ΜΕΡΟΣ Α 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ-ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ 69 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα τύχης- Δειγματικός χώρος Ένα πείραμα το οποίο όσες φορές και αν το επαναλάβουμε, δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα του με απόλυτη βεβαιότητα ονομάζεται πείραμα τύχης. Δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης ονομάζεται το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων του και συμβολίζεται με Ω. ια παράδειγμα, αν ρίξουμε ένα ζάρι το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων που είναι και ο δειγματικός χώρος είναι Ω= { 1,,, 4, 5, 6 }. Εύρεση δειγματικού χώρου ενός πειράματος τύχης. α) Με δενδροδιάγραμμα ια παράδειγμα αν μας ζητήσουν να γράψουμε ένα τριψήφιο που τα ψηφία του να είναι οι αριθμοί, θα έχουμε: Άρα ο δειγματικός χώρος Ω= {,,,,,,,} β) Με πίνακα διπλής εισόδου ια παράδειγμα, αν ρίξουμε ένα ζάρι και ένα νόμισμα 1 4 5 6 (,1) (,) (,) (,4) (,5) (,6) (Λ,1) (Λ,) (Λ,) (Λ,4) (Λ,5) (Λ,6) Άρα ο δειγματικός χώρος, 1,,,,,,4,,5,,6, Λ,1, Λ,, Λ,, Λ,4, Λ,5, Λ,6 Ω= {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )}
70 ΜΕΡΟΣ Α 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ-ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Ενδεχόμενα Ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης ονομάζεται κάθε υποσύνολο του δειγματικού χώρου Ω. ια παράδειγμα, ένα ενδεχόμενο του δειγματικού χώρου Ω= {,,,,,,,} είναι το Ω 1 = {, } Αν ρίξουμε ένα ζάρι και φέρουμε τον αριθμό, που ανήκει στο σύνολο Α = {, 5, 6}, τότε λέμε ότι το ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται. Το ενδεχόμενο όμως Α πραγματοποιείται ακόμη και αν κατά τη συγκεκριμένη ε- κτέλεση του πειράματος εκτός από φέρουμε 5 ή 6. ι αυτό τα στοιχεία, 5, 6 του ενδεχομένου Α ονομάζονται ευνοϊκές περιπτώσεις για την πραγματοποίησή του. ια ένα ενδεχόμενο Β, το πλήθος των ευνοϊκών του περιπτώσεων, δηλαδή το πλήθος των στοιχείων του, συμβολίζεται με Ν(Β). Βέβαιο-Αδύνατο ενδεχόμενο Το ενδεχόμενο που πραγματοποιείται σε οποιαδήποτε εκτέλεση του πειράματος ονομάζεται βέβαιο ενδεχόμενο. Το ενδεχόμενο που δεν πραγματοποιείται σε καμία εκτέλεση του πειράματος ονομάζεται αδύνατο ενδεχόμενο. Πράξεις με ενδεχόμενα Ένωση δύο ενδεχομένων Α, Β ονομάζεται το ενδεχόμενο Α U B που πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α, Β. ια παράδειγμα, αν Α = {,5,8,10, 11} και Β = { 5,7, 11} τότε είναι Α Β = {,5,7,8,10, 11} Τομή δύο ενδεχομένων Α, Β ονομάζεται το ενδεχόμενο Α I B που πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιούνται ταυτόχρονα το Α και το Β. ια παράδειγμα, αν Α = {,5,8,10, 11} και Β = { 5,7, 11} τότε είναι Α Β = { 5, 11} Συμπλήρωμα ενός ενδεχομένου Α ονομάζεται το ενδεχόμενο Α που πραγματοποιείται, όταν δεν πραγματοποιείται το Α. ια παράδειγμα, αν Ω= { 1,,, 4, 5, 6 }. και Α = { 5, 6} τότε είναι Α = { 1,,, 4} Ασυμβίβαστα ενδεχόμενα Δύο ενδεχόμενα Α και Β ονομάζονται ασυμβίβαστα, όταν Α I Β =.
