ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1 ο : α) Τι λέμε ταυτότητα; (ορισμό) β) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ταυτότητες i) ( ) ii) ( ) γ) Πως πολλαπλασιάζουμε πολυώνυμο με πολυώνυμο; (ορισμό) Θέμα ο : α) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες για δύο παραπληρωματικές γωνίες και : i) ( ) ii) ( ) iii) ( ) β) Να γράψετε το νόμο των ημιτόνων και το νόμο των συνημιτόνων για ένα τρίγωνο ΑΒΓ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1 η : Στο διπλανό σχήμα δίνετε η γραφική παράσταση της συνάρτησης. Να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα: α) τι καμπύλη είναι η γραφική της παράσταση; β) ποια είναι η κορυφή αυτής της καμπύλης; γ) ποιος είναι ο άξονας συμμετρίας της καμπύλης; δ) η συνάρτηση αυτή παίρνει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή; Ποια είναι αυτή; ε) από ποια σημεία των αξόνων yy και xx περνάει η γραφική παράσταση; Άσκηση η : Να λύσετε το σύστημα { Άσκηση 3 η Στο παρακάτω σχήμα είναι ΟΑ=ΟΓ και ΟΒ=ΟΔ. Να αποδείξετε ότι ΒΓ=ΑΔ. Τάσος Αρβανίτης Σελίδα 1 από 8
ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1 ο : α) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ταυτότητες αβ i) αβ ii) 3 iii) α βα β β) Πως πολλαπλασιάζουμε μονώνυμο με μονώνυμο; (Ορισμό). γ) Πως πολλαπλασιάζουμε μονώνυμο με πολυώνυμο; (Ορισμό). Θέμα ο : α) Πότε δύο πολύγωνα είναι όμοια; (Ορισμό). β) Να γράψετε τις σχέσεις που πρέπει να ισχύουν, ώστε τα παρακάτω πολύγωνα να είναι όμοια. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1 η : Να κάνετε τις πράξεις στην παράσταση ώστε να απλοποιηθεί Α α β α α β α β αβ Άσκηση η : Να λύσετε το σύστημα 3x y 5 4x y 8 Άσκηση 3 η : Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες σαν σωστές ή λάθος αντίστοιχα βάζοντας στο αντίστοιχο πλαίσιο που είναι δίπλα τους τη λέξη ΣΩΣΤΗ ή τη λέξη ΛΑΘΟΣ. ο i) ημ140 ημ40 ii) iii) iv) v) vi) συν ο -συν ο ο συν 65 συν 5 εφ ο εφ6 ο ο ημ 45 ημ 5 εφ ο -εφ7 ο ο ο ο Τάσος Αρβανίτης Σελίδα από 8
ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1 ο : Για την εξίσωση, να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις i) Η ποσότητα Δ= ονομάζεται διακρίνουσα. ii) Αν, η εξίσωση έχει λύσεις, τις iii) Αν, η εξίσωση έχει λύση, την x= iv) Αν, η εξίσωση Θέμα ο : Να γράψετε τα τρία κριτήρια ισότητας των τριγώνων. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1 η : Να κάνετε τις πράξεις στην παράσταση ώστε να απλοποιηθεί ( 5 ) ( ) ( )( ) Άσκηση η : Να λύσετε το σύστημα 4 5 } Άσκηση 3 η : Να εξετάσετε αν τα παρακάτω τρίγωνα είναι ίσα. Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1 ο : α) Τι λέμε ταυτότητα; (ορισμό) β) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ταυτότητες i) ( ) ii) ( ) γ) Πως πολλαπλασιάζουμε πολυώνυμο με πολυώνυμο; (ορισμό) Τάσος Αρβανίτης Σελίδα 3 από 8
