Μελέτη πολύπλοκων συστημάτων με τη βοήθεια του Φυσικού Χρόνου

Παρουσίαση προόδου διδακτορικής διατριβής με τίτλο : Μελέτη πολύπλοκων συστημάτων με τη βοήθεια του Φυσικού Χρόνου Μιντζέλας Απόστολος Τριμελής Επιτροπή Καθηγητής Π.Βαρώτσος Αναπ. Καθηγητής Ν.Σαρλής Επίκ. Καθηγητής Ε.Σκορδάς

Πολυ-μορφοκλασματική ανάλυση με τη βοήθεια του Φυσικού Χρόνου 2

Φυσικός Χρόνος Ο συμβατικός χρόνος παρουσιάζεται σαν μια μονοδιάστατη συνέχεια πραγματικών αριθμών. Η συνέχεια αυτή όμως δεν αποτελεί απόρροια κάποιας θεμελιώδους αρχής. Το 2001 προτάθηκε ένα νέο πεδίο χρόνου [Varotsos et al., 2001], ο φυσικός χρόνος χ (ο συμβολισμός χ οφείλεται στην λέξη χρόνος). Ο φυσικός χρόνος, από τον ορισμό του, δεν είναι συνεχής αλλά παίρνει ως τιμές ρητούς αριθμούς που ανήκουν στο διάστημα (0,1]. Η ανάλυση χρονοσειρών πολύπλοκων συστημάτων υπό το πρίσμα αυτού του νέου πεδίου του χρόνου μπορεί να αναδείξει κρυμμένα δυναμικά χαρακτηριστικά. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα την μείωση της αβεβαιότητας ως προς την μελλοντική εξέλιξη του συστήματος και την εξαγωγή περισσότερης πληροφορίας από την συγκεκριμένη χρονοσειρά. 3

Έστω μια χρονοσειρά αποτελούμενη από Ν γεγονότα, ο φυσικός χρόνος ορίζεται ως χ k = k N και συνιστά ένδειξη για την ύπαρξη του k-οστού γεγονότος [Varotsos et al., 2001, 2002a] σε σύνολο Ν γεγονότων και είναι μικρότερος ή ίσος της μονάδας. Στην ανάλυση στο φυσικό χρόνο μελετάται η εξέλιξη του ζεύγους των ποσοτήτων (χ k,q k ) όπου χ k είναι ο φυσικός χρόνος και Q k μία ποσότητα ανάλογη της ενέργειας του k-οστού συμβάντος [Varotsos et al., 2011, 2001, 2002a]. Ισοδύναμα με το Q k είναι δυνατόν να οριστεί η ποσότητα : p k = Q k Q n n=1 N k=1 N p k =1 όπου p k η κανονικοποιημένη ενέργεια που εκλύθηκε κατά k-οστό συμβάν. 4

Ως παράδειγμα παραθέτουμε την ανάλυση στον φυσικό χρόνο μιας δίτιμης χρονοσειράς ηλεκτρικών παλμών, όπως η περίπτωση της δραστηριότητας των SES [Varotsos et al., 2001, 2002a,b, 2003]. Σε αυτό ο φυσικός χρόνος χρησιμοποιείται ως δείκτης της εμφάνισης κάθε γεγονότος ενώ το πλάτος (Q k ) είναι ανάλογο της διάρκειας του κάθε ηλεκτρικού παλμού. Xρονοσειρά ηλεκτρικών παλμών αναλυμένη σε φυσικό (κάτω) και συμβατικό χρόνο (πάνω). [Varotsos et al., 2001] 5

Σε μια χρονοσειρά αποτελούμενη από Ν γεγονότα, η δράση του τελεστή αναστροφής του φυσικου χρόνου, πάνω στα Q k ορίζεται ως TQ k = Q N k+1 & Tp k = p N k+1 έχοντας ως αποτέλεσμα στο πρώτο συμβάν της χρονοσειράς να αποτελεί το τελευταίο συμβάν της ανεστραμένης (ως προς το χρόνο) χρονοσειράς σύμφωνα με το παρακάτω σχήμα. (a) Διάγραμμα τεσσάρων καρδιακών παλμών ενός ηλεκτροκαρδιογραφήματος στο συμβατικό χρόνο. Τα χρονικά διαστήματα Q m, Q m+1, Q m+2 είναι τρία RR διαστήματα. (b) Το διάγραμμα a αναλυμένο στο φυσικό χρόνο b. Τα διαγράμματα c & d απεικονίζουν τα a & b υπό το πρίσμα αντιστροφής του χρόνου. [Varotsos et al 2007] Copyright (2007), American Institute of Physics. 6