ΜΕΡΟΣ Α 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ-ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ 71 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Ποια από τα παρακάτω είναι πειράματα τύχης ; α) Ρίχνω ένα ζάρι και καταγράφω την πάνω όψη του. β) Αφήνω ένα βαρύ σώμα να πέσει και καταγράφω τη φορά της κίνησής του. γ ) Βγάζω ένα φύλλο από μια τράπουλα και σημειώνω ποιο είναι. δ ) Aνοίγω ένα βιβλίο και σημειώνω τον αριθμό που αντιστοιχεί στη δεξιά σελίδα του. α) Είναι πείραμα τύχης, γιατί ρίχνοντας το ζάρι δεν μπορούμε να προβλέψουμε με βεβαιότητα ποιο θα είναι το αποτέλεσμα για την πάνω όψη. β) Δεν είναι πείραμα τύχης, γιατί αφήνοντας το βαρύ σώμα να πέσει μπορούμε να προβλέψουμε τη φορά της κίνησής του ότι θα είναι κατακόρυφη προς τα κάτω λόγω του βάρους του. γ) Είναι πείραμα τύχης, γιατί βγάζοντας ένα φύλλο από μια τράπουλα δεν μπορούμε να προβλέψουμε ποιο θα είναι από τα 5 φύλλα. δ) Είναι πείραμα τύχης, γιατί ανοίγοντας ένα βιβλίο και σημειώνοντας τον αριθμό που αντιστοιχεί στη δεξιά σελίδα του δεν μπορούμε να προβλέψουμε ποιος θα είναι.. Επιλέγουμε διαδοχικά δύο μαθητές υμνασίου και καταγράφουμε την τάξη όπου φοιτούν. Ένας μαθητής για να βρει το δειγματικό χώρο έφτιαξε το διπλανό πίνακα. Μήπως έκανε κάποιο λάθος ; Α Β Α ΑΑ ΑΒ Α Β ΑΒ ΒΒ Β Α Β Πράγματι έχει κάνει λάθος,γιατί στην δεύτερη γραμμή και στην πρώτη στήλη το σωστό είναι ΒΑ αντί του ΑΒ.. To δεντροδιάγραμμα με το οποίο ένας μαθητής ήθελε να προσδιορίσει όλους τους τριψήφιους α- ριθμούς με ψηφία,, 5, που το καθένα χρησιμοποιείται μια μόνο φορά, έμεινε ημιτελές. Μπορείτε να το συμπληρώσετε ;
7 ΜΕΡΟΣ Α 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ-ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5. Αν ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης είναι Ω = { 0,, 4, 6, 8, 10 }, ποιο από τα παρακάτω σύνολα είναι ενδεχόμενο του πειράματος ; α) Α = { 4, 8, 10} β) Β = { 0,,, 6} γ) = { 4, 7, 8, 10} δ) Δ = { 6 } α) Το Α είναι ενδεχόμενο του Ω γιατί Α Ω β) Το Β δεν είναι ενδεχόμενο του Ω γιατί το Ω. γ) Το δεν είναι ενδεχόμενο του Ω γιατί 7 Ω. δ) Το Δ είναι ενδεχόμενο του Ω γιατί Δ Ω. 4. Ρίχνουμε ένα ζάρι και φέρνουμε 6. Ποια από τα παρακάτω ενδεχόμενα πραγματοποιούνται ; α) Α = {, 4, 6} β) Β = { 1,, 5 } γ) = { 4, 5, 6 } δ) Δ = { 1,, } Πραγματοποιούνται το Α και το γιατί 6 Α και 6. 5. Ένα κουτί περιέχει κόκκινες, κίτρινες και μαύρες μπίλιες. Αν επιλέξω μια μπίλια ποιο από τα παρακάτω ενδεχόμενα είναι αδύνατο ; α) Η μπίλια είναι κόκκινη. β) Η μπίλια είναι κίτρινη. γ) Η μπίλια είναι πράσινη. δ) Η μπίλια δεν είναι μαύρη. Είναι το γ γιατί το κουτί δεν περιέχει πράσινες μπάλες. 6. Επιλέγω στην τύχη ένα μήνα του έτους. Ποιο από τα παρακάτω ενδεχόμενα είναι βέβαιο ; α) Ο μήνας έχει 1 ημέρες. β) Ο μήνας είναι θερινός. γ) Το όνομα του μήνα αρχίζει από Μ. δ) Ο μήνας έχει περισσότερες από 7 ημέρες.