Θέμα ο : α) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες για δύο παραπληρωματικές γωνίες και : i) ( ) ii) ( ) iii) ( ) β) Αν ( ) είναι ένα σημείο στην πλευρά της γωνίας ω, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, να συμπληρώσετε τις ισότητες: (ΟΜ=ρ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ i) ii) iii) Άσκηση 1 η : Στο διπλανό σχήμα δίνετε η γραφική παράσταση της συνάρτησης. Να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα: α) τι καμπύλη είναι η γραφική της παράσταση; β) ποια είναι η κορυφή αυτής της καμπύλης; γ) ποιος είναι ο άξονας συμμετρίας της καμπύλης; δ) η συνάρτηση αυτή παίρνει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή; Ποια είναι αυτή; ε) από ποια σημεία των αξόνων yy και xx περνάει η γραφική παράσταση; Άσκηση η : Να λύσετε το σύστημα { Άσκηση 1 η : Στο διπλανό σχήμα δίνετε η γραφική παράσταση της συνάρτησης 4. Να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα: α) τι καμπύλη είναι η γραφική της παράσταση; β) ποια είναι η κορυφή αυτής της καμπύλης; γ) ποιος είναι ο άξονας συμμετρίας της καμπύλης; δ) η συνάρτηση αυτή παίρνει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή; Ποια είναι αυτή; ε) από ποιο σημείο του άξονα yy περνάει η γραφική παράσταση; Άσκηση η : Να λύσετε το σύστημα { 6 7 Τάσος Αρβανίτης Σελίδα 4 από 8
Άσκηση 1 η : Στο διπλανό σχήμα δίνετε η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης της μορφής η οποία περνάει από το σημείο Α(1,): α) Να βρείτε το α της συνάρτησης. β) Να βρείτε την τετμημένη x των σημείων της γραφικής παράστασης έχουν τεταγμένη y=8. γ) Να βρείτε την τεταγμένη y των σημείων της γραφικής παράστασης που έχουν τετμημένη x=-3 και x=3 αντίστοιχα. δ) Τι καμπύλη είναι η γραφική της παράσταση; ε) ποια είναι η κορυφή αυτής της καμπύλης; στ) Ποιος είναι ο άξονας συμμετρίας της καμπύλης; ζ) η συνάρτηση αυτή παίρνει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή; Ποια είναι αυτή; 3,5 3,5 1,5 1 0,5 0,5 1 y A: (1, ) 1 1 x Άσκηση η : Να λύσετε το σύστημα { Άσκηση 3 η : Στο παρακάτω τρίγωνο είναι 55 45 : α) Να γράψετε τον νόμο των ημιτόνων για το τρίγωνο ΑΒΓ. β) Να υπολογίσετε την πλευρά ΑΒ. γ) Να υπολογίσετε την γωνία Α και δ) Να υπολογίσετε την πλευρά ΒΓ. A AΓ = 10 cm Δίνονται: 55 45 7 7 5 Β Β = 55 Γ = 45 Γ Τάσος Αρβανίτης Σελίδα 5 από 8
ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ : Α. απλοποιήστε το κλάσμα 4 B. κάντε τον πολλαπλασιασμό Γ. βρείτε το άθροισμα ΘΕΩΡΙΑ: α. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις η εξίσωση 1 ου βαθμού i. Έχει μια λύση x=, όταν ii. Είναι ταυτότητα όταν iii. Είναι αδύνατη όταν β. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις ώστε να είναι σωστές i. Στην εξίσωση, Δ= λέγεται της εξίσωσης. ii. Η εξίσωση a. Αν Δ=0, έχει λύσεις b. Αν Δ δεν έχει λύση c. Αν Δ έχει διαφορετικές λύσεις που δίνονται από τον τύπο iii. Αν είναι λύσεις της εξίσωσης, τότε το τριώνυμο γράφεται σαν γινόμενο ( ) ( ) iv. Οι ελλιπείς μορφές της εξίσωσης ου βαθμού είναι: Α. από την οποία λείπει Β. από την οποία λείπει ΑΣΚΗΣΗ: Να λύσετε την εξίσωση ( ) ( )( ) ΑΣΚΗΣΗ: Ο καθηγητής των μαθηματικών έδωσε στους μαθητές να λύσουν τις παρακάτω δύο εξισώσεις 6 4 ( ) ( )( ) ( ) ( ) και τους είπε ότι έχουν μια ίδια λύση. Έχει δίκιο; Τάσος Αρβανίτης Σελίδα 6 από 8
