Ανεξάρτητες Εναλλακτικές

Κεφάλαιο 15 Ανεξάρτητες Εναλλακτικές 15.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο 1, στις σελίδες 5 και 6, προσδιορίστηκαν και εξηγήθηκαν, µε παραδείγµατα οι αµοιβαίες αποκλειόµενες και αλληλένδετες επενδύσεις. Ο αναγνώστης µπορεί να κοιτάξει αυτές τις σελίδες πριν συνεχίσει το διάβασµα. Μηχανικά επενδυτικά σχέδια είναι κανονικά, αδιαίρετα ή όπως οι οικονοµολόγοι τα χαρακτηρίζουν "κυµατώδης". εν µπορείς να κτίσεις το 65% ενός δρόµου µεταξύ των σηµείων Α και Β, ο δρόµος εξυπηρετεί τη λειτουργία του µόνο αν τον κτίσεις ολοκληρωτικά. Ενα φράγµα δεν µπορεί να κατασκευαστεί σε ποσοστό 20%. Κάνει τον προορισµό του µόνο αν τελειώσει ολοκληρωτικά. Επενδυτικά σχέδια όπως δρόµοι, φράγµατα, κτίρια κτλ., είναι είτε φτιαγµένα είτε όχι. εν υπάρχει σηµείο πραγµατοποίησης µεταξύ σχηµατισµού ή όχι. Οπως θα δούµε, αυτό το χαρακτηριστικό σηµαίνει ότι µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε µοναχά ακέραιο προγραµµατισµό, και ότι οι ακέραιοι αριθµοί θα πρέπει να είναι δυαδικά, είτε µηδέν είτε ένα. Συγκρίνεται αυτή την κατάσταση µε τη συνήθη στο γραµµικό προγραµµατισµό. Για την απόφαση ανάµεσα σε ένα αριθµό από προϊόντα, κατά την ανάµιξη, είναι πιθανώς δυνατό να επιλέξεις να παράγεις 1020 κοµµάτια από το Α, 240 από το Β, 3100 από το Γ και έτσι, το Α µπορεί να παραχθεί σε ποσότητες από 0 έως 10000, το Β από το 0 έως 2000, το Γ από το 0 στο 5000 και ούτο καθ εξής. Με το να απαιτείς δυαδικές λύσεις - όλα ή τίποτα από το προϊόν - δεν θα µπορούσες αναγκαστικά να περιορίσεις τα αποτελέσµατα, και αυτό πρακτικά θα εγγυόταν µια ελαττωµατική λύση. Αυτό το κεφάλαιο δεν διαπραγµατεύεται µε συνηθισµένα προβλήµατα παραγωγής, τα οποία καλύπτονται στο µάθηµα του γραµµικού προγραµµατισµού, αλλά µόνο µε την ειδική κατηγορία των προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού που συναντώνται σε προβλήµατα µηχανικής και που απαιτείται προϋπολογισµός επενδύσεων. Μέχρι αυτό το σηµείο έχουν θεωρηθεί µόνο αµοιβαίες αποκλειόµενες επενδύσεις. Οι µέθοδοι που χρησιµοποιήθηκαν έχουν βασιστεί στην εξισορρόπηση της διάρκειας εξυπηρέτησης, στην οριακή ανάλυση και στις στοιχειώδης αλγεβρικές λύσεις. Τώρα θα µας απασχολήσει µια εξίσου σηµαντική κατηγορία οι ανεξάρτητες επενδύσεις. Οι µέθοδοι που θα διαχειριστούµε θα είναι αντίθετες µ αυτές που χρησιµοποιούνται στις αµοιβαίες αποκλειόµενες εναλλακτικές επενδύσεις. Εάν η οικονοµική ζωή είναι άνιση δεν µπορεί και δεν πρέπει να εξισωθεί. Η οριακή ανάλυση δεν πρέπει να χρησιµοποιηθεί. Οπου ένας προϋπολογισµός πρέπει να προσµετρηθεί, ο µαθηµατικός προγραµµατισµός παρέχει τη µόνη σωστή προσέγγιση της λύσης αν δε λάβουµε υπόψη τη συνήθως µη πραγµατοποιήσιµη µέθοδο της ολοκληρωµένης απαρίθµησης. Προφανώς τότε η πρώτη και ουσιαστική ερώτηση, που θα πρέπει να κάνει ένας αναλυτής όταν έρθει αντιµέτωπος µε ένα πρόγραµµα επένδυσης είναι: Αυτές είναι αµοιβαίως αποκλειόµενες ή

