ΜΡΟΣ Β.6 Η ΣΦΑΙΡΑ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΙΑ ΤΗΣ 07.6 Η ΣΦΑΙΡΑ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΙΑ ΤΗΣ Ορισμός Σφαίρα λέγεται το στερεό σώµα που παράγεται, αν περιστρέψουµε ένα κυκλικό δίσκο (Ο, ρ) γύρω από µία διάµετρό του. Θέση επιπέδου και αίρας Β α) Να µην τέµνονται µεταξύ τους. β) Να εφάπτονται σε ένα σηµείο. γ) Να τέµνονται σε κύκλο Όταν το κέντρο της αίρας ανήκει στο επίπεδο, τότε ο κύκλος στον οποίο τέµνονται ονοµάζεται µέγιστος κύκλος της αίρας. μβαδόν επιφάνειας αίρας Το εµβαδόν της επιφάνειας µιας αίρας ισούται µε το εµβαδόν τεσσάρων µεγίστων κύκλων της. Όγκος αίρας πρ πρ
08 ΜΡΟΣ Β.6 Η ΣΦΑΙΡΑ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΙΑ ΤΗΣ ΡΩΤΗΣΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. T o εµβαδόν της επιφάνειας της αίρας είναι τετραπλάσιο από το εµβαδόν ενός µέγιστου κύκλου της. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ Πράγματι είναι πρ. Σε µια αίρα ακτίνας cm το εµβαδόν της επιφάνειας και ο όγκος της εκφράζονται µε τον ίδιο αριθµό. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ Πράγματι είναι. π. πρ π. 6π. π. πρ 6π. Η τοµή αίρας και επιπέδου που διέρχεται από το κέντρο της είναι πάντα κύκλος. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ Η τοµή αίρας και επιπέδου που διέρχεται από το κέντρο της είναι ο μέγιστος κύκλος της αίρας. και. Η τοµή αίρας και επιπέδου είναι πάντα κύκλος. Η τοµή αίρας και επιπέδου δεν είναι πάντα κύκλος γιατί οι σχετικές θέσεις κύκλου και αίρας είναι: Να µην τέµνονται µεταξύ τους. Να εφάπτονται σε ένα σηµείο. Να τέµνονται σε κύκλο ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 5. Το εµβαδόν µιας αίρας ισούται µε το γινόµενο του µήκους ενός µέγιστου κύκλου της και της διαµέτρου της. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ Πράγματι είναι πρ πρ.ρ L. δ
ΜΡΟΣ Β.6 Η ΣΦΑΙΡΑ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΙΑ ΤΗΣ 09 6. ύο αίρες µε ακτίνες 5 cm και 1 cm είναι γεµάτες µε νερό. Αν αδειάσουµε το περιεχόµενό τους σε µία τρίτη αίρα µε ακτίνα 1 cm, τότε: A: Η τρίτη αίρα θα γεµίσει πλήρως. Β: Η τρίτη αίρα θα ξεχειλίσει. Γ: Η τρίτη αίρα δε θα γεµίσει. Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. Η σωστή απάντηση είναι η Γ γιατί: +. π.5 +. π.1. π.185 <. π.1. π.197 αίρας1 αίρας Αν διπλασιάσουµε την ακτίνα µιας αίρας, τότε ο όγκος της: 7. A: ιπλασιάζεται Β: Τριπλασιάζεται Γ: Τετραπλασιάζεται Δ: Οκταπλασιάζεται. Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. Η σωστή απάντηση είναι η Δ γιατί: π( ρ) π..ρ π.8.ρ 8. πρ πρ και 8. Ένα τµήµα ΑΒ έχει µήκος 6 cm. Ένα σηµείο Σ απέχει cm από το µέσο Μ του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ. Τότε: A: Το Σ ανήκει στη αίρα διαµέτρου ΑΒ. Β: Το Σ ανήκει στο εσωτερικό της αίρας διαµέτρου ΑΒ. Γ: Το Σ βρίσκεται εξωτερικά της αίρας διαµέτρου ΑΒ. Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. Η σωστή απάντηση είναι η Γ γιατί όπως φαίνεται από το σχήμα η αίρα που δημιουργείται με διάμετρο ΑΒ ή με ακτίνα ΑΜΜΒ θα έχει εξωτερικά το σημείο Σ. Α Μ Β Σ cm cm cm 1 cm 9. Το εµβαδόν της επιφάνειας µιας αίρας ακτίνας ρ και το εµβαδόν του κυκλικού δίσκου µε την ίδια ακτίνα έχουν λόγο: A: 1 Β: 1 Γ: : Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. Η σωστή απάντηση είναι η Δ γιατί:
10 ΜΡΟΣ Β.6 Η ΣΦΑΙΡΑ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΙΑ ΤΗΣ αίρας πρ κυκλικού δίσκου πρ 10. Όταν µία αίρα ακτίνας ρ εφάπτεται ενός κυλίνδρου, τότε η επιφάνεια της αίρας είναι: A: διπλάσια της επιφάνειας του κυλίνδρου Β: τριπλάσια της επιφάνειας του κυλίνδρου Γ: τετραπλάσια της επιφάνειας του κυλίνδρου : ίση µε την επιφάνεια του κυλίνδρου Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. Η σωστή απάντηση είναι η Δ Α Σ Κ Η Σ Ι Σ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να συµπληρώσετε τους πίνακες: Α. Ακτίνα αίρας (cm) 1 10 6 μβαδόν επιφάνειας (cm ) π 16π 00π 1π Όγκος (cm ) π π π Β. ρ: Ακτίνα αίρας 1 m 10 cm, dm 8 dm m : μβαδόν επιφάνειας αίρας 00π cm 0,96πdm 56π dm 6πm πm : Όγκος αίρας 000 68,67π 6πm πm πcm,69πdm dm Α. πρ.1 π π π πρ..1. π π πρ. π 16π π πρ... π π 00π πρ ρ 100 ρ 10 π π Χρησιμοποιούμε τους τύπους πρ πρ
ΜΡΟΣ Β.6 Η ΣΦΑΙΡΑ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΙΑ ΤΗΣ 11 000 πρ.π.10.π.88π πρ ρ 16 ρ 6 π π πρ π.6 1π Β. πρ.1 m π π πρ.10 00 cm π π πρ π., 0,96 π cm πρ π.8 56 π dm πρ. 6 m π π π1 πm 000 π1 π.10 πcm. π., π.,77,69πdm..6π πρ ρ 7 ρ m π π ΑΣΚΗΣΗ Χρησιμοποιούμε τους τύπους πρ πρ Η διάµετρος αίρας είναι δ cm. Να υπολογίσετε το εµβαδόν της επιφάνειας και τον όγκο της αίρας. πρ πρ ΑΣΚΗΣΗ π. 16π cm. π.. π π cm Χρησιμοποιούμε τους τύπους πρ πρ Να βρείτε το εµβαδόν της επιφάνειας, καθώς και τον όγκο ηµιαιρίου ακτίνας R m.
1 ΜΡΟΣ Β.6 Η ΣΦΑΙΡΑ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΙΑ ΤΗΣ πρ πρ 6 ΑΣΚΗΣΗ π. 6π cm 56. π.. π m 6 6 π m Χρησιμοποιούμε τους τύπους πρ πρ Mε ποιον αριθµό πρέπει να πολλαπλασιάσουµε την ακτίνα µιας αίρας, ώστε το εµβαδόν της επιφάνειάς της να πολλαπλασιαστεί επί ; επί 6; επί 100; πρ π π π ( ρ ) ( 6 ρ ) π. ρ πρ π.6 ρ 6 πρ 6 ( 10 ρ ) π.100 ρ 100 πρ 100 Χρησιμοποιούμε τον τύπο, πρ Με το Με το 6 Με το 10 ΑΣΚΗΣΗ 5 Να βρείτε την ποσότητα του χρώµατος που χρειάζεται, για να βαφεί αιρική δεξαµενή ακτίνας ρ 10 m, αν το ένα κιλό χρώµατος βάφει επιφάνεια 8 m. πρ 156 m 157 kg 8 m.,1.10.1 156 m Χρησιμοποιούμε τον τύπο, πρ ΑΣΚΗΣΗ 6 Tέσσερις κίτρινες µπάλες έχουν ακτίνα 5 cm και πέντε κόκκινες µπάλες έχουν ακτίνα cm. Ποιου χρώµατος µπάλες έχουν τη µεγαλύτερη συνολική επιφάνεια και ποιου χρώµατος µπάλες έχουν το µεγαλύτερο συνολικό όγκο;
