ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΗ - ΣΤΑΣΙΜΩΝ ΑΚΡΑΙΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ANALYSIS OF NON-STATIONARY EXTREME WAVES

Transcript

1 9 ο Πανελλήνιο Συμπόσιο Ωκεανογραφίας & Αλιείας Πρακτικά, Τόμος Ι ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΗ - ΣΤΑΣΙΜΩΝ ΑΚΡΑΙΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ Γαλιατσάτου Π., Πρίνος Π. 1 Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκη, Εργαστήριο Υδραυλικής, pgaliats@civil.auth.gr, prinosp@civil.auth.gr Περίληψη Στo παρόν άρθρο επιχειρείται η ανάλυση με χρήση της τεχνικής των κυματιδίων μιας χρονοσειράς σημαντικού ύψους κύματος, στην περιοχή του Β. Αιγαίου. Το φάσμα ισχύος του κυματιδίου και το καθολικό κυματιδιακό φάσμα, χρησιμοποιούνται για την ανίχνευση των κύριων μη-στασιμοτήτων σήματος. Μια περιοδικότητα της τάξης του ενός έτους, που οφείλεται πιθανότατα στην εποχικότητα του σήματος, είναι εμφανής από την ανάλυση και παρουσιάζεται ως στατιστικά σημαντική. Αντίθετα, από την ανάλυση με τη βοήθεια των κυματιδίων, δεν παρουσιάζονται σοβαρές ενδείξεις ύπαρξης τάσεων στα δεδομένα. Τα κύρια αποτελέσματα της ανάλυσης χρησιμοποιούνται στη συνέχεια για την επαγωγή σε ακραία επίπεδα τιμών του σημαντικού ύψους κύματος, με χρήση ενός μοντέλου ακραίων τιμών, μιας ανέλιξης Poisson. Η εποχικότητα και διάφοροι παραμετρικοί τύποι τάσεων, ενσωματώνονται στο παραπάνω μοντέλο και τα αποτελέσματα που προκύπτουν συγκρίνονται με τα αντίστοιχα ενός στάσιμου μοντέλου. Λέξεις κλειδιά: κυματίδια, εποχικότητα, τάσεις, ανέλιξη Poisson, επίπεδα επαναφοράς. ANALYSIS OF NON-STATIONARY EXTREME WAVES Galiatsatou P., Prinos P. 1 Department of Civil Engineering, Aristotle Uninersity of THessaloniki, Hydraulics Laboratory, pgaliats@civil.auth.gr,, prinosp@civil.auth.gr Abstract In the present paper an analysis of a time series of significant wave heights in the area of the N. Aegean Sea is performed, using the wavelet techniques. The wavelet power spectrum and the global wavelet spectrum are used to detect the main nonstationarities of the signal. Α one-year periodicity, probably due to seasonality of the signal, is evident from the analysis and it is proven to be statistically significant. On the contrary, from the wavelet analysis, there is no clear evidence of trends in the data. The main results of the analysis are utilized to perform extrapolation to extreme levels of significant wave height, using an extreme value model, a Poisson process. Seasonality and different forms of parametric trends are incorporated in the model and the concluding results are compared to those from a stationary model. Keywords: wavelets, seasonality, trends, Poisson process, return levels. 1. Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι τα περισσότερα φυσικά σήματα χαρακτηρίζονται από φαινόμενα μηστασιμότητας (non-stationarity). Στην πλειονότητα των ωκεανογραφικών σημάτων εντοπίζονται τέτοια φαινόμενα. Οι μη-στάσιμες διαδικασίες έχουν χαρακτηριστικά που μεταβάλλονται συστηματικά στο χρόνο, πιθανότατα εξαιτίας κλιματικών διαφορών ανά τους μήνες (seasonality), ή υπό τη μορφή τάσεων ή ίσως εξαιτίας των κλιματικών μεταβολών μεγάλης κλίμακας (trends). Τα ωκεανογραφικά σήματα (π.χ. ύψος κύματος, μετεωρολογική παλίρροια κτλ) είναι σήματα στον τομέα του χρόνου. Ωστόσο, σε πολλές περιπτώσεις οι πιο διακεκριμένες πληροφορίες «κρύβονται» στο φάσμα των συχνοτήτων, το οποίο παρέχει την ενέργεια που σχετίζεται με κάθε δεδομένη συχνότητα. Ο μετασχηματισμός με τη χρήση της τεχνικής των κυματιδίων (wavelets) (Torrence & Compo, 1998) είναι μια μέθοδος ανάλυσης μη-στάσιμων (non-stationary) φαινομένων πολλαπλής κλίμακας που επιτρέπει την «εστίαση» τόσο στον τομέα του χρόνου όσο και σ αυτόν των συχνοτήτων. Το γεγονός ότι στα έργα του πολιτικού μηχανικού πρέπει να υπολογίζονται οι ακραίες συνθήκες απαιτεί ιδιαίτερη προσοχή στις ακραίες τιμές των διαφόρων μεγεθών. Οι μέθοδοι ακραίων τιμών -529-

2 9 th Symposium on Oceanography & Fisheries, Proceedings, Volume Ι χρησιμοποιούνται συνήθως με στόχο την επαγωγή (extrapolation) σε πιο ακραία επίπεδα μιας μεταβλητής, σε σχέση με αυτά που έχουν παρατηρηθεί. Η σημειακή ανέλιξη Poisson (Smith, 1989) είναι ένα προσφιλές μοντέλο ακραίων τιμών, που ενοποιεί σε ένα γενικότερο πλαίσιο τα μοντέλα των μέγιστων τιμών των «μπλοκ» και την οριακή κατανομή GPd (Generalized Pareto distribution). Στην παρούσα εργασία επιχειρείται η ανάλυση με χρήση της τεχνικής των κυματιδίων δεδομένων σημαντικού ύψους κύματος, στην περιοχή του Β. Αιγαίου. Τα κύρια αποτελέσματα της ανάλυσης χρησιμοποιούνται στη συνέχεια για την επαγωγή σε ακραία επίπεδα τιμών του σημαντικού ύψους κύματος, με χρήση ενός μοντέλου ακραίων τιμών, μιας ανέλιξης Poisson. 2. Μεθοδολογία Τα διαθέσιμα δεδομένα για την παρούσα εργασία είναι τρίωρες προβλέψεις σημαντικού ύψους κύματος του μοντέλου WAM για μια χρονική περίοδο δέκα ετών ( ) για ένα σύνολο σταθμών στην περιοχή του Β. Αιγαίου. Η προτεινόμενη μεθοδολογία θα εφαρμοστεί σε σταθμό στην περιοχή του λιμένα Αλεξανδρούπολης (40.65 o N, 25.6 o E), που βρίσκεται σε βάθος νερού 50m. Ο σταθμός βρίσκεται μεταξύ της ηπειρωτικής Ελλάδας και του νησιού της Σαμοθράκης. Ο μετασχηματισμός ενός σήματος με τη βοήθεια των κυματιδίων το αναλύει στα λεγόμενα κυματίδια (wavelets) ψ, που προέρχονται από μια αρχική συνάρτηση, το «μητρικό κυματίδιο» (mother wavelet) ψ 0, με μεταβολή