- PDF Free Download

Πλεόνασμα παραγωγού και καταναλωτή Υπολογισμοί με το Maxima ΜΗ ΕΙΝΑΙ ΒΑΣΙΛΙΚΗΝ ΑΤΡΑΠΟΝ ΕΠΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΝ Αθανάσιος Σταυρακούδης htt://stavrakoudis.econ.uoi.gr Δεκέμβριος 213 1 / 4

Επισκόπηση 1 Πλεόνασμα του καταναλωτή από την καμπύλη ζήτησης 2 Πλεόνασμα του παραγωγού από την καμπύλη ζήτησης 3 Πλεόνασμα καταναλωτή και παραγωγού στην ισορροπία της αγοράς 4 Φορολογικό έσοδο και απώλεια κοινωνικής ευημερίας Απώλεια πλεονάσματος καταναλωτή και παραγωγού Το φορολογικό έσοδο της κυβέρνησης Κατανομή φορολογικών βαρών Απώλεια κοινωνικής ευημερίας 2 / 4

Πλεόνασμα καταναλωτή γνωστή η ποσότητα Πόσο είναι το πλεόνασμα του καταναλωτή όταν η ποσότητα προϊόντος είναι 1 = 2; S = 1 2 = 1 D 2 = 1 2 1 2 = 1 Παρατήρηση 2 1 = 2 D 1 2 3 4 Το πλεόνασμα του καταναλωτή δίνεται από το εμβαδόν της τριγωνικής περιοχής. 3 / 4

Μεθοδολογία 1 Καμπύλη ζήτησης: D() = 2 2 Ισχύει: = D = 1 3 Ισχύει: = D() D( 1 ) Δηλαδή η διαφορά της τιμής για ζήτηση = και = 1 Επομένως S = 1 2 = 1 2 1 ( 1 ) 2 = 2 1 1 D 1 1 2 3 4 = 1 2 1 (D() D( 1 )) 4 / 4

Επίλυση στο Maxima 1 Καμπύλη ζήτησης: D() = 2 2 Ισχύει: = D = 1 3 Ισχύει: = D() D( 1 ) Δηλαδή η διαφορά της τιμής για ζήτηση = και = 1 Επομένως: 1 D() := 2 - *; 2 1 : 2; 3 S : (1/2) * 1 * (D()-D(1)); 2 = 2 1 1 D 1 1 2 3 4 / 4

Μη γραμμική καμπύλη ζήτησης Πόσο είναι το πλεόνασμα που αποκομίζουν οι καταναλωτές όταν η ποσότητα προϊόντος είναι 1 = 2; S = 1 D()d 1 1 = 86 3 2 9 1.67 S = 1 2 2 1 = 2 6 + 1 4 2 D 1 2 3 4 = 1 11 2 = 11 2 Προσοχή 6 / 4

Μεθοδολογία μη γραμμική καμπύλη ζήτησης 1 Καμπύλη ζήτησης: D() = 2 6 + 1 4 2 2 = D = 1 3 1 = D( 1 ) 4 Ισχύει επίσης: 2 1 = 2 6 + 1 4 2 1 Επομένως D = 1 D()d D = 1 1 = D D D 1 1 2 3 4 S = 1 D() d 1 D( 1 ) 7 / 4

Επίλυση στο Maxima μη γραμμική καμπύλη ζήτησης 1 = D = 1 2 1 = D( 1 ) 2 = 2 6 + 1 4 2 D = 1 D()d D = 1 1 = D D 1 1 D 1 1 2 3 4 Επομένως 1 D() := 2-6* + (1/4)*^2; 2 1 : 2; 3 S : integrate(d(),,, 1) - 1*D(1); 8 / 4

Πλεόνασμα καταναλωτή γνωστή η τιμή Πόση είναι η ευημερία που αποκομίζουν οι καταναλωτές του προϊόντος όταν η τιμή του προϊόντος είναι 1 = 1; 2 1 = 2 S = 1 2 = 1 D 2 = 1 2 1 2 = 1 D 1 2 3 4 9 / 4

Αλγεβρικός υπολογισμός 1 = 1 1 = 2 1 1 = 2 1 2 1 = = 2 = D = 1 = 2 = 1 = 2 1 = 1 Επομένως 2 = 2 1 1 D 1 1 2 3 4 S = 1 2 = 1 2 1 ( 1 ) = 1 1 2 = 1 2 1 / 4