ΜΡΟΣ Β.6 Η ΣΦΑΙΡΑ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΙΑ ΤΗΣ 1. πρ π.5 00π cm 5. 5.πρ 5.. 0 cm π π.. 5. 5. πρ πρ 000.. π.5. π cm 180 5.. π.. π cm Τη µεγαλύτερη συνολική επιφάνεια έχουν οι κίτρινες μπάλες 00π cm > 0π cm. Τo µεγαλύτερο συνολικό όγκο έχουν οι κίτρινες μπάλες 000 180 π cm > πcm ΑΣΚΗΣΗ 7 Σε κιβώτιο που έχει σχήµα κύβου χωράει ακριβώς µια αίρα µε ακτίνα 0 cm. Nα βρείτε το µέρος του κιβωτίου που µένει άδειο. 8080 πρ,1.0 cm πρ α 80 51000 cm και κύβου α κ ύβου 51000 6797.05 cm κύβου αίρας ΑΣΚΗΣΗ 8 Χρησιμοποιούμε τους τύπους. ύο αίρες έχουν διαµέτρους 0 cm και 0 cm. Να υπολογίσετε τη διάµετρο µιας τρίτης αίρας, της οποίας το εµβαδόν της επιφάνειάς της είναι ίσο µε το άθροισµα των εµβαδών των επιφανειών των δύο αιρών. πρ ρ π.15 π.0 900π + 1600π.500π 900π cm 1600π cm ρ.500π cm.500π π 65 65 ρ 5 cm δ ρ 50 cm Χρησιμοποιούμε τον τύπο, πρ
1 ΜΡΟΣ Β.6 Η ΣΦΑΙΡΑ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΙΑ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 9 Στο παρακάτω σχήµα είναι ΑΟΟΒ cm. Nα βρείτε τον όγκο του γραµµοσκιασµένου στερεού. μικρής αίρας. μικρής αίρας πρ,1.,9 cm.,9 66,98 cm μεγ άλης αίρας πρ,1. 67,95 cm 67,95 66,98 cm 00,97 cm γραμμοσκια σμένου στερεού ( ) Χρησιμοποιούμε τον τύπο. πρ
ΜΡΟΣ Β.6 Η ΣΦΑΙΡΑ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΙΑ ΤΗΣ 15 ΠΑΡΑΔΙΓΜΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ Μ ΦΥΛΛΟ ΡΓΑΣΙΑΣ ΠΑΡΑΔΙΓΜΑ νότητα: μβαδόν - Όγκος αίρας. Στόχοι: Να μπορούν οι μαθητές να υπολογίζουν εμβαδά και όγκους αιρών και να τα εφαρμόζουν σε πρακτικά προβλήματα. Μέθοδος: Μεικτή (καθοδηγούμενη - ανακαλυπτική) Φύλλο εργασίας 1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σ (σωστή) ή Λ (λανθασμένη), χωρίς να κάνετε υπολογισμούς. Μια αίρα διαμέτρου 1 m: α) έχει εμβαδόν: - μεγαλύτερο από π m - ίσο με π m - μικρότερο από π m β) έχει όγκο: - μεγαλύτερο από 1 m - ίσο με 1 m - μικρότερο από 1 m. Η ακτίνα της γήινης αίρας είναι περίπου 6.00 km. Να υπολογίσετε: α) το μήκος του ισημερινού. β) το εμβαδόν της επιφάνειας της Γης. γ) τον όγκο της Γης.. Ο ξύλινος πλάστης ζαχαροπλαστικής της Μαιρούλας αποτελείται από ένα κύλινδρο και δύο αίρες στα άκρα με διαστάσεις που φαίνονται στο διπλανό σχήμα α) Να υπολογίσετε τον όγκο του πλάστη. β) Να υπολογίσετε το βάρος του πλάστη, αν γνωρίζουμε ότι 1 cm ξύλου ζυγίζει 0,5 g,. α) Να υπολογίσετε τους Όγκους 1,, της αίρας, του κυλίνδρου και του κώνου αντίστοιχα.
16 ΜΡΟΣ Β.6 Η ΣΦΑΙΡΑ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΙΑ ΤΗΣ β) Να συγκρίνετε τους όγκους, 1 + Τι παρατηρείτε και πώς το εξηγείτε;