ΘΕΩΡΙΑ : α) Τι λέμε ακέραια αλγεβρική παράσταση ; β) Πως πολλαπλασιάζουμε πολυώνυμο με πολυώνυμο; γ) Τι λέμε βαθμό μονώνυμου ως προς μια μεταβλητή του; δ) Πως βρίσκουμε το γινόμενο μονωνύμων; στ) Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες 1. ( ). ( ) ΑΣΚΗΣΗ : Αφού κάνετε τις πράξεις στις αλγεβρικές παραστάσεις ( ) 4 και ( ) 4 στη συνέχεια να βρείτε το άθροισμα Α+Β, και την διαφορά Α-Β ΘΕΩΡΙΑ : α) Τι λέμε ακέραια αλγεβρική παράσταση ; β) Πως πολλαπλασιάζουμε πολυώνυμο με πολυώνυμο; γ) Τι λέμε βαθμό μονώνυμου ως προς μια μεταβλητή του; δ) Πως βρίσκουμε το γινόμενο μονωνύμων; ε) Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες 3. ( ) 4. ( ) ΑΣΚΗΣΗ : Αφού κάνετε τις πράξεις στις αλγεβρικές παραστάσεις ( ) ( )( ) και ( ) 4 στη συνέχεια να βρείτε το άθροισμα Α+Β, και την διαφορά Α-Β ΘΕΩΡΙΑ : α) Τι λέμε Ε.Κ.Π. δύο ή περισσοτέρων αλγεβρικών παραστάσεων; ΑΣΚΗΣΗ : Αφού πρώτα: β) τι λέμε Μ.Κ.Δ. δύο ή περισσοτέρων αλγεβρικών παραστάσεων; Α. απλοποιήστε το κλάσμα B. κάντε τον πολλαπλασιασμό Να βρείτε το πηλίκο ΑΣΚΗΣΗ: Να λύσετε την εξίσωση ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Να υπολογίσετε τις πλευρές στο παρακάτω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ Τάσος Αρβανίτης Σελίδα 7 από 8
Ασκήσεις 1. Από τη αριθμητική στην Άλγεβρα. Αναγωγή όμοιων όρων-πολυώνυμα Από την αριθμητική Στην Άλγεβρα 4444 f f f f 3 3 5 6 4 1 a 3b 6a 4b 3 3 5 4 3 10 1 x x 5x 4y 10k. Να κάνετε αναγωγή των όμοιων όρων. (προσθέστε τους όμοιους όρους) i) 3 4 ii) x x 3 x x 5 3x x 3 3 3 iii) x 3xy x 3x y 3xy y iv) 11x 6 16x 1 v) 10x 1x 9 11x 15x 10 4 4 vi) 0 1 11 11 8 7 3 6 5 4 vii) 15 13 18 17 5 1 4 3 viii) 16x 8x 7x 10 5x 8x 6x 11 3. Προσθέστε τα όμοια μονώνυμα στις αλγεβρικές παραστάσεις. i) 8 5 1 ii) x 5y 3x z y 6 z 3 3 3 iii) x 3xy x 3x y 3xy y 4. Να απαλείψετε τις παρενθέσεις και να κάνετε αναγωγή όμοιων όρων στις αλγεβρικές παραστάσεις. x 3y x y i) ii) y y 3x x y ix) 3 5 iii) 3 3 4 3 6 Τάσος Αρβανίτης Σελίδα 8 από 8
iv) 5. Γράψτε σε απλούστερη μορφή τις αλγεβρικές παραστάσεις. i) 4 5 5 3 ii) 5 10 10 6 7 iii) 5x 3x y iv) 1 5 3 v) 15 3x 5x 10 x vi) 10x x 5y 10x 10y x 6. Προσθέστε τα πολυώνυμα i) 5x 1 10x 7x ii) 0x 15x 8 3x 4 iii) 5m 4q 9 q 7 iv) 6x y 9 3x 5y 8 v) x y 8 4x y 9 vi) Συμπλήρωσε 4x x 3 6x 5 vii) Συμπλήρωσε 7. Αφαιρέστε τα πολυώνυμα i) 3x 1 x 7x ii) 6m q 8 m q 7 iii) εάν το 5x 8 7x 13 x 6x 7 3x 1 4x 13x 8 αφαιρεθεί από το 1x 5 ; 6x y 6 3x 5y 4 iv) v) 3x y 7 4x y 8 vi) x x x x vii) 6x 4x 0 30 viii) Συμπληρώστε 4x x 3 x 5 ix) Συμπληρώστε, το αποτέλεσμα θα είναι x 4x 8 3x 6 x x 7x 3, 7x 3 ή 8. Ποια είναι η σωστή απάντηση; i) 5x 1 10x 7x x 4 επέλεξε 10x 10x 5 10x 7x 3 10x 14x 5 Τάσος Αρβανίτης Σελίδα 9 από 8
ii) 16x 10x 8 3x 4 επέλεξε iii) 4x y y 8 3x 4y 1 επέλεξε iv) x 4x x 8x 3x 7 επέλεξε v) 4x x 3 x 1 5x 3 9x 10 6x 10 9x 6 x 3y 7 x 3y 9 7x 5y 9 x 9x 7 x 9x 7 x 9x 7 ποιος είναι ο χαμένος όρος 8 1 9. Οι τρεις πλευρές ενός τριγώνου εκφράζονται με την βοήθεια της μεταβλητής χ με τις αλγεβρικές παραστάσεις x 4, 5x 6x και 8x 3. Με ποιο από τα παρακάτω πολυώνυμα θα ισούται η περίμετρος του τριγώνου; 7x x 7, 7x 14x 7, 3x x 1 10. Στο παρακάτω σχήμα το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου εκφράζεται με το πολυώνυμο 10 x. Ποια από τις τρεις παρακάτω εκφράσεις αναπαριστά σωστά τον υπολογισμό του εμβαδού του γραμμοσκιασμένου χωρίου; 10 x x 3x 10 3x 10 x x 3x 10 7x 3 10 x x 3x 10 3x 11. Να κάνετε απαλοιφή παρενθέσεων, αγκύλων και άγκιστρων και στην συνέχεια να κάνετε αναγωγή όμοιων όρων. i) 4 6 3 4 x) 4 6 3 4 ii) 3 6 8 9 Τάσος Αρβανίτης Σελίδα 10 από 8
