Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου

ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τµήµα Αυτοµατισµού Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου Ειδικά θέµατα Ανάλυσης συστηµάτων Σύνθεσης συστηµάτων ελέγχου Μελέτης στοχαστικών συστηµάτων. Καλλιγερόπουλος

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου Ανάλυση συστηµάτων Μαθηµατική µοντελοποίηση φυσικών συστηµάτων Μέθοδος Lagrange Ολική συνάρτηση µεταφοράς ιάγραµµα ροής Τύπος του asn Γενικευµένος τόπος ριζών Συστήµατα µε θετική ανάδραση Σύνθεση και εσωτερική κατάσταση συστηµάτων Αναλυτική σύνθεση Ελεγξιµότητα και παρατηρησιµότητα Έλεγχος κατάστασης Μελέτη στοχαστικών συστηµάτων Εκτίµηση παραµέτρων Parameter Estimatin Αναγνώριση συστηµάτων System Identificatin

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου Μάθηµα Μαθηµατική µοντελοποίηση φυσικών συστηµάτων Η µέθοδος Lagrange. Καλλιγερόπουλος

Μαθηµατική Μοντελοποίηση Μέθοδος Lagrange Τα φυσικά φαινόµενα Κάθε φυσικό φαινόµενο ορίζεται από: τα φυσικά του µεγέθη τους φυσικούς του νόµους τα υλικά του στοιχεία. Τα φυσικά µεγέθη natural magnitudes ενός φαινοµένου αποτελούν µαζί µε τις παραγώγους τους τις θεµελιακές µετρήσιµες υλικές ποσότητες που χαρακτηρίζουν το φυσικό φαινόµενο. Τα θεµελιακά αυτά φυσικά µεγέθη ενός φαινοµένου είναι δύο: το ένα αποτελεί µέγεθος ποσοτικό και το άλλο µέγεθος ενεργειακό του φαινοµένου. Οι φυσικοί νόµοι natural laws του φαινοµένου χαρακτηρίζουν τις σχέσεις που διέπουν τα θεµελιακά µεγέθη του και είναι επίσης δύο: ο πρώτος θεµελιακός φυσικός νόµος είναι ποσοτικός και αφορά στην αρχή της διατήρησης της ύλης ενώ ο δεύτερος θεµελιακός νόµος είναι ενεργειακός και αφορά στην αρχή της διατήρησης της ενέργειας. Τα υλικά στοιχεία material elements του φαινοµένου εκφράζουν τις ενεργειακές ιδιότητες των υλικών που εµφανίζονται στο φαινόµενο χαρακτηρίζονται από συντελεστές και χωρίζονται σε τρεις κατηγορίες: το πρώτο υλικό στοιχείο αφορά στην τριβή στην απώλεια ενέργειας. Το δεύτερο υλικό στοιχείο αφορά στην αποθήκευση στη συσσώρευση ενέργειας ενώ το τρίτο υλικό στοιχείο αφορά στην απόδοση ενέργειας υπό άλλη µορφή. Μεταξύ των φυσικών µεγεθών των φυσικών νόµων και των υλικών στοιχείων υπάρχουν αναλογίες που προκύπτουν από τον κοινό χαρακτήρα ποσοτικό ή ενεργειακό των φυσικών µεγεθών νόµων και στοιχείων. Οι σχέσεις όλων των πρώτων υλικών στοιχείων που αφορούν απώλεια ενέργειας είναι σχέσεις αναλογίας οι σχέσεις όλων των δεύτερων υλικών στοιχείων που αφορούν συσσώρευση ενέργειας περιέχουν ολοκλήρωση ενώ οι σχέσεις όλων των τρίτων υλικών στοιχείων που αφορούν απόδοση ενέργειας περιέχουν παραγώγιση. Ορισµός Ανάλογα analg ονοµάζονται εκείνα τα φυσικά µεγέθη και στοιχεία διαφορετικών φαινοµένων που συνδέονται µεταξύ τους µε τις ίδιες µαθηµατικές σχέσεις.. 4

