ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίυ (Ελευθερίυ Βενιζέλυ) 3 06 79 ΑΘΗΝΑ email: info@hms.gr web: www.hms.gr Πρόβλημα ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 79 ς ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ «Ο ΘΑΛΗΣ» 0 Νεμβρίυ 08 ΤΑΞΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να υπλγίσετε την τιμή της αριθμητικής παράστασης: 0 0 0 8 Α 08 00 0 Πρόβλημα Ο Νίκς αγόρασε μήλα από τα πία τ βαρύτερ ζυγίστηκε πρώτ και ήταν 0 γραμμάρια. Στη συνέχεια ζυγίστηκε τ δεύτερ μήλ και μέσς όρς τυ βάρυς των δύ πρώτων μήλων ήταν γραμμάρια. Στη συνέχεια ζυγίστηκε τ τρίτ μήλ και παρατήρησε ότι μέσς όρς τυ βάρυς των τριών μήλων ήταν μικρότερς από τν πρηγύμεν μέσ όρ τυ βάρυς των δύ πρώτων μήλων κατά 0 γραμμάρια. Τέλς όταν ζυγίστηκε τ τέταρτ μήλ παρατήρησε ότι μέσς όρς τυ βάρυς των τεσσάρων μήλων ήταν επίσης μικρότερς κατά 0 γραμμάρια από τν πρηγύμεν μέσ όρ τυ βάρυς των τριών μήλων. Να βρείτε πόσα γραμμάρια ήταν καθένα από τα τρία μήλα πυ ζυγίστηκαν μετά τ πρώτ. α α αν Σημείωση: Ο μέσς όρς ν αριθμών α,α,,α ν είναι αριθμός. ν Πρόβλημα 3 Να βρείτε όλες τις τιμές τυ ακεραίυ α, για τις πίες η εξίσωση x x α x x 6 ακέραιες λύσεις. Πρόβλημα Στ διπλανό σχήμα τ τρίγων ΑΒΓ είναι ισσκελές με ΑΒ ΑΓ, Α 0 και για τ σημεί Δ ισχύει ότι ΔΑ ΔΒ ΔΓ. Αν η ΓΜ είναι παράλληλη στην ΑΔ και τ τρίγων ΑΒΕ είναι ισσκελές με ΑΒ ΑΕ, να απδείξετε ότι: α) Η ΑΔ είναι διχτόμς της γωνίας Α. β) ΓΑΕ 00. γ) Η ΑΜ είναι κάθετη στη ΓΕ. Κάθε θέμα βαθμλγείται με μνάδες. Διάρκεια διαγωνισμύ: 3 ώρες. Καλή επιτυχία! Δ. Σπαθάρας, τ. Σχλικός Σύμβυλς Μαθηματικών www.pe03.gr έχει
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Πρόβλημα - Απάντηση Έχυμε: 0 0 0 8 Α 08 00 0 0 0 0 8 08 00 0 0 08 00 0 0 08 0 08 0 00 00 00 Πρόβλημα - Απάντηση Ονμάζυμε Α τ βάρς σε γραμμάρια τυ πρώτυ μήλυ, Β τυ δεύτερυ, Γ τυ τρίτυ και Δ τυ τέταρτυ. Τ πρώτ μήλ ήταν 0 γραμμάρια, πότε Α 0. Τ βάρς από τα άλλα μήλα ήταν: Μετά τη ζύγιση τυ δεύτερυ μήλυ έχυμε: Α Β 0 Β 30 Β 30 0 Β 0 Επμένως τ δεύτερ μήλ ήταν 0 γραμμάρια. Μετά τη ζύγιση τυ τρίτυ μήλυ έχυμε: Α Β Γ 0 3 Α Β Γ 0 3 0 0 Γ 3 Γ 3 0 0 Γ 8 Επμένως τ τρίτ μήλ ήταν 8 γραμμάρια. Μετά τη ζύγιση τυ τέταρτυ μήλυ έχυμε: Α Β Γ Δ 0 0 Α Β Γ Δ 9 0 0 8 Δ 380 Δ 380 0 0 8 Δ 6 Επμένως τ τέταρτ μήλ ήταν 6 γραμμάρια. Δ. Σπαθάρας, τ. Σχλικός Σύμβυλς Μαθηματικών www.pe03.gr