της διάρκειάς του και μετατόπισή του ως προς το χρόνο. Ένα από τα πιο διαδεδομένα μη ορθογώνια «μητρικά κυματίδια» είναι το κυματίδιο Morlet. Αυτό, χρησιμοποιείται και στην παρούσα ανάλυση. Το φάσμα ισχύος του κυματιδίου (wavelet power spectrum) ορίζεται 2 ως το τετράγωνο της απόλυτης τιμής του κυματιδιακού μετασχηματισμού Wn (s) και παρέχει ένα μέτρο της διακύμανσης του σήματος σε κάθε κλίμακα (περίοδο) και κάθε χρονική στιγμή. Στην 2 2 Εικόνα 1, παρουσιάζεται το κανονικοποιημένο φάσμα ισχύος του κυματιδίου W n ( s) / σ για τις μέγιστες τιμές του σημαντικού ύψους κύματος ανά διαστήματα 48 ωρών στο θεωρούμενο σταθμό του Θρακικού Πελάγους. Η επιλογή του διαστήματος των 48 ωρών έγινε με βάση τη διερεύνηση της σειριακής αυτοσυσχέτισης (τιμές μικρότερες του 0.5) και της συσχέτισης πρώτου βαθμού των δεδομένων (Zachary et al., 1998), έτσι ώστε να εξασφαλιστεί κατά έναν μάλλον απλό τρόπο η ανεξαρτησία των ακραίων παρατηρήσεων που αποτελεί προϋπόθεση της εφαρμογής της Θεωρίας Ακραίων Τιμών (EVT). Σημειώνεται ότι σε προηγούμενες μελέτες υψών κύματος στην ανοιχτή θάλασσα έχουν χρησιμοποιηθεί παρόμοια διαστήματα εικοσιτεσσάρων έως εξήντα ωρών. Τα σχετικά σχήματα παραλείπονται χάριν συντομίας. Εικ. 1: Κανονικοποιημένο κυματιδιακό φάσμα ισχύος για τις μέγιστες τιμές σημαντικού ύψους κύματος ανά διαστήματα 48 ωρών με χρήση του κυματιδίου Morlet

3 9 ο Πανελλήνιο Συμπόσιο Ωκεανογραφίας & Αλιείας Πρακτικά, Τόμος Ι Στην Εικόνα 1, διακρίνεται μια συνεχής κοίλη γραμμή, ο κώνος επιρροής (Cone of Influence). Οι αιχμές στην περιοχή αυτή έχουν μειωθεί σημαντικά εξαιτίας της συμπλήρωσης της χρονοσειράς στα άκρα με μηδενικά. Προκειμένου να πραγματοποιηθούν έλεγχοι για μη-στάσιμες μεταβολές στη διακύμανση των τιμών του σημαντικού ύψους κύματος, επιλέγεται το καθολικό κυματιδιακό φάσμα (global wavelet spectrum). Για να ελεγχθεί η στατιστική σημαντικότητα των αιχμών του κυματιδιακού φάσματος, δηλαδή για να αξιολογηθεί εάν πρόκειται για πραγματικά χαρακτηριστικά με ένα συγκεκριμένο επίπεδο εμπιστοσύνης, ορίζεται ένα θεωρητικό φάσμα κόκκινου θορύβου και συγκρίνεται με το καθολικό κυματιδιακό φάσμα που προέκυψε παραπάνω. Το φάσμα αυτό περιγράφεται από ένα μονομεταβλητό μοντέλο AR με συντελεστή αυτοσυσχέτισης a=0.50, που προκύπτει από τα ίδια τα δεδομένα. Εικ. 2: Το καθολικό κυματιδιακό φάσμα για τις μέγιστες τιμές σημαντικού ύψους κύματος ανά διαστήματα 48 ωρών και το 95% επίπεδο εμπιστοσύνης για αυτό με α=0.50. Από τις Εικόνες 1 και 2 είναι εμφανής μια μεταβολή της τάξης του ενός έτους σε όλο το μήκος της χρονοσειράς. Στην περιοχή αυτή το κανονικοποιημένο κυματιδιακό φάσμα παίρνει μέγιστες τιμές (Εικ. 1). Η μεταβολή αυτή παρουσιάζεται ως στατιστικά σημαντική σε