Υποδείγατα αγορών ιας περιόδου

Κεφάλαιο 2 Υποδείγατα αγορών ιας περιόδου 2.1 Εισαγωγή Θα αρχίσουε τώρα να κάνουε υποθέσεις για τη δυναική των πρωτογενών προϊόντων και θα ερευνήσουε αν ε αυτές τις επιπλέον υποθέσεις πορούε να εξαγάγουε ακριβέστερα συπεράσατα για την τιολόγηση παραγώγων βάσει της αρχής της η επιτηδειότητας. Σκοπός ας είναι να φτάσουε στην ανάλυση υποδειγάτων που θεωρούνται ρεαλιστικά για τις πραγατικές αγορές. Θα φτάσουε σε αυτήν βήα βήα, ξεκινώντας από ένα πολύ απλό υπόδειγα που θα χρησιοποιήσουε στη συνέχεια σαν δοικό στοιχείο για την κατασκευή πιο σύνθετων. Παρόοιο υλικό πορείτε να βρείτε εδώ και στις αναφορές [8], [5], [6], [7] και [2]. 2.2 Το διωνυικό υπόδειγα ιας περιόδου Κάθε ρεαλιστικό υπόδειγα θα πρέπει να ενέχει την τυχαιότητα ως προς την χρονική εξέλιξη της αξίας του πρωτογενούς προϊόντος και να λαβάνει υπ όψιν την εταβολή της αξίας του χρήατος ε τον χρόνο. Το διωνυικό υπόδειγα (binomial model) ιας περιόδου έχει αυτά τα χαρακτηριστικά στην απλούστερη δυνατή ορφή. Ηαγοράαςαποτελείταιόνοαπότοπρωτογενέςπροϊόνκαιέναοόλογο. Ητρέχουσα τιή του προϊόντος είναι S 0 = s 0 και ας ενδιαφέρει όνο ια εταγενέστερη χρονική στιγή T. Η S T θα είναι ια τυχαία εταβλητή που πορεί να λάβει όνο δύο τιές: την τιή s 1 ε πιθανότητα p (0 <p<1) ήτηντιήs 2 ε πιθανότητα 1 p. Ας υποθέσουε ότι s 1 >s 2. Είναι εύκολο να δείτε ότι η αρχή της η επιτηδειότητας επιβάλλει κάποιους περιορισούς στις τιές που πορεί να πάρει η S T. Συγκεκριένα, s 2 <s 0 e rt <s 1. (2.1) Ηαρχικήαξίατουοολόγουθαείναιe rt, ενώ η αξία του στον χρόνο T θα είναι 1. Ηαπόδοσηf(S T ) ενός ευρωπαϊκού παραγώγου επί αυτού του προϊόντος ε χρόνο ωρίανσης T είναι κι αυτή ια τυχαία εταβλητή, ηοποίαπορείναπάρειόνοδύοτιές: f 1 = f(s 1 ) ε πιθανότητα p και f 2 = f(s 2 ) ε πιθανότητα 1 p. Θα θέλαε να τιολογήσουε ένα τέτοιο παράγωγο. Μια απλοϊκή προσέγγιση θα ήταν να το τιολογήσουε όσο είναι η σηερινή αξία της αναενόενης απόδοσής του στην ωρίανση. ηλαδή, A 0 = e rt E p [f(s T )] := e rt (pf 1 +(1 p)f 2 ). (2.2) Κάτι τέτοιο όως πορεί να επιτρέψει στρατηγικές επιτηδειότητας, όπως φαίνεται στο ακόλουθο παράδειγα: Εστω s 0 = $80, s 1 = $100, s 2 = $70, p = 1 2, r = 0. Ηαξίαπουθαδίνειοπαραπάνω τρόπος υπολογισού σε ένα ευρωπαϊκό δικαίωα αγοράς στην τιή $90 (ε απόδοση f 1 = $(100 90) + = $10, f 2 = $(70 90) + =0) είναι A 0 = 1 2 $10 + 1 20 = $5. Ας δούε τώρα πώς πορούε να κατασκευάσουε ια στρατηγική επιτηδειότητας, αν η τιή διαπραγάτευσης αυτού του παραγώγου στην αγορά ήταν $5. Φτιάχνουε ένα χαρτοφυλάκιο που αποτελείται από αρνητική θέση σε 3 παράγωγα, θετική θέση στο προϊόν και δανεισό (αρνητική θέση στο οόλογο) $65. Ηαρχικήαξίααυτούτουχαρτοφυλακίουείναι: 17

3 $5 + $80 $65 = 0. Αν στον χρόνο T το προϊόν πάρει την τιή s 1 = $100, ηαξίατουχαρτοφυλακίου ας θα είναι: 3 $10 + $100 $65 = $5. Αν πάλι το προϊόν πάρει την τιή s 2 = $70, τότε η αξία του χαρτοφυλακίου ας θα είναι: 3 0 + $70 $65 = $5. Εχουε δηλαδή κέρδος $5 χωρίς κίνδυνο. Αυτό συβαίνει γιατί, όπως θα δούε, η αρχή της η επιτηδειότητας επιβάλλει ια τιή για κάθε παράγωγο στα πλαίσια του διωνυικού υποδείγατος που στο παράδειγά ας δεν είναι $5. Στο τέλος αυτού του κεφαλαίου θα ξέρουε πώς να υπολογίσουε την θεωρητικά δίκαιη αυτή τιή και πώς να κατασκευάσουε ια στρατηγική επιτηδειότητας, αν η τιή διαπραγάτευσης είναι διαφορετική. Για να τιολογήσουε ένα παράγωγο ε απόδοση f θα κατασκευάσουε ένα χαρτοφυλάκιο αποτελούενο από φ έρη του πρωτογενούς προϊόντος και ψ οόλογα έτσι ώστε η αξία του χαρτοφυλακίου στον χρόνο T να ταυτίζεται ε την αξία του παραγώγου, ανεξάρτητα από την τιή της (τυχαίας εταβλητής) S T. ηλαδή, φs