Πρόβλημα 3 - Απάντηση Α τρόπς Πρέπει x και x 6. Έχυμε διαδχικά: x x α x x 6 (x )(x 6) (x )(x α) x 6x x 6 x αx x α αx x α 6 (α )x α 6 Αν α τότε η εξίσωση γίνεται 0x πυ είναι αδύνατη. Αν α τότε α 6 x. Η παράσταση αυτή γίνεται: α α 6 α 0 α 0 (α ) x α α α α α α α Οι ακέραιι α για τυς πίυς αριθμός x είναι ακέραις, είναι αυτί πυ α παρνμαστής α να είναι διαιρέτης τυ, δηλαδή να είναι ένας από τυς αριθμύς,,. Αν α, τότε α 6, πότε x 6 πυ απρρίπτετε. 6 Αν α, τότε α, πότε x πυ είναι δεκτή. Αν α, τότε α 7, πότε x πυ είναι δεκτή. 7 Αν α, τότε α 3, πότε x 0 πυ είναι δεκτή. 3 Αν α, τότε α 9, πότε x 3 πυ είναι δεκτή. 9 Αν α, τότε α, πότε x πυ είναι δεκτή. Τελικά ι τιμές τυ ακέραιυ α για τις πίες η εξίσωση έχει ακέραιες λύσεις είναι: Β τρόπς Πρέπει x και x 6. Έχυμε διαδχικά: α ή α 3 ή α ή α 7 ή α 9 x x α x x 6 (x )(x 6) (x )(x α) x 6x x 6 x αx x α αx α x 6 (x )α x 6 Δ. Σπαθάρας, τ. Σχλικός Σύμβυλς Μαθηματικών www.pe03.gr 3
Επειδή x είναι α x 6. Η παράσταση αυτή γίνεται: x x 6 x 0 (x ) α x x x x x Εφόσν αριθμός x είναι ακέραις, αριθμός α είναι ακέραις, όταν x παρνμαστής x να είναι διαιρέτης τυ, δηλαδή να είναι ένας από τυς αριθμύς,,. Αν x, τότε x 3, πότε α 9. 3 Αν x, τότε x, πότε α. Αν x, τότε x, πότε α 7. Αν x, τότε x 0, πότε α 3. 0 Αν x, τότε x 6, η πία απρρίπτετε. Αν x, τότε x, πότε α Τελικά ι τιμές τυ ακέραιυ α για τις πίες η εξίσωση έχει ακέραιες λύσεις είναι: Πρόβλημα Απάντηση Α τρόπς α) Έχυμε: α ή α 3 ή α ή α 7 ή α 9 ΑΒ ΑΓ, άρα τ Α ανήκει στη μεσκάθετη τυ τμήματς ΒΓ. ΔΒ ΔΓ, άρα τ Δ ανήκει στη μεσκάθετη τυ τμήματς ΒΓ. Όμως δύ σημεία ρίζυν τη θέση μιας μόν ευθείας. Επμένως η ΑΔ είναι μεσκάθετη της πλευράς ΒΓ τυ ισσκελύς τριγώνυ ΑΒΓ και κατά συνέπεια είναι διχτόμς της γωνίας Α, δηλαδή Α Α 0. β) Έχυμε: Τ τρίγων ΑΔΒ είναι ισσκελές επειδή ΔΑ ΔΒ, πότε Α Β. Όμως Α 0 πότε Β 0. Τ τρίγων ΑΒΕ είναι ισσκελές με ΑΒ ΑΕ, πότε Β Ε 0. Στ τρίγων ΑΒΕ για τη γωνία τυ Για τη γωνία ΓΑΕ έχυμε: ΒΑΕ έχυμε ΓΑΕ ΒΑΕ Α 0 0 00 ΒΑΕ 80 0 0 0. Δ. Σπαθάρας, τ. Σχλικός Σύμβυλς Μαθηματικών www.pe03.gr