Ανεξάρτητες Εναλλακτικές ανεξάρτητες εναλλακτικές επενδύσεις; Οι µέθοδοι και η διαχείριση του προβλήµατος εξαρτάται από την απάντηση σ αυτή την ερώτηση. Οι µέθοδοι και η διαχείριση θα είναι εντελώς διαφορετικές ανάλογα µε την απάντηση. Προς το τέλος αυτού του κεφαλαίου αµοιβαία αποκλειόµενες και ανεξάρτητες εναλλακτικές επενδύσεις συνδυάζονται. Σε τέτοια προβλήµατα, η διάρκεια των εναλλακτικών δεν πρέπει να εξισωθεί. Η οριακή ανάλυση εξαφανίζεται, απορροφόµενη στο µαθηµατικό προγραµµατισµό, επειδή δεν θα επιλέξουµε την καλύτερη από το σύνολο των αµοιβαίων αποκλειόµενων εναλλακτικών. Σ αυτό το κεφάλαιο θα έχουµε εξωγενείς προεξοφλητικό επιτόκιο, δηλαδή θα έρχεται από µία εξωτερική πηγή, για παράδειγµα από µια επιτροπή διευθυντών ή από ένα εξωτερικό γραφείο. Το προεξοφλητικό επιτόκιο που καθορίζεται τυχαία έξω από τη διαδικασία του προϋπολογισµού επενδύσεων είναι η πιο συνηθισµένη συνθήκη. Πάντως, όπως θα εξηγηθεί επιπλέον στο επόµενο κεφάλαιο το προεξοφλητικό επιτόκιο µπορεί να είναι συνάρτηση του επιλεγµένου προϋπολογισµού επενδύσεων. Γι αυτό κεφάλαιο θα θεωρήσουµε µόνο το εξωγενές επιτόκιο όπως το 10% που επιβάλλεται από το τµήµα µεταφορών της οµοσπονδιακής κυβέρνησης των Η.Π.Α.. Προηγούµενα ασχοληθήκαµε µε την επιλογή επενδυτικών σχεδίων όπου δεν περιπλέκεται καθόλου προϋπολογισµός. Ηταν δυνατό να φτιάξεις οποιοδήποτε από τα επενδυτικά σχέδια που λαµβανόταν υπόψη, απλά θα έπρεπε να επιλέξεις µοναχά ένα από αυτά. Τώρα θα θεωρήσουµε την περίπτωση που ένα σύνολο επενδυτικών σχεδίων θα πρέπει να επιλεγεί. Οπου ο προϋπολογισµός είναι απεριόριστος µπορούµε να φτιάξουµε το σύνολο επιλέγοντας όλα τα σχέδια που προσδιορίζουν που τα προεξοφλητικά οφέλη υπερέχουν ή είναι ίσα του προεξοφλητικού κόστους, για παράδειγµα. Αλλά τι θα γίνει αν δεν υπάρχουν αρκετά χρήµατα για να φτιαχτούν όλα τα σχέδια τότε θα πρέπει να προσφύγουµε στο προϋπολογισµό επενδύσεων. Ο προϋπολογισµός επενδύσεων βασίζεται στην υπόθεση ότι ο προϋπολογισµός πρέπει να µπορεί να καλυφθεί. Απεριόριστα κεφάλαια δεν είναι διαθέσιµα για όλες τις επενδύσεις που η επιχείρηση θα ήθελε να κάνει. Ο προϋπολογισµός επενδύσεων χωρίς την αναγκαιότητα ενός προϋπολογισµού είναι εξ ορισµού αντίφαση. Ο προϋπολογισµός επενδύσεων είναι το πρόβληµα της επιλογής από ένα αριθµό διαθέσιµων σχεδίων αυτών που θα βελτιστοποιεί την απόδοση του κεφαλαίου που έχει επενδυθεί και των οποίων το κόστος ακόµα θα παραµείνει εντός του ποσού των χρηµάτων που είναι διαθέσιµα για επένδυση. Εκφρασµένη µαθηµατικά η αντικειµενική συνάρτηση είναι: m MaxZ = b i x i 15.1 i όπου m είναι ο αριθµός των επενδυτικών σχεδίων που λαµβάνονται υπόψη, b είναι ένας δείκτης αξίας, για παράδειγµα η καθαρή παρούσα αξία του σχεδίου i, και x i είναι οι µεταβλητές απόφασης που δείχνουν πόσο από το x i πρέπει να επιχειρηθεί. Σε αδιαίρετα επενδυτικά σχέδια όπως αυτοκινητόδροµοι και ούτο καθ εξής, το x i είναι είτε µηδέν είτε ένα, µηδέν είναι αν το σχέδιο δεν µπορεί να επιχειρηθεί εντός ενός λεπτοµερούς προϋπολογισµού, και ένα αλλιώς. Η προηγούµενη αντικειµενική συνάρτηση υπόκειται στους ακόλουθους περιορισµούς. m cix i M 15.2 i 269

Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας όπου c i είναι το κόστος του σχεδίου i, x i η µεταβλητή απόφασης όπως εξηγείται πριν, και Μ ο προϋπολογισµός. Επίσης, x 0 15.3 i αυτό σηµαίνει ότι δεν µπορούµε να έχουµε αρνητικό σχέδιο x i 1 15.4 επειδή µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε ένα σχέδιο µόνο µια φορά. ηλαδή, 0 x i 1 15.5 Αν το σχέδιο είναι αδιαίρετο, όπως είναι στα παραδείγµατα µηχανικής που έχουµε x i = 0,1για i = 1,2,...,m 15.6 Παίρνοντας µαζί τις προηγούµενες εξισώσεις έχουµε ένα 0, 1 ακέραιο προγραµµατισµό. 15.1.1Παράδειγµα Μια αντιπροσωπεία οδοστρωµάτων σε µια µικρή Αφρικάνικη χώρα παρουσιάζει το σχέδιο που φαίνεται στον επόµενο πίνακα στην παγκόσµια τράπεζα για πιθανή χρηµατοδότηση Σχέδιο Παρούσα αξία των κερδών ($000000) Αρχικό κόστος ($000000) 1 150 30 2 45 30 3 40 10 4 24 20 5 17 9 6 10 5 7 8 1 Α) Αν η τράπεζα χρηµατοδοτήσει όλα τα σχέδια που έχουν λόγο οφέλους / κόστους (B/C) µεγαλύτερο από τη µονάδα ποια θα χρηµατοδοτηθούν και µε ποια προτεραιότητα; Β) Η τράπεζα αποφασίζει ότι η χώρα δεν µπορεί να επιβαρυνθεί µε 50 εκατοµµύρια δολάρια επιπλέον στο εξωτερικό της χρέος αυτή τη στιγµή. Κάτω από αυτό τον προϋπολογισµό ποιο πρόγραµµα θα χρηµατοδοτηθεί; Λύση Α) Ο λόγος οφέλους / κόστους (B/C) είναι: 270

Ανεξάρτητες Εναλλακτικές Σχέδιο Β/C Προτεραιότητα 1 5.00 2 2 1.50 6 3 4.00 3 4 1.20 7 5 1.89 5 6 2.00 4 7 8.00 1 Χωρίς περιορισµούς στο κόστος η τράπεζα θα χρηµατοδοτήσει τα σχέδια κατά σειρά 7, 1, 3, 6, 5, 2 και 4 µαζί: NPV ( καθαρής παρούσας αξίας ) = = άθροισµα 189 εκατοµµύρια δολάρια C ( άθροισµα κόστους) = = 105 εκατοµµύρια δολάρια Όλα τα προγράµµατα έχουν λόγο οφέλους / κόστους (B/C) µεγαλύτερο από 1.0. Ετσι όλα θα χρηµατοδοτηθούν. Παρατηρήστε, ότι αυτό δεν είναι ένα πρόβληµα προϋπολογισµού επενδύσεων, γιατί δεν υπάρχει προϋπολογισµός. Παρουσιάζεται εδώ µε έµφαση η διαφορά µεταξύ προβληµάτων κόστους χωρίς περιορισµό και προβληµάτων κόστους µε προϋπολογισµό. Β) Καθόρισε το b i που χρησιµοποιείται στην εξίσωση 15.1, σαν την καθαρή παρούσα αξία (NPV) για το σχέδιο i. Επειτα, αφαιρώντας το αρχικό κόστος από την παρούσα αξία των κερδών έχουµε: Σχέδιο NPV 1 120 2 15 3 30 4 4 5 8 6 5 7 7 Το αποτέλεσµα στην εξίσωση 15.1 είναι: m MaxZ = bix i = 120x1 + 15x 2 + 30x 3 + 4x 4 + 8x 5 + 5x 6 + 7x i Από τις εξισώσεις 15.2, 15.3, 15.4 έχουµε: m i cix i M 30x1 + 30x 2 + 10x 3 + 20x 4 + 9x 5 + 5x 6 + x 7 0 x i 1 και x i = 0,1για i = 1,2,...,7 7 50 271

Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας Σ αυτό το σηµείο ένα πρόγραµµα υπολογιστή (για παράδειγµα Lindo) θα πρέπει να χρησιµοποιηθεί. Λύση µε το χέρι είναι πιθανή αλλά αρκετά περίπλοκη. Ο υπολογιστής µας παρέχει τη λύση 7, 1, 3, 5. Ο δείκτης καθαρής παρούσας αξίας σ αυτή τη λύση είναι: NPV = 7 + 120 + 30 + 8 = 165 εκατοµµύρια δολάρια µε κόστος: C = 1+ 30 + 10 + 9 = 50 εκατοµµύρια δολάρια το οποίο είναι ακριβώς ίσο µε το Μ, δηλαδή τον προϋπολογισµό. Αν το πρόγραµµα του υπολογιστή έχει γραφτεί σωστά αυτή είναι η σωστή απάντηση. Το πρόγραµµα πρέπει να ελεγχθεί βάζοντας ένα πρόβληµα το οποίο είναι γνωστό και προφανής. Στο πρόγραµµα που χρησιµοποιήθηκε σε αυτό το παράδειγµα, αυτό έχει γίνει. Όµως και ο έλεγχος δεν είναι απαραίτητα εγγύηση ότι το πρόγραµµα λειτουργεί σωστά. Μόνο προσεκτική παρατήρηση του αλγορίθµου µπορεί να το κάνει. 15.2 Ο προγραµµατισµός ενάντια στην αποτελεσµατικότητα των κριτηρίων κεφαλαίου. Στο παράδειγµα 15.1 η καθαρή παρούσα αξία (NPV) χρησιµοποιήθηκε σαν το µέτρο της αξίας του επενδυτικού σχεδίου που είχε σαν αποτέλεσµα τη βέλτιστη τοποθέτηση των πηγών του σχεδίου. Η καθαρή παρούσα αξία (NPV) δεν θα µπορούσε να είχε τοποθετηθεί από µόνη της για να εκπληρώσει αυτή την τοποθέτηση. Συγκρίνοντας τη λύση µε τη συσχετιζόµενη καθαρή παρούσα αξία αποκαλύπτεται το αδύνατο της κατάταξης των σχεδίων αρχίζοντας από το καλύτερο στο χειρότερο δηλαδή αρχίζοντας από την ψηλότερη καθαρή παρούσα αξία (NPV) και καταλήγοντας στη χαµηλότερη. Αυτό είναι αδύνατο γιατί δεν υπάρχει σχέση της καθαρής παρούσας αξίας που δείχνει την απόδοση που είχε κάθε δολάριο που ξοδεύτηκε. Για να υπερνικήσουµε αυτή τη δυσκολία η αποκαλούµενη αποτελεσµατικότητα των κριτηρίων κεφαλαίου βελτιώθηκε, έτσι χρησιµοποιήθηκαν ο δείκτης οφέλους / κόστους (B/C) και η εσωτερική αποδοτικότητα (Internal rate of return). Για πολλά χρόνια, πιστευόταν από φοιτητές που ασχολούταν µε τον προϋπολογισµό επενδύσεων για να επιτευχθεί ότι µια σωστή λύση του προβλήµατος βάζοντας απλά στη σειρά τα σχέδια από αυτό µε την καλύτερη εσωτερική αποδοτικότητα η του δείκτη οφέλους / κόστους στο χειρότερο και κόβοντας στο σηµείο της λίστας όπου ο προϋπολογισµός εξαντλείται. Αυτοί οι συγγραφείς απέτυχαν να αναγνωρίσουν ότι συσχετιζόταν µε ένα πρόβληµα µαθηµατικού προγραµµατισµού που µπορούσε να λυθεί µοναχά από κατάλληλες µεθόδους αυτού του κλάδου των µαθηµατικών. Αυτό το σηµείο, που είναι γνωστό µε αυτούς που ασχολούνται µε την επιχειρησιακή έρευνα, τράβηξε την προσοχή πολλών συγγραφέων, ειδικότερα στην περιοχή των οικονοµικών µηχανικών. Το ακόλουθο παράδειγµα, µια προέκταση του παραδείγµατος 15.1 ξεκαθαρίζει το σηµείο. 272

Ανεξάρτητες Εναλλακτικές 15.2.1 Παράδειγµα Ένας ανεξάρτητος σύµβουλος πρότεινε στη χώρα του παραδείγµατος 15.1 ότι το επενδυτικό σχέδιο που θα χρηµατοδοτηθεί από την παγκόσµια τράπεζα µε προϋπολογισµό κάτω των 50 εκατοµµυρίων δολαρίων οφείλεται να καθοριστούν µε βάση τους δείκτες οφέλους / κόστους. Βασιζόταν οι παρατηρήσεις τους στην ακόλουθη λίστα: Σχέδιο NPV 1 150/30 = 5.00 2 45/30 = 1.50 3 40/10 = 4.00 4 24/20 = 1.20 5 17/9 = 1.89 6 10/5 = 2.00 7 8/1 = 8.00 Σύµφωνα µε αυτό τα επενδυτικά σχέδια που θα χρηµατοδοτηθούν είναι 7, 1, 3, 6. Αυτό διαφέρει από την πρόταση της τράπεζας. Ποια λίστα είναι η σωστή και γιατί; Λύση Κάτω από Μ = 50: Η λύση βάση του δείκτη οφέλους / κόστους, 7, 1, 3, 6 έχει την ακόλουθη συµπεριφορά NPV = 7 + 120 + 30 + 5 = 162 εκατοµµύρια δολάρια µε C = 1+ 30 + 10 + 5 = 46εκατοµµύρια δολάρια Με προγραµµατισµό η λύση είναι: NPV = 7 + 120 + 30 + 8 = 165 εκατοµµύρια δολάρια C = 1+ 30 + 10 + 9 = 50 εκατοµµύρια δολάρια Καθαρά η προγραµµατιστική λύση είναι η σωστή. Η λύση µε τον δείκτη οφέλους / κόστους δεν είναι. Η προγραµµατιστική λύση δείχνει ένα συνολικό NPV της τάξης των 165 εκατοµµυρίων δολαρίων συγκρινόµενη µε τη λύση µέσω του δείκτη οφέλους / κόστους που είναι της τάξης των 162 εκατοµµυρίων δολαρίων. Και ο δύο λύσεις βρίσκονται µέσα στο προϋπολογισµό των 50 εκατοµµυρίων δολαρίων. Λανθασµένες λύσεις αυτού του τύπου µπορούν να συµβούν όποια µέθοδο και αν χρησιµοποιηθεί - για παράδειγµα εσωτερική αποδοτικότητα. Μερικοί αναγνώστες µπορούν να επισηµάνουν ότι η λύση µε τους δείκτες οφέλους / κόστους χρησιµοποιεί λιγότερη χρηµατοδότηση, 4 εκατοµµύρια δολάρια, από 273

Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας την προγραµµατιστική λύση. Τι θα συµβεί σ αυτά τα υπερβολικά κεφάλαια, δεν θα επηρεάσουν τη λύση; Τα υπερβολικά κεφάλαια θα επενδυθούν στο κόστος ευκαιρίας του κεφαλαίου (opportunity cost of capital) όποιο και αν είναι αυτό. Η καθαρή παρούσα αξία κάθε ποσού που έχει επενδυθεί στο κόστος ευκαιρίας του κεφαλαίου είναι 0. Για παράδειγµα ας πούµε ότι το κόστος ευκαιρίας του κεφαλαίου είναι 20%. Τα 4 εκατοµµύρια δολάρια που έχουν επενδυθεί σ αυτό το επιτόκιο, για κάθε χρονικό διάστηµα θα έχουν καθαρή παρούσα αξία: NPV = PW B PWC 15.7 που σηµαίνει η παρούσα αξία των κερδών µείον την παρούσα αξία των κοστών. Στο πρόβληµα µας NPV = 4 4 = 0 Το εµπόδιο στην κατανόηση αυτής της σχέσης είναι η συνήθης παρούσα αξία των κερδών. Ο αναγνώστης θα πρέπει να δοκιµάσει την κατανόηση του µε το να επιβεβαιώσει ότι 4 εκατοµµύρια δολάρια επενδυµένα µε 20% για 15 χρόνια θα έχουν πράγµατι παρούσα αξία των κερδών ίση µε 4 εκατοµµύρια δολάρια. Στην πραγµατικότητα κάθε ποσό επενδυµένο µε κάθε επιτόκιο το οποίο είναι το κόστος ευκαιρίας του κεφαλαίου για οποιαδήποτε περίοδο θα έχει καθαρή παρούσα αξία ίση µε µηδέν. Έτσι τα 4 εκατοµµύρια δολάρια δεν επηρεάζουν τη λύση. 15.2.2 Παράδειγµα Χρησιµοποιώντας τα δεδοµένα του παραδείγµατος 15.1, ας αλλάξουµε το µέτρο της αξίας b i, στην καθαρή παρούσα αξία του κέρδους του προγράµµατος i. Αυτό σηµαίνει ότι θα διαχειριστούµε τα εναποµείναντα κεφάλαια κατηγορηµατικά. Λύση οκιµάζουµε κάθε λύση Προγραµµατιστικά: 7, 1, 3, 5. C = 1+ 30 + 10 + 9 = 50 εκατοµµύρια δολάρια B = 8 + 150 + 40 + 17 = 215 εκατοµµύρια δολάρια Με δείκτη οφέλους / κόστους: C = 1 + 30 + 10 + 5 = 46 εκατοµµύρια δολάρια B = 8 + 150 + 40 + 10 + 4 = 212 εκατοµµύρια δολάρια Τα 4 εκατοµµύρια δολάρια στο τέλος των κερδών που προστίθενται στην τελευταία εξίσωση είναι τα εναποµείναντα κεφάλαια που πρέπει να επενδυθούν στο κόστος ευκαιρίας του κεφαλαίου. Η παρούσα αξία των κερδών των εναποµεινάντων κεφαλαίων είναι 4 εκατοµµύρια δολάρια. Για άλλη µια φορά η προγραµµατιστική λύση δίνει τη σωστή επιλογή των προγραµµάτων, ενώ η λύση µε το δείκτη οφέλους / κόστους όχι. Αυτή η λύση, χρησιµοποιώντας σα µέτρο της αξίας την παρούσα αξία των κερδών, µπορεί να συγκριθεί µε τη λύση που χρησιµοποιήθηκε σα µέτρο της αξίας, δηλαδή την καθαρή παρούσα αξία, από την προηγούµενη εξίσωση. NPV PW PW = B C 274

Ανεξάρτητες Εναλλακτικές Με την προγραµµατιστική λύση: NPV = 215-50 = 165 Ενώ µε το δείκτη οφέλους / κόστους NPV = 212 - ( 46 + 4) = 162 Και οι δύο λύσεις ελέγχουν τις απαντήσεις στα παραδείγµατα 15.1 και 15.2 15.3Μερισµατοποίηση Κεφαλαίου 15.3.1 Ανεξάρτητα σχέδια µόνο Ας εξετάσουµε τις εναποµείναντες διαφορές ανάµεσα στα αµοιβαία αποκλειόµενα και στα ανεξάρτητα επενδυτικά σχέδια, τώρα που έχουµε στη διάθεση µας τις διαφορές στη µαθηµατική βελτιστοποίηση µεταξύ τους. Αυτές οι διαφορές είναι στη διαχείριση της οριακής ανάλυσης και της οικονοµικής ζωής. Όταν επιλέξουµε µια βέλτιστη λίστα από σχέδια που είναι κατάλληλα στον προϋπολογισµό επενδύσεων, δεν µπορούµε να εξισώσουµε τη διάρκεια των σχεδίων. Η κατάσταση είναι εντελώς αντίθετη µε αυτή που αντιµετωπίζει ο αναλυτής που πρέπει να παρέχει εναλλακτικές λύσεις που είναι ίσες στην εξυπηρέτηση και στη διάρκεια εξυπηρέτησης. Ξανακοιτώντας το παράδειγµα του αποχετευτικού αγωγού από µπετόναρµέ σε σχέση µε τον αποχετευτικό αγωγό από αυλακωτό ατσάλι. Στην πράξη για να κάνουµε δίκαιη σύγκριση µεταξύ αυτών, η διάρκεια της πιο µικρής εναλλακτικής, του αυλακωτού ατσάλινου αγωγού, πρέπει να γίνει ίση µε αυτό της µεγαλύτερης εναλλακτικής από επαναλαµβανόµενους κύκλους επενδύσεων. Αυτό µοιάζει εξασφαλισµένο όταν σχετίζεται µε ανεξάρτητα επενδυτικά σχέδια. Σε αµοιβαίες αποκλειόµενες εναλλακτικές επενδύσεις, ο αναλυτής πρέπει να επιλέξει το ένα σχέδιο ή το άλλο. Η επιλογή µιας λίστας των σχεδίων επένδυσης που περιορίζονται από ένα προϋπολογισµό, εµπλέκει το ένα επενδυτικό σχέδιο ή το άλλο. Σε αυτή την τελευταία περίπτωση, δεν υπάρχει σχέση ανάµεσα στα προγράµµατα που απαιτούν εξισορρόπηση της διάρκειας. Σε κυβερνητικούς προϋπολογισµούς, εξετάζεται η σχέση ανάµεσα σε ένα σχολείο στο Βόρειο Τέξας και σε ένα αγροτικό δρόµο στο Νότιο Τέξας. Η µόνη σχέση που έχουν είναι ότι βρίσκονται στην ίδια πολιτεία και ότι εµφανίζουν παρόµοιο προϋπολογισµό. Για αυτό τον ίδιο λόγο, η οριακή ανάλυση δεν πρέπει να χρησιµοποιείται στη σύγκριση επενδυτικών σχεδίων προϋπολογισµού. Η οριακή ανάλυση απαιτεί ότι τα αµοιβαίως αποκλειόµενα εναλλακτικά σχέδια, όπως τα διαφορετικά, και έτσι αµοιβαίως αποκλειόµενα επίπεδα παραγωγής στο ίδιο σχέδιο συσχετίζονται. Αν επιλέξεις ένα, όλα τα άλλα αποκλείονται. Εάν η αµοιβαίως αποκλειόµενη σχέση είναι απούσα ο οικονοµικός κανόνας ότι "Το επιπλέον κέρδος πρέπει να εξισορροπηθεί µε το επιπλέον κόστος", δεν είναι έτσι πια εφαρµόσιµος. Είναι καλό να ξεκαθαρίσουµε ότι η τάξη των επενδυτικών σχεδίων στη λίστα είναι ασήµαντη στην επιλογή των σχεδίων. Αυτό που θέλουµε είναι µια βέλτιστη επιλογή επενδυτικών σχεδίων όπως και αν αυτά ταξινοµούνται στη λίστα. Η αλφαβητική ταξινόµηση βάση του ονόµατος έχει το ίδιο νόηµα µε το δείκτη κέρδους - κόστους διότι όλα τα σχέδια στη λίστα θα επιχειρηθούν. Το επόµενο παράδειγµα περιπλέκει σχέδια µε διαφορετική διάρκεια. 275

Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας 15.3.1.1 Παράδειγµα O Πίνακας 15-1 δείχνει έξι ανεξάρτητα σχέδια. Όλα τα σχέδια έχουν διαφορετική διάρκεια. Καµία διάρκεια δεν είναι ίση µε κάποια άλλη διάρκεια όπως θα είναι στην περίπτωση αν οι εναλλακτικές είναι αµοιβαίως αποκλειόµενες. Χρησιµοποιώντας τις εξισώσεις 15.1 έως 15.4, η λύση του σχεδίου προέρχεται από: MaxZ = 60x + 15x + 20x + 8x + 5x + 7 1 2 3 4 5 x 6 Σχέδιο ιάρκεια Παρούσα αξία Αρχικό NPV B/C Προτεραιότητα των κερδών κόστος @12% 1 5 90 30 60 3.00 2 2 10 25 10 15 2.50 3 3 8 40 20 20 2.00 4 4 6 17 9 8 1.89 5 5 12 10 5 5 2.00 4 6 2 8 1 7 8.00 1 15-1 Πίνακας: Έξι ανεξάρτητα σχέδια Κάτω από: 30x1 + 10x 2 + 20x 3 + 9x 4 + 5x 5 + x 6 50 0 x i 1 και x i = 0,1για i = 1,2,...,6 χρησιµοποιώντας την καθαρή παρούσα αξία σαν την αξία του κέρδους και 50 τον προϋπολογισµό. Η προγραµµατιστική λύση αποκαλύπτει ότι ο βέλτιστος προϋπολογισµός επενδύσεων συνθέτεται από τα σχέδια 6, 1, 2 και 4 µε NPV = 7 + 60 + 15 + 8 = 90 εκατοµµύρια δολάρια και C = 1+ 30 + 10 + 9 = 50 εκατοµµύρια δολάρια Αυτή είναι η σωστή λύση. Παρατηρήστε ότι αυτή η λύση δεν συµφωνεί µε την λύση µέσο του δείκτη οφέλους / κόστους που είναι 6, 1, 2 και 5 µε NPV = 7 + 60 + 15 + 5 = 87 εκατοµµύρια δολάρια µε C = 1+ 30 + 10 + 5 = 46 < 50 εκατοµµύρια δολάρια Τα εναποµείναντα τέσσερα κεφάλαια θα έχουν καθαρή παρούσα αξία (NPV) ίση µε µηδέν. ύο σχέδια έχουν το δείκτη οφέλους / κόστους ίσο µε δύο. Αυτή που επιλέχτηκε είναι αυτή που ταιριάζει µέσα στον προϋπολογισµό, σχέδιο 5. 276

