Ηλεκτρομαγνητικά Κύματα Κεραίες

Ηλεκτρομαγνητικά Κύματα Κεραίες

Τρόπος βαθμολόγησης Ασκήσεις που θα δίδονται κατά την διάρκεια του μαθήματος (+1 μονάδα) 1 η Πρόοδος 50% του βαθμού η Πρόοδος 50% του βαθμού Τελική εξέταση 100% του βαθμού Για να ληφθούν υπόψη οι ασκήσεις θα πρέπει η βαθμολογία των εξετάσεων να είναι >=4.5

Περίγραμμα Μαθήματος Νόμοι του Maxwell εξίσωση κύματος-χρονικά μεταβαλλόμενα πεδία Ιδιότητες Η/Μ κυμάτων (ταχύτητα φάσης-ομάδας ανάκλαση διάθλαση κ.α) Γραμμές μεταφοράς: ΗΜ σε αγώγιμο μέσο, μεταφορά ισχύος Βασικές έννοιες κεραιών: ακτινοβολία από επιταχυνόμενα φορτία, βασικές έννοιες κεραία, κατευθυντικότητα, βασικές ιδιότητες κεραίας Βασικά είδη κεραιών: στοιχειώδες δίπολο, βρογχοκεραία, διπολική κεραία λ/, ελικοειδής κεραία, κατακόρυφη κεραία λ/4 Άλλα είδη κεραιών: συστοιχίες κεραιών, κεραία Yagi-Uda, κεραίες με ανακλαστήρα, κεραίες με χοάνη, κεραίες τύπου φακού Διάδοση ΗΜ κυμάτων στο περιβάλλον: τρόποι διάδοσης ΗΜ κυμάτων στην ατμόσφαιρα, επίδραση περιβάλλοντος σε διάφορες κατηγορίες κυμάτων, τύπο ζεύξεων

Μαθηματικά Απαιτούμενα Διανυσματική Ανάλυση Μιγαδική Ανάλυση Συστήματα Συντεταγμένων Εσωτερικά Εξωτερικά Γινόμενα Ολοκληρωτικό Λογισμό Διαφορικές Εξισώσεις Αλλά το βασικό καλή διάθεση και όρεξη για διάβασμα!!!!

Συστήματα συντεταγμένων Καρτεσιανές Κυλινδρικές Σφαιρικές

Καρτεσιανές \

Σφαιρικές

Κυλινδρικές

Διαφορικοί τελεστές (Differential operators) Η κλίση μιας συνάρτησης f f f f x y z x y z O τελεστής απόκλισης div Ο τελεστής περιστροφής curl, rot A A x y A A z x y z A A 1 A A z z Ar B 1 A 1 A A r cot r r r r r sin xˆ yˆ zˆ ˆ zˆ rˆ r r sinˆ 1 A x y z z r sin r A A A A A Az A ra r sina x y z t η μερική παράγωγος ως προς το χρόνο

Γενική Βιβλιογραφία J. Kraus Κεραίες", η εκδ., Εκδόσεις Τζιόλα, Θεσσαλονίκη 1998 (υπάρχει και 3 η έκδοση 015 ) J. Kraus "Ηλεκτρομαγνητισμός", 4η εκδ., Εκδόσεις Τζιόλα, Θεσσαλονίκη E. Roubine & J. Bolomey: Antennas General Principles, Vol.1, North Oxford Academic P. Lorrain & D. R. Corson Electromagnetic Fields and Waves w. H. Freeman and Company New York 1987 J.D. Jackson Classical Electrodynamics Wiley 1999 Melvin Schwartz Principles of Electrodynamics Σημειώσεις εργαστηρίου καθηγητή Κουδουμά Εμμ.