επίπεδο σημαντικότητας 5%. Η παρατήρηση αυτή μπορεί να επεξηγηθεί από το γεγονός ότι στο πλαίσιο των περιβαλλοντικών διαδικασιών, τα φαινόμενα μη-στασιμότητας είναι έκδηλα κυρίως λόγω των εποχικών μεταβολών και λόγω των διαφορετικών κλιματικών συνθηκών στους διάφορους μήνες του έτους. Στις Εικόνες 1 και 2 δεν υπάρχουν σοβαρές ενδείξεις ύπαρξης μεταβολών μεγάλης κλίμακας (trends) στα δεδομένα (δεν παρουσιάζονται μεγάλες τιμές του κανονικοποιημένου κυματιδιακού φάσματος ή του καθολικού κυματιδιακού φάσματος σε μεγάλες περιόδους). Τα αποτελέσματα της παραπάνω ανάλυσης χρησιμοποιούνται για τη στελέχωση ενός μοντέλου ακραίων τιμών, μιας σημειακής ανέλιξης Poisson. Η επιλογή του ορίου u της ανέλιξης είναι ένα ζήτημα εξισορρόπησης μεταξύ της μεροληψίας και της διακύμανσης. Στη συγκεκριμένη εφαρμογή χρησιμοποιείται το όριο u=1.5m, ως μια τιμή αρκετά αποδεκτή για την περιοχή του Β. Αιγαίου που επιτρέπει ποσοστό υπερβάσεων 5% του συνόλου των σαρανταοχτάωρων παρατηρήσεων. Η τιμή αυτή θεωρείται ότι ικανοποιεί και τα κριτήρια επιλογής ορίου από το διάγραμμα της μέσης τιμής των υπερβάσεων, αλλά και από τα διαγράμματα μεταβολής των παραμέτρων του μοντέλου με το όριο. Για την ενσωμάτωση της εποχικότητας στο μοντέλο ακραίων τιμών, οι παράμετροι θέσεως, μ, και κλίμακας, σ, του μοντέλου θεωρούνται συνημιτονοειδείς συναρτήσεις του χρόνου με περίοδο ενός έτους. Για την προσομοίωση των τάσεων στα δεδομένα, οι παράμετροι θέσεως και κλίμακας, του μοντέλου μεταβάλλονται γραμμικά με το χρόνο (μ=μ 0 + μ 1 t και σ=σ 0 + σ 1 t), θεωρούνται συνδεδεμένες μεταξύ τους μέσω μιας σταθερής παραμέτρου ή εκφράζονται συναρτήσει του αριθμού, λ, και της έντασης, φ, των ακραίων γεγονότων. Όλες οι παράμετροι του μοντέλου υπολογίζονται με τη μέθοδο της Μέγιστης Πιθανοφάνειας (MLΕ). Τα αποτελέσματα της ανάλυσης των ακραίων τιμών σε όρους επιπέδου επαναφοράς 50 και 100 ετών με θεώρηση φαινομένων μη-στασιμότητας, συγκρίνονται με τα αντίστοιχα ενός στάσιμου μοντέλου

4 9 th Symposium on Oceanography & Fisheries, Proceedings, Volume Ι 3. Αποτελέσματα Στον Πίνακα 1, παρουσιάζονται τα επίπεδα επαναφοράς του σημαντικού ύψους κύματος για περιόδους επαναφοράς 50 και 100 ετών για την απλή περίπτωση ενός στάσιμου μοντέλου, όπως και για τις περιπτώσεις που γίνεται προσπάθεια ενσωμάτωσης της εποχικότητας στο μοντέλο ακραίων τιμών με χρήση συνημιτονοειδών συναρτήσεων για: α) την παράμετρο θέσεως, μ, του μοντέλου και β) τις παραμέτρους θέσεως, μ, και κλίμακας, σ, του μοντέλου. Για την παράμετρο θέσεως του μοντέλου χρησιμοποιούνται δύο μοντέλα: 1) μ= μ 0 cos(2πt) και 2) μ= μ 0 cos(2πt-μ 2 ) ενώ για την παράμετρο κλίμακας χρησιμοποιείται μόνο το σύνθετο μοντέλο: σ= σ 0 cos(2πt-σ 2 ). Τα επίπεδα