9 ο Πανελλήνιο Συμπόσιο Ωκεανογραφίας & Αλιείας 2009 - Πρακτικά, Τόμος Ι ΚΑΤΑΤΜΗΣΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΩΝ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΥ ΥΨΟΥΣ ΚΥΜΑΤΟΣ Σουκισιάν Τ., Φωτιάδου Χ. Ινστιτούτο Ωκεανογραφίας, Ελληνικό Κέντρο Θαλάσσιων Ερευνών, tsouki@ath.hcmr.gr, cphotiadou@gmail.com Περίληψη Η εργασία αυτή αναφέρεται στην ανάλυση των μακροπρόθεσμων διακυμάνσεων χρονοσειρών σημαντικού ύψους κύματος H S (τ), με χρήση του αλγόριθμου κατάτμησης bottom-up. Ο αλγόριθμος bottom-up, με κατάλληλες τροποποιήσεις, μπορεί να παράγει τη στοχαστική ακολουθία των αναπτυσσόμενων, αποσβενύμενων και στάσιμων καταστάσεων θάλασσας καθώς και τις αντίστοιχες διάρκειες τους. Η αριθμητική διαδικασία συνίσταται στη γραμμική κατά τμήματα προσέγγιση της χρονοσειράς H S (τ) με χρήση κριτηρίων μονοτονικότητας και ενός σταθερού μέγιστου επιτρεπόμενου σφάλματος (ΜΕΣ), το οποίο αντιστοιχεί στο σφάλμα γραμμικής αναπαράστασης με τη μέθοδο των ελάχιστων τετραγώνων. Η μέθοδος προτάθηκε και εφαρμόσθηκε αρχικά από τους Soukissian, Samalekos (2006), οι οποίοι υιοθέτησαν ένα σταθερό ΜΕΣ. Δεδομένου όμως ότι το ΜΕΣ διαμορφώνει ουσιαστικά τη διάρκεια μιας κατάστασης θάλασσας καθώς και τη συνολική ποιότητα της ευθείας παλινδρόμησης, στην παρούσα εργασία μελετάται η επίδραση του ΜΕΣ στη διάρκεια, την κλίση και την ένταση των παραγόμενων καταστάσεων θάλασσας από τη χρονοσειρά H S (τ). Λέξεις κλειδιά: αναπτυσσόμενες, αποσβενύμενες, στάσιμες καταστάσεις θάλασσας, διάρκεια. SEGMENTATION ANALYSIS OF LONG TERM SIGNIFICANT WAVE HEIGHT TIME SERIES Soukissian T., Photiadou C. Institute of Oceanography, Hellenic Centre for Marine Research, tsouki@ath.hcmr.gr, cphotiadou@gmail.com Abstract This paper deals with the long-term variation analysis of significant wave height time series H S (τ), using the bottom up segmentation algorithm. This algorithm, through appropriate modifications, produces the sequence of developing, decaying and stationary sea states and their associated durations from H S (τ). The procedure is implemented by using a piecewise linear representation for the H S (τ) time series (by applying monotonicity criteria) and a constant Maximum Allowed Error (MAE) corresponding to the representation error obtained from the method of least squares. This approach was implemented for the first time in Soukissian, Samalekos (2006), who adopted a constant MAE. Since the sea state duration as well as the overall quality of the linear fit are strongly dependent on MAE, in this paper a detailed sensitivity analysis of the effect of the MAE on the duration, the slope and intensity of the obtained sea states is made. Keywords: developing, decaying, stationary sea states; sea state duration. 1. Εισαγωγή Η ανάλυση των διαρκειών καταστάσεων θάλασσας (κθ) συχνά αποτελεί απαραίτητη διαδικασία για τη μελέτη της μεταβλητότητας των κυματικών συνθηκών σε μία περιοχή και κατά συνέπεια παρέχει σημαντικές πληροφορίες σε διάφορες εφαρμογές (όπως π.