Ας αρχίσουμε: ΚΑΙ ΕΙΠΕΝ Ο ΘΕΟΣ Qin E da ή D (. Gauss)(1) 0 B da 0 ή B 0 (. Gauss ό)() D B dl 0( C 0 ) ή H J (. Ampere)(3) t t B B E dl ή E 0 (. Faraday)(4) t t ΚΑΙ ΕΓΕΝΕΤΟ ΦΩΣ (αλλά και τηλεόραση, ραδιόφωνο, κινητό τηλέφωνο κλπ) Οι 4 νόμοι του Maxwell που περιγράφουν όλα τα φαινόμενα που έχουν σχέση με τον ηλεκτρομαγνητισμό

Να θυμηθούμε Ε Ένταση ηλεκτρικού πεδίου (V/m) (=1/3x10-4 Esu ) D πυκνότητα ηλεκτρικής ροής D=ε ο E (C/m ) (=1π x 10 5 Esu) Β πυκνότητα μαγνητικής ροής (T=Vs/m ) (=10 4 Gauss) Η ένταση του μαγνητικού πεδίου Η=Β/μ ο (A/m) (=4πx10-3 oersted) Q ηλεκτρικά φορτία (C ) (=1π x 10 9 stat-c) ρ πυκνότητα ηλεκτρικού φορτίου (C/m 3 ) J πυκνότητα ηλεκτρικού ρεύματος (Α/m ) Τα παραπάνω φυσικά μεγέθη καθώς και μεγέθη όπως η πυκνότητα ισχύος(w) ένταση ακτινοβολίας (P) συχνότητα (f) μήκος κύματος (λ) στερεά γωνία (Ω), Εμπέδηση (Ζ), διανυσματικό, Δυναμικό (Α) κ.α. θα μας απασχολήσουν στο μάθημα αυτό.

Νόμος Gauss (Ηλεκτρισμός) Η συνολική ηλεκτρική ροή μέσα από οποιαδήποτε κλειστή επιφάνεια ισούται με το καθαρό φορτίο μέσα σε αυτή την επιφάνεια διαιρούμενο με το ε o. D ds dv v D v S v s E d s Ο νόμος σχετίζει το ηλεκτρικό πεδίο με την κατανομή φορτίου, όπου γραμμές του ηλεκτρικού πεδίου προέρχονται από θετικά φορτία και τερματίζουν σε αρνητικά φορτία και εμπεριέχει το νόμο του Coulomb. Αφού αν ολοκληρώσουμε στην επιφάνεια μιας σφαίρας: Q 4 r 0 r Q 0

Νόμος Gauss (Μαγνητισμός) B d s 0 B 0 S Η ολική μαγνητική ροή μέσα από μια κλειστή επιφάνεια είναι μηδέν. Ο αριθμός των γραμμών του μαγνητικού πεδίου που εισάγεται σε ένα κλειστό όγκο πρέπει να ισούται με τον αριθμό των γραμμών του μαγνητικού πεδίου που εγκαταλείπουν αυτόν τον όγκο. Γραμμές του μαγνητικού πεδίου δεν μπορεί να αρχίζουν ή να τελειώνουν σε οποιοδήποτε σημείο. Πράγμα που σημαίνει ότι ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ Μαγνητικά μονόπολα.

Νόμος επαγωγής Faraday O Νόμος της επαγωγής του Faraday περιγράφει τη σχέση ανάμεσα σε ένα ηλεκτρικό πεδίο και την μεταβολή της μαγνητικής ροής. L E dl s B t d s B E t Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα του ηλεκτρικού πεδίου γύρω από κάθε κλειστή διαδρομή ισούται με το ρυθμό μεταβολής της μαγνητικής ροής μέσα από κάθε περιοχή της επιφάνειας που οριοθετείται από την εν λόγω διαδρομή. Με απλά λόγια μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο παράγει ηλεκτρικό πεδίο. Αρχή λειτουργίας όλων των γεννητριών.

Νόμος των Ampere-Maxwell O νόμος των Ampere-Maxwell περιγράφει τη σχέση μεταξύ μαγνητικών και ηλεκτρικών πεδίων και ηλεκτρικών ρευμάτων. L D H dl J d s t s D H J t Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα του μαγνητικού πεδίου γύρω από οποιαδήποτε κλειστή διαδρομή καθορίζεται από το άθροισμα του συνολικού ρεύματος αγωγιμότητας μέσα από αυτό το μονοπάτι και το ρυθμό μεταβολής της ηλεκτρικής ροής (ρεύμα μετατόπισης) μέσα από οποιαδήποτε επιφάνεια που οριοθετείται από αυτό το μονοπάτι. Εμπεριέχει το νόμο των Biot-Savart και στην ουσία προβλέπει ότι μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο ή κινούμενο φορτίο παράγει Μαγνητικό πεδίο. Είναι η αρχή λειτουργίας όλων των ηλεκτρομαγνητών.