Επίλυση στο Maxima S = 1 2 1 ( 1 ) 2 = 2 Επομένως: 1 D() := 2 - *; 2 1 : 1; 3 sol : solve(d()=1, ); 4 1 : rhs(sol[1]); S : (1/2) * 1 * (D() - 1); 1 1 D 1 1 2 3 4 11 / 4

Αύξηση του πλεονάσματος μετά από μείωση της τιμής Πόσο είναι το επιπλέον πλεόνασμα που αποκομίζουν οι καταναλωτές όταν η τιμή του προϊόντος μειωθεί από 1 = 1 σε 2 = ; 2 1 = 2 S 1 = 1 2 S 2 = 1 E 2 S = EG E G D H 1 2 3 4 12 / 4

Κατανομή της αύξησης του πλεονάσματος Πως κατανέμεται το επιπλέον πλεόνασμα σε νέους και υπάρχοντες καταναλωτές όταν η τιμή του προϊόντος μειωθεί από 1 = 1 σε 2 = ; 2 1 = 2 EF Υπάρχοντες E F G FG Νέοι 1 2 3 4 D H Δεδομένα: Ζητούμενα τα εμβαδά: Η καμπύλη ζήτησης EG = EF + FG 13 / 4

Επισκόπηση 1 Πλεόνασμα του καταναλωτή από την καμπύλη ζήτησης 2 Πλεόνασμα του παραγωγού από την καμπύλη ζήτησης 3 Πλεόνασμα καταναλωτή και παραγωγού στην ισορροπία της αγοράς 4 Φορολογικό έσοδο και απώλεια κοινωνικής ευημερίας Απώλεια πλεονάσματος καταναλωτή και παραγωγού Το φορολογικό έσοδο της κυβέρνησης Κατανομή φορολογικών βαρών Απώλεια κοινωνικής ευημερίας / 4

Πλεόνασμα παραγωγού γνωστή η ποσότητα Πόσο είναι το πλεόνασμα του παραγωγού όταν η ποσότητα προϊόντος είναι 1 = 2; PS = 1 2 = 1 D 2 = 1 2 8 2 = 8 Παρατήρηση 2 1 D 1 2 3 4 Το πλεόνασμα του παραγωγού δίνεται από το εμβαδόν της τριγωνικής περιοχής. = 2 + 4 16 / 4

Πλεόνασμα παραγωγού Μεθοδολογία 1 Καμπύλη προσφοράς: S() = 2 + 4 2 Ισχύει: = D = 1 3 Ισχύει: = S( 1 ) S() Δηλαδή η διαφορά της τιμής για προσφορά = και = 1 Επομένως 2 1 1 D 1 1 2 3 4 = 2 + 4 PS = 1 2 = 1 2 1 ( 1 ) 1 17 / 4

Επίλυση στο Maxima 1 Καμπύλη προσφοράς: S() = 2 2 Ισχύει: = D = 1 3 Ισχύει: = S( 1 ) S() Δηλαδή η διαφορά της τιμής για προσφορά = και = 1 Επομένως: 1 S() := 2 + 4*; 2 1 : 2; 3 PS : (1/2) * 1 * (S(1)-S()); 2 1 1 D 1 1 2 3 4 = 2 + 4 18 / 4

Μη γραμμική καμπύλη προσφοράς Πόσο είναι το πλεόνασμα του παραγωγού όταν η ποσότητα προϊόντος είναι 1 = 2; PS = 1 S( 1 ) 1 S()d = 2 1 32 3 9.33 PS = 1 2 = 1 2 8 2 = 8 2 1 D E 1 2 3 4 = 2 + 2 + 2 Προσοχή Ο τύπος του τριγώνου δίνει εσφαλμένο αποτέλεσμα. 19 / 4

Μεθοδολογία 1 Καμπύλη προσφοράς: S() = 2 + 2 + 2 2 D = E = 1 3 Ισχύει επίσης: E = 1 1 = 1 S( 1 ) E = 1 S() d = E E 2 1 D E 1 2 3 4 = 2 + 2 + 2 Επομένως PS = 1 S( 1 ) 1 S() d 2 / 4

Επίλυση στο Maxima μη γραμμική καμπύλη προσφοράς 1 Καμπύλη προσφοράς: S() = 2 + 2 + 2 2 D = E = 1 3 Ισχύει επίσης: E = 1 1 = 1 S( 1 ) E = 1 S() d = E E 2 1 D E 1 2 3 4 = 2 + 2 + 2 Επομένως 1 S() := 2 + 2* + ^2; 2 1 : 2; 21 / 4