επαναφοράς που προκύπτουν με ενσωμάτωση της ετήσιας περιοδικότητας στο μοντέλο ακραίων τιμών είναι μικρότερα από τα αντίστοιχα του στάσιμου μοντέλου. Στο πιο πλήρες από τα τρία μη-στάσιμα μοντέλα (μ= μ 0 cos(2πt-μ 2 ) και σ= σ 0 cos(2πt-σ 2 )), το οποίο παρουσιάζει και τις μεγαλύτερες αποκλίσεις από το στάσιμο μοντέλο, οι μέσες τιμές του επιπέδου επαναφοράς των 50 και 100 ετών είναι μικρότερες από αυτές του στάσιμου μοντέλο κατά 5.8% και 5.6%, αντίστοιχα. Πίνακας 1: Επίπεδα επαναφοράς για το σημαντικό ύψος κύματος με ενσωμάτωση της εποχικότητας στο μοντέλο ακραίων τιμών. Μοντέλα για τις παραμέτρους προκειμένου να ενσωματώσουν την εποχικότητα Επίπεδο Επαναφοράς (m) 50 έτη 100 έτη Στάσιμη Σημειακή Ανέλιξη Poisson μ=μ 0 *cos(2πt) μ=μ 0 *cos(2πt-μ 2 ) μ=μ 0 *cos(2πt-μ 2 ) και σ=exp(σ 0 *cos(2πt-σ 2 )) Για την προσομοίωση των τάσεων (trends) στα δεδομένα χρησιμοποιούνται τα ακόλουθα παραμετρικά μοντέλα: (α) γραμμική μεταβολή της παραμέτρου θέσεως, μ, με το χρόνο (μ= μ 0 t), (β) γραμμική μεταβολή των παραμέτρων θέσεως, μ, και κλίμακας, σ, με το χρόνο (μ= μ 0 t και σ= σ 0 t) (γ) θεώρηση των παραμέτρων θέσεως, μ, και κλίμακας, σ, ως συνδεδεμένων μέσω μιας σταθερής παραμέτρου και (δ) έκφραση του μοντέλου συναρτήσει του αριθμού, λ, και της έντασης, φ, των ακραίων γεγονότων (λ= λ 0 +λ 1 t και φ= φ 0 +φ 1 t) (Butler, 2005). Στην Εικόνα 3, παρουσιάζονται οι τιμές του επιπέδου επαναφοράς της εκατονταετίας για το σημαντικό ύψος κύματος, που προέκυψαν με θεώρηση των παραπάνω μοντέλων για τις τάσεις, καθώς και η τιμή του μεγέθους για το στάσιμο μοντέλο. Για την πεντηκονταετία, τα αποτελέσματα παρουσιάζουν παρόμοια μορφή και δεν παρατίθενται εδώ χάριν συντομίας. Από την Εικόνα 3, παρατηρείται μια ταύτιση των μοντέλων (β) και (δ), που θεωρούν γραμμικές μεταβολές των παραμέτρων μ και σ και λ και φ, αντίστοιχα, καθώς και του μοντέλου που θεωρεί γραμμική μεταβολή της παραμέτρου θέσεως, μ {μοντέλο (α)}, και του στάσιμου μοντέλου. Οι εκτιμήσεις του επιπέδου επαναφοράς του μοντέλου (γ), που θεωρεί τις παραμέτρους μ και σ συνδεδεμένες, βρίσκονται μεταξύ των άλλων τεσσάρων. Παρόλο που τα μοντέλα (β) και (δ) εμφανίζουν μια αυξητική τάση στα επίπεδα επαναφοράς από την αρχή ως το τέλος τη δεκαετίας, που μεταφράζονται σε μια αυξητική τάση στον αριθμό και την ένταση των ακραίων κυματικών γεγονότων σύμφωνα με το μοντέλο (δ), από την εξέταση του μεγέθους της στατιστικής απόκλισης, οι μεταβολές αυτές δε φαίνεται να είναι στατιστικά σημαντικές