.1 Μονώνυμα Ασκήσεις 3. Συμπληρώστε τον πίνακα. Μονώνυμο 1x y Συντελεστής μονωνύμου Κύριο μέρος μονωνύμου 3 8 3 3 xy -5 ναβx 4. Ποια από τα αθροίσματα είναι μονώνυμα και ποια πολυώνυμα ; i) 5 7 3 3 ii) -α 5 v) iii) 6xyz-xyz+11xyz 5. Κάντε τις πράξεις i) 4 6 7 iv) x y 4xy 3 5 0,5 5 1 iv) ii) 6x x 7x 1x 3 6 iii) 5 8 6. Να γράψετε δύο αντίθετα μονώνυμα. 7. Από την αριθμητική στην Άλγεβρα. Κάντε τις παρακάτω πράξεις. Από την αριθμητική Στην άλγεβρα 0x 10x x 10 4 8 8 4 συμπληρώστε το κουτάκι 8x 8x 4x 5 7 8 συμπληρώστε το κουτάκι 3k k k 10k 4 8 1 1 5x 4c 1z a 3 3 3 x x y Τάσος Αρβανίτης Σελίδα 11 από 8
8 11 6 5 1s 3a 5s 0a 8. Κάντε τους πολλαπλασιασμούς 6x x i) ii) 5x 4x 1 xy 3x y xy 6 iii) iv) 5 x y 5 xy 3 v) x y 9. Να βρείτε τα γινόμενα 4 5 0,5 i) 10. Από την αριθμητική στην Άλγεβρα. κάντε τις πράξεις. Από την αριθμητική Στην Άλγεβρα 8 8 8 x x x 4 5 5 4 ii) - 3 3 5 30 58 x x 3 t f r d d c 11. Εφαρμόζοντας τις ιδιότητες των δυνάμεων, εξαλείψτε τις δυνάμεις που είναι έξω από τις παρενθέσεις και μετά κάντε τους πολλαπλασιασμούς. i) 4x x 3 ii) 3 4 3 x x x 4 3 iii) t 3tx 1. Κάντε τις διαιρέσεις 3 : i) ii) 15x 4 y 5 : 30x y 3 iii) 4 5m p 10m p 6 4 0 iv) s sg 5sg 5 1f z iv) 3 6 3f z v) 3 6 6 6 6 7 13. Απλοποιήστε τα κλάσματα. (δυνάμεις - πολλαπλασιασμοί διαιρέσεις) i) x xy x ii) 5x x 3 iii) 1rf 5r f 30r f 3t 4 p 3 1t 6 iv) t p 8 4 Τάσος Αρβανίτης Σελίδα 1 από 8
5 3 3 8 v) 6 14. Ποια από τα πηλίκα είναι μονώνυμα και ποια όχι 4 1αβ : 3 i) 3 iii) 0,xy z : 0,5xy iv) 1 ii) -5α 3 : 4 3 5 6α : 1 5 15. Συμπληρώστε το κενό κουτάκι ώστε να είναι σωστό το αποτέλεσμα των πράξεων. i) 6x 11x x 13x ii) 10 iii) 3 5 3 10 5 15 iv) v) 6 6 t b 5tb 10t b 6r p 5r 4 3 7 4 4 p 6p 5 5 5 vi) 6 3 8 8 vii) viii) x y5xy 3 6 x y10y t x 3 4t 4 t 1 4tx 3 Τάσος Αρβανίτης Σελίδα 13 από 8
1. Να γίνουν οι πράξεις z z t 3r z 3r 5z t i) ii) 35 65 f 7d g 5 iii) 3 3 3 iv) 3x x 1 x 1 3x x 51 x v) 5 1x x 1 3 x. Να κάνετε τις πράξεις i) x 3x 6x x ii) x 5x 3x 5 iii) 3x 4 x 3x 4 iv) 3 3 v) 5x x 3 4x x 3x x 3 vi) 4 x y 3x y 3x xy y x y vii) x y 3x y 43x y 7xy x y viii) x 3x 1 4x ix) x yx yx 3y x) x y x yx 3y 1. Να αναπτύξετε τις ταυτότητες. i) 3 ii) x 3y iii) x y. Να κάνετε τις πράξεις. 1. 1 i) ii) 3x3x iii) p 3q p 3q iv) 5y x 3 v) vi) iv). 3 3 v) 5. 5 vi) 5xy 3 x 3 z. 5xy x 3 z 3. Να αναπτύξετε τις ταυτότητες. i) 3 ii) x 3 y iii) 3 x y y z 4. Να κάνετε τις πράξεις. i) x 1 x 1 x ii) 5 x 1 x 1 x iii) 0x 3x 1 3x 13x 1 iv) x 1 x 1 x 1 3x v) - 3 3 3 iv) 3 v) 1 x 3 3 y vi) 3 5 vi) x 1 x 1 x 1 x 4 1 vii) x 3 x1 Τάσος Αρβανίτης Σελίδα 14 από 8
1. Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα i) 6x 1 iv) 3xy 18y ii) 7 14x v) 9xy 3y iii) 5 35 vi) 4 1 vii) x x. Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα i) 1 4 16 ii) xy xz x iii) 5 15 5 iv) 6 4 3. Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα i) 3x 3y 5x 5y ii) x y x y iii) x y x xy x y 1 4. Παραγοντοποιήστε τα πολυώνυμα x y x y i) ii) x y x y iii) 3xy y 5 x y 5 iv) 7x 8 x 97x 8 v) x 8 4x 5x 8 5. Συμπληρώστε την παραγοντοποίηση x 16 x 4 i) ii) 64x 49 8x 8x iii) 5x 81 9 6. Παραγοντοποιήστε τα παρακάτω i) 5 ii) iii) iv) v) vi) 1 x 3ab 6a b 81 16x 49x y 1 4xy vii) 5x 16y 7. Συμπληρώστε την παραγοντοποίηση i) x 0x 100 ( x ) 4x 0x 5 5x ii) x 10x 5 5 iii) 5x 0x 4 x iv) 8. Παραγοντοποιείστε τα πολυώνυμα v) vi) iv) v) vi) xy x y x y x y 4x y 10x y 5 3 3 a a 3 4x x 8x 5a - 4a y - 0bx 16yx vi) 7 x 8x x vii) 3 x y x y viii) 5x yx 3y 3x x 3y viii) x 1 4 ix) 3 3 1 x y 8 x1 9y x) xi) xii) 8x 18y 5x 11y 6 4 Τάσος Αρβανίτης Σελίδα 15 από 8
i) x 4x 4 ii) 4 8x 49x iii) 4 9 4 16 iv) 10 5 v) 1x x vi) 4x 1xy 9y y vii) 9x xy 9 viii) x 4x y x y 9. x x 1Να βρείτε με δοκιμές δυο αριθμούς α και β ώστε: 4 i) α+β=3 και αβ=-4 α+β=5 και αβ=4 ii) α+β=- και αβ=-15 α+β=-6 και αβ=8 10. Να παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα i) x 5x 6 ii) x 5x 6 iii) x 3x 10 iv) x 3x v) x 6x 5 vi) 3y 1y 4 vii) 3x 1x 30 viii) 3x 5x 1 ix) x 3x 1 x) 4 x xy y 11. Βρείτε τον παράγοντα που λείπει 4x 3 96x 576x 4x x 1 i) ii) x 3 10x 16x x x 8 iii) x 3 x x x 1 iv) x 3 x 1x 4 x v) x 3 6x 11x 66 x 6 1. Παραγοντοποιήστε τα πολυώνυμα i) 3 x 5x 4 ii) 3 x 7x 3x 1 iii) 3 x 10x 9x 90 iv) x 13x 4 13. Να αποδείξετε την ταυτότητα x x x x i) 14. ομοίως i) x y x y ii) iii) 3 3 3 3 1 3 3 45 5 iv) x xy y v) x y x y 1 Τάσος Αρβανίτης 8 Σελίδα 16 από
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Αν ο σταθερός όρος στο τριώνυμο είναι θετικός τότε τα α και β είναι ομόσημοι Αν είναι αρνητικός τότε είναι ετερόσημοι Αν α+β θετικός και αβ θετικός... Αν α+β θετικός και αβ αρνητικός... Αν α+β αρνητικός και αβ αρνητικός... Αν α+β αρνητικός και αβ θετικός... 1.6 Παραγοντοποίηση πολυωνύμων A. Κοινός παράγοντας Παράδειγμα: 6 ( ) (4 ) B. Κοινός παράγοντας κατά ομάδες Παράδειγμα: 5 C. Διαφορά τετραγώνων Παράδειγμα: 4 5 ( ) 7 D. Διαφορά ή άθροισμα κύβων Παράδειγμα: 7 E. Ανάπτυγμα τετραγώνου Παράδειγμα: 5 4 4 F. Παραγοντοποίηση τριωνύμου της μορφής ( ) Παράδειγμα: 1.8 ΕΚΠ και ΜΚΔ ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων 1. Να βρείτε το ΕΚΠ και το ΜΚΔ των παραστάσεων Τάσος Αρβανίτης Σελίδα 17 από 8
a. 5, b. -, -, - c. -, -, -4 4 1.9 Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις απλοποίηση 1. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις - a. - 4 b. c. d. -6-5 6 4-6 - 1.10 Πράξεις ρητών αλγεβρικών παραστάσεων Πολλαπλασιασμός Διαίρεση 1. Να κάνετε τις πράξεις a. - (- ) b. c. ( - ) 4 - ( - ) d. (- ) (- ) e. f. - - 5 - - 5-5 g. ( 5-5 ) Τάσος Αρβανίτης 8 Σελίδα 18 από
Να λύσετε γραφικά τα συστήματα: Να λύσετε τα συστήματα Τάσος Αρβανίτης 8 Σελίδα 19 από
Τάσος Αρβανίτης 8 Σελίδα 0 από
Τάσος Αρβανίτης 8 Σελίδα 1 από
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. 85 οχήματα δίκυκλα και τρίκυκλα έχουν συνολικά 188 ρόδες. Πόσα είναι τα δίκυκλα και πόσα τα τρίκυκλα.. Θέλουμε να κατασκευάσουμε συνολικά 36 πινακίδες ξύλινες. Κάποιες από αυτές θα είναι μικρές των 30 cm και κάποιες μεγαλύτερες των 50 cm. Πόσες μπορούμε να φτιάξουμε από κάθε είδος αν έχουμε συνολικά 15 m ξύλο. (το πλάτος είναι ίδιο σε όλες τις πινακίδες). 