Κατηγορίες Διαδικασιών Διαδικασίες οι οποίες μπορούν να εξελιχθούν με ένα και μοναδικό τρόπο. Δεδομένες αρχικές συνθήκες Ντετερμινιστικές Δεδομένη Εξέλιξη Μία διαδικασία που αποτελεί μία οικογένεια τυχαίων μεταβλητών {Χ(t) : t T}, όπου t η παράμετρος που παιρνει τιμές σε ένα κατάλληλα ορισμένο σύνολο Τ. Δεδομένες αρχικές συνθήκες Στοχαστικές Πολλαπλές πιθανές Εξελίξεις 7

Μία στοχαστική διαδικασία X(t) ονομάζεται αυτό-όμοια με εκθέτη H όταν για τις πεπερασμένης διάστασης κατανομές της ισχύει η σχέση: X(λt) d = λh X(t) Μία χρονοσειρά που παράχθηκε από μία τέτοια διαδικασία χαρακτηρίζεται από ένα εκθέτη κλιμάκωσης H σε όλο το εύρος της και ονομάζεται μονομορφοκλασματική (monofractal). Ο εκθέτης κλιμάκωσης Η μας πληροφορεί για την ύπαρξη μνήμης στο σύστημα. Πιο συγκεκριμένα αν για τον εκθέτη ισχύει H 1/2 τότε η χρονοσειρά χαρακτηρίζεται από την απουσία χαρακτηριστικής κλίμακας αλλά από την ύπαρξη συσχετίσεων μακράς εμβέλειας, δηλαδή συσχετίσεις που φθίνουν με νόμο δύναμης. Αντίθετα όταν H =1/2, συσχετίσεις τέτοιου τύπου απουσιάζουν από την εν λόγω χρονοσειρα. 8

!!! Υπάρχουν όμως πολλές περιπτώσεις χρονοσειρών, οι οποίες δεν μπορούν να χαρακτηριστούν, καθολικά, από ένα μοναδικό εκθέτη κλιμάκωσης. Παραδείγματα: Σε κάποιες χρονοσειρές συνυπάρχουν ταυτόχρονα δύο εκθέτες κλιμάκωσης, για παράδειγμα, χρονοσειρές με συσχετίσεις μακράς εμβέλειας στις μικρές κλίμακες ( s s x ) και άλλου τύπου συσχετίσεις σε μεγάλες κλίμακες (s s x ). Χρονοσειρές, στις οποίες διαφορετικά διαστήματα χαρακτηρίζονται από διαφορετικούς εκθέτες. Οι χρονοσειρές, στις οποίες χρειάζεται παραπάνω από ένας εκθέτης κλιμάκωσης προκειμένου να χαρακτηριστεί πλήρως η συμπεριφορά κλιμάκωσης που εμφανίζουν, ονομάζονται πολυμορφοκλασματικές (multifractal). 9

Μέθοδοι υπολογισμού των εκθετών κλιμάκωσης Μονομορφοκλασματικες Χρονοσειρές Πολυμορφοκλασματικες Χρονοσειρές Ύπαρξη ενός καθολικού εκθέτη κλιμάκωσης H. Ύπαρξη πολλών εκθετών κλιμάκωσης h(q). Εξάρτηση από την υπό μελέτη κλίμακα των διακυμάνσεων. q>0 Μεγάλες Διακυμάνσεις q<0 Μικρές Διακυμάνσεις DFA CMA Διακυμάνσεις της μέσης τιμής του Φυσικού χρόνου υπό το πρίσμα της αντιστροφής αυτού. MFDFA MFCMA Γενικευμένες Διακυμάνσεις της μέσης τιμής του Φυσικού χρόνου υπό το πρίσμα της αντιστροφής αυτού (GFNT). 10