T + ψ = f(s T ). Στο διωνυικό υπόδειγα που ελετάε αυτό ισοδυναεί ε το ακόλουθο σύστηα εξισώσεων: φs 1 + ψ = f 1 φs 2 + ψ = f 2. Το σύστηα αυτό λύνεται για κάθε (f 1,f 2 ) και η λύση του δίνεται από τις φ = f 1 f 2 s 1 s 2, ψ = s 1f 2 s 2 f 1 s 1 s 2. (2.3) Αφού το χαρτοφυλάκιο αυτό έχει την ίδια αξία ε το παράγωγο στον χρόνο T, από την αρχή της η επιτηδειότητας θα πρέπει να έχουν και την ίδια αρχική αξία. Εποένως η θεωρητικά δίκαιη τιή του παραγώγου είναι f 0 = φs 0 + ψe rt, και αντικαθιστώντας τα φ, ψ από την (2.3) παίρνουε όπου Εδώ αξίζει να κάνουε ερικές σηαντικές παρατηρήσεις. f 0 = e rt (qf 1 +(1 q)f 2 )=e rt E q [f(s T )], (2.4) q = ert s 0 s 2 s 1 s 2. (2.5) Παρατήρηση 7 Από την (2.1), η οποία είναι συνέπεια της αρχής της η επιτηδειότητας, έχουε ότι 0 <q<1. Παρατήρηση 8 Προσέξτε την οοιότητα της (2.4) ε την (2.2). Μπορεί η δίκαιη αρχική αξία του παραγώγου να είναι η παρούσα αξία της αναενόενης απόδοσής του, αυτή όως η αναενόενη απόδοση πρέπει να υπολογιστεί ως προς το έτρο που αποδίδει πιθανότητα q στο ενδεχόενο το πρωτογενές προϊόν να πάρει την τιή s 1 και 1 q στο ενδεχόενο το πρωτογενές προϊόν να πάρει την τιή s 2. Οπως φαίνεται από την (2.5), το q αυτό δεν εξαρτάται από την πιθανότητα p που το οντέλο ας αποδίδει στο ενδεχόενο το πρωτογενές προϊόν να πάρει την τιή s 1. Παρατήρηση 9 Το ίδιο το πρωτογενές προϊόν πορεί να εκληφθεί σαν παράγωγο ε συνάρτηση απόδοσης f(s T )=S T. Εφαρόζοντας την (2.4) σε αυτήν την περίπτωση έχουε ότι S 0 = e rt E q [S T ]. (2.6) Είναι εύκολο να δείτε ότι η παραπάνω σχέση είναι ισοδύναη ε την (2.5) και εποένως ορίζει το έτρο πιθανότητας ως προς το οποίο υπολογίζεται η αναενόενη τιή στην (2.4). Ηιδιότητααυτήδιέπειόλα τα υποδείγατα που θα ελετήσουε και είναι το σηείο αφετηρίας της σύγχρονης προσέγγισης στην τι- ολόγηση παραγώγων. Θα καλούε τα έτρα πιθανότητας που ικανοποιούν την (2.6) αδιάφορα κινδύνου (risk-neutral). 18

Συνοψίζοντας όσα είδαε στα πλαίσια του διωνυικού υποδείγατος ιας περιόδου έχουε: Κάθε παράγωγο πορεί να τιολογηθεί βάσει της αρχής της η επιτηδειότητας. Οταν συβαίνει αυτό, λέε ότι η αγορά που περιγράφεται από το υπόδειγά ας είναι πλήρης (complete). Υπάρχει ένα οναδικό q (0, 1) για το οποίο ισχύει η (2.6). Για το συγκεκριένο q ηθεωρητικάδίκαιητιήενόςπαραγώγουδίνεταιαπότην(2.4). Ας δούε τέλος πώς πορούε να κατασκευάσουε ια στρατηγική επιτηδειότητας, αν η τιή διαπραγάτευσης ενός παραγώγου F 0 είναι διαφορετική από τη θεωρητικά δίκαιη f 0. Συνθέτουε ένα χαρτοφυλάκιο X που αποτελείται από το παράγωγο, αρνητική θέση στο χαρτοφυλάκιο που το αναπαράγει και ετρητά f 0 F 0. ΗαρχικήαξίατουX είναι ηδενική. Από την κατασκευή του χαρτοφυλακίου αυτού, ηαξίατου X στον χρόνο T θα είναι V T (X) =f(s T ) f(s T )+(f 0 F 0 )e rt =(f 0 F 0 )e rt Παίρνοντας θετική ή αρνητική θέση στο X, ανάλογα αν η f 0 είναι εγαλύτερη ή ικρότερη της F 0, έχουε ια στρατηγική επιτηδειότητας. Το χαρακτηριστικό του χαρτοφυλακίου του προηγούενου παραδείγατος είναι ότι, αν και περιέχει το παράγωγο, ηαπόδοσήτουδενεξαρτάταιαπότηνέκβασητηςτιήςτουπροϊόντοςεκίνδυνο. Μια τέτοια στρατηγική ονοάζεται αντιστάθιση του κινδύνου (hedging) και το χαρτοφυλάκιο που την υλοποιεί αντισταθιστικό (replicating portfolio). 2.3 Το υπόδειγα Arrow-Debreu Στο γενικότερο υπόδειγα ιας περιόδου θα θεωρήσουε προϊόντα, εκ των οποίων το πρώτο είναι πάντα οόλογο. Οι αρχικές τιές των προϊόντων θα περιγράφονται από ένα διάνυσα p R,p = (p 1,p 2,...,p ), όπου p α = S α (0) είναι η αρχική αξία του προϊόντος α για α =1,...,. Και πάλι ας ενδιαφέρει όνο ια εταγενέστερη στιγή T στην οποία η αγορά ας πορεί να βρεθεί σε δυνατές καταστάσεις. Οι καταστάσεις αυτές περιγράφονται από ένα πίνακα D. Κάθε ια από τις στήλες του D περιγράφει τις τιές των προϊόντων στην αντίστοιχη κατάσταση. Ετσι, 1 1... 