διαβάστε περισσότερα14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων
14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις Λογισμού ΙΙ
Σημειώσεις Λογισμού ΙΙ https://github.com/kongr45gpen/ece-notes 16, Εαρινό εξάμηνο Περιεχόμενα I Ατρέας 3 Διανυσματικές συναρτήσεις & καμπύλες στο χώρο 3..1 Όριο και συνέχεια διανυσματικών συναρτήσεων....................
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος 18/4/2018 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος 8/4/8 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Να εξετάσετε ως προς τα τοπικά ακρότατα τη συνάρτηση: f x x x (,
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές)
ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής
Διαβάστε περισσότεραf f 2 0 B f f 0 1 B 10.3 Ακρότατα υπό συνθήκες Πολλαπλασιαστές του Lagrange
Μέγιστα και ελάχιστα 39 f f B f f yx y x xy Οι ιδιοτιμές του πίνακα Β είναι λ =-, λ =- και οι δυο αρνητικές, άρα το κρίσιμο σημείο (,) είναι σημείο τοπικού μεγίστου. Εφαρμογή 6: Στο παράδειγμα 3 ο αντίστοιχος
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η ανασκόπηση βασικών μαθηματικών εργαλείων που αφορούν τη μελέτη διανυσματικών συναρτήσεων [π.χ. E(, t) ]. Τα εργαλεία αυτά είναι
Διαβάστε περισσότεραΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/ Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: 0 2 xx, που ισχύει.
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: Ν : = + + + Ν : = + + + Ν : = ma 3 για κάθε = ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε = ( ) ισχύει: Ν ( ) Ν ( ) Ν ( ) Ν (
Διαβάστε περισσότεραΑνασκόπηση-Μάθημα 28 Τριπλό ολοκλήρωμα-κυλινδρικές-σφαιρικές συντεταγμένες
Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Ανασκόπηση-Μάθημα 28 Τριπλό ολοκλήρωμα-κυλινδρικές-σφαιρικές συντεταγμένες Στο μαθήμα 28 (3 /2/28), συνεχίσαμε
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικά Πεδία Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Θεώρημα Green Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα
Διαβάστε περισσότεραΥπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση
8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα. Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 D (, ) :9 0, 4 0 (, ) :
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικά Πεδία Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Θεώρημα Green Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 Να υπολογίσετε το κάθε όριο αν υπάρχει ή να
Διαβάστε περισσότερα( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}
7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]
Διαβάστε περισσότεραΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 5: Το Θεώρημα του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Το Θεώρημα του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΙόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής
Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής Μαθηματικός Λογισμός Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ- ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Παναγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραv y = 12x 2 y + 4y v(x, y) = 6x 2 y 2 + y 4 + y + c(x). f(z) = u(z, 0) + iv(z, 0) = z + i(z 4 + c), f(z) = iz 4 + z i.
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μιγαδική Ανάλυση ΟΜΑΔΑ: Α 0 Ιουλίου, 0 Θέμα. (αʹ) Να βρεθεί η τιμή του a R για την οποία η συνάρτηση u(x, y) ax 3 y +4xy
Διαβάστε περισσότεραΑπειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Υποδείξεις - Συχνά Λάθη
Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Υποδείξεις - Συχνά Λάθη Διδάσκοντες: Δάλλα - Αλικάκος 6 Ιουλίου 204 Θέμα (α) Από την γνωστή ανισότητα a 2 + b 2 2 ab, όταν (x, y) (0, 0), τότε ισχύει: f(x, y) f(0, 0) x 2 y 2x
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις στα Ολοκληρώματα, Αόριστο Ολοκλήρωμα, Ορισμένο Ολοκλήρωμα, Πολλαπλά Ολοκηρώματα για τα Γενικά Μαθηματικά ΙΙ, Τμήματος Χημείας Διδάσκων: Μιχάλης Ξένος, email : menos@cc.uoi.gr Μαρτίου. Να υπολογιστούν
Διαβάστε περισσότεραΑλλαγή µεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωµα ( ) Β R Jordan µετρήσιµα υποσύνολα του U. R, ανοικτό µε. y y y συµβολίζει την ορίζουσα του πίνακα Jacobi
8 λλαγή µεταβλητής στο τριλό ολοκλήρωµα Υενθυµίζουµε ( Θεωρηµα ) το γενικό τύο αλλαγής µεταβλητής στο ολλαλό ολοκλήρωµα: f ( y) dy= f ( g( x) ) det J g( x) dx (), Β= g n όου, Β Jodan µετρήσιµα υοσύνολα
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά
Διαβάστε περισσότεραΥπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση
8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός
Διαβάστε περισσότεραΟλοκληρωτικός Λογισμός
Ολοκληρωτικός Λογισμός Ορισμένο Ολοκλήρωμα Αόριστο Ολοκλήρωμα o Ιδιότητες Αόριστου Ολοκληρώματος o Βασικά Αόριστα ολοκληρώματα o Τεχνικές Ολοκλήρωσης o Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Εφαρμογές Ολοκληρώματος
Διαβάστε περισσότεραΠ Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων
Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων Πρ. Η f : [0, ] R είναι συνεχής στο [0, ]. Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα Bolzao- Weierstraß δείξτε ότι η f είναι φραγμένη στο [0, ]. Μην επικαλεστείτε κάποιο άλλο θεώρημα.