Πλεόνασμα καταναλωτή και παραγωγού S = 1 D 2 = 1 E 2 = 1 1 2 = 1 2 PS = 1 D 2 = 1 E 2 = 1 2 8 2 = 8 2 = 2 + 4 S = 2 D 1 D E 1 2 3 4 Ζητούμενο: 24 / 4

Επίλυση στο Maxima Η μόνη αλλαγή σε σχέση με τα προηγούμενα είναι ο υπολογισμός της ποσότητας στην ισορροπία της αγοράς. Επομένως: 1 D() := 2 - *; 1 D 2 S() := 2 + 4*; 3 sol : solve(d()=s(), ); 4 1 : rhs(sol[1]); E S : (1/2) * 1 * (D() - D(1)); 1 2 3 4 6 PS : (1/2) * 1 * (S(1) - S()); 7 TS : (1/2) * 1 * (D() - S()); 2 = 2 D = 2 + 4 S 2 / 4

Ισορροπία πριν την επιβολή φόρου S 1 = 1 2 D = 1 E 2 2 = 2 D PS 1 = 1 2 D = 1 E 2 TS 1 = 1 2 D = 1 E 2 1 D() := 2 - *; 2 S1() := 2 + 4*; 3 sol : solve (D()=S1(), ); 4 1 : rhs(sol[1]); S1 : (1/2) * (D() - D(1)) * 1; 6 PS1 : (1/2) * (S1(1) - S1()) * 1; 7 TS1 : (1/2) * (D() - S1()) * 1; = 2 + 4 S1 1 D E. 1 1. 2 2. 29 / 4

Επιβολή φόρου Παράδειγμα Η κυβέρνηση επιβάλει φόρο στον παραγωγό, ίσο με 9 χρηματικές μονάδες. Σε αυτή την περίπτωση η ισορροπία διαταράσσεται και: 1 Το πλεόνασμα καταναλωτή και παραγωγού μειώνεται. 2 Μέρος του πλεονάσματος καρπώνεται η κυβέρνηση ως φορολογικό έσοδο. 3 Μέρος του πλεονάσματος χάνεται από την κοινωνία: Απώλεια κοινωνικής ευημερίας. 2 = 11 + 4 S2 = 2 D F I = 2 + 4 S1 1 G J D H K L E. 1 1. 2 2. 3 / 4

Μείωση πλεονάσματος καταναλωτή Παράδειγμα Η κυβέρνηση επιβάλει φόρο στον παραγωγό ίσο με 9 χρηματικές μονάδες. Το πλεόνασμα του καταναλωτή μειώνεται: 1 Αρχικό πλεόνασμα: D 2 τελικό πλεόνασμα: FI 3 Μείωση: FDI 2 = 11 + 4 S2 = 2 D F I = 2 + 4 S1 1 G J D H K L E. 1 1. 2 2. 31 / 4

Μείωση πλεονάσματος καταναλωτή Αρχικό πλεόνασμα D : S 1 = 1 2 1 (D() D( 1 )) Τελικό πλεόνασμα: FI : S 2 = 1 2 2 (D() D( 2 )) Μεταβολή FDI : S = S 2 S 1 2 = 11 + 4 S2 = 2 D F I = 2 + 4 S1 1 G H J D K L E. 1 1. 2 2. = 1 2 ( 1 + 2 ) (D( 1 ) D( 2 )) 32 / 4

Υπολογισμός της μείωσης με το Maxima 1 D() := 2 - *; 2 S1() := 2 + 4*; 2 3 tax : 9; 4 S2() := S1() + tax; sol : solve(d()=s1(), ); 1 6 1 : rhs(sol[1]); 7 sol : solve(d()=s2(), ); 8 2 : rhs(sol[1]); 9 S1 : (1/2) * 1 * (D()-D(1)); 1 S2 : (1/2) * 2 * (D()-D(2)); 11 DeltaS : S2 - S1; 12 DeltaS : (1/2) * (1+2) * (D(1)-D(2)); F G H = 11 + 4 S2 = 2 D I J K L = 2 + 4 S1. 1 1. 2 2. D E 33 / 4

Γεωμετρικό ερώτημα Μείωση Μετά την επιβολή φόρου η ποσότητα ισορροπίας υποδιπλασιάστηκε, γιατί το πλεόνασμα του καταναλωτή υποτετραπλασιάστηκε; Ομοια σχήματα E 1 E 2 = λ 2 htt://ebooks.edu.gr/modules/ebook/ show.h/dsgym-14/47/31,1227/ 2 = 11 + 4 S2 = 2 D F I = 2 + 4 S1 1 G H J D K L E. 1 1. 2 2. 34 / 4

Μείωση πλεονάσματος παραγωγού Παράδειγμα Η κυβέρνηση επιβάλει φόρο στον παραγωγό ίσο με 9 χρηματικές μονάδες. Το πλεόνασμα του παραγωγού μειώνεται: 1 Αρχικό πλεόνασμα: D 2 Τελικό πλεόνασμα: HK 3 Μείωση: HDK 2 = 11 + 4 S2 = 2 D F I = 2 + 4 S1 1 G J D H K L, 2 E, 1. 1 1. 2 2. 3 / 4

Μείωση πλεονάσματος παραγωγού Αρχικό πλεόνασμα D : PS 1 = 1 2 1 (S( 1 ) S()) Τελικό πλεόνασμα: FI : PS 2 = 1 2 2 (S( 2 ) S()) Μεταβολή FDI : PS = PS 2 PS 1 2 = 11 + 4 S2 = 2 D F I = 2 + 4 S1 1 G H J D K L, 2 E, 1. 1 1. 2 2. PS = 1 2 ( 1 + 2 ) (S( 2 ) S( 1 )) 36 / 4

Υπολογισμός της μείωσης με το Maxima 1 D() := 2 - *; 2 S1() := 2 + 4*; 2 3 tax : 9; F 4 S2() := S1() + tax; G sol : solve(d()=s1(), ); 1 6 1 : rhs(sol[1]); H 7 sol : solve(d()=s2(), ); 8 2 : rhs(sol[1]); 9 PS1 : (1/2) * 1 * (S1(1)-S1()); 1 S2 : (1/2) * 2 * (D()-D(2)); 11 DeltaPS : PS2 - PS1; 12 DeltaPS : (1/2) * (1+2) * (S1(2)-S1(1)); = 11 + 4 S2 = 2 D I J K L, 2 = 2 + 4 S1. 1 1. 2 2. D E, 1 37 / 4

Το φορολογικό έσοδο της κυβέρνησης Η κυβέρνηση αφαιρεί πλεόνασμα από την αγορά ίσο με την περιοχή: 2 = 11 + 4 S2 = 2 D HFIK = HK HF = L G = 2 tax = 2 (S 2 () S 1 ()) F I = 2 + 4 S1 1 G J D H K L E. 1 1. 2 2. 39 / 4

Υπολογισμός του φορολογικού εσόδου 1 D() := 2 - *; 2 S1() := 2 + 4*; 3 tax : 9; 4 S2() := S1() + tax; sol : solve(d()=s2(), ); 6 2 : rhs(sol[1]); 7 RT : 2 * tax; 8 RT : 2 * (S2()-S1()); 2 = 11 + 4 S2 = 2 D F I = 2 + 4 S1 1 G J D H K L E. 1 1. 2 2. 4 / 4

Για δυνατούς λύτες Να αποδειχθεί ότι Αν: = a b D = c + d S tax = t Τότε: RT = (a c)t t2 b + d (Ζήτηση) (Προσφορά) (Φόρος) 2 1 RT. 1 1. 2 2. 41 / 4

Για δυνατούς κυβερνητικούς λύτες Να αποδειχθεί ότι Αν: = a b D (Ζήτηση) = c + d S (Προσφορά) 2 1 RT Τότε μέγιστο έσοδο επιτυγχάνεται όταν ο φόρος ισούται με: tax = a c 2. 1 1. 2 2. 42 / 4

Κατανομή φορολογικού βάρους Φορολογικό έσοδο από την αφαίρεση πλεονάσματος του καταναλωτή: 2 = 11 + 4 S2 = 2 D FIJ = J F = L F = 2 (D( 2 ) D( 1 )) Φορολογικό έσοδο από την αφαίρεση πλεονάσματος του παραγωγού: HKJ = J H = L H = 2 (S 1 ( 1 ) S 1 ( 2 )) F I = 2 + 4 S1 1 G J D H K L E. 1 1. 2 2. 44 / 4