5 9 ο Πανελλήνιο Συμπόσιο Ωκεανογραφίας & Αλιείας Πρακτικά, Τόμος Ι Εικ. 3: Επίπεδα επαναφοράς της εκατονταετίας για διάφορες μορφές τάσεων στα δεδομένα. 4. Συμπεράσματα - Συζήτηση Στην παρούσα εργασία επιχειρείται η ανάλυση με χρήση της τεχνικής των κυματιδίων μιας σειράς μέγιστων τιμών σημαντικού ύψους κύματος σε διαστήματα 48 ωρών στην περιοχή του Β. Αιγαίου. Τα κύρια αποτελέσματα της ανάλυσης και ένα μοντέλο ακραίων τιμών, μια ανέλιξη Poisson χρησιμοποιούνται για την εξαγωγή των επιπέδων σημαντικού ύψους κύματος που αντιστοιχούν σε μεγάλες περιόδους επαναφοράς. Από την ανάλυση με τη βοήθεια της τεχνικής των κυματιδίων, είναι εμφανής μια μεταβολή της τάξης του ενός έτους σε όλο το μήκος της χρονοσειράς. Στην περιοχή αυτή το κανονικοποιημένο κυματιδιακό φάσμα παίρνει μέγιστες τιμές. Η μεταβολή αυτή παρουσιάζεται ως στατιστικά σημαντική σε επίπεδο σημαντικότητας 5%. Τα επίπεδα επαναφοράς που προκύπτουν με ενσωμάτωση της ετήσιας περιοδικότητας στο μοντέλο ακραίων τιμών είναι μικρότερα από τα αντίστοιχα του στάσιμου μοντέλου. Στο μοντέλο που θεωρεί μ= μ 0 cos(2πt-μ 2 ) και σ= σ 0 cos(2πt-σ 2 )), οι μέσες τιμές του επιπέδου επαναφοράς των 50 και 100 ετών είναι μικρότερες από αυτές του στάσιμου κατά 5.8% και 5.6%, αντίστοιχα. Παρόλο που τα μοντέλα που θεωρούν μ= μ 0 t και σ= σ 0 t, καθώς και λ= λ 0 +λ 1 t και φ= φ 0 +φ 1 t, εμφανίζουν μια αυξητική τάση στα επίπεδα επαναφοράς, που μεταφράζονται σε μια αυξητική τάση στον αριθμό και την ένταση των ακραίων κυματικών γεγονότων σύμφωνα με το τελευταίο μοντέλο, από την εξέταση του μεγέθους της στατιστικής απόκλισης, οι μεταβολές αυτές δε φαίνεται να είναι στατιστικά σημαντικές. 5. Ευχαριστίες Η εργασία που περιγράφεται σ αυτό το άρθρο υποστηρίχθηκε από το Έκτο Πλαισιακό Πρόγραμμα της Ευρωπαϊκής Κοινότητας, μέσω της παραχώρησης στον προϋπολογισμό του Ολοκληρωμένου Προγράμματος FLOODsite, Συμβόλαιο GOCE-CT Το παρών άρθρο εκφράζει τις θέσεις των συγγραφέων και όχι αυτές της Ευρωπαϊκής Κοινότητας. Τόσο η Ευρωπαϊκή Κοινότητα, όσο και τα μέλη της Συνεργασίας του FLOODsite δεν είναι υπόλογα για οποιαδήποτε χρήση πληροφοριών που περιέχονται στην εργασία. Ο κώδικας που χρησιμοποιήθηκε για την ανάλυση με την τεχνική των κυματιδίων είναι των Torrence, C. και Compo, G. και διατίθεται στην ιστιοσελίδα:

6 9 th Symposium on Oceanography & Fisheries, Proceedings, Volume Ι 6. Βιβλιογραφικές Αναφορές Butler, A., Statistical modelling of synthetic oceanographic extremes. Ph.D. Thesis. Lancaster University, London, UK. Smith, R. L., 1989, Extreme value analysis of environmental time series: an example based on ozone data (with discussion). Statistical Science, 4: Torrence, Ch. & Compo, G. P., 1998, A practical guide to wavelet analysis, Bulletin of the American Meteorological Society, 79 (1): Zachary, S., Feld, G., Ward, G. & Wolfram, J., 1998, Multivariate extrapolation in the offshore environment, Applied Ocean Research, 20: