Διπλωματική Εργασία ΠΡΟΟΜΟΙΨΗ ΔΙΑΣΑΞΕΨΝ ΡΤΘΜΨΝ ΠΟΛΑΡΙΣΟΝΙΨΝ ΕΠΙΥΑΝΕΙΑΚΨΝ ΧΕΤΔΟ-ΠΛΑΜΟΝΙΨΝ ΜΕ ΣΗ ΜΕΘΟΔΟ ΣΨΝ ΠΕΠΕΡΑΜΕΝΨΝ ΣΟΙΦΕΙΨΝ

Διπλωματική Εργασία ΠΡΟΟΜΟΙΨΗ ΔΙΑΣΑΞΕΨΝ ΡΤΘΜΨΝ ΠΟΛΑΡΙΣΟΝΙΨΝ ΕΠΙΥΑΝΕΙΑΚΨΝ ΧΕΤΔΟ-ΠΛΑΜΟΝΙΨΝ ΜΕ ΣΗ ΜΕΘΟΔΟ ΣΨΝ ΠΕΠΕΡΑΜΕΝΨΝ ΣΟΙΦΕΙΨΝ αλονικιός Βασίλειος Αριθμός Ειδικού Μητρώου: 645 Επιβλέπων Καθηγητής: Σραϊανός Γιούλτσης Θεσσαλονίκη Απρίλιος 013

ΠΡΟΟΜΟΙΨΗ ΔΙΑΣΑΞΕΨΝ ΡΤΘΜΨΝ ΠΟΛΑΡΙΣΟΝΙΨΝ ΕΠΙΥΑΝΕΙΑΚΨΝ ΧΕΤΔΟ-ΠΛΑΜΟΝΙΨΝ ΜΕ ΣΗ ΜΕΘΟΔΟ ΣΨΝ ΠΕΠΕΡΑΜΕΝΨΝ ΣΟΙΦΕΙΨΝ

ΠΕΡΙΕΦΟΜΕΝΑ 1.Εισαγωγή 1 1.1 Διατάξεις ρυθμών πολαριτόνιων επιφανειακών ψεύδοπλασμονιων 1 1. Περίληψη της εργασίας. Ρυθμοί πολαριτόνιων επιφανειακών ψεύδο-πλασμονίων 4.1 Ρυθμοί πολαριτόνιων επιφανειακών πλασμονίων 4.ύντομη επισκόπιση των ηλεκτρομαγνητικών ιδιοτήτων των μετάλλων 4.3 Επιφανειακά κύματα 5.3.1 ύνθετη αντίσταση επιφάνειας 8.4 Διάγραμμα διασποράς SPP ρυθμών 10.5 Χεύδο πολαριτόνια επιφανειακών πλασμονίων 11 3.Υωτονικοί κρύσταλλοι και Μεταϋλικά 14 3.1 Υωτονικοί κρύσταλλοι 14 3.1.1 Σο Κρυσταλλικό πλέγμα 15 3.1. Σο Αμοιβαίο πλέγμα 16 3.1.3 Διάδοση σε περιοδικά μέσα και κύματα Bloch 18 3.1.4 Ζώνη Brlloun 19 3. Μεταϋλικά 1 3..1 Ενεργός διηλεκτρική σταθερά και ενεργός συχνότητα πλάσματος 4.Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων 3 4.1 Γενικά για την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων 3 4. Διαμερισμός του χώρου σε πεπερασμένα στοιχεία και καθορισμός βαθμών ελευθερίας 4 4..1 Σριγωνικά πεπερασμένα στοιχεία και συντεταγμένες Smplex 4 4.. Διανυσματικά πρισματικά στοιχεία 6 4.3 Μέθοδος Galerkn Επαναδιατύπωση του προβλήματος 30 4.3.1 Μέθοδος Galerkn 30 4.3. Διατύπωση Galerkn της εξίσωσης Helmholtz 3 4.4 Διακριτοποίηση της Galerkn διατύπωσης της εξίσωσης Helmholtz 33 4.5 Επιβολή οριακών συνθηκών 36 4.5.1 Περιοδικές οριακές συνθήκες 38 4.6 Επίλυση του συστήματος- Πρόβλημα ιδιοτιμών 39 5.Προσομοίωση επίπεδων διατάξεων SSPP με τη μέθοδο των πεπεπερασμένων στοιχείων 41 5.1 Γενικά 41

5. Αλγόριθμος κώδικα matlab 41 5.3 Δομή Sevenpper Mushroom 43 5.3.1 Προσομοίωση διάταξης SSPP ρυθμών με το Sevenpper Mushroom 45 5.4 Δομή συμπληρωματικού συντονιστή μορφής δακτυλίου 48 5.4.1 Προσομοίωση διάταξης SSPP ρυθμών με το συμπληρωματικό συντονιστή μορφής δακτυλίου 48 5.5 Δομή Jerusalem Cross 5 5.5.1 Προσομοίωση διάταξης SSPP ρυθμών με την δομή Jerusalem Cross 5 5.5.Προσομοίωση διάταξης SSPP ρυθμών με τη τροποποιημένη δομή Jerusalem Cross 56 5.6 ύγκριση των προσομοιωμένων διατάξεων 58 Βιβλιογραφία 60

1.1 Διατάξεις ρυθμών πολαριτόνιων επιφανειακών ψεύδοπλασμονιων Κεφάλαιο Πρώτο Εισαγωγή Όπως είναι γνωστό απο την επιστημονική περιοχή της πλασμονικής, μέταλλα όπως ο άργυρος υποστηρίζουν στις οπτικές συχνότητες ηλεκτρομαγνητικές διεγέρσεις δεσμευμένες στην επιφάνεια τους. Οι διεγέρσεις αυτές είναι γνωστές ώς ρυθμοί πολαριτονίων επιφανειακών πλασμονίων (surface plasmon polarton) και οφείλονται στην αρνητική διηλεκτρική σταθερά απο την οποία χαρακτηρίζονται τα μέταλλα κοντά στο υπέρυθρο και στο ορατό φάσμα. Οι ρυθμοί SPP διαδίδονται κατα μήκος της επιφάνειας του μετάλλου και παρουσιάζουν πολύ υψηλή συγκέντρωση του πεδίου πάνω της. Ο μηχανισμός αυτός δίνει την δυνατότητα σε διατάξεις που αξιοποιούν τους SPP ρυθμούς να ξεπεράσουν το όριο παράθλασης (dffracton lmt) και να χρησιμοποιηθούν για κυματοδήγηση του φωτός σε κλίμακες μικρότερες του μήκους κύματος. Οι εφαρμογές τέτοιων διατάξεων είναι πολλές με τις πιο συνήθεις να είναι η κατασκευή κυματοδηγών, παθητικών και ενεργών εξαρτημάτων μικρότερων διαστάσεων και η βελτίωση της ευαισθησίας σε αισθητήτερες οπτικής μικροσκοπίας. Παρόμοιοι επιφανειακοί ρυθμοί μπορούν να διεγερθούν και στις μικροκυματικές και χιλιοστομετρικές ζώνες σε υλικά που παρουσιάζουν αρνητική διηλεκτρική σταθερά σε συχνότητες αυτού του φάσματος. Σέτοια υλικά δεν υπάρχουν στην φύση. Ψστόσο, είναι δυνατό να ρυθμιστεί η ηλεκτρομαγνητική συμπεριφορά φυσικών υλικών ώστε να παρουσιάζουν αυτό το χαρακτηριστικό. Αυτό μπορεί να επιτευχθεί με περιοδικά διαμορφωμένα μέσα ή κατάλληλα ντοπαρισμένους ημιαγωγούς. Η πρώτη διατύπωση για την ύπαρξη αυτών των ρυθμών έγινε απο τον J.B.Pendry.Παρότι η συμπεριφορά αυτών των ρυθμών είναι παρόμοια με αυτή των SPP, ο φυσικός μηχανισμός τους είναι τελείως διαφορετικός,έτσι η ονομασία που τους έδωσε ήταν ρυθμοί πολαριτονίων επιφανειακών ψευδοπλασμονίων (Spoof Surface Plasmon Polarton-SSPP ή Desgner Surface Plasmon Polarton). Η πρώτη δομή που προτάθηκε για τους SSPP ρυθμούς ήταν η περιοδική διάταξη μεταλλικών ράβδων σε ένα διηλεκτρικό, ενώ αργότερα προτάθηκαν διατάξεις μεταλλικών επιφανειών με περιοδικές εγκοπές και αυλακώσεις. Η τελευταία γενιά γεωμετριών ικανών να υποστηρίξουν SSPP ρυθμούς που προτάθηκε χρησιμοποιεί δομές μεταυλικών, δηλαδή επίπεδες περιοδικά διαμορφωμένες μεταλλικές επιφάνειες κατασκευασμένες κατάλληλα ώστε να ρυθμιστεί με επιθυμητό τρόπο η ηλεκτρομαγνητική τους συμπεριφορά. Αυτά τα υλικά παρουσιάζουν βελτιωμένη απόδοση τόσο ως προς την συγκέντρωση του πεδίου και το εύρος συχνοτήτων στο οποίο μπορούν να υποστήριξουν τους SSPP ρυθμούς όσο και ώς προς τις διαστάσεις της υλοποίησης τους. Οι εφαρμογές των SSPP διατάξεων είναι παρόμοιες με αυτές των SPP διατάξεων.ψστόσο, η πιο σημαντική εφαρμογή των SSPP διατάξεων στις μικροκυματικές συχνότητες είναι η κατασκευή δομών κυματοδήγησης και εξαρτημάτων με μικρότερες διαστάσεις. Ένα πολύ σημαντικό πλεονέκτημα αυτού του είδους κυματοδήγησης είναι η μεγάλη συγκέντρωση του πεδίου στο επίπεδο διάδοσης, που οδηγεί στον περιορισμό των παρεμβολών(nterference) και του crosstalk, όταν κυματοδηγοί SSPP ρυθμών χρησιμοποιούνται σε γραμμές μεταφοράς πολλαπλών αγωγών.αυτό το χαρακτηριστικό σε συνδυασμό με τις μικρότερες διαστάσεις, που επιτρέπει η subwavelenght διάδοση του ρυθμού, καθιστούν τις SSPP διατάξεις μια πολύ ελκυστική λύση για την κατασκευή μικροκυματικών ολοκληρωμένων κυκλωμάτων. Πρώτο Κεφάλαιο 1

