Τεχνολογία Συστημάτων Υδατικών Πόρων

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Τεχνολογία Συστημάτων Υδατικών Πόρων Βελτιστοποίηση Χρήστος Μακρόπουλος, Επίκουρος Καθηγητής ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών

Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.

Βελτιστοποίηση Μέρος 1: Συμβατικές Μέθοδοι

Βελτιστοποίηση; Maximum Minimum Εικόνα 1: Τοπικά ακρότατα συνάρτησης 4

Βελτίωση Δικτύων Ύδρευσης Απώλειες σε νερό: 50% Μήκος αγωγών: Αθήνας 7000 km! Αντικατάσταση; Ποιών; Στόχοι; Νερό; Ενέργεια; Κόστος; Πίεση; Εικόνα 2: Κάτοψη δικτύου ύδρευσης 5

Flow(L/s) Total Head (m) Βέλτιστη Λειτουργία Δικτύων Ύδρευσης Βελτιστοποίηση λειτουργίας αντλιών (scheduling) Στόχοι; Ενέργεια; Ποιότητα νερού; St Trinians Booster Pump Low Zone SR Levels 60.00 50.00 40.00 30.00 20.00 10.00 0.00 05:00:00 07:00:00 09:00:00 11:00:00 13:00:00 15:00:00 17:00:00 19:00:00 21:00:00 23:00:00 01:00:00 03:00:00 187.50 187.00 186.50 186.00 185.50 185.00 184.50 184.00 Σχήμα 1: Διαγράμματα με τη βελτιστοποίηση λειτουργίας αντλιών Peak Tariff 05:00:00 06:30:00 08:00:00 09:30:00 11:00:00 12:30:00 14:00:00 15:30:00 17:00:00 18:30:00 20:00:00 21:30:00 23:00:00 00:30:00 02:00:00 03:30:00 6

Flood Damage ( ) Flood Consequence Βελτιστοποίηση Αντιπλημμυρικών Έργων και Σχεδίων Επιδιόρθωση δικτύων (ή τοποθέτηση αναχωμάτων) Βέλτιστη παρέμβαση για μείωση του οικονομικού και κοινωνικού κόστους 120,000 100,000 80,000 Flood Damage Flood Consequence 16 14 12 10 60,000 8 40,000 20,000 6 4 2 Εικόνα 3: Πλημμύρα 0 0 Inc. pipe diameter Pipe storage Node Baseline storage (2 nodes) Node storage SUDs SUDs (2 nodes & swales) Inc. pipe Pipe diameter storage (3 (3 pipes) pipes) Mitigation Option Σχήμα 2: Διάγραμμα με τις οικονομικές και κοινωνικές επιπτώσεις μιας πλημμύρας 7

Ποιο απλά προβλήματα; Ανακύκλωση Νερού Βέλτιστες διαστάσεις συστήματος (δεξαμενές επεξεργασμένου και ανεπεξέργαστου νερού) για την επίτευξη: μέγιστης μείωσης αναγκών σε πόσιμο νερό με το ελαχιστο κόστος και την καλύτερη ποιότητα Εικόνα 4: Σχηματική απεικόνιση ανακύκλωσης νερού Σχήμα 3: Διάγραμμα όγκου δεξαμενών 8

Βελτιστοποίηση Ενιαίων Συστημάτων: Δίκτυα αποχέτευσης, βιολογικοί καθαρισμοί, υδάτινοι αποδέκτες Sewer network SC3 SC1 SC4 SC2 Wastewater Treatment Plant Activated Sludge Treatment: Primary Clarifier, Aerator, Secondary Clarifier SC5 SC7 Storm Tank SC6 CSO Εικόνα 5: Δίκτυο αποχέτευσης Εικόνα 6: Βιολογικός καθαρισμός River Εικόνα 7: Υδάτινος αποδέκτης (ποτάμι) 9

Βελτιστοποίηση διαχείρισης υδροσυστημάτων Εύηνος Σήραγγα Ευήνου- Μόρνου Μόρνος 0 10 20 30 km Μεγάλη χωρική κλίμακα Γεωτρήσεις Βασιλικών Υδραγωγείο Μόρνου Συστήματα πολλαπλού σκοπού Γεωτρήσεις Υλίκης Ανταγωνιστικά κριτήρια (κόστος, αξιοπιστία, καλή ποιότητα νερού) Βελτιστοποίηση υπό καθεστώς αβεβαιότητας (εισροές, ζήτηση, έργα) Υλίκη Υδραγωγείο Υλίκης Ενωτικό υδραγωγείο ΜΕΝ Μάνδρας Γεωτρήσεις ΒΑ Πάρνηθας ΜΕΝ Μενιδίου Μαραθώνας ΜΕΝ Περισσού Εικόνα 8: Υδροσύστημα Αθήνας 10 ΜΕΝ Κιούρκων

Βέλτιστη προσαρμογή (βαθμονόμηση) Αναπαράσταση σύνθετων φυσικών συστημάτων (λεκάνες απορροής, υδροφορείς) Διεργασίες με έντονη χωρική ετερογένεια Έμμεση εκτίμηση παραμέτρων, μέσω «σύγκρισης» των αποκρίσεων του μοντέλου με μετρήσεις Πχ. με Nash Sutcliffe υδρολογικών μοντέλων Εικόνα 9: Λεκάνη απορροής με έντονη χωρική ετερογένεια της παροχής