Φαινόµενο: Μηχανικό Περιστροφικό Ηλεκτρικό Μαγνητικό Θερµικό Υδραυλικό Μεγέθη:. Μετατόπιση Γωνία Ηλεκτρικό Μαγνητική Θερµότητα Όγκος Ποσοτικό µέγεθος περιστροφής φ φορτίο ροή Φ ρευστού η παράγωγος Ταχύτητα d υ Γωνιακή ταχύτητα dϕ ω ένταση d i Τάση dφ u Παροχή θερµότητας d q Παροχή ρευστού d q η Επιτάχυνση Γωνιακή παράγωγος d γ υ d επιτάχυνση dω α d ϕ di du. ύναµη Ροπή Ένταση Θερµοκρασία Πίεση Ενεργειακό µέγεθος F d dϕ τάση u d i d Φ θ d p d Νόµοι:. Ποσοτικός νόµος. i 0 σε κόµβο u 0 σε βρόχο q 0 σε σύστηµα q 0 σε σύστηµα. Ενεργειακός νόµος F 0 σε σώµα 0 σε σώµα u 0 σε βρόχο i 0 σε κόµβο _ p 0 σε επιφάνεια Υλικά. Στοιχείο Τριβή Τριβή Αγωγιµότητα Θερµική Υδραυλική στοιχεία: απώλειας ενέργειας κίνησης F υ περιστροφής ω αντίσταση u ir i u R αντίσταση θ Rq αντίσταση p Rq. Στοιχείο Ελαστικότητα Ελαστικότητα Αυτεπαγωγή Θερµική Υδραυλική αποθηκευσης ενέργειας F υ ϕ ω χωρητικότητα u i i Φ L u L χωρητικότητα θ χωρητικότητα p. Στοιχείο Μάζα Ροπή Χωρητικότητα απόδοσης ενέργειας F γ dυ αδράνειας Jα dω J αυτεπαγωγή di u L du i. 5

Η µέθοδος Lagrange Η αναλογία µεταξύ µεγεθών και φυσικών στοιχείων οδήγησε τον Lagrange στη διαπίστωση αναλογίων µεταξύ των εσωτερικών ενεργειών που χαρακτηρίζουν τα φυσικά φαινόµενα και στη διατύπωση µε µία µαθηµατική εξίσωση ενός ενιαίου νόµου ανάλογου των θεµελιακών ενεργειακών νόµων όλων των φυσικών φαινοµένων: W 0. Παράδειγµα: Οι εσωτερικές ενέργειες του µηχανικού φαινοµένου Στο µηχανικό φαινόµενο: µεταβλητή είναι η µηχανική µετατόπιση εξωτερική δύναµη F είναι η µηχανική δύναµη που επενεργεί στο σώµα και αντιστοιχεί σε επιβαλλόµενη εξωτερική ενέργεια W : όπου F d στα τρία υλικά στοιχεία τριβής ελαστικότητας και µάζας αντιστοιχούν οι εξής εσωτερικές ενέργειες και δυνάµεις: Τριβή στοιχείο απώλειας ενέργειας: dd εσωτερική δύναµη τριβής: F υ dυ όπου D εσωτερικές απώλειες ισχύος: υ D. Ελαστικότητα στοιχείο αποθήκευσης ενέργειας: εσωτερική δύναµη ελαστικότητας: dv F d όπου V η αποθηκευµένη εσωτερική δυναµική ενέργεια: V. Μάζα στοιχείο απόδοσης ενέργειας: εσωτερική δύναµη αδράνειας: dj d J F γ για σταθερό Μ d υ όπου J η αποδιδόµενη εσωτερική κινητική ενέργεια: J υ.. 6

Ο πίνακας των ανάλογων µεγεθών δυνάµεων και στοιχείων των φυσικών φαινοµένων µπορεί να συµπληρωθεί τώρα µε έναν πίνακα ανάλογων εσωτερικών ενεργειών. Φαινόµενα: Μηχανικό Περιστροφικό Ηλεκτρικό Μαγνητικό Θερµικό Υδραυλικό Μετατόπιση Γωνία Ηλεκτρικό Μαγνητική Θερµότητα Όγκος µεταβλητή περιστροφής φ φορτίο ροή Φ ρευστού ταχύτητα Ταχύτητα υ Γωνιακή ταχύτητα ω ένταση i Τάση u Παροχή θερµότητας q Παροχή ρευστού q δύναµη F ύναµη F Ροπή Τάση u Ένταση i Θερµοκρασία θ Πίεση p Απώλειες ισχύος D D υ ω Ri u R Rq Rq δυναµική ενέργεια ϕ Φ L V V κινητική ενέργεια J J υ ω J Li u. 7