Σο κύριο μειονέκτημα της κυματοδήγησης με SSPP ρυθμούς είναι οι υψηλές απώλειες με αποτέλεσμα η διάδοση να περιορίζεται σε ένα πεπερασμένο μήκος πριν το πλάτος της αποσβεστεί σημαντικά Ψστόσο, και σε αυτή τη περίπτωση η subwavelenght διάδοση του ρυθμού επιτρέπει την επεξεργασία αρκετών μηκών κύματος προτού χρειαστεί ενίσχυση του σήματος. Σέλος, η φύση των SSPP ρυθμών επιβάλλει περιορισμούς και στην διέγερση τους. Οι ρυθμοί αυτοί είναι χωρίς ακτινοβολία(non-radatve) με συνέπεια να είναι αδύνατη η απευθείας σύζευξη τους με προσπίπτουσα ακτινοβολία. Γι αυτό το λόγο χρησιμοποιούνται εναλλακτικές τεχνικές με την ικανότητα να προσαρμόζουν την προσπίπτουσα ακτινοβολία,έτσι ώστε ο κυματάριθμος της να ισούται με την σταθερά διάδοσης του SSPP ρυθμού και συνεπώς να μπορεί να τον διεγείρει. Οι πιο συνήθεις τεχνικές διέγερσης χρησιμοποιούν διηλεκτρικά υπερστρώματα υψηλού δείκτη διάθλασης και εκμεταλλεύονται είτε την γωνία πρόσπτωσης της ακτινοβολίας, είτε κάποια περιοδική διαμόρφωση του διηλεκτρικού για τη σύζευξη του ρυθμού. Παραδείγματα τέτοιων μεθόδων είναι οι γεωμετρίες Otto και Kretschmann- Raether, που χρησιμοποιούν γυάλινα πρίσματα για την σύζευξη προσπίπτουσας ακτινολίας με κατάλληλη γωνία πρόσπτωσης, και η μέθοδο του φράγματος παράθλασης(dffracton gratng), που η σύζευξη γίνεται με την πρόσπτωση ακτινοβολίας σε ένα κατάλληλα περιοδικά διαμορφωμένο διηλεκτρικό υπέρστρωμα. 1. Περίληψη της εργασίας Η παρούσα διπλωματική εργασία αφορά την προσομείωση επίπεδων διατάξεων, ώστε να επιβεβαιωθεί η υποστήριξη των SSPP ρυθμών. Η προσομείωση αυτή απαιτεί την επίλυση των εξισώσεων του Maxwell στον χώρο των διάταξεων. Ψστόσο, αυτά τα προβλήματα περιέχουν πολύπλοκες γεωμετρίες στις οποίες η εξαγωγή αναλυτικής λύσης είναι πολύ δύσκολη, αν όχι αδύνατη. Για αυτό το λόγο χρησιμοποιούμε την αριθμητική μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων(fnte Element Method -FEM), η οποία είναι απο τις πλέον κατάλληλες για την για την επίλυση προβλημάτων ακανόνιστων γεωμετριών που περιλαμβάνουν διηλεκτρικά και μαγνητικά υλικά. Επιπλέον, η μέθοδος αυτή οδηγεί στην περιγραφή του προβλήματος με συστήματα αραιών πινάκων, που έχουν χαμηλές απαιτήσεις υπολογιστικής μνήμης και άρα είναι ιδανική για υλοποίηση με κάποιο προγραμματιστικό κώδικα. υνεπώς, στα πλαίσια αυτής της εργασίας προκύπτουν δύο ζητήματα προς περιγραφή. Σο ένα είναι η φύση των SSPP ρυθμών και οι δομές που μπορούν να τους υποστηρίξουν, ενώ το δεύτερο είναι η προσομείωση τους με την χρήση της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων. το δεύτερο κεφάλαιο επιχειρείται μια σύντομη περιγραφή της φυσικής ερμηνείας των ρυθμών πολαριτονίων επιφανειακών ψεύδο-πλασμονίων, συγκρίνοντας τους παράλληλά με τους ρυθμούς πολαριτονίων επιφανειακών πλασμονίων. Εξάγονται αναλυτικά οι προυποθέσεις για την ύπαρξη επιφανειακών κυμάτων στην διεπιφάνεια δύο μέσων και περιγράφεται η έννοια της σύνθετης επιφανειακής αντίστασης ώς μια ποιοτική εκτίμηση της ικανότητας κάποιας διάταξης να υποστηρίξει επιφανειακά κύματα. Εξετάζεται ακόμη το διάγραμμα διασποράς των SPP και συνδέεται με αυτό των ρυθμών SSPP. το τρίτο κεφάλαιο, παρουσιάζονται συνοπτικά οι φωτονικοί κρύσταλλοι και η περιγραφή τους με τη χρήση του κρυσταλλικού και του αμοιβαίου πλέγματος. Εξετάζεται ακόμη η διάδοση ηλεκτρομαγνητικού κύματος σε περιοδικά μέσα με χρήση του θεωρήματος Bloch και εξηγείται η Πρώτο Κεφάλαιο

σημασία της ζώνης Brlloun του αμοιβαίου πλέγματος μιας περιοδικής διάταξης. Σέλος, γίνεται μια σύντομη αναφορά στις δομές των μεταυλικών που χρησιμοποιούνται στο πέρας της εργασίας και στην ηλεκτρομαγνητική συμπεριφορά τους. το τέταρτο κεφάλαιο, παρουσιάζεται η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων. Περιγράφονται η αριθμητική μέθοδος Galerkn βάση της οποίας επαναδιατυπώνεται το πρόβλημα της διάδοσης και οι οριακές συνθήκες που σχετίζονται με αυτό. Λόγω της φύσης της διάδοσης του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου χρησιμοποιούνται διανυσματικά πεπερασμένα στοιχεία και ως συνέπεια της περιοδικότητας των διατάξεων, που προσομοιώνονται στη συνέχεια, χρησιμοποιούνται περιοδικές οριακές συνθήκες με χρήση του θεωρήματος Bloch. Σέλος, εξετάζεται η επίλυση του προβλήματος ιδιοτιμών στο οποίο καταλήγει η εφαρμογή της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων στα προβλήματα των προσομοιώσεων. Σο τελευταίο κεφάλαιο αφορά την προσομοίωση τεσσάρων περιοδικών διατάξεων που μπορούν να υποστηρίξουν SSPP ρυθμούς με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Περιγράφεται ο αλγόριθμος του κώδικα matlab που αναπτύχθηκε και παρουσιάζονται τα διαγράμματα διασποράς που προέκυψαν απο τη προσομοίωση των διατάξεων. Γίνεται ακόμη σύγκριση των αποτελεσμάτων των διατάξεων. Αυτή η εργασία είναι η τελευταία υποχρέωση μου για την απόκτηση του διπλώματος του ηλεκτρολόγου μηχανικού μηχανικού ηλεκτρονικών υπολογιστών. Θέλω να ευχαρίστησω θερμά τον επιβλέποντα καθηγητή της διπλωματικής εργασίας μου, κ. Σραϊανό Γιούλτση, η συμβολή του οποίου τόσο στην εκπόνηση αυτής εργασίας όσο και στη συνολική πορεία της φοίτησης μου ήταν πολύ σημαντική.θέλω ακόμη να ευχαρίστησω τη συμφοιτήτρια μου Μαρία Παπαϊωάννου για την βοήθεια της στη συγγραφή της διπλωματικής και όλη τη συνεργασία που είχαμε ως συμφοιτητές. Πρώτο Κεφάλαιο 3

Κεφάλαιο Δεύτερο Ρυθμοί πολαριτόνιων επιφανειακών ψεύδο-πλασμονίων.1 Ρυθμοί πολαριτόνιων επιφανειακών πλασμονίων Καθώς ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα διαδίδεται σε ένα πολώσιμο μέσο, η αλληλεπίδραση με τη προκαλούμενη πόλωση στο μέσο το μεταβάλλει, με απότέλεσμα να διαδίδεται ώς μια διαταραχή η οποία ονομάζεται πολαριτόνιο(polarton). Εάν η διαταραχή αυτή είναι δεσμευμένη σε κάποια διεπιφάνεια δύο διαφορετικών υλικών, τότε ονομάζεται πολαριτόνιο επιφανείας(surface polarton). την γενική περίπτωση, όπου τα δύο μέσα τα οποία διαχωρίζονται από την επιφάνεια είναι ένα μέταλλο και κάποιο διηλεκτρικό, οι ηλεκτρομαγνητικές διεγέρσεις που διαδίδονται ονομάζονται πολαριτόνια επιφανειακών πλασμονίων (surface plasmon polarton, SPP). Αυτοί οι ρυθμοί υπάρχουν λόγω της ηλεκτρομαγνητικής συμπεριφοράς των μετάλλων στις υψηλές συχνότητες και προκύπτουν μέσω της σύζευξης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων με συντονιζόμενα ηλεκτρόνια της στοιβάδας αγωγιμότητας του μετάλλου (χήμα.1). χήμα.1. Κατανομή ηλεκτρικών φορτίων και πεδίου για SPP ρυθμό στην διεπιφάνεια διηλεκτρικούμετάλλου. Παρατηρούμε, ότι οι κάθετες στην επιφάνεια συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου έχουν αντίθετα πρόσημα.. ύντομη επισκόπιση των ηλεκτρομαγνητικών ιδιοτήτων των μετάλλων ύμφωνα με το μοντέλο Drude η ηλεκτρομαγνητική συμπεριφορά ενός μετάλλου σε ένα σημαντικό εύρος συχνοτήτων μπορεί να περιγραφεί με το μοντέλο πλάσματος (plasma model). το μοντέλο αυτό τα ηλεκτρόνια αγωγιμότητας του μετάλλου θεωρούνται σχεδόν ελεύθερα κινούμενα σε ένα περιβάλλον στατικών θετικά φορτισμένων πυρήνων. 4 Δεύτερο Κεφάλαιο