Objective (Max) Βέλτιστη λύση: όχι πάντα η κορυφή της καμπύλης Αβεβαιότητα στις παραμέτρους Αβεβαιότητα στην αντίληψή μας για το πρόβλημα Μεταβολές στα δεδομένα και τις διεργασίες του συστήματος «Εύρωστη» λύση (robust solution) Σχήμα 4: Τρισδιάστατο διάγραμμα με απεικόνιση της βέλτιστης λύσης 12

dimensionless Chèzy resistance coefficient - observed Βελτιστοποίηση και πιο «αφηρημένων» «Εξόρυξη» δεδομένων Αναζήτηση δεδομένων με περισσότερη/πιο χαρακτηριστική πληροφορία Μέτρο ποσότητα πληροφορίας; (εντροπία;) προβλημάτων John Snow: Broad Street Pump as a source of a water borne disease Εικόνα 10: Κάτοψη συνοικίας Λονδίνου με προσδιορισμό της πηγής της χολέρας και διάγραμμα με τον αδιάστατο συντελεστή αντίστασης Chezy παρατηρημένο και υπολογισμένο 10.5 10.0 9.5 9.0 8.5 8.0 7.5 7.0 C g = Formulas: GP vs. EPR 2 3 1 2 ομ - ζ R φ ζ dsφ ζ hsφ 4.0508 Χ10 S ζ S Χ dsφ οό Cad = ln η χ+ ν0.39728η χ ln η χ + ln 18.146 (EPR) 2 η χ + ύ 0.6489 θ ds ψ οξ θ hsψ θ dsψ ds θ R ψ οώ ds ζ φ 1 η hs ζ 2Rφ hs χ ln η χ+ η1.0973ln + 20.6863 χ 0.534 θ hs ψ η R S χ θ ψ (GP) 6.5 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 10.5 dimensionless Chèzy resistance coefficient - formulas (GP) (EPR)

Προσομοίωση - Βελτιστοποίηση Εικόνα 11: Σχηματική απεικόνιση προσομοίωσης-βελτιστοποίησης 14

Το πρόβλημα της βελτιστοποίησης (1/2) Γενική διατύπωση: min/max f(x) = f(x 1, x 2,, x n ) s.t. g j (x 1, x 2,, x n ),, = 0, για j = 1,, k x i min x i x i max, για i = 1,, n Μορφές αντικειμενικής (ή αλλιώς στοχικής) συνάρτησης: Με συνεχείς ή όχι μεταβλητές ελέγχου Κυρτή (μοναδικό ακρότατο) ή μη κυρτή (πολλαπλά ακρότατα) Εφικτός χώρος (πεδίο ορισμού) Με αναλυτική ή μη αναλυτική έκφραση και των παραγώγων της 15

Το πρόβλημα της βελτιστοποίησης (2/2) Με αμελητέο ή σημαντικό φόρτο υπολογισμού (στοχικές συναρτήσεις σε πραγματικές εφαρμογές που αποτιμώνται μέσω προσομοίωσης) Μορφές περιορισμών: Ενσωματωμένοι στη στοχική συνάρτηση Πεδίο ορισμού = όρια μεταβλητών ελέγχου 16

Χώρος αναζήτησης x 2 x 2 max Κυρτός, υπερεπίπεδος x 2 Κυρτός, μη γραμμικός x 2 min x 1 min x 1 max x 1 x 1 x 2 Μη κυρτός, συνεχής x 2 Μη κυρτός, μη συνεχής x 1 Εικόνα 12: Σχηματική απεικόνιση χώρων αναζήτησης 17 x 1

-0.05 0.05 0.15 0.25 0.35 0.45 0.55 0.65 0.75-0.05 0.05 0.15 0.25 0.35 0.45 0.55 0.65 Χώρος απόκρισης (f(x)) Θέση ακροτάτου Περιοχή «αυχένα» f(x 1, x 2 ) 0.83 0.78 0.22 0.2 0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0-0.02 0.18 0.33 0.48 0.63 0.04 x 2 x 1 0.78 0.73 0.68 0.63 0.58 0.53 0.48 0.43 0.38 0.33 0.28 0.23 0.18 0.13 0.08 0.75 0.04 0.2-0.22 0.18-0.2 0.16-0.18 0.14-0.16 0.12-0.14 0.1-0.12 0.08-0.1 0.06-0.08 0.04-0.06 0.02-0.04 0-0.02-0.02-0 Εικόνα 13: Τρισδιάστατη και δισδιάστατη απεικόνιση χώρου απόκρισης (f(x)) 18

Ακρότατα (βελτιστοποίηση χωρίς περιορισμούς) Έστω συνάρτηση f(x) ορισμένη στο R n που είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού της και έχει συνεχείς μερικές παραγώγους δευτέρας τάξεως. Κάθε σημείο μηδενισμού του διανύσματος κλίσης της συνάρτησης, δηλαδή κάθε σημείο x * για το οποίο: f(x * ) = grad f(x * ) = 0 ονομάζεται στάσιμο (stationary). Στην περίπτωση που η συνάρτηση είναι κυρτή, η f έχει μοναδικό στάσιμο σημείο που αντιστοιχεί στο ολικό ακρότατο αυτής (ελάχιστο ή μέγιστο). Κατά συνέπεια, αν μια συνάρτηση ικανοποιεί την αναγκαία συνθήκη της στασιμότητας ( f(x * ) = 0) και την ικανή συνθήκη κυρτότητας, τότε παρουσιάζει μοναδικό (ολικό) ακρότατο στο σημείο x *. Αν η συνάρτηση είναι μη κυρτή, τότε έχει περισσότερα του ενός στάσιμα σημεία, καθένα από τα οποία μπορεί να είναι τοπικό ελάχιστο ή τοπικό μέγιστο ή σημείο σέλας. 19