DFA MFDFA F s = 1 2N s F 2 (s, ν) 2N s ν=1 1/2 (1) F q s = 1 2N s F 2 (s, ν) q/2 2N s ν=1 1/q (3) F s ~ s H (2) F q s ~ s h(q) (4) Διακυμάνσεις της μέσης τιμής του Φυσικού χρόνου υπό το πρίσμα της αντιστροφής αυτού. Γενικευμένες Διακυμάνσεις της μέσης τιμής του Φυσικού χρόνου υπό το πρίσμα της αντιστροφής αυτού. Δχ l = E χ Τχ 2 1/2 (4) Δχ l (q)= E χ Τχ 2 q/2 1/q (6) Δχ l ~ l χ H (5) Δχ l (q) ~ l χ H(q) (7) 11

DFA MFDFA F s = 1 2N s F 2 (s, ν) 2N s ν=1 1/2 (1) F q s = 1 2N s F 2 (s, ν) q/2 2N s ν=1 1/q (3) F s ~ s H (2) F q s ~ s h(q) (4) CMA MFCMA F s = N s 1 N s ν=1 F 2 (s, ν) 1/2 (8) F q s = 1 N s ν=1 N s F 2 (s, ν) q/2 1/q (10) F s ~ s H (9) F q s ~ s h(q) (11) DFA & MFDFA: Απαλοιφή υπάρχουσας τάσης μέσω πολυωνύμων. CMA & MFCMA: Απαλοιφή υπάρχουσας τάσης μέσω κινούμενων μέσων όρων. 12

Σύγκριση μεθόδων DFA & Διακυμάνσεων της μέσης τιμής του Φυσικού χρόνου υπό το πρίσμα της αντιστροφής αυτού. (a) (b) Λογαριθμικά διαγράμματα των διακυμάσεων (a) της συνάρτησης F(l) συναρτήση της κλίμακας l και (b) του φυσικού χρόνου ύπο το πρίσμα αντιστροφής αυτού Δχ l συναρτήση της κλίμακας για χρονοσειρές κλασματικής κίνησης Brown (fbm) με εκθέτη κλιμάκωσης H=0.05, 0.25, 0.50, 0.75, 0.85. Ο υπολογισμός των κλίσεων των ευθειών των παραπάνω γραφημάτων μας δίνει τους αντίστοιχους εκθέτες κλιμάκωσης του Hurst. [Varotsos et al., 2001] 13

Γενικευμένες Διακυμάνσεις της μέσης τιμής του Φυσικού χρόνου υπο το πρίσμα της αντιστροφής αυτού (GFNT). 14

Μεθοδολογία Ανάλυσης GFNT Κατασκευάζουμε μονομορφοκλασματικές και πολυμορφοκλασματικές χρονοσειρές X k, οι εκθέτες κλιμάκωσης των οποίων μπορούν να υπολογισθούν αναλυτικά ή είναι γνωστοί εκ των προτέρων. Αναλύουμε τις χρονοσειρές X k στο φυσικό χρόνο. Σε αυτό το σημείο πρέπει να αναφέρουμε ότι τα Q k είναι θετικοί αριθμοί. Γι'αυτό το λόγο κανονικοποιούμε, με αποτέλεσμα μία χρονοσειρά N k με μέση τιμή μηδέν και απόκλιση ίση με τη μονάδα. Εν συνεχεία προσθέτουμε σε όλες τις τιμές N k της κανονικοποιημένης χρονοσειράς το διπλάσιο απόλυτο της ελάχιστης τιμής αυτής, Q k = N k + 2min(N k ), εξασφαλίζοντας έτσι ότι όλα τα Q k θα είναι θετικά. Υπολογίζουμε τους εκθέτες κλιμάκωσης χ H (q) με βάση τις γενικευμένες διακυμάνσεις του Φυσικού χρόνου (GFNT) καθώς και τους αντίστοιχους h(q) με τις μεθόδους MFDFA και MFCMA. Αναπαριστάμε γραφικά τους εκθέτες κλιμάκωσης χ H (q), h(q) καθώς και αυτούς που προήλθαν από θεωρητική ανάλυση και συγκρίνουμε τα αποτελέσματα. 15