Ορισμένες χρήσιμες συνέπειες Διατήρηση του Φορτίου εξίσωση της συνέχειας. Αν δράσουμε με το τελεστή της απόκλισής και στα δύο μέλη της του ν. Ampere έχουμε: D D H J H J t t 0 v J D J t t Ροή του ηλεκτρικού ρεύματος έξω από κάποιο όγκο (ανά μονάδα όγκου) Ρυθμός μείωσης του ηλεκτρικού φορτίου (ανά μονάδα όγκου)

Εγένετo φως ; Οι εξισώσεις Maxwell οδηγούν σε Κυματική εξίσωση ; Σε ελεύθερο χώρο οι εξισώσεις γίνονται D 0 E 0 ( 0) v v B 0 B 0 () D D E H J 0 ( J 0) t t t B E t Δηλαδή : E 0 (1) E H 0 t B E t (4)

Εγένετο Φως; Παραγωγίζουμε την (3) ως προς χρόνο έχουμε E H 0 H 0 t t t t Όμως Β=μΗ και στο κενό Β=μ ο Η αντικαθιστώντας έχουμε E E E 0 0 0 t t t t 0 Αν αντικαταστήσουμε το από την (4) έχουμε t E 0 E 0 t χρησιμοποιώντας την σχέση μιας και ( E) ( E) E ( E) 0 (σχέση (1) έχουμε E E 0 0 t

ΚΑΙ ΕΓΕΝΕΤΟ ΦΩΣ Με παρόμοιες πράξεις σε (4) και (3) καταλήγουμε στις δύο εξισώσεις E E (5α) H 0 0 0 0 t Οι οποίες αντιστοιχούν σε δύο κυματικές εξισώσεις με ταχύτητα κύματος C 1 0 0 αφού οι διαφορικές εξισώσεις της μορφής έχουν σαν λύση κύματα τα οποία οδεύουν με ταχύτητα c. Οι λύσεις λοιπόν των (5) είναι κύματα!!!! Τα οποία ταξιδεύουν με ταχύτητα C Θα το δούμε παρακάτω t H Y 1 Y x c t (5β)

Κύμα ορισμοί Κύμα ονομάζεται μια διαταραχή που μεταδίδεται στο χώρο και το χρόνο. Ο όρος Κύμα (από το αρχαίο ελληνικό ρήμα "κύω" = φουσκώνομαι) χαρακτηρίζει τη μεταφορά της διαταραχής συνήθως διαμέσου ενός μέσου. Η μεταφορά αυτή (μετάδοση) γίνεται, στα υλικά μέσα, ως παλμική κίνηση μεταξύ των στοιχειωδών σωματιδίων του μέσου, όμως ορισμένα είδη κυμάτων, όπως τα ηλεκτρομαγνητικά, μπορούν να διαδίδονται και στο κενό.(wikipedia)

Κύμα Αφού είναι μια διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο και στο χρόνο θα είναι της μορφής ( r, t) f ( k r t) Είναι όπως είπαμε λύση της Δ.Ε η οποία σε 1-Δ γίνεται : Αν τώρα η συνάρτηση f είναι περιοδική έχουμε αρμονικό κύμα. 1 x c t Ένα απλό αρμονικό κύμα είναι η διάδοση μιας ταλάντωσης στο χώρο Αν η διαταραχή είναι κάθετη στην διάδοση μετάδοσης του κύματος έχουμε εγκάρσιο κύμα ενώ αν είναι παράλληλη διάμηκες. Ένα ημιτονοειδές αρμονικό κύμα σε μια διάσταση μπορεί να γραφεί : i( kx t) (x, t) Asin( t kx) Re( Ae ) οπότε μπορούμε να αναπαραστήσουμε ένα κύμα με τη συνάρτηση : i( kx t) j( kx t) (x, t) Ae ή Ψ(x,t) =Ae όπου j ή i h φανταστική μονάδα i j 1 Κάτι πολύ οικείο σε σας αφού Ξέρετε πολύ καλά τα εναλλασσόμενα ρεύματα!!!!!!