Με βάση το μοντέλο πλάσματος η διηλεκτρική σταθερά του μετάλλου απότελεί συνάρτηση μόνο της συχνότητας και εξαρτάται από παραμέτρους που καθορίζονται από το είδος του μετάλλου. Η σχετική διηλεκτρική σταθερά είναι: όπου p η συχνότητα πλάσματος του μετάλλου και r p 1 j p (.1) p η συχνότητα συγκρούσεων των ηλεκτρονίων. την περίπτωση που αγνοούμε τις απώλειες, το μοντέλο Drude εκφράζεται από την σχέση: p r 1 (.) Γίνεται εμφανές ότι για συχνότητες μικρότερες της συχνότητας πλάσματος η σχετική διηλεκτρική σταθερά του μετάλλου γίνεται αρνητική. Για συχνότητες μικρότερες της συχνότητας πλάσματος, τα αρνητικά φορτία κινούνται αρκετά γρήγορα, ώστε να κατανεμηθούν στην επιφάνεια p του μετάλλου και να μην υπάρχει ηλεκτρομαγνητικό πεδίο στο εσωτερικό του. Αντίθετα, για συχνότητες μεγαλύτερες της συχνότητας πλάσματος, το μέσο συμπεριφέρεται σαν ένα κανονικό διηλεκτρικό, με σχετική διηλεκτρική σταθερά με θετικό πραγματικό μέρος..3 Επιφανειακά κύματα Έστω ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα, το οποίο προσπίπτει σε μια επιφάνεια που διαχωρίζει δύο διαφορετικά μέσα. Εάν η διάδοση του γίνεται κατά μήκος της διεπιφάνειας, τότε το κύμα είναι ένα επιφανειακό κύμα. Θεωρούμε ότι το επίπεδο πρόσπτωσης και άρα η οριακή επιφάνεια είναι το επίπεδο xz και οι σχετικές διηλεκτρικές σταθερές των δύο μέσων είναι r1 και r. Ακόμη λαμβάνουμε ώς δεδομένο ότι δεν υπάρχει διάδοση ή μεταβολή στην κάθετη διεύθυνση ŷ ( / y 0). Η εξαγωγή των αναλυτικών εκφράσεων του πεδίου, προκύπτει από την επίλυση των εξισώσεων του Maxwell στην συγκεκριμένη γεωμετρία: Ε j Η (.3) Η jε (.4) Θεωρώντας την περίπτωση του ΣΜ κύματος για διάδοση κατα z ( H z 0 ), οι μη μηδενικές συνιστώσες της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου θα είναι οι συνιστώσα της έντασης μαγνητικού πεδίου θα είναι η H y. E x και E z, ενώ η μόνη μη μηδενική p Δεύτερο Κεφάλαιο 5

χήμα.. Μεταβολή του πλάτους ενός επιφανειακού κύματος μακριά από την οριακή επιφάνεια. Γράφουμε την ένταση του μαγνητικού πεδίου στο μέσο 1: H Ae Be j(kz1zk x1x) j(kz1zk x1x) y (.5) όπου A και B τα πλάτη του προσπίπτωντος και του ανακλώμενου, αντίστοιχα και k x1 και k z1 είναι οι συνιστώσες του κυματικού αριθμού κατά ˆx και ẑ στο μέσο 1. Οι δύο συνιστώσες του κυματικού αριθμού ικανοποιούν ακόμη την σχέση: k k (.6) z1 x1 1 1 Οι συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου στο μέσο 1 για ΣΜ προσπίπτον κύμα προκύπτουν από την (.3): E x1 1 y1 j 1 H z (.7) E z1 H j x 1 y1 Ενώ οι ίδιες σχέσεις ισχύουν και για το μέσο, με την ένταση του μαγνητικού πεδίου να είναι: 1 (.8) H Ce j(kzz kx1x) y (.9) ύμφωνα με τις οριακές συνθήκες, οι εφαπτομενικές συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου πρέπει να είναι ίσες και από τις δύο πλευρές της επιφάνειας z 0. Αυτή η συνθήκη, απαιτεί τα πεδία να μεταβάλλονται με τον ίδιο τρόπο κατα την διεύθυνση ˆx, άρα προκύπτει: k k k (.10) x1 x x 6 Δεύτερο Κεφάλαιο

Η ύπαρξη επιφανειακού κύματος στην διεπιφάνεια των δύο μέσων, δηλαδή στο επίπεδο x, προυποθέτει ότι η διάδοση θα γίνεται στον άξονα των x, ενώ τα πλάτη των συνιστωσών θα μειώνονται εκθετικά απόμακρυνόμενα από το επίπεδο z 0. Αυτό μπορεί να συμβεί όταν η k x συνιστώσα είναι αρκούντως μεγάλη, ώστε τα k z1 και k z να είναι φανταστικοί αριθμοί. Οι δύο συνιστώσες του κυματικού αριθμού κατα ẑ, αντικαθίστανται από τις j1 και j, όπου 1 και θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Η συνιστώσα του κυματικού αριθμού κατα x,άρα δίνεται από την σχέση: k k k (.11) x 1 1 Για να υπάρχει επιφανειακό κύμα χωρίς συνεχή διέγερση από πρόσπτωση κάποιου ΣΜ επίπεδου κύματος, z 0 (χήμα.), οι σχέσεις για τις εντάσεις του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου στα δύο μέσα είναι: 1z jkxx y1 Be e (.1) (.13) 1 1z jkxx Ex 1 Be e j1 k (.14) x 1z jkxx Ez1 Be e 1 στο μέσο 1, ενώ στο μέσο : z jkxx Hy Ce e (.15) (.16) z jkxx Ex Ce e j k (.17) x z jkxx Ez Ce e Για να ικανοποιείται η συνέχεια του εφαπτομενικού ηλεκτρικού πεδίου και του μαγνητικού πεδίου, πρέπει Ex Ex και H y1 H y στο επίπεδο z 0. Οι σχέσεις,που προκύπτουν από την παραπάνω συνθήκη, είναι: B C και 1 (.18) 1 Δεύτερο Κεφάλαιο 7

Εφόσον, 1 και θετικοί πραγματικοί αριθμοί, η σχέση (.17) μπορεί να ικανοποιηθεί μόνο όταν η είναι αρνητική. Ακόμη, για να έχουμε διάδοση κατα ˆx, η k x πρέπει να είναι πραγματική. Η k x,όμως,υπολογίζεται από τις οριακές συνθήκες ώς: k x c 1 1 (.19) Άρα οι δύο συνθήκες, που αφορούν τις σχετικές διηλεκτρικές σταθερές των δύο μέσων και απαιτούνται για την ύπαρξη επιφανειακού κύματος στην μεταξύ τους διεπιφάνεια είναι: και 1 0 (.0) 1 0 Οι παραπάνω σχέσεις ισχύουν μόνο για ΣΜ ρυθμούς. Με ανάλογο τρόπο αποδεικνύεται ότι ρυθμοί πολαριτονίων επιφανειακών πλασμονίων σε μία διεπιφάνεια δύο μέσων για ΣΕ πόλωση απαιτούν την ύπαρξη ενός μέσου με αρνητική μαγνητική διαπερατότητα. χήμα.3 :Διάγραμμα διασποράς SPP ρυθμών για διεπιφάνειες αέρα-μετάλλου Drude και γυαλιούμετάλλου Drude. Οι συνεχείς γραμμές αντιπροσωπεύουν το πραγματικό μέρος της σταθεράς διάδοσης,οι διακεκομένες το φανταστικό και οι γραμμές ar και slca, τις γραμμές φωτός στον άερα και το γυαλί..3.1 ύνθετη αντίσταση επιφάνειας Μια ποιοτική εκτίμηση της ικανότητας διάφορων διατάξεων να υποστηρίξουν επιφανειακά κύματα μπορεί να δοθεί με την έννοια της σύνθετης επιφανειακής ανίστασης(surface mpedance). Η σύνθετη επιφανειακή αντίσταση μας δίνει την δυνατότητα να μοντελοποιήσουμε μια επιφάνεια σαν ένα παράλληλο κύκλωμα συντονισμού, δηλαδή σαν ένα συνδυασμό χωρητικοτήτων C και επαγωγών L. Άρα, η σύνθετη επιφανειακή αντίσταση θα είναι συνάρτηση της συχνότητας και θα μεγιστοποιείται στη 8 Δεύτερο Κεφάλαιο

χήμα.4.τπολογισμός σύνθετης επιφανειακής αντίστασης. συχνότητα συντονισμού του ισοδύναμου κυκλώματος. Οι χωρητικότητες και οι επαγωγές, που συνθέτουν το ισοδύναμο, έχουν την ίδια φυσική ερμηνεία με τις αμοιβαίες χωρητικότητες και επαγωγές της θεωρίας συζευγμένων γραμμών και καθορίζουν την συχνότητα συντονισμού. Η ηλεκτρομαγνητική συμπεριφορά της επιφάνειας θα έχει άμεση σχέση με την συχνότητα συντονισμού. Επομένως, αν μπορούμε να μεταβάλλουμε τις χωρητικότητες και τις επαγωγές του ισοδύναμου κυκλώματος θα μπορούμε να ελέγξουμε και την ηλεκτρομαγνητική συμπεριφορά της επιφάνειας. Με αναφορά στο χήμα.4, για μια μεταλλική επιφάνεια πλάτους w και μήκους l, η επιφανειακή πυκνότητα ρεύματος μπορεί να βρεθεί από το νόμο του Ampere με την ολοκλήρωση της μαγνητικής πεδιακής έντασης κατά το πλάτος της επιφάνειας. Έτσι, το ρεύμα πάνω στην επιφάνεια θα ισούται με: I H y w (.1) Αντίστοιχα, η τάση στην επιφάνεια θα υπολογίζεται από την ολοκλήρωση του ηλεκτρικού πεδίου κατά μήκος της επιφάνειας και θα είναι: V Ex l (.) Από τις (.1) και (.), η σύνθετη επιφανειακή αντίσταση ορίζεται ώς το πηλίκο της τάσης και του ρεύματος. Z s E V w H I l x y (.3) Παρατηρούμε,ότι αν λάβουμε το πηλίκο w/ l ίσο με την μονάδα η επιφανειακή αντίσταση ορίζεται όπως στο νόμο του Ohm και εκφράζεται με Ohm ανά μονάδα επιφάνειας. Αν τώρα θεωρήσουμε ότι το επιφανειακό κύμα είναι ΣΜ πόλωσης, τα E x και H y θα υπολογίζονται από τις (.13) και (.1) αντίστοιχα. υνεπώς, η σύνθετη επιφανειακή αντίσταση για ΣΜ επιφανειακά κύματα θα υπολογίζεται: Z E j x 1 s (.4) H y 1 Δεύτερο Κεφάλαιο 9