Μονομορφοκλασματική κίνηση Brown Διάγραμμα του γενικευμένου εκθέτη κλιμάκωσης h(q) συναρτήσει του q για κλασματική κίνηση Brown (fbm) με εκθέτη κλιμάκωσης H= 0.3, 0.5, 0.7, 0.9. Με κόκκινο, πράσινο και τιρκουάζ χρώμα αναπαριστάμε τις μέσες τιμές από τους γενικευμένους εκθέτες Hurst (h(q)-1) συναρτήση του q όπως αυτοί προέκυψαν από τις μεθόδους MFDFA (4-2500), MFDFA (10-2400) και MFCMA αντίστοιχα. Με μπλέ χρώμα βλέπουμε τις μέσες τιμές από τους εκθέτες κλιμάκωσης χ Η (q) συναρτήση του q που υπολογίσθηκαν με βάση τις γενικευμένες διακυμάνσεις του φυσικού χρόνου ενώ η μαύρη συνεχόμενη γραμμή αναπαριστά την θεωρητική τιμή του εκθέτη κλιμάκωσης H. Οι έντονα χρωματισμένες περιοχές αντιστοιχούν στην μέση τιμή του σφάλματος, ενώ οι πιο αδρές περιοχές οριοθετούν το εύρος ±1 τυπικής απόκλισης. 16

Διωνυμικές Πολυμορφοκλασματικές Χρονοσειρές (1) Διάγραμμα του γενικευμένου εκθέτη κλιμάκωσης h(q) συναρτήσει του q για διωνυμική πολυμορφοκλασματική χρονοσειρά με α = 0.70, 0.80, 0.90 Με κόκκινο, πράσινο και τιρκουάζ χρώμα αναπαριστάμε τους γενικευμένους εκθέτες Hurst h(q)-1 συναρτήση του q όπως αυτοί προέκυψαν από τις μεθόδους MFDFA (8-2048), MFDFA (4-1967) και MFCMA αντίστοιχα. Με μπλέ χρώμα βλέπουμε τους εκθέτες κλιμάκωσης χ Η (q) συναρτήση του $q$ που υπολογίσθηκαν με βάση τις γενικευμένες διακυμάνσεις του φυσικού χρόνου ενώ η μαύρη συνεχόμενη γραμμή αναπαριστά την θεωρητική τιμή του εκθέτη κλιμάκωσης H. Οι έντονα χρωματισμένες περιοχές οριοθετούν το εύρος του σφάλματος. 17

Διωνυμικές Πολυμορφοκλασματικές Χρονοσειρές (2) Το ιδιάζον φάσμα (singularity spectrum) f(a) όπως προκύπτει με βάση τις γενικευμένες διακυμάνσεις του φυσικού χρόνου (σημεία) σε σχέση με τις θεωρητικές τιμές (καμπύλες). 18

Διαδικασία Levy Διάγραμμα του γενικευμένου εκθέτη κλιμάκωσης h(q) συναρτήσει του q για την ευσταθή διαδικασία Levy με α=1.5. Με κόκκινο, πράσινο και τιρκουάζ χρώμα αναπαριστάμε τους γενικευμένους εκθέτες Hurst h(q)-1 συναρτήση του q όπως αυτοί προέκυψαν από τις μεθόδους MFDFA (5-63096), MFDFA (4-64801) και MFCMA αντίστοιχα. Με μπλέ χρώμα βλέπουμε τους εκθέτες κλιμάκωσης χ k (q) συναρτήση του q που υπολογίσθηκαν με βάση τις γενικευμένες διακυμάνσεις του φυσικού χρόνου ενώ η κόκκινη συνεχόμενη γραμμή αναπαριστά την θεωρητική τιμή του εκθέτη κλιμάκωσης H. Οι έντονα χρωματισμένες περιοχές οριοθετούν το εύρος σφάλματος. 19