3. Ο Γιάννης και η Μαρία έχουν μαζί 3. Ο Γιάννης λέει στην Μαρία, αν μου δώσεις 5 τότε θα έχουμε ίσα χρήματα. Πόσα χρήματα έχει ο καθένας; 4. Σε ένα ταξίδι με αεροπλάνο το εισιτήριο Α θέσης κοστίζει 10 και της Β θέσης κοστίζει 40 λιγότερα. Αν στο ταξίδι αυτό κόπηκαν 150 εισιτήρια συνολικής αξίας 1800, να βρείτε πόσα εισιτήρια κόπηκαν από κάθε κατηγορία. 5. Μία πίτσα και σουβλάκια αποδίδουν 1989 θερμίδες. Δύο πίτσες και ένα σουβλάκι αποδίδουν 670 θερμίδες. Πόσες θερμίδες αποδίδει μία πίτσα και πόσες ένα σουβλάκι; 6. Δύο κομμάτια κέικ και ένα παγωτό περιέχουν 701 mgr χοληστερόλης. Ένα κομμάτι κέικ και 1 παγωτό περιέχουν 300 mgr χοληστερόλης. Πόσα mgr χοληστερόλης περιέχει κάθε κομμάτι κέικ και κάθε παγωτό; 7. Ένα ξενοδοχείο έχει 00 δωμάτια. Ενοικιάζει το κάθε δωμάτιο με πρωινό προς 100 την βραδιά και χωρίς πρωινό 80 την βραδιά. Μια βραδιά που το ξενοδοχείο ήταν πλήρες, εισέπραξε 17000. Πόσοι επισκέπτες ενοικίασαν με πρωινό και πόσοι χωρίς πρωινό; 8. Ένα ορθογώνιο με περίμετρο 360 mπρόκειται να περιφραχθεί από τις τρεις πλευρές. Η περίφραξη κατά μήκος στοιχίζει 0 το μέτρο και οι περίφραξη στις δύο πλευρές κατά πλάτος στοιχίζει 8 το μέτρο. Το συνολικό κόστος της περίφραξης και από τις τρεις πλευρές ήταν 380. Να βρείτε πόσο ήταν το μήκος και πόσο το πλάτος του ορθογωνίου. 9. Τι είναι ένα σύστημα δύο εξισώσεων; Δώστε ένα παράδειγμα. 10. Τι είναι η λύση ενός συστήματος δύο εξισώσεων; Τάσος Αρβανίτης 8 Σελίδα από
11. Εξηγείστε πως λύνεται ένα σύστημα εξισώσεων με την μέθοδο της αντικατάστασης; Παρουσιάστε με βήματα τη μέθοδο για το σύστημα 4 6 1. Εξηγείστε πως λύνεται ένα σύστημα με την μέθοδο των αντίθετων συντελεστών; 5 Παρουσιάστε την μέθοδο με βήματα για το σύστημα 13. Χρησιμοποιώντας οποιαδήποτε μέθοδο για να λύσετε ένα σύστημα: a. Πότε αυτό έχει πολλές λύσεις; Ποια σχέση έχουν τα γραφήματα των εξισώσεων του συστήματος; b. Πότε έχει μια λύση; Ποια σχέση έχουν τα γραφήματα των εξισώσεων του συστήματος; c. Πότε το σύστημα δεν έχει λύση; Ποια σχέση έχουν τα γραφήματα των εξισώσεων του συστήματος; 14. Γράψτε ένα σύστημα εξισώσεων που να έχει λύση ( 5) 15. Δύο δίδυμοι αναγνωρίζονται από το γεγονός ότι ο ένας λέει πάντα αλήθεια ενώ ο άλλος λέει πάντα ψέματα. Ένας από του διδύμους μας λέει «έχω δύο τυχερούς αριθμούς. Αν πολλαπλασιάσεις τον ένα με το 3 και τον άλλο με το 6, το άθροισμα των γινομένων κάνει 1. Όταν όμως προσθέσω τον πρώτο τυχερό αριθμό με το διπλάσιο του άλλου βρίσκω 5». Ποιος δίδυμος το είπε αυτό; 16. Στη μεγάλη λίγκα του μπάσκετ στο los Angeles το 009 οι Dodgers έπαιξαν 16 παιχνίδια. Κέρδισαν 8 περισσότερα από όσα έχασαν. Πόσα παιχνίδια κέρδισαν και πόσα έχασαν; 17. Μετρήσαμε ένα γήπεδο και βρήκαμε ότι αυτί είναι 44 μέτρα μεγαλύτερο το μήκος του από το πλάτος του. Αν η περίμετρος του είναι 88 μέτρα, να βρείτε τις διαστάσεις του. 18. Ένα σνακ φούντ πουλάει μια μέρα 15 μικρά σάντουιτς και 10 μεγάλα συνολικού κόστους 75,5. Την άλλη μέρα πουλάει 30 μικρά σάντουιτς και 5 μεγάλα συνολικού κόστους 84,65. Πόσο κάνει το μικρό σάντουιτς και πόσο το μεγάλο; 19. Πόσα λίτρα από ένα διάλυμα περιεκτικότητας 5% σε οινόπνευμα και πόσα λίτρα από ένα άλλο διάλυμα περιεκτικότητας 35% σε οινόπνευμα πρέπει να αναμείξουμε για να πάρουμε 0 λίτρα διάλυμα περιεκτικότητας 3% σε οινόπνευμα; 0. Το 009 στη βόρεια Αμερική έγινε μια περιοδεία για συναυλίες από τους U και τον Bruce Springsteen. Οι πωλήσεις των εισιτηρίων και των δύο συγκροτημάτων έφτασαν τα 17500000 $. Εάν ο Bruce Springsteen πήρε 8500000 $ λιγότερα από τους U, να βρείτε πόσα χρήματα πήρε το κάθε συγκρότημα. Τάσος Αρβανίτης 8 Σελίδα 3 από
Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης. Να συμπληρώσετε τα κενά σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις. Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Η παραβολή έχει: i. Κορυφή το σημείο α) (-3,-3) β) (-3,0) γ) (0,-3) δ) ((0,0) ii. Άξονα συμμετρίας την ευθεία α)x=-3 β) y=-3 γ) y=0 δ) x=0 Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε παραβολή την εξίσωσή της. 1. ( ). 3. 4. ( ) α) β) γ) δ) α β γ γ Ορισμένες τιμές της συνάρτησης φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. X -3 - -1 0 1 3 4 5 Y 1 5 0-3 -4-3 0 5 1 Τάσος Αρβανίτης 8 Σελίδα 4 από
Να συμπληρώσετε τα κενά σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις: α) η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παραβολή με άξονα συμμετρίας την ευθεία και κορυφή το σημείο β) η συνάρτηση αυτή παίρνει τιμή y=, όταν x= γ) η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τον άξονα x x στα σημεία, και τον άξονα y y στο σημείο Επανάληψη 1 ου Κεφαλαίου Πρόσθεση πραγματικών Ομόσημοι αριθμοί: Προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και για πρόσημο βάζουμε το κοινό πρόσημο που έχουν. Παράδειγμα Ετερόσημοι αριθμοί: Αφαιρούμε από την μεγαλύτερη απόλυτη τιμή την μικρότερη απόλυτη τιμή και για πρόσημο βάζουμε το πρόσημο του αριθμού που έχει την μεγαλύτερη απόλυτη τιμή. Παράδειγμα Πολλαπλασιασμός πραγματικών Ομόσημοι αριθμοί : Πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και σαν πρόσημο βάζουμε το +. Παράδειγμα Ετερόσημοι αριθμοί : Πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και σαν πρόσημο βάζουμε το -. Παράδειγμα Αφαίρεση πραγματικών Η διαφορά δύο αριθμών βρίσκεται αν στον μειωτέο προσθέσουμε τον αντίθετο του αφαιρετέου. Διαίρεση πραγματικών Το πηλίκο δύο αριθμών βρίσκεται αν στον διαιρετέο πολλαπλασιάσουμε τον αντίστροφο του διαιρέτη. 1 : Να θυμόμαστε ακόμη τι λέμε απόλυτη τιμή, αντίστροφο και αντίθετο ενός αριθμού. Διαίρεση με το μηδέν δεν γίνεται Ιδιότητες των δυνάμεων Τάσος Αρβανίτης 8 Σελίδα 5 από
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Αλγεβρική Παράσταση: Είναι μία έκφραση που περιέχει μεταβλητές και σταθερές με τις γνωστές πράξεις μεταξύ τους Μια αλγεβρική παράσταση λέγεται ακέραια αν μεταξύ των μεταβλητών της σημειώνονται μόνο οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και οι εκθέτες των μεταβλητών της είναι φυσικοί αριθμοί. Αριθμητική τιμή Αλγεβρικής παράστασης είναι ο αριθμός που βρίσκουμε αν αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές με διάφορες τιμές που θα μας δώσουν, και κάνουμε πράξεις. Μονώνυμο: Ονομάζουμε μια ακέραια αλγεβρική παράσταση στην οποία η μόνη πράξη που σημειώνεται μεταξύ αριθμών και μεταβλητών είναι ο πολλαπλασιασμός. Συντελεστής μονώνυμου Είναι ο αριθμητικός παράγοντας που βρίσκεται μπροστά από το μονώνυμο Κύριο μέρος του μονώνυμου ονομάζεται το γινόμενο