4.0 2.5 0.04-0.5 1.0 0.13 0.23 0.33 0.43 0.53 0.63-2.0 0.73 0.83-5.0-3.5 Τοπικά και ολικά ακρότατα f(x 1, x 2 ) = x 1 2 + x 2 2 Τοπικό ελάχιστο (x 1*, x 2* ) = (0.618, 0.371), f * = -0.003 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 5.0 3.0 1.0-1.0-0.05 0.15 0.35 0.55 Σημείο σέλας -5.0-3.0 Ολικό ελάχιστο (x 1*, x 2* ) = Ολικό ελάχιστο (0.314, 0.705), f * = -0.011 (x 1*, x 2* ) = (0, 0), f * = 0 f(x 1, x 2 ) = 0.5(1.1x 1 x 2 ) 4 + 0.5(x 1 0.5)(x 2 0.5) Εικόνα 14: Ακρότατα συναρτήσεων δυο μεταβλητών 20 0.75

Ακρότατα (βελτιστοποίηση με περιορισμούς) (1/2) Έστω συνάρτηση f(x), με k περιορισμούς της μορφής g(x) := [g 1 (x),..., g k (x)] T 0. Το σημείο x * είναι η ολικά ελάχιστη λύση της f εφόσον ικανοποιεί τους περιορισμούς και επιπλέον υπάρχει διάνυσμα μη αρνητικών συντελεστών λ = (λ 1,..., λ k ) Τ τέτοιο ώστε: λ i g i (x * ) = 0 για κάθε i = 1,, k df(x * ) dx + dg(x * ) λt dx = 0T Οι παραπάνω εκφράσεις, που είναι αναγκαίες προϋποθέσεις ύπαρξης ακροτάτου ενός προβλήματος με περιορισμούς, είναι γνωστές ως συνθήκες Kuhn-Tucker. Οι συνθήκες Kuhn-Tucker είναι ικανές και αναγκαίες για την ύπαρξη ολικού ελαχίστου της f, εφόσον τόσο η συνάρτηση όσο και οι περιορισμοί είναι κυρτές συναρτήσεις. 21

Ακρότατα (βελτιστοποίηση με περιορισμούς) (2/2) Κάθε πρόβλημα βελτιστοποίησης με περιορισμούς μπορεί να αναχθεί σε πρόβλημα χωρίς περιορισμούς, με θεώρηση της βοηθητικής συνάρτησης: φ(x, λ) = f(x) + λ T g(x), x R n Δεδομένου ότι λ i g i (x * ) = 0 για κάθε i, το ολικό ακρότατο της φ(x, λ) ταυτίζεται με το ολικό ακρότατο της f(x), δηλαδή φ(x *, λ * ) = f(x * ). Η επίλυση του μετασχηματισμένου προβλήματος γίνεται θεωρώντας ως μεταβλητές ελέγχου τις αρχικές παραμέτρους x καθώς και τους συντελεστές λ (πολλαπλασιαστές Lagrange). 22

Χειρισμός περιορισμών μέσω συναρτήσεων ποινής (1/2) Η ύπαρξη περιορισμών σε ένα μη γραμμικό πρόβλημα βελτιστοποίησης δυσχεραίνει εξαιρετικά την διαδικασία βελτιστοποίησης, καθώς προϋποθέτει: την αναλυτική έκφραση των παραγώγων της στοχικής συνάρτησης και των περιορισμών (ώστε να μπορούν να διατυπωθούν οι συνθήκες Kuhn- Tucker) την εύρεση των στάσιμων σημείων της βοηθητικής συνάρτησης, δηλαδή των διανυσμάτων x * και λ * (αναγκαία συνθήκη στασιμότητας) την ισχύ της ικανής συνθήκης κυρτότητας. 23

Χειρισμός περιορισμών μέσω συναρτήσεων ποινής (2/2) Εναλλακτικά, οι περιορισμοί ενσωματώνονται στη στοχική συνάρτηση ως συναρτήσεις ποινής (penalty functions). Στην περίπτωση αυτή, ορίζεται ένα μετασχηματισμένο πρόβλημα βελτιστοποίησης χωρίς περιορισμούς, της μορφής: min φ(x) = f(x) + i = 1 k p i (x) όπου p i (x) 0 κατάλληλα ορισμένη συνάρτηση, τέτοια ώστε p i (x) = 0 αν g i (x) 0, και p i (x) > 0 αν g i (x) > 0. Μειονέκτημα της παραπάνω προσέγγισης είναι: ο αυθαίρετος ορισμός των συναρτήσεων p i (x) η ύπαρξη ασυνέχειας στο όριο του εφικτού χώρου (συνήθως δεχόμαστε p i (x) 0 αν δεν παραβιάζεται ο περιορισμός ή παραβιάζεται οριακά, και p i (x) >> 0 αλλιώς). 24