γ) Έχυμε: Τ τρίγων ΑΓΕ είναι ισσκελές διότι ΑΒ ΑΕ, άρα και ΑΓ ΑΕ. Επμένως: 80 00 80 ΑΓΕ ΑΕΓ 0 Ισχύει Γ Α διότι είναι εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΔ ΓΜ πυ τέμννται από την ΑΓ. Άρα Γ 0, πότε: Επίσης έχυμε: Γ ΑΓΕ Γ 0 0 0 Ε ΑΕΓ Ε 0 0 0 Από τα παραπάνω πρκύπτει ότι Γ Ε, πότε τ τρίγων ΜΕΓ είναι ισσκελές με ΜΓ ΜΕ. Δηλαδή τ Μ ισαπέχει από τα Γ και Ε, άρα ανήκει στη μεσκάθετη τυ ΓΕ. Επίσης τ Α ισαπέχει από τα Γ και Ε, αφύ ΑΓ ΑΕ, άρα ανήκει και αυτό στη μεσκάθετη τυ ΓΕ. Επμένως η ΑΜ είναι μεσκάθετη τυ ΓΕ, συνεπώς ΑΜ ΓΕ. Β τρόπς α) Τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΑΔΓ είναι ίσα διότι έχυν τη πλευρά ΔΑ κινή, ΔΒ ΔΓ και ΑΒ ΑΓ. Επμένως Α Α πυ σημαίνει ότι η ΑΔ είναι διχτόμς της γωνίας Α. β) Έχυμε: Η ΑΔ είναι διχτόμς της γωνίας Α, 0 πότε Α Α 0. Τ τρίγων ΑΔΒ είναι ισσκελές επειδή ΔΑ ΔΒ, πότε Α Β. Όμως Α 0 πότε Β 0. 80 0 0 Τ τρίγων ΑΒΓ είναι ισσκελές, πότε ΑΒΓ ΑΓΒ 70 Β ΑΒΓ Β 70 0 0 Για τη γωνία Β είναι.. Έστω κύκλς με κέντρ Α και ακτίνα ΑΒ, πίς διέρχεται από τα σημεία Γ και Ε διότι ΑΒ ΑΓ ΑΕ. Στν κύκλ αυτόν η γωνία ΓΑΕ είναι επίκεντρη πυ βαίνει στ τόξ ΓΕ και η γωνία Β είναι εγγεγραμμένη πυ βαίνει στ ίδι τόξ. Επμένως: γ) Έχυμε: ΓΑΕ Β 0 00 Τ τρίγων ΑΒΕ είναι ισσκελές πότε Ε Β, δηλαδή Ε 0. Η γωνία Α είναι επίκεντρη τυ κύκλυ πυ βαίνει στ τόξ ΒΓ και η γωνία Ε Α 0 είναι εγγεγραμμένη πυ βαίνει στ ίδι τόξ. Επμένως Ε 0. Δ. Σπαθάρας, τ. Σχλικός Σύμβυλς Μαθηματικών www.pe03.gr
Άρα η ΕΜ είναι διχτόμς της γωνίας ΑΕΓ διότι Ε Ε. Επίσης έχυμε: Ισχύει Γ Α διότι είναι εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΔ ΓΜ πυ τέμννται από την ΑΓ. Άρα Γ 0. Τ τρίγων ΑΓΕ είναι ισσκελές διότι ΑΒ ΑΕ, άρα και ΑΓ ΑΕ. Επμένως: Για τη γωνία Γ έχυμε 80 00 80 ΑΓΕ ΑΕΓ 0 Γ ΑΓΕ Γ 0 0 0. Άρα η ΓΜ είναι διχτόμς της γωνίας ΑΓΕ διότι Γ Γ. Αυτό σημαίνει ότι ι διχτόμι των πρσκείμενων στη βάση ΓΕ γωνιών ΑΕΓ και ΑΓΕ τυ ισσκελύς τριγώνυ ΑΓΕ τέμννται στ σημεί Μ. Επμένως και η τρίτη διχτόμς τυ τριγώνυ ΑΓΕ, από την κρυφή Α, διέρχεται από τ Μ. Στ ισσκελές τρίγων όμως η διχτόμς πρς τη βάση είναι και ύψς, πότε ΑΜ ΓΕ. 6 Δ. Σπαθάρας, τ. Σχλικός Σύμβυλς Μαθηματικών www.pe03.gr