Η εξίσωση Lagrange Η εφαρµογή του γενικού ενεργειακού νόµου W 0 οδηγεί στη διατύπωση µιας ενιαίας µαθηµατικής εξίσωσης για όλα τα φυσικά φαινόµενα. Η γενική αυτή εξίσωση του Lagrange Lagrange s equatin είναι: d J J V D F Τα µεγέθη της εξίσωσης αυτής ορίζονται γενικά ως εξής: d Μια γενικευµένη µεταβλητή του συστήµατος ένα ποσοτικό µέγεθος ανάλογο της µετατόπισης των µηχανικών συστηµάτων. Η χρονική µεταβολή της µεταβλητής ανάλογη της ταχύτητας υ των µηχανικών συστηµάτων. F Μια γενικευµένη εξωτερική δύναµη ένα ενεργειακό µέγεθος d ανάλογο της µηχανικής δύναµης που προκαλεί τη µεταβολή. D D Η εσωτερική ισχύς που αντιστοιχεί στις ενεργειακές απώλειες του συστήµατος ανάλογη των µηχανικών τριβών. V V Η εσωτερική ενέργεια που αποθηκεύεται στο σύστηµα ανάλογη της δυναµικής ενέργειας των µηχανικών συστηµάτων. J J Η εσωτερική ενέργεια που αποδίδει το σύστηµα ανάλογη της κινητικής ενέργειας των µηχανικών συστηµάτων. Η εξίσωση Lagrange γράφεται για κάθε βαθµό ελευθερίας του συστήµατος. Έτσι αν n ο βαθµός ελευθερίας τότε η γενικευµένη µεταβλητή θα παίρνει τιµές n ανεξάρτητων µεγεθών: n... όπως και η γενικευµένη δύναµη F τιµές: F Fn. F.... 8

. 9 Παραδείγµατα Παράδειγµα : Μαθηµατικό οµοίωµα µηχανικού συστήµατος ίνεται µηχανικό σύστηµα τριών σωµάτων. Να γραφούν οι διαφορικές εξισώσεις του συστήµατος εφαρµόζοντας τη µέθοδο Lagrange. Λύση Εφαρµόζοντας τη µέθοδο Lagrange ορίζουµε τα χαρακτηριστικά µεγέθη του συστήµατος: Βαθµοί ελευθερίας: n τρία σώµατα γενικευµένες µεταβλητές: οι µετατοπίσεις γενικευµένη δύναµη: η εξωτερική δύναµη F F. Απώλειες ισχύος: 4 D δυναµική ενέργεια: V κινητική ενέργεια: J. Οπότε: J J J 0 J J J V 0 V V 4 D D D. Άρα οι εξισώσεις Lagrange είναι:. F 4. 0. 0.

Παράδειγµα : Μαθηµατικό οµοίωµα ηλεκτρικού κυκλώµατος Έστω ηλεκτρικό κύκλωµα δύο βαθµίδων R µε είσοδο e t και έξοδο u t. Λύση Θεωρείστε ως µεταβλητές τα φορτία των βρόχων. Βρείτε τις εξισώσεις του συστήµατος µε τη µέθοδο Lagrange. Για την εφαρµογή των εξισώσεων Lagrange ορίζουµε τα χαρακτηριστικά µεγέθη: Βαθµοί ελευθερίας: n δύο βρόχοι γενικευµένες µεταβλητές: τα φορτία γενικευµένη εξωτερική δύναµη: η πηγή τάσης Απώλειες ισχύος: δυναµική ενέργεια: κινητική ενέργεια: J 0. Οπότε: J V J F e R R. D V D R J J 0 0 V D R Άρα οι εξισώσεις Lagrange είναι: και u.. R e. R 0. 0

Η µέθοδος Lagrange Σύνοψη Η γενική εξίσωση Lagrange Όπου: d µεταβλητή J J V D F εξωτερική δύναµη d F D D Εσωτερική ισχύς απωλειών τριβές V V Εσωτερική αποθηκευµένη ενέργεια δυναµική ενέργεια J J Εσωτερική αποδιδόµενη ενέργεια κινητική ενέργεια Φαινόµενα: Μηχανικό Περιστροφικό Ηλεκτρικό Μαγνητικό µεταβλητή Μετατόπιση Γωνία φ Φορτίο Μαγν. ροή Φ ταχύτητα Ταχύτητα υ Γων. ταχύτητα ω Ένταση i Τάση u δύναµη F ύναµη F Ροπή Τάση u Ένταση i Απώλειες D D υ ω Ri u R Γεν. δυναµική ενέργεια V V ϕ Φ L Γεν. κινητική ενέργεια J J υ ω J Li u.