Κατανομή φορολογικού βάρους με το Maxima 1 D() := 2 - *; 2 S1() := 2 + 4*; 3 tax : 9; 4 sol : solve(d()=s1(), ); 1 : rhs(sol[1]); 6 S2() := S1() + tax; 7 sol : solve(d()=s2(), ); 8 2 : rhs(sol[1]); 9 T : 2 * (D(2) - D(1)); 1 PT : 2 * (S1(1) - S1(2)); 11 T/PT; Ανισότητα κατανομής βαρών 2 = 11 + 4 S2 = 2 D F I = 2 + 4 S1 1 G J D H K L E. 1 1. 2 2. Δεν πληρώνουν όλοι το ίδιο! 4 / 4

Απώλεια κοινωνικής ευημερίας Απώλεια κοινωνικής ευημερίας: IKD = 1 JD IK 2 = 1 LE FH 2 = 1 2 ( 1 2 ) (S 2 ( 1 ) S 1 ( 1 )) = 1 2 ( 1 2 ) tax. 1 1. 2 2. Απώλεια κοινωνικής ευημερίας 2 1 F G H = 11 + 4 S2 = 2 D I J K L = 2 + 4 S1 Ενα μέρος του αρχικού πλεονάσματος χάνεται από την κοινωνία μετά την επιβολή φόρου: το χάνουν οι καταναλωτές/παραγωγοί χωρίς να το καρπώνεται η κυβέρνηση. Dead Weight Loss ή DWL. 47 / 4 D E

Υπολογισμός DWL με το Maxima 1 D() := 2 - *; 2 S1() := 2 + 4*; 3 tax : 9; 4 S2() := S1() + tax; sol : solve(d()=s1(), ); 6 1 : rhs(sol[1]); 7 sol : solve(d()=s2(), ); 8 2 : rhs(sol[1]); 9 DWL : (1/2) * (1-2) * tax;. 1 1. 2 2. 2 1 F G H = 11 + 4 S2 = 2 D I J K L = 2 + 4 S1 D E 48 / 4

Για δυνατούς λύτες Να αποδειχθεί ότι 2 Αν: = a b D = c + d S tax = t (Ζήτηση) (Προσφορά) (Φόρος) 1 DWL Τότε: DWL = t 2 2(b + d). 1 1. 2 2. 49 / 4

Κατανομή της απώλεια κοινωνικής ευημερίας DWL από την αφαίρεση πλεονάσματος του καταναλωτή: 2 = 11 + 4 S2 = 2 D IJD = 1 2 JD IJ = 1 LE F 2 = 1 2 ( 1 2 ) (D( 2 ) D( 1 )) DWL από την αφαίρεση πλεονάσματος του παραγωγού: F I = 2 + 4 S1 1 G J D H K L E. 1 1. 2 2. KJD = 1 2 JD KJ = 1 LE H 2 = 1 2 ( 1 2 ) (S 1 ( 1 ) S 1 ( 2 )) / 4

Κατανομή DWL με το Maxima 1 D() := 2 - *; 2 S1() := 2 + 4*; 2 3 tax : 9; F 4 S2() := S1() + tax; G sol : solve(d()=s1(), ); 1 6 1 : rhs(sol[1]); H 7 sol : solve(d()=s2(), ); 8 2 : rhs(sol[1]); 9 DWL : (1/2) * (1-2) * (D(2) - D(1)); 1 PDWL : (1/2) * (1-2) * (S1(1) - S1(2)); 11 DWL / PDWL; = 11 + 4 S2 = 2 D I J K L = 2 + 4 S1. 1 1. 2 2. D E 1 / 4

Τὸ παρὸν εὖ ποίει DE = E = D Εικόνες από: htt://en.wikiedia.org/wiki/thales 2 / 4

Γεωμετρία Γ γυμνασίου Να αποδειχθεί ότι DWL = ( 2 1 ) 2 TS 1 : Η ποσότητα ισορροπίας πριν την επιβολή φόρου 2 : Η ποσότητα ισορροπίας μετά την επιβολή φόρου TS : Το αρχικό ολικό πλεόνασμα 2 1 DWL. 1 1. 2 2. 3 / 4

Σχόλια και ερωτήσεις Σας ευχαριστώ για την προσοχή σας Είμαι στη διάθεσή σας για σχόλια, απορίες και ερωτήσεις 4 / 4