Παράδειγμα: Βέλτιστη κατανομή υδατικών πόρων (1/7) Ταμιευτήρας χρησιμοποιείται για την ύδρευση ενός οικισμού και την άρδευση δύο αγροτικών περιοχών. Η ολική ποσότητα νερού που διατίθεται ανά έτος είναι 10 hm 3, ενώ η παροχετευτικότητα του κύριου αρδευτικού υδραγωγείου, ανηγμένη σε ετήσια βάση, ανέρχεται σε 6 hm 3. Για λόγους πολιτικής πρέπει να δοθούν τουλάχιστον 2 hm 3 για την ύδρευση και από 1 hm 3 για τις δύο αρδευτικές χρήσεις. 25

Παράδειγμα: Βέλτιστη κατανομή υδατικών πόρων (2/7) Να εκτιμηθεί η βέλτιστη κατανομή νερού για τις τρεις χρήσεις, ώστε να μεγιστοποιείται το κέρδος από αυτό. Δίνονται οι συναρτήσεις απόδοσης για τις τρεις χρήσεις: Εικόνα 15: Παράδειγμα κατανομής νερού για τρεις χρήσεις 26

Παράδειγμα: Βέλτιστη κατανομή υδατικών πόρων (3/7) Μεταβλητές ελέγχου: ποσότητες που διατίθεται για ύδρευση (x1), άρδευση περιοχής Α (x2) και άρδευση περιοχής Β (x3). Αντικειμενική συνάρτηση (= οικονομικό όφελος, προς μεγιστοποίηση): Φυσικοί περιορισμοί: Συνολική ποσότητα που διατίθεται: x1 + x2 + x3 = 10 Παροχετευτικότητα κύριου αρδευτικού υδραγωγείου: x2 + x3 6 Λειτουργικοί περιορισμοί: Ελάχιστη απαίτηση για ύδρευση: x1 2 Ελάχιστη απαίτηση για άρδευση περιοχής Α: x2 1 Ελάχιστη απαίτηση για άρδευση περιοχής Β: x3 1 27

Παράδειγμα: Βέλτιστη κατανομή υδατικών πόρων (4/7) Εικόνα 16: Εφικτός χώρος των x 1 και x 2 του παραδείγματος 28

Παράδειγμα: Βέλτιστη κατανομή υδατικών πόρων (5/7) Εικόνα 17: Όμοιο σχήμα για τα x 1 και x 3 με τη θέση βελτίστου 29

Παράδειγμα: Βέλτιστη κατανομή υδατικών πόρων (6/7) Εικόνα 18: Όμοιο σχήμα για τα x 2 και x 3 30

Παράδειγμα: Βέλτιστη κατανομή υδατικών πόρων (7/7) Αν δεν υπήρχαν περιορισμοί, η βέλτιστη λύση θα ήταν? Εξαιτίας του εξισωτικού περιορισμού, η βέλτιστη λύση κείται πάνω σε ένα επίπεδο ποιο; 31

Αν είχαμε πολλούς στόχους; Μια λύση είναι βέλτιστη κατά Pareto αν και μόνο αν: 1. Είναι τουλάχιστον τόσο καλή όσο οι άλλες λύσεις για όλους τους στόχους/κριτήρια και 2. Είναι καλύτερη από όλες τις άλλες λύσεις σε τουλάχιστον ένα στόχο/κριτήριο. Σχήμα 5: Παράδειγμα διαγράμματος Pareto πχ. αστοχία-κόστος (βλ. Αθήνα) 32

Επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης Επίλυση με εξονυχιστική απαρίθμηση όλων των λύσεων. Με τυχαία αναζήτηση (Random Search) Επίλυση με αναλυτικές, μαθηματικές μεθόδους (hill climbing) Επίλυση με δυναμικό προγραμματισμό, με διάσπαση του προβλήματος σε στάδια και διακριτοποίηση του πεδίου ορισμού των μεταβλητών. Επίλυση με γραμμικό προγραμματισμό, με «γραμμικοποίηση» της αντικειμενικής συνάρτησης. Επίλυση με μη γραμμικές τεχνικές (π.χ. εξελικτικοί αλγόριθμοι), με ενσωμάτωση των περιορισμών ως όρων ποινής στη αντικειμενική συνάρτηση. 33

Εξονυχιστική Απαρίθμηση Επιλέγεται ένα βήμα διακριτοποίησης των μεταβλητών ελέγχου (π.χ. 1 hm3), το οποίο προσδιορίζει την ακρίβεια προσέγγισης της βέλτιστης λύσης. Εξετάζονται όλοι οι συνδυασμοί λύσεων, δηλαδή 11 3 = 1331 συνδυασμοί, και απορρίπτονται αυτοί που παραβιάζουν τους περιορισμούς ως μη εφικτοί. Από το σύνολο των εφικτών λύσεων, εντοπίζεται αυτή που μεγιστοποιεί την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Εικόνα 18: Παράδειγμα κατανομής νερού για τρεις χρήσεις με την αντικειμενική συνάρτηση Σχήμα 6: Πίνακας με όλους τους συνδυασμούς λύσεων 34

Κόστος μιας τέτοιας προσέγγισης Απαιτούμενος αριθμός δοκιμών για n = 10 και δ = 0.001 hm3: περίπου 10 40 Απαιτούμενος αριθμός δοκιμών με εξελικτικό αλγόριθμο: 10 3 έως 10 4 35

maxf=0 For j=1 to n x2=rand[εφικτό] x3=rand[εφικτό] x1=10-x2-x3 Calculate: f(x1,x2,x3) IF f(x1,x2,x3) > maxf maxf= f(x1,x2,x3) maxx1=x1 maxx2=x2 maxx3=x3 end Next j Τυχαία Αναζήτηση n: αριθμός επαναλήψεων (Δυστυχώς μεγάλος και το αποτέλεσμα δεν είναι εγγυημένο) 36