Επομένως, επιφανειακά κύματα ΣΜ πόλωσης μπορούν να προκύψουν μόνο σε επιφάνειες με επαγωγική επιφανειακή αντίσταση. Με παρόμοιο τρόπο, μπορεί να απόδειχθεί ότι κύματα ΣΕ πόλωσης θα υπάρχουν σε επιφάνειες με χωρητική επιφανειακή αντίσταση. Ενώ, η συχνότητα συντονισμού θα σχετίζεται με ζώνες συχνοτήτων όπου δεν μπορεί να υπαρξει διάδοση, αφού θα μεγιστοποιείται η επιφανειακή αντίσταση..4 Διάγραμμα διασποράς SPP ρυθμών Η σχέση (.19) είναι στην πραγματικότητα η σχέση διασποράς του επιφανειακού ρυθμού, αφού συνδέει μέσω της, τη σταθερά διάδοσης k x με τη συχνότητα. Εάν το δέυτερο μέσο είναι μέταλλο, η εκφράζεται συναρτήσει της συχνότητας μέσω της σχέσης Drude. Η συνάρτηση διασποράς προκύπτει με αντικατάσταση στην (.19) της διηλεκτρικής σταθεράς του ου μέσου με αυτή του μοντέλου Drude χωρίς απώλειες. Σο διάγραμμα διασποράς για δύο διαφορετικά διηλεκτρικά (αέρας r1 =1, γυαλί r1 =.5 ) δίνεται στο σχήμα.3. Από το διάγραμμα διασποράς, φαίνεται ότι στις χαμηλές συχνότητες, δηλαδή στο φάσμα όπου το μέταλλο διατηρεί τις κλασικές ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες του, η καμπύλη ακολουθεί την γραμμή του φωτός. Καθώς η συχνότητα αυξάνει,όμως, η καμπύλη απόμακρύνεται από την γραμμή του φωτός και προσεγγίζει ένα ασυμπτωτικό όριο: s p 1 r1 (.5) Ο SPP ρυθμός βρίσκεται δεξιά της γραμμής φωτός και άρα είναι ένα αργό κύμα,δηλαδή διαδίδεται με φασική ταχύτητα μικρότερη της ταχύτητας του φωτός στο μέσο 1( vp c). Αυτό συνεπάγεται, ότι είναι ρυθμός χωρίς ακτινοβολία, αφού η μοναδική πραγματική συνιστώσα του κυματικού αριθμού είναι η παράλληλη στην διάδοση και δεν είναι δυνατόν να υπάρχει ροή ισχύος σε άλλη κατεύθυνση. Επιπλέον, ισχύει ότι η σταθερά διάδοσης, δηλαδή η k x, θα είναι μεγαλύτερη από τον κυματικό αριθμό που αντιστοιχεί στην διάδοση στο διηλεκτρικό. k x 1 (.6) c Η σχέση (.5) οδηγεί στο συμπέρασμα, ότι το μήκος κύματος του SPP ρυθμού θα είναι πάντα μικρότερο από το μήκος κύματος ελευθέρου χώρου και ότι όσο περισσότερο πλησιάζουμε στο ασυμπτωτικό όριο τόσο μεγαλύτερη θα είναι η διαφορά μεταξύ τους. SPP c (.7) k x Από το διάγραμμα διασποράς παρατηρούμε,ακόμη,ότι υπάρχει μια ζώνη συχνότήτων,ανάμεσα στο ασυμπτωτικό όριο του SPP ρυθμού και την εμφάνιση του επόμενου ρυθμου, στην οποία δεν 10 Δεύτερο Κεφάλαιο

υποστηρίζεται διάδοση στην διάταξη. Είναι μια απαγορευμένη ζώνη συχνοτήτων (bandgap), στην οποία κάθε προσπίπτον κύμα ανακλάται πλήρως. Είναι προφανες από την (.11) ότι στην περιοχή του διαγράμματος που η καμπύλη απόμακρύνεται από την γραμμή φωτός, οι συνιστώσες του πεδίου κατα τον z άξονα θα απόσβέννονται πιο απότομα, όσο αυξάνεται η σταθερά διάδοσης k x. Άρα, το οδηγούμενο πεδίο θα συγκεντρώνεται στην επιφάνεια της διάταξης και θα εκτείνεται κάθετα σε αυτήν μόνο κατα ένα μικρό μήκος. Σο μήκος έκτασης εκτός επιπέδου διάδοσης (out-of plane decay length)του ρυθμού θα ορίζεται, παράλληλα με το βάθος διείσδυσης λόγω επιδερμικού φαινομένου σε ένα αγωγό, ώς: 0 lz Im 1/ kz 1/ kx k (.8) Επιπλέον, εφόσον ο SPP ρυθμός θα διαδίδεται με μήκος κύματος μικρότερο του μήκους κύματος ελευθέρου χώρου (.7), το οδηγούμενο πεδίο θα διαδίδεται στο επίπεδο της διεπιφάνειας σε κλίμακες μικρότερες του μήκους κύματος(subwavelenght confnement) και θα μπορεί να υποστεί επεξεργασία σε κλίμακες μικρότερες του μήκους κύματος(subwavelenght manpulaton). Σο μήκος κύματος του SPP ρυθμού και το μήκος έκτασης εκτός επιπέδου διάδοσης είναι συναρτήσεις της διασποράς και μειώνονται όσο η καμπύλη απόμακρύνεται από την γραμμή του φωτός. Από το διάγραμμα διασποράς, άρα, μπορούμε να εξάγουμε, ακόμη, το εύρος ζώνης στο οποίο η σταθερά διάδοσης είναι αρκετά μεγαλύτερη της σταθεράς διάδοσης στο κενό και άρα η συγκέντρωση του πεδίου είναι κάτω από το όριο παράθλασης..5 Χεύδο πολαριτόνια επιφανειακών πλασμονίων τα περισσότερα μέταλλα, η συχνότητα πλάσματος βρίσκεται στο φάσμα της υπεριώδους ακτινοβολίας, με συνέπεια η διέγερση SPP ρυθμών να είναι αδύνατη στις μικροκυματικές συχνότητες. Αυτή η περιοχή του φάσματος αντιστοιχεί στο μέρος της καμπύλης διασποράς, που ακολουθεί την γραμμή φωτός, όπως περιγράφθηκε στην.4. Η ύπαρξη SPP ρυθμών προυποθέτει την παρουσία ενός διηλεκτρικού με σχετική διηλεκτρική σταθερά, που συναρτήσει της συχνότητας μπορεί να περιγραφεί με το μοντέλο πλάσματος. Όμως, μια κατάλληλα διαμορφωμένη επιφάνεια μπορεί να εχεί να έχει τέτοια συμπεριφορά σε κάποιο φάσμα, εφόσον η διάδοση για αυτές τις συχνότητες σε αυτή μπορεί να χαρακτηριστεί από μια ενεργό διηλεκτρική σταθερά με τις ιδιότητες του μοντέλου πλάσματος. Για να μπορεί να εκφραστεί η δομή αυτή από την ενεργό διηλεκτρική σταθερά, θεωρείται ομογενής στο ίδιο φάσμα, εννοώντας ότι η διάδοση ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος δεν διακρίνει την διαμόρφωση της επιφάνειας. Αυτό συνεπάγεται, ότι οι διαστάσεις της θα είναι αμελητέες συγκριτικά με το μήκος κύματος. Μια τέτοια δομή είναι μια διάτρητη μεταλλική πλάκα, που παρουσιάζεται στο χήμα.5. Ένα προσπίπτον ηλεκτρομαγνητικό κύμα, με συχνότητα πολύ μικρότερη του ασυμπτωτικού ορίου του μετάλλου, θα διεγείρει πολλαπλούς ρυθμούς στους κυματοδηγούς,που σχηματίζουν τα ανοίγματα της. s Δεύτερο Κεφάλαιο 11

χήμα.5. Διάτρητη μεταλλική πλάκα. Σα ανοίγματα έχουν διαστάσεις a a και σχηματίζουνε περιοδικό πλέγμα d d. Η ενεργός διηλεκτρική σταθερά της διάτρητης μεταλλικής πλάκας για διάδοση κατά x ή y, απόδεικνύεται ότι είναι: d h c 0 x y 1 8a a hh (.9) όπου h, h η σχετική διηλεκτρική σταθερά και σχετική μαγνητική διαπερατότητα του υλικού που πληρεί τα ανοίγματα. Άρα, η αντίστοιχη συχνότητα πλάσματος θα είναι: pl c 0 (.30) a h Η pl, που προκύπτει, είναι η συχνότητα απόκοπής για τον θεμελιώδη ρυθμό του κυματοδηγού,. 10 Παρατηρούμε, δηλαδή, μια αντιστοιχία με την συχνότητα πλάσματος ενός μετάλλου, όπου η συχνότητα πλάσματος είναι και εκεί το όριο για την εμφάνιση πεδίου στο εσωτερικό του. Σο διάγραμμα διασποράς έχει την ίδια μορφή με αυτή, που εξετάστηκε για την διεπιφάνεια διηλεκτρικού μετάλλου Drude, με μόνη διαφορά, ότι το ασυμπτωτικό όριο για την εμφάνιση επιφανειακών ρυθμών ταυτίζεται με την συχνότητα πλάσματος,(χήμα.6). υνεπώς, η διάδοση στην διεπιφάνεια διηλεκτρικού- διάτρητης μεταλλικής πλάκας θα έχει τα ίδια χαρακτηριστικά με αυτά, που αναφέρθηκαν στη παράγραφο.4. Ακόμη, οι συνθήκες (.0) για τη εμφάνιση επιφανειακών κυμάτων δεν διαφοροποιούνται, με απότέλεσμα η ενεργός διηλεκτρική σταθερά να είναι αρνητικός πραγματικός αριθμός στην ζώνη των συχνότήτων κοντά και κάτω από το ασυμπτωτικό όριο. Παρόλα αυτά, δεν υπάρχει πραγματική διέγερση πλασμονιών, δηλάδη συντονισμένης κίνησης ηλεκτρονίων. Η παρόμοια συμπεριφορά οφείλεται απόκλειστικά στα συντονισμένα πεδία στο εσωτερικό των ανοιγμάτων της πλάκας. υνεπώς, οι ρυθμοί αυτοί αναφέρονται ώς ρυθμοί πολαριτονίων 1 Δεύτερο Κεφάλαιο

χήμα.6. Διάγραμμα διασποράς για κυματοδήγηση στην διάτρητη μεταλλική πλάκα. επιφανειακών ψεύδο-πλασμονίων(spoof Surface Plasmon Polarton, SSPP). Σο κύριο πλεονέκτημα αυτών των ρυθμών είναι ότι η εμφάνιση τους παύει να είναι συνάρτηση των ιδιοτήτων του μετάλλου και εξαρτάται σχεδόν απόκλειστικά από τις διαστάσεις της διαμόρφωσης της επιφάνειας. Αυτό μας δίνει την δυνατότητα να σχεδιάσουμε διατάξεις που μπορούν να υποστηρίξουν επιφανειακούς ρυθμούς σε πολύ χαμηλότερες συχνότητες και να εκμεταλλευτούμε τα πλεονεκτήματα αυτού του είδους κυματοδήγησης. Είναι δυνατός ακόμη ο παράλληλος συνδυασμός SPP και SSPP με διαμόρφωση μεταλλικών επιφανειών, στις οποίες είναι ήδη εφικτή η διέγερση SPP, μειώνοντας έτσι την συχνότητα των επιφανειακών πλασμονίων. Τπάρχει πλήθος δομών διηλεκτρικού-περιοδικών γεωμετριών με κλίμακα μικρότερη του μήκους κύματος, που μπορούν να υποστηρίξουν SSPP ρυθμούς. Κοινό τους χαρακτηριστικό είναι το στοιχείο του ΣΜ συντονισμού, όπως η κίνηση των ηλεκτρονίων στην διεπιφάνεια διηλεκτρικούμετάλλου Drude ή η διέγερση 10 ρυθμών κυματοδηγού στις οπές της διάτρητης μεταλλικής πλάκας. Αυτές οι δομές ανήκουν στο σύνολο των μεταυλικών, που θα εξεταστούν στην παράγραφο 3.. Δεύτερο Κεφάλαιο 13

Κεφάλαιο Σρίτο Υωτονικοί κρύσταλλοι και Μεταϋλικά 3.1 Υωτονικοί κρύσταλλοι Οι φωτονικοί κρύσταλλοι είναι περιοδικά διαμορφωμένα ηλεκτρομαγνητικά μέσα, τα οποία χαρακτηρίζονται από απαγορευμένες ζώνες συχνότήτων (photonc bandgaps), στις οποίες δεν είναι δυνατή η διάδοση ηλεκτρομαγνητικού κύματος. Ο χαρακτηρισμός αυτής της κατηγορίας διατάξεων, προκύπτει από την ανάλογη, με αυτή των πραγματικών κρυστάλλων, συμπεριφορά τους. ε ένα κρύσταλλο, η χωρική περιοδική διευθέτηση των ατόμων ή των μορίων, από τα οποία απότελείται, σχηματίζει το κρυσταλλικό πλέγμα(crystal lattce). Η γεωμετρική αυτή δομή καθορίζει την ηλεκτρική συμπεριφορά του κρυστάλλου. Σο κρυσταλλικό πλέγμα μπορεί να απαγορεύσει την διάδοση κάποιων κυμάτων, εννόωντας ότι δεν είναι δυνατή η ροή ηλεκτρονίων σε συγκεκριμένες ενεργειακές στάθμες προς κάποιες διευθύνσεις. Τπάρχει, δηλαδή μια απαγορευμένη ενεργειακή ζώνη(energy gap). Κατ αναλογία, σε ένα φωτονικό κρύσταλλο, το κρυσταλλικο πλέγμα σχηματίζεται από την περιοδική διάταξη υλικών με διαφορετική διηλεκτρική σταθερά ή αλλιώς από μια χωρική περιοδική συνάρτηση της διηλεκτρικής σταθεράς. Σο φωτονικό διάκενο, που προκύπτει, σχετίζεται με απαγορευμένες ενεργειακές ζώνες για φωτόνια, για διάδοση προς συγκεκριμένες διευθύνσεις. Άρα, δεν είναι δυνατόν για τα άτομα, που απότελούν το μέσο, να απόρροφήσουν και να εκπέμψουν εκ νέου φωτόνια με ένεργειες,που αντιστοιχούν στην συχνοτική ζώνη του διακένου. υνεπώς, δεν μπορεί να διεγερθεί κάποιος ηλεκτρομαγνητικός ρυθμός. Οι διαστάσεις της περιοδικότητας είναι ανάλογες του μήκους κύματος των συχνοτήτων, που αντιστοιχούν στο φωτονικό διάκενο. Παρότι ο όρος φωτονικό διάκενο αναφέρεται στο οπτικό φάσμα, η αρχή των απαγορευμένων ζωνών συχνοτήτων μπορεί να εφαρμοστεί για ηλεκτρομαγνητικά κύματα όλων των μηκών κύματος και άρα μπορούμε να αναφερόμαστε στην συγκεκριμένη τεχνολογία με τον γενικότερο όρο ηλεκτρομαγνητικός κρύσταλλος(electromagnetc Crystal, Electromagnetc bandgap-ebg materal). Επιπλέον, η σχέση της θέσης και του μεγέθους του διακένου με τις διαστάσεις του φωτονικού κρυστάλλου μας επιτρέπει να σχεδιάσουμε την διάταξη, έτσι ώστε η απαγορευμένη ζώνη να εμφανίζεται σε όποιο μέρος του φάσματος επιθυμούμε. Η περιοδικότητα του κρυστάλλου μπορεί να εκτείνεται σε μία, δύο ή και στις τρείς διαστάσεις (χήμα 3.1). Ειδική περίπτωση είναι η κατηγορία των επίπεδων φωτονικών κρυστάλλων(planar photonc crystal), όπου η περιοδικότητα εκτείνεται στις δύο διαστάσεις, αλλά ο κρύσταλος έχει πεπερασμένη τρίτη διάσταση. 14 Σ ρίτο Κεφάλαιο

χήμα 3.1. Περιοδικοί φωτονικοί κρύσταλλοι σε μία, δύο και τις τρείς διαστάσεις, όπου η περιοδικότητα αφορά την διηλεκτρική σταθερά του υλικού. 3.1.1 Σο Κρυσταλλικό πλέγμα Όπως αναφέραμε στην (3.1), ένας φωτονικός κρύσταλλος περιγράφεται από μία περιοδική συνάρτηση διηλεκτρικής σταθεράς. () r r R (3.1) όπου κάθε διάνυσμα R ονομάζεται διάνυσμα πλέγματος(lattce vector) και είναι της μορφής: R la mb nc (3.) Η διηλεκτρική σταθερά της δομής παραμένει αναλλοίωτη για δύο σημεία του πλέγματος του κρυστάλλου, που συνδέονται με το διάνυσμα R. Οι συντελεστές a, m, n είναι ακέραιοι αριθμοί, ενώ τα τα διανύσματα a,b, c ονομάζονται θεμελιώδη διανύσματα πλέγματος(prmtve lattce vectors). Σα θεμελιώδη διανύσματα πλέγματος επιλέγονται έτσι, ώστε τα a και b να μην είναι συγγραμμικά και το c να μην είναι ομοεπίπεδο με το επίπεδο ab. Σα διανύσματα αυτά έχουν κοινή (αυθαίρετη) αρχή και απότελούν τους άξονες αναφοράς του κρυσταλλικού πλέγματος. Είναι προφανές ότι η επιλογή θεμελιωδών διανυσμάτων σε ένα πλέγμα δεν είναι μοναδική, παρ όλα αυτά συνηθίζεται να επιλέγονται τα μικρότερα σε μήκος διανύσματα, τα οποία ικανοποιούν τον ορισμό. Η παραδοχή, αυτή, δίνει ώς θεμελιώδη διανύσματα πλέγματος, τα διανύσματα που συνδέουν δυο γειτονικούς κόμβους του πλέγματος(χήμα 3.). Με αυτό τον τρόπο, ορίζεται ένα πλέγμα άπειρων σημείων, που αντιστοιχούν στα άκρα των διανυσμάτων R για όλους τους συνδυασμούς των ακεραίων l, m, n. Ο τρόπος με τον οποίο διατάσσονται οι δομικές μονάδες του κρυστάλλου αντιστοιχεί στην γεωμετρία του πλέγματος. Η μόνη πληροφορία, ωστόσο, που μπορούμε να εξάγουμε από το κρυσταλλικό πλέγμα, αφορά την περιοδική διαταξή τους, δηλαδή την περιοδικότητα της διηλεκτρικής σταθεράς, αφού οι πλεγματικοί κόμβοι είναι απειροστά σημεία. Η περιοδικότητα του κρυστάλλου θα εκτείνεται και στους τρείς άξονες που ορίζουν τα διανύσματα a,b,c. Έτσι, η συμμετρία που προκύπτει μας επιτρέπει να δούμε το πλέγμα σαν μια επανάληψη μιας αδιαίρετης περιοχής, του μοναδιαίου κελιου(unt cell). Σο μοναδιαίο κελί μπορεί να οριστεί διαφορετικά ώς ο μικρότερος δυνατός όγκος, που παράγει με επανάληψη την περιοδική δομή. Σρίτο Κεφάλαιο 15

χήμα 3..Δισδιάστατο τετραγωνικό κρυσταλλικό πλέγμα. Σο σχήμα στα αριστερά είναι τα πλεγματικά σημεία στον χώρο. Σο μεσαίο σχήμα είναι το αντίστοιχο αμοιβαίο πλέγμα, ενώ στο σχήμα στα δεξιά φαίνεται ο ορισμός του μοναδιαίου κελιού. Όλες οι διατάξεις, που εξετάζονται στην παρούσα εργασία, είναι επίπεδες γεωμετρίες τετραγωνικού κρυσταλλικού πλέγματος με την ίδια περίοδο και στους δύο άξονες της. Επομένως, τα δύο θεμελιώδη διανύσματα πλέγματος που ορίζονται είναι της μορφής a ˆ 1 ax, a ˆ ay. υνεπώς η περίοδος του πλέγματος είναι a και ονομάζεται σταθερά πλέγματος, ενώ το μοναδιαίο κελί είναι ένα τετράγωνο με το πλεγματικό σημείο στο κέντρο του, όπως φαίνεται στο χήμα 3.. 3.1. Σο Αμοιβαίο πλέγμα Έστω ότι έχουμε μια συνάρτηση f () r περιοδική στο κρυσταλλικό πλέγμα, έτσι ώστε f() r f r R, όπου R οποιοδήποτε διάνυσμα πλέγματος. Είναι πρακτικό, αφού η f είναι περιοδική συνάρτηση, να χρησιμοποιήσουμε το μετασχηματισμό Fourer της. ε αυτή την περίπτωση ο FT είναι χωρικός, δηλαδή περιγράφει την f () r ώς ένα άθροισμα επιπέδων κυμάτων διαφορετικών κυματικών διανυσμάτων. Εαν θεωρήσουμε για ευκολία, ότι τα θεμελιώδη διανύσματα πλέγματος βρίσκονται πάνω στους x, y, z άξονες, ο μετασχηματισμός είναι: q ( ) (,, ) x xq y yq z z qr f r F qx qy qz e dqxdqydq z F( q) e dq (3.3) Από την (3.3), βλέπουμε ότι η τρισδιάστατη χωρική συνάρτηση μπορεί να παραστασταθεί σαν άθροισμα στοιχειωδών επίπεδων ομοιόμορφων κυμάτων F( q ) e qr, με πλάτος F( q ) και κυματικό διάνυσμα q ˆ q ˆ q ˆ q xx yy zz. Όμως ισχύει f() f r r R και άρα πρέπει: j j f ( qr qr ) F( ) e e d f ( ) qr r R q q r F( q) e dq (3.4) Δηλαδή η περιοδικότητα της f () r υποδηλώνει ότι η F( q ) έχει την ιδιότητα: F( ) F( ) e j qr q q (3.5) 16 Σ ρίτο Κεφάλαιο

jqr Η (3.5) μπορεί να ισχύει μόνο όταν F( q ) 0 ή e 1. Με άλλα λόγια, ο μετασχηματισμός Fourer της f () r είναι παντού μηδέν εκτός τις συνιστώσες του με κυματικά διανύσματα q, για τα οποία ισχύει : e jqr 1 (3.6) για όλα τα διανύσματα πλέγματος R. Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι όταν περιγράφουμε μια περιοδική, πάνω σε πλέγμα, συνάρτηση με επίπεδα κύματα, αρκεί να συμπεριλάβουμε μόνο τα επίπεδα κύματα με κυματικούς αριθμούς, που ικανοποιούν την (3.6) ή ισοδύναμα την : qr N (3.7) όπου N ακέραιος. Σα διανύσματα αυτά ονομάζονται διανύσματα αμοιβαίου πλέγματος(recprocal lattce vectors) και συμβολίζονται συνήθως με το γράμμα G. Ο μετασχηματισμός της συνάρτησης f () r, επομένως, μπορεί να γραφεί σαν μια χωρική σειρά της μορφής : όπου f G κατάλληλα βάρη. f () r f e Gr G (3.8) G Σα διανύσματα αμοιβαίου πλέγματος σχηματίζουν, με τον ίδιο τροπο που σχηματίζεται το κρυσταλλικό πλέγμα από R, ένα νέο πλέγμα, το αμοιβαίο πλέγμα (Recprocal lattce). Σο αμοιβαίο πλέγμα είναι, δηλαδή, η μεταφορά του κρυσταλλικού πλέγματος στον φασματικό χώρο. Ανάλογα ορίζονται και τα θεμελιώδη διανύσματα του αμοιβαίου πλέγματος b (prmtve recprocal lattce vectors), ώστε κάθε διάνυσμα G να παριστάνεται σαν γραμμικός συνδυασμός τους, G lb mb nb. Η σχέση των θεμελιωδών διανυσμάτων του αμοιβαίου πλέγματος με τα 1 3 αντίστοιχα του κρυσταλλικού πλέγματος προκύπτει από την απαίτηση της (3.7) και είναι: G R ( l b m b n b ) ( la ma na ) N (3.9) ' ' ' 1 3 1 3 Η παραπάνω σχέση μπορεί να ικανοποιηθεί αν κατασκευάζαμε τα b, έτσι ώστε ab j όταν j,και 0 όταν διάφορο του j. Έτσι τα θεμελιώδη διανύσματα του αμοιβαίου πλέγματος υπολογίζονται με την χρήση της (3.9), συναρτήσει των a, ώς εξής: a a, a a, a a b b b ( ) ( ) ( ) 3 3 1 1 1 3 a1 a a3 a1 a a3 a1 a a3 (3.10) Όλες οι διατάξεις που εξετάζονται στην συνέχεια της εργασίας αντιστοιχούν σε τετραγωνικό δισδιάστατο πλέγμα με την ίδια σταθερά πλέγματος και στους δύο άξονες. ε αυτή την περίπτωση τα b είναι(χήμα 3.): Σρίτο Κεφάλαιο 17

ˆ a b1 x και 3.1.3 Διάδοση σε περιοδικά μέσα και κύματα Bloch b y ˆ (3.11) a Όπως αναφέρθηκε στην παράγραφο 3.1.1, ένας φωτονικός κρύσταλλος περιγράφεται από μία περιοδική συνάρτηση διηλεκτρικής σταθεράς, (3.1). ύμφωνα με το θεώρημα Bloch, όμως, είναι γνωστό, ότι ηλεκτρομαγνητικά κύματα μπορούν να διαδοθούν σε περιοδικά μέσα χωρίς να υποστούν σκέδαση και ότι μπορούν να εκφραστούν ώς ένα επίπεδο κύμα διαμορφωμένο από μια περιοδική συνάρτηση ur (συνάρτηση φακέλου), όπου η συνάρτηση έχει την ίδια περιοδικότητα με το κρυσταλλικό πλέγμα και άρα την ίδια περιοδικότητα με την διηλεκτρική σταθερά. Οι ρυθμοί, που διαδίδονται δηλαδή, θα είναι της μορφής: όπου το e kr e kr U r u r u r R (3.1) Ur μπορεί να είναι οποιοδήποτε ηλεκτρομαγνητικό μέγεθος(ηλεκτρική πεδιακή ένταση {Ε}, ένταση μαγνητικού πεδίου{η},διηλεκτρική μετατόπιση{d},μαγνητική επαγωγή{b}). Κάθε ρυθμός, όμως, θα πρέπει να ικανοποιεί τις εξισώσεις του Maxwell στο συγκεκριμένο μέσο.υνδυάζοντας τον νόμο του Faraday(.3) και τον νόμο του Ampere(.4) σε χώρο χωρίς πηγές, παίρνουμε την εξίσωση: 1 r H c H ή αλλιώς (3.13) / c Η Η (3.14) όπου ο γραμμικός τελεστής : 1 r (3.15) Η εξίσωση (3.14) είναι μία εξίσωση ιδιοτιμών, με ιδιοτιμές τις / c. Από τη λύση της (3.14) προκύπτουν τα προφίλ (ιδιοδιανύσματα) και οι αντίστοιχες συχνότητες (ιδιοτιμές) των ρυθμών που υποστηρίζονται από το περιοδικό μέσο. Αντικαθιστώντας, δηλαδή, την ένταση του μαγνητικού πεδίου με τον αντίστοιχο Bloch ρυθμό της μορφής (3.1) στη (3.14), η επίλυση του συστήματος για 18 Σ ρίτο Κεφάλαιο

χήμα 3.3. Φαρακτηρισμός της ζώνης Brlloun. Η διακεκομένη γραμμή είναι η μεσοκάθετη του ευθύγραμμου τμήματος που συνδέει δύο σημεία του αμοιβαίου πλέγματος. Εάν επιλέξουμε το σημείο Α στα αριστερά ώς την αρχή, κάθε διάνυσμα του πλέγματος k,που έχει ώς όριο ένα τυχαίο σημείο στην άλλη πλευρά της μεσοκαθέτου(κόκκινο σημείο), μπορεί να εκφραστεί ώς το άθροισμα ενός διανύσματος με όριο στην ίδια πλευρά της μεσοκαθέτου(διάνυσμα k ) με ένα διάνυσμα αμοιβαίου πλέγματος G. συγκεκριμένο k, θα επιστρέφει όλους του ρυθμούς που μπορούν να διαδοθούν με αυτον το κυματάριθμο στο μέσο. Με άλλα λόγια, για κάθε τιμή του k, θα υπάρχει ένας διακριτός αριθμός n ρυθμών μαγνητικού πεδίου με ιδιοσυχνότητες ( k ). ε κάθε ρυθμό θα αντιστοιχεί και διαφορετική συνάρτηση φακέλου n uk,n r. Έτσι, οι ρυθμοί που θα διαδίδονται θα είναι της μορφής :, n e kr k k, n U r u r (3.16) Οι ιδιοσυχνότητες ( k) θα μεταβάλλονται με συνεχή τρόπο για κάθε k και έτσι από την n επίλυση του συστήματος (3.14) για διαφορετικά κυματικά διανύσματα, θα πάρουμε ένα σύνολο από n διαφορετικές συναρτήσεις διασποράς ( k ). Κάθε μία από αυτές τις συναρτήσεις διασποράς θα n απότελεί μια ζώνη (band) του διαγράμματος διασποράς του κρυστάλλου, ενώ συχνοτικές περιοχές που δεν αντιστοιχούν σε κανένα ρυθμό θα είναι οι απαγορευμένες ζώνες του κρυστάλλου(photonc bandgap). Έτσι, το διάγραμμα διασποράς θα περιέχει όλους τους πιθανούς τρόπους διάδοσης στην διάταξη. 3.1.4 Ζώνη Brlloun Όπως αναφέραμε στη παράγραφο 3.1.3, οι ρυθμοί, που διαδίδονται σε ένα περιοδικό μέσο, μπορούν να εκφραστούν ώς ένα επίπεδο κύμα διαμορφωμένο από μια περιοδική συνάρτηση φακέλου ur με την ίδια περιοδικότητα με τον κρύσταλλο και έχουν την μορφή της σχέσης (3.16). Ισχύει δηλαδή: e kr e kr U r u r u r R (3.17) k, n k, n k, n Σρίτο Κεφάλαιο 19

χήμα 3.4. Σο μοναδιαίο κελί και η ζώνη Brlloun για δυσδυάστατο τετραγωνικό πλέγμα.η σκιασμένη περιοχή είναι η μη αναγώγιμη ζώνη Brlloun. Επομένως, η παράγοντα Uk,n e kr. r μετατοπισμένη κατα ένα διάνυσμα πλέγματος R, διαφοροποιείται με ένα 0 Σ ρίτο Κεφάλαιο k rr kr Uk, n r R e uk, n r R Uk, n r e (3.18) Είναι προφανές όμως, ότι η διάδοση κατα R ενός ρυθμού με κυματικό διάνυσμα k και ενός ρυθμού με κυματικό διάνυσμα kg,όπου G ένα διάνυσμα αμοιβαίου πλέγματος, θα έχουν το ίδιο απότέλεσμα, αφού θα ισχύει η (3.9), και άρα θα είναι ο ίδιος ρυθμός. Διαφορετικές τιμές του k, δηλαδή, δεν αντιστοιχούν αναγκαστικά σε διαφορετικούς ρυθμούς.επιπλέον, αν παρατηρήσουμε το αμοιβαίο πλέγμα, βλέπουμε ότι κάθε κυματικό διάνυσμα k, που εκτείνεται εκτός του μοναδιαίου κελιού στο οποίο έχει την αρχή του, μπορεί να περιγραφεί από το άθροισμα ενός κυματικού διανύσματος,το οποίο βρίσκεται εξ ολοκλήρου στο μοναδιαίο κελί, με ένα διάνυσμα αμοιβαίου πλέγματος G, (χήμα 3.3). Άρα είναι περιττό να εξετάσουμε όλες τις πιθανές τιμές του k. Αρκεί να υπολογίσουμε την συνάρτηση διασποράς για κυματικά διανύσματα εντός μιας πεπερασμένης περιοχής του αμοιβαίου πλέγματος εντός της οποίας δεν θα μπορούμε να μεταβούμε από ένα σημείο σε κάποιο άλλο με την πρόσθεση ενός αμοιβαίου διανύσματος πλέγματος. Τπάρχουν, προφανώς άπειρες τέτοιες περιοχές και ταυτίζονται με τα μοναδιαία κελιά του αμοιβαίου πλέγματος. Μπορούμε όμως να εστιάσουμε στην περιοχή,που είναι πλησιέστερη στο k 0. Η περιοχή αυτή ονομάζεται πρώτη ζώνη Brlloun(Brlloun zone). Για το τετραγωνικό πλέγμα, που εξετάζουμε, είναι προφανές, ότι το κυματικο διάνυσμα στη ζώνη Brlloun θα έχει πεδίο τιμών: / a k / a / a k / a (3.19) x Ακόμη και για τα κυματικά διανύσματα εντός της πρώτης ζώνης Brlloun όμως, υπάρχουν περιοχές που αντιστοιχούν στους ίδιους ρυθμούς. Για παράδειγμα,αν στο κυματικό διάνυσμα k η εξίσωση ιδιοτιμών (3.14) αντιστοιχεί συχνότητα, θα αντιστοιχεί την ίδια συχνότητα και στο k, το y

οποίο αντιστοιχεί σε διάδοση προς την αντίθετη κατεύθυνση. Αυτή η διαπίστωση μας επιτρέπει να εξετάσουμε το διάστημα τιμών0, / a. Με απαλοιφή όλων των περιοχών της ζώνης Brlloun, που έχουν ταυτόσημη συμπεριφορά, καταλήγουμε στην μη αναγώγιμη ζώνη Brlloun(rreducble Brlloun zone),(χήμα3.4). Η μη αναγώγιμη ζώνη Brlloun περιγράφεται με την βοήθεια των τριών σημείων Γ XM, όπου το σημείο Γ αντιστοιχεί στο k 0, το σημείο X στην διεύθυνση του πλησιέστερου πλεγματικού σημείου και το σημείο M στην διεύθυνση του αμέσως πλησιέστερου πλεγματικού σημείου. Έτσι, το διάγραμμα διασποράς υπολογίζεται με παράμετρο τις τιμές του κυματικού διανύσματος πάνω στις ευθείες Γ X, XM, MΓ, όπου τα σημεία Γ, X, M : Γ (k 0, k 0) x X (k /, k 0) x M (k /, k / ) x y y y (3.0) 3. Μεταϋλικά Σα μεταϋλικά είναι συνθετικές δομές, με ηλεκτρομαγνητικά χαρακτηριστικά που δεν συναντώνται στην φύση. Παρότι δεν είναι υπαρκτά «υλικά», με κατάλληλο σχεδιασμό και περιοδική διευθέτηση τους, μπορούμε να θεωρήσουμε την προκύπτουσα δομή ομογενή σε ένα μέρος του φάσματος, εννοώντας έτσι, ότι η αλληλεπίδραση τους με ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία θα γίνεται με τους ίδιους όρους, που γίνεται σε φυσικά μέσα. Αυτή είναι και η κύρια διαφορά τους με τους φωτονικούς κρυστάλλους, που εξετάστηκαν στις προηγούμενες παραγράφους. Η συνθήκη της ομογένειας απαιτεί οι διαστάσεις του μεταϋλικού να είναι πολύ μικρότερες του μήκους κύματος για τις συχνότητες,που σχεδιάστηκαν, σε αντίθεση με τους φωτονικούς κρυστάλλους, που οι διαστάσεις είναι συγκρίσιμες. Ώς απότέλεσμα, οι ιδιότητες του φωτονικού κρυστάλλου εξαρτώνται από τις διαστάσεις του πλέγματος, ενώ στη περίπτωση των περιοδικών διατάξεων μεταυλικών, εξαρτώνται από την φύση του μοναδιαίου κελιού του πλέγματος, δηλαδή του ίδιου του μεταϋλικού. Ψστόσο, οι δυό κατηγορίες είναι στενά συνδεδεμένες και έχουν πολλές κοινές ιδιότητες, που μας επιτρέπουν να χρησιμοποιήσουμε την ίδια και παρόμοια διαγράμματα για την ανάλυση τους. Η κατηγορία των μεταυλικών είναι γενικότερη και περιέχει δομές που παρουσιάζουν πολύ διαφορετική συμπεριφορά. Ένας γενικός ορισμός, που μπορούμε να δώσουμε, είναι,ότι μεταυλικό είναι ένα τεχνητό υλικό, στο οποίο οι ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες του, όπως περιγράφονται από την διηλεκτρική σταθερά και την μαγνητική διαπερατότητα, μπορούν να ρυθμιστούν. Έτσι, είναι δυνατόν να κατασκευάσουμε δομές με όλους τους συνδυασμούς θετικών και αρνητικών και, για κάποια ζώνη συχνοτήτων. Η υποκατηγορία, όμως, που θα μας απασχολήσει στο πέρας της παρούσας εργασίας,αφορά κατασκευασμένες δομές με αρνητική διηλεκτρική σταθερά σε ένα επιλεγμένο μέρος του φάσματος. Οι δομές αυτές απότελούνται από διαμορφωμένες μεταλλικές επιφάνειες, όπως η διάτρητη μεταλλική πλάκα της παραγράφου.5 και είναι κατάλληλες για να υποστηρίξουν SSPP ρυθμούς. r r Σρίτο Κεφάλαιο 1

3..1 Ενεργός διηλεκτρική σταθερά και ενεργός συχνότητα πλάσματος Όπως είναι γνωστό, η διηλεκτρική σταθερά ενός διηλεκτρικού αφορά την σχέση μεταξύ του ηλεκτρικού πεδίου, που εφαρμόζεται στο υλικό, και του διανύσματος της πόλωσης P, που αναπτύσσεται εξαιτίας του. Οι τροχιές των ηλεκτρονίων των ατόμων ή των μορίων,που το απαρτίζουν, μεταβάλλονται και ώς απότέλεσμα αναπτύσσονται μικροσκοπικά ηλεκτρικές διπολικές ροπές, οι οποίες συνθέτουν διανυσματικά την πόλωση. Δηλαδή, η μοναδική συνεισφορά στην πόλωση του μέσου προέρχεται από τη κίνηση των ηλεκτρονίων. ε ένα υλικό με N αριθμό σωματιδίων(ατόμων ή μορίων), η πόλωση άρα εκφράζεται ώς: P Np(3.1) όπου p η στοιχειώδης ηλεκτρική διπολική ροπή, που αναπτύσσεται από την μεταβολή της τροχιάς των ηλεκτρονίων ενός σωματιδίου και είναι: p qd(3.) με d το διάνυσμα που συνδέει αρνητικά και θετικά φορτία και q το φορτίο. τις περιοδικές διατάξεις μεταυλικών, τα μόρια και τα άτομα του διηλεκτρικού αντικαθιστώνται από την δομή του μεταϋλικού και η πόλωση θα υπολογίζεται πάλι από την (3.1), με τη διαφορά ότι το N θα είναι ο αριθμός των δομών των μεταυλικών, που συνθέτουν την διάταξη. Η αντίστοιχη στοιχειώδης ηλεκτρική διπολική ροπή της σχέσης(3.),όμως, μεταβάλλεται, αφού η κίνηση των ηλεκτρονίων θα περιορίζεται από την δομή του μεταϋλικού, με συνέπεια το διάνυσμα d, να μην εξαρτάται πλέον από την φύση του υλικού αλλά από την διαμόρφωση του. Με άλλα λόγια, η ηλεκτρομαγνητική συμπεριφορά της διάταξης θα ρυθμίζεται, σχεδιάζοντας το μεταυλικό ώστε να έχει το επιθυμητό διάνυσμα πόλωσης. Η δομή, έτσι, θα χαρακτηρίζεται από μια ενεργό διηλεκτρική σταθερά (effectve delectrc constant), που θα εξαρτάται από τη διαμόρφωση του μεταϋλικού. την περίπτωση, που σχεδιάζουμε μεταϋλικά για υποστήριξη SSPP ρυθμών, η πιο σημαντική παράμετρος της ενεργου διηλεκτρικής σταθεράς τους, είναι η ενεργός συχνότητα πλάσματος. Οι δομές αυτές είναι διαμορφωμένες μεταλλικές επιφάνειες και η ενεργός διηλεκτρική σταθερά τους έχει την μορφή του μοντέλου Drude. Η έννοια της ενεργού συχνότητας πλάσματος είναι πάλι αντίστοιχη της συχνότητας πλάσματος ενός κανονικού μετάλλου, δηλαδή είναι η συχνότητα στην οποία η μεταλλική επιφάνεια (ή το μέταλλο Drude) αρχίζει να συμπεριφέρεται σαν ένα διηλεκτρικό. Και στις δυο περιπτώσεις, η συχνότητα πλάσματος είναι το όριο στο οποίο εμφανίζεται πεδίο στο εσωτερικού του μέσου. Ψστόσο στην περίπτωση του μετάλλου, αυτό οφείλεται στις φυσικές ιδιότητες των ηλεκτρονίων, ενώ στην περίπτωση του μεταϋλικού, οφείλεται στο ότι η διαμόρφωση επιτρέπει την εμφάνιση πεδίου στο εσωτερικο της δομής. Η ενεργός συχνότητα πλάσματος, δηλαδή, εξαρτάται από τις διαστάσεις της διαμόρφωσης της επιφάνειας και μπορεί να ρυθμιστεί,ώστε να βρίσκεται όπου επιθυμούμε. Σ ρίτο Κεφάλαιο

4.1 Γενικά για την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων Κεφάλαιο Σέταρτο Η Μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων(fnte element method-fem) είναι μια αριθμητική μέθοδος για την εύρεση προσεγγιστικών λύσεων σε φυσικά προβλήματα οριακών συνθηκών(boundary value problems),δηλαδή προβλήματων, που χαρακτηρίζονται από μια μερική διαφορική εξίσωση και ένα σύνολο οριακών συνθηκών. Η μέθοδος αυτή μπορεί να εφαρμοστεί σε πολύπλοκα πεδιακά προβλήματα, που η εύρεση αναλυτικής λύσης είναι πολύ δύσκολη ή ακόμη και αδύνατη. Η ιδέα της μεθόδου συνίσταται στην διαίρεση του χώρου του προβλήματος σε έναν πεπερασμένο αριθμό υπόπεριοχών, τα πεπερασμένα στοιχεία. Εφόσον, οι διάστασεις των πεπερασμένων στοιχείων είναι μικρές συγκρινόμενες με το μήκους κύματος του πεδιακού προβλήματος(μικρότερες του 1/10 του μήκους κύματος), το άγνωστο πεδιακό μέγεθος στο εσωτερικό κάθε στοιχείο μπορεί να βρεθεί με σχετική ακρίβεια από κάποια γραμμική ή κάποια ανώτερης τάξης προσέγγιση. Η συναθροιση των προσεγγίσεων από όλα τα στοιχεία μοντελοποιεί, έτσι, την μορφή του πεδίου στο σύνολο του χώρου του προβλήματος σαν μια συνάρτηση αγνώστων συντελεστών,των βαθμών ελευθερίας. Ψστόσο, η προσεγγιστική έκφραση δεν είναι δυνατό να εισαχθεί απευθείας στην διαφορική εξίσωση. Για αυτό τον λόγο, το μαθηματικό πρόβλημα επαναδιατυπώνεται με την βοήθεια μιας «ολοκληρωτικής» διατύπωσης. Η λογική αυτή μπορεί να εφαρμοστεί είτε με κάποια μέθοδο μεταβολών (varatonal method),όπως η μέθοδος Raylegh-Rtz, όπου το πρόβλημα οριακών συνθηκών ανάγεται στην εύρεση και την ελαχιστοποίηση κάποιας συναρτησιακής(functonal), είτε με κάποια μέθοδο σταθμισμένων υπολοίπων(weghted resdual), όπως η μέθοδος Galerkn. Και οι δύο κατηγορίες μεθόδων είναι ισοδύναμες,αλλά προτιμούμε την δεύτερη, γιατί δεν απαιτεί την χρήση συναρτησιακής και είναι πιο εύκολη στον χειρισμό. την συνέχεια, η προσέγγιση του πεδίου εισάγεται στην τροποποιημένη, από την μέθοδο,διαφορική εξίσωση και αφού επιβληθούν οι οριακές συνθήκες, το πρόβλημα καταλήγει να είναι ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων ώς προς του άγνωστους συντελεστές της προσέγγισης.άρα,τα βασικά βήματα της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων για ένα πεδιακό πρόβλημα είναι: α)διαίρεση της περιοχής του προβλήματος σε ένα αριθμό πεπερασμένων στοιχείων και της προσέγγισης του πεδιακού μεγέθους στο εσωτερικό κάθε στοιχείου. καθορισμός β) ύνδεση των προσεγγίσεων όλων των στοιχείων και σχηματισμός της προσεγγιστική έκφρασης του αγνώστου μεγέθους. γ)επαναδιατύπωση του προβλήματος με κάποια κατάλληλη μέθοδο. δ)επιβολή των οριακών συνθηκών και εισαγωγή της προσέγγισης του άγνωστου μεγέθους στην επαναδιατυπωμένη διαφορική. ε) Επίλυση του συστήματος γραμμικών εξισώσεων, που προκύπτει από το βήμα δ. Σέταρτο Κεφάλαιο 3

4. Διαμερισμός του χώρου σε πεπερασμένα στοιχεία και καθορισμός βαθμών ελευθερίας. Όπως αναφέραμε στην παράγραφο 4.1, ο χώρος του προβλήματος στην μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων διαιρείται σε ένα πεπερασμένο αριθμό υποπεριοχών, τα πεπερασμένα στοιχεία. την περίπτωση που το εξεταζόμενο πρόβλημα είναι δισδιάστατο, τότε τα απλούστερα στοιχεία στα οποία μπορεί να διαιρεθεί η περιοχή του προβλήματος είναι τα τριγωνικά στοιχεία ή αλλιώς δισδιάστατα στοιχεία smplex. Προφανώς, πιο πυκνός διαμερισμός του χώρου, θα οδηγεί και σε προσεγγίσεις μεγαλύτερης ακρίβειας. Μια βασική απαίτηση της διακριτοποίησης του χώρου, είναι ότι τα πεπερασμένα στοιχεία δεν θα πρέπει να επικαλύπτονται, αλλά και ότι δεν θα πρέπει να υπάρχουν κενά μεταξύ τους. Σα στοιχεία, άρα, θα πρέπει να συνδέονται με τις κορυφές τους,δηλαδή η κορυφή ενός στοιχείου μπορεί να βρίσκεται μόνο πάνω στις κορυφές γειτονικών στοιχείων. Επιπλέον, έχει δειχθεί ότι το σφάλμα της προσέγγισης με τη χρήση τριγωνικών στοιχείων είναι αντιστρόφως ανάλογο του ημιτόνου της μικρότερης εσωτερικής γωνίας του τριγώνου. υνεπώς, τρίγωνα με μικρές εσωτερικές γωνίες θα πρέπει να απόφεύγονται. Μια μέθοδος, που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την διαίρεση της περιοχής σε τρίγωνα, είναι ο αλγόριθμος Delauney(Delauney trangulaton), ο οποίος ικανοποιεί τις συνθήκεςγια σωστή διακριτοποίηση και επιπλέον τείνει να απόφεύγει την χρήση τριγώνων με μικρές εσωτερικές γωνίες. 4..1 Σριγωνικά πεπερασμένα στοιχεία και συντεταγμένες Smplex. Η περιγραφή όλων το μεγεθών στο εσωτερικό ενός τριγώνου γίνεται με την χρήση των συντεταγμένων smplex. Οι συντεταγμένες smplex ορίζονται με συμμετρικό, ώς προς τις κορυφές των τριγώνων, τρόπο και με τη χρήση τους τα μεγέθη μπορούν να εκφραστούν ανεξάρτητα από τις καρτεσιανές συντεταγμένες. e e Έστω ένα σημειο (x,y) εντός του τριγώνου με κορυφές τα σημεία (x, y ), όπου ο αριθμός κάθε κορυφής,(χήμα 4.1). Σο εμβαδό του τριγώνου, που σχηματίζουν το σημείο με τις κορυφές και 3 θα είναι: 1 x y 1 1 e e x y (4.1) 1 1 e e x3 y3 Ενώ, το εμβαδό του τριγώνου που σχηματίζουν οι τρείς κορυφές 1,,3, θα είναι: 1 x y 1 1 x (4.) 1 x e e 1 1 e e y e e 3 y3 4 Σ εταρτο Κεφάλαιο