χ., επιχειρησιακή ωκεανογραφία, μοντελοποίηση κυματικού κλίματος και πρόγνωση ακραίων κυματισμών). Στη σχετική επιστημονική βιβλιογραφία διακρίνονται δύο είδη διάρκειας κθ: ι) Διάρκεια στάσιμων κθ και ιι) διάρκεια καταιγίδων. Στην πρώτη περίπτωση, η διαδικασία συνίσταται στην μοντελοποίηση της H S (τ) ως γραμμικής κατά τμήματα στάσιμης διαδικασίας (Soukissian & Theochari, 2001). Στη δεύτερη περίπτωση, λαμβάνεται υπόψη η διάρκεια των κθ πάνω από μία συγκεκριμένη τιμή του κατωφλιού (Anastasiou& Tsekos, 1996; Sobey & Orloff, 1999; Jenkins, 2001). Η πρώτη περίπτωση είναι πιο γενική και περιλαμβάνει τη δεύτερη ως ειδική περίπτωση. Οι Soukissian & Samalekos (2006), πρότειναν και εφάρμοσαν μία νέα προσέγγιση για τη μελέτη των κθ και των αντίστοιχων διαρκειών -523-
-524-9 th Symposium on Oceanography & Fisheries, 2009 - Proceedings, Volume Ι τους: οι κθ κατηγοριοποιούνται σε αναπτυσσόμενες, αποσβενύμενες και στάσιμες. Το κριτήριο κατάταξης ήταν η κλίση της ευθείας παλινδρόμησης σε κατάλληλα επιλεγμένα τμήματα της H S (τ): θετική κλίση αντιστοιχεί σε αναπτυσσόμενη κθ, αρνητική σε αποσβενύμενη και μία κλίση πολύ κοντά στο μηδέν σε στάσιμη. Τα τμήματα της H S (τ) παρήχθησαν με χρήση του αλγόριθμου κατάτμησης bottom-up. Η σημαντικότερη παράμετρος σε αυτή την διαδικασία είναι το Μέγιστο Επιτρεπόμενο Σφάλμα (ΜΕΣ). Το ΜΕΣ δεν θα πρέπει να υπερβαίνεται από το σφάλμα των ελάχιστων τετραγώνων το οποίο προκύπτει από την προσαρμογή της ευθείας παλινδρόμησης σε κάθε ένα από τα υποψήφια τμήματα. Η τιμή του ΜΕΣ καθορίζει το μήκος του κάθε τμήματος (δηλαδή την διάρκεια κάθε κθ) καθώς και την συνολική ποιότητα της ευθείας προσαρμογής. Διαφορετικές τιμές του ΜΕΣ δίνουν διαφορετικά χρονικά τμήματα (διάρκειες) και σημεία αλλαγής (break points), με αποτέλεσμα να έχουμε διαφορετικές διάρκειες αναπτυσσόμενων, αποσβενύμενων και στάσιμων κθ. Απ όσο είμαστε σε θέση να γνωρίζουμε, δεν υπάρχει στη σχετική επιστημονική βιβλιογραφία της κατάτμησης χρονοσειρών μια πλήρης ανάλυση της επίδρασης του ΜΕΣ στα παραγόμενα αποτελέσματα καθώς επίσης και στον τρόπο που αυτό επιλέγεται. Σε αυτή την εργασία, μελετάται η επίδραση του ΜΕΣ στην ανάλυση των διαρκειών των κθ. Στο επόμενο κεφάλαιο παρουσιάζεται το πρόβλημα της κατάτμησης μίας χρονοσειράς και ο αντίστοιχος αλγόριθμος bottom-up. Στη συνέχεια, εφαρμόζεται ο αλγόριθμος σε μια χρονοσειρά σημαντικού ύψους κύματος H S (τ) χρησιμοποιώντας διαφορετικές τιμές του ΜΕΣ και εξετάζεται αναλυτικά η επίδρασή του στα αποτελέσματα. Τέλος, παρουσιάζονται ορισμένες προτάσεις για μελλοντική έρευνα. 