Αναλυτικές μέθοδοι (gradient or hillclimbing methods) Βασίζονται στις μερικές παραγώγους των συναρτήσεων Προϋποθέτουν συνέχεια, ύπαρξη παραγώγων και μοναδικού ελάχιστου Καταλήγουν σε τοπικά βέλτιστα 37

Πρόβλημα (1/2) Εικόνα 19: Σχηματική απεικόνιση προβλήματος Έχουμε ένα ποτάμι και 3 εργοστάσια που ανήκουν στην ίδια εταιρεία και φτιάχνουν διαφορετικά προϊόντα (που χρειάζονται όσο περισσότερο νερό γίνεται στη διαδικασία παραγωγής). Εργοστάσια j= 1, 2 and 3 Κατανομή νερού xj και R (η οικολογική παροχή) 38

Πρόβλημα (2/2) Ποια κατανομή μεγιστοποιεί το συνολικό καθαρό κέρδος της εταιρείας; (Σj NBj(xj). Το συνολικό νερό περιορίζεται σε μια ποσότητα. Υποθέστε ότι το καθαρό κέρδος NBj(xj), από το νερό xj για κάθε εργοστάσιο j, είναι: 39

Επίλυση με Αναλυτική μέθοδο (κλίσεις- gradients) Μπορούμε να υπολογίσουμε το βέλτιστο σημείο για κάθε εργοστάσιο ξεχωριστά (το μέγιστο της συνάρτησης: df/dx=0) dnb(x1)/dx1 =0 για x1= 3 (x2=2.33, x3=8) Σύνολο: 13.33 Τι γίνεται όμως αν έχουμε μόνο 6; Προφανώς η απλή ανάλυση δεν αρκεί (η λύση 13.33 είναι ανέφικτη). Σχήμα 7: Διαγράμματα με το βέλτιστο σημείο για κάθε εργοστάσιο του προβλήματος ξεχωριστά 40

Hill Climbing Αναλυτική μέθοδος. Η μέθοδος διαιρεί το διαθέσιμο Q σε ΔQ Κατανέμει το κάθε ΔQ με τρόπο ώστε να προκύπτει η μέγιστη σχετική αύξηση του καθαρού κέρδους για το ΔQ. Η διαδικασία δουλεύει εδώ γιατί οι συναρτήσεις είναι κοίλες: το σχετικό κέρδος μειώνεται όσο περισσότερον νερό κατανέμεται νερού. Σχήμα 8: Διάγραμμα με το βέλτιστο σημείο μόνο για το δεύτερο εργοστάσιο 41

Διάγραμμα ροής ενός αλγορίθμου «hill climbing» Εικόνα 20: Σχηματική απεικόνιση διαγράμματος ροής ενός R: οικολογική παροχή αλγορίθμου «hill climbing» 42

Επίλυση (για Qmax=8, R=2) dnb/dx Η διαδικασία σταματά όταν η μέγιστη σχετική αύξηση Σχήμα 9: Πίνακας με την επίλυση του προβλήματος με την μέθοδο «hill climbing» είναι ισο-μοιρασμένη Όσο μικρότερο το ΔQ, τόσο πιο ακριβές το αποτέλεσμα 43

Μικρό ΔQ καλύτερη κατανομή Σχήμα 10: Πίνακας με την ίδια επίλυση αλλά με μικρό ΔQ 44

Πολιτική κατανομής στα εργοστάσια; Σχήμα 11: Διάγραμμα με την πολιτική κατανομής της παροχής στα εργοστάσια και στο ποτάμι Επιλύσαμε γι αυτό (1,1,4,R) Ποιό είναι αυτό το σημείο; 45

Λύση με πολλαπλασιαστές Lagrange Ας υποθέσουμε ότι το κέρδος των εργοστασίων Bj(xj), καθορίζεται εν μέρει από τη ποσότητα του προϊόντος που παράγει και τη τιμή μονάδας. Όπως πριν, το νερό είναι ο περιοριστικός παράγοντας. Η ποσότητα του παραγώμενου προιόντος pj, από κάθε εργοστάσιο j εξαρτάται από το νερό xj, που παίρνει το εργοστάσιο. Pj(xj) είναι το μέγιστος αριθμός προιόντος, pj, που μπορεί να παράγει το εργοστάσιο j αν πάρει νερό xj. (Συναρτήσεις παραγωγής: γενικά κοίλες = όσο αυξάνει το xj, η κλίση dpj(xj)/dxj, της συνάρτησης παραγωγής μειώνεται). 46

Δεδομένα Συναρτήσεις Παραγωγής Συναρτήσεις Κόστους Τιμές Μονάδας: όσο μικρότερη η τιμή τόσο περισσότερο προϊόν μπορούν να πουλήσουν Σχήμα 12: Διαγράμματα με τις τιμές μονάδας για κάθε προϊόν του προβλήματος 47

Αντικειμενική Συνάρτηση Περιορισμοί: Σχέση νερού και παραγωγής 48

Επίλυση (1/5) Μπορούμε (αρχικά) να βρούμε το μέγιστο καθαρό κέρδος για κάθε εργοστάσιο θεωρώντας ότι δεν υπάρχει πρόβλημα διαθέσιμου νερού: Και να υπολογίσουμε που μηδενίζεται η πρώτη παράγωγος για κάθε εργοστάσιο: 49

Επίλυση (2/5) Προκύπτει p1=3.2, p2=4.0, p3=3.9 Mέγιστο καθαρό κέρδος 155.75. Αυτό θέλει x1=10.2, x2=13.6 και x3=14.5 = 38.3 μονάδες παροχής. Αν έχουμε λιγότερο; Πρέπει να προσθέσουμε τους περιορισμούς σαν ισότητες: 50

Επίλυση (3/5) Όμως, από Kuhn-Tucker: Δεδομένου ότι λ i g i (x * ) = 0 για κάθε i, το ολικό ακρότατο της φ(x, λ) ταυτίζεται με το ολικό ακρότατο της f(x), δηλαδή φ(x *, λ * ) = f(x * ). Πολλαπλασιαστές Lagrange 51

Επίλυση (4/5) Παίρνοντας παραγώγους ως προς τους 10 αγνώστους προκύπτουν 10 εξισώσεις: Τι κάνουμε εδώ; Μεγιστοποιούμε την αντικειμενική συνάρτηση ( f(x * )=0) 52

Επίλυση (5/5) Οι οποίες μπορούν να επιλυθούν σαν σύστημα (βλ. μαθηματικά 1 ου -2 ου εξαμήνου) για διαφορετικές τιμές του Q Σχήμα 13: Πίνακας με την λύση του προβλήματος με πολλαπλασιαστές http://www.lindo.com/ Lagrange 53

Προσοχή: Δεν είναι σίγουρο ότι έχουμε πραγματικά βέλτιστη λύση με αναλυτικές μεθόδους (μπορεί να είναι τοπικά ακρότατα) Οι πολλαπλασιαστές δεν διαχωρίζουν μέγιστα από ελάχιστα (απλά df/dx=0), άρα πρέπει να προσέχετε τη μορφή της συνάρτησης 54

Δυναμικός Προγραμματισμός Τα προβλήματα που είδαμε μέχρι τώρα, υπολόγιζαν μια συνάρτηση «καθαρού κέρδους» για κάθε χρήστη. Η συνάρτηση αυτή ήταν συνεχής και διαφορίσιμη σε όλο το πεδίο ενδιαφέροντος (κατά συνέπεια χρησιμοποιήσαμε (hill-climbing και Lagrange multipliers). Γενικά όμως δεν είναι όλες οι αντικειμενικές συναρτήσεις συνεχείς (ή και κοίλες) ώστε να χρησιμοποιούμε εργαλεία της Μαθηματικής Ανάλυσης. Μια μέθοδος επίλυσης προβλημάτων (διακριτών) με συνεχείς ή μη αντικειμενικές συναρτήσεις είναι ο ΔΠ. 55

Γενικά Χαρακτηριστικά Δυναμικού Προγραμματισμού (1/2) Το εκάστοτε πρόβλημα είναι δυνατόν να διαιρεθεί σε διαφορετικά βήματα (στάδια) και σε κάθε ένα από αυτά θα πρέπει να ληφθεί μία απόφαση. Κάθε ένα από τα στάδια του προβλήματος έχει έναν ορισμένο αριθμό «καταστάσεων», οι οποίες συνδέονται με αυτό. Οι διάφορες αποφάσεις του προβλήματος λαμβάνονται διαδοχικά. Η κάθε απόφαση ενός βήματος του προβλήματος συνδέεται άμεσα με ένα κέρδος ή μία ζημία (κόστος). Η εκάστοτε απόφαση που τελικά θα ληφθεί σε ένα στάδιο μετατρέπει την παρούσα «κατάσταση» σε μία κατάσταση που συνδέεται με το επόμενο στάδιο του προβλήματος. 56

Γενικά Χαρακτηριστικά Δυναμικού Προγραμματισμού (1/2) Ο αντικειμενικός στόχος του εκάστοτε προβλήματος είναι είτε να μεγιστοποιηθεί το συνολικό κέρδος είτε να ελαχιστοποιηθεί το συνολικό κόστος. Η βέλτιστη απόφαση για κάθε ένα από τα εναπομείναντα στάδια ενός προβλήματος δεν εξαρτάται από τις προηγούμενες καταστάσεις ή αποφάσεις που ελήφθησαν σε προηγούμενα στάδια. Επομένως οι αποφάσεις που θα ακολουθήσουν εξαρτώνται αποκλειστικά από την κατάσταση που θα ισχύει στο εκάστοτε στάδιο επίλυσης (Αρχή του Βέλτιστου (Optimality Principle)) 57

Η πρόκληση στον ΔΠ Η πρόκληση σε ότι αφορά στην κατάστρωση και επίλυση ενός προβλήματος δυναμικού προγραμματισμού συνιστά στον προσδιορισμό των διαφορετικών φάσεων (βημάτων) του προβλήματος, αλλά και στων καταστάσεων που τους αντιστοιχούν. Ο προσδιορισμός αυτός αποτελεί μία γενικά περίπλοκη διαδικασία. Επιπλέον ένα άλλο χαρακτηριστικό του δυναμικού προγραμματισμού είναι το γεγονός ότι δεν υπάρχει μία γενικευμένη διατύπωση της μεθόδου και επομένως κάθε πρόβλημα μπορεί να θεωρηθεί μοναδικό σε ότι αφορά στη διαδικασία επίλυσής του. 58