Ανεξάρτητες Εναλλακτικές Ο αναγνώστης θα θυµηθεί ότι είναι µια µέθοδος που αποτελεσµατικά εξισώνει τη διάρκεια των αµοιβαίων αποκλειόµενων εναλλακτικών. Αν χρησιµοποιηθούν µε ανεξάρτητες εναλλακτικές η επιρροή τους θα είναι η ίδια, η οποία θα είναι αν εξισώσουµε την διάρκεια των ανεξάρτητων εναλλακτικών κάτω από περιορισµούς. Αυτή είναι η µέθοδος της ετήσιας αξίας. Έχουµε δει ότι ονοµάζεται ετήσια απόδοση, και όπου τα κέρδη όλων των εναλλακτικών ήταν ίσα, ετήσιο κόστος. Αυτή η µέθοδος δεν πρέπει να χρησιµοποιείται σε προβλήµατα προϋπολογισµού επενδύσεων. 15.3.2 Ανεξάρτητα και αµοιβαία αποκλειόµενα σχέδια. Τώρα υποθέτουµε ότι ορισµένα σχέδια στη λίστα από αυτά όπου θεωρούνται για συνυπολογισµό στον προϋπολογισµό πρέπει να κατασκευαστούν χρησιµοποιώντας κάθε ένα από το σύνολο των αµοιβαίων αποκλειόµενων εναλλακτικών. Ο διακανονισµός των επενδυτικών σχεδίων δείχνεται µε τις ανεξάρτητες να είναι οι γραµµές ενός πίνακα και οι αµοιβαίως αποκλειόµενες οι στήλες. Ξεκαθαρίζοντας η επιλογή σε τέτοια σχέδια είναι µια άσκηση στον ακέραιο προγραµµατισµό. Τώρα η γραµµή i και η στήλη j πρέπει να περιλαµβάνονται. Η αντικειµενική συνάρτηση είναι: 15.8 MaxZ m = κάτω από: m i n j c ij x i ij n j M b ij x ij 15.9 x ij = 0,1 για i = 1,2,..., m και j = 1,2,...,n όπου b ij = αξία κέρδους ή µέτρο της αξίας x ij = µεταβλητή απόφασης, 0 ή 1. c ij = αρχικό κόστος του σχεδίου M = προϋπολογισµός m = αριθµός γραµµών (ανεξάρτητα σχέδια) n = αριθµός στηλών (αµοιβαίως αποκλειόµενες εναλλακτικές) Εξ ορισµού, όχι περισσότερο από ένα αµοιβαίως αποκλειόµενο σχέδιο µπορεί να επιλεγεί για µια γραµµή. Επίσης υπάρχει άλλος ένας περιορισµός που πρέπει να προστεθεί: m i x i 1 15.10 277

Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας Σχέδιο Περιγραφή Αρχικό κόστος Καθαρή παρούσα Κέρδος αξία 1 Κτίρια µε µεγάλη ιστορία 15 πατώµατα 10 5 15 18 πατώµατα 12 6 18 21 πατώµατα 15 7 22 2 Πολυκαταστήµατα 200.000 τετραγωνικά 30 8 38 πόδια 250.000 τετραγωνικά 36 10 46 πόδια 300.000 τετραγωνικά 44 12 56 πόδια 3 Αναφερόµενη έκταση Σχέδιο Α 21 8 29 Σχέδιο Β 25 15 40 15-2 Πίνακας: Σχέδια µε πραγµατικά περιουσιακά στοιχεία. Για να δούµε πως αυτή η εξίσωση λειτουργεί, υποθέτουµε τέσσερις αµοιβαίως αποκλειόµενες εναλλακτικές για το σχέδιο 2. Για να επιλέξουµε µόνο µία από αυτές η εξίσωση 15.10 γίνεται. x 21 + x 22 + x 23 + x 24 1 Εάν µία από αυτές τις τέσσερις επιλεγεί, η ανισότητα εµποδίζει κάθε άλλη από το να επιλεγεί γιατί το αριστερό µέλος δεν µπορεί ποτέ να είναι µεγαλύτερο από 1 Η αξία κέρδους είναι συνήθως η καθαρή παρούσα αξία. Με τις κατάλληλες τροποποιήσεις στις εξισώσεις 15.5 και 15.6 µπορούν να δείχνουν την παρούσα αξία των κερδών. 15.3.2.1 Παράδειγµα Μια πραγµατική εταιρεία επενδύσεων περιουσιακών στοιχείων θεωρεί τον προϋπολογισµό επενδύσεων για το επόµενο έτος της όπως φαίνεται στον Πίνακα 15-2. Το αρχικό κόστος είναι το παρόν κόστος στο χρόνο µηδέν για εκείνα τα σχέδια των οποίων η κατασκευή θα απαιτήσει περισσότερο από ένα χρόνο. Τα κέρδη είναι σε όρους παρούσας αξίας. Όλα τα χρήµατα που δεν χρησιµοποιούνται στον προϋπολογισµό µπορούν να επενδυθούν στο κόστος ευκαιρίας του κεφαλαίου, το οποίο προµηθεύεται από την εταιρεία. Ο προϋπολογισµός αποτελείται από 3 σχέδια καθένα από τα οποία έχει ένα αριθµό αµοιβαία αποκλειόµενων εναλλακτικών τα οποία παρουσιάζονται στον Πίνακα 15-2. Α) Γράψε τις εξισώσεις ακέραιου προγραµµατισµού για τη βέλτιστη λύση. Β) Με ένα απεριόριστο προϋπολογισµό ποια σχέδια θα επιλεγούν. Γ) Εκτέλεσε µερικές πειραµατικές απλοποιήσεις του προϋπολογισµού. Ποια είναι τα αποτελέσµατα των διερευνήσεων σας. 278

Ανεξάρτητες Εναλλακτικές Λύση Α) Επιλέγοντας την καθαρή παρούσα αξία σα µέσο της αξίας σε µορφή Πίνακα παρουσιάζονται: MaxZ = 5x11+ 6x12 + 7x13 + 8x 21+ 10x 22 + 12x 23 + 8x 31 + 15x 32 υπό x + 12x + 15x + 30x + 36x + 44x + 21x + 25x M 10 11 12 13 21 22 23 31 32 x11 + x12 + x13 1 x 21 + x 22+ x 23 1 x 31 + x 32 1 x ij = 0,1 για i = 1,2,3 και j = 1,2,3 Πίνακας NPV 1 2 3 1 5 6 7 2 8 10 12 3 8 15 Πίνακας Αρχικού κόστους 1 2 3 1 10 12 15 2 30 36 44 3 21 25 15-3 Πίνακας Αµοιβαίως αποκλειόµενα και ανεξάρτητα σχέδια.. Β) Με την απουσία προϋπολογισµού επενδύσεων, οι εναλλακτικές 1,3 (21 πατώµατα), 2,3 (300.000 τετραγωνικά πόδια) και 3,2 (σχέδιο Β) θα επιλεγούν µε: Z = NPV = 7 + 12 + 15 = 34 εκατοµµύρια δολάρια C = 15 + 44 + 25 = 84 εκατοµµύρια δολάρια Γ) Εάν ο προϋπολογισµός περιοριζόταν στα 80 εκατοµµύρια δολάρια, η λύση θα γινόταν 1,1 (15 πατώµατα) 2,3 (300.000 τετραγωνικά πόδια) και 3,2 (Σχέδιο Β) µε τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: Z = NPV = 5 + 12 + 15 = 32 εκατοµµύρια δολάρια C = 10 + 44 + 25 = 79 εκατοµµύρια δολάρια Το έξτρα 1 εκατοµµύριο δολάρια επενδύεται στο κόστος ευκαιρίας του κεφαλαίου µε καθαρή παρούσα αξία ίση µε µηδέν. 279

Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας Μια δεύτερη λύση το ίδιο ευνοϊκή µε την πρώτη, είναι 1,3 (21 πατώµατα), 2,2 (250.000 τετραγωνικά πόδια) και 3,2 (Σχέδιο Β) µε: Z = NPV = 7 + 10 + 15 = 32 εκατοµµύρια δολάρια C = 15 + 36 + 25 = 76 εκατοµµύρια δολάρια Εδώ είναι τα τέσσερα έξτρα εκατοµµύρια που θα επενδυθούν στο κόστος ευκαιρίας του κεφαλαίου. Περιορίζοντας τον προϋπολογισµό στα 70 εκατοµµύρια δολάρια η βέλτιστη επιλογή γίνεται 1,3 (21 πατώµατα) 2,1 (200.000 τετραγωνικά πόδια) και 3,2 (Σχέδιο Β). Τα χαρακτηριστικά αυτού του προϋπολογισµού είναι: Z = NPV = 7 + 8 + 15 = 30 εκατοµµύρια δολάρια C = 15 + 30 + 25 = 70 εκατοµµύρια δολάρια που δεν περιέχει κεφάλαια. Ένας προϋπολογισµός της τάξης των 50 εκατοµµυρίων δολαρίων προκαλεί βέλτιστη επιλογή να είναι 1,3 (21 πατώµατα) και 3,2 (Σχέδιο Β). µε το σχέδιο 2 να µην εµφανίζεται καθόλου. Z = NPV = 7 + 15 = 22 εκατοµµύρια δολάρια C = 15 + 25 = 40 εκατοµµύρια δολάρια 15.3.3 Αλληλένδετα σχέδια Τα αλληλένδετα σχέδια είναι αυτά που δεν µπορούν να υπάρχουν από µόνα τους. Η κατασκευή του ενός σχεδίου καθίσταται αναγκαία από την ολοκλήρωση της κατασκευής ενός άλλου σχεδίου. Για παράδειγµα, ένα διυλιστήριο και ένας πετρελαιαγωγός του συσχετίζονται. Ο πετρελαιαγωγός του διυλιστηρίου δεν έχει κανένα λόγο ύπαρξης αν δεν χτιστεί το διυλιστήριο. Το διυλιστήριο, όµως, µπορεί να υπάρχει χωρίς τον αγωγό του πετρελαίου γιατί µπορεί να εφοδιαστεί µε αργό πετρέλαιο από ένα υπάρχον λιµάνι. Αν ο αγωγός πετρελαίου καθοριστεί στο σχέδιο 1 και το διυλιστήριο στο σχέδιο 2, η σχέση τους µπορεί να εκφραστεί σαν ένας περιορισµός x 2 + x1 0, όπου x 1, x 2 είναι οι µεταβλητές απόφασης. Αν το πρόγραµµα επιλέξει το διυλιστήριο από µόνο του και απορρίψει τον αγωγό πετρελαίου, η εξίσωση γίνεται: 1+ 0 0 που ισχύει. Το διυλιστήριο δεν παραβιάζει τον περιορισµό. Αν το πρόγραµµα επιλέξει τον αγωγό πετρελαίου µόνο του, η εξίσωση γίνεται 0 + 1 0 280

Ανεξάρτητες Εναλλακτικές που είναι λάθος. Ο αγωγός πετρελαίου µόνος του παραβιάζει τον περιορισµό. εν µπορεί να εµφανιστεί στην επιλογή. Αν και τα δύο επιλεγούν για συνυπολογισµό στον βέλτιστο προϋπολογισµό επενδύσεων, ο περιορισµός γίνεται: 1+ 1 0 που ισχύει. Πέρασε το τεστ του περιορισµού, και τα δύο σχέδια εµφανίστηκαν. Το επόµενο παράδειγµα συγκρίνει ανεξάρτητα αµοιβαίως αποκλειόµενα και αλληλένδετα σχέδια. 15.3.3.1 Παράδειγµα Το σχέδιο δρόµου του Πίνακα 15-4 εξετάζεται από το υπουργείο µεταφορών για συνυπολογισµό στον προϋπολογισµό της νέας χρονιάς, µαζί µε το αρχικό κόστος και την καθαρή παρούσα αξία κάθε σχεδίου στο 10% του κόστους ευκαιρίας του κεφαλαίου. Το σχέδιο ορίζεται από ένα αριθµό και το ίδιο γράµµα αναπαριστά διαφορετικές τοποθεσίες του ίδιου δρόµου και αυτά είναι αµοιβαίως αποκλειόµενα µεταξύ τους. Το σχέδιο E δεν µπορεί να γίνει χωρίς να γίνει πριν το σχέδιο D. Όµως, το σχέδιο D µπορεί να γίνει από µόνο του. Το µέγιστο που πιστεύεται πως µπορεί το νοµοθετικό σώµα της κυβέρνησης θα εγκρίνει για αρχικό κόστος για την κατασκευή του νέου δρόµου είναι 800 εκατοµµύρια δολάρια. 15-4 Πίνακας Σχέδιο δρόµου: Σχέδιο Αρχικό κόστος Καθαρή παρούσα αξία 1 Α1 15 11 Α2 20 14 Α3 36 23 Α4 41 29 2 Β1 60 49 Β2 72 56 Β3 80 63 3 C1 223 75 C2 251 80 C3 285 93 C4 301 101 4 D 150 18 5 E 209 72 6 F1 321 106 F2 360 131 7 G1 283 65 G2 290 71 G3 297 86 8 H 195 20 9 I 359 32 281

Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας Α) Γράψτε τις απαραίτητες εξισώσεις για τη λύση Β) Βρείτε τα σχέδια που θα επιλεγούν σε ένα απεριόριστο προϋπολογισµό. Γ) Βρείτε τα σχέδια που θα συµπεριληφθούν σε ένα προϋπολογισµό που απαιτεί όχι περισσότερο από 800 εκατοµµύρια δολάρια και τι σηµαίνει αυτή η ζήτηση. ) Είναι το πρόβληµα επιλύσιµο, µε απόλυτη εµπιστοσύνη στην απάντηση, ότι όλα τα επίπεδα προϋπολογισµού κάτω από 1992 εκατοµµύρια δολάρια από ένα οριακό δείκτη οφέλους / κόστους, από την καθαρή παρούσα αξία, οριακή εσωτερική αποδοτικότητα ή οποιαδήποτε άλλη προσέγγιση που δεν περιέχει ακέραιο προγραµµατισµό. Λύση Α) MaxZ = 11x 101x 34 11 + 18x 41 + 14x 12 + 72x 51 + 23x 13 + 106x + 29x 61 14 + 131x + 49x 62 21 + 65x + 56x 71 22 + 71x + 63x 72 23 + 86x + 75x 73 31 + 20x + 80x 81 32 + 32x + 93x 91 33 + υπό: 15x11 + 20x12 + 36x13 + 41x 14 + 60x 21 + 72x 22 + 80x 23 + 223x 31 + 251x 301x 34 + 150x 41 + 209x 51+ 321x 61 + 360x 62 + 283x 71 + 290x 72 + 297x 359x 800 91 x11 + x12 + x13 + x14 x 21 + x 22 + x 23 1 x 31 + x 32 + x 33 + x 34 x 61 + x 62 1 x 71 + x 72 + x 73 1 x 4 + x 5 0 1 1 73 32 + 285x + 195x xij = 0,1 για i, j = 1,...,9 Η αντικειµενική συνάρτηση, οι περιορισµοί κόστους, οι αµοιβαίως αποκλειόµενοι περιορισµοί, οι αλληλεξαρτώµενοι περιορισµοί και οι γραµµικοί φαίνονται παραπάνω. Β) Ο Πίνακας 15-5 δείχνει τα αποτελέσµατα των απαραίτητων υπολογισµών για όλα τα σχέδια για να φτιάξεις ένα δείκτη κέρδους / κόστους µεγαλύτερο από το 1. Ο οριακός δείκτης οφέλους / κόστους ( Β/ C) χρησιµοποιείται για να υποδείξει αυτό. Ένας χωρίς περιορισµούς προϋπολογισµός περιλαµβάνει τα σχέδια A4, B3, C4, D, E, F2, G3, H και I. Κοστίζει 1992 εκατοµµύρια δολάρια. Γ) Τα σχέδια που επιλέγονται κάτω από ένα προϋπολογισµό 800 εκατοµµυρίων δολαρίων είναι A4, B3, C4 και F2. H προγραµµατιστική λύση είναι NPV = 324 εκατοµµύρια δολάρια και C = 782 εκατοµµύρια δολάρια µε τα εναποµείναντα 18 εκατοµµύρια δολάρια να χρησιµοποιούνται στο κόστος ευκαιρίας του κεφαλαίου. Ο ισοδύναµος απαιτούµενος προϋπολογισµός είναι 782 εκατοµµύρια δολάρια. ) Όχι. 81 33 + + 282

Ανεξάρτητες Εναλλακτικές Σχέδιο B B Αρχικό Σχέδιο β Σχέδιο γ NPV ΣNPV C Κόστος ΣC ΣC x 11 A1 26 1.73 x 12 A2 34 1.60 x 13 A3 59 1.56 x 14 A4 70 2.20 41 41 41 29 x 21 B1 109 1.82 x 22 B2 128 1.58 x 23 B3 143 1.88 80 121 121 63 x 31 C1 218 1.34 x 32 C2 331 1.18 x 33 C3 378 1.38 x 34 C4 402 1.50 301 422 422 101 x 4 D 168 1.12 150 572 x 5 E 281 1.34 209 781 x 61 F1 427 1.33 x 62 F2 491 1.64 360 1141 782 131 324 x 71 G1 348 1.23 x 72 G2 361 1.86 x 73 G3 383 3.14 297 1438 x 8 H 215 1.10 195 1638 x 9 I 391 1.09 359 1992 Πίνακας 15-5 15.4 Περίληψη Το κύριο σηµείο που πρέπει να σηµειωθεί στον προϋπολογισµό επενδύσεων είναι ότι είναι έµφυτα ένα διαφορετικό είδος προβλήµατος από την επιλογή αµοιβαίων αποκλειόµενων αποκλειστικών εναλλακτικών επενδύσεων. Ανάµεσα στις ανεξάρτητες εναλλακτικές λύσεις, η οριακή ανάλυση δεν έχει καµία θέση. Η ύπαρξη των εναλλακτικών δεν πρέπει να εξισωθεί. Οι µέθοδοι που βρίσκαµε χρήσιµοι δεν εξυπηρετούν πια. Μια νέα µαθηµατική προσέγγιση παρέχει τη µόνη εξασφαλισµένη επιτυχία - ο 0-1 ακέραιος προγραµµατισµός. Η αποκαλούµενη αποτελεσµατικότητα των κριτηρίων κεφαλαίου - ο δείκτης οφέλους / κόστους, η εσωτερική αποδοτικότητα και άλλες τέτοιες µέθοδοι - δεν µπορούν να χρησιµοποιηθούν µε σιγουριά για να επιλύσουµε προβλήµατα προϋπολογισµού επενδύσεων. Τρεις γενικοί τύποι από προβλήµατα µερισµατοποίησης κεφαλαίου υπάρχουν: 1) Ανεξάρτητα σχέδια. Αυτά µπορούν να βρίσκονται στη λίστα 2) Ανεξάρτητα σχέδια συγκρινόµενα µε αµοιβαίώς αποκλειόµενα σχέδια. Αυτό µπορεί να δειχθεί µε πίνακες 3) Αλληλένδετα σχέδια. Αυτά µπορούµε να τα χειριστούµε µε ειδικές εξισώσεις µε περιορισµούς. 283

Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας Όλα τα προηγούµενα µπορούν να βρεθούν στον ίδιο προϋπολογισµό επενδύσεων. Η ετήσια αξία η το ετήσιο κόστος της µεθόδου ίσως να µην µπορούν να χρησιµοποιηθούν στην µερισµατοποίηση του κεφαλαίου λόγω της έµφυτης εξίσωσης, της ύπαρξης των σχεδίων που τα χαρακτηρίζει. 284