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικά Πεδία Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Θεώρημα Green Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8. Επιφανειακά Ολοκληρώµατα-Θεώρηµα Απόκλισης- Τύπος Stokes
Κεφάλαιο 8 Επιφανειακά Ολοκληρώµατα-Θεώρηµα Απόκλισης- Τύπος Stokes 1 Παραµετροποιηµένες επιφάνειες Ορισµός 81 Έστω είναι τόπος του r : : και r u,v = x u,v, u,v,z u,v είναι µια συνεχής διανυσµατική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ (ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑ )
ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ (ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑ ) Η περιστροφική αδράνεια ενός σώματος είναι το μέτρο της αντίστασης του στη μεταβολής της περιστροφικής του κατάστασης, αντίστοιχο της μάζας στην περίπτωση της μεταφορικής
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1 Γενικά Επειδή οι επιφάνειε δευτέρου βαθμού συναντώνται συχνά στη μελέτη των συναρτήσεων πολλών μεταβλητών θεωρούμε σκόπιμο να τι περιγράψουμε στην αρχή του βιβλίου
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Όπως είδαμε στο Κεφάλαιο 1 κάθε συνεχής απεικόνιση
KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Όπως είδαμε στο Κεφάλαιο κάθε συνεχής απεικόνιση i r :, : r t f t,, f t, f :, καλείται καμπύλη του χώρου r = r τότε η καμπύλη σε παραμετρική μορφή Αν καλείται κλειστή
Διαβάστε περισσότεραΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
6 KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η θεωρία μεγίστων και ελαχίστων μιας πραγματικής συνάρτησης με μια μεταβλητή είναι γνωστή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τη θεωρία μεγίστων και ελαχίστων
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS
ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS 1 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΡΟΗ O νόμος του Gauss και o νόμος του Coulomb είναι δύο εναλλακτικές διατυπώσεις της ίδιας βασικής σχέσης μεταξύ μιας κατανομής φορτίου και του
Διαβάστε περισσότεραΜέγιστα & Ελάχιστα. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ
ΗΥ-111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Μέγιστα & Ελάχιστα 1 μεταβλητή: Τύπος Taylor Aν y=f(x) είναι καλή συνάρτηση f '( a) f ''( a) f ( a) f x f a x a x a x a R x 1!! n! n + 1 f ( c) n + 1 Rn ( x) = ( x a), a
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα
KΕΦΑΛΑΙΟ 3 Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Talor-Aκρότατα 3 Πλεγµένες συναρτήσεις Σε πολλές περιπτώσεις συναντούµε µία (ή και περισσότερες) εξισώσεις µεταξύ διαφόρων µεταβλητών πχ της µορφής e + συν (
Διαβάστε περισσότεραΟρισμένες σελίδες του βιβλίου
Ορισμένες σελίδες του βιβλίου 7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των
Διαβάστε περισσότερα{ } S= M(x, y,z) : x= f (u,v), y= f (u,v), z= f (u,v), για u,v (1.1)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1. Γενικά Επειδή οι επιφάνειες δευτέρου βαθµού συναντώνται συχνά στη µελέτη των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών θεωρούµε σκόπιµο να τις περιγράψουµε στην αρχή του βιβλίου
Διαβάστε περισσότεραΕργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες
Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε
Διαβάστε περισσότερα= lim. e 1. e 2. = lim. 2t 3
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ, 6/06/017 Θέμα 1. Δίνεται η συνάρτηση f : R R με f(0, 0) = 0 και f(x, y) = x3 + y 3 x + y αν (x, y) (0, 0). (i) Δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο (0, 0). (ii) Αν u
Διαβάστε περισσότερα0.8 Επικαµπύλια ολοκληρώµατα
0.8 Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. Έστω η καµπύλη = ( r = r( t) = ( t, t,ln t), t > 0). Να ευρεθεί το µήκος της µεταξύ των σηµείων A = (,, 0) και B = (4,4,ln ). Έχουµε r () t = (,, t ) ( t > 0). Άρα το µήκος
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4. bt (γιατί;).