1 D 21 D 22... D 2 D =...... D 1 D 2... D όπου Dk =(D 1k,D 2k,...,D k ) είναι οι τιές των προϊόντων στην κατάσταση k. Επειδή η τελική αξία του οολόγου είναι 1 σε όλες τις τελικές καταστάσεις, έχουε πάντοτε D 1k =1, για κάθε k =1,...,. Αντίστοιχα, επειδή η αρχική του οολόγου είναι e rt, έχουε p 1 = e rt. Μπορούε να αποδώσουε πιθανότητα π k > 0,k = 1,..., στο ενδεχόενο η αγορά ας να βρεθεί στην k-οστή κατάσταση στον χρόνο T, οπότε η αξία των προϊόντων S(T ) θα είναι ένα τυχαίο διάνυσα στον R που παίρνει την τιή D k ε πιθανότητα π k. Υποθέτουε επιπλέον ότι πορούε να πάρουε θετική ή αρνητική θέση σε κάθε προϊόν της αγοράς χωρίς περιορισούς ως προς το έγεθος της θέσης. Ετσι, ένα χαρτοφυλάκιο περιγράφεται από ένα διάνυσα θ R τα στοιχεία του οποίου είναι η θέση ας σε κάθε προϊόν. Ηαρχικήαξίαενόςχαρτοφυλακίουθ είναι εποένως θ S(0) = α θ αp α, ενώ η αξία του στον χρόνο T (=θ S(T )) είναι ια τυχαία εταβλητή. Στο ενδεχόενο που το σύστηα βρεθεί στην κατάσταση k (k =1,...,), ηαξιατουχαρτοφυλακίουθ είναι (D θ) k := α θ αd αk. 19

Για παράδειγα, στο διωνυκό υπόδειγα που ελετήσαε έχουε p =(e rt,s 0 ), 1 1 D =, s 1 s 2 π 1 = p, π 2 =1 p, ενώ ένα χαρτοφυλάκιο από φ έρη του πρωτογενούς προϊόντος και ψ οόλογα περιγράφεται από το διάνυσα θ =(ψ, φ). Παρακάτω θα γράφουε u 0 (αντίστοιχα > 0) για ένα διάνυσα u, αν όλες οι συνιστώσες του είναι η αρνητικές (αντίστοιχα θετικές). Ηαρχήτηςηεπιτηδειότηταςαξιώνειότιδενπορείναυπάρξειδυνατότητακέρδουςχωρίςτηνανάληψη κινδύνου. Με τον συβολισό που αναπτύξαε η αρχή της η επιτηδειότητας στο υπόδειγα Arrow-Debreu πορεί να διατυπωθεί ως (D θ) 0 και θ p =0 = (D θ)=0. (2.7) Στις Ασκήσεις θα δούε ότι η (2.7) συνεπάγεται την ακόλουθη προτάση, την οποία χρησιοποιήσαε στο προηγούενο κεφάλαιο: Πρόταση 6 Εστω ότι ο πίνακς D και το διάνυσα p ικανοποιούν την (2.7). Τότε, α. Αν (D θ) 0, τότε θ p 0. β. Αν (D θ)=0, τότε θ p =0. Μια ενδιαφέρουσα ισοδύναη διατύπωση της αρχής της η επιτηδειότητας προσφέρει το ακόλουθο Θεώρηα. Θεώρηα 3 Ησυνθήκη(2.7) ικανοποιείται τότε και όνο, όταν το γραικό σύστηα Du = p έχει λύση u R ε u>0. Απόδειξη: Ας υποθέσουε πρώτα ότι το παραπάνω σύστηα έχει λύση u>0 και ας θεωρήσουε ένα χαρτοφυλάκιο θ R τέτοιο ώστε (D θ) 0 και θ p =0. Τότε, 0=θ p = θ (Du) =(D θ) u. Εφόσον όως (D θ) 0 και u>0, οόνοςτρόποςώστε(d θ) u =0είναι να έχουε D θ =0. Για την αντίστροφη κατεύθυνση θα υποθέσουε ότι η (2.7) ικανοποιείται και θα αποδείξουε ότι το σύστη- α Du = p έχει λύση u>0. Ηύπαρξηλύσηςτουπαραπάνωσυστήατοςείναισχετικάεύκολοναδειχθεί. Πράγατι, αν (D ) είναι ο πυρήνας του D και p είναι ο γραικός χώρος διάστασης 1 που παράγει το διάνυσα p τότε η πρόταση (6β) δίνει ότι (D ) p και άρα p (D ) = Im(D). Είναι σηαντικά δυσκολότερο να δείξουε ότι υπάρχει θετική λύση. Αυτό απαιτεί την επίκληση του Θεωρήατος του διαχωρίζοντος υπερεπιπέδου (separating hyperplane theorem) (6)που αποδεικνύεται στην Παράγραφο 2.4. Εστω λοιπόν L ηεικόνατου p κάτω από τον ετασχηατισό D, δηλαδή και L = {D θ θ R ; θ p =0}, C = {w R w 0 και w k =1}. Είναι εύκολο να δούε ότι ο L είναι ένας γραικός υπόχωρος του R, ενώ το C είναι ένα η κενό, κυρτό και συπαγές υποσύνολο του R. Επιπλέον, από την (2.7) έχουε ότι L C =. Το Θεώρηα 6 εξασφαλίζει την ύπαρξη ενός x R τέτοιου ώστε x y =0, για κάθε y L και 20

x u>0, για κάθε u C. Εφόσον για k =1, 2,...,, το οναδιαίο διάνυσα e k ανήκει στο C, έχουε x k = x e k > 0. Επιπλέον, κάθε διάνυσα κάθετο στο p είναι και κάθετο στο Dx, αφού αν θ p =0τότε (Dx ) θ = x (D θ)=0, διότι D θ L. Εποένως, Dx = λp για κάποιο λ R. Το λ αυτό πορεί να υπολογιστεί ως εξής. Σύφωνα ε την παραδοχή που έχουε κάνει, το πρώτο προϊόν είναι οόλογο ε αρχική αξία p 1 = e rt και τελική αξία 1 σε όλες τις δυνατές καταστάσεις. Εξισώνοντας τις πρώτες συντεταγένες των Dx και λp λαβάνουε λp 1 = λe rt =(Dx ) 1 = Συνεπώς λ = x 1 e rt και άρα το διάνυσα D 1k x k = x k =: x 1. u = e rt x 1 x είναι λύση του γραικού συστήατος Du = p ε u>0. Αν ορίσουε q k := u k e rt, έχουε ότι q k =1. Εφόσον u > 0, πορούε να φανταστούε ότι τα q k ορίζουν ένα νέο έτρο πιθανότητας q, το οποίο αποδίδει πιθανότητα q k στο ενδεχόενο που η αγορά βρεθεί στην κατάσταση k στον χρόνο T. Οπως και στο διωνυικό υπόδειγα ιας περιόδου, οι πιθανότητες αυτές δεν έχουν καιά σχέση και δεν πρέπει να συγχέονται ε τις πιθανότητες π k που αποδίδει το οντέλο ας σε αυτά τα ενδεχόενα. Επιπλέον, οι υπόλοιπες εξισώσεις του γραικού συστήατος (α =2, 3,...,) γράφονται ως εξής: D αk u k = p α e rt q k D αk = p α e rt E q [S α (T )] = S α (0), α =2, 3,...,. Το q είναι λοιπόν ένα αδιάφορο κινδύνου έτρο πιθανότητας. Εφόσον u>0, έχουε ακόα ότι q k > 0 π k > 0. Οταν συβαίνει αυτό, λέε ότι τα έτρα πιθανότητας π και q είναι ισοδύναα και γράφουε q π. Μπορούε τώρα να επαναδιατυπώσουε το Θεώρηα 3 ως εξής. Θεώρηα 4 Η αρχή της η επιτηδειότητας ικανοποιείται τότε και όνο, όταν υπάρχει ένα αδιάφορο κινδύνου έτρο πιθανότητας q τέτοιο ώστε q π. Γιατί να προτιήσουε αυτήν τη διατύπωση; Οι έννοιες του αδιάφορου κινδύνου έτρου πιθανότητας και της ισοδυναίας δυο έτρων πορούν να οριστούν για κάθε υπόδειγα που θα εξετάσουε. Ετσι, ηδιατύπωση στο Θεώρηα 4 είναι καθολική για όλα τα υποδείγατα, ενώ αντίθετα η διατύπωση στο θεώρηα 3 αναφέρεται αποκλειστικά στο υπόδειγα Arrow-Debreu. Εχοντας προσδιορίσει σαφώς τους περιορισούς που οφείλει να πληροί το οντέλο ας ώστε να ικανοποιείται η αρχή της η επιτηδειότητας, θα στρέψουε τώρα την προσοχή ας στην τιολόγηση παραγώγων των προϊόντων της αγοράς ας. ΗαπόδοσηενόςτέτοιουπαραγώγουστονχρόνοT θα είναι συνάρτηση των τιών των πρωτογενών προϊόντων στον χρόνο T και θα περιγράφεται από ένα διάνυσα f R : f =(f 1,...,f ), όπου f k θα είναι η απόδοση του παραγώγου, αν η αγορά βρεθεί στην κατάσταση k. Αν θέλουε να αναπαραγάγουε την απόδοση του παραγώγου αυτού, πρέπει να βρούε ένα 21

χαρτοφυλάκιο, δηλαδή ένα θ R, που η αξία του σε κάθε ια από τις καταστάσεις ταυτίζεται ε την αξία του χαρτοφυλακίου, δηλαδή θ α D αk = f k, k =1,...,. (2.8) Αυτό είναι ένα γραικό σύστηα (D θ = f) ε εξισώσεις και αγνώστους. Αν το σύστηα αυτό έχει λύση θ R, τότε η αρχική αξία του παραγώγου επιβάλλεται από την αρχή της η επιτηδειότητας και πρέπει να ταυτίζεται ε την αρχική αξία του χαρτοφυλακίου που αναπαράγει την απόδοσή του, δηλαδή V 0 (f) =θ p. Παράδειγα 6 Θεωρήστε ένα υπόδειγα αγοράς ιας περιόδου ε p = 0, 9 8 6 και D = 1 1 1 1 10 10 6 6 8 5 8 5 Παρατηρήστε ότι έχουε δύο προϊόντα ε κίνδυνο καθένα από τα οποία ακολουθεί το διωνυικό υπόδειγα. Για παράδειγα, το δεύτερο προϊόν της αγοράς έχει σηερινή αξία 8, ενώ στον χρόνο T η αξία του είναι είτε 10 (καταστάσεις 1 και 2) είτε 6(καταστάσεις 3 και 4). Θέλουε να τιολογήσουε ένα παράγωγο για το οποίο f = (13, 16, 5, 8). Είναι εύκολο να δείτε ότι το σύστηα D θ = f έχει οναδική λύση ε θ =(1, 2, 1), άρα η αρχική αξία αυτού του παραγώγου είναι V 0 =1 0, 9+8 2+6 ( 1) = 10, 9. Προσέξτε και πάλι ότι οι πιθανότητες π k δεν παίζουν ρόλο στην τιολόγηση του παραγώγου. Παρατήρηση 10 Το γραικό σύστηα D θ = f ενδέχεται να ην έχει ονοσήαντη λύση. Εποένως είναι δυνατόν να υπάρχουν διαφορετικά χαρτοφυλάκια που αναπαράγουν την απόδοση του παραγώγου. Σε αυτήν την περίπτωση δεν έχει σηασία ποιο από αυτά θα χρησιοποιήσουε για να ορίσουε την αρχική αξία του παραγώγου, καθώς όλα τα χαρτοφυλάκια που αναπαράγουν την απόδοση του παραγώγου έχουν την ίδια αρχική αξία. Αυτός ο ισχυρισός είναι συνέπεια της αρχής της η επιτηδειότητας και πορούε να τον αποδείξουε ως εξής. Γνωρίζουε ότι από την αρχή της η επιτηδειότητας υπάρχει u R ώστε Du = p. Εποένως, αν D θ 1 = D θ 2 = f, έχουε:. (θ 1 θ 2 ) p =(θ 1 θ 2 ) (Du) =D (θ 1 θ 2 ) u =0. Παράδειγα 7 Θεωρήστε ένα υπόδειγα αγοράς ιας περιόδου ε p = 0, 9 8 6 10, 9 και D = 1 1 1 1 10 10 6 6 8 5 8 5 13 16 5 8 Παρατηρήστε τώρα ότι η αγορά ας είναι η ίδια του προηγούενου παραδείγατος ε την προσθήκη του παραγώγου που τιολογήσαε στα προς διαπραγάτευση προϊόντα. Κάθε παράγωγο που πορεί να αναπαραχθεί ε ένα χαρτοφυλάκιο θ, όπου θ =(θ 1, θ 2, θ 3, θ 4 ), πορεί επίσης να αναπαραχθεί και από το χαρτοφυλάκιο θ ε θ =(θ 1 +θ 4, θ 2 +2θ 4, θ 3 θ 4, 0). Αυτό συβαίνει γιατί το παράγωγο του προηγούενου παραδείγατος πορεί, όπως είδαε, να συντεθεί από τα άλλα προϊόντα. Προσέξτε επίσης ότι. θ p = 0, 9 (θ 1 + θ 4 )+8 (θ 2 +2θ 4 )+6 (θ 3 θ 4 ) + 10, 9 0 = 0, 9 θ 1 +8 θ 2 +6 θ 3 + 10, 9 θ 4 = θ p. 22

Από τη Γραική Άλγεβρα γνωρίζουε ότι το γραικό σύστηα D θ = f έχει λύση θ R για κάθε f R, αν και όνο αν η τάξη του πίνακα D είναι. Σε αυτήν την περίπτωση κάθε παράγωγο πορεί να αναπαραχθεί και να τιολογηθεί, οπότε η αγορά που περιγράφει το οντέλο ας είναι πλήρης. Στην αντίθετη περίπτωση, υπάρχουν παράγωγα για τα οποία το σύστηα (2.8) δεν έχει λύση και η αρχή της η επιτηδειότητας δεν αρκεί για να προσδιορίσουε την αξία του παραγώγου. Και πάλι όως η αρχή της η επιτηδειότητας πορεί να δώσει εκτιήσεις για την αρχική αξία του παραγώγου. Πιο συγκεκριένα, αν ένα χαρτοφυλάκιο έχει σε όλες τις δυνατές τελικές καταστάσεις εγαλύτερη αξία από αυτήν του παραγώγου, τότε η αρχική αξία του παραγώγου δεν πορεί να ξεπερνά αυτή του χαρτοφυλακίου: θ α D αk f k, k {1, 2,...,} = V 0 (f) θ p. Εποένως, αν + = {θ R : θ αd αk f k, k {1, 2,...,}} = {θ R : D θ f}, τότε min θ p = min max θ + θ R u 0 = max u 0 = max u 0 V 0 (f) min θ + θ p. (2.9) min θ R min θ R = max u 0,Du=p θ p + u k f k θ α D αk θ p + u k f k θ α D αk u k f k + θ α p α u k D αk u k f k = e rt max q I q f, όπου I = {q R : q 0, Dq= e rt p}. (2.10) Ηπρώτηισότηταπαραπάνωισχύειγιατί max u k 0 u k f k θ α D αk = 0, αν f k θ αd αk +, διαφορετικά. Ηδεύτερηισότηταπροκύπτειαπόεφαρογήτουθεωρήατοςδυϊσούτουγραικούπρογραατισού. Η προτελευταία ισότητα προκύπτει όπως και η πρώτη, αφού min θ R θ α p α u k D αk = 0, αν Du = p,, διαφορετικά. Παρατηρήστε ότι το εφικτό σύνολο Ι του δυϊκού προγράατος είναι ακριβώς τα αδιάφορα κινδύνου έτρα πιθανότητας, ενώ η αντικειενική συνάρτηση q f είναι η αναενόενη (κάτω από το q) απόδοση του παραγώγου στον χρόνο T. Επιπλέον, το σύνολο I είναι η κενό και συπαγές. Εποένως, το ελάχιστο στην (2.9) λαβάνεται για κάποιο θ + και ισούται ε τη λύση του δυϊκού προβλήατος, V 0 (f) V max 0 := max q I e rt E q [f(s(t ))]. 23

Με τον ίδιο τρόπο πορούε να πάρουε ένα κάτω φράγα για την αρχική αξία του παραγώγου: V 0 (f) V min 0 := e rt min q I Eq [f(s(t ))]. Βλέπουε λοιπόν ότι, ακόη και σε ια η πλήρη αγορά, ηαρχήτηςηεπιτηδειότηταςεπιβάλλειπεριορισούς στην αρχική αξία ενός παραγώγου. Είναι εύλογο να διερευνήσουε αν οι παραπάνω εκτιήσεις είναι οι ακριβέστερες που πορεί να πάρει κανείς. Ηαπάντησησεαυτότοερώτηαείναιθετική. Πρόταση 7 Αν το αρχικό ας υπόδειγα αγοράς ικανοποιεί την αρχή της η επιτηδειότητας και V0 min = V0 max, τότε οποιαδήποτε αρχική αξία v 0 του παραγώγου στο διάστηα (V0 min,v0 max ) αποκλείει την ύπαρξη στρατηγικής επιτηδειότητας. Απόδειξη: ιευρύνουε την αγορά ας συπεριλαβάνοντας και το παράγωγο στα προϊόντα που είναι διαθέσια προς διαπραγάτευση ε αρχική τιή v 0. Ηδιευρυένηαυτήαγοράέχειδιάνυσααρχικώντιώνκαι πίνακα τελικής κατάστασης p = e rt p 2. p v 0 1 1... 1 D 21 D 22... D 2 R +1 και D =...... Π (+1), D 1 D 2... D f 1 f 2... f αντίστοιχα. Θα δείξουε ότι υπάρχει u R τέτοιο ώστε u>0 και Du = p, οπότε από το Θεώρηα 3 δεν πορεί να κατασκευαστεί στρατηγική επιτηδειότητας χρησιοποιώντας τα προϊόντα της διευρυένης αυτής αγοράς. Πράγατι, εφόσον το I είναι συπαγές υποσύνολο του R, το έγιστο και το ελάχιστο στα δυϊκά προβλήατα που θεωρήσαε παραπάνω λαβάνονται, υπάρχουν δηλαδή x, y R τέτοια ώστε x, y 0, Dx = Dy = p και V0 min = x f, V0 max = y f. Επιπλέον, από την αρχή της η επιτηδειότητας για το αρχικό ας υπόδειγα, υπάρχει w R ε w>0και Dw = p. Αν λοιπόν v 0 (V0 min,v0 max ), υπάρχουν θετικές σταθερές α, β, γ τέτοιες ώστε α + β + γ =1 και v 0 = αv0 min + βv0 max + γ(w f) =(αx + βy + γw) f. Ορίζουε τώρα u = αx + βy + γw. Είναι εύκολο να δει κανείς ότι Du = p και u>0. Επιπλέον, Du p Du = = = p, f u άρα στη διευρυένη αγορά δεν υπάρχουν ευκαιρίες επιτηδειότητας. Πόρισα 1 Ηαρχικήαξίαενόςπαραγώγουκαθορίζεταιαπότηναρχήτηςηεπιτηδειότητας, αν και όνο αν η E q [f(s(t ))] έχει την ίδια τιή για όλα τα αδιάφορα κινδύνου έτρα πιθανότητας q I. Θεώρηα 5 ΗαγοράπουπεριγράφειτουπόδειγαArrow-Debreu είναι πλήρης, αν και όνο αν υπάρχει οναδικό αδιάφορο κινδύνου έτρο πιθανότητας. Απόδειξη: Σύφωνα ε το προηγούενο πόρισα η αγορά είναι πλήρης, αν και όνο αν τα sup q I E q [f(s T )] και inf q I E q [f(s T )] ταυτίζονται για κάθε f R. Οως v 0 q k f k = q k f k, f R q = q. Εποένως, είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη, προκειένου η τιή κάθε παραγώγου f να καθορίζεται από την αρχή της η επιτηδειότητας, να είναι ονοσύνολο το σύνολο I. 24

Παράδειγα 8 (Τριωνυικό υπόδειγα ιας περιόδου). Θεωρήστε ένα υπόδειγα αγοράς ιας περιόδου ε 0, 9 1 1 1 p = και D =. 9 12 10 8 Ας βρούε πρώτα τα αδιάφορα κινδύνου έτρα πιθανότητας q. Θα πρέπει: q 1 + q 2 + q 3 =1 (12q 1 + 10q 2 +8q 3 ) 0, 9=9 Ηγενικήλύσηαυτούτουσυστήατοςείναι(q 1,q 2,q 3 )=( 1 t 1 t 2,t, 2 ) ε t R. Για να έχουε q 0 θα πρέπει t [0, 1]. Εποένως, (1 t)/2 I = t : t [0, 1]. (1 t)/2 Ηαγοράαυτούτουυποδείγατοςικανοποιείτηναρχήτηςηεπιτηδειότηταςκαιδενείναιπλήρης. Εστω τώρα ένα παράγωγο ε διάνυσα απόδοσης f R 3. Τότε, αν q I έχουε E q [f] = 1 t 2 f 1 + tf 2 + 1 t 2 f 3 = f 1 + f 3 2 + t(f 2 f 1 + f 3 ). 2 Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να τιολογείται ένα παράγωγο από την αρχή της η επιτηδειότητας είναι να ην εξαρτάται από το t ηπαραπάνωέκφραση. Εποένως, ένα παράγωγο ε απόδοση f πορεί να τιολογηθεί, αν και όνο αν f 1 + f 3 =2f 2 και τότε η αρχική του αξία θα είναι V 0 (f) =0, 9 f 2. Εστω τώρα ένα ευρωπαϊκό δικαίωα αγοράς ε τιή άσκησης 9, δηλαδή f =(3, 1, 0). Τότε και 3 t max q I Eq [f] = max = 3 t [0,1] 2 2 3 t min q I Eq [f] = min =1. t [0,1] 2 Εποένως στο υπόδειγα αυτό έχουε τις εκτιήσεις: 0, 9 c(9,t,9) 1, 35. Συνοψίζοντας όσα είδαε στο πλαίσιο του γενικού υποδείγατος ιας περιόδου των Arrow & Debreu έχουε: Η αρχή της η επιτηδειότητας ικανοποιείται τότε και όνο, όταν υπάρχει αδιάφορο κινδύνου έτρο πιθανότητας (q I) ώστε q π. Ηαγοράπουπεριγράφειτουπόδειγαείναιπλήρης, όταν υπάρχει οναδικό τέτοιο έτρο. Σε κάθε περίπτωση, αν η απόδοση ενός παραγώγου στον χρόνο T είναι f(s(t )), τότε η αρχή της η επιτηδειότητας επιβάλλει τις παρακάτω ανισότητες για την αρχική του αξία: min q I e rt E q [f(s(t ))] V 0 (f) max q I e rt E q [f(s(t ))]. Τα παραπάνω συπεράσατα που αποδείξαε για υποδείγατα ιας περιόδου παραένουν (στην ουσία τους) σε ισχύ και για πολύ γενικότερα υποδείγατα και αναφέρονται συνήθως ως το Θεελιώδες Θεώρηα της τιολόγησης παραγώγων (fundamental theorem of asset pricing). Είδαε στην Πρόταση 7 ότι, σε ια αγορά που δεν είναι πλήρης η αξία ενός παραγώγου δεν πορεί να καθοριστεί από την αρχή της η επιτηδειότητας, αλλά υπάρχει εν γένει ένα ολόκληρο διάστηα από τιές 25

που είναι συβατές ε την αρχή της η επιτηδειότητας. Εχουν προταθεί διάφοροι τρόποι για τη συστηατική επιλογή ίας από τις δυνατές τιές του παραγώγου. Ενας από τους πιο διαδεδοένους είναι χρήση των συναρτήσεων ωφέλειας (utility functions). Ο ενδιαφερόενος αναγνώστης πορεί να αναζητήσει περισσότερες πληροφορίες σε εισαγωγικό επίπεδο στο βιβλίο [2]. Είπαε στην αρχή του κεφαλαίου ότι σκοπός ας είναι να αναλύσουε υποδείγατα που θεωρούνται ρεαλιστικά. Τα υποδείγατα ιας περιόδου που ελετήσαε έχουν δυο βασικά ειονεκτήατα. Αφενός, τα προϊόντα που οντελοποιούε πορούν να καταλήξουν όνο σε ένα διακριτό σύνολο καταστάσεων. Α- φετέρου, τα υποδείγατα ιας περιόδου δεν επιτρέπουν συναλλαγές εταξύ της αρχικής και της τελικής κατάστασης. Ετσι, δεν πορούε να εξετάσουε παράγωγα αερικανικού τύπου, αλλά ούτε και να χρησιοποιήσουε δυναικά αυτοχρηατοδοτούενα χαρτοφυλάκια ώστε να αναπαραγάγουε αποδόσεις ευρωπαϊκών παραγώγων. Στο επόενο κεφάλαιο θα δούε πώς πορούε να άρουε τον τελευταίο περιορισό. 2.4 Το Θεώρηα του διαχωρίζοντος υπερεπιπέδου Θεώρηα 6 Εστω C η κενό, κυρτό και συπαγές υποσύνολο του R n. Αν L είναι ένας γραικός υπόχωρος του R n και L C =, τότε υπάρχει ένα διάνυσα x R n τέτοιο ώστε: και y x =0για κάθε y L u x > 0 για κάθε u C. Εποένως, το υπερεπίπεδο H = {u R : u x =0} περιέχει τον L, ενώ το κυρτό σύνολο C βρίσκεται εξ ολοκλήρου στον έναν από τους δύο ηιχώρους που αφορίζονται από το H. Απόδειξη: Θεωρούε το σύνολο G = C L = {x R n : x = u y, ε u C, y L}. Το G είναι η κενό και κυρτό (εύκολο), ενώ είναι και κλειστό. Πράγατι, έστω x n = u n y n είναι ια ακολουθία στο G τέτοια ώστε x n x. Η u n είναι ια ακολουθία στο συπαγές σύνολο C, εποένως υπάρχει συγκλίνουσα υπακολουθία της u nk u C. Ηακολουθίαy nk στον L θα συγκλίνει επίσης, αφού y nk = u nk x nk u x, ενώ u x L, αφού ο L ως υπόχωρος του R n είναι κλειστό σύνολο. Εποένως x = u (u x) G και άρα το G είναι κλειστό. Εστω x εκείνο το σηείο του G ε την ελάχιστη απόσταση από το ηδέν. L C = = x > 0. Από την κυρτότητα του G, αν x G, τότε για κάθε α (0, 1) έχουε αx +(1 α)x G. Εποένως, x 2 αx +(1 α)x 2 Από την παραπάνω (εφόσον α > 0) έχουε Παίρνοντας α 0 λαβάνουε την = α 2 x 2 +(1 α) 2 x 2 +2α(1 α)x x = x 2 + α 2 x x 2 +2α(x x x 2 ). 2(x 2 x x ) αx x 2, α (0, 1). x x x 2 > 0, x G. (2.11) Αν u C τότε u = u 0 G, εποένως από την (2.11) έχουε u x > 0. Επιπλέον, αν y L τότε για κάθε λ R έχουε u λy G οπότε λy x <u x, λ R. Αυτό όως πορεί να συβεί όνο αν y x =0. 26

2.5 Ασκήσεις Άσκηση 19 Ητρέχουσατιήιαςετοχήςείναι 50, ενώ η τιή ενός οολόγου έξι ηνών όψεως 100 είναι 96. Υποθέτουε ότι σε έξι ήνες η τιή της ετοχής θα είναι είτε 60 είτε 42. Βάσει του παραπάνω υποδείγατος: α) Τιολογήστε ένα ευρωπαϊκό δικαίωα αγοράς εκατό ετοχών ε ωρίανση σε έξι ήνες και τιή άσκησης 48 ανά ετοχή. β) Συνθέστε ένα χαρτοφυλάκιο από ετοχές και εξάηνα οόλογα, το οποίο έχει την ίδια απόδοση ε το παραπάνω δικαίωα. γ) Τιολογήστε ένα ευρωπαϊκό δικαίωα πώλησης εκατό ετοχών ε την ίδια ωρίανση και τιή άσκησης. δ) Αν η τιή διαπραγάτευσης ενός δικαιώατος πώλησης όπως αυτό του ερωτήατος (γ) είναι 23, κατασκευάστε ια στρατηγική επιτηδειότητας. Άσκηση 20 Θεωρούε την εξής αγορά ιας περιόδου ε τρία προϊόντα