Ανάλυση Ηλεκτρο-καρδιο-γραφημάτων (ECG) - 1 Αναλύουμε την χρονοσειρά των ενδιάμεσων χρόνων ΝΝ όπως αυτά προκύπτουν από την ανάλυση των ECG. 134 ECG μεγάλης διάρκειας (10-24 ώρες) όπως αυτές διατίθενται στο Physionet. Τυπικό παράδειγμα Ηλεκτροκαρδιογραφήματος Στα 134 ECG περιέχονται: 1. 72 ECG από υγιή άτομα και συμβολίζονται με Η. 2. 44 ECG από άτομα με καρδιακή ανεπάρκεια και συμβολίζονται με CHF. 3. 18 ECG από άτομα που εμφάνισαν το σύνδρομο αιφνίδιου καρδιακού θανάτου και συμβολίζονται με SCD. 20

Ανάλυση Ηλεκτρο-καρδιο-γραφημάτων (ECG) - 2 21

Συμπεράσματα 1) Για διακυμάσεις μικρής κλίμακας q < 0 οι γενικευμένες διακυμάνσεις του Φυσικού χρόνου δίνουν πολύ καλύτερα αποτελέσματα από τις MFDFA και MFCMA αν και με μεγαλύτερα σφάλματα. 2) Για διακυμάσεις μεγάλης κλίμακας q > 0 οι γενικευμένες διακυμάνσεις του Φυσικού χρόνου δίνουν εξίσου μέχρι και καλύτερα αποτελέσματα από τις MFDFA και MFCMA, πολύ κοντά στις θεωρητικές τιμές. Μάλιστα, στην ανάλυση της διωνυμικής χρονοσειράς και της διαδικασίας Levy, οι γενικευμένες διακυμάνσεις του Φυσικού χρόνου σχεδόν ταυτίζονται με τις θεωρητικές προβλέψεις. 3) Η ανάλυση των ECG με την μέθοδο διακυμάνσεων του Φυσικού χρόνου αναδύει χαρακτηριστικά των εν λόγω χρονοσειρών που μπορούν να συμβάλουν επικουρικά με τις υπόλοιπες μεθόδους ανάλυσης του Φυσικού χρόνου. 4) Οι εκθέτες κλιμάκωσεις που προκύπτουν από τις γενικευμένες διακυμάνσεις του Φυσικού χρόνου δείχνουν πολύ πιο συνεπή συμπεριφορά στις διαφορετικές χρονοσειρές και στις διαφορετικές κλίμακες δικυμάνσεων. Τα παραπάνω καταδεικνύουν ότι η μέθοδος των γενικευμένων διακυμάνσεων του φυσικού χρόνου υπό την αντιστροφή αυτού όπως διαφαίνεται από τη παραπάνω ανάλυση είναι κατάλληλη για να προσδιορίσει τους γενικευμένους εκθέτες κλιμάκωσης μίας χρονοσειράς. 22

Ευχαριστώ!!! Βιβλιογραφία Varotsos, P. A., Sarlis, N. V., and Skordas, E. S. 2001. Spatio-temporal complexity aspects on the interrelation between seismic electric signals and seismicity. Practica of Athens Academy 76:294--321. Varotsos, P. A., Sarlis, N. V., and Skordas, E. S. 2002a. Long-range correlations in the electric signals the precede rupture. Phys. Rev. E 66:011902. Varotsos, P. A., Sarlis, N. V., and Skordas, E. S. 2002b. Seismic electric signals and seismicity: On a tentative interrelation between their spectral content. Acta Geophys. Pol. 50:337--354. Varotsos, P. A., Sarlis, N. V., and Skordas, E. S. 2003. Attempt to distinguish electric signals of a dichotomous nature. Phys. Rev. E 68:031106. Varotsos, P. A., Sarlis, N. V., and Skordas, E. S. 2011. Natural Time Analysis: The new view of time. Precursory Seismic Electric Signals, Earthquakes and other Complex Time-Series. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg. Varotsos, P.A., Sarlis, N.V., Skordas, E.S., Lazaridou, M.S. 2007. Identifying sudden cardiac death risk and specifying its occurrence time by analyzing electrocardiograms in natural time. Appl. Phys. Lett. 91, 064106. 23