Χαρακτηριστικά του Κύματος (x, t) Acos( t kx) Re( Ae ή (x, t) Ae j( kx t) j( kx t) ) λ:μήκος κύματος (m) Τ: Περίοδος κύματος (sec) f=t -1 Συχνότητα (Hz) k=πλ -1 :Κυματάριθμος (m -1 ) ω=πf : Κυκλική συχνότητα Α: Πλάτος κύματος Η ποσότητα t kx c f η ταχύτητα (φάσης) ενός κύματος k ονομάζεται φάση του κύματος και

Ταχύτητα κύματος Το σημείο p έχει σταθερή φάση. Άρα kx t σταθερό d(k x t) dx dx 0 k dt dt dt k C k H ταχύτητα μετάδοσης δηλαδή του ενός αρμονικού κύματος

Ηλεκτρομαγνητικά Κύματα Δοκιμάζουμε σαν λύση της (5 α ) μια συνάρτηση της μορφής j( kz t) E E e y(6) 0 έχουμε δηλαδή μια μορφή : E Αντικαθιστώντας : 1 E c t j( kx t) j( kx t) E 1 E E0e y 1 E0e y x c t x c t j( kx t) j( kx t) k 1 k E0e y E 0e y c c c Αν λοιπόν η (6) είναι λύση της (5α) τότε ισχύει η (7) όπου C είναι η ταχύτητα φάσης σε μονοχρωματικό κύμα ή η ταχύτητα του κύματος. Για να δούμε τώρα τι θα ισχύει για το Η k (7)

Μαγνητικό πεδίο Αντικαθιστώντας στο νόμο του Ampere (3) τη σχέση (6) έχουμε E H 0 t xˆ yˆ zˆ j( kxt) E E0e y ˆ j( kxt) H o o x z y j oeoe y x y z t t H x H z H H H x j( kxt) ˆ j( kxt) o o Ho E e z e zˆ y. Eo j( kxt B e )ˆ z με Eo CB C z Hz H x H y j E e y i E e H E e x z x k H c j( kxt) z j( kxt) j( kxt) o o o o άρα ολοκληρόνοντας z o o Δηλαδή το Μαγνητικό πεδίο ταλαντώνεται κάθετα στο ηλεκτρικό. o

Τι έχουμε δει μέχρι τώρα Ηλεκτρικό πεδίο j( kx t) E E0e y Μαγνητικό πεδίο j( kxt H H e )ˆ z o Και τα δύο η ταχύτητα διάδοσης ή ταχύτητα φάσης είναι όπως είπαμε f C k / f 1

Για να δούμε λίγο καλύτερα C µ -1 0 = 8.854187810 [F/m] -7 0 = 4 10 [H/m] Διηλεκτρική σταθερά του κενού (permittivity) Μαγνητική διαπερατότητα του κενού (permeability) 1 1 1 m C 310 se c m m 8 0 0 19 0 FH 0 8.94 10 16 s 910 Προφανώς για οποιοδήποτε άλλο μέσο με: r 0 r 0 H ταχύτητα διάδοσης του Η/Μ κύματος θα είναι: Στα διάφορα υλικά η ταχύτητα των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων είναι διαφορετική από αυτή στο κενό και ο λόγος της ταχύτητας του Η/Μ κύματος στο κενό προς αυτήν είναι ο δείκτης διάθλασης του υλικού. C 1 1 n r 0 r 0 C 0 = r r C

Ηλεκτρομαγνητικό Φάσμα Ανάλογα με τη συχνότητα του Η/Μ κύματος μπορούμε να το κατατάξουμε σε διάφορες μπάντες του Η/Μ ΦΑΣΜΑΤΟΣ

Το θεώρημα και το διάνυσμα Poynting Είναι συχνά αναγκαίο να προσδιοριστεί η κατεύθυνση ροής ισχύος. Στις περιπτώσεις αυτές εφαρμόζεται το θεώρημα του Poynting. Αν υποθέσουμε ένα τυχαίο όγκο και δεδομένου ότι ισχύουν οι εξισώσεις του Maxwell: E B t D H J t Λαμβάνοντας την απόκλιση του διανύσματος ΕxH ( EH) και αφού χρησιμοποιήσουμε την ταυτότητα ( A B) B A A B αλλά και τις παραπάνω εξισώσεις έχουμε: B ( E H ) H E E H H E J t D t