και τέσσερις καταστάσεις. Το προϊόν 1 είναι ένα άνευ κινδύνου οόλογο ε r =0, το προϊόν 2 είναι ια ετοχή ε αρχική τιή 1, το προϊόν 3 είναι ια άλλη ετοχή ε αρχική τιή 1. Ας αριθήσουε τις 4 δυνατές τελικές καταστάσεις ως εξής: 1) και οι δυό ετοχές αξίζουν 1+ για κάποιο > 0 2) το προϊόν 2 αξίζει 1+ και το προϊόν 3 αξίζει 1 3) το προϊόν 3 αξίζει 1+ και το προϊόν 2 αξίζει 1 4) και οι δυο ετοχές αξίζουν 1. α. Γράψτε τον πίνακα D των δυνατών τελικών καταστάσεων σύφωνα ε το υπόδειγα Arrow-Debreu. β. Βρείτε όλα τα έτρα πιθανότητας π στον χώρο των τελικών καταστάσεων για τα οποία E π [X i (T )] = e rt X i (0), i=1, 2, 3. Με X i (0) (αντίστοιχα X i (T )) συβολίζουε την αρχική (αντίστοιχα τελική) αξία του προϊόντος i. γ. Εστω ένα παράγωγο ε απόδοση f k στην τελική κατάσταση k, k =1, 2, 3, 4. Ποια είναι η ελάχιστη και ποια η έγιστη αρχική αξία που επιτρέπεται από την αρχή της η επιτηδειότητας; δ. Ποια παράγωγα πορούν να τιολογηθούν ακριβώς; ε. Ποια είναι η δίκαιη αρχική αξία του παραγώγου ε απόδοση f k =0, 1k στην κατάσταση k; στ. Βρείτε το χαρτοφυλάκιο που αναπαράγει την απόδοση αυτού του παραγώγου. Άσκηση 21 Το κουπόνι στοιχήατος του ΟΠΑΠ της 24ης Οκτωβρίου δίνει τις ακόλουθες αποδόσεις για τον ποδοσφαιρικό αγώνα ΑΕΚ -Παναθηναϊκός. 1:2,65-Χ: 3,05-2:2,45.Αυτό σηαίνει ότι στοίχηα 1 σε νίκη της ΑΕΚ πληρώνει 2,65 σε ενδεχόενη νίκη της ΑΕΚ και 0 διαφορετικά, στοίχηα 1 σε ισόπαλο αποτέλεσα πληρώνει 3,05 σε περίπτωση ισοπαλίας και 0 διαφορετικά, ενώ στοίχηα 1 σε νίκη του Παναθηναϊκού πληρώνει 2,45 σε ενδεχόενη νίκη του Παναθηναϊκού και 0 διαφορετικά. Θεωρήστε ια αγορά ε τα εξής τρία προϊόντα: στοίχηα 1 σε νίκη της ΑΕΚ, στοίχηα 1 σε νίκη του Παναθηναϊκού και στοίχηα 1 στην ισοπαλία. Γράψτε τον πίνακα D των τελικών καταστάσεων κατά το υπόδειγα Arrow-Debreu. Κατασκευάστε τώρα ένα χαρτοφυλάκιο ε αρνητικές θέσεις σε όλα τα προϊόντα και αρχική αξία - 100 τέτοιο ώστε η τελική του αξία να ην εξαρτάται από το αποτέλεσα του αγώνα. Ποια είναι η τελική αξία αυτού του χαρτοφυλακίου; Είναι αυτό το χαρτοφυλάκιο ια στρατηγική επιτηδειότητας για το γραφείο στοιχηάτων; Άσκηση 22 Σαν γενίκευση της προηγούενης άσκησης, θεωρήστε ια αγορά που περιλαβάνει ένα προϊόν χωρίς κίνδυνο ε τελική αξία 1 και σηερινή αξία 1(την αποχή από το στοίχηα) και τα τρία στοιχήατα ε αποδόσεις: 1:p 1, Χ: p 2, 2:p 3. Βρείτε ια ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε στην αγορά αυτή να ην υπάρχει στρατηγική επιτηδειότητας. Άσκηση 23 Στο υπόδειγα Arrow-Debreu δείξτε ότι, αν για κάθε θ R τέτοιο ώστε θ p =0και D θ 0, έχουε D θ =0, τότε D θ 0= θ p 0 27

Άσκηση 24 Σε ια αγορά υπάρχουν τρία προϊόντα. Το πρώτο είναι χωρίς κίνδυνο και έχει σηερινή αξία p 1 =0, 8. Τα άλλα δύο είναι ετοχές ε σηερινή αξία p 2 =8και p 3 =4, 8. Υποθέτουε ότι ετά από κάποιο χρόνο η αγορά πορεί να βρεθεί σε ια από τις ακόλουθες τέσσερις καταστάσεις. Κατάσταση Αξία προϊόντος 1 Αξία προϊόντος 2 Αξία προϊόντος 3 Α 1 10 8 Β 1 12 8 Γ 1 10 4 1 6 4 α) Είναι η αγορά πλήρης; β) Ποια παράγωγα πορούν να τιολογηθούν ακριβώς από την αρχή της η επιτηδειότητας; γ) Τιολογήστε το παράγωγο ε απόδοση 3, 5, 7 και 3, στις καταστάσεις Α, Β, Γκαι, αντίστοιχα. δ) Ποια είναι η ελάχιστη και η έγιστη αρχική αξία που είναι συβατή ε την αρχή ε της η επιτηδειότητας, για ένα δικαίωα αγοράς του προϊόντος 2 ε τιή άσκησης 9; ε) ιευρύνουε την προηγούενη αγορά, προσθέτοντας στα διαθέσια προϊόντα το δικαίωα του προηγούενου ερωτήατος ε τιή διαπραγάτευσης 1,2. είξτε ότι η διευρυένη αυτή αγορά είναι πλήρης και βρείτε την αρχική αξία ενός παραγώγου που έχει απόδοση 0, 2, 0 και 2, στις καταστάσεις Α, Β, Γκαι, αντίστοιχα. 28