Γιατί «προγραμματισμός» Το βασικό πρόβλημα ήταν αρχικά η εύρεση της οικονομικότερης κατανομής ή προγραμματισμού ενός πλήθους ανταγωνιστικών δραστηριοτήτων σε συνθήκες πεπερασμένης διαθεσιμότητας πόρων (στην οικονομική επιστήμη). Δεν έχει σχέση με προγραμματισμό (coding)! 59

Πρόβλημα (1/2) Σχήμα 14: Σχηματική απεικόνιση προβλήματος Έχουμε ένα ποτάμι και 3 εργοστάσια που ανήκουν στην ίδια εταιρεία και φτιάχνουν διαφορετικά προϊόντα (που χρειάζονται όσο περισσότερο νερό γίνεται στη διαδικασία παραγωγής). Εργοστάσια j= 1, 2 and 3 Κατανομή νερού xj. 60

Πρόβλημα (1/2) Ποια κατανομή μεγιστοποιεί το συνολικό καθαρό κέρδος της εταιρείας; (Σj NBj(xj). Το συνολικό νερό περιορίζεται σε μια ποσότητα Q = 10. Σχήμα 15: Διαγράμματα με τις τιμές μονάδας για κάθε προϊόν του προβλήματος 61

Το παράδειγμα κατανομής νερού σε χρήστες Ο ΔΠ μπορεί να παρουσιαστεί σαν γράφημα Κάθε κόμβος πχ αναγράφει τη ποσότητα νερού που μπορεί να μοιραστεί στις άλλες εταιρείες/χρήστες νερού (που είναι οι σύνδεσμοι προς τα δεξιά. Κάθε σύνδεσμος ενώνει δύο κόμβους: έναν αριστερά (πριν την απόφαση) και έναν δεξιά (μετά την απόφαση) x1=0:2, x2=3:5 και x3=4:6 Σχήμα 16: Ο δυναμικός προγραμματισμός σε μορφή γραφήματος 62

Καταμερισμός Νερού Καθαρό κέρδος Σχήμα 17: Γράφημα δυναμικού προγραμματισμού με τον καταμερισμό του νερού Σχήμα 18: Γράφημα δυναμικού προγραμματισμού με τον καταμερισμό του καθαρού κέρδους Ας υποθέσουμε ότι x1=0:2, x2=3:5 και x3=4:6 (επειδή ξέρουμε τη λύση!) 63

ΔΠ «Προς τα πίσω» (backward dynamic programming, BDP) Σχήμα 19: Γράφημα με τον «προς τα πίσω» δυναμικό προγραμματισμό 64

Λύση Λύση: [1,4,5] Σχήμα 20: Γραφήματα δυναμικού προγραμματισμού με την επίλυση του προβλήματος 65

ΔΠ «Προς τα μπρός» (forward dynamic programming, FDP) Για τον FDP σε κάθε κόμβο πρέπει να υπολογίσουμε τη καλύτερη τιμή της αντικειμενικής που θα μπορούσαμε να πάρουμε από όλες τις παλιές αποφάσεις που οδηγούν στον κόμβο αυτό. Δηλαδή, πρέπει να βρούμε το καλύτερο τρόπο μετακίνησης από την αρχή προς το τέλος του κάθε Stage. Σχήμα 21: Γράφημα με τον «προς τα μπρός» δυναμικό προγραμματισμό 66

Σε πίνακες Ένας πίνακας για κάθε φάση Σχήμα 22: Μετατροπή γραφήματος δυναμικού προγραμματισμού σε πίνακες 67

Διαστατικότητα Ένα προφανές πρόβλημα του ΔΠ είναι η δυνατότητά του να χειριστεί πολλές μεταβλητές κατάστασης (state variables). Στο πρόβλημά μας είχαμε μόνο μια: το συνολικό νερό που έπρεπε να κατανεμηθεί. Θα μπορούσε όμως να έχουμε και άλλες μεταβλητές πχ ενέργεια, ή πρώτες ύλες που θέλουν οι χρήστες του παραδείγματος μας. Κάθε μια μεταβλητή θα πρέπει να γίνει διακριτή. Για m διακριτές τιμές κάθε μεταβλητής, και n διαφορετικές μεταβλητές (πχ. πρώτες ύλες) υπάρχουν m n συνδυασμοί για κάθε στάδιο (stage). Αυτή η εκθετική αύξηση πολυπλοκότητας ονομάζεται η «κατάρα της διαστατικότητας» (curse of dimensionality). 68

Πρόβλημα Χρησιμοποιείστε ΔΠ για να μοιράσετε νερό σε 3 χρήστες με δεδομένο ότι η κατανομή νερού xj, σε κάθε χρήση j έχει τα ακόλουθα οφέλη: R(x1) = (12x 1 x 12 ), R(x2) = (8x 2 x 22 ) R(x3) = (18x 3 3x 32 ). Υποθέστε ότι η αντικειμενική είναι max (TotalR(X)) και ότι το συνολικό νερό είναι (α) 3, (β) 4. 69