2. Μεθοδολογία Στόχο κάθε αλγόριθμου κατάτμησης αποτελεί ο εντοπισμός ομοιογενών διαστημάτων σε μία δοθείσα χρονοσειρά. Σε αυτή την εργασία η ομοιογένεια περιγράφεται από την κλίση του κάθε τμήματος της H S (τ). Το πρόβλημα κατάτμησης της H S (τ), η επιλογή και ανάλυση του μοντέλου αναπαράστασης και του συνολικού σφάλματος αναπαράστασης όπως επίσης και τα κύρια βήματα του αλγόριθμου bottom-up που χρησιμοποιείται εδώ περιγράφονται αναλυτικά στο Soukissian, Samalekos (2006). Τα δεδομένα της H S (τ) παρουσιάζουν εναλλασσόμενες αυξητικές και μειωτικές τάσεις και το μοντέλο της γραμμικής παλινδρόμησης θεωρείται κατάλληλο για να ανιχνεύσει αυτά τα χαρακτηριστικά. Για περισσότερες λεπτομέρειες Makridakis et al., (1998), Soukissian & Samalekos (2006). Ο κώδικας του αλγόριθμου κατάτμησης bottom-up περιγράφεται ως εξής: 1. Αρχική κατάτμηση της H S (τ) και παραγωγή σειράς (ακολουθίας) βασισμένης στα πρόσημα των διαφορών μεταξύ των διαδοχικών τιμών της H S (τ). 2. Τα ΜΕΣ που χρησιμοποιούνται είναι τα ακόλουθα: 0.01, 0.03, 0.05, 0.1-2.0(0.1), 2.5 και 3.0. Το ΜΕΣ κάθε τμήματος υπολογίζεται από τη σχέση: e n= s ( ˆ ) 2 hn hn ΜΕΣ =, (1) 3. όπου h n είναι οι τιμές της χρονοσειράς στο τμήμα i και h η αντίστοιχη εκτίμηση από την ˆn ευθεία παλινδρόμησης. 4. Προσαρμογή της ευθείας παλινδρόμησης στα δεδομένα κάθε τμήματος και υπολογισμός του συνολικού σφάλματος αναπαράστασης. 1. Εύρεση του βέλτιστου αριθμού τμημάτων με την ελαχιστοποίηση του συνολικού σφάλματος
9 ο Πανελλήνιο Συμπόσιο Ωκεανογραφίας & Αλιείας 2009 - Πρακτικά, Τόμος Ι αναπαράστασης. 2. Εύρεση σφάλματος αναπαράστασης για ενδεχόμενη συγχώνευση δύο διαδοχικών τμημάτων. Όταν το σφάλμα αυτό είναι μικρότερο από το ΜΕΣ, γίνεται η συγχώνευση των δύο τμημάτων, ενημερώνονται τα σημεία αλλαγής, προσαρμόζεται εκ νέου η ευθεία παλινδρόμησης στα νέα δεδομένα και υπολογίζεται ξανά το σφάλμα αναπαράστασης. 3. Αποθήκευση των δεικτών των τμημάτων μαζί με τα αντίστοιχα αρχικά και τελικά σημεία, τις διάρκειες και κλίσεις κάθε τμήματος. Η χρήση του αλγόριθμου bottom-up, σε συνδυασμό με την εφαρμογή ενός κριτηρίου για την στασιμότητα, επιτρέπει την παραγωγή αναπτυσσόμενων, αποσβενύμενων και στάσιμων κθ, που χαρακτηρίζονται από τις μεταβλητές H S,B και H S,E (σημαντικό ύψος κύματος στην αρχή και το τέλος μιας κθ αντίστοιχα), τη κλίση b και την αντίστοιχη διάρκεια Δτ, όπως υπολογίζονται απευθείας από την ευθεία παλινδρόμησης και τέλος τη μεταβλητή HS = HS, B HS, E. Για την εξαγωγή των στάσιμων κθ από τις ακολουθίες των αναπτυσσόμενων και αποσβενύμενων καταστάσεων, εφαρμόστηκε το ακόλουθο κριτήριο στασιμότητας: Μία αναπτυσσόμενη (αποσβενύμενη) κθ είναι περίπου στάσιμη αν HS, E 1.15HS, B (αντίστοιχα αν HS, B 1.15H ), (Athanassoulis et al., 1992). Τέλος, S, E έγινε συγχώνευση διαδοχικών αναπτυσσόμενων και διαδοχικών αποσβενύμενων κθ και άθροιση των αντίστοιχων διαρκειών, για να ληφθεί ο τελικός πληθυσμός των τριών ειδών κθ. 3. Αριθμητικά αποτελέσματα Η χρονοσειρά H S (τ) που χρησιμοποιείται στην παρούσα ανάλυση έχει μήκος περίπου 30 έτη (65535 παρατηρήσεις με διάστημα καταγραφής 3 ώρες) και είναι διαθέσιμη από το US NOAA s NDBC. Τα δεδομένα προέρχονται από τον πλωτήρα 44004 που βρίσκεται κοντά στο New Jersey σε βάθος 3182 m. Στην τριάδα ( HS, t, b) που χαρακτηρίζει γενικά μια κθ, ο δείκτης + θα αντιστοιχεί σε μία αναπτυσσόμενη, ο δείκτης σε μία αποσβενύμενη και ο δείκτης 0 σε μία στάσιμη. 