όλων των μεταβλητών του. Βαθμός του μονωνύμου ως προς μια μεταβλητή λέγεται ο εκθέτης της μεταβλητής αυτής. Βαθμός του μονωνύμου ως προς όλες τις μεταβλητές λέγεται το άθροισμα των εκθετών όλων των μεταβλητών. Όμοια μονώνυμα Ονομάζονται δύο η περισσότερα μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος. Ίσα μονώνυμα Ονομάζονται δύο η περισσότερα μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος και ίσο συντελεστή. Αντίθετα μονώνυμα Ονομάζονται δύο μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος και αντίθετους συντελεστές. Επειδή οι μεταβλητές αντιπροσωπεύουν αριθμούς, να θυμάστε, ότι για τις πράξεις που σημειώνονται μεταξύ των μεταβλητών, ισχύει ότι και μεταξύ αριθμών. Ισχύουν δηλαδή και εδώ οι ιδιότητες και η προτεραιότητα των πράξεων όπως και στους αριθμούς. Ακόμη συμφωνούμε να θεωρούμε τους αριθμούς σαν μονώνυμα μηδενικού βαθμού και τα ονομάζουμε σταθερά μονώνυμα. Π.χ. Το μηδέν λέγεται μηδενικό μονώνυμο και δεν έχει βαθμό. Τάσος Αρβανίτης Σελίδα 6 από 8
Άθροισμα όμοιων μονώνυμων είναι ένα όμοιο μονώνυμο με αυτά που έχει για συντελεστή το άθροισμα των συντελεστών τους. Γινόμενο μονώνυμων είναι ένα μονώνυμο που έχει για συντελεστή το γινόμενο των συντελεστών τους και για κύριο μέρος όλες τις μεταβλητές με εκθέτη το άθροισμα των εκθετών για κάθε μεταβλητή. Το Πηλίκο μονώνυμων γίνεται όπως και στους αριθμούς, πολλαπλασιάζουμε τον διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη. Όταν σε μια αλγεβρική παράσταση αντικαταστήσουμε τους όμοιους όρους δηλαδή τα όμοια μονώνυμα με το άθροισμά τους, λέμε ότι κάναμε αναγωγή όμοιων όρων. Η φράση αυτή χρησιμοποιείτο και στο μάθημα εξισώσεις της Β τάξης. Ακόμη, όπου συναντάμε παρενθέσεις ( η αγκύλες ή άγκιστρα ) απαλείφονται όπως μάθαμε στα μαθήματα της Β τάξης. Το άθροισμα μονωνύμων που δεν είναι όμοια λέγεται πολυώνυμο. Κάθε μονώνυμο που περιέχεται σε ένα πολυώνυμο λέγεται όρος του πολυωνύμου. Ένα πολυώνυμο με δύο διαφορετικούς όρους λέγεται διώνυμο. Ένα πολυώνυμο με τρεις διαφορετικούς όρους λέγεται τριώνυμο. Βαθμός ενός πολυωνύμου ως προς μια ή περισσότερες μεταβλητές του, είναι ο μεγαλύτερος από τους βαθμούς των όρων του. Ένας αριθμός μπορεί να θεωρείται σαν σταθερό πολυώνυμο. Το μηδέν θεωρείται σαν μηδενικό πολυώνυμο. Δύο πολυώνυμα είναι ίσα αν έχουν όλους τους όρους τους ίσους. Ένα πολυώνυμο μιας μεταβλητής μπορεί να διαταχθεί κατά τις φθίνουσες δυνάμεις της μεταβλητής του. Για να προσθέσω ή να αφαιρέσω πολυώνυμα χρησιμοποιώ τις ιδιότητες των πραγματικών αριθμών (απαλοιφή παρενθέσεων, αναγωγή όμοιων όρων) Για να πολλαπλασιάσουμε μονώνυμο με πολυώνυμο, πολλαπλασιάζουμε το μονώνυμο με κάθε όρο του πολυωνύμου και προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν. Για να πολλαπλασιάσουμε πολυώνυμο με πολυώνυμο, πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο του ενός πολυωνύμου με κάθε όρο του άλλου πολυωνύμου και προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν. Τάσος Αρβανίτης 8 Σελίδα 7 από
Ταυτότητα είναι κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για κάθε τιμή των μεταβλητών της. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ( )( ) Τάσος Αρβανίτης 8 Σελίδα 8 από