Ένα ακόμα πρόβλημα ΔΠ: το πρόβλημα Επεκτάσεις: όγκους ταμιευτήρων, παροχετευτικότητες υδραγωγείων, αριθμό γεωτρήσεων της επέκτασης Το πρόβλημα: Πότε και πόσο να επεκτείνουμε την υπό εξέταση υποδομή; Ώστε να έχω στο τέλος της περιόδου τη ζητούμενη υποδομή με το ελάχιστο κόστος Σχήμα 23: Διάγραμμα με την αναγκαία και πιθανή επέκταση της χωρητικότητας στον χρόνο οικονομίες κλίμακας Σχήμα 24: Διάγραμμα προστιθέμενης χωρητικότητας με το κόστος 70

Οι βασικές εξισώσεις του προβλήματος βελτιστοποίησης Αν C(s t, x t ) είναι το κόστος για επέκταση της αρχικής υποδομής με χωρητικότητα s t, κατά x t, εντός του χρονικού διαστήματος t, ώστε να φτάνουμε τη ζήτηση Του διαστήματος (D t ). Τότε θέλουμε: Ισχύει: Περιορισμοί επιτρεπτής επέκτασης (π.χ. διαστάσεις αγωγών) 71

Το πρόβλημα της επέκταση ως πρόβλημα ΔΠ Οι φάσεις (βήματα) είναι τα χρονικά διαστήματα (t). Κόμβοι είναι τα s t+1 στο τέλος της φάσης (προς τα εμπρός επίλυση). Οι πολλαπλές διαδρομές αντιστοιχούν σε διαφορετικά σχέδια επέκτασης. Ας υποθέσουμε ότι f t (s t+1 ) είναι το ελάχιστο κόστος για να έχουμε επέκταση σε s t+1 μετά το τέλος του διαστήματος t Σχήμα 25: Γράφημα δυναμικού προγραμματισμού με το πρόβλημα της επέκτασης 72

f 0 (s 1 ) = 0 Βήματα επίλυσης Σχήμα 26: Γράφημα δυναμικού προγραμματισμού με το πρόβλημα της επέκτασης 73

Ας υποθέσουμε ότι τα κόστη είναι g(x, t) και φαίνονται στο σχήμα. Ο άξονας y δίνει τη προσθήκη x Θέλουμε τη διαδρομή με το ελάχιστο κόστος Σχήμα 27: Γράφημα δυναμικού προγραμματισμού με το κόστος της προστιθέμενης χωρητικότητας 74

Επίλυση προς τα εμπρός Βέλτιστη (οικονομική) λύση είναι 23 Ποια η «βέλτιστη διαδρομή»; Σε τι είναι ευαίσθητη η λύση; Ποια απόφαση μας ενδιαφέρει να είναι λιγότερη ευαίσθητη; Σχήμα 28: Γράφημα δυναμικού προγραμματισμού με το κόστος της προστιθέμενης χωρητικότητας και τη διαδρομή ελάχιστου κόστους 75

Γραμμικός Προγραμματισμός 76

Γεωμετρία της λύσης Σχήμα 29: Διάγραμμα με τον εφικτό χώρο της λύσης 77

Επίλυση με Simplex 78

Πρόβλημα Διατυπώστε ως πρόβλημα ΓΠ τη κατασκευή μιας καμπύλης Ωφέλιμου Όγκου Εξασφαλισμένης Παροχής, για δεδομένες εισροές και δεδομένη οικολογική παροχή. 79

Πρόβλημα Έλεγχος Κατανομής Εικόνα 21: Σχηματική απεικόνιση κατανομής νερού του προβλήματος για τρεις χρήσεις Ισχύει η εξής κατανομή νερού στους χρήστες: Οι πρώτες 10 μονάδες παροχής μένουν στο ποτάμι Οι επόμενες 20 δίνονται στον Χρήστη 3. Οι επόμενες 60 μοιράζονται εξ ίσου μεταξύ των Χρηστών 1 και 2. Οι επόμενες 10 μονάδες πηγαίνουν στον Χρήστη 2. Επόμενες μονάδες παροχής παραμένουν στο ποτάμι Δεν υπάρχουν άλλες είσοδοι δεν υπάρχουν επιστροφές. Σχεδιάστε για τους 3 Χρήστες το διάγραμμα παροχής που λαμβάνουν σε σχέση με τη παροχή στο σημείου ελέγχου 80

Λύση Σχήμα 30: Διαγράμματα με την κατανομή της ροής/παροχής των τριών χρήσεων 81

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Εικόνα 3: Πλημμύρα, από http://www.scottishwater.co.uk/, CC: BY-NC-SA Εικόνα 8: Υδροσύστημα Αθήνας (ένθετες φωτογραφίες από Ε.ΥΔ.ΑΠ CC: BY) Εικόνα 10: Κάτοψη συνοικίας Λονδίνου με προσδιορισμό της πηγής της χολέρας ( "Υλικό με μη προσδιορισμένη προέλευση. Σε περίπτωση που είστε ο κάτοχος του κύριου δικαιώματος επικοινωνήστε μαζί μας.") και διάγραμμα με τον αδιάστατο συντελεστή αντίστασης Chezy παρατηρημένο και υπολογισμένο. Σχήμα 5: Παράδειγμα διαγράμματος Pareto, : "Υλικό με μη προσδιορισμένη προέλευση. Σε περίπτωση που είστε ο κάτοχος του κύριου δικαιώματος επικοινωνήστε μαζί μας." Σχήμα 13: Πίνακας με την λύση του προβλήματος με πολλαπλασιαστές Lagrange, από http://www.lindo.com/, CC: BY-NC-SA 82

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ε.Μ.Π.» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.