3.1 ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑ ΑΝΑΠΤΥΣΣΟΜΕΝΩΝ, ΑΠΟΣΒΕΝΥΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΣΙΜΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΘΑΛΑΣΣΑΣ Στην Εικόνα 1 παρουσιάζονται οι ρυθμοί μεταβολής του δειγματικού μεγέθους, των μέσων τιμών των H S, B και H S, E, της μέσης διάρκειας και της κλίσης των τριών κθ σε σχέση με το ΜΕΣ. Ειδικότερα, από την Εικόνα 1(a) βλέπουμε ότι καθώς το ΜΕΣ αυξάνει, οι πληθυσμοί των τριών ειδών κθ μειώνονται. Στην Εικόνα 1(b) παρατηρείται ότι, καθώς το MΕΣ αυξάνεται, οι μέσες τιμές των H + S, E και H S, B αυξάνονται, ενώ των H S, E και, μειώνονται. Στο Εικόνα 1(c) φαίνεται ότι καθώς το ΜΕΣ αυξάνει, οι μέσες τιμές των διαρκειών κθ αυξάνονται. Η μέση διάρκεια των αποσβενύμενων είναι μεγαλύτερη από την αντίστοιχη των αναπτυσσόμενων κθ, κάτι που είναι λίγοπολύ αναμενόμενο, δεδομένου ότι ο ρυθμός ανάπτυξης μίας κθ είναι μεγαλύτερος από το ρυθμό απόσβεσης της. Τέλος, στην Εικόνα 1(d) φαίνεται ο ρυθμός μεταβολής του b σε σχέση με το ΜΕΣ, απ H + S B. Επισημαίνεται ότι το μικρό εύρος των διακυμάνσεων των κλίσεων για τις αναπτυσσόμενες και αποσβενύμενες κθ οφείλεται πιθανότατα σε μια ανάλογη συμπεριφορά των αντίστοιχων ανεμολογικών πεδίων. όπου προκύπτει ότι b + [ 0.15, 0.17], b [ 0.09, 0.12] και b 0 [ 0.0009, 0.007] 3.2 ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΠΡΟΣΑΥΞΗΣΕΩΝ Hs ΚΑΙ ΤΩΝ ΔΙΑΡΚΕΙΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΘΑΛΑΣΣΑΣ Σε αυτό το εδάφιο εξετάζεται η στοχαστική συμπεριφορά των προσαυξήσεων H S των σημαντικών υψών καθώς και των διαρκειών των αναπτυσσόμενων, αποσβενύμενων και στάσιμων κθ. Στην Εικόνα 2 παρουσιάζονται τα ιστογράμματα των H + S και H S καθώς και οι προσαρμοσμένες -525-
9 th Symposium on Oceanography & Fisheries, 2009 - Proceedings, Volume Ι (a) (b) (c) Εικ. 1: Ρυθμός μεταβολής σε σχέση με το ΜΕΣ: (a) του δειγματικού μεγέθους, (b) της μέσης τιμής του αρχικού και τελικού σημαντικού ύψους κύματος των τμημάτων, (c) της μέσης διάρκειας και (d) της κλίσης, των τριών καταστάσεων θάλασσας. (d) Εικ. 2: Ιστογράμματα των Hs για (a) αναπτυσσόμενες και (b) αποσβενύμενες καταστάσεις θάλασσας μαζί με τις προσαρμοσμένες κατανομές log-normal και Gamma, αντίστοιχα, για ΜΕΣ = 1.6. κατανομές log-normal και Gamma, αντίστοιχα, για ΜΕΣ = 1.6. Παρατηρούμε ότι και τα δύο ιστογράμματα, χαρακτηρίζονται από την ίδια πιθανότερη τιμή που βρίσκεται στο διάστημα [ 1.0,2.0m ]. -526-
9 ο Πανελλήνιο Συμπόσιο Ωκεανογραφίας & Αλιείας 2009 - Πρακτικά, Τόμος Ι (a) (b) Εικ. 3: Ιστογράμματα των διαρκειών των (a) αναπτυσσόμενων, (b) αποσβενύμενων και (c) στάσιμων καταστάσεων θάλασσας μαζί με την προσαρμοσμένη κατανομή Gamma για ΜΕΣ = 0.4. Στην Εικόνα 3 παρουσιάζονται τα ιστογράμματα των διαρκειών των τριών ειδών κθ μαζί με την προσαρμοσμένη κατανομή Gamma, για ΜΕΣ=0.4. Σημειώνεται, ότι δεν υπάρχει κανένας θεωρητικός λόγος για να αιτιολογήσει είτε τη χρήση της κατανομής Gamma είτε οποιασδήποτε άλλης κατανομής για την περιγραφή της διάρκειας των κθ και των προσαυξήσεων του σημαντικού ύψους κύματος. 4. Συμπεράσματα - Συζήτηση Η εργασία αυτή αναφέρεται στην ανάλυση των μακροχρόνιων διακυμάνσεων χρονοσειρών σημαντικού ύψους κύματος H S (τ), με χρήση του αλγόριθμου bottom-up. Τα αποτελέσματα που βρέθηκαν δείχνουν έντονη εξάρτηση από το μέγιστο επιτρεπόμενο σφάλμα (ΜΕΣ). Γενικά, καθώς το ΜΕΣ παίρνει μεγαλύτερες τιμές, ο αλγόριθμος παράγει μεγαλύτερα (σε μήκος) τμήματα (με μεγαλύτερες διάρκειες) με αποτέλεσμα να μεταβάλλονται οι πληθυσμοί των τριών ειδών κθ και οι αντίστοιχες διάρκειες τους καθώς και οι προσαυξήσεις του σημαντικού ύψους κύματος. Για ΜΕΣ 2.0 η μέση διάρκεια αυξάνεται με μεγαλύτερο ρυθμό. Είναι εμφανές ότι η καλύτερη αναπαράσταση της H S (τ) λαμβάνεται από σχετικά μικρές τιμές του ΜΕΣ. Σε αυτές τις περιπτώσεις ο αλγόριθμος ελαχιστοποιεί την πιθανότητα συγχώνευσης πολυάριθμων διαδοχικών τμημάτων. Μερικά κρίσιμα σημεία που μπορεί να βελτιώσουν τα αποτελέσματα του αλγόριθμου κατάτμησης bottom-up είναι η αρχική εξαγωγή των στάσιμων διαστημάτων από τη H S (τ) καθώς και η εξέταση άλλων μεθόδων για τον καθορισμό του σφάλματος αναπαράστασης, Lemire (2006). Τέλος, θα πρέπει να δοκιμαστούν εναλλακτικοί αλγόριθμοι κατάτμησης (sliding window και top-down) και να αξιολογηθούν τα παραγόμενα αποτελέσματα. 5. Βιβλιογραφικές Αναφορές Anastasiou, K. & Tsekos, C., 1996. Persistence statistics of marine environmental parameters from Markov theory, Part I: analysis in discrete time. Applied Ocean Research, Vol 18: 187-199. Athanassoulis, G.A., Vranas, P.B. & Soukissian, T.H., 1992. A New model for long-term stochastic analysis and prediction, Part I: Theoretical Background. Journal of Ship Research, Vol 36 (1): 1-16. Jenkins, A.D., 2001. Wave Duration/Persistence Statistics, Recording Interval and Fractal Dimension. International Journal of Offshore and Polar Engineering, Vol 12: 109-113. Lemire, D., 2006. A Better Alternative to Piecewise Linear Time Series Segmentation. Technical Report. Makridakis, S., Wheelwright, S.C. & Hyndman, R.J., 1998. Forecasting. Methods and Applications. John Wiley & Sons Inc. Sobey, R.J. & Orloff, LS., 1999. Intensity-duration-frequency summaries for wave climate. Coastal Engineering, (36): 37-58. (c) -527-
9 th Symposium on Oceanography & Fisheries, 2009 - Proceedings, Volume Ι Soukissian, T.H. & Samalekos, P.E., 2006. Analysis of the duration and intensity of sea states using segmentation of significant wave height time series. International Offshore and Polar Engineering Conference, Vol. III: 107-113. Soukissian, T.H. & Theochari, Z., 2001. Joint Occurrence of sea states and associated durations. International Offshore and Polar Engineering Conference, Vol. III: 33. -528-