Το θεώρημα του Poynting Δηλαδή : B D ( E H ) H E E J t t Εφαρμόζοντας τις σχέσεις: D E & B H Και λαμβάνοντας υπόψιν ότι: H B ( H B ) H E D ( E D ) E t t t t t t & θα έχουμε: Βαφτίζουμε 1 1 ( E H ) H H E E E J t t H E E J Διάνυσμα Poynting S E H Ολοκληρώνοντας και τα δύο μέλη πάνω στον ίδιο όγκο V λαμβάνουμε: 1 E H dv SdV H E dv E JdV t ( ) v v v v

Το θεώρημα του Poynting Εφαρμόζοντας το θεώρημα της απόκλισης και το νόμο του Ohm Έχουμε το θεώρημα Poynting: J E ( ) ( ) E H dv E H d s H E dv E dv v s v v t 1 1 ή S d s H E dv E dv t s v v Άρα το διάνυσμα Poynting S ήpδίνει τη στιγμιαία ροή ισχύος ανά μονάδα επιφανείας πυκνότητα ισχύος σε W/m που δηλώνει ταυτόχρονα και την κατεύθυνση του ακτινοβολούμενου Η/Μ πεδίου δηλαδή η ισχύος γίνεται στην κατεύθυνση διάδοσης και είναι κάθετη στα διανύσματα Ε και H.

Το θεώρημα του Poynting Σύμφωνα με το θεώρημα Poynting η ισχύς που ρέει από μια επιφάνεια που περιβάλλει κάποιο όγκο, είναι ίση με την ταχύτητα μείωσης της ενέργειας που είναι αποθηκευμένη μέσα στον όγκο που περιβάλλεται από αυτή την επιφάνεια μείον την ισχύ που διαχέεται ως θερμότητα μέσα σε αυτόν (ισχύ απωλειών στον όγκο V) - διατήρηση της ενέργειας. Η πυκνότητα ηλεκτρομαγνητικής ενέργειας είναι: 1 w H E Η πυκνότητα απωλειών ισχύος είναι: pl E Η διαφορική μορφή του θεωρήματος του Poynting είναι: S w t p L

Πυκνότητα Ενέργειας Σε πυκνωτή το στοιχειώδες έργο q q Q dw vdq dw dq W dq W U C C C V C Q CV ά U A E Al U E V El, C o αρα U= o u Πυκνότητα Ενέργειας o l Al Σε πηνίο 1 on A U LI, L, στο εσωτερικό του πηνίο r oni B αντικαθηστόντας r U= 1 B ra U B u Πυκνότητα Ενέργειας ra o o

Μιγαδικό Διάνυσμα Poynting Όπως είδαμε τα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία μεταβάλλονται ημιτονοειδώς με το χρόνο οπότε μπορούν να παρασταθούν με μιγαδικά διανύσματα (phasors). Στην περίπτωση αυτή οι στιγμιαίες τιμές του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου μπορούν να γραφούν με την μορφή: jt 1 jt jt Re( Ee ) ( Ee E * e ) jt 1 jt jt Re( He ) ( He H * e ) Ας υπολογίσουμε την ποσότητα (αφού η ισχύς είναι πραγματική ) S 1 1 1 1 4 4 1 1 S c jt jt jt jt j t j t E H ( Ee E * e ) ( He H * e ) ( E * E * ) ( E e E * * e ) jt S Re( E *) Re( E e ) ύ ισχύει E * ( E *)* & E* * ( E )* Στην παραπάνω σχέση ο πρώτος όρος είναι ανεξάρτητος του χρόνου και ο δεύτερος μεταβάλλεται με διπλάσια συχνότητα και συνεπώς η μέση χρονική τιμή του σε διάστημα μιας περιόδου είναι μηδενική.

Μιγαδικό διάνυσμα Poynting Μέση Ισχύς Εφόσον στις πρακτικές περιπτώσεις κεραιών συνήθως ενδιαφέρει η μέση τιμή της επιφανειακής πυκνότητας ισχύος κατά τη διάρκεια μιας περιόδου και όχι η στιγμιαία τιμή ισχύος οδηγούμαστε στον ορισμό του μιγαδικού διανύσματος του Poynting: 1 S c ( E *) το οποίο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της μέσης τιμής της επιφανειακής πυκνότητας ισχύος που ακτινοβολείται: 1 Re( E *) Επομένως η μέση ισχύς που ακτινοβολείται από μία πηγή εκπομπής (κεραία) θα δίνεται από τη σχέση: 1 Wrad S d s Re( E *) d s s s S av