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ 1 Τμήμα Α Ακ.Έτος: 6-7 Διδάσκων Σ.Ε.Π. : Τρύφων Δάρας ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4 ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Μία συνάρτηση της μορφής r ():[ aβ, ] (αντίστοιχα r ():[, ] aβ ) λέμε ότι παριστάνει
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 5/9/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Να δειχθεί ότι το πεδίο F( x, y) = y cos x + y,sin x
Διαβάστε περισσότεραΗ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας
Διαβάστε περισσότεραΚαµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως
Καµπύλες στον R 9. Ορισµός Μια καµπύλη στον R είναι µια συνεχής συνάρτηση σ : Ι R R όπου Ι διάστηµα ( συνήθως κλειστό και φραγµένο ) στον R. Συνήθως φανταζόµαστε την µεταβλητή t Ι ως τον χρόνο και την
Διαβάστε περισσότεραΑόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα.
Αόριστο ολοκλήρωμα Αντιπαράγωγος μίας συνάρτησης f() ορισμένης σε ένα διάστημα [α,β] λέγεται κάθε συνάρτηση F() που επαληθεύει την ισότητα F( ) f ( ) F( ) c επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα
Διαβάστε περισσότεραϑανασησ ΚΕΧΑΓΙΑΣ Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων και ιανυσµατικων Συναρτησεων Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας
Σηµειωσεις : Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων και ιανυσµατικων Συναρτησεων Θ. Κεχαγιας Μαρτης 2009 Περιεχόµενα 1 Επιφανειες 1 1.1 Θεωρια.................................... 1 1.2 Αλυτα Προβληµατα..............................
Διαβάστε περισσότεραΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 6, Γραφ. 1, Στρόβολος, Λευκωσία Τηλ. 57-7811 Φαξ: 57-791 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Δευτέρα, Ιουνίου 14 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος (Λύσεις) Ι. Λυχναρόπουλος
3/4/6 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος (Λύσεις) Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες.5) Έστω το ολοκλήρωμα: I da {(, ) :, } 3 ( + 3 ) Να εκφράσετε το ολοκλήρωμα σε νέες συντεταγμένες, οι οποίες ορίζονται
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Εξίσωση Συνέχειας Αστρόβιλη Ροή Εξισώσεις Κίνησης. Σειρά ΙΙ 2
Περιεχόμενα Εξίσωση Συνέχειας Αστρόβιλη Ροή Εξισώσεις Κίνησης Σειρά ΙΙ 2 Πεδίο ταχύτητας Όγκος Ελέγχου Καρτεσιανές Συντεταγμένες w+(/)dz z y u dz u+(/ x)dx x dy dx w Σειρά ΙΙ 3 1. Εισαγωγή 1.1 Εξίσωση
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης Ενότητα 4: Ολοκλήρωση επί Καρτεσιανών γινομένων Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΤΡΙΑΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ Άσκηση 11.1.2. (i) Είναι η συνάρτηση d : R R R με τύπο d(x, y) = (x y) 2 μετρική στο R; (ii) Ίδια ερώτηση για την d : R R R με τύπο d(x, y) = x y
Διαβάστε περισσότερα(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα
Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες
Διαβάστε περισσότερα2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ
63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης
Διαβάστε περισσότερα9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού
1 2 Τα θεωρήματα του Green, Stokes και Gauss 211 9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού Ήδη στην παράγραφο 5.7 ασχοληθήκαμε με την ύπαρξη συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΣτην πράξη βρίσκουμε το Ν Α [το P (A)] όχι με παρατηρήσεις, αλλά με τη χρήση της λογικής (π.χ. ζάρι) ή της Φυσικής (π.χ. όγκος)
Αν σε σύστημα που διατηρείται σε σταθερές συνθήκες κάνουμε Ν παρατηρήσεις και από αυτές στις Ν Α παρατηρήθηκε το γεγονός Α, τότε λέμε ότι η πιθανότητα να συμβεί αυτό το γεγονός δίνεται από τη σχέση: P
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γράφημα μιας πραγματικής συνάρτησης : ή ( )/ σύνολο: f Οι θέσεις του κινητού σημείου G ( x, y)/ y f( x), xa. f A y f x A είναι το M x, y, ώστε
Διαβάστε περισσότερα