ΜΕΡΟΣ Α 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ-ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ 7 Βέβαιο ενδεχόμενο είναι το δ γιατί δεν υπάρχει μήνας του έτους με λιγότερες από 7 μέρες, ενώ δεν έχουν όλοι οι μήνες 1 μέρες ή δεν είναι όλοι θερινοί ή το όνομα όλων δεν αρχίζει από Μ. 7. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε ενδεχόμενο της στήλης (Α) τη σωστή απάντηση από τη στήλη ( Β ). Στήλη Α α. Α U Β β. Α I Β γ. Α α β γ 4 1 Στήλη Β 1. Δεν πραγματοποιείται το Α.. Πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α, Β.. Δεν πραγματοποιείται το Β. 4. Πραγματοποιούνται ταυτόχρονα και το Α και το Β. α γιατί ένωση δύο ενδεχομένων Α, Β ονομάζεται το ενδεχόμενο Α U B που πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α,Β. β 4 Τομή δύο ενδεχομένων Α, Β ονομάζεται το ενδεχόμενο Α I B που πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιούνται ταυτόχρονα το Α και το Β. γ 1 Συμπλήρωμα ενός ενδεχομένου Α ονομάζεται το ενδεχόμενο Α που πραγματοποιείται, όταν δεν πραγματοποιείται το Α. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΣΗΣΗ 1 Το κυλικείο ενός σχολείου διαθέτει για φαγητό σάντουϊτς (σ), τυρόπιτα (τ), γλυκό (γ) και για αναψυκτικό πορτοκαλάδα (π), λεμονάδα (λ). Επιλέγουμε στην τύχη ένα μαθητή που αγόρασε ένα είδος φαγητού και ένα είδος αναψυκτικού και καταγράφουμε την προτίμησή του. Ποιος είναι ο δειγματικός χώρος του πειράματος ; π σ λ ατασκευάζουμε το δενδροδιάγραμμα π τ λ π γ λ
74 ΜΕΡΟΣ Α 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ-ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Επομένως ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι: Ω = { σπ, σλ, τπ, τλ, γπ, γλ}. ΑΣΗΣΗ Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις φορές. Ποιος είναι ο δειγματικός χώρος του πειράματος; ατασκευάζουμε το δενδροδιάγραμμα Επομένως ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι: Ω = {,,,,,,, } ΑΣΗΣΗ Σ έναν προκριματικό όμιλο των Πανευρωπαϊκών αγώνων Μπάσκετ κληρώθηκαν να παίξουν τέσσερις ομάδες Α, Β,, Δ δίνοντας μεταξύ τους από δύο αγώνες ( εντός και εκτός έδρας ). Με τη βοήθεια ενός πίνακα να βρείτε όλα τα ζεύγη των αντιπάλων. Α Β Δ Α Α, Β Α, Α, Δ Β Β, Α Β, Β, Δ, Α, Β, Δ Δ Δ, Α Δ, Β Δ, ατασκευάζουμε τον πίνακα διπλής εισόδου για να βρούμε τα ζευγάρια Ο ζητούμενος δειγματικός χώρος είναι : Ω = {( Α,Β ), ( Α, ), ( Α,Δ ), ( Β,Α ), ( Β, ), ( Β,Δ ), (,Α ), (,Β),,Δ, Δ, Α, Δ, Β, Δ, {( ) ( ) ( ) ( )} ΑΣΗΣΗ 4
ΜΕΡΟΣ Α 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ-ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ 75 Σ ένα κουτί υπάρχουν τρεις όμοιες μπάλες, μία κόκκινη, μία άσπρη, μία μπλε και θέλουμε επιλέγοντας τυχαία μία μπάλα να πάρουμε την κόκκινη. α) Να βρείτε το δειγματικό χώρο του πειράματος. β) Με πόσες το πολύ κινήσεις θα πάρουμε την κόκκινη μπάλα ; γ) Με πόσες κινήσεις μπορούμε να αναγνωρίσουμε το χρώμα κάθε μπάλας ; α) Ο δειγματικός χώρος είναι Ω = {κ,α,μ} β) Οι κινήσεις που το πολύ απαιτούνται είναι τρεις, και αυτό γιατί με τρεις κινήσεις θα έχουμε πάρει όλες τις μπάλες άρα και την κόκκινη. γ) Οι απαιτούμενες κινήσεις για να αναγνωρίσουμε το χρώμα κάθε μπάλας είναι, και αυτό γιατί αφού έχουμε ήδη επιλέξει δύο των οποίων το χρώμα το γνωρίζουμε μπορούμε να προβλέψουμε το χρώμα αυτής που είναι στο κουτί. ΑΣΗΣΗ 5 Σ ένα τηλεοπτικό παιχνίδι συμμετέχουν 4 άντρες ( Δημήτρης, ώστας, Μιχάλης, Παναγιώτης ) και γυναίκες ( Ειρήνη, Ζωή, Σταματίνα ). Ε- πιλέγουμε στην τύχη έναν άντρα και μια γυναίκα για να διαγωνιστούν και καταγράφουμε τα ονόματα των αντιπάλων. Να προσδιορίσετε α) το δειγματικό χώρο του πειράματος β) τα ενδεχόμενα Α : Διαγωνίστηκαν η Ειρήνη ή η Ζωή. Β : Δε διαγωνίστηκε ο Μιχάλης. Ο δειγματικός χώρος είναι : α) Ω = {( Δ, Ε),( Δ, Δ,, Ε),(,, Μ, Ε),( Μ, Μ, Π, Ε),(Π, Ζ) ( Π, Σ)} β) τα ζητούμενα ενδεχόμενα είναι: Α = {( Δ,Ε)(, Δ, Ζ )(,,Ε )(,, Ζ )(, Μ,Ε ), ( Μ, Ζ ), ( Π,Ε ), ( Π, Ζ)} ( Δ, Ε),( Δ, Δ,, Ε),(,, Π, Ε),(Π,Π,Σ), Β = { } ΑΣΗΣΗ 6 Ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης είναι Ω = { 0, 1,,, 4, 5, 6,7, 8, 9}. Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα ενδεχόμενα Α { x Ω, όπου x διαιρέτης του 9 } και B = x Ω, όπου x < 6 και να προσδιορίσετε το ενδεχόμενο που πραγματοποιείται, όταν : α) Πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α, Β. = { }
76 ΜΕΡΟΣ Α 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ-ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ β) Πραγματοποιούνται ταυτόχρονα το Α και το Β. γ) Δεν πραγματοποιείται το Β. Είναι Α = { 1,,9 } και Β = { 1,,,4, 5} οπότε έχουμε: α) Α Β = { 0,1,,,4,5, 9} β ) Α Β = 1, γ ) Β = { } { 6,7,8, 9} 7 Α 9 6 1 0 Β 5 4 8 Ω ΑΣΗΣΗ 7 Οι δράστες μιας κλοπής διέφυγαν μ ένα αυτοκίνητο και μετά από την κατάθεση διαφόρων μαρτύρων έγινε γνωστό ότι ο τετραψήφιος αριθμός της πινακίδας τού αυτοκινήτου είχε πρώτο και τέταρτο ψηφίο το. Το δεύτερο ψηφίο ήταν 6 ή 8 ή 9 και το τρίτο ψηφίο του ήταν 4 ή 7. α) Ποιο είναι το σύνολο των πιθανών αριθμών της πινακίδας του αυτοκινήτου ; β) Να προσδιορίσετε τα ενδεχόμενα Α : Το τρίτο ψηφίο του αριθμού της πινακίδας είναι το 7. Β : Το δεύτερο ψηφίο του αριθμού της πινακίδας είναι 6 ή 8. Το ζητούμενο σύνολο Ω των πιθανών αριθμών της πινακίδας είναι : α) Ω = {(,6,4,),(,6,7,),(,8,4,),(,8,7,),(,9,4,),(,9,7,)} β) Τα ζητούμενα ενδεχόμενα είναι : Α = {(,6,7,),(,8,7,),(,9,7,)} Β = {(,6,4,),(,